MAT3457 – ÁLGEBRA LINEAR I 1aLista de Exercícios – 1osemestre de 2022
Exercícios 1–34:sistemas lineares, matrizes e determinantes Exercícios 35–45:o espaçoV3
Exercícios 46–53:base e coordenadas Exercícios 54–74:produto escalar
1. Encontre a solução dos sistemas:
(i)
2x1
+
x2−
2x3+
3x4=
1 3x1+
2x2−
x3+
2x4=
4 3x1+
3x2+
3x3−
3x4=
5(ii)
x1
+
2x2−
3x3=
4 x1+
3x2+
x3=
11 2x1+
5x2−
4x3=
13 2x1+
6x2+
2x3=
22 (iii)
x1
+
x3+
x5=
1 x2+
x3+
2x5+
x6=
2 x4+
3x5=
3(iv)
x1
+
2x2−
3x3=
6 2x1−
x2+
4x3=
2 4x1+
3x2−
2x3=
142. Em cada um dos itens abaixo, encontre as condições precisas que as constantesbidevem satisfazer para que o sistema seja compatível:
(i)
x1
−
2x2+
5x3=
b14x1
−
5x2+
8x3=
b2−
3x1+
3x2−
3x3=
b3(ii)
x1
−
x2+
3x3+
2x4=
b1−
2x1+
x2+
5x3+
x4=
b2−
3x1+
2x2+
2x3−
x4=
b3 4x1−
3x2+
x3+
3x4=
b4(iii)
x2
+
x3=
2 x1+
x2+
x3=
b1 x1+
x2=
2(iv)
x2
+
x3=
2 x1+
b1x2+
x3=
2 x1+
x2=
23. Usando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada de cada um dos sistemas linea- res abaixo, determine os valores deaebpara os quais sistema não tem solução, tem exatamente uma solução e tem infinitas soluções.
(i)
x
+
y−
az=
0 x+
2y−
2z=
1x
+ (
1−
a)
y−
2z=
2−
2a 2x+
3y− (
2+
a)
z=
1(ii)
x
+
y+
az=
a+
b+
1 2x+
3y+
az=
3a+
2b+
1 x+
y+
2az=
2b+
24. Em cada caso, encontre condições sobre os númerosaebpara que o sistema dado não tenha solução, tenha uma única solução, ou tenha infinitas soluções. Resolva o sistema quando ele for consistente.
(i)
(ax
+
y= −
12x
+
y=
b (ii)(x
+
ay=
1bx
+
2y=
5 (iii)
x
+
2y+
z= −
1 3x+
7y+
6z= −
12x
+
4y+ (
a2+
1)
z=
b−
1 (iv)
ax
+
bz=
2 ax+
ay+
4z=
4 ay+
2z=
b5. Determine os valores deaebque tornam o sistema
3x
−
7y=
a x+
y=
b5x
+
3y=
5a+
2b x+
2y=
a+
b−
1compatível e determi-
nado. Em seguida, resolva o sistema.
1
6. Sejamα,β,γ
∈
Re considere o sistema linear:
x
+
w=
0αx
+
2y+
z+
2w=
β x−
2y−
z=
γ,
com incógnitasx,y,z,w. Assinale a alternativa contendo uma afirmaçãoFALSA.
(A) Seα
̸=
1, então o sistema possui uma única solução.(B) Seα
=
1 eβ+
γ=
0, então o sistema possui infinitas soluções.(C) Seα
=
2 eβ+
γ=
1, então o sistema possui infinitas soluções.(D) Para quaisquerα,β,γ
∈
R, o sistema possui infinitas soluções ou não possui solução.(E) Seα
=
3 eγ=
2, então o sistema possui infinitas soluções.7. Sejamm,n,p
∈
R. O sistema linear
x
+
y+
z=
m x+
2z=
n−
2x+
y−
z=
p−
x+
3y−
z=
5 tem uma única solução se, e somente se, 2m−
n+
pé igual a (A) 5/2(B) 5 (C) 6 (D) 3/2
(E) 10
8. Sejama,b
∈
Re considere o sistema linear
x1
+
x2+
x3=
1 2x1+
ax2−
x3=
2a 3x1+
2x2+
bx3=
0nas incógnitasx1,x2,x3. Assinale a alternativa que contém as condições exatas sobreaebque tornam esse sistema impossível.
(A)
(
a−
2)(
b+
3) +
1=
0 ea̸=
1 (B)(
2−
a)(
3−
b) −
3=
0 ea̸=
4 (C) ab−
3a−
2b+
7̸=
0(D)
(
a−
2)(
b+
3) ̸=
0 eab−
3a̸=
0 (E) a̸=
1 eb=
2a9. Sejam A
∈
Mm×n(
R)
e B∈
Mm×1(
R)
. Considere o sistema linear não-homogêneo AX=
Be o sistema homogêneo associadoAX=
0. Prove ou dê contra-exemplo.(i) SeAX
=
Btem infinitas soluções, entãoAX=
0 tem infinitas soluções.(ii) SeAX
=
0 tem infinitas soluções, entãoAX=
Btem infinitas soluções.(iii) SeAX
=
Bnão tem solução, entãoAX=
0 só tem a solução trivial.(iv) SeAX
=
0 só tem a solução trivial, entãoAX=
Btem solução única.10. SejamA,B
∈
Mm×n(
R)
. Considere a equação matricialAX=
B, em que a incógnitaXé uma matriz quadrada de tamanhon×
n. Mostre que se essa equação possuir mais do que uma solução, então ela terá infinitas soluções.11. Considere as seguintes afirmações:
I. SejaAuma matrizn
×
n. Se, para quaisquerb1, . . . ,bn∈
R, o sistema linearA
x1
x2
... xn
=
b1
b2
... bn
possuir uma única solução, então é possível obter a matriz identidade fazendo operações ele- mentares de escalonamento sobre as linhas da matrizA.
II. SePeQsão soluções de um sistema linear, entãoP
+
Qnecessariamente é solução desse sistema.III. SePe 2Psão soluções de um sistema linear, entãoλPnecessariamente é solução desse sistema, para todoλ
∈
R.Está correto o que se afirma em (A) I e III, apenas.
(B) II e III, apenas.
(C) I, II e III.
(D) I e II, apenas.
(E) I, apenas.
12. Encontre uma matrizXtal que (i)
1
−
1 12 3 0
0 2
−
1
X
=
2
−
1 5 7 84 0
−
3 0 13 5
−
7 2 1
(ii)
1 2 3 2 3 4 3 4 5
X
=
−
2 1 1−
2 1 1−
2 1 1
13. Encontre a matrizCque satisfaz
C
1 2 0 0 1 0 0 0 1
−
1 0 1
1 0 1
t
−1
=
1 2 0
−
1−
3−
11 1
−
3
(Aqui,Atdenota a transposta da matrizA.) 14. Mostre que a matriz
1 0 0 a 1 0 b c 1
é invertível e que a sua inversa é
1 0 0
−
a 1 0 ac−
b−
c 1
.
15. Mostre que as seguintes matrizes são invertíveis e calcule as suas inversas.
A
=
1 22 2
, B
=
1 0 1 1 1 0 0 2 1
, C
=
0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 1
−
10 2 0 3
16. (i) SejamA
∈
Mm(
R)
eB,C∈
Mm×n(
R)
, comAinvertível. Mostre que seAB=
AC, entãoB=
C.(ii) Existe alguma matriz invertívelAtal queA2
=
0?(iii) Dê um exemplo de uma matrizA
∈
Mm(
R)
tal queA2=
0.17. Considere a matrizA
=
2
−
4 03 6 5
−
2 1 4
e calcule seu determinante. Em cada caso, procure adivinhar quanto será detB, em queBé a matriz obtida a partir deA
(i) permutando-se as linhas 2 e 3.
(ii) multiplicando-se a linha 2 por23. (iii) multiplicando-se a linha 3 por 2.
(iv) somando-se a linha 2 à linha 3.
(v) somando-se
−
πvezes a linha 1 à linha 2.(vi) transpondo-seA.
18. Calcule os determinantes das seguintes matrizes. Recomenda-se fazer operações elementares para reduzir as contas.
3
−
6 9−
2 7−
20 1 5
,
3 1
−
20 4 4
2
−
3 6
,
1 0 3 2
3 4
−
1 20 3 1 2
1 5 2 3
,
1 3 1 5 3
−
2−
7 0−
4 20 0 1 0 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 1
19. Encontre detAsabendo queAé uma matriz 3
×
3 e det(
7A) =
6. E seAfor 4×
4?20. Suponha que det
a b c d e f g h i
=
8. Encontre det
e
+
h 2h 3b+
e f+
i 2i 3c+
f d+
g 2g 3a+
d
e det
d
−
g 3g 2a+
d f−
i 3i 2c+
f e−
h 3h 2b+
e
.
21. Suponha que det
a b c p q r u v w
=
1. Calcule det
b
+
q(
x−
1)
q 5v+
2b c+
r(
x−
1)
r 5w+
2c a+
p(
x−
1)
p 5u+
2a
.
3
22. Calcule det
1 2 2 1 2
0 1 1 0 0
−
1 3 3 1−
22 1 2 1
−
31 1 1 1 1
e det
1 0
−
1 2 12 1 3 1 1
2 1 3 2 1
1 0 1 1 1
2 0
−
2−
3 1
.
23. SeA
=
0 1
−
1 0, mostre queA2
= −
I. Mostre que não existem matrizes de tamanho 3×
3 tais que A2= −
I3. Mostre que não existem matrizes de tamanhon×
n, comnímpar, tais queA2= −
In. 24. SejaA=
1 a b
−
a 1 c−
b−
c 1
. Calcule detAe verifique queAé invertível, quaisquer que sejam os valores dea,bec.
25. Use operações elementares para mostrar que det
a2 b2 c2
1
+
a 1+
b 1+
c2a2
−
a−
1 2b2−
b−
1 2c2−
c−
1
=
0 e que det
a
+
2 b+
2 c+
2 x+
1 y+
1 z+
1 2x−
a 2y−
b 2z−
c
=
0.26. Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
Em todos os ítens,A,BeCsão matrizes quadradas.
(i) SeA2
=
I, então detA=
1.(ii) SeA3
=
I, então detA=
1.(iii) Se detA
̸=
0 eAB=
AC, entãoB=
C.(iv) det
(
3A) =
3 detA.(v) SeAé invertível, então det
(
A−1BA) =
detB.(vi) det
(
AB) =
det(
BA)
.(vii) Se detA
=
0, entãoApossui duas linhas idênticas.(viii) det
(−
A) = −
detA.(ix) det
(
A+
B) =
detA+
detB.(x) SeAé 2
×
2, det(
7A) =
49 detA.(xi) Se detA
=
detB, entãoA=
B.(xii) Se a diagonal principal deAconsiste de zeros, então detA
=
0.(xiii) SeAt
= −
A, então detA= −
1.27. Sob quais condições vale det
(−
A) =
detA? E det(−
A) = −
detA?28. Mostre que det
1 1 1
x y z
x2 y2 z2
= (
y−
x)(
z−
x)(
z−
y)
.29. Mostre que det
1 1 1 1
x1 x2 x3 x4 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34
= (
x4−
x3)(
x4−
x2)(
x4−
x1)(
x3−
x2)(
x3−
x1)(
x2−
x1)
.30. Mostre que det
x
−
1 0 00 x
−
1 00 0 x
−
1a b c x
+
d
=
a+
bx+
cx2+
dx3+
x4.31. O que pode ser dito sobre o valor de detA, ondeAé uma matrizn
×
ntal que (i)A2=
I, (ii)A3=
I, (iii)A2=
5A, (iv)A= −
At, (v)A2+
I=
0, (vi)A3=
A, (vii)A−1=
At?32. Suponha que detA
= −
3, detB=
5 e detC= −
1, em que A, Be Csão matrizes quadradas de mesmo tamanho. Calcule det(
A3B−2CtB3A−2)
e det BtA−1B−1CA3(
C−1)
t.33. SeAé 4
×
4 e det(
3A−1) =
5=
det A2(
Bt)
−1, encontre detAe detB.34. Em cada caso, encontre os valores do númerocpara queApossua inversa e encontreA−1para tais valores dec:
(i)A
=
1 c 0
2 0 c
c
−
1 1
(ii)A
=
1
−
c c1 1
−
1c
−
c 1
35. Determine#»x em função de#»u e#»v na equação 2#»x
−
3#»u=
10(
#»x+
#»v)
. 36. Resolva o sistema(#»x
+
2#»y=
#»u3#»x
−
#»y=
2#»u+
#»v nas incógnitas#»x e#»y. 37. Ache a soma dos vetores indicados em cada figura:(i) A
B C
D E
F (ii)
A
B C
D E F
38. Em um triângulo de vérticesA,BeC, sejamMeNos pontos médios dos lados ACeBC, respecti- vamente. Mostre que o segmentoMNé paralelo ao ladoABe tem comprimento igual à metade do comprimento deAB.
39. Dado um triângulo de vérticesA,BeC, cujas medianas sãoAM,BNeCPmostre que # »
AM
+
BN# »+
# » CP
=
#»0 .40. Dado um tetraedro de vérticesA,B,CeO, considere o pontoXno segmentoBC, tal que # » BX
=
3# »XC.
Exprima o vetor# »
AXcomo combinação linear dos vetores # » OA, # »
OBe # » OC.
A
O
C
B X
41. Dados quatro pontosA,B,CeXtais que# »
AX
=
m# »XB,A
̸=
Bem̸= −
1, exprima # »CXem função de
# » CA,# »
CBem.
A B
C
X (Sugestão:na relação# »
AX
=
m# »XBfaça aparecerCem ambos os membros.)
42. Num triângulo de vértices A, Be C, considere o ponto X sobre o segmento AB tal que
∥
# »AX∥ =
2∥
XB# »∥
e o pontoY sobre o segmentoBC tal que∥
BY# »∥ =
3∥
YC# »∥
. SejaP o ponto intersecção dos segmentosCXeAY. Exprima o vetor# »APcomo combinação linear dos vetores # » ABe# »
AC.
43. Mostre que as três medianas de um triângulo se encontram num ponto (chamado baricentro).
44. Sejam #»u,#»v ew#»três vetores linearmente indepententes emV3, sejaOum ponto deE3e sejaλ
∈
R.Considere os pontosA,B,C,DdeE3tais que
# »
OA
=
#»u−
2#»v+
w,#» # »OB
= −
#»u+
#»v−
2w,#» # »OC
=
λ#»u+
#»v−
w,#» # »OD
= −
2#»u−
λ#»v. Determineλde modo que os vetores# »AB,# » ACe # »
ADsejam linearmente dependentes.
5
45. Prove que#»u
+
#»v−
w,#» #»u−
#»v+
w#» e−
#»u+
#»v+
w#»são linearmente independentes, se e somente se,#»u,#»v e#»wo forem.
46. Seja
{
e#»1,e#»2,e#»3}
uma base deV3. Dados os vetores#»u=
4e#»1+
e#»2−
3e#»3, #»v=
3e#»2+
e#»3 e w#»=
2e#»2+
3e#»3, justifique por que#»v não pode ser escrito como combinação linear de #»u ew.#»47. Exprima o vetor #»u
=
4e#»1+
e#»3com combinação linear dos vetores #»v=
e#»1, w#»=
3e#»1+
2e#»2+
e#»3 e#»t
= −
e#»1−
e#»2+
e#»3, em que{
e#»1,e#»2,e#»3}
denota uma base deV3.48. Assinale o vetor que é uma combinação linear de#»u
= (
0, 2,−
2)
e #»v= (
1,−
3, 0)
, em que coordena- das são dadas em relação a uma base fixada deV3.(A)
(−
1,−
5, 0)
(B)(
0, 4, 5)
(C)(
2,−
6, 2)
(D)(
1,−
2, 2)
(E)(−
1, 1, 2)
49. Estude a dependência linear dos seguintes conjuntos de vetores, com coordenadas dadas em relação a uma base deV3:
(i)
{(
0, 0, 0)}
(ii){(
2, 1, 3)
,(
1,−
1, 2)
,(
0, 1, 1)}
50. Determine o valor deα
∈
Rpara que o vetor#»u=
αe#»1+
2e#»2+
3e#»3seja combinação linear dos vetores#»v
=
e#»1+
4e#»2+
5e#»3 e w#»=
2e#»1+
e#»3, em que{
e#»1,e#»2,e#»3}
denota uma base deV3.51. Para que valores dea
∈
Ros vetores de coordenadas, em relação a uma base fixa,(
a, 1, 0)
,(
1,a, 1)
e(
0, 1,a)
são coplanares?52. Seja
{
e#»1,e#»2,e#»3}
uma base deV3. Em cada um dos itens abaixo, decida se{
#»u,#»v,#»w}
é ou não uma base deV3.(i) #»u
=
3e#»1+
2e#»2−
e#»3, #»v=
e#»1+
e#»2+
e#»3, w#»=
4e#»1+
3e#»2(ii) #»u
=
e#»1+
e#»2, #»v=
e#»1+
e#»3, w#»=
e#»2+
e#»3(iii) #»u
=
e#»2, #»v=
e#»3, #»w=
e#»1(iv) #»u
=
2e#»1+
3e#»2+
e#»3, #»v= −
e#»1−
e#»2+
e#»3, w#»=
e#»253. SendoE
= {
e#»1,e#»2,e#»3}
eF= {
#»f1,#»f2,#»
f3
}
bases deV3tais que #»f1
=
2e#»1−
e#»3, #»f2
=
e#»2+
2e#»3 e #»f3
=
7e#»3, sew#»=
e#»1+
e#»2+
e#»3, determine as coordenadas dew#»na baseF.54. Mostre (usando vetores) que as diagonais de um paralelogramo têm a mesma medida se, e somente se, o paralelogramo é um retângulo.
#»u
#»v
#»u
+
#»v u#»−
#»v
(Sugestão:traduza o problema para
∥
#»u+
#»v∥ = ∥
#»u−
#»v∥ ⇐⇒
#»u⊥
#»v.) 55. Dados∥
#»u∥ =
13,∥
#»v∥ =
19,∥
#»u+
#»v∥ =
24, calcule∥
#»u−
#»v∥
.56. Sabendo que
∥
#»u∥ =
11,∥
#»v∥ =
23 e∥
#»u−
#»v∥ =
30, calcule∥
#»u+
#»v∥
. 57. Sabendo que#»u⊥
#»v,∥
#»u∥ =
12,∥
#»v∥ =
5, calcule∥
#»u+
#»v∥
e∥
#»u−
#»v∥
.58. Os vetores #»u e #»v formam um ângulo de 60◦. Sabe-se que
∥
#»u∥ =
8 e∥
#»v∥ =
5. Calcule∥
#»u+
#»v∥
e∥
#»u−
#»v∥
. 59. Três forças#»f1,#»
f2,#»
f3estão aplicadas num pontoOe têm direções perpendiculares entre si. Calcule a intensidade da força#»
f resultante, sabendo que
∥
#»f1∥ =
2,∥
#»f2∥ =
10,∥
#»f3∥ =
11.60. Sejam A,Be Ctrês pontos não colineares deE3 e sejam #»u
=
BA# »e #»v=
BC. Mostre que o vetor# »#»w
=
#»u
∥
#»u∥ +
#»v
∥
#»v∥
é paralelo à bissetriz do ânguloABC. Interprete geometricamente esse resultado,b relacionando-o com uma conhecida propriedade dos losangos. (Sugestão: calcule os cossenos dos ângulos entrew#»e #»u e entrew#»e#»v, e compare-os.)61. A medida em radianos do ângulo entre#»u e #»v é π4. Sabendo que
∥
#»u∥ = √
5 e
∥
#»v∥ =
1, determine a medida em radianos do ângulo entre#»u+
#»v e #»u−
#»v.62. A medida, em radianos, do ângulo entre#»u e #»v éπ3. Sabendo que
∥
#»u∥ =
2 e∥
#»v∥ =
1 e que o ângulo entre#»u+
#»v e#»u−
#»v medeθradianos, é correto afirmar que cosθvale(A)
−
√324
(B)
−
√321
(C) √321 (D) 17
(E) √324 63. Calcule# »
AB
·
DA# »sabendo que o tetraedroABCDé regular e de aresta unitária.64. Mostre (usando vetores) as diagonais de um losango são perpendiculares entre si, e que, reciproca- mente, se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares entre si, então ele é um losango.
65. SejaE
= {
#»ı,#»ȷ,#»k
}
uma base ortonormal deV3. Sendo#»u=
√13
(
#»ı+
#»ȷ−
#»k)
,#»v=
√12
(
#»ȷ+
#»k)
e#»w=
√1
6
(
2#»ı−
#»ȷ+
#»k)
, prove queF= {
#»u,#»v,w#»}
é uma base ortonormal deV3e calcule as coordenadas do vetor#»t=
3#»ı−
2#»ȷ−
#»k em relação à baseF.Nos exercícios 66–73, assume-se que as coordenadas de vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal de V3.
66. Determine #»u tal que
∥
#»u∥ =
3√
3 e #»u é ortogonal a #»v
= (
2, 3,−
1)
e a w#»= (
2,−
4, 6)
. Dos #»u’s encontrados, qual é o que forma um ângulo agudo com o vetor(
1, 0, 0)
?67. Determine #»u tal que
∥
#»u∥ = √
2, a medida, em graus, do ângulo entre #»u e
(
1,−
1, 0)
seja 45 e #»u⊥ (
1, 1, 0)
.68. Sabe-se que#»x é ortogonal a
(
1, 1, 0)
e a(−
1, 0, 1)
, tem norma√
3 e, sendoθa medida do ângulo entre
#»x e
(
0, 1, 0)
, tem-se cosθ>
0. Determine #»x.69. Para cada par de vetores a seguir, determine se o ângulo entre#»v ew#»é agudo, obtuso ou reto.
(i) #»v
= (
2,−
1, 3)
, w#»= (−
1, 2,−
7)
(ii) #»v= (
3, 3, 3)
, w#»= (
2,−
2, 2)
(iii) #»v= (
1,−
1, 2)
, w#»= (
2, 4, 1)
70. Encontre todos os possíveisa,b e cde modo que #»u
= (
a,b,c)
seja ortogonal a ambos os vetores#»v
= (
2, 4, 1)
ew#»= (
2, 4,−
1)
.71. Determine a projeção ortogonal do vetorw#»sobre o vetor #»v nos casos:
(i) w#»
= (
1,−
1, 2)
,#»v= (
3,−
1, 1)
(ii) w#»= (−
1, 1, 1)
,#»v= (−
2, 1, 2)
(iii) w#»= (
1, 3,−
1)
,#»v= (−
3, 2, 0)
72. Dados#»a= (
0, 1, 1)
,#»b
= (
0, 1, 0)
e #»c= (
1, 1, 0)
, determine o vetor unitário#»u tal que #»u é ortogonal a #»c, proj#»a #»u= (
0,12,12)
e #»u·
#»b>
0. Determine os vetores #»v de norma√
8, sabendo que o ângulo entre#»v e #»a mede π3 radianos e que os vetores #»a,#»c,#»v são linearmente dependentes.
73. Em cada caso, decomponha#»v como uma soma #»v
=
v#»1+
v#»2comv#»1paralelo aw#»ev#»2ortogonal aw.#»(i) #»v
= (
3, 1,−
1)
, w#»= (
1, 2,−
1)
(ii) #»v= (
2, 3, 1)
, w#»= (
4,−
2, 1)
(iii) #»v= (−
1,−
3, 2)
, w#»= (
0, 1, 3)
74. Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
Em todos os itens,#»
d,#»v ew#»representam vetores.
(i) Se#»v
·
w#»=
0, então #»v=
#»0 ouw#»=
#»0 .(ii) Se #»v ew#»são ortogonais, então 8#»v e
−
4w#»também são ortogonais.(iii) Se
−
#»v é ortogonal aw, então#» #»v é paralelo aw.#»(iv) Se proj#»d #»v
=
#»0 , então #»v=
#»0 .(v) Se proj#»d #»v
=
#»0 , então #»v é ortogonal a #»d. (vi) Se #»v é paralelo a #»
d, então proj#»d #»v
=
#»v.7
Respostas
1. (i) Incompatível; (ii)
(
1, 3, 1)
; (iii)(
1−
r−
s, 2−
r−
2s−
t,r, 3−
3s,s,t)
, r,s,t∈
R;(iv)
(
2−
t, 2+
2t,t)
, t∈
R2. (i)b1
=
b2+
b3; (ii)b1=
b3+
b4eb2=
2b3+
b4; (iii)b1∈
R; (iv)b1̸=
23. (i) Tem uma única solução quandoa
̸=
2 ea̸= −
1; não tem soluções quandoa= −
1; tem infinitas soluções quandoa=
2. (ii) Tem infinitas soluções quandoa=
0 eb= −
1; não tem soluções quandoa=
0 eb̸= −
1; tem uma única solução quandoa̸=
0.4. (i) Sea
=
2 eb̸= −
1, o sistema é inconsistente; sea=
2 eb= −
1, é consistente com infinitas soluções:−
12−
12t,t,t
∈
R; sea̸=
2, é consistente com uma única solução: 2−ab+1,−2−ab2−a . (ii) Seab̸=
2, o sistema é consistente com uma única solução; seab=
2 eb=
5 (ou seja a=
25), é consistente com infinitas soluções; seab=
2 eb̸=
5, é inconsistente.(iii) Sea
=
1 oua= −
1 eb̸= −
1, o sistema é inconsistente; sea=
1 oua= −
1 eb= −
1, é consistente com infinitas soluções:(−
5+
5t, 2−
3t,t)
,t∈
R; sea̸=
1 ea̸= −
1, é consistente com uma única solução:−
5+
5ab+12−1, 2−
3ab+12−1,ab+12−1.
(iv) Sea
̸=
0 eb=
2, o sistema é consistente com infinitas soluções (neste caso, as soluções são da forma 2−2ra ,2−2ra ,r,r
∈
R); sea̸=
0 eb̸=
2, é consistente com uma única solução (neste caso, a solução é 2−ba ,b−2a , 1; sea
=
0 eb=
2, é consistente com infinitas soluções (neste caso, as soluções são da forma(
r,s, 1)
,r,s∈
R); sea=
0 eb̸=
2, é inconsistente.5. a
=
2 eb=
4; x=
3 ey=
1 6. (A)7. (B) 8. (B)
9. (i) verdadeiro; (ii) falso; (iii) falso; (iv) em geral, falso (mas verdadeiro sem
=
n) 11. (A)12. (i)X
=
11 12
−
3 27 26−
6−
8 1−
18−
17−
15−
21 9−
38−
35
; (ii)X
=
2
+
λ−
1+
µ−
1+
γ−
2−
2λ 1−
2µ 1−
2γλ µ γ
13. C
=
6
−
14 2 3−
152 12 0 12 12
14. Basta realizar o produto.
15. A−1
=
−
1 1 1−
12
, B−1
=
1 3
1 2
−
1−
1 1 12
−
2 1
, C−1
=
1 9
−
2 7 2−
1−
3−
3 3 37
−
2 2−
12 2
−
2 1
16. (ii) não; (iii) um exemplo é 0 1
0 0
17. detA
=
126; (i)−
126; (ii) 84; (iii) 252; (iv) 126; (v) 126; (vi) 126 18. O determinante da matriz 4×
4 é−
26; o da 5×
5 é−
2.19. detA
=
673; seAé 4
×
4, detA=
674
20. O determinante da primeira matriz é 48; o da segunda,
−
48.21. 5
(
x−
1)
22. 2 e 224. detA
=
1+
a2+
b2+
c2̸=
026. (i) falsa; (ii) verdadeira; (iii) verdadeira; (iv) falsa; (v) verdadeira; (vi) verdadeira; (vii) falsa;
(viii) falsa; (ix) falsa; (x) verdadeira; (xi) falsa; (xii) falsa; (xiii) falsa 27. npar; nímpar
28. det
1 1 1
x y z
x2 y2 z2
=
det
1 0 0
x y
−
x z−
x x2 y2−
x2 z2−
x2
= (
y−
x)(
z−
x)
det1 1 y
+
x z+
x
31. (i) detA
= ±
1, (ii) detA=
1, (iii) detA=
0 ou detA=
5n, (iv) detA=
0 se né ímpar, (v) detA= ±
1 sené par, sené ímpar é impossível terA2= −
I, (vi) detA=
0 ou detA= ±
1.(vii) detA
= ±
1 32. 15 e 933. detA
=
354, detB=
3853
34. (i)Apossui inversa se, e somente se,c
̸=
0, 1,−
1; nesse caso, A−1=
1−
c+
c3
c
−
c c2−(
2−
c2)
1−
c−
2 1+
c2−
2c
(ii)Apossui inversa se, e somente se,c
̸= ±
1; nesse caso, A−1=
11
−
c2
1
−
c c−
c2 0−
1−
c 1−
c2 1+
c−
2c c−
c2 1+
c
35. #»x
= −
38#»u−
54#»v36. #»x
=
57#»u+
27#»v e #»y=
17#»u−
17#»v 37. Os vetores soma são:(i) A
B C
D E
F (ii)
A
B C
D E F
40. # »
AX
= −
OA# »+
14OB# »+
34OC# » 41. # »CX
=
m+11 CA# »+
1+mm CB# » 42. # »AP
=
29AB# »+
23AC# »43. Dica:Mostre que seA,B,Csão os vértices do triangulo eGé o encontro das medianas dos lados ABeBC, então# »
AG
=
13AB# »+
13AC. Repita o argumento trocando os papéis de# » BeC.44. λ
=
2 ouλ= −
4/3 47. 113 #»v+
13w#»+
23#»t 48. (E)49. (i) L.D.; (ii) L.I.
50. α
=
32 51. a=
0,± √
2
52. Os vetores em (ii), (iii) e (iv) formam base.
53. w#»
= (
1/2, 1,−
1/14)
F 55. 2256. 20
57.
∥
#»u+
#»v∥ = ∥
#»u−
#»v∥ =
13.58.
∥
#»u+
#»v∥ = √
129;
∥
#»u−
#»v∥ =
7 59.∥
#»f∥ =
1561. arccos√4
26
62. (C) 63.
−
12 65. #»t
=
√23,
−
√32,√76
F
66. #»u
= (
3,−
3,−
3)
ou#»u= (−
3, 3, 3)
; ângulo agudo:(
3,−
3,−
3)
67. #»u=
√ 2 2 ,
−
√ 2 2 , 1
ou#»u
=
√ 2 2 ,
−
√ 2 2 ,
−
1 68. #»x= (−
1, 1,−
1)
69. (i) obtuso; (ii) agudo; (iii) reto
70. Vetores da format
(−
2, 1, 0)
, qualquer que sejat∈
R.71. (i) 116
(
3,−
1, 1)
; (ii) 59(−
2, 1, 2)
; (iii) 133(−
3, 2, 0)
72. #»u= −
23,23,13)
,#»v= (−
2, 0, 2)
ou#»v= (
2, 2, 0)
73. (i)v#»1
= (
1, 2,−
1)
, v#»2= (
2,−
1, 0)
; (ii)v#»1=
17(
4,−
2, 1)
, v#»2=
17(
10, 23, 6)
; (iii)v#»1=
0,103,109, v#»2
= −
1,−
3310,111074. (i) falso; (ii) verdadeiro; (iii) falso; (iv) falso; (v) verdadeiro; (vi) verdadeiro
9
