Projeto de Pesquisa Semânticas Formais e Rela¸cões de Consequência Dirigidas

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Projeto de Pesquisa

Semˆ anticas Formais e Rela¸c˜ oes de Consequˆencia Dirigidas

Proponente: Walter A. Carnielli

(Departamento de Filosofia, IFCH-UNICAMP) 28 de junho de 2005

1 Motiva¸ c˜ oes e inser¸ c˜ ao do projeto

A no¸cão de inferência lógica tem importãncia fundamental em muitas áreas do conhecimento, não somente em todas as formas de argumenta¸cão – desde as informais até às puramente formais, em filosofia, fundamentos da matemática, fundamentos das ciências da inteligência – mas também em diversos aspectos das teorias com vertente mais tecnológica, como diversas áreas da computa¸cão (tais como programa¸cão lógica, engenharia de software, teorias da abdu¸cão, demonstra¸cão automática de teoremas, etc.) Mais interessante ainda é o fato de que em geral participam dessas teorias vários paradigmas de inferência, adequadamente combinados, e não apenas um, provavelmente em razão da ontologia variada da qual se pretende expressar.

Esse tipo de questão exige o estabelecimento de novas técnicas e de novas estratégias, onde temos que aprender, por um lado, a combinar sistemas lógicos complexos a partir de suas partes, e de outro lado a decompor um sistema complexo em partes menores, com simplicidade manuseável e dotados de estruturas elementares.

Intimamente ligado a esta grande questão de investiga¸cão acerca das rela¸cões de consequência aparecem vários problemas e desafios:

• estudar os problemas de linguagem e expressividade das rela¸cões de con- sequência dentro de padrões espec´ıficos, tais como aspectos qualitativos versus quantitativos;

• investigar as formas gerais de semânticas formais (isto é, semânticas formuladas com precisão matemática e para as quais se possa dispor de métodos ou técnicas de caráter formal, em particular algébrico ou categorial).

• investigar os métodos e técnicas de combina¸cão (s´ıntese) de sistemas lógicos ou de rela¸cões de consequência;

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• investigar os métodos e técnicas de decomposi¸cão (análise) de sistemas lógicos ou de rela¸cões de consequência;

Esta categoria de questões ligadas às rela¸cões de consequência tem moti- vado ativos grupos de pesquisa nos últimoa anos a investigar intensamente tais tópicos, debru¸cando-se como requisito básico na questão do que seja um sistema lógico, esclarecendo a defini¸cão do espa¸co lógico, suas propriedades de composi- cionalidade e as transforma¸cões que o tornam invariante ou que conseguem operar com tal espa¸co.

A no¸cão de tradu¸cão é a transforma¸cão básica que preserva a essência da no¸cão de inferência. Dentre as várias aplica¸cões desse conceito acham-se as semânticas de tradu¸cões poss´ıveis e as semânticas de sociedade, que se constituem em ferramentas fundamentais para a decomposi¸cão de sistemas lógicos.

O presente projeto de pesquisa pretende dar continuidade a trabalhos anteri- ores, que na minha opinião têm sido desenvolvidos com inequ´ıvoco sucesso como atestam a boa quantidade de publica¸cões de alto n´ıvel que tenho conseguido produzir, o ´ındice de participa¸cão em conferências e seminários, e o interesse de colegas da comunidade cient´ıfica nacional e internacional que buscam parce- ria. A presente proposta refere-se ao projeto imediatamente anterior intitulado

“Semânticas formais e combina¸cões entre lógicas II”, e dá a ele continuidade, dentro de um recorte espec´ıfico ao qual pretendo esclarecer a seguir.

Antes de pretender tal esclarecimento, é conveniente separar as questões a respeito das quais este projetonãopretende abordar prioritariamente, mas apenas lateralmente: algumas delas fazem parte do Projeto Temático de Pesquisa recentente aprovado pela FAPESP sob minha coordena¸cão, intitulado “Con- seqüência Lógica e Combina¸cões de Lógicas - Fundamentos e Aplica¸cões Efi- cientes”(Projeto FAPESP 2004/14107-2).

Entre os problemas que têm rela¸cão muito próxima, mas que tratarei aqui apenas indiretamente, estão aqueles ligados aos métodos e técnicas de combina¸cão (s´ıntese) de rela¸cões de consequência, as questões de eficiência e aprox- ima¸cão de lógicas e às interpreta¸cões das rela¸cões de consequência nos operadores de revisão de cren¸cas.

Pretendo, ao contrário, dentro das questões levantadas acima, fixar-me naque- las com mais proximidade com a prática das questões conceituais ou filosóficas ou que possam apresentar maior relevância do ponto de vista dos fundamentos.

Detalhes s˜ao especificados na se¸c˜ao seguinte.

2 Objetivos do Projeto

Antes de mais nada é conveniente repetir, para clareza, os ingredientes básicos que compõem o universo de trabalho deste projeto.

Umarela¸cão de consequência`é uma rela¸cão matemática sobre um conjunto F or, isto é, uma rela¸cão `⊆ (℘(F or)×F or)) entre subconjuntos de F or (ou seja, entre objetos em℘(F or)) e elementos emF or).

Usualmente interpretam-se os subconjuntos de F or como teorias e os elementos deF orcomofórmulas. Uma rela¸cão de consequência pode ser definida

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por axiomas espec´ıficos (pode ser sintática), ou pode ser dada pela interpreta¸cão semântica de uma certa lógica (isto é, pode ser definida semanticamente).

Há certos pressupostos básicos que toda rela¸cão de consequência ` deve cumprir para que possa veicular uma no¸cão de inferência:

1. SeA∈Γ ent˜ao Γ`A (reflexividade)

2. Se ΓÀe Γ⊆∆ então ∆À (monotonicidade) 3. Se ΓÀe ∆, A`B então Γ,∆`B (transitividade) 4. Se ΓÀentão ∆Àpara algum conjunto finito ∆⊆Γ (finitariedade) 5. Se ΓÀentãoσ(Γ)b `bσ(A) para toda substitui¸cãoσ (estruturalidade) Os condicionais acima são casos particulares de condi¸cões geralmente aceitas, se bem que não universalmente aceitas: podem-se considerar em rela¸cões de consequência não-monotônicas, ou não-compactas, por exemplo, derrogando ou alterando algumas das condi¸cões acima.

Especialmente no caso de rela¸cões de consequência definidas semanticamente, é interessante poder introduzir condi¸cões adicionais ou restri¸cões nas classes de modelos, definindo o que podemos chamar de rela¸cões de consequência dirigidas.

Um sistema dedutivo ou um sistema lógicoSé definido como uma estrutura S=hF or,ì,

Ligados às rela¸cões de consequência, mas não exatamente a elas coincidentes, temos osoperadores de consequência: um operador de consequência sobre um universo U (que pode ser um simples conjunto, ou um conjunto de fórmulas)

´e uma transforma¸c˜ao C : P(E)→ P(E) tal que, para todo A, B ⊆ U, vale o seguinte:

(i) A⊆C(A);

(ii) A⊆B⇒C(A)⊆C(B);

(iii) C(C(A))⊆C(A).

Algumas propriedades elementares da no¸cão de inferência lógica já seguem da´ı imediatamente; por exemplo segue-se de (i) e (iii) queCé idempotente, isto

´e,C(C(A)) =C(A).

Outras propriedades se obtêm a partir do estabelecimento de propriedades ou padrões que se impõem ao operadorC.

Podemos, igualmente, definir umalógica ou umsistema dedutivo como um parL = (L, C), onde L é um conjunto não-vazio e C é um operador de con- sequência sobre L.

Investigndo as semânticas formais que caracterizam tais sistemas dedutivos, obtém-se um grande panorama unificador que é capaz de congregar uma vasta

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area de pesquisa.

As semânticas formais às quais pretendo me restringir na presente proposta de investiga¸cão são as seguintes:

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• As semˆanticas de tradu¸c˜oes poss´ıveis, propostas em [Car90]e [Car00];

• As semˆanticas moduladas, introduzidas em [CG99] com base em [SCV99];

• As semˆanticas di´adicas, introduzidas e estudadas em [CCCM05];

• As bem-conhecidas semânticas relacionais ou semânticas de mundos poss´ıveis, também chamadas de semânticas de Kripke.

A riqueza expressiva dos paradigmas aparentemente simples de rela¸cões ou operadores de consequência é enorme: por exemplo, a similaridade entre as no¸cões de sistema dedutivo e espa¸co topológico leva a intrigantes questões, desde aquelas mais técnicas até ás de interesse da própria teoria da argumenta¸cão, o que leva a interpreta¸cões dos conectivos lógicos em termos de continuidade;

por outro lado, asser¸cões e argumentos envolvendo no¸cões inexatas ou vagas que são frequentes em argumentos filosóficos ou em certos contextos lingu´ısticos e até mesmo computacionais, tais como “muitos”, “diversos”, “geralmente ”,

“quase sempre”, “quase em todo lugar”, etc., podem ent˜ao ser expressos por quantificadores generalizados como ‘geralmente’, ‘raramente’, ‘muitos’, etc., cf.

[SCV99] e [VC04].

A interpreta¸cão semântica desses novos quantificadores é dada por meio de filtros, ultrafiltros, ideais, espa¸cos topológicos, etc., definindo então classes espec´ıficas de rela¸cões de consequência dirigidas.

A varia¸cão poss´ıvel nesse tipo de enfoque que chamamos dequantificadores modulados, e às correspondentes rela¸cões de consequência dirigidas de lógicas moduladasem [CG99] e [VC04], é incrivelmente abrangente: um par de filtros, ultrafitros e topologias, diversas outras estruturas matemática podem agora atuar como interpretadores de quantificadores modulados, com consequências ainda longe de terem sido completamente compreendidas e exploradas.

No que segue, detalharei as partes do projeto e suas interrela¸c˜oes:

• Parte 1: Semânticas Formais e Decomposi¸cão de Sistemas Lógicos

• Parte 2: Rela¸cões de Consequência Dirigidas e Aplica¸cões

• Parte 3: Máquinas de Turing Paraconsistentes e Computa¸cão Quântica

• Parte 4: Procedimentos de Cálculo com Anéis de Polinômios

3 Descri¸ c˜ ao e Interrela¸ c˜ ao das Partes do Projeto

3.1 Parte 1: Semˆ anticas Formais e Decomposi¸ c˜ ao de Sis- temas L´ ogicos

A idéia de combinar sistemas lógicos, estruturas e teorias tem atra´ıdo bastante aten¸cão não somente dentro da própria lógica, como também como um paradigma unificador de áreas bastante diversas como métodos formais em

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filosofia, programa¸cão lógica, prova automática de teoremas, lingu´ıstica computacional, etc.

Embora a investiga¸cão como um todo ainda seja incipiente e insuficiente para compor uma nova área, a verdade é que uma grande variedade de temas ligados à combina¸cão de lógicas tem emergido, a ponto de diversos congressos e seminários terem sido devotados ao tema, e uma revista como o Notre Dame Journal of Formal Logic, 161-166 ter dedicado a esse tópico um volume inteiro(vol. 37, no.

2, 1996).

Do ponto de vista das ciências da computa¸cão, um campo natural da aplica¸cão cient´ıfica e tecnológica das pesquisas em Lógica, a demanda por diversos tipos de sistemas lógicos integrados num só sistema é bastante alta: exemplos são o uso de sistemas multilógicos na engenharia desoftware, na questão da seguran¸ca de dados e na representa¸cão do conhecimento.

Esta parte do Plano se dedica a investigar as formas gerais de semânticas formais (isto é, semânticas formuladas com precisão matemática e para as quais se possa dispor de métodos ou técnicas de caráter formal, em particular algébrico ou categorial). Pretende também investigar os métodos e técnicas de descom- bina¸cão (decomposi¸cão anal´ıtica) de sistemas lógicos ou de rela¸cões de con- sequência.

A proposta, nesta parte do projeto de pesquisa, é continuar o estudo do grande tópico de combina¸cão de lógicas a partir das perspectivas descritas a seguir.

• Decomposi¸cão de uma dada lógica em lógicas-fatores, menos complexos, na dire¸cão da análise, o que já chamamos de “splitting logics” em [CC99].

A metodologia particular na qual estarei interessado serão assemânticas de tradu¸cões poss´ıveis, e em menor grau nassemânticas de sociedade, tópicos que introduzi em [Car90] e [CL99];

Dados sistemas lógicos L=hF or,`_Li eL⁰ =hF or⁰,`_L⁰i, uma tradu¸cão de L em L⁰ é uma transforma¸cão t entre suas fórmulas que preserva a no¸cão de inferência lógica, isto é, tal que seAé demonstrável emLa partir de premissas Γ (isto é, Γ`LA) então a tradu¸cãot(A) =A⁰deLemL⁰deve ser demonstrável emL⁰ a partir de premissas Γ⁰={t(B) :B∈Γ}.

Em outras palavras, se Γ`LAent˜ao Γ⁰`L⁰A⁰).

A tradu¸cão é dita serconservativaquando o condicional “se ... então” acima

´e enrijecido para “se e somente se”.

Dada uma lógica L = hF or_L,`_Li com uma sintaxe conhecida e bem determinada, e para a qual pretendemos dar uma interpreta¸cão semântica, con- sidere uma cole¸cão T de tradu¸cões cujo dom´ınio comum são as fórmulas de L. Cada fun¸cão t ∈ T terá como imagem as fórmulas em uma lógica St (a qual, estamos supondo, tem alguma semântica aceitável). Uma estrutura de tradu¸cões poss´ıveis paraLé um parPT=h{St}_t∈T, Ti, ondeT é uma cole¸cão de tradu¸cões adequada e{St}_t∈T é uma cole¸cão de sistemas lógicos. Uma interpreta¸cão por tradu¸cões poss´ıveis para uma fórmula A em L será dada pela cole¸cão de todas as tradu¸cõest(A), cadat(A) emSt.

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Se todas as lógicas em {St}_t∈T são caracterizadas (isto é, são corretas e completas) com respeito às suas semânticas, temos então uma semântica de tradu¸cões poss´ıveis. Nesse caso, dado um conjunto de fórmulas Γ∪AemF or(L) e uma tradu¸cão particulartemT, definimos uma rela¸cão de consequência local paraL, denotada por|=^t_PT, como:

Γ|=^t_PTA iff t(Γ)|=_S_t t(A),onde|=_S_té sa rela¸cão de consequência emSt. Arela¸cão de consequência global paraL, denotada por|=PT, é definida como:

Γ|=PTA sse Γ|=^t_PTA, para todatemT.

Dizemos que a lógica L é correta e completa com respeito à estrutura de tradu¸cões poss´ıveisPTquando, para todo Γ∪A emF orL:

Γ`LA sse Γ|=_PTA.

As semânticas de tradu¸cões poss´ıveis, além de oferecer uma nova e rica interpreta¸cão para as lógicas que assim podem ser caracterizadas, definem ao mesmo tempo uma maneira canônica dedescombinar oudecompor uma lógica em termos de outras. Por exemplo, foi mostrado em [Car00] (ver também a disserta¸cão por mim orientada [Mar99]) que, apesar de que as lógicas paracon- sistentesCn de da Costa não poderem ser caracterizadas por matrizes finitas,

é poss´ıvel caracterizar (e, portanto, decompor) cada lógica Cn com respeito a lógicas trivalentes.

Dando continuidade ao estudo deste novo tipo de ferramenta semˆantica, pretendo continuar a investigar suas propriedades e potencialidades.

• Decomposi¸cão de lógicas modais de forma a explicitar o papel da nega¸cão, com aplica¸cões a certas questões filosóficas como a solu¸cão de um certo paradoxo epistêmico.

O chamado “paradoxo da cognoscibilidade”foi proposto por Frederic Fitch, ligado à tese verificacionista segundo a qual “toda proposi¸cão verdadeira pode ser conhecida”. Através de manipula¸cões que tiram vantagem de certos de- feitos da lógica clássica, é poss´ıvel inferir em lógicas modais usuais que “toda proposi¸cão verdadeira é conhecida”, colapsando os conceitos de conhecimento e verdade.

A partir da decomposi¸cão das lógicas modais em componentes que permitem controlar a nega¸cão, é poss´ıvel, em princ´ıpio, reconstruir argumentos modais que preservam a tese verificacionista e no entanto evitam o colapso do conceito de conhecimento.

Dentro desta questão, surge a possibilidade de se investigar modelos canônicos e semânticas diádicas especiais que possibilitem caracterizar tais lógicas.

Em muito menor grau, e quase de forma lateral, participarei de trabalhos na dire¸cão da composi¸cão de sistemas lógicos (o que já chamamos de “splicing logics”), que envolvem fibrila¸cão (“fibring”’, cf. [Gab96], resultados de preserva¸cão e interpola¸cão.

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3.2 Parte 2: Rela¸ c˜ oes de Consequˆ encia Dirigidas e Aplica¸ c˜ oes

Esta parte do Plano de Trabalho se relaciona com problemas de linguagem e expressividade das rela¸cões de consequência dentro de padrões espec´ıficos. No ˆ

ambito das rela¸cões de consequência dirigidas pretendemos avan¸car na investiga¸cão dos seguintes problemas, conforme detalhes a seguir:

• Quantificadores modulados e sua interpreta¸c˜ao;

• Aspectos qualitativos versus quantitativos e suas aplica¸c˜oes;

• A no¸cão de vaguidade qualitativa e sua relevância em certos problemas filosóficos.

Aslógicas moduladas, tema de pesquisa no qual tenho trabalhado bastante e que tem produzido resultados como [VC04], são extensões conservativas da lógica de predicados clássica. O conceito de lógicas moduladas consiste basi- camente da inclusão de quantificadores generalizados na sintaxe das senten¸cas, onde esse quantificador pretende expressar certas formas de racioc´ınio indutivo, vago ou inexato.

Semanticamente, tais quantificadores serão interpretados por estruturas ma- temáticas tais como filtros, ideais, ultrafiltos, espa¸cos topológicos, etc.

Parte do interesse pelas lógicas moduladas reside no fato de que elas podem expressar diversas formas de racioc´ınio ou argumenta¸cão indutiva, na medida em que sua felixibilidade permite à sintaxe lógica corresponder mais estreitamente

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a sintaxe da linguagem natural, uma propriedade interessante, como argumenta [Bar81], p.159.

As lógicas moduladas constituem mecanismos qualitativos por excelência, na medida em que não associam graus de cren¸ca, ou probabilidade ou outras medidas quantitativas às asser¸cões, mas sim estuturas matemáticas.

Os quantificadoers modulados tˆem a propriedade de quebrar a no¸c˜ao de que

“o sentido dos quantificadores deve ser inerente à lógica, e portanto não pode variar de um modelo a outro”([Bar81], p. 162).

Um primeiro problema interessante é estudar as questões de corretude e completude dessas lógicas em rela¸cão às diversas estruturas matemáticas que a elas se podem associar, como filtros, ideais, ultrafiltos, espa¸cos topológicos, etc.

Outras questões imediatas nesse contexto são as possibilidades de se preservar teoremas de compacidade e de Löwenheim-Skolem, além de outras propriedades modelo-teóricas.

Outro problema complexo mas promissor consiste na extensão das lógicas moduladas na dire¸cão daslógicas modais moduladas. Lógicas desse tipo pare- cem ser muito apropriadas para expressar propriedades de rela¸cões espaciais, ou ainda a certos argumentos ontológicos como os expressos na clássica “demonstra¸cão da existência de Deus”de K. Gödel. Nessa dire¸cão quase nada ainda foi tentado.

Uma terceira questão diz respeito aos fundamentos puramente qualitativos do racioc´ınio difuso. O paradigma difuso, introduzido em [Zad65] (mas é conveniente consultar [Zim01] para seus desdobramentos) tem sua interpreta¸cão

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intuitiva nos graus de pertinência, e sua contraparte lógica tem sido comu- mente considerada como as lógicas multivalentes (cf. [Haj98]). Contudo, as lógicas moduladas podem oferecer uma interpreta¸cão completamente nova para a questão da difusidade, independente da interpreta¸cão multivalente, e dessa forma podem abrir uma instigante via de acesso à no¸cão de vaguidade em geral.

Como uma ilustra¸c˜ao da id´eia, suponhamos queA^q =hA, qiseja uma estrutura modulada e

A=hA,{R_iÂ}_i∈I,{f_jÂ}_j∈J,{cÂ_k}_k∈Ki

seja uma estrutura (no sentido usual) tal queR(x, y)∈ {RÂ_i }_i∈I interpreta uma ordem parcial≤sobreA (isto é, ≤é interpretada como uma rela¸cão reflexiva, anti-simétrica e transitiva).

Sep(x) ´e um s´ımbolo funcional na linguagemL^τ_ωω(∇x), pode-se ent˜ao definir umpredicado difuso como uma senten¸ca complexa da forma:

ϕ(y) := (∇x)(p(x)≤p(y)) orφ(y) := (∇x)(p(y)≤p(x))

Se, por exemplo, p(x) representa o peso corporal de um indiv´ıduo x de uma popula¸c˜ao, ent˜ao ϕ(y) expressa, para um indiv´ıduo y, a propriedade que

“para a maioria dos indiv´ıduos x, seu peso p(x) ´e menor que o peso p(y) de y”e portanto expressa a propriedade de que y ´e “gordo”num sentido difuso puramente qualitativo.

Este tipo de vaguidade ou difusidade individual pode se contrastado com a difusidade da popula¸cão: (∇y)ϕ(y) expressa, nese caso, a informa¸cão de “a maioria dos indiv´ıduos daquela popula¸cão são gordos”.

Dessa forma, temos um novo enfoque para a importante questão do pensa- mento difuso que não envolve nenhum grau de pertinência ou medida quantita- tiva.

Ainda uma quarta linha de trabalho que se abre na perspectiva das lógicas moduladas diz respeito à no¸cão de “maioria”para sistemas de vota¸cão, princi- palmente em popula¸cões infinitas. A questão dateoria das escolhas sociais para popula¸cões infinitas já tem sido considerada na literatura, e é uma extensão dos famosos resultados de impossibilidade de Arrow e Gibbard-Satterthwaite (cf.

[Arr70]) a respeito da teoria das elei¸cões. Tais resultados demonstram que, sob certas condi¸cões, nenhum método geral para se definir uma preferência global a partir das preferências individuais numa popula¸cão finita é isenta de cair sob alguma ditadura.

Considerando que ambos os resultados acima podem ser demonstrados como corolário de um resultado mais forte, cf. [Ren], generaliza¸cões interessantes dos teoremas de Arrow e de Gibbard-Satterthwaite têm estreita rela¸cão com certas propriedades de ultrafiltros.

E portanto bastante natural se pensar em vers˜´ oes moduladas da teoria das escolhas sociais (ou teoria das elei¸cões), e considerar as lógicas moduladas como lógicas para se expressar e raciocinara respeito dessa teoria. Esta é uma abor- dagem totalmente original a respeito desse tema.

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3.3 Parte 3:M´ aquinas de Turing Paraconsistentes e Com- puta¸ c˜ ao Quˆ antica

A proposta de computa¸cão quântica partiu das observa¸cões do f´ısico prêmio- Nobel Richard Feynman, quem notou que as máqinas de Turing baseadas na f´ısica clássica sofrem um retardamento inerente quando representam sistemas quânticos. Feynman sugeriu então usar diretamente artefatos quânticos em tais casos.

A computa¸cão quântica recebeu um grande impulso quando Peter W. Shor descobriu em 1994 (cf. [Sho94, Sho97]) um algoritmo que permite fatorar números inteiros em tempo polinomial usando criteriosamente o poder da superposi¸cão quântica de estados, diferentemente dos computadores clássicos. Outro fato importante foi o algoritmo de Lov K. Grover (cf. [Gro97]) para pesquisar bases de dados, mostrando as reais possibilidades do paradigma quântico, e da tec- nologia quântica ainda por vir. É interessante notar que grupos de pesquisa brasileiros (da UNICAMP, USP, UFMG e UFPB) têm desenvolvido um intenso trabalho na dire¸cão da realiza¸cão tecnológica de certos aspectos da computa¸cão quântica (cf. diversos artigos na revistaPesquisa da FAPESP de 2004 e 2005), o que amplamente justitifica meu interesse pelo tema e a atitude de interessar e formar estudantes de pós-gradua¸cão interessados no assunto.

Tais possibilidades explicam o interesse nas chamadas “lógicas quânticas”(cf., por exemplo, [DGG04]) e nas “máquinas de Turing paraconsistentes”que podem tratar matematicamente as contradi¸cões expressas pelos mecanismos de superposi¸cão quânticas.

3.3.1 M´aquinas de Turing Paraconsistentes

E bem conhecido que instru¸´ cões em máquinas de Turing podem ser definidas como quádruplas da forma hq_i, s_j, s_k, q_li ou da forma hq_i, s_j, m, q_li, onde q_i e q_l são s´ımbolos de estado s_j e s_k são s´ımbolos de entrada e sa´ıda, e m = R, L, N é um s´ımbolo de movimento (direita, esquerda, ou sem movimento).

Uma máquina de Turing é determin´ıstica se existe no máximo uma instru¸cão que se inicia comhqi, sji; caso contrário, a máquina de Turing é dita ser não- determin´ıstica, e a instru¸cão a ser executada deve ser determinada por um agente externo (oráculo). De todo modo, um oráculo garante que a máquina execute uma instru¸cão de cada vez, garantindo a “consistência”da execu¸cão computacional.

Considerando que o oráculo é um agente externo, o que ocorre é que, a rigor, as máquinas de Turing não-determin´ısticas são contraditórias (cf. Boo- los e Jeffrey em [BJ74]). Dessa forma, parece muito conveniente e promissor substituir o ambiente lógico das máquinas de Turing não-determin´ısticas por uma lógica paraconsistente, em especial por uma classe das chamadas lógicas da inconsistência formal, um tópico ao qual tenho me dedicado bastante, e cujos resultados aparecerão publicados no futuro próximo e que foi tema de uma tese de doutorado recentemente orientada (cf. [Mar05]). Dessa forma, define-se o que poder´ıamos chamar de máquinas de Turing paraconsistentes (MTP´s). O

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próximo passo nessa sequência de idéias é usar tais máquinas como modelos de computabilidade quântica, interpretando a superposi¸cão quântica como o não-determinismo controlado das MTP´s.

O que se pretende nesta parte do Plano ´e investigar:

• Interpreta¸cões para lógicas quânticas a partir das semânticas de tradu¸cões poss´ıveis, na tentativa de prover modelos matemáticos que expressam fenômenos quânticos, com interesse para a teoria da informa¸cão com base quântica;

• Modelos de algoritmos quânticos com base no paradigma da combina¸cão de lógicas, tendo em conta que mecanismos quânticos (sobretudo aqueles que dão base aos algoritmos quânticos) podem ser vistos como superposi¸cão de modelos clássicos.

E relevante notar aqui que as semˆ´ anticas de tradu¸cões poss´ıveis e as semânticas de sociedade já estão sendo reconhecidas como paradigmas centrais na for- mula¸cão de certas abordagems aos fenômenos quânticos, como explicitado em [MS].

3.4 Parte 4: Procedimentos de C´ alculo com An´ eis de Po- linˆ omios

Os sistemas algébricos de prova são sistemas de prova (num primeiro estágio, mais adequados para lógicas proposicionais) que tiram vantagem de métodos e resultados da algébra para expressar demonstra¸cões. Métodos algébricos podem ser muito interessantes para procedimentos de prova automática de teoremas e para investigar questões de complexidade de algoritmos.

Um método algébrico já conhecido é o método das bases de Gröbner, fun- damentado na teoria dos ideais e que faz uso do célebre resultado da geometria algébrica conhecido como Teorema do Nullstellensatz de D. Hilbert (teorema dos pontos nulos de Hilbert). Um outro método chamadocálculo com anéis de polinômios (proposto em [Car01]) faz uso direto da estrutura de corpos finitos (corpos de Galois) e mostra-se por um lado muito mais simples que o método das bases de Gröbner, e por outro lado muito mais geral, podendo englobar todas as lógicas multivalentes verofuncionais e ainda uma classe relevante de lógicas não-vero-funcionais.

O objetivo desta parte do plano é explorar as amplas possibilidades do nascente e inovador método de cálculo com anéis de polinômios, estudar exemplos relevantes e suas rela¸cões com outros métodos semânticos como as “semânticas não-determin´ısticas”de A. Avron (cf. [AL05]).

Em especial, uma questão interessante é discutir suas potencialidades para a defini¸cão de portas quânticas (dentro da computa¸cão quântica). Está pre- vista a implementa¸cão de um protótipo inicial de demonstra¸cão automática em lógicas trivalentes e bivalentes não-verofuncionais utilizando os “Procedimen- tos de Cálculo com Anéis de Polinômios”, a ser desenvolvido com ajuda dos estudantes e distribu´ıdo livremente.

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4 Resultados Esperados

Publica¸c˜ao de Livro

Como parte do esfor¸co de pesquisa desenvolvido espero poder completar, junto com os colegas Marcelo Coniglio (UNICAMP), Dov Gabbay (King’s College, Londres), Paula Gouvêa (IST, Lisboa) e Cristina Sernadas (IST, Lisboa), a prepara¸cão de um livro sobre combina¸cões e decomposi¸cões de sistemas lógicos, a ser submetido a uma importante editora internacional.

Publica¸c˜ao de Artigos de Pesquisa

Planejo ter os seguintes artigos terminados e submetidos à publica¸cão (alguns deles em colabora¸cão com os parceiros mencionados):

• Um artigo sobre fibrila¸c˜ao de sistemas l´ogicos a ser submetido a um ve´ıculo internacional arbitrado;

• Um artigo a respeito da importância filosófica das rela¸cões de consequência subclássicas como instrumento para sobrepassar certos paradoxos modais;

• Dois artigos sobre semânticas formais para lógicas não-clássicas,

• Um artigo a respeito de semântica algébrica para lógicas não-clássicas;

• Um artigo a respeito da questão de combina¸cão de paradigmas lógicos e sua aplica¸cão à questão dos algoritmos quânticos.

Forma¸cão de Estudantes de Pós-Gradua¸cão

Espera-se também que vários estudantes terminem seus projetos de disserta¸cão de mestrado ou tese de doutorado. Os seguintes estudantes, como meus orien- tandos, estão ligados ao presente Projeto de Pesquisa:

1. Estudantes de doutorado

• Juan Carlos Agudelo Agudelo (IFCH-UNICAMP)

• Rodrigo de Alvarenga Freire (IFCH-UNICAMP) 2. Estudantes de mestrado

• Samir Gosrky (IFCH-UNICAMP)

• Fabr´ıcio Gomes (IFCH-UNICAMP)

• Paulo Petrillo (IFCH-UNICAMP)

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5 Recursos e Estrat´ egia de Pesquisa

As questões propostas neste projeto são de longo alcance e naturalmente envolvem intera¸cões com outros pesquisadores, com outros grupos de pesquisa e com o trabalho de disserta¸cões e teses de estudantes.

Os problemas e questões abordados, além do interesse filosófico inegável, têm também impacto em aspectos tecnológicos, em especial em rela¸cão

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a computa¸cão não-convencional e suas conexões com miniaturiza¸cão em nano-escala.

O projeto tem conexões diretas com a pesquisa desenvolvida por outros colegas no Brasil e no exterior, com os quais tenho trabalhado e que são parceiros naturais no trabalho de pesquisa e em publica¸cões:

3. Parceiros no Brasil e no exterior

• Dov Gabbay (King’s College, London)

• Amilcar Sernadas (IST, Lisbon)

• Carlos Caleiro (IST, Lisbon)

• Cristina Sernadas (IST, Lisbon)

• Jean-Yves Béziau (Université de Neuchâtel, Switzerland)

• Paulo Mateus (IST, Lisbon)

• Marcelo Coniglio (IFCH, UNICAMP)

• Marcelo Finger (IME, USP)

• Jo˜ao Marcos (P´os-Doutorando, IME- USP) Desenvolvimento de Softwares

Como um subproduto do trabalho de pesquisa, pretende-se que seja poss´ıvel desenvolver um protótipo de ambiente automático de provas baseado no Cálculo com Anéis de Polinômios para diversos sistemas lógicos, programas estes que serão livremente disponibilizados sob licen¸ca do tipo GPL.

6 Cronograma de trabalho

O cronogorama de trabalho para a pesquisa proposta ´e descrito esquematica- mente a seguir, considerando uma dura¸c˜ao de 6 semestres:

Sem1 Sem2 Sem3 Sem4 Sem5 Sem6

Parte 1 • • • •

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