AlinedeAra´ujoMaia Aequa¸c˜aodaonda UniversidadeFederaldaPara´ıba

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Gradua¸c˜ao em Matem´atica

A equa¸c˜ ao da onda

Aline de Ara´ ujo Maia

Jo˜ao Pessoa – PB Novembro de 2017

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Gradua¸c˜ao em Matem´atica

A equa¸c˜ ao da onda

por

Aline de Ara´ujo Maia

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. F´agner Dias Araruna

Jo˜ao Pessoa – PB Novembro de 2017

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M217e Maia, Aline de Araújo.

A equação da onda / Aline de Araújo Maia. - João Pessoa, 2017.

74 f. : il.

Orientação: Araruna, Fágner Dias.

Monografia (Graduação) - UFPB/CCEN.

1. Séries de Fourier. 2. Equação da onda. 3. Corda vibrante. I. Araruna, Fágner Dias. II. Título.

UFPB/BC

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pre acreditaram em mim e fizeram o poss´ıvel pela minha educa¸c˜ao.

(6)

Am´em.”

Romanos 11:36

(7)

A Deus, pois Nele vivemos, nos movemos e existimos, Ele ´e a fonte de todo o conhecimento e ajuda aqueles que o buscam.

Aos meus pais, Ana Maria (in memoriam) e Manoel Alves, por estarem incondi- cionalmente ao meu lado, me criando no caminho da retidão e sempre influenciando meu interesse pelo conhecimento. Aos meus avós, Maria da Glória, Isaac Araújo (in memoriam), Eunice Maia (in memoriam) e Antônio Amaro (in memoriam), por ofe- recerem um ambiente de amor e aten¸cão especialmente na minha infância. Aos meus tios, em especial minhas tias Zenaide Maria e Joanita Maria, que cuidaram de mim após o falecimento da minha mãe.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Fágner Dias Araruna, por toda a contribui¸cão e aux´ılio para o meu desenvolvimento não só acadêmico, mas também enquanto ser humano. Aos professores membros da banca examinadora, Prof. Dr. Damião Júnio Gon¸calves Araújo e Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo, por aceitarem o convite de participarem deste momento importante.

Aos meus colegas do laboratório Milênio, a destacar, Thiago Luiz, Raoni, Mariana, Cássio, Angélica, Raiza, José Ribeiro, Esaú, Julian, Douglas, Marcelo, José Carlos, Richardson, Moisés, Josenildo, Suelena, Victor, Leon e Wendel, pelos momentos de estudo e brincadeiras compartilhados. A Liana Coliselli e Karoline Medeiros, minhas amigas e conselheiras.

A todos os colegas da Cru Campus, na pessoa de Shirley Mesquita, pela comunhão no campus e fora dele, e pela vivência cristã neste local. Seguramente posso chamá-los de irmãos.

A todos das igrejas Batista em Ferreiros e Luterana, que me auxiliaram com ora¸c˜oes e apoio espiritual.

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Neste trabalho, focamos o nosso estudo na equa¸cão da onda. Apresentamos inicialmente conceitos básicos referentes a Equa¸cões Diferenciais Parciais (EDPs) e a Teoria das séries de Fourier. Em seguida, lidamos com a dedu¸cão f´ısica e resolu¸cão desta equa¸cão. Discutimos diversos problemas de valores iniciais e de fronteira, tais como:

o da corda com extremidades fixas, da corda dedilhada, da corda infinita e da corda semi-infinita. Além disso, nos dois últimos, encontramos a solu¸cão de D’Alembert. Na abordagem desses problemas, tivemos a oportunidade de tratar não só de conceitos matemáticos mas também de f´ısicos relacionados a este tema.

Palavras-chave: S´eries de Fourier, Corda vibrante, Equa¸c˜ao da onda.

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In this work, we focus our study in wave equations. We present incially basic concepts of Partial Di↵erentials Equations (PDEs) and Theory of Fourier series. In the following, we deal with the physic dedution and also the resolution of this equation. We treat several problems of inicial value and boundary conditions such as: the problem of the string with fixed extremeties, the figering string, the infinity string and semi-infinity string. Additionally, in the last two ones, we have found a solution of D’Alembert type.

In the approach of this problems, we had the opportunity of treating not just with mathematical concepts but also with physical related topics to this theme.

Keywords: Fourier Series, Vibrating String, Wave Equation.

(10)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Sobre equa¸c˜oes diferenciais parciais . . . . 3

1.1.1 Condi¸c˜oes de fronteira e iniciais . . . . 4

1.2 S´eries de Fourier . . . . 5

1.2.1 Convergˆencia da s´erie de Fourier . . . . 7

2 Equa¸c˜ao da onda 13 2.1 Introdu¸c˜ao . . . . 13

2.2 Nota hist´orica . . . . 14

2.3 Dedu¸c˜ao f´ısica da equa¸c˜ao da corda vibrante . . . . 15

2.4 Exemplos da equa¸cão da onda e diferentes condi¸cões iniciais e de fronteira 19 2.5 Resolu¸cão da equa¸cão da onda por séries de Fourier . . . . 21

2.6 Energia da corda vibrante e unicidade de solu¸c˜ao . . . . 30

2.6.1 Interpreta¸cão f´ısica das fórmulas da energia cinética (2.33) e po- tencial (2.34) . . . . 33

2.7 Harmônicos, frequência e amplitude de uma onda estacionária . . . . . 36

2.7.1 Partes de uma onda estacion´aria . . . . 36

2.7.2 A energia do n-´esimo harmˆonico . . . . 38

2.8 A corda dedilhada . . . . 39

2.9 Vibra¸c˜oes for¸cadas . . . . 43

2.10 A corda infinita . . . . 44

2.10.1 Solu¸c˜ao generalizada da equa¸c˜ao da onda . . . . 45

2.10.2 F´ormula de D’Alembert . . . . 47

2.10.3 Inferˆencias a respeito da f´ormula de D’Alembert . . . . 48

2.10.4 Corda infinita dedilhada . . . . 51

2.10.5 A integral da energia . . . . 56

2.10.6 Unicidade de solu¸c˜ao estrita do problema de Cauchy . . . . 57

(11)

2.10.8 O problema de Cauchy não-homogêneo . . . . 58 2.11 A corda semi-infinita . . . . 59 2.11.1 Comentários a respeito de (2.73) . . . . 60

Referˆencias Bibliogr´aficas 63

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A seguir, listamos algumas nota¸c˜oes utilizadas neste trabalho.

• ^@f_@x oufx denotam que a fun¸cãof foi derivada com rela¸cão a variávelx;

• K, c, c1,c2, . . .denotam constantes positivas, possivelmente deferentes;

• C^k(⌦) denota o conjunto das fun¸c˜oes de classe C^k definitas em um subconjunto

⌦2Rⁿ;

• R denota o conjuntoR ={(x, t)2R²; 0< x < L; t >0} ;

• R¯ denota o fecho do conjunto R .

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A teoria das Equa¸cões Diferenciais Parciais (EDPs) é um campo de estudo da matemática amplamente explorado por outras áreas da ciência, tendo suas origens no cálculo diferencial e integral com motiva¸cão em problemas oriundos da f´ısica, biologia, ciências econômicas, entre outras.

Nos últimos três séculos, esta teoria tem conquistado espa¸co significativo tanto na matemática pura, sendo considerada parte vital da análise, quanto na matemática aplicada, onde tem se mostrado uma importante ferramenta.

Tais equa¸cões são utilizadas para modelar fenômenos que dependam da posi¸cão, do tempo ou outras variáveis. Muitas leis da natureza encontram nas EDPs uma liguagem objetiva para sua expressão, como por exemplo, problemas de eletrodinâmica, difusão do calor e propaga¸cão de ondas. Entre estes, está o famoso problema de vibra¸cões de cordas elásticas, que se reduz na obten¸cão de uma solu¸cão para uma equa¸cão diferencial parcial, conhecida como a equa¸cão da onda unidimensional.

Neste trabalho, estudaremos a equa¸cão da onda unidimensional de forma detalhada, desde a sua dedu¸cão f´ısica até problemas de valores iniciais e de fronteira ligados à mesma, utilizando como principal referência o livro [2].

E interessante frisar que o problema tratado neste trabalho tem grande contribui¸cão´ histórica para a matemática, pois foi um dos debates cient´ıficos mais importantes do século XVIII. Diversos matemáticos famosos como D’Alembert, Daniel Bernoulli, Euler e Lagrange se debru¸caram para resolvê-lo. Foram obtidas solu¸cões de diversas formas, que geraram discussões a respeito de assuntos importantes como o conceito de fun¸cão.

Muitos destes debates perduraram até o in´ıcio do século XIX, trazendo grandiosas contribui¸cões para a matemática da época e embasando teorias futuras.

Este trabalho está dividido em dois cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 1 come¸caremos com conceitos básicos e, em seguida, de maneira sucinta, mencionaremos alguns resultados pertencentes à teoria de séries de Fourier.

Iniciaremos o Cap´ıtulo 2, o principal deste texto, com uma breve introdu¸cão à ondas e, em seguida, apresentaremos uma nota histórica referente ao problema da corda vibrante. Em seguida, faremos a dedu¸cão f´ısica da equa¸cão da onda unidimensional,

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equa¸cão utilzando o método de Fourier. Na sequência, apresentaremos um teorema que valida a solu¸cão encontrada. Abordaremos também diferentes problemas de valores iniciais e de fronteira, dentre eles a corda com extremidades fixas, a corda dedilhada, a corda infinita ou problema de Cauchy- de onde obteremos a fórmula de D’Alembert-e, finalmente a corda semi-infinita. Dentre tais problemas de valores iniciais e de fronteira, também poderemos analisar a energia da corda vibrante, harmônicos, frequência e amplitude de uma onda estacionária, que são temas de cunho mais f´ısico.

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Preliminares

Neste cap´ıtulo destacaremos informa¸cões importantes para a compreensão de afir- ma¸cões e teoremas usados nesta monografia. Essencialmente, partiremos da explana¸cão acerca do conceito de equa¸cões diferenciais parciais e das condi¸cões iniciais e de fronteira; posteriormente falaremos da teoria de séries de Fourier, sobre a defini¸cão e também sobre sua covergência pontual e uniforme. Tal teoria é impresc´ındivel à obten¸cão de uma solu¸cão para a equa¸cão que é tema deste trabalho, a equa¸cão da onda.

1.1 Sobre equa¸c˜ oes diferenciais parciais

Uma Equa¸cão Diferencial Parcial (EDP) é uma equa¸cão envolvendo duas ou mais variáveis independentesx, y, w, ...; e derivadas parciais de uma fun¸cão (variável dependente) u = (x, y, w, ...). De maneira mais precisa, uma EDP em n-variáveis indepen- dentes x1, ..., xn é uma equa¸cão da forma

F

✓

x1, ..., xn, @u

@x₁, ..., @u

@x_n, @²u

@x₁@x_n, ...,@^ku

@x^k_n

◆

= 0, (1.1)

onde x= (x₁, ..., x_n)2 ⌦, ⌦é um subconjunto aberto do Rⁿ, F é uma fun¸cão dada e u=u(x) é a fun¸cão que queremos determinar.

A ordem de uma EDP ´e dada pela derivada parcial de maior ordem.

Uma EDP é ditalinear se é de primeiro grau emue em todas as derivadas parciais que ocorrem na equa¸cão; caso contrário, diremos que énão linear.

A forma mais geral de uma EDP linear de primeira ordem ´e Xn

i,j=1

aij(x)@u

@xj

+b(x)u+c(x) = 0. (1.2)

(16)

Para equa¸c˜oes de segunda ordem a forma mais geral ´e dada por Xn

i,j=1

a_ij(x) @²u

@xi@xj

+ Xn

j=1

b_j(x)@u

@xj

+c(x)u+d(x) = 0. (1.3)

Dizemos que uma EDP linear é homogênea se o termo que não contém a variável dependenteu é identicamente nulo.

As condi¸cões que iremos tratar são válidas para equa¸cões diferenciais parciais linea- res de qualquer ordem, contudo iremos exemplificar com uma EDP de segunda ordem.

Podemos reescrever (1.3) da seguinte forma:

Lu=f. (1.4)

onde f(x) = d(x) e (Lu)(x) =Pn

i,j=1aij(x)_@x^@²^u

i@xj +Pn

j=1bj(x)_@x^@u

j +c(x)u.

Em (1.4), Lé chamado de operador diferencial que é a fun¸cão definida por L:C²(⌦)!C(⌦)

u7!Lu,

O resultado a seguir ´e conhecido como princ´ıpio da superposi¸c˜ao.

Teorema 1.1. Seja L um operador linear diferencial parcial de ordem k cujos coeficientes estão definidos em um aberto ⌦ ⇢ Rⁿ. Suponha que {un}ⁿ2N é um conjunto de fun¸cões de classe C^k em ⌦ satisfazendo a EDP linear homogênea Lu = 0 e que {↵_n}n2N é uma sequência de escalares tal que a série

X1 n=1

↵nun

é convergente e k vezes diferenciável termo a termo em ⌦. Então u satisfaz Lu= 0.

A prova deste resultado encontra-se em [4, p. 10].

1.1.1 Condi¸c˜oes de fronteira e iniciais

Quando impomos condi¸cões sobre o valor da solu¸cão e das suas derivadas no bordo da região⌦⇢Rⁿ, onde a solu¸cão está definida, tais valores são chamados decondi¸cões de fronteira, da´ı temos um problema de valores de fronteira.

Quanto às condi¸cões iniciais, como temos mais de uma variável dependente em EDP, por exemplo, x et, é comum fixarmos uma das variáveis (t = 0) e assim termos o valor da solu¸cão e de suas derivadas parciais em rela¸cão à variável fixa como fun¸cão

(17)

das outras variáveis, por exemplo, u(x,0) = f(x) e ut(x,0) = g(x), onde f e g são fun¸cões dadas.

Problemas envolvendo condi¸cões de fronteira e condi¸cões iniciais serão chamados de problemas de valores iniciais e de fronteira, que abreviaremos com a sigla P V IF.

1.2 S´ eries de Fourier

Nesta se¸cão discorreremos a respeito da teoria de séries de Fourier, sob quais hipóteses uma fun¸cão pode ser representada por uma série de Fourier, e também acerca da obten¸cão dos coeficientes de Fourier para esta, quando ela existir. Por fim, tratare- mos de teoremas que expliquem a convergência pontual e uniforme desta série.

E importante ressaltar que os resultados aqui expressos serão apresentados de ma-´ neira sucinta, algumas demonstra¸cões serão omitidas. Também é importante salientar que esta teoria serve como base para as conclusões obtidas no cap´ıtulo principal monografia, o cap´ıtulo 2.

Para iniciarmos a apresenta¸cão da teoria das séries de Fourier, vejamos as a defini¸cões a seguir.

Defini¸cão 1.1. Uma fun¸cãof :R!Ré dita periódica de per´ıodoT sef(x+T) =f(x) para todox.

Defini¸cão 1.2. Seja f : R ! R uma fun¸cão periódica de per´ıodo 2L, integrável e absolutamente integrável no intervalo [ L, L], isto é, RL

L|f(x)|dx < 1. Os n´umeros dados por

an = 1 L

Z L L

f(x) cos⇣n⇡x L

⌘dx, n 0,

b_n = 1 L

Z L L

f(x)sen⇣n⇡x L

⌘dx, n 1,

(1.5)

s˜ao chamados de coeficientes de Fourier da fun¸c˜ao f.

Defini¸cão 1.3. Dada uma fun¸cão f : R ! R periódica de per´ıodo 2L, integrável e absolutamente integrável no intervalo [ L, L], podemos calcular seus coeficientes de Fourier pelas expressões em (1.5). E, desta forma, podemos escrever

f(x)⇠ 1 2a₀+

X1 n=1

⇣a_ncos⇣n⇡x L

⌘+b_nsen⇣n⇡x L

⌘⌘. (1.6)

Isto significa que a expressão do lado direito é a série de Fourier de f.

O sinal ⇠ em (1.6) significa que nem sempre ocorre a igualdade, podendo ocorrer

(18)

Por isso, mais adiante, veremos condi¸cões suficientes para que a fun¸cão f seja igual a sua série de Fourier.

Defini¸cão 1.4. Uma fun¸cão f : R !R será seccionalmente cont´ınua se tiver apenas um número finito de descontinuidades (todas de primeira espécie) em qualquer intervalo limitado. Em outras palavras, dados a < b, existem a  a1 < a2 < ... < an  b, tais que f é cont´ınua em cada intervalo aberto (aj, aj+1), j = 1, ..., n 1, e existem os limites

f(aj + 0) = lim

x!a⁺_j f(x) ef(aj 0) = lim

x!a_j f(x).

Defini¸cão 1.5. Uma fun¸cão f :R!R será seccionalmente diferenciável se for seccionalmente cont´ınua e se a fun¸cão derivada f⁰ for também seccionalmente cont´ınua.

Teorema 1.2. Teorema de Fourier Seja f : R ! R uma fun¸cão seccionalmente diferenciável e de per´ıodo 2L. Então a série de Fourier da fun¸cão f, dada em (1.6), converge, em cada ponto x para ¹₂[f(x+ 0) +f(x 0)].

Estimativas dos coeficientes de Fourier

Primeiramente, suponhamos que f seja uma fun¸cão periódica de per´ıodo 2L, in- tegrável e absolutamente integrável, da´ı utilizando a equa¸cão (1.5), e que as fun¸cões seno e cosseno são limitadas por um. Obtemos as seguintes estimativas para os cofici- entesa_n eb_n

|an|= 1 L

Z L L

f(x) cos⇣n⇡x L

⌘

dx  1 L

Z L

L|f(x)|dx,

|bn|= 1 L

Z L L

f(x)sen⇣n⇡x L

⌘dx  1 L

Z L

L|f(x)|dx.

(1.7)

Agora, usando a hipótese de f e|f| serem fun¸cões integráveis, podemos concluir a existência de uma constanteM, tal que

|a_n|M e |b_n|M, 8 n.

Suponhamos agora quef seja periódica de per´ıodo 2Le também que seja derivável, e tal derivada f⁰ seja integrável e absolutamente integrável. Então, integrando por partes as expressões em (1.5)e tomando valores absolutos obtemos

|a_n| 1 n⇡

Z L

L|f⁰(x)|dx

|bn| 1 n⇡

Z L

L|f⁰(x)|dx.

(1.8)

(19)

Da´ı, usando a hipótese que f é cont´ınua e f⁰ tem derivada integrável e absolutamente integrável, temos a implica¸cão de que existe uma constanteM, tal que

|a_n| M

n e |b_n| M

n , 8 n= 1,2, ... (1.9)

Finalmente, suponhamos que f seja periódica de per´ıodo 2L, com primeira derivada cont´ınua, e a segunda derivada integrável e absolutamente integrável. Com estas hipóteses, podemos melhorar as estimativas em (1.9). Para isto, realizamos mais uma integra¸cão por partes nas expressões em (1.7) e obtemos

|an| L n²⇡²

Z L

L|f⁰⁰(x)|dx,

|bn| L n²⇡²

Z L

L|f⁰⁰(x)|dx.

Portanto, através das nossas últimas hipóteses podemos concluir que

|an| M

n² e |bn| M

n², 8 n= 1,2, ... (1.10)

1.2.1 Convergência da série de Fourier Classes das fun¸cões consideradas

Como vimos anteriormente, para definirmos coeficientes de Fourier e, consequente- mente, a série de Fourier de uma fun¸cão f, foi necessário admitir algumas hipóteses sobre esta fun¸cão, tais como periodicidade (f é de per´ıodo 2L), integrabilidade e integrabilidade absoluta no intervalo [ L, L], onde a integral que estamos lidando é a integral de Riemann. Veremos agora resultados a respeito da convergência desta série.

Defini¸cão 1.6. Uma fun¸cão f será chamada L¹ se, e somente se, f e |f| forem integráveis.

Convergˆencia pontual da s´erie de Fourier

Neste ponto daremos condi¸cões suficientes sobre a fun¸cão f de modo a grantir sua convergência num ponto fixadoxpara o valorf(x) ou em geral para ¹₂[f(x+ 0) +f(x 0)]. Nosso objetivo é mostrar estimativas para

e_n(x) =s_n(x) f(x+ 0) +f(x 0)

2 ,

(20)

onde

sn(x) = 1 2a0+

Xn k=1

h

akcos⇣n⇡x L

⌘

+bksen⇣n⇡x L

⌘i .

Inicialmente iremos escrever a soma parcialsn(x) de modo mais conveniente com o objetivo de majoraren(x). Para que isto ocorra iremos usar as express˜oes dos coeficientes de Fourier em (1.5) e a identidade trigonom´etrica cos(a b) = cos(a) cos(b)+sen(a)sen(b), para assim obter

sn(x) = Z L

L

1 L

"

1 2+

Xn k=1

cos

✓k⇡(x y) L

◆

f(y)dy

#

. (1.11)

Antes de prosseguirmos, atentemos para a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸cão 1.7. O núcleo de Dirichlet é a expressão Dn(x) = 1

L 1 2+

Xn k=1

cos

✓k⇡x L

◆!

. (1.12)

Propriedades do Núcleo de Dirichlet i)Dn(x) é uma fun¸cão cont´ınua;

ii) Usando rela¸c˜oes de ortogonalidade, temos Z L

L

D_n(x)dx= 1;

iii) Dn(x) é uma fun¸cão periódica de per´ıodo 2L;

iv)Dn(0) = ⁽ⁿ⁺_L¹²⁾;

v) Vale a seguinte express˜ao para D_n(x), comx6= 0,±2,±4, ...

D_n(x) = 1 2L

sen⇣_(n+1 2)⇡x L

⌘

sen ^⇡x_2L .

Voltando para a express˜ao (1.11), usando (1.12) e fazendo a mudan¸ca de vari´avel y=x t, obtemos

s_n(x) = Z L

L

D_n(x y)f(y)dy = Z L+x

L+x

D_n(t)f(x t)dt.

Dispondo que Dn ef são periódicas de per´ıodo 2L e que Dn é par, podemos escrever sn(x) =

Z L 0

Dn(t)[f(x+t) +f(x t)]dt. (1.13)

(21)

De (1.13) temos que a express˜ao en, para a qual queremos estimativas, ganha a forma en(x) =

Z L 0

Dn(t)g(x)dt, (1.14)

com g(x) = [f(x+t) f(x+ 0)] + [f(x t) f(x 0)].

O lema a seguir é um importante resultado que é usado na demonstra¸cão do Teste de Dini, teorema que fala da convergência pontual da série de Fourier.

Lema 1.3. (Lema de Riemann-Lebesgue)Sejaf : [a, b]!Ruma fun¸c˜aoL¹([a, b]).

Ent˜ao

t!1lim Z b

a

f(x)sen(tx)dx = 0,

t!1lim Z b

a

f(x) cos(tx)dx = 0.

(1.15)

A prova deste lema encontra-se em [2, p. 56].

De posse deste lema, enunciemos um resultado referente à convergência da série de Fourier no pontox.

Teorema 1.4. (Teste de Dini) Seja f :R!R uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2L e L¹([ L, L]). Fixado x em [ L, L], suponha que f(x+ 0) e f(x 0) existam e que exista ⌘ >0 tal que Z ⌘

0

g(x, t)

t dt <1. (1.16)

Ent˜aoen(x)!0, ou seja, sn(x)! ^[f^(x+0)+f(x₂ ^0)], quando n ! 1.

Demonstra¸cão. Para fazermos esta demonstra¸cão, iremos decompor a fun¸cãoen(x) em duas partes

en(x) = Z

0

tDn(t)g(x, t) t dt+

Z L

sen

✓

n+1 2

◆⇡t L

g(x, t) 2Lsen _2L^⇡t dt.

A primeira integral ficará pequena desde que se tome convenientemente pequeno e usando a hipótese em (1.16). Já no caso da segunda integral, usaremos o lema 1.4.

Como

|tDn(t)| t

2Lsen _2L^⇡t , (1.17)

e como a fun¸c˜ao do lado direito de (1.17) ´e crescente e cont´ınua no intervalo [0, L], conseguimos a seguinte estimativa:

|tDn(t)| 1

2 para t 2[0, L].

(22)

Portanto, dado ">0, tomamos < min(L,⌘), tal que Z

0

tDn(t)g(x, t)

t dt  1 2

Z

0

g(x, t)

t dt < "

2.

Tal desigualdade é poss´ıvel por causa da hipótese (1.16). Com esse fixado, olhemos para a segunda integral a fim de aplicar o Lema 1.4. Para isto, basta verificar que a fun¸cão

h(t) = g(x, t)

2Lsen ^⇡t_L , t2[ , L],

é integrável, o que é decorrente do fato do denominador nunca se anular em [ , L] e g ser integrável. Da´ı, paran suficientemente grande

Z L

sen

✓

n+ 1 2

◆⇡t L

g(x, t)

2Lsen _2L^⇡t dt < "

2, assim concluindo a demonstra¸c˜ao.

Desigualdades

A desigualdade de Bessel ´e dada por a²₀

2 + X1

k=1

(a²_k+b²_k) 1 L

Z L L

|f(x)|²dx. (1.18)

Sejam a = (a1, ..., an) e b = (b1, ..., bn) dois vetores do Rⁿ. A desigualdade de Cauchy-Schwarz para vetores doRⁿ tem a seguinte forma:

Xn j=1

ajbj  Xn

j=1

a²_j

!¹₂ _n X

j=1

b²_j

!¹₂

. (1.19)

Uma outra desigualdade importante ´e a seguinte:

" _n X

j=1

(aj +bj)²

#¹₂

 Xn

j=1

a²_j

!¹₂ +

Xn j=1

b²_j

!¹₂

, (1.20)

conhecida como adesigualdade triangular ou desigualdade de Minkowski.

(23)

Convergˆencia uniforme da s´erie de Fourier

Neste tópico apresentaremos condi¸cões suficientes sobre a fun¸cão f periódica de pér´ıodo 2L, de modo que estas garantam a convergência uniforme de sua série de Fourier. Vejamos os resultados a seguir.

Teorema 1.5. (Primeiro teorema da convergência uniforme da série de Fou- rier) Seja f uma fun¸cão periódica de per´ıodo 2L, cont´ınua e com derivada primeira de quadrado integrável. Então, a série de Fourier de f converge uniformemente para f.

Demonstra¸c˜ao. Vejamos, em primeiro lugar, que ancos⇣n⇡x

L

⌘ |an| e bnsen⇣n⇡x L

⌘ |bn|,

e consideremos a s´erie num´erica

X1 n=1

(|an|+|bn|). (1.21)

Usando a estimativa feita sobre os coeficientes de Fourier em (1.10), que diz que caso a fun¸cão f tenha derivada primeira continua e derivada segunda uma fun¸cão L¹, então a série numérica em (1.21) é majorada pela sérieMP₁

n=1 1

n², a qual é uma série convergente. Entretanto, podemos demonstrar a convergência de (1.21) sem impor tantas restri¸cões sobre a fun¸cãof. Suponhamos que f seja uma fun¸cão cont´ınua e que a sua derivada primeira seja uma fun¸cãoL². Usando as rela¸cões em (1.8), conclu´ımos

an= L

n⇡b⁰_n, bn = L n⇡a⁰_n;

onde a⁰_n e b⁰_n designam os coeficientes de Fourier de f⁰. Da´ı a reduzida de ordem n da s´erie (1.21) pode ser escrita

Xn j=1

(|aj|+|bj|) = L

⇡ Xn j=1

1

j(|a⁰_j|+|b⁰_j|), (1.22) que ´e majorada por

L

⇡ Xn

j=1

1 j²

!¹₂ " _n X

j=1

(|a⁰_j|+|b⁰_j|)²

#¹₂

, (1.23)

onde utilizamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz noRⁿ. Em seguida, iremos usar a desigualdade (|a|+|b|)² 2(a²+b²), que ´e a desigualdade de Cauchy-Schwarz no R²,

(24)

no segundo somat´orio em (1.23). Da´ı obtemos a seguinte majora¸c˜ao para (1.22) p2L

⇡

Xn j=1

1 j²

!¹₂ " _n X

j=1

(|a⁰_j|²+|b⁰_j|²)

#¹₂ .

Finalmente, a s´erie em (1.21) ´e majorada por p2L

⇡

X1 n=1

1 n²

!¹₂ " ₁ X

j=1

(|a⁰_j|²+|b⁰_j|²)

#¹₂ ,

onde ambas as s´eries convergem, a segunda devido a desigualdade de Bessel.

Teorema 1.6. (Segundo teorema sobre convergência uniforme da série de Fourier) Seja f periódica de per´ıodo 2L, seccionalmente cont´ınua e tal que sua derivada primeira seja de quadrado integrável. Então, a série de Fourier de f converge uniformemenre para f em todo intervalo fechado que não contenha pontos de descon- tinuidade de f.

A prova deste teorema encontra-se em [2, p. 70].

(25)

Equa¸c˜ ao da onda

Nossos objetivos neste cap´ıtulo são deduzir e estudar a equa¸cão da onda através da aplica¸cão de conceitos f´ısicos, abordar métodos de resolu¸cão desta equa¸cão utilizando a teoria de séries de Fourier, verificar a existência e a unicidade das solu¸cões encontradas, e também a resolver alguns problemas de valor incial para equa¸cão da onda, dentre eles o problema de Cauchy.

2.1 Introdu¸c˜ ao

No campo da f´ısica clássica, ondas e part´ıculas são dois grandes conceitos, ambos concentrando quase todos os ramos desta ciência. Embora sejam iguais em importância, as defini¸cões de onda e part´ıcula que apresentam diferem entre si.

Quando nos referimos à palavra part´ıcula, esta tem o significado de uma dimi- nuta quantidade de matéria capaz de transmitir energia; quando falamos deondas, tal conceito se refere a uma distribui¸cão ampla de energia que vai preenchendo o espa¸co por onde passa. Neste trabalho, destinaremos nossa aten¸cão às ondas, para, assim, trabalharmos com a equa¸cão que as descreve.

Existem três tipos principais de ondas, a saber, ondas mecânicas, eletromagnéticas e materiais.

As ondas mecânicas são as que se propagam exclusivamente em meios materiais e são governadas pelas leis de Newton; são bastante comuns e encontradas facilmente no cotidiano, como, por exemplo, ondas do mar, ondas s´ısmicas e ondas sonoras.

As ondas eletromagnéticas são as que resultam da combina¸cão de campos elétricos e magnéticos. Tais ondas não exigem um meio material para se propagarem, isto é, podem se propagar no vácuo; no dia a dia, as ondas eletromagnéticas estão presentes nos raio X, microondas, raios ultravioletas etc.

As ondas materiais são associadas com elétrons, prótons e outras part´ıculas funda-

(26)

mentais, e até mesmo átomos e moléculas. Estas são as menos comuns, e são, em sua maioria, encontradas em tecnologias modernas e no campo quântico.

O que discutiremos neste cap´ıtulo se refere as ondas mecˆanicas. Utilizaremos aqui a segunda lei de Newton para deduzirmos a equa¸c˜ao diferencial parcial que as representa.

2.2 Nota hist´ orica

Os matemáticos do século XVIII se debru¸caram sobre problemas dif´ıceis ligados ao campo da f´ısica, dentre os quais um dos mais famosos é o problema da corda vibrante.

Estes estudiosos tiveram que desenvolver intensamente o instrumental matemático já existente para que tal pudesse ser utilizado na resolu¸cão deste problema.

Como veremos neste cap´ıtulo, o problema de vibra¸cão de cordas se reduz a encontrar uma solu¸cão para a equa¸cão

utt =c²uxx,

conhecida como equa¸cão da onda. A equa¸cão foi estudada e derivada pela primeira vez por D’Lambert em 1746. Tal problema também atraiu a aten¸cão de diversos matemáticos, como Euler (1748), Daniel Bernoulli (1755) e Lagrange (1759). Os dois primeiros chegaram à conclusão de que a solu¸cão deveria ser da forma

u(x, t) =F(x+ct) +G(x ct), onde F e G s˜ao fun¸c˜oes reais.

Já Bernoulli chegou à expressão u(x, t) =

X1 n=1

ansen(nx)cos(nct),

quando a corda de comprimento⇡vibra por uma pertuba¸c˜ao da sua posi¸c˜ao de repouso.

Os méritos entre essas solu¸cões foram dicutidos de forma acalorada numa série de debates que perduraram por mais de vinte e cinco anos. Entre os pontos principais destas discussões estava o que diz respeito à natureza de uma fun¸cão, já que o conceito de fun¸cão como entendemos hoje não estava formulado de maneira concreta naquela

época. Também entre as discussões estavam os tipos de fun¸cões que poderiam ser representadas por séries trigonométricas. Tais questões não foram resolvidas até o século XIX.

Na época de Euler havia duas classes de fun¸cões, a saber, as cont´ınuas, que eram as que podiam ser expressas por uma equa¸cão entrex ey, e as geométricas, que eram todas aquelas que podiam ser tra¸cadas a mão livre. Admitia-se também que a classe

(27)

de fun¸cões cont´ınuas era menor que a classe de fun¸cões geométricas, porque uma linha partida não era considerada uma fun¸cão cont´ınua no sentido da época, e sim várias fun¸cões.

Essencialmente as solu¸cões propostas por D’Lambert e Euler eram as mesmas, mas a diferen¸ca estava no significado de fun¸cão em cada caso. No caso de Euler admitia-se quaisquer fun¸cões geométricas para os dados iniciais; D’Lambert, por sua vez, tomava apenas fun¸cões cont´ınuas para esta posi¸cão.

Bernoulli dizia que a sua solu¸cão era absolutamente geral e que continha as dadas por D’Lambert e Euler, porém, Euler contestava que isto era imposs´ıvel, pois se a fun¸cão fosse escrita como uma série de senos, isso implicaria que ela era periódica e ´ımpar, e a ideia de que uma expressão anal´ıtica representasse uma fun¸cão em um intervalo não era aceita na época.

Em 1759, Lagrange mostrou que a solu¸cão da equa¸cão da onda para uma corda de comprimento 1, quando a posi¸cão inicial é dada porf(x) e a velocidade inicial porg(x)

´e da seguinte forma:

u(x, t) = 2 Z 1

0

X1 n=1

senn⇡ycosn⇡ctf(y)dy+ 2 Z 1

0

1

nsenn⇡ysenn⇡xsenn⇡ctdy, e dessa forma ele conseguiu representar a express˜ao na forma prevista por Euler.

Foi tarefa de Fourier (1811) explicitar os coeficientes e escrever a série de senos e cossenos de várias fun¸cões. Ele afirmou que qualquer fun¸cão poderia ser representada pela série que recebeu o seu nome e, apesar disso não ser verdade, recebeu as glórias de ter apresentado a forma da série que deveria representar a fun¸cão.

Todas estas contribui¸cões levaram à consolida¸cão da moderna teoria das séries de Fourier, e dessa forma a matemática pode ser desenvolvida para que, assim, o problema de pequenas vibra¸cões de uma corda pudesse ser finalmente solucionado.

2.3 Dedu¸c˜ ao f´ısica da equa¸c˜ ao da corda vibrante

Porcorda entenderemos um fio fino perfeitamente flex´ıvel, isto é, que não apresente resistência ao ser dobrado. Iremos estudar o problema de pequenas vibra¸cões transversais de uma corda, e tal fenômeno será localizado num plano (x, u). Iremos, ainda, supor que a corda vibre em torno da sua posi¸cão de repouso ao longo do eixox. Por transversal, entenderemos a oscila¸cão que se realiza em um plano que contém o eixo dos x e em que cada part´ıcula que compõe a corda se desloca perpendicularmente a esse eixo.

(28)

Figura 2.1: Vibra¸c˜oes transversais

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Ondas_transversais

Representaremos por u(x, t) o deslocamento de cada ponto x da corda no instante t, partindo da posi¸cão de equil´ıbrio. Para deduzirmos a equa¸cão diferencial parcial a qual a fun¸cão u(x, t) deve satisfazer, utilizaremos a segunda lei de Newton, também conhecida como oprinc´ıpio fundamental da dinâmica, que nos diz:

“A derivada com rela¸c˜ao ao tempo da quantidade de movimento ´e igual a soma das for¸cas aplicadas”.

E necess´ario perceber que as grandezas f´ısicas envolvidas nessa lei s˜ao vetoriais, isto´

é, dependem da dire¸cão e do sentido dos vetores, de modo que, ao apicá-la, estaremos atentos a este fato.

No modelo com qual trabalharemos, consideraremos o sistema mecˆanico constitu´ıdo por um trecho arbitr´ario da corda entre dois pontos x = a e x =b. Chamaremos de

⇢(x, t) a densidade linear da corda, que ´e dada pela massa dividida pelo comprimento.

Como estamos supondo que as part´ıculas que constituem a corda se deslocam trans- versalmente através de pequenas vibra¸cões, vemos que a massa não se altera ao longo do tempo, concluindo assim que a densidade linear não dependerá det. Devido a isto, denotaremos a densidade linear da corda por⇢(x).

Portanto, a quantidade de movimento da corda entre os pontos x = a e x = b ´e dada por

M(t) = Z b

a

⇢(x)ut(x, t)dx, (2.1)

onde ut(x, t) designa a velocidade do ponto x da corda no instante t. A integral na expressão (2.1) é devido a velocidade não ser necessariamente constante em todos os pontos da corda, logo, a quantidade de movimento deve ser a soma infinitesimal da densidade vezes a velocidade do trecho que estamos trabalhando.

A hipótese da vibra¸cão transversal também nos leva a concluir que não há componente de velocidade no eixo x, pois, como dito, as part´ıculas constituintes da corda se movem no sentido normal a x, logo, existe componente de velocidade apenas no eixo u.

(29)

Existem dois tipos de for¸ca a serem considerados. O primeiro tipo se refere à a¸cão do resto da corda sobre o trecho entreaeb, a que chamamos de for¸cas de tensão na dire¸cão das retas tangentes ao pontoaeb, sãoFa eFb respectivamente. E representaremos por f(a, t) e f(b, t), respectivamente, as intensidades destas for¸cas. Na ilustra¸cão abaixo, podemos observar graficamente a representa¸cão destas for¸cas

Figura 2.2: For¸cas de tens˜ao Fonte: [2, p. 131]

onde ✓a e ✓b correspondem aos ˆangulos das retas tangentes `a corda com eixos x =a e x=b, respectivamente.

Usando a segunda lei de Newton, que foi enunciada anteriormente, e lembrando que não existe quantidade de movimento na dire¸cão do eixo x, devido a ausência da componente de velocidade neste eixo, temos:

X

i

F~i = @ ~M

@t (2.2)

Como foi dito, nesta lei estamos lidando com grandezas vetoriais, logo, existem duas componentes poss´ıveis, a saber, a no sentido ue a no sentido x, as quais s˜ao representadas da seguinte forma:

X

i

f~ix = @ ~Mx

@t X

i

f~iu = @ ~Mu

@t

(2.3)

Olhando para a componente x, e lembrando que não há quantidade de movimento nesta dire¸cão, conclu´ımos que

X

i

f~ix = 0. (2.4)

Além disso, veja na Figura 2.2 queFaeFb estão na mesma dire¸cão, que é a do eixo x, porém em sentidos opostos. Da´ı, como em (2.4) o somatório destas componente é