MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP Segunda Prova — 15/10/2019 I

(1)

MAT 2456 — Cálculo Diferencial e Integral IV — EP–USP Segunda Prova — 15/10/2019

INSTRUÇÕES

1. Não é permitido portar celular (mesmo desligado) durante a prova. Sobre a carteira deixe apenas lápis, borracha, caneta e um documento de identificação com foto. Estojos, mochilas, blusas e outros objetos devem permancer à frente da sala, juntamente com os celulares (não custa repetir) e demais aparelhos eletrônicos, que devem estar desligados.

2. Preencha a tinta (preta ou azul) e completamente os campos da Folha de Respostas, seguindo as orientações para preenchimento dos campos do número USP e para as alternativas de cada questão .

3. Assinale apenas uma alternativa por questão. Em caso de erro, indique expressamente qual alternativa deve ser considerada na folha de respostas, ao lado da questão correspondente.

4. Esta prova tem duração máxima de 2 horas e o tempo mínimo de permanência na sala é de 30 minutos.

5. Não haverá tempo adicional para preenchimento da Folha de Respostas.

6. Confira a integridade do seu caderno de questões de acordo com o número de testes. O tipo da prova deve ser o mesmo em todas as folhas, incluindo a folha de respostas.

7. O preenchimento da folha de respostas e sua entrega implicam que o aluno leu e verificou todas as regras aqui listadas.

8. Ao final da provao aluno deve destacar e entregar somente a folha de respostas. A folha de questões pode ser levada para casa.

(2)

Tipo 1 : Página 2 de 10

(3)

Questão 1 Considere as seguintes afirmações:

(I) Podemos construir uma serie de potências com intervalo de convergência]−∞, 1[. (II) Se

∑

∞ n=0

anxⁿuma serie de potências com raio de convergênciaR>0 então a série

∑

∞ n=1

nanxⁿ⁻¹

possui o mesmo raio de convergência.

(III) Se a série

∑

∞ n=0

an2ⁿconverge então o raio de convergência da série de potências

∑

∞ n=0

anxⁿ

é maior ou igual a 2.

Podemos afirmar que:

A Só (II) é verdadeira.

B Todas são verdadeiras.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (III) é verdadeira.

E Só (I) e (II) são verdadeiras.

Questão 2 Dadas três funções

f(x) =e^x, g(x) =

∑

∞ n=0

xⁿ

n!, h(x) =

∑

∞ n=0

e(x−1)ⁿ n! . Considere as afirmações:

(I) Existex∈_Rtal que f(x)6=h(x). (II) lim

x→0

g(x)−1 x =_1.

(III) h⁰(2) =e². Podemos afirmar que:

A Todas as afirmações são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

C Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

D Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

(4)

Questão 3 Sejamc0,c1,c2,c3∈Rde modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível Z _π

−π

x−c0−c1cos(x)−c2sen(x)−c3sen(2x)²dx.

Entãoc₂é igual a:

A 2.

B _π². C _2π¹. D −1.

E _π¹.

Questão 4 Seja f(x) =x²−1, para 0≤x ≤1 e f(x) = f(x−1)para 1<x≤2. Denotamos por S(x)a soma da série de senos da função f(x). Quais são os valores deS(1),S(−1)eS(−¹₂)?

A 0, 0,³₄. B −¹₂,¹₂,³₄. C −¹₂,¹₂,−³₄. D ¹₂,−¹₂,³₄. E ¹₂,¹₂,−³₄.

(5)

Questão 5 Seja f :[0, 2]→Ra função f(x) =

(1, x ∈[_{0, 1}]_, 1+x, x ∈]1, 2]. A soma da série de cossenos da f(x)é :

A











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈[−1, 1], 1+x, x∈]1, 2].

B











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1], 1+x, x∈]1, 2]_,

3

2, x=−1.

C











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1[, 1+x, x∈]1, 2],

3

2, x=±1.

D











−1+x, x∈[−2,−1[_,

−1, x∈]−1, 0[, 1, x∈[0, 1], 1+x, x∈]1, 2]_,

−³₂, x=−1.

E











−1+x, x∈[−2,−1[,

−1, x∈[−1, 0[, 1, x∈[0, 1], 1+x, x∈]1, 2].

Questão 6 Sabe-se que 2 π

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹n

(n²−1/4)^sen(nx) =senx 2

, −π<x<π.

Os valores das somas das séries

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹(2n−1) (2n−1)²−1/4 e

∑

∞ n=1

4n²

(n²−1/4)² são respetivamente:

A

√ 2 4 e 1.

B

√ 2π 4 eπ².

C −

√2 8 eπ.

D −

√ 2π 4 eπ².

(6)

Questão 7 Seja a0

2 +

∑

∞ n=1

[ancos(nx) +bnsen(nx)]a série de Fourier da função f , periódica de período 2π, definida por

f(x) =

(1 se x∈[0,π] 0 se x∈]−π, 0[ e sejaS(x)sua soma. Podemos afirmar que:

A S(x) = f(x)para todox∈]−π,π]. B S(π) = ¹₂_.

C S(x) = f(x)apenas sex∈[0,π[. D a0= ^π₂.

E bn = _(2n−1)π² para todo inteiron>0.

Questão 8 Considere as séries numéricas (I)

∑

∞ n=1

1 n

2 3

n

, (II)

∑

∞ n=1

n 2

3 n

. Podemos afirmar que:

A A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para−ln(²₃)e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para ln(⁵₂)e a série (II) converge para 6/25.

D A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para−ln(⁵₂)e a série (II) converge para−₂₅⁶.

(7)

Questão 9 Seja f(x)a função definida por

f(x) =







1 se x=₀

ln(1+x)

x se x6=0, x>−1.

Se

∑

∞ n=1

anxⁿé a série de Taylor deF(x) =Rx

0 f(t)dtem torno do ponto 0, podemos afirmar que:

A an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)< ¹₂. B an = (−1)ⁿ⁺¹

n eF(¹₂)< ¹₂. C an = (−1)ⁿ⁺¹

n+1 eF(¹₂)< ¹₂. D an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)> ¹₂. E an = (−1)ⁿ⁺¹

n+1 eF(¹₂)> ¹₂.

Questão 10 Sejam f(x) =arctan(x)eα∈R.

A lim

x→0⁺

arctan(x)−x− ^x₃³ +^x₅⁵

x⁷ = ¹

5. B lim

x→0⁺

x^α =0 para todoα<7.

C lim

x→0⁺

x⁷ = ¹

7. D lim

x→0⁺

x⁵ =−¹

7. E lim

x→0⁺

x^α =∞para todoα≥7.

(8)

Questão 11 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f(x) =sen²x?

A 2⁵ 6!x⁶ B −²

5

6!x⁶ C 2³

4!x⁴ D −²

3

4!x⁴ E 2⁴

6!x⁶

Questão 12 Seja f :[0, 2]→_Rdefinida por f(x) =

x se x∈[0, 1] 2−x se x∈]1, 2] ^. O terceiro coeficienteb₃da série de senos de f(x)é igual a:

A −_9π⁸₂. B − ⁴

9π². C −_9π¹⁶₂. D −_3π⁸ . E −_3π⁴ .

(9)

y y

Folha de Respostas

Respostas não indicadas apropriadamente nesta folha serão desconsideradas.

Identificação:

Nome: NUSP:

Por favor coloque seu número USP nos campos ao lado. Caso tenha menos de 8 dígitos deixe as últimas colunas em branco.

Número USP 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Respostas:

Questão 01: A B C D E Questão 02: A B C D E Questão 03: A B C D E Questão 04: A B C D E Questão 05: A B C D E Questão 06: A B C D E

(10)

y y

y Tipo 1 : Página 10 de 10 y

(11)

INSTRUÇÕES

(12)

(13)

f(x) =







1 se x=₀

ln(1+x)

x se x6=0, x>−1.

Se

∑

∞ n=1

A an = (−1)ⁿ⁺¹

n+₁ ^e^F(¹₂)< ¹₂. B an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)> ¹₂. C an = (−1)ⁿ⁺¹

n+₁ ^e^F(¹₂)> ¹₂. D an = (−1)ⁿ⁺¹

n eF(¹₂)< ¹₂. E an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)< ¹₂.

Questão 2 Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da funçãof(x) = sen²x?

A 2⁵ 6!x⁶ B 2⁴

6!x⁶ C −²

3

4!x⁴ D 2³

4!x⁴ E −²

5

6!x⁶

(14)

2 +

∑

∞ n=1

f(x) =

A bn = _(2n−1)π² para todo inteiron>0.

B S(_x) = _f(_x)_{para todo}_x∈]−π,π]_. C a0= ^π₂.

D S(x) = f(x)apenas sex∈[0,π[. E S(π) = ¹₂.

A −_9π⁴₂. B −_9π⁸₂. C −_3π⁸ . D −_9π¹⁶₂. E −_3π⁴ .

(15)

A











−1+x, x∈[−2,−1[,

−1, x∈]−1, 0[, 1, x∈[0, 1], 1+x, x∈]1, 2],

−³₂, x=−1.

B











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈[−1, 1], 1+x, x∈]1, 2]_.

C











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1[, 1+x, x∈]1, 2],

3

2, x=±1.

D











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1], 1+x, x∈]1, 2]_,

3

2, x=−1.

E











−1+x, x∈[−2,−1[,

−1, x∈[−1, 0[, 1, x∈[0, 1], 1+x, x∈]1, 2].

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹n

, −π<x<π.

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹(2n−1) (2n−1)²−1/4 e

∑

∞ n=1

4n²

A

√ 2 4 e 1.

B

√ 2π 4 eπ². C

√2π 4 eπ.

D −

√ 2 8 eπ.

(16)

−π

A _π². B _2π¹. C −1.

D 2.

E _π¹.

A −¹₂,¹₂,³₄. B −¹₂,¹₂,−³₄. C ¹₂,¹₂,−³₄. D ¹₂,−¹₂,³₄. E 0, 0,³₄.

(17)

∑

∞ n=0

∑

∞ n=1

nanxⁿ⁻¹

(III) Se a série

∑

∞ n=0

∑

∞ n=0

anxⁿ

A Todas são verdadeiras.

B Só (I) e (II) são verdadeiras.

C Só (III) é verdadeira.

D Só (II) é verdadeira.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

f(x) =e^x, g(x) =

∑

∞ n=0

xⁿ

n!, h(x) =

∑

∞ n=0

x→0

g(x)−1 x =_1.

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

(18)

∑

∞ n=1

1 n

2 3

n

, (II)

∑

∞ n=1

n 2

3 n

A A série (I) converge para ln(⁵₂)e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 6.

C A série (I) converge para−ln(²₃)e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 9.

E A série (I) converge para−ln(⁵₂)e a série (II) converge para−₂₅⁶.

Questão 12 Sejam f(x) =_arctan(x)_eα∈R.

A lim

x→0⁺

x⁵ =−¹

7. B lim

x→0⁺

C lim

x→0⁺

D lim

x→0⁺

x⁷ = ¹

5. E lim

x→0⁺

x⁷ = ¹

7.

(19)

y y

Folha de Respostas

Identificação:

Nome: NUSP:

Número USP 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Respostas:

(20)

y y

(21)

INSTRUÇÕES

(22)

(23)

A −¹₂,¹₂,−³₄. B −¹₂,¹₂,³₄. C ¹₂,¹₂,−³₄. D ¹₂,−¹₂,³₄. E 0, 0,³₄.

Questão 2 Sejamc0,c1,c2,c3∈_Rde modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível Z _π

−π

Entãoc2é igual a:

A _π¹. B _π². C 2.

D _2π¹. E −1.

(24)

∑

∞ n=0

∑

∞ n=1

nanxⁿ⁻¹

(III) Se a série

∑

∞ n=0

∑

∞ n=0

anxⁿ

A Todas são verdadeiras.

B Só (II) é verdadeira.

C Só (II) e (III) são verdadeiras.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Só (III) é verdadeira.

A −²

5

6!x⁶ B 2⁵

6!x⁶ C 2³

4!x⁴ D 2⁴

6!x⁶ E −²

3

4!x⁴

(25)

A











−1+x, x∈[−2,−1[,

−1, x∈]−1, 0[, 1, x∈[0, 1], 1+x, x∈]1, 2],

−³₂, x=−1.

B











−1+x, x∈[−2,−1[,

−1, x∈[−1, 0[_, 1, x∈[0, 1], 1+x, x∈]1, 2].

C











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈[−1, 1], 1+x, x∈]1, 2].

D











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1], 1+x, x∈]1, 2]_,

3

2, x=−1.

E











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1[, 1+x, x∈]1, 2],

3

2, x=±1.

(26)

f(x) =e^x, g(x) =

∑

∞ n=0

xⁿ

n!, h(x) =

∑

∞ n=0

x→0

g(x)−1 x =1.

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Todas as afirmações são verdadeiras.

C Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

∑

∞ n=1

1 n

2 3

n

, (II)

∑

∞ n=1

n 2

3 n

A A série (I) converge para ln(⁵₂)e a série (II) converge para 6/25.

B A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para−ln(⁵₂)e a série (II) converge para−₂₅⁶. E A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 9.

(27)

2 +

∑

∞ n=1

f(x) =

A S(x) = f(x)apenas sex∈[0,π[. B S(x) = f(x)_{para todo}x∈]−π,π]_. C a0= ^π₂.

D bn = _(2n−1)π² para todo inteiron>0.

E S(π) = ¹₂.

A −_9π¹⁶₂. B −_3π⁴ . C −_3π⁸ . D −_9π⁸₂. E − ⁴

9π².

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹n

, −π<x<π.

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹(2n−1) (2n−1)²−1/4 e

∑

∞ n=1

4n²

A −

√ 2π 4 eπ². B

√2π 4 eπ.

C

√ 2 4 e 1.

D

√ 2π 4 eπ². E −

√2 8 eπ.

(28)

f(x) =







1 se x=₀

ln(1+x)

x se x6=0, x>−1.

Se

∑

∞ n=1

A an = (−1)ⁿ⁺¹

n+₁ ^e^F(¹₂)< ¹₂. B an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)< ¹₂. C an = (−1)ⁿ⁺¹

n+₁ ^e^F(¹₂)> ¹₂. D an = (−1)ⁿ⁺¹

n eF(¹₂)< ¹₂. E an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)> ¹₂.

A lim

x→0⁺

x⁵ =−¹

7. B lim

x→0⁺

x^α =_∞para todoα≥7.

C lim

x→0⁺

x⁷ = ¹

5. D lim

x→0⁺

x⁷ = ¹

7. E lim

x→0⁺

(29)

y y

Folha de Respostas

Identificação:

Nome: NUSP:

Número USP 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Respostas:

(30)

y y

(31)

INSTRUÇÕES

(32)

(33)

A











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1], 1+x, x∈]1, 2],

3

2, x=−1.

B











−1+x, x∈[−2,−1[,

−1, x∈]−1, 0[, 1, x∈[_{0, 1}]_, 1+x, x∈]1, 2],

−³₂, x=−1.

C











−1+x, x∈[−2,−1[,

−1, x∈[−1, 0[, 1, x∈[0, 1], 1+x, x∈]1, 2].

D











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1[, 1+x, x∈]1, 2]_,

3

2, x=±1.

E











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈[−1, 1], 1+x, x∈]1, 2].

∑

∞ n=1

1 n

2 3

n

, (II)

∑

∞ n=1

n 2

3 n

A A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 9.

B A série (I) converge para−ln(⁵₂)e a série (II) converge para−₂₅⁶. C A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 6.

D A série (I) converge para−ln(²₃)e a série (II) converge para 6.

E A série (I) converge para ln(⁵₂)e a série (II) converge para 6/25.

(34)

f(x) =







1 se x=₀

ln(1+x)

x se x6=0, x>−1.

Se

∑

∞ n=1

A an = (−1)ⁿ⁺¹

n eF(¹₂)< ¹₂. B an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)< ¹₂. C an = (−1)ⁿ⁺¹

n+1 eF(¹₂)< ¹₂. D an = (−1)ⁿ⁺¹

n+1 eF(¹₂)> ¹₂. E an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)> ¹₂.

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹n

, −π<x<π.

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹(2n−1) (2n−1)²−1/4 e

∑

∞ n=1

4n²

A

√2π 4 eπ.

B −

√ 2π 4 eπ². C

√2 4 e 1.

D −

√2 8 eπ.

E

√ 2π 4 eπ².

(35)

−π

A 2.

B −1.

C _2π¹. D _π². E _π¹.

A 2⁵ 6!x⁶ B −²

3

4!x⁴ C 2⁴

6!x⁶ D −²

5

6!x⁶ E 2³

4!x⁴

A lim

x→0⁺

B lim

x→0⁺

x⁷ = ¹

5. C lim

x→0⁺

D lim

x→0⁺

x⁵ =−¹

7. E lim

x→0⁺

x⁷ = ¹

7.

(36)

2 +

∑

∞ n=1

f(x) =

A S(x) = f(x)para todox∈]−π,π]. B a₀= ^π₂_.

C S(x) = f(x)apenas sex∈[0,π[. D bn = _(2n−1)π² para todo inteiron>0.

E S(π) = ¹₂.

A −_9π⁸₂. B −_3π⁴ . C −_9π⁴₂. D −_9π¹⁶₂. E −_3π⁸ .

(37)

f(x) =e^x, g(x) =

∑

∞ n=0

xⁿ

n!, h(x) =

∑

∞ n=0

x→0

g(x)−1 x =1.

A Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

B Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

D Todas as afirmações são verdadeiras.

Questão 11 Seja f(x) =x²−1, para 0 ≤x ≤ 1 e f(x) = f(x−1)_{para 1}< x ≤2. Denotamos porS(x)a soma da série de senos da função f(x). Quais são os valores deS(1),S(−1)eS(−¹₂)?

A ¹₂,¹₂,−³₄. B 0, 0,³₄. C −¹₂,¹₂,³₄. D ¹₂,−¹₂,³₄. E −¹₂,¹₂,−³₄.

(38)

∑

∞ n=0

∑

∞ n=1

nanxⁿ⁻¹

(III) Se a série

∑

∞ n=0

∑

∞ n=0

anxⁿ

A Só (III) é verdadeira.

B Só (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas são verdadeiras.

D Só (I) e (II) são verdadeiras.

E Só (II) é verdadeira.

(39)

y y

Folha de Respostas

Identificação:

Nome: NUSP:

Número USP 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Respostas:

(40)

y y

(41)

INSTRUÇÕES

(42)

(43)

A











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1], 1+x, x∈]1, 2],

3

2, x=−1.

B











−1+x, x∈[−2,−1[,

−1, x∈]−1, 0[, 1, x∈[_{0, 1}]_, 1+x, x∈]1, 2],

−³₂, x=−1.

C











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈]−1, 1[, 1+x, x∈]1, 2],

3

2, x=±1.

D











−1+x, x∈[−2,−1[,

−1, x∈[−1, 0[, 1, x∈[_{0, 1}]_, 1+x, x∈]1, 2].

E











1−x, x∈[−2,−1[, 1, x∈[−1, 1], 1+x, x∈]1, 2].

(44)

f(x) =







1 se x=₀

ln(1+x)

x se x6=0, x>−1.

Se

∑

∞ n=1

A an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)< ¹₂. B an = (−1)ⁿ⁺¹

n+1 eF(¹₂)> ¹₂. C an = (−1)ⁿ⁺¹

n+₁ ^e^F(¹₂)< ¹₂. D an = (−1)ⁿ⁺¹

n² eF(¹₂)> ¹₂. E an = (−1)ⁿ⁺¹

n eF(¹₂)< ¹₂.

f(x) =e^x, g(x) =

∑

∞ n=0

xⁿ

n!, h(x) =

∑

∞ n=0

x→0

g(x)−1 x =1.

(III) h⁰(₂) =e². Podemos afirmar que:

A Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

B Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

C Todas as afirmações são verdadeiras.

D Apenas as afirmações (I), (II) são verdadeiras.

E Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

(45)

∑

∞ n=0

∑

∞ n=1

nanxⁿ⁻¹

(III) Se a série

∑

∞ n=0

∑

∞ n=0

anxⁿ

A Só (I) e (II) são verdadeiras.

B Só (III) é verdadeira.

C Só (II) é verdadeira.

D Todas são verdadeiras.

E Só (II) e (III) são verdadeiras.

A ¹₂,−¹₂,³₄. B 0, 0,³₄. C ¹₂,¹₂,−³₄. D −¹₂,¹₂,³₄. E −¹₂,¹₂,−³₄.

(46)

A lim

x→0⁺

B lim

x→0⁺

x⁷ = ¹

7. C lim

x→0⁺

x^α =_∞para todoα≥7.

D lim

x→0⁺

x⁵ =−¹

7. E lim

x→0⁺

x⁷ = ¹

5.

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹n

(n²−1/4)^sen(nx) =_sen^x 2

, −π<x<_π.

∑

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹(2n−1) (2n−1)²−1/4 e

∑

∞ n=1

4n²

A

√ 2 4 e 1.

B

√ 2π 4 eπ².

C −

√2π 4 eπ². D

√ 2π 4 eπ.

E −

√ 2 8 eπ.

A 2⁵ 6!x⁶ B −²

3

4!x⁴ C −²

5

6!x⁶ D 2³

4!x⁴ E 2⁴

6!x⁶

(47)

Questão 9 Seja f :[0, 2]→Rdefinida por f(x) =

x se x∈[0, 1] 2−x se x∈]1, 2] ^. O terceiro coeficienteb3da série de senos de f(x)é igual a:

A −_9π¹⁶₂. B −_9π⁸₂. C −_9π⁴₂. D −_3π⁴ . E −_3π⁸ .

Questão 10 Sejamc₀,c₁,c₂,c₃∈Rde modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível Z _π

−π

x−c₀−c₁cos(x)−c₂sen(x)−c₃sen(2x)²dx.

Entãoc2é igual a:

A 2.

B _π². C _2π¹. D −1.

E _π¹.

2 +

∑

∞ n=1

f(x) =

(1 se x∈[_0,π] 0 se x∈]−π, 0[ e sejaS(x)sua soma. Podemos afirmar que:

A a0= ^π₂. B S(π) = ¹₂.

C S(x) = f(x)para todox∈]−π,π]. D S(x) = f(x)apenas sex∈[0,π[. E bn = _(2n−1)π² para todo inteiron>0.

(48)

∑

∞ n=1

1 n

2 3

n

, (II)

∑

∞ n=1

n 2

3 n

A A série (I) converge para−ln(⁵₂)e a série (II) converge para−₂₅⁶. B A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 9.

D A série (I) converge para ln(⁵₂)e a série (II) converge para 6/25.

E A série (I) converge para ln(3)e a série (II) converge para 6.