ÁLGEBRA ELEMENTAR. Podemos resumir estas informações com as seguintes relações:

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Leila Thomazelli Thieghi Página 1

Neste texto iremos rever alguns conceitos elementares de Matemática dos ensinos fundamental e médio. Você verá que muitos deles estão completamente enraizados em nossos pensamentos, de modo que os utilizamos quase automaticamente. De qualquer forma, faremos uma rápida revisão dos principais conceitos.

Em Cálculo I trabalhamos praticamente o tempo todo com os números reais, cujo conjunto é indicado por ℝ. Dentro do conjunto dos números reais, encontramos os conjuntos dos números naturais, ℕ, e dos números inteiros, ℤ. Na notação usual para conjuntos numéricos, temos:

ℕ = {0,1,2,3,4, … } e

ℤ = {… , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4, … }

Além destes, temos também o conjunto dos números racionais, ℚ; um número racional é aquele que pode ser escrito na forma 𝑚 𝑛⁄ , onde m e n são números inteiros e 𝑛 ≠ 0. Um número racional é também um número real!

Nem sempre um número poderá ser escrito na forma anterior, e quando isto ocorre ele é classificado de número irracional. Um número irracional, 𝕀 ,é, portanto, um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros. Exemplos de números irracionais são , e, √2, entre muitos outros.

Podemos resumir estas informações com as seguintes relações: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ 𝑒 𝕀 ⊂ ℝ

Axiomas de Corpo

Os chamados axiomas de corpo estabelecem as propriedades algébricas básicas de ℝ, e deles podem deduzir-se as propriedades algébricas dos números reais.

Em ℝ estão definidas duas operações, a adição e a multiplicação. (Você deve estar se perguntando onde estão a subtração e a divisão; tenha um pouco de paciência!)

Adição

A adição aplicada a um par ordenado (𝑎, 𝑏) de números reais associa um único número real 𝑎 + 𝑏, chamado de soma de a e b, onde a e b são chamados parcelas.

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A multiplicação aplicada a um par ordenado (𝑎, 𝑏) de números reais associa um único número real 𝑎 ∙ 𝑏, chamado de produto de a e b, onde a e b são chamados fatores (Podemos omitir o símbolo " ∙ " e escrevermos apenas ab para representar o produto).

Para ambas as operações, adição e multiplicação, vale a seguinte regra:

Se 𝑎 = 𝑏, então 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 𝑒 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐, onde a, b e c são números reais, isto é, em uma soma ou em uma multiplicação podemos sempre somar ou multiplicar uma mesma quantidade, sem alterar a igualdade.

Vejamos agora as propriedades básicas da adição e da multiplicação.

Propriedade Comutativa da Adição: quaisquer que sejam dois números reais a e b, temos sempre que 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.

Exemplos:

3 + 4 = 4 + 3 = 7

4,25 + 2,75 = 2,75 + 4,25 = 7,00 −1 + 2 = 2 + (−1) = 1

Propriedade Associativa da Adição: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, temos sempre que (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐). Por essa razão omitimos os parênteses, escrevendo apenas 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. Esta propriedade é válida para qualquer número de parcelas.

Exemplos:

(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 12 2,5 + (3,5 + 4,5) = (2,5 + 3,5) + 4,5 = 10,5

(−1 + 3) + 2 = −1 + (3 + 2) = 4

Elemento Neutro da Adição: Existe o elemento neutro na adição, tal que para qualquer real a, tem-se que 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎.

Exemplos: 1 + 0 = 0 + 1 = 1 −5 + 0 = 0 + (−5) = −5

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Elemento Oposto: qualquer que seja o número real a, temos sempre o número real –a, chamado de oposto de a, tal que 𝑎 + (−𝑎) = 0.

Exemplos:

3 + (−3) = 0 −2 + [−(−2)] = 0

5,2 + (−5,2) = 0

Propriedade Comutativa da Multiplicação: quaisquer que sejam dois números reais a e

b, temos sempre que 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎.

Exemplos:

3 ∙ 4 = 4 ∙ 3 = 12 (−2) ∙ 5 = 5 ∙ (−2) = −10

𝜋 ∙ 5 = 5 ∙ 𝜋

Propriedade Associativa da Multiplicação: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, temos sempre que (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐). Por essa razão omitimos os parênteses, escrevendo apenas 𝑎𝑏𝑐. Esta propriedade é válida para qualquer número de fatores.

Exemplos:

(3 ∙ 4) ∙ 5 = 3 ∙ (4 ∙ 5) = 60 (−2 ∙ 5) ∙ 3 = (−2) ∙ (5 ∙ 3) = −30

(2 ∙ 0,5) ∙ 5 = 2 ∙ (0,5 ∙ 5) = 5

Elemento Neutro da Multiplicação: Existe o elemento neutro na multiplicação, tal que para qualquer real a, tem-se que 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎.

Exemplos:

1027 ∙ 1 = 1 ∙ 1027 = 1027 (−8) ∙ 1 = 1 ∙ (−8) = −8

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Elemento Inverso: qualquer que seja o número real 𝑎 ≠ 0, temos sempre o número real 1_𝑎 (ou 𝑎−1) chamado de inverso de a, tal que 𝑎 ∙_𝑎1 = 1.

Exemplos: 2 ∙1 2= 1 (−5) ∙ 1 (−5)= 1 𝑒 ∙1 𝑒 = 1

Propriedade Distributiva: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, temos sempre que 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = (𝑏 + 𝑐) ∙ 𝑎 = 𝑏𝑎 + 𝑐𝑎.

Exemplos:

(3 + 4) ∙ 5 = 3 ∙ 5 + 4 ∙ 5 = 5 ∙ (3 + 4) = 5 ∙ 3 + 5 ∙ 4 = 35 (1 − 2) ∙ 3 = 1 ∙ 3 + (−2) ∙ 3 = 3 ∙ (1 − 2) = 3 ∙ 1 + 3 ∙ (−2) = −3 (𝜋 + 2𝜋) ∙ 5 = 𝜋 ∙ 5 + 2𝜋 ∙ 5 = 5 ∙ (𝜋 + 2𝜋) = 5 ∙ 𝜋 + 5 ∙ 2𝜋 = 15𝜋

Estas regras básicas que acabaram de ser apresentadas têm algumas consequências, as quais listamos abaixo:

Cancelamento:

Estamos falando aqui daquelas duas regrinhas que são fundamentais para resolver uma equação: “se um número está somado de um lado da equação, podemos passa-lo subtraindo para o

outro lado” e “se um número está multiplicado de um lado de uma equação, podemos passa-lo dividindo para o outro lado”. Apesar de fundamental, muitos alunos erram feio ao passarem termos

de um lado da equação para o outro, e por isso achamos melhor relembrar o que está por trás destas regrinhas.

Para três números reais dados a, b e c, suponha que tenhamos a equação 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, e queremos isolar a no lado esquerdo. Para isso devemos somar a quantidade –b a ambos os lados da equação

𝑎 + 𝑏 = 𝑐

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𝑎 = 𝑐 − 𝑏

Vemos, então, que podemos passar uma parcela de um lado a outro de uma equação desde que tomemos seu oposto.

Exemplos:

Se 𝑥 + 2 = 1 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 1 − 2 = −1 Se 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑤 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑤 − 𝑦 − 𝑧

Agora para três números reais dados a, b e c, com 𝑎 ≠ 0, suponha que tenhamos a equação 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐, e queremos isolar b no lado esquerdo. Para isso devemos dividir ambos os lados da equação por a 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐 𝑎 ∙ 𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑎 𝑏 =𝑐 𝑎

Vemos, então, que podemos passar um fator de um lado a outro de uma equação desde que tomemos seu inverso.

Exemplos:

Se 2𝑥 = 5, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 =5₂ 𝑆𝑒 − 7,2𝑥 = 1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 1

(−7,2)

O chamado cancelamento é apenas a aplicação do que acaba de ser dito. Vejamos especificamente no caso da adição: Se temos uma equação do tipo

𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝

o que fazemos é somar –m (o inverso da parcela em comum) a ambos os lados da equação, obtendo 𝑚 + 𝑛 + (−𝑚) = 𝑚 + 𝑝 + (−𝑚)

𝑛 = 𝑝

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Para o caso da multiplicação, se temos uma equação do tipo 𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑝, onde 𝑚 ≠ 0, o que fazemos é dividir ambos os lados da equação por m (o fator comum), obtendo

𝑚 ∙ 𝑛

𝑚 =

𝑚 ∙ 𝑝 𝑚 𝑛 = 𝑝

que na prática é visto como o cancelamento do fator em comum. Exemplos: 𝑥 + 5𝑎 = 𝑦 + 5𝑎 𝑥 + 5𝑎 − 5𝑎 = 𝑦 + 5𝑎 − 5𝑎 𝑥 = 𝑦 5𝑥𝑒1𝑎 = 5𝑦𝑒𝑎1 5𝑥𝑒1𝑎 5𝑒1𝑎 =5𝑦𝑒 1 𝑎 5𝑒𝑎1 𝑥 = 𝑦 Anulação:

Regra do fator nulo: qualquer que seja o real a, 𝑎 ∙ 0 = 0 ∙ 𝑎 = 0

Regra do produto nulo: quaisquer que sejam os reais a e b, se

𝑎 ∙ 𝑏 = 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑏 = 0 (𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑎 = 𝑏 = 0)

Regras de Sinal

Para quaisquer a e b reais, temos que:

𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏

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Leila Thomazelli Thieghi Página 7 (−𝑎) ∙ (−𝑏) = 𝑎𝑏 −(−𝑎) = 𝑎 Exemplos: (−3) ∙ 5 = 3 ∙ (−5) = −3 ∙ 5 = −15 (−4) ∙ (−2) = 4 ∙ 2 = 8 −(−2) = 2

Imagino que esteja se perguntando onde é que ficaram a subtração e a divisão, se terão sido esquecidas. Aqui estão elas.

Subtração

A subtração 𝑎 − 𝑏 , ou a diferença de a e b, nada mais é que a soma de a com o oposto de b: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)

Então, a subtração deve seguir as mesmas regras da adição. A propriedade distributiva da subtração fica:

𝑎 ∙ (𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐

(𝑏 − 𝑐) ∙ 𝑎 = 𝑏𝑎 − 𝑐𝑎 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 − 𝑐)

Divisão:

A divisão de a por b, ou o quociente de a por b, com 𝑏 ≠ 0, nada mais é senão a multiplicação de a pelo inverso de b:

𝑎 𝑏= 𝑎 ∙

1 𝑏

Então, a divisão deve seguir as mesmas regras da multiplicação. Referências:

http://www.mundoeducacao.com/matematica/numeros-irracionais.htm

Bosquilha, Alessandra, “Minimanual compacto de matemática : teoria e prática : ensino fundamental.”-- 2. ed. rev. -- São Paulo : Rideel, 2003.

Bosquilha, Alessandra, “Minimanual compacto de matemática : teoria e prática : ensino médio”, Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo : Rideel, 2003.