(1)DETERMINADA FORÇA NORMAL, NRD, NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

(1)

DETERMINADA FORÇA NORMAL, NRD, NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO.

(2)

7. Deformação εo Correspondente a uma Determinada Força Normal, NRD, no Estado Limite Último

7.1. Introdução

A cada par de valores α e εo, corresponde uma única curvatura, 1/r_α, no estado limite último. A esse terno de valores correspondem as solicitações internas resistentes NRd, MRxd e MRyd. Em diversas situações se tem a necessidade de encontrar o valor da deformação εo que, no estado limite último, corresponda a uma determinada força normal solicitante de cálculo, NRd, pré-estabelecida. Algumas vezes essa necessidade está atrelada a uma determinada inclinação da linha neutra dada pelo ângulo α, e outras, a uma determinada inclinação do eixo de solicitações dada pelo ângulo θ.

7.2. Fixado o ângulo α

Quando é fixado o ângulo α, a questão é mais simples. Nesse caso, basta um único processo iterativo desenvolvido arbitrando-se valores para a deformação εo

sucessivamente até que se encontre o valor que corresponda a NRd pré- estabelecido. A pesquisa de εo é acompanhada da determinação da curvatura que caracteriza o E.L.U. correspondente.

Figura 7.1 – Seção genérica solicitada à flexão oblíqua composta xLN

vmáx

ds x5

X Y

O

εc,máx

εs,máx

εo

εx5

Linha neutra α (+)

θ

NRd

(3)

A cada valor arbitrado de εo, a curvatura no E.L.U., do eixo da peça na seção em estudo fica determinada por uma única das três seguintes expressões com as respectivas condições:

a)

máx o cu

v r

ε ε

α

= ²−

1 com εx5 ≤ εc2 e ε_s_,_máx ≤ε_s_,_lim (7.1)

b)

5

1 5

x v

r _máx

o x

−

= ε −ε

α

com εc,máx < εcu2 e ε_s_,_máx <ε_s_,_lim (7.2)

c)

máx s

s o

v d

r −

= − ^,^lim 1 ε ε

α

com εc,máx ≤ εcu2 e ε x5 ≤ ε c2 (7.3)

Uma vez fixado o terno de valores: α, εo e 1/r_α, faz-se a integração das tensões como foi exposto no capítulo V e se obtém os esforços internos resistentes NRd, MRxd

e MRyd.

7.3. Fixado o ângulo θ

Quando é fixado o ângulo θ, se tem um pouco mais de trabalho para encontrar a deformada da seção que corresponde à força normal resistente pré-estabelecida.

Isso por que não se consegue estabelecer uma relação analítica entre a inclinação do eixo de solicitação dada pelo ângulo θ e a da linha neutra dada pelo ângulo α. De modo que, nesse caso, são necessários dois processos iterativos:

1º) Para cada valor arbitrado de α, encontrar εo que corresponda, no estado limite último, à força NRd pré-estabelecida.

A cada valor arbitrado de α correspondem os momentos MRxd e MRyd , que, com a força normal pré-estabelecida, NRd=NSd, constituem os esforços internos resistentes no estado limite último.

2º) Arbitrar sucessivos valores de α, até encontrar um determinado valor que corresponda ao ângulo θ pré-estabelecido. O ângulo θ é definido por:











= 

Ryd Rxd

M tg M

θ arc. (7.4)

(4)

Encontrar o ângulo α que corresponda, no estado limite último, aos valores dados NRd = NSd e θ é encontrar o ponto D da figura 7.2.

Kcurv Teta MRxd MRyd

(graus) (kN.m) (kN.m)

1 0,000 0,00 149,53 1,0 32,824 90,03 139,58

0,8 0,000 0,00 145,26 0,8 32,794 84,81 131,63

0,6 0,000 0,00 138,15 0,6 34,193 78,94 116,18

0,4 0,000 0,00 110,92 0,4 34,934 59,82 85,64

0,2 0,000 0,00 60,41 0,2 34,943 31,56 45,16

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0 50 100 150 200 250 300 350

Mdx (kN.m)

Mdy (kN.m)

E.L.U.

Alfa-1 Alfa-2 Alfa-3 Alfa-4 Alfa-5 Alfa-6 Alfa-7 Alfa-8 Alfa-9 Alfa-10 α1=10°

α5=50° α4=40°

α3=30°

α2=20°

α7=70° α6=60°

α8=80°

θ

Curva do E.L.U.

Figura 7.2 – Diagrama Nd – Mdx – Mdy - α

7.4. Prática de projetos

Na prática de projetos, muitas vezes se necessita encontrar a curvatura do pilar em uma seção sendo conhecidos os esforços internos solicitantes NSd, MSxd e MSyd. Ter conhecidos esses momentos é ter conhecido o ângulo θ de inclinação do eixo de solicitação que é dado por:











= 

Syd Sxd

M tg M

θ arc. (7.5)

O procedimento que se adota neste trabalho para encontrar tal curvatura tem dois passos principais:

1) Encontrar o ponto D da figura 7.2. Ou seja, encontrar o ângulo α que corresponda à inclinação do eixo de solicitação dada por θ. Isso é feito conforme o item 7.3.

2) Encontra o fator Kcurv que fornece a curvatura referida à do estado limite último e que corresponda aos momentos MRxd = MSxd e MRyd = MSyd.

Esse segundo passo é detalhado no capítulo VIII.

D Eixo de

solicitação

(5)

7.5. Relação entre α e θ

A relação entre α e θ é muito complexa e depende de muitos fatores, como:

proporções da seção transversal, quantidade e distribuição da armadura, relação entre os esforços internos solicitante, etc. Na seqüência são mostrados alguns gráficos que exemplificam a diversidade da forma com que se relacionam essas duas grandezas.

Dessas figuras se percebe que têm grande influência na relação “α - θ” a relação ente os lados da seção, hx/hy e a distribuição da armadura dentro da seção, ou seja, a proporção em que as barras são distribuídas entre os lados de comprimento hx e hy, assim como o cobrimento da armadura representado aqui pela relação d’/hy

(considerando aqui, sempre hx ≥ hy). Têm pouca influência: a taxa de armadura e a força normal.

Diagrama Alfa-Teta

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Teta (graus)

Alfa (graus)

Figura 7.3 – Diagrama α-θ para seção quadrada, hx/hy = 1, com distribuição uniforme de armadura e igual nos quatro lados.

fck = 30 MPa Nd = 1543 kN γc = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γ^s = 1,15

As→ 8 Φ; ω = 0,60 d’/hy = 0,15

30 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=1

ny=1

(6)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Teta (graus)

Alfa (graus)

Figura 7.4 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 2,0, com distribuição uniforme de armadura e igual nos quatro lados.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Teta (graus)

Alfa (graus)

Figura 7.5 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com distribuição uniforme de armadura e igual nos quatro lados.

fck = 30 MPa Nd = 3086 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γs = 1,15

As→ 8 Φ; ω = 0,60 d’/hy = 0,15

30 cm

60 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=1

ny=1

fck = 30 MPa Nd = 7714 kN γc = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γs = 1,15

As→ 12 Φ; ω = 0,60 d’/hy = 0,15

30 cm

150 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=2

(7)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Teta (graus)

Alfa (graus)

Figura 7.6 – Diagrama α-θ para seção quadrada, hx/hy = 1,0, com toda armadura distribuída em duas faces. Comparar o diagrama com o da figura 7.3.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Teta (graus)

Alfa (graus)

Figura 7.7 – Diagrama α-θ para seç ão com relação hx/hy = 2,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx. Comparar com o diagrama da figura 7.4.

fck = 30 MPa Nd = 1543 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γ^s = 1,15

As = 10 Φ m; ω = 0,60 d’/hy = 0,15

30 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=3

nx=0

fck = 30 MPa Nd = 3086 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γ^s = 1,15

As = 14 Φ; ω = 0,60 d’/hy = 0,15

30 cm

60 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=5

(8)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Teta (graus)

Alfa (graus)

Figura 7.8 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx. Comparar com a figura 7.5.

Gráfico - Alfa x Teta

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Teta (graus)

Alfa (graus)

w=0.4 w=0.5 w=0.6 w=0.7 w=0.8

w=0.9 w=1.0 w=1.1 w=1.2

Figura 7.9 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx e várias taxas mecânicas de armadura.

fck = 30 MPa Nd = 7714 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γ^s = 1,15

As = 16 Φ; ω = 0,60 d’/hy = 0,15

30 cm

150 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=6

fck = 30 MPa Nd = 7714 kN γc = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γ^s = 1,15

As → 16 Φ; d’/hy = 0,15 30 cm

150 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=6

(9)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Teta (graus)

Alfa (graus)

ni=0.4 ni=0.5 ni=0.6 ni=0.7 ni=0.8 ni=0.9 ni=1.0 ni=1.1 ni=1.2

Figura 7.10 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx e vários valores para a força normal reduzida.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Teta (graus)

Alfa (graus)

nx=2 nx=3 nx=4 nx=5 nx=6

nx=7 nx=8 nx=9 nx=10

Figura 7.11 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx (ny = 0) e vários valores de nx.

fck = 30 MPa γc = 1,4

fyk = 500 MPa γ^s = 1,15

As = 16 Φ; ω = 0,60 d’/hy = 0,15

30 cm

150 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=6

fck = 30 MPa Nd = 7714 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γs = 1,15

As→ ω = 0,60 d’/hy = 0,15

30 cm

150 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=6

(10)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Teta (graus)

Alfa (graus)

w=0.4 w=0.5 w=0.6 w=0.7 w=0.8

w=0.9 w=1.0 w=1.1 w=1.2

Figura 7.12 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 2,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx (nx=5) e várias taxas mecânicas de armadura.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Teta (graus)

Alfa (graus)

ni=2 ni=3 ni=4 ni=5 ni=6

ni=7 ni=8 ni=9 ni=10

Figura 7.13 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 2,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx (ny = 0) e vários valores da força normal reduzida.

fck = 30 MPa Nd = 3086 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γs = 1,15

As → 14 Φ ω d’/hy = 0,15

30 cm

60 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=5

fck = 30 MPa γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa γs = 1,15

As→ 14 Φ; ω = 0,60 d’/hy = 0,15

30 cm

60 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=5

(11)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Teta (graus)

Alfa (graus)

nx=1 nx=2 nx=3 nx=4 nx=5

nx=6 nx=7 nx=8 nx=9

Figura 7.14 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 2,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx (ny = 0) e vários valores de nx.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Teta (graus)

Alfa (graus)

d'/hy=0.10 d'/hy=0.15 d'/hy=0.20 d'/hy=0.25 d'/hy=0.30

Figura 7.15 – Diagrama α-θ para seção quadrada, hx/hy = 1,0, com toda armadura distribuída em duas faces e vários valores da relação d’/hy.

fck = 30 MPa Nd = 3086 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γs = 1,15

As → ω = 0,6 d’/hy = 0,15

30 cm

60 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=5

fck = 30 MPa Nd = 1543 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γs = 1,15

As = 10 Φ ; ω = 0,60 d’/hy = var

30 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=3

(12)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Teta (graus)

Alfa (graus)

Figura 7.16 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 2,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx (ny = 0) e vários valores da relação d’/hy.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Teta (graus)

Alfa (graus)

Figura 7.17 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com toda armadura distribuída nas faces de comprimento hx e vários valores da relação d’/hy.

fck = 30 MPa; Nd = 3086 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa; ν = 0,8 γs = 1,15

As→ 14 Φ; ω = 0,60 d’/hy = var

30 cm

60 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=5

fck = 30 MPa Nd = 7714 kN γ^c = 1,4

fyk = 500 MPa ν = 0,8 γ^s = 1,15

As → 16 Φ; ω =0,6 d’/hy = var

30 cm

150 cm

X Y

L.N.

E.S .

θ

α

nx=6