Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e

Integral I

Curso de Agroecologia Profª Paula Reis de Miranda

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUDESTE DE MINAS GERAIS

PROGRAMA ANALÍTICO DE DISCIPLINA

C

AMPUS

: Rio Pomba

C

URSO

:

Bacharel em Agroecologia

P

ERÍODO

: 2º

SEMESTRE

/

ANO

: 2º/2012

D

ISCIPLINA

:

Cálculo Diferencial e Integral I

C

ÓDIGO

:

MAT 192

P

ROFESSOR

RESPONSÁVEL PELA DISCIPLINA

:

Paula Reis de Miranda

P

ROFESSOR

(

ES

)

COLABORADOR

(

ES

):

C

ARGA HORÁRIA TOTAL

:

66

N

º TOTAL DE AULAS

:

72

N

º TOTAL DE AULAS PRÁTICAS

:

22

N

º TOTAL DE AULAS TEÓRICAS

:

50

P

RÉ

-

REQUISITO

(

S

):MAT

159

OU

MAT

151

VIAGEM

C

O

-

REQUISITO

(

S

):

E

MENTA

Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). Limites e Continuidade de Funções

Reais. Derivadas. Aplicações da derivada. Máximos e Mínimos. Integral indefinida. Integral

definida. Teorema Fundamental do Cálculo.

O

BJETIVOS

C

ONTEÚDO

P

ROGRAMÁTICO

N°AULAS

T

P

Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão).

8

4

Limites e Continuidade de Funções Reais.

8

2

Derivadas.

8

4

Aplicações da derivada.

4

4

Máximos e Mínimos

2

2

Integral indefinida

8

2

Integral definida.

4

4

Teorema Fundamental do Cálculo.

8

0

M

ETODOLOGIA DE

E

NSINO

O conteúdo será ministrado por meio de aula expositiva dialogada, demonstrativa, trabalhos

individuais e em equipes, listas de exercícios estimulando o pensamento crítico, levando o aluno a

construir seu próprio conhecimento.

R

ECURSOS

D

IDÁTICOS

- Quadro branco, pincel e apagador;

- Apresentação de slides, computador e TV.

- Softwares educativos: Winplot e Graphmat

- Apostilas e listas de exercícios

- Livros da Biblioteca

A

VALIAÇÃO

A avaliação será realizada de forma dinâmica, contínua e processual através de atividades em grupo

e individual e a partir da observação e análise do desempenho dos alunos durante a aula seguindo os

seguintes critérios:

 Iniciativa, interesse e autonomia;

 Participação nas atividades propostas;

 Capacidade de assimilação e construção dos conceitos estudados.



Provas individuais: 50 pontos

B

IBLIOGRAFIA

B

ÁSICA

BÁSICA:

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8ª ed. São Paulo: Editora Bookman,

2006. V. 1.

FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,

STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. v. 1.

B

IBLIOGRAFIA

C

OMPLEMENTAR

(M

ÍNIMO CINCO

)

ÁVILA, G. Cálculo: Funções de uma variável. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1994.

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001

HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Tradução

Ronaldo Sérgio de Biasi. 7. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2002.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO (MEC). Secretaria de Educação à distância.

Matemática: conversa de professor: matemática. [s.l.]: TV Escola, 1995. Vol. 2. 1 DVD; (2h

55min). (DVD Escola, 23).

0. Revisão

0.1 Produtos notáveis

As igualdades a seguir são alguns dos produtos notáveis que ocorrem freqüentemente na Matemática e com os quais o aluno deverá familiarizar o mais rápido possível.

a) a c dacad b) a b a b   a2b2 c) a b a b     a b 2a22ab b 2 d) a b a b     a b 2 a22ab b 2 e) xa x bx2a b x  ab f) a b a b a b       a b 3 a33a b 3ab2  2b3 g) a b a b a b       a b 3 a33a b 3ab2  2b3 Exercícios:

Determinar cada um dos seguintes produtos: a) 3x 2x



3y



b) x y 3x2



32y4



c)



3x y3 22xy5 x y



2 3



d)



2x3y 2x



3y



e)



1 5x 3



1 5x 3



f)



5xx y3 2



5xx y3 2



g)



3x5y



2 h) x22 i)



ax2by



2 j)



x46



2 k)



3y2



2 l) x3 x 5 m) x2 x 8 n) x2 x 8 o)



t210 t



212



p)



x2y



3 q) 3x23 r)



2y5



3 s)



xy2



3 t)



x y2 y2



3 0.2 Fatoração

Os métodos mais usuais são os seguintes: a) Fator monônio comum

 

acada cd

Exemplos: 6x y2 2x3 2x2



3yx



2x y3 xy23x y2 xy 2x



2 y 3x



b) Diferença de dois quadrados

  

2 2

a b  a b a b 

Exemplos: x225x5 x 5 4x29y2 



2x3y 2x



3y



c) Trinômio quadrado perfeito

Exercícios

Fatore os seguintes polinômios a) 2x23xy

b) 4x8y 12z

c) 10a b c2 3 415a b c3 2 430a b c4 3 2 d) x29 e) 25x24y2 f) 1 m n 2 4 g) x y2 236y4 h) 1 x 8 i) x y3 y x3 j) x28x 16 k) 1 4y 4y2 l) x216xy64y2 m) 16m240mn 25n 2 n) 16a472a b2 281b4 o) x26x8 p) x26x8 q) x22x8 r) x22x8 s) 3x33x218x t) y47y212 u) x 1 23 x 1   2 v) 3x210x3 w) 2x27x3 x) 2y2 y 6 y) 6x2xy2y2 Respostas: a)x 2x



3y ;



c)5a b c2 2 2



2bc3ac26a b ; 2



f)



1 mn 2



1 mn 2



; g)y2



x6y x



6y



h)



1 x 4



1 x 2





1 x 1 x ; i)







xy x



y x



y ; j)





x4



2; l)



x8y



2; n)



2a3b

 

2 2a 3b



2; o)



x4 x



2 ;



s)3x x



3 x



2 ;



u)



x3 x



2 ;



v)



3x 1 x



3 ;



w)



2x 1 x



3 ;



x)



2y3 y



2



; y)



3x4y 2x



3y



; 0.3 Logaritmos

Definição: Se bx a, sendo a um número positivo qualquer e b positivo e diferente de 1, o expoente x é o logaritmo de a na base b, escrevendo-se xlog a_b .

Exemplos: 32 9, logo 2 é logaritmo de 9 na base 3, isto é, 2log 9₃ . 2

log 8 é o número x, a que se deve elevar a base 2 para obter 8, isto é, x

2 8, x3. Assim, log 8₂ 3. Propriedades dos logaritmos:

i) O logaritmo do produto de dois números positivos a e b é igual à soma dos logaritmos dos números, isto é:

c c c

log ablog a log b

ii) O logaritmo do quociente de dois números positivos a e b é igual à diferença dos logaritmos dos números, isto é:

 

c c c

a

log log a log b b

iii) O logaritmo da potência p de um número positivo a é igual ao produto p pelo logaritmo do número, isto é:  p c c log a p.log a Exemplos:

a) log 152 log 3.52 log 3 log 5 2  2 b) log17 log17 log24

c) log 5₇ 3 3log 5₇

 

1

3 3 1

log 2 log2 log2

3

iv) log b_b 1

De fato, fazendo log b_b x tem-se: x

b   b x 1

v) log 1 0b 

De fato, fazendo log 1b x tem-se:

x 0

b  1 b  x 0

vi) x b

log b x

De fato, pelas propriedades (iii) e (vi) temos: x   

b b

log b x.log b x.1 x .

vii) Mudança de base

  k   *  b k log a log a , k, com k IR , k 1 log b Exercícios

1) Passar da forma exponencial para a logarítmica: i) modelo: pqr  qlog r_p

ii) 23 8 iii) 42 16 iv) 32  1

9 v)   2 3 1 8 4

2) Passar da forma logarítmica para a exponencial: i) modelo: log 25₅ 2  52 25

ii) log 64₂ 6 iii) ₁  4 1 log 2 16 iv)  3 a log a 3 v) log 1 0 _r  3) Calcular o valor dos logaritmos seguintes:

i) log 64 ₄ ii) log 81 ₃ iii) ₁ 2

log 8 iv) log 10 3 v) log 125 5 ₅

Respostas: i) 3; ii) 4; iii) 3; iv) 1 3; v)

7 2

4) Resolver as seguintes equações: i) log x₃ 2 ii) log y₄  3

2 iii) log 25x 2 iv) x  

9 2 log 4 3 v)



 



 2 log 3x 2x 4 0 Respostas: i) 9; ii) 1 8; iii) 5; iv) 8 27; v)  5 1, 3 5) Resolver (use logaritmos e calculadora):

i) 52x 2 35x 1 ii) 42x 1 5x 2 iii) 3x 1 4.51 3x Respostas: i) 1,898; ii) 3,958; iii) 0,6907

6) Sabendo que log 5₆ 0,898 e log 2₆ 0,386 calcular (somente use a calculadora nas operações de multiplicação e divisão):

a) log 10 ₆ b) log 2,5 ₆ c) log 5 ₂ d) log 20 ₆ e) log₆ 5

1. Principais Funções Elementares

1.1 Função Constante

Dado um número real c, denominamos função constante à função f : IRIR definida por   f x c. Gráfico Propriedades: a)D f IR; b)Im f  c ;

c) f é função par, pois f

   

 x f x c, x IR ; d) f é limitada, pois cf x

 

c, x IR .

1.2 Função Identidade

Denominamos função identidade à função f : IRIR definida por f x

 

x. Gráfico

Propriedades:

a)D f

 

IR ; b)Im f

 

IR ;

c) f é função ímpar, pois f

 

    x x f x

 

,  x IR;

d) f não é limitada.

1.3 Função Afim

Dados os reais a e b, a0, denominamos função afim à função f : IRIR definida por

 

f x axb Gráfico Propriedades: a)D f

 

IR; b)Im f

 

IR ;

c) Se b0, f é função ímpar, pois

 

 

 

    

 

 

f x a x ax f x , x IR

Se b0, f não é função par, nem ímpar; d) f não é limitada;

e) O gráfico intercepta o eixo x no ponto cuja abscissa é a raiz da equação ax b 0; portanto em b; 0

a

_ 

 

1.4 Função Quadrática

Dados os reais a, b e c, a0 , denominamos função quadrática à função f : IRIR definida por

 

2 f x ax bxc. Gráfico 2 Se a 0 e b 4ac 0      Se a 0 e 0    Se a 0 e 0   

Se a 0 e 0    Se a 0 e 0    Se a 0 e 0   

O vértice da parábola é o ponto V de coordenadas: x_v b 2a   e 2 v b 4ac y 4a 4a      . Propriedades: a)D f

 

IR; b)Im f

  

 yIR | yyv



_y ;v  



, se a0; ou Im f

  

 yIR | yy_v



 _ ; y , se a_v



0;

c) Se a0, f tem um valor mínimo para v

b x x

2a



  ;

Se a0, f tem um valor máximo para x x_v b 2a



  ;

O valor mínimo (ou máximo) de f é y_v 4a



 ;

d) Se b0, f é função par, pois

 

 

 

 2  2 

 

 

f x a x c ax c f x , x IR;

e) f não é limitada;

f) Quando  0, o gráfico intercepta o eixo x nos pontos



x ; 0 e 1





x ; 0 onde 2



x e 1 x são raízes da 2

equação 2

ax bx c 0.

Quando  0, o gráfico intercepta o eixo x nos pontos



x ; 0 onde 1



x é raiz da equação 1 2

ax bx c 0.

Quando  0, o gráfico não intercepta o eixo x.

Em qualquer caso, a interseção com o eixo y é o ponto

 

0; c .

1) Se

 

2 x 3 f x x 1  

 , achar: (i)f 0 , (ii)

 

f

 

4 , (iii)f 2a , (iv)

 

1 f z      , (v)f x



3



. 2) Se

 

2 f x x 2x, achar f a h



  

f a h   .

3) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:

i) f x

 

 3 ii) f x

 

5 2   iii) f x

 

 2x iv) f x

 

x 2  v) f x

 

 2x2 vi)

 

2 f x x  x 6 vii)

 

2 f x   x 6x8 viii)

 

2 f x   x 6x9 ix)

 

2 f x x 2x4

4) Seja f : IRIR tal que





2

f x 1 x  x 1 para todo x real. Pede-se: a) Calcular f 1 .

 

b) Expressar f x como um polinômio inteiro de potências decrescentes na variável real x.

 

5) Seja a função f x

 

axb, xIR , onde a e b são constantes reais. Pede-se determinar a e b não

nulos e tais que



 



 

2

f f x b f x b para todo x real.

6) Os produtos farmacêuticos devem especificar as dosagens recomendadas para adultos e crianças.

Duas fórmulas para modificações da dosagem de adulto para uso por crianças são: Regra de Cowling: y 1



t 1 a



24 Regra de Friend: y 2 ta

25

Onde a denota a dose de adulto (em miligramas) e t a idade da criança (em anos).

a) se a = 100, faça o gráfico das duas equações lineares no mesmo sistema de eixos para 0 t 12. b) para que idade as duas fórmulas especificam a mesma quantidade?

7) Considere a função f : IRIR, tal que

 

2

 

 

 

f x ax bxc, f 0 5; f 3 11 e f 5 15. Calcular as constantes a, b e c.

8) A resistência elétrica R (em ohms) para um fio de metal puro está relacionada com sua

temperatura T (em oC) pela fórmula RR 1 aT_o







, para constantes positivas a e R . _o a) Para que temperatura se tem RR_o?

b) Supondo que a resistência seja 0 (zero) se T 273 Co (zero absoluto), determine a.

c) Um fio de prata tem uma resistência de 1,25 ohms a 0o C. A que temperatura a resistência é igual a 2 ohms?

9) Sejam a e h reais e dadas as funções: i) f x

 

5x2 e ii) f x

 

 3 4x, determine para cada uma delas:

a) f a h







b) f a

   

f h c) f a h



  

f a

h

 

10) Considere a função f : IRIR, tal que

 

2

 

 

 

f x ax bxc, f 0 5; f 3 11 e f 5 15. Calcular as constantes a, b e c.

11) O gráfico de

 

2

f x x bxc, onde b e c são constantes, passa pelos pontos

   

0,0 e 1,2 . Calcule f 2

3

_ 

 

 .

12) Seja f x

 

2x3. Encontre f

(

f

( )

x

)

e faça o gráfico.

13) No gráfico ao lado representadas as funções (I) e (II), definidas por

y 3 x e ykxt, respectivamente. Os valores de k e t são, respectivamente,

14) Obter o valor das constantes m e n, dado que o gráfico da função

 

3 2

15) Um muro será usado como um dos lados de um galinheiro retangular. Para os outros lados será

usado um rolo de 25 metros de tela de arame. Determinar quais devem ser as dimensões do galinheiro para que sua área seja máxima.

16) A parábola de equação 2

y 2x bxc passa pelo ponto

 

1, 0 e seu vértice é o ponto

 

3,v . Qual o valor de v?

17) A parábola de equação 2

yax bxc contém a origem do sistema de coordenadas e é tangente à reta de equação y4 no ponto

 

2,4 . Obter a b c.

Respostas: 1) (i)3; (ii) 13 3  ; (iii) 2 4a 3 2a 1   ; (iv)





2 1 3z z 1 z   ; (v) 2 x 6x 6 x 2    2) 2a 2 h 4) a) 3; b)

 

2 f x x  x 1 5) a1 e b2 13) 1 2 e 0 14) m 2 e n2 15) 12,5 por 6,25 16) 8 17) 3 1.5 Função Recíproca

Dado um número real x não nulo, o recíproco (ou inverso multiplicativo ou, apenas inverso) de x é o real 1

x. Denominamos função recíproco à função

* * f : IR IR definida por f x

 

1 x  . Gráfico Propriedades: a)D f

 

IR ; * b)

 

 * Im f IR ;

c) f é função ímpar, pois

 

   

 1 1 f x x x,   * x IR ; d) f não é limitada. 1.6 Função Modular

Denominamos função modular à função f : IRIR, definida por f x

 

 x . Pela definição de módulo, f x

 

x se x 0

-x se x 0     _  Gráfico Propriedades: a)D f

 

IR ; b)Im f

 

IR ; _

c) f é função par, pois

 

    

 

 

Exercícios 1) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:

i) f x

 

 2x ii)

 

2 f x  x 2x iii)

 

 2  f x x 5x 6 iv) f x

 

1 2x  v)

 





2 1 f x x 2   vi)

 





3 1 f x x 4   vii) y 1 x 2   viii)

 

 2 1 f x x ix)

 

 1 f x x

2) Numa determinada comunidade economicamente ativa, o número de pessoas cuja renda anual

excede o valor x (em real) é igual a

12 2

10

x . Quantas pessoas nessa comunidade têm uma renda anual entre R$20.000,00 e R$50.000,00?

3) À medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, o peso do astronauta diminui até atingir

um estado de imponderabilidade. O peso de um astronauta de 60kg, a uma altitude de x quilômetros acima do mar, é dado por  _ _



 

2

6400 W 60

6400 x . A que altitude o peso do astronauta será inferior a 2kg? 4) Provar que se

 

   2x 1 f x x 2 , então f f x

 

 

x.

5) A reta e a parábola, representadas no plano cartesiano ao lado,

são gráficos de uma função do 1º grau f e de uma função do 2º grau g, respectivamente. Observe os gráficos e responda:

a) Para quais valores de x f x

 

 g x

 

? b) Qual é o domínio e a imagem de f e g?

Respostas:

2) 2100

3) x28.654,24368 km

1.7 Função Exponencial

Dado um número real a positivo, a0, denominamos função exponencial de base a à função f : IRIR definida por

 

x

f x a . Gráfico

Se a1 Se 0 a 1 Propriedades:

a) D f

 

IR ; b) Im f

 

IR ; *_

c) f não é função par, nem ímpar; d) f não é limitada. Exercícios 1) Se

 

x f x 2 , mostrar que f x



3

 

f x 1



15f x

 

2     .

2) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:

v)

 

 x 1

f x 2 vi)

 

 2x

f x 2 vii)

 

 x

f x 2 2 viii)

 

 x

f x 2 1

3) Na figura ao lado está representado o gráfico de

 

x

f x ka , sendo k e a constantes reais positivas, com a1. Calcule, baseando-se no gráfico, o valor de f 2 .

 

4) Após x anos um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 21% ao

ano dará um montante (capital + rendimento) M x

 

1000 1,21





x. Calcule:

a) O montante após meio ano; b) O rendimento em meio ano.

5) Suponha que daqui a t anos o valor de um certo carro seja dado por V t

 

V 0,90

 

t, onde V é o 0

valor atual do carro. Qual a porcentagem de desvalorização desse carro em um ano (relativamente ao valor inicial).

6) Numa cultura de bactérias existem inicialmente 1000 bactérias presentes e a quantidade após t

minutos é

 

0,7t

N t 1000.3 . Verifique que em 10 minutos a quantidade de bactérias presentes na cultura será superior a 2.000.000.

7) O radium é uma substância que se desintegra ao longo do tempo. Partindo de uma quantidade

inicial Q , suponha que a quantidade de radium existente após t anos seja dada por ₀

 

 

t

1000 0

Q t Q 1,5 .

a) Calcule a porcentagem da quantidade de radium existente após 1.000 anos, relativamente à quantidade inicial.

b) Que porcentagem da quantidade inicial se desintegra entre o 1000o e 2000o ano?

Respostas:

4) a) R$1.100,00; b) R$100,00 5) 10%

7) a) 66%; b) 22%

1.8 Função Logarítmica

Denominamos função logarítmica à função f : IR_* IR definida por f x

 

log xa .

Gráfico

Caso a1 Caso 0 a 1 Propriedades:

a)

 

 _*

D f IR ; b) Im f

 

IR;

c) f não é função par, nem ímpar; d) f não é limitada.

Exercícios: 1) Se f x

 

logx, mostrar que f 2x

     

f x f 2 .

2) Se f x

 

log_a 1 x  , mostrar que

 

3 f a  3 e _{f a}

 

1z 1 z   .

3) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções:

i) f x

 

log x₃ ii)

 

₁

3

f x log x iii) f x

 

ln x iv) f x

 

log₂



x 1 



a) x 3 27 2 8        b) 3 x 25  5 c) log 6x3



9



4 d) log 32x  5

5) Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade

0

Q , a quantidade existente após t anos seja dada por

 

0,05t 0

Q t Q .e . Dado ln20,693, calcule t de modo que se tenha _{Q t}

 

Q0

2

 . (Este valor de t é denominado meia-vida da substância).

6) Partindo de uma quantidade inicial de Q bactérias de uma dada espécie, após t horas a ₀

quantidade existente é

 

kt 0

Q t Q .e onde k é uma constante. Se a quantia inicial dobrar em hora, quanto tempo levará para se ter 1.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000 bactérias? Dado log20,3.

7) Sabendo que 2k 1

10  7, log70,845 e log50,699, calcule t para que se tenha kt 1

10  5.

8) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois dele ter

bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N t

 

2 0,5

 

t, onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível é constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo com segurança se o limite permitido de álcool no sangue é de 0,8 gramas por litro? Use log20,301.

9) Partindo de uma quantidade inicial de Q bactérias de uma dada espécie, após t horas a ₀

quantidade existente é

 

 kt 0

Q t Q .e onde k é uma constante. Se a quantia inicial triplicar em hora, quanto tempo levará para se ter 1.000.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000 bactérias? Dados: ln31,099 e 6

ln10 13,816.

10) O período T de um pêndulo simples de comprimento c é dado pela fórmula T 2 c / g, onde g é

a aceleração da gravidade. Achar T(em segundos), sabendo que c281,3cm e 2

g981,0cm/ s . Tomar 2 6,283.

11) Resolver a seguinte equação de hidráulica:

1,32 20,0 0,0613 14,7 x        .

12) Dada a fórmula T 2 c / g, achar c se T2,75,  3,142 e g32,16.

13) Dados A0,0807, G0,0056 e P1250 encontre D na fórmula

1.9 Função definida por várias sentenças

Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma ligada a um D diferente contido no domínio definido.

Gráficos (Exemplos) a)

 

1, se x 0 f x 2, se 0 x 1 1, se x 1        _  b) f x

 

₂x, se x 0 x , se x 0        Gráficos: 1 x y 1 2

x y

 

 D f IR e Im f

   

 1,2 D f

 

IR e Im f

 

IR _ Exercícios 1) Traçar o gráfico e dar o domínio e imagem:

i)

 

2 1 se x 1 f x x se 1 x 2 4 se x 2    _    _  ii)

 

2 2x+3 se x 0 f x x se 1 x 2 1 se x 2    _    _  iii) f x

 

x 1, se x 3 x 2, se x 3          iv)f x

 

₂2, se x 1 x 3x, se x 1         v)

 

            2 x x 2, se x 0 f x 1, se 0 x 2 x 2, se x 2 vi)

 





  _{  }       _{ }  _{ }      log 2x , se x 1 f x 1, se 1 x 1 x log , se x 1 3

2) De acordo com o World Wildlife Found, um grupo que lidera a luta contra o comércio ilegal de

marfim, o preço do marfim (em euros por quilo) compilado de várias fontes é aproximado pela função:

 

8,37x 7,44 se 0 x 8 f x 2,84x 51,68 se 8 x 30       _{  } 

Onde x é medido em anos, considera t0 corresponde ao início de 1970, t1 corresponde ao início de 1971 e assim por diante.

a) Esboce o gráfico da função f;

b) Qual era o preço do marfim no início de 1970? E no início de 1990?

3) O cálculo do imposto de renda devido por um contribuinte é feito da seguinte forma: depois de

algumas deduções sobre o total de rendimentos anuais, chega-se a um valor denominado base de cálculo. Sobre a base de cálculo aplica-se uma alíquota e, do resultado obtido, deduz-se uma parcela. A alíquota e a parcela dependem da base de cálculo conforme o quadro:

Base de cálculo Alíquotas Parcela a deduzir

Até $12.696,00 0 0

De $12.696,01 a $25.380,00 15% $1.904,40

Acima de $25.380,00 27,5% $5.075,90

Seja f x o valor do imposto devido quando a base de cálculo for x reais. Dê uma expressão para

 

 

f x e esboce seu gráfico.

Respostas:

3)   0, 0 x 12.696,00 f x 0,15x 12.696,00 x 25.380,00 0,275x 3.172,50 x 25.380,00     _    _{ }  1.10 Funções polinomiais

Dados os números reais a ,a ,a ,a ,...,a_{0 1 2 3 n 1},a_n, denominamos função polinomial à função f : IRIR definida por

 

n n 1 n 2

0 1 2 n 1 n

f x a x a x a x  ... a_xa . Os números a ,a ,a ,a ,...,a_{0 1 2 3 n 1},a_n são os coeficientes.

As funções constante, afim e quadrática são casos particulares da função polinomial.

2

.

Continuidade. Limites

2.1 Noção de Continuidade

Toda função cujo gráfico é uma linha geométrica contínua é chamada função contínua. São exemplos de função contínua:

a) uma função quadrática, como

 

2

f x x 2x3, cujo gráfico é uma parábola, portanto uma linha geométrica contínua;

b) a função módulo, f x

 

| x |, cujo gráfico é formado por duas semi-retas de origem em (0,0); c) a função seno, f x

 

senx, cujo gráfico é a senóide;

d) uma função exponencial, como

 

x

f x 2 , cujo gráfico é também uma curva contínua sem interrupções.

2.2 Introdução ao Conceito de Limite

Consideremos a função f x

 

2x 1 , definida em IR . Ao estudar o seu comportamento quando a variável x assume valores cada vez mais “próximos” de 1, isto é, quando x tende a 1, observam-se as duas situações:

1o) Atribuindo valores menores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1 pela esquerda, observa-se:

x 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 x1

 

f x 2x 1 2,2 2,4 2,6 2,8 2,9 2,98 2,998 2,9998 f x 3

Quando x tende a 1 pela esquerda a função, ou seja, o valor de y, tende a 3.

2o) Atribuindo valores maiores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1 pela direita, observa-se:

x 1,4 1,3 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001 x1

 

f x 2x 1 3,8 3,6 3,4 3,2 3,1 3,02 3,002 3,0002 f x 3

Quando x tende a 1 pela direita a função, ou seja, o valor de y, tende a 3.

Em ambos os casos nota-se que, quando x tende a 1, f(x) tende a 3. Podem-se obter valores de f(x) tão próximos de f(1) quanto se quer, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de 1. Diz-se, então, que o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a f(1).

Simbolicamente, escreve-se:

   

x 1 limf x f 1   . Assim,





x 1 lim 2x 1 2.1 1 3     

As duas figuras a seguir esquematizam o cálculo dos limites laterais.

Exercícios

1) Calcular as constantes a e b sabendo que





x 1

lim ax b 5

   e xlim ax3



b



7

a) x 2 1 lim senx   c) 2 3 t 0 4t 3t 2 lim t 2t 6      e)



2



x 2 limlog x 6   g) x 1 x 1 lim2   i) 3 3 10 2 x 1 27x 4x 4 lim x 4x 3x      k) x 3 5x 11 lim x 1    m)





xlim 3x 12  b) x 3 lim 2x 3   d) 2 x 1 x 8 lim x 3    f) x x 0 lim e  h) 2 x 2 9 lim 2x x x 2            j)



2



t 0 lim 4t 3t 2    l)



2



x 5 lim x 2x   n)





xlim2 3x 1  Respostas: 1) a1; b4 2) a) 1; b) 3; c) 1 3  ; d) 3 2; e) 1; f) 1; g) 1; h) 8 ; i) 3 2; j) 2; k) 13; l) 35; m) 7; n) 5 2.3 Limites Laterais Quando considera

 

x a lim f x

 , está-se interessado em valores de x no intervalo aberto contendo

a, mas não o próprio a, isto é, em valores de x próximos a a, maiores ou menores do que a. Mas, suponha que tem uma função f como por exemplo, f x

 

 x3. Como f x

 

não existe para x3, f não está definida em nenhum intervalo aberto contendo 3. Logo

x 3

lim x 3

  não tem significado.

Entretanto, se x estiver restrito a valores maiores do que 3, o valor de x3 poderá torna-se zero quanto deseja-se, tomando-se x suficientemente próximo de 3, mas maior do que 3. Em tal caso, deixa-se aproximar de 3 pela direita e considera-se o limite lateral direito.

Daí, segue que,

x 3

lim x 3 0



   .

Se, entretanto, a variável independente x estiver restrita a valores menores do que um número a, diz-se que x tende a a pela esquerda; neste caso o limite é chamado de limite lateral esquerdo. Por exemplo, seja a f x

 

 3x. Logo faz sentido calcular o

x 3

lim 3 x



  . Portanto,

xlim3 3 x 0.

2.4 Limites de funções algébricas

Vimos que para calcular este limite





x 1

lim 2x 1

  bastou substituir o valor de x por 1. A

expressão

x 1

lim

 “desaparece” porque x assume valores tão próximos a 1 (tanto pela direita como pela

esquerda) que podemos considerar “ser o próprio” 1. Assim,





x 1

lim 2x 1 2.1 1 3

     .

Este processo é válido para funções especiais chamadas de funções contínuas. Entretanto, a técnica utilizada não é aplicável a algumas funções algébricas, aquelas que são descontínuas em um determinado x. Considere a

 

2 x x 2 f x x 1   

 , note que o domínio desta função é D



xIR | x1



. Para

todo x1 é permitido simplificar o fator comum x 1 no numerador e denominador, pois

  

x 1 x



2



f x x 1     e

 



x 1



f x  



x 2



x 1 

 

x2 x 2 f x

x 1

  

 e f x

 

 x 2 são idênticas, diferem somente em x1, especificamente, o ponto

(1, 3) está no gráfico de f x

 

 x 2, mas não está no gráfico de

 

2 x x 2 f x x 1     .

Abaixo são consideradas três funções com gráficos idênticos, que diferem em x1. Embora as funções assumam valores diferentes para x1, em f x ,

 

f 1

 

3; em g x ,

 

g 1

 

  ; em h x ,

 

 

h 1 2, observa-se que

 

 

 

x 1 x 1 x 1

lim f x lim g x lim h x 3

      . Nem sempre o valor que a função f

assume para um determinado xa é o mesmo para

 

x a

lim f x

 .

Valor da função Gráfico Limite quando x1

 

f x  x 2

 

x 1 limf x 3  

 

x2 x 2 g x x 1     limg xx1

 

3

 

2 x x 2 , se x 1 h x x 1 2, se x 1      _{ }  _ 

 

x 1 limh x 3  

Manipulações algébricas podem e devem ser usadas para determinar certos limites. Exemplo: i)

 

2 2 2x 5x 2 f x 5x 7x 6      , encontre o xlim f x2

 

Solução:

Observe que o número 2 não pertence ao domínio da função. Se substituir o 2 na função tem-se,

 

 

 

 

 

2 2 2 2 5 2 2 0 f 2 0 5 2 7 2 6    

  que é uma indeterminação. Note que se fatorar o numerador e o denominador, obtém-se

  











x 2 2x 1 f x x 2 5x 3   

  . Não pode cancelar o fator x2 neste momento, pois

Todavia se tomar o limite de f x quando

 

x2, tal simplificação é permitida. Assim,

 

22

_



_





_





x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2x 1 2x 5x 2

lim f x lim lim lim

x 2 5x 3 5x 7x 6                









2x 1 x 2  













 

 

x 2 2x 1 2 2 1 3 lim 5x 3 5 2 3 13 5x 3          . ii) f x

 

x 9 x 3    , encontre o xlim f x9

 

Solução:

Note que o número 9 não está no domínio de f. Para achar o limite, racionalize o denominador:

 



_





_



x 9 x 9 x 9 x 9

x 9 x 3

x 9 x 9 x 3

lim f x lim lim . lim

x 9 x 3 x 3 x 3              _ _   _   _ .

Como está calculando o limite

 

x 9

lim f x

 , sabendo que x9 é diferente de x9, pode-se simplificar

















x 9 x 9 x 9 x 3 x 9 lim lim x 9       









x 3 x 9   limx9



x3

 

 93



6. Exercícios

Calcule os limites indicados das funções: a) ₂ x 2 x 2 lim x 4    b) 2 x 1 2x x 1 lim x 1     c) 2 x 0 x x 1 1 lim x     d) 2 x 2 x 6x 2x lim x 2     e) _{x 7} 2 2 x 3 lim x 49     f) x 0 x 4 3x 4 lim x 1 1       g) x 4 x 4 lim x 29 5     h) x 0 1 x 1 x lim x     i) x 4 3 5 x lim 1 5 x     

j)

2 2 x a x a lim x a    k) 3 3 2 x 2 x 8x 8 lim 3x 15x 6x 4       l) 3 2 2 x 2 x x 5x 2 lim 3x 5x 2       Respostas: a) 1 4; b) 3; c) 1 2; d) 2 3 2  ; e) 1 56  ; f) 1; g) 10; h) 1; i) 1 3  ; j) 4a a; k) 0; l) 11 7  2.5 Inexistência do Limite Considere a função f x

 

| x | x

 , cujo D f

  

 xIR / x0



e cujo gráfico é:

Observe que os valores de f x , quando x tende a zero, não tendem a um mesmo número L:

 

se x0, tem-se que f x

 

1 (ou seja,

 

x 0

lim f x 1



  );

se x0, tem-se que f x

 

 1 (ou seja,

 

Como os limites laterais são diferentes, diz-se, então que não existe

 

x 0

lim f x

 . Note que os

limites laterais existem.

Para a existência do limite em xa relação entre limites laterais e limites tem que ser válida:

 

x a lim f x L    se e somente se

 

 

xlim f xa xlim f xa L Outro exemplo: Considere o gráfico abaixo:

Os limites laterais são:



 





xlim f x1 xlim 31 x 2



 



2



xlim f x1 xlim x1  1 2

Como os limites laterais esquerdo e direito são iguais, decorre que

 

x 1

limf x 2

  .

Note que o valor da função f 1

 

4 é irrelevante para a determinação do limite.

Exercícios 1) Esboce o gráfico e ache o limite indicado:

i)

 

2, se x 1 f x 1, se x 1 3, se 1 x     _    

 

 

 

x 1 x 1 x 1

a) lim f x ; b) lim f x ; c) limf x_{ }

   ii) f x

 

2, se x 0 2, se 0 x      _ 

 

   

   

 

x 0 x 0 x 0

a lim f x ; b lim f x ; c lim f x_{ }

   iii)

 

2 2 x 4, se x 2 f x 4, se x 2 4 - x , se 2 x        _ 

 

   

   

 

x 2 x 2 x 2

a lim f x ; b lim f x ; c lim f x_{ }

   iv)

 

2 2x 3, se x 1 f x 4, se x 1 x 2, se 1 x        _{ } 

 

   

   

 

x 1 x x 1

a limf x ; b lim f x ; c limf x_{ }

  2) Dada f x

 

3x 2 se x 4 5x k se 4 x      _{ }

 . Ache o valor de k para o qual lim f xx4

 

existe.

3) Dada

 

2 x se x 2 f x ax b se 2 x 2 2x 6 se 2 x     _      _{ } 

. Ache os valores de a e b, tais que

 

xlim f x2 e lim f xx2

 

ambos

existam.

4) As taxas para despachar cargas por navio são freqüentemente baseadas em fórmulas que

oferecem um preço menor que por quilo quando o tamanho da carga é maior. Suponha que x quilos seja o peso de uma carga, C(x) seja o seu custo total e

 

0,80x se 0 x 50 C x 0,70x se 50 x 200 0,65x se 200 x     _    _ 

Ache cada um dos seguintes limites: b)

 

x 50 lim C x   ; c) x 50

 

lim C x   ; d) x 200

 

lim C x   ; e) x 200

 

lim C x  

5) Use o gráfico para determinar cada limite, quando

existe: a)

 

xlim f x2  b)

 

x 2 lim f x    c)

 

x 2 lim f x   d)

 

x lim f x   e)

 

xlim f x0  f)

 

x 0 lim f x   

6) Faça o gráfico da função f x

 

4, se x 0

x 2, se x 0

 

  _{ }

 e encontre o limite indicado: a)

 

x 0 lim f x    b) x 0

 

lim f x    c) lim f xx0

 

 7) Considere o gráfico de

 

2 3 x, se x 1 f x 3, se x 1 x 1, se x 1     _   _{ } 

. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa). Justifique a

sentença quando ela for falsa. a) ( )

 





x 1 x 1 lim f x lim 3 x 2        _________________________ b) ( )

 



2



x 1 x 1 lim f x lim x 1 2        ________________________ c) ( )

 

x 1 limf x 2   ___________________________________ d) ( ) f 3

 

1 ______________________________________ e) ( ) f 1

 

3 ______________________________________ f) ( )

 

 

xlim f x xlim f x   __________________________ g) ( ) A função é descontínua em x1 __________________ Respostas:

1) i) a) -3 b) 2 c) ; ii) a) 2 b) -2 c) ; iii) a) 0 b) 0 c) 0; iv) a) 3 b) 5 c)  2) k 6 3) a 3; b 1 2    4) b) 40; c) 35; d) 140; e) 130 2.6 Definição de Continuidade

Diz-se que f x é contínua em x

 

a quando

   

x a

lim f x f a

  .

A função f x é chamada de função contínua quando é contínua em todos os pontos nos

 

quais está definida. Em resumo, terá que satisfazer as três condições a seguir:

Exemplos:

a) Descontinuidade no ponto x2 b) Continuidade no ponto x3

c) Descontinuidade no ponto x1 d) Descontínua no intervalo de 1 a 4  _1, 4_

Exemplo:

Verificar se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados: a)   2

f x 2x x, no ponto x2 Solução:

Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam satisfeitas:

i) f a , isto é, f x  é definida para xa ii)

 

x a lim f x   iii)     x a f a lim f x   .

Verificaremos cada uma delas no ponto x2.

- Condição (i): f 2 2 2 2 2 10. Logo, f 2 , isto é, f x  é definida para x2. - Condição (ii):



2



x 2

lim 2x x 10

   . Portanto, xlim f x2

 

e é igual a 10.

- Condição (iii):  



2



x 2

f 2 lim 2x x



  , então a função é contínua no ponto x2, pois as três condições foram satisfeitas. b)   2 x 2x 1 f x , x 1 x 1      Solução:

Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam satisfeitas:

i) f a , isto é, f x  é definida para xa ii)

 

x a lim f x   iii)     x a f a lim f x   .

Verificaremos cada uma delas no ponto x1. - Condição (i):     2 1 2.1 1 f 1 f 1 1 1     

 . A função não é definida em x1. Não satisfazendo a

c)

 

2 x x 2 , se x 1 h x _{x 1} 2, se x 1    _     _  , x1 Solução:

Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam satisfeitas:

i) f a , isto é, f x  é definida para xa ii)

 

x a lim f x   iii)     x a f a lim f x   .

Verificaremos cada uma delas no ponto x1.

- Condição (i): f 1 2. Logo, f 1 , isto é, f x  é definida para x1.

- Condição (ii):











2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x x 2

lim lim lim

x 1 x 1            



x 2



x 1   lim xx1



2



  1 2 3. Portanto,

 

x 1 lim f x   e é igual a 3. - Condição (iii):   2 x 1 x x 2 f 1 lim x 1      , pois f 1 2 e 2 x 1 x x 2 lim 3 x 1    

 , então a função é descontínua

no ponto x1, pois uma das três condições não foi satisfeita.

Exercícios

1) Faça a análise matemática das funções abaixo, se são contínuas ou descontínuas nos pontos

dados: i)

 

2 x 4 f x para x 2 e x 3 x 2      ii)

 

1 x f x para x 1 e x 1 1 x       iii) f x

 

₂5x para x 2; x 3 e x 3 x 9       iv)   2 x 2x 1 f x , para x 2 e x 1 x 1      

2) Verifique quais das funções cujos gráficos estão representados são contínuas em x1. Justifique.

2.7 Limites que Envolvem Infinito

Observe os valores da função f x

 

1 x

 , quando x tende a zero.

x0 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001

 

f x 2 10 100 1.000 10.000 x0 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001

 

f x 2 10 100 1.000 10.000

Quanto mais próximo de zero é o valor de x, maior é o valor de f x .

 

Generalizando, quando x tende a um número a e os valores de f x ficam maiores que

 

qualquer número positivo considerado, diz-se então que f x cresce ilimitadamente ou que existe o

 

limite infinito:

 

x a

lim f x

  .

Semelhantemente, se quando x tende a a os valores de f x ficam menores que qualquer

 

número negativo considerado, diz-se então que f x decresce ilimitadamente ou que existe o limite

 

infinito:

 

x a

lim f x

  . Por exemplo, ao considerar

 

1 f x x   , tem-se:

 

x 0 x 0 1 lim f x lim x     . Observe o gráfico:

Note que para a função f x

 

1 x

 , quando x tende a zero pela direita f x cresce

 

ilimitadamente, e quando x tende a zero pela esquerda f x decresce ilimitadamente:

 

x 0 1 lim x     x 0 1 lim x    

Neste caso, diz-se que 

x 0 1 lim x 

.

Exercícios 1) Encontre os limites: a) ₂ x 0 1 lim x   b) _{x 2}





3 3 lim x 2   _ c) x 0 2 lim x  d) _{x 0} 2 3 lim x  e) _{x 0} 3 1 lim x  2.8 Limites no Infinito

Há funções que, quando x  ou x , crescem ou decrescem ilimitadamente. Em resumo, podemos ter:

 

xlim f x  ; xlim f x

 

 ; xlim f x

 

 ; xlim f x

 

 .

Exemplos:

 

2

f x x cresce ilimitadamente quando x  e também quando x .

 

3

2 xlim x   e 2 xlim x  . 3 xlim x   e 3 xlim x  .

 

2 f x  4 x



2



xlim 4 x   e





2 xlim 4 x  .

 

x f x 1 2   x x lim 1 2   _ _{ }     e x x lim 1 2   _ _{ }     .

Há funções que, quando x  ou x , apresentam tendência para um número real determinado. É o caso, por exemplo, da função f x

 

1 1

x

  . Nesta função observa-se que quanto maior for o valor de x, 1

x tende a zero e, então, f x tende a 1. Portanto,

 

x

1 lim 1 1 x   _ _     .

Note também que

x 1 lim 1 1 x   _ _     .

Deve-se ter conhecimento que há funções que, quando x  ou x , não apresentam tendência para nenhum número especificamente. É o caso, por exemplo, das periódicas f x

 

senx, f x

 

cos xe f x

 

tgx

Exercícios Calcule os limites: i)



3 2



xlim 2x 5x 2x 1 ii)



2



xlim 2x 5x 1 iii)





xlim 4x 1 iv) x 8x 1 lim 4x 5    v) ₂ x 3x 2 lim x 5x 6     vi) 2 x 2x 7 lim 6x 1     vii) 2 x 2x 7 lim 6x 1     viii) 3 2 xlim 2x x  x 1 ix) 2 2 x x 3x lim x 1    x) 2 n 6n 1 lim 2n 3      _    xi)





nlim n 1  n

3. Derivadas

3.1 Retas

Coeficiente angular m Forma Ponto-Coeficiente angular

Forma Coeficiente angular-Intercepto 2 1 2 1 y y m x x    1



1



yy m xx ymxb Retas especiais:

Vertical: m não definido Horizontal: m0

Paralelas: m₁ m₂ Perpendiculares: m m_{1 2}  1

3.2 Introdução à Derivada

O conceito de derivada é fundamental no cálculo diferencial e integral. Além de inúmeras aplicações práticas, tais como: determinação de máximos e mínimos e pontos de inflexão de uma função. As derivadas também tornam o estudo da física simples e lógico.

3.3 Acréscimos

Definição: Seja x uma variável independente qualquer e x e x dois valores particulares 1 2

desta variável. Chama-se acréscimo de x , a diferença ₁ x₂x₁ que representaremos por x .

3.4 Acréscimo de uma função

Nota-se que y é o acréscimo da função e x é o acréscimo da variável. Exemplo: Calcular o acréscimo sofrido por cada uma das funções seguintes: a) f x

 

axb Solução:



  









y f x x f x y a x x b ax b y ax a x b ax b y a x                       b) f x

 

3x2 Solução:



  









y f x x f x y 3 x x 2 3x 2 y 3x 3 x 2 3x 2 y 3 x                      

Note que o acréscimo sofrido pela função é proporcional ao acréscimo da variável.

c)

 

2 f x x Solução:



  





 





2 ₂ 2 2 2 y f x x f x y x x x y x 2x x x x y x 2x x                       3.5 Razão Incremental

É a razão entre o acréscimo sofrido pela função, y, e pelo acréscimo dado à variável, x . y

x



 : razão incremental. Como:



  

_{ }

f x x f x y 1 x x     _  

A relação (1) que é a razão incremental representa um valor numérico que nos indica a velocidade de variação de uma função num ponto.

Exemplo: Calcular a razão incremental das seguintes funções: i) y  x, x IR Solução:



   



f x x f x x x x y x 1 x x x x        _{  }  _    

Interpretação: a velocidade da função é a mesma da variável em qualquer ponto.

ii) 2 yx , para x3 e x 1 Solução:



   



2 _{2 2}

 

2 ₂

 

2





f x x f x x x x x 2x x x x 2x x x x 2x x y 2x x x x x x x x                                

Assim para x3 e x 1, temos: y 2 3

 

1 7 x



  



3.6 Derivada ou função derivada (definição)

Chama-se derivada ou função derivada da função yf x

 

em relação a x o limite da razão incremental quando  x 0. Em símbolos:



  

x 0 x 0 f x x f x dy y lim lim dx   x   x        

Podemos encontrar na literatura: dy, y , f x ,

   

df x , d y, D f x_{x x}

 

dx   dx , entre outras.

Exemplo: Achar a função derivada das seguintes funções: i) 2 yx Solução:



  





2 _{2 2}

 

2 ₂

_

_

x 0 x 0 x 0 x 0 f x x f x x x x x 2x x x x dy

lim lim lim lim 2x x 2x

dx   x   x   x                        . Logo,

 

2

 

f x x f x 2x ii)

 

2 f x x 5x6 Solução:





2







2



2

 

2 2 x 0 x 0 x x 5 x x 6 x 5x 6 x 2x x x 5x 5 x 6 x 5x 6 dy lim lim dx   x   x                        

 





2 x 0 x 0 2x x x 5 x lim lim 2x x 5 2x 5 x                  . Logo,

 

 

2 f x x 5x 6 f x 2x5 Exercícios

Determinar a derivada das funções usando a definição. a)

 

2 f x 3x . Resposta dy 6x dx  b)

 

2 f x x 2x. Resposta dy 2x 2 dx   c)

 

2 f x x x. Resposta dy 2x 1 dx   d)

 

2 f x x 5x6. Resposta dy 2x 5 dx   e) f x

 

2 x 3 x    . Resposta





2 dy 5 dx  3x f) f x

 

2. Resposta dy 0 dx  g) f x

 

 x 1. Resposta dy 1 dx  h) f x

 

2x2. Resposta dy 2 dx  i) f x

 

 2x2. Resposta dy 2 dx  

3.7 Derivada de uma função num ponto (definição)

Definição: Seja f x uma função contínua no ponto

 

xxo. Chama-se derivada da função no

ponto xxo o valor numérico (finito) da função derivada para xxo.

Notações:

   

o o x xo dy f x , y x , dx   

Exemplo: Calcular a derivada de

 

2

f x x no ponto x2

Solução:

Para calcular a derivada de uma função f x no ponto

 

xxo faz:

Exemplo: Sendo 2 yx 5x6, calcular y 2

 

. Solução:

 











2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5x 6

y 2 lim lim lim x 3 1

x 2 x 2                

Observação: 1) Se o limite da razão incremental existir penas para xx_o



 x 0



, pela direita ou pela esquerda, diremos que a derivada é lateral. 2) Se f x

 

f

 

x diremos que a função f x é

 

derivável no ponto xxo. Notação:

   

o

 

o x xo _o f x f x lim f x x x        (à esquerda) e

   

o

_{ }

o x xo _o f x f x lim f x x x        (à direita) Exemplo: Calcular a derivada de f x

 

 x no ponto xo 0.

Solução:

 

   

o

o _{x 0 x 0 x 0}

f x f x x 0 x

f x lim lim lim

x 0 x 0 x

  

 

   

  . Como chegamos em um limite sem resolução, temos que, neste caso, estudar as derivadas laterais. Assim,

x 0 x lim 1 x    e x 0 x lim 1 x    

.

Logo,

 

f x  x não é derivável no ponto xo 0.

Exercícios

Achar a derivada da função no ponto indicado: i) 2 yx , para x2. Resposta y 2

 

4 ii)

 

2 f x x 5x6, para x2. Resposta f 2

 

 1 iii)

 

2 f x 3x , para x 1. Resposta dy 6 dx   iv)

 

2 f x x 2x, x0. Resposta dy 2 dx   v)

 

2 f x x x, no ponto x 3 . Resposta f 3

 

7 vi)

 

2 f x x 5x6, no ponto x1. Resposta f 1

 

 3 vii) f x

 

2 x, no ponto x 1 3 x     . Resposta

 

5 f 1 4  

3.8 Interpretação geométrica da Derivada

Seja f x uma função cujo gráfico

 

representaremos ao lado:

Considere o ponto P x,y

 

fixo. Dando a x um acréscimo x obtemos para y um acréscimo

y

 e conseqüentemente um o ponto Q qualquer na curva. Traçando uma secante s em

______

PQformará então um triângulo retângulo nos

pontos PQR de onde tiramos:

______ ______ QR y tg x PR      .

Imaginemos que: x 0

  , logo QP. Deste modo a secante s no ponto PQà tangente geométrica no ponto P. Nota-se que   . E também st.

Em símbolos representaremos assim:

x 0 y lim lim tg tg x     _{   }  Donde: x xo dy tg dx   .

Conclusão: a derivada de uma função f x num

 

ponto xxo representa a tangente trigonométrica do

ângulo que a tangente geométrica à curva no ponto P forma com o eixo positivo Ox. Observe o desenho a seguir:

Cada ponto da curva gera uma reta tangente. Recordamos: yaxb é a equação geral da reta. A vogal a na equação representa o coeficiente angular, ou seja, tg. O ângulo formado pela reta tangente e o eixo x é .

3.9 Fórmulas para o Cálculo das Derivadas

Veremos agora as propriedades das derivadas, que podem ser comprovadas usando a definição de derivada.

Função Representação Derivada

Potência (expoente real)



* *



IR e x IR    yx 1 y  x Constante yc y 0 Afim yaxb y a Soma algébrica yu x

   

v x yu x

 

v x

 

Produto yu x .v x

   

yu x v x

   

v x u x

   

Quociente

 

 

u x y v x 

   

   

 

2 u x v x v x u x y v x          Exponencial



a0 e a1



u ya u yu a lna Logarítmica



a0, a1 e x0



ylog ua a u y log e u   

Seno ysenx y cos x

Co-seno ycos x y  senx

Tangente ytgx 2

y sec x

Cotangente ycot gx 2

y  cossec x

Secante ysec x y sec x.tgx

Co-secante ycossec x y  cossec x.cot gx

Composta yf g x



 



 





 

   

y f g x .g x ou dy dy du f u g x dx du dx       

Exemplos: Achar a derivada das funções i) f x

 

 2 f x

 

0

ii)

 

2

 

iv) f x

 

2x 3 f x

 

2 v) f x

 

 5x 2 f x

 

 5 vi)

 

6

 

5 f x 5x f x 30x vii) f x

 

 x f x

 

1 viii)

 

 

2 2 1 1 3 2 3 2 3 f x x f x x x 3 3        ix)

 

2

 

f x  2 senxx f x cos x2x x)

 

2

 

2

f x x .senxf x 2x.senxx cos x

xi)

 

 













2 2 2 2 2 2x x 1 1.x x x 2x f x f x x 1 _{x 1 x 1}            xii)

 

x

 

x f x 2 f x 2 ln2 xiii)

 

x

 

x x f x e f x e lnee xiv) f x

 

ln x f x

 

1lne 1 x x      xv) f x

 

log x₂ f x

 

1log e₂ x     xvi)

 

2

f x senx . Primeiro façamos: 2 dy du 2 2

x u y senu y . cosu.2x cos x .2x 2x.cos x du dx



       

xvii)

 

3

f x sen x. Primeiro façamos: 3 dy du 2 2

senx u y u y . 3u cos x 3sen x cos x du dx



      

Exercícios

1) Achar a derivada da função no ponto indicado (calcule a derivada e depois substitua o valor de x

na derivada): i) y senxpara x 4    . Resposta y 2 4 2    _{ }   ii) 2 yx , para x2. Resposta y 2

 

4 iii) f x

 

cos x, para x

3    . Resposta f 3 3 2    _{ }    iv)

 

2 f x x 5x6, para x2. Resposta f 2

 

 1

2) Calcule a derivada das seguintes funções:

i) f x

 

senx cos x  . Resposta

 

2 f x sec x ii) f x

 

x 2 x   Resposta f x

 

2₂ x    iii)

 

2 f x 3x .cos x Resposta

 

2 f x 6x.cos x3x .senx iv)

 

3 2 f x 7x 2x  x 1. Resposta

 

2 f x 21x 4x 1 v)

 

1 4 2 3 1 2 1 f x x x x 2 3 2 4      . Resposta

 

3 2 f x  2x 2x x vi) f x

 

2x3cos x

. Resposta

f x

 

 2 3senx

vii)

 

2 f t  t t. Resposta f t

 

2t 1 2 t    viii) _{f s}

 

3_s _{s. Resposta}

 

2 3 1 1 f s 2 s 3 s   