Quando as Variáveis são Muitas

Quando as Variáveis são Muitas

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PPGEM

Prof

Daniele Toniolo Dias F. Rosa

• A medida que o número de fatores em um experimento

fatorial 2k _{aumenta, o número de corridas também}

aumenta e consequentemente o número de interações de ordem alta.

• Se o condutor do experimento assumir que estas

interações não são úteis para o experimento, pois são difíceis de interpretar, então, os efeitos principais e das interações de baixa ordem serão fundamentais, desta interações de baixa ordem serão fundamentais, desta

forma, eles deverão ser obtidos mesmo que seja realizada apenas uma fração deste experimento.

• Isto é possível por dois motivos:

• Primeiro, o número de interações de ordem alta aumenta

dramaticamente com o número de fatores. Na maioria dos casos, essas interações têm valores pequenos e são

Ordem k 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 3 3 3 1 --- --- --- ---4 4 6 4 1 --- ---

---Tabela 4.1 Número de efeitos principais e de interações, dado em função do número de fatores, k. A ordem de uma interação é o número de fatores envolvidos na sua

definição.

• Em segundo lugar, quando o número de fatores aumenta,

crescem as chances de que um ou mais deles não afetem significativamente a resposta, seja por meio de efeitos principais, seja por meio de efeitos de interação.

4 4 6 4 1 --- ---

---5 5 10 10 5 1 ---

---6 6 15 20 15 6 1

• Por outro lado, em muitas situações não conhecemos, a

relação completa de todas as variáveis que afetam significativamente a resposta.

• Para não excluir fatores que podem vir a ser importantes,

devemos estudar, o maior número possível de variáveis.

• Podemos fazer isso sem aumentar o no de ensaios, usando

planejamentos fracionários.

• Na prática das indústrias, este tipo de experimento é muito • Na prática das indústrias, este tipo de experimento é muito

utilizado, pois permite reduzir o número de corridas e

consequentemente o custo de realização do experimento.

• A maior aplicação prática deste tipo de experimento fatorial

é na seleção de variáveis. O experimento fatorial é

Frações meias de planejamentos

fatoriais

• Exemplo: Otimizar um procedimento analítico para

determinar traços de molibdênio em plantas (Eiras, 1991).

• Método baseado na ação catalítica da espécie Mo(VI)

sobre a oxidação do íon I- _{pelo H}

2O2, feita num sistema de

fluxo contínuo. fluxo contínuo.

• 4 fatores escolhidos: as concentrações de H₂O₂, H₂SO₄, e KI

e o tempo de reação dessas espécies com o Mo(VI).

• A influência desses fatores sobre a intensidade do sinal

analítico foi analisada por meio de um planejamento 24

Fig. Gráfico normal dos valores dos efeitos calculados para o fatorial completo 24 no estudo da ação catalítica do Mo(VI)

KI tempo

Exercício 4.1

•

Use os dados da Tabela 4.2 e confirme que os

valores dos efeitos significativos nesse

• Para fazer o planejamento fatorial completo, precisamos

fazer dezesseis ensaios.

• Digamos que por economia, os pesquisadores tivessem

decidido realizar apenas 8 ensaios.

• E escolhessem precisamente os que estão assinalados na

matriz de planejamento da Tabela 4.2 (ensaios 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16).

• Nesse caso, eles só teriam obtido as 8 respostas • Nesse caso, eles só teriam obtido as 8 respostas

reproduzidas na última coluna da Tabela 4.4.

• Multiplicando duas a duas as colunas apropriadas na

matriz planejamento, obtemos os sinais necessários para o cálculo dos valores das seis interações de dois fatores.

• Aplicando-os às respostas, chegamos aos valores também

4

y

X

efeitos

=

• Comparando os valores dos efeitos obtido com o

planejamento completo e os contrastes calculados somente com a meia fração:

• As estimativas da média e dos efeitos principais são muito

parecidos.

• Os valores das interações significativas do fatorial

completo também estão em boa concordância com os completo também estão em boa concordância com os valores dos contrastes l₂₃ e l₂₄.

• Entretanto, as interações envolvendo o fator 1 são muito

superestimadas pelos valores de l₁₂, l₁₃ e l₁₄.

• Com oito ensaios da meia fração só podemos estimar oito

grandezas independentes.

• Com o cálculo da média e dos 4 efeitos principais restam

• Pode-se constatar que na verdade l₁₂=l₃₄, l₁₃=l₂₄ e l₁₄=l₂₃. • Isto ocorre porque na Tabela 4.4 as colunas de sinais para

as interações 12, 13 e 14 são idênticas às colunas correspondentes a 34, 24 e 23.

• Se admitirmos que as interações envolvendo o fator 1

não são importantes (porque seu efeito principal é

≅ ≅ ≅

não são importantes (porque seu efeito principal é desprezível), então concluiremos que l₁₂ ≅ l₁₃ ≅ l₁₄ ≅ 0.

• Esse novos valores, juntamente com l₂₃=26,75 , l₂₄ =24,75

• O planejamento com 8 ensaios mostrado na Tabela 4.4 é

uma fração meia do fatorial completo da Tabela 4.2.

• Costuma-se representá-lo com a notação 24-1_{, que é a}

metade de 24_. . 8 2 2 2 2 24 _{1 4 4 1} = = = − −

• Esta notação indica que temos 4 fatores, cada um com

dois níveis, mas realizamos apenas 8 ensaios.

• A presença do valor -1 no expoente significa que o fatorial

•

Use os sinais da Tabela 4.4 para calcular os

contrastes correspondentes às interações 134

e 1234. Já sabemos que não há mais graus de

liberdade para isso, e que portanto esses

valores não devem ser independentes dos

Exercício 4.2

valores não devem ser independentes dos

valores já calculados. Com que outros

contrastes eles se confundem? Você acha que

faz sentido interpretar esse valores como

(a) Como construir uma fração meia

• O planejamento fracionário 24-1 _{da Tabela 4.4 foi construído}

da seguinte maneira:

1. Construímos um planejamento 23 _{completo para os fatores}

1, 2 e 3;

2. Atribuímos ao fator 4 os sinais do produto das colunas 1, 2 2. Atribuímos ao fator 4 os sinais do produto das colunas 1, 2

e 3.

• A primeira consequência desse procedimento é que os

contrastes l₁₂₃ e l₄ se tornam idênticos.

• Este é um resultado semelhante ao obtido com a blocagem. • Deve haver outras identidades entre contrastes.

• Representaremos as colunas de sinais por números (ou

• Assim a notação 123 indicará a coluna de sinais obtida

com a multiplicação das colunas correspondentes aos três primeiros fatores. Essa coluna como acabamos de ver, é idêntica à do fator 4. Podemos escrever portanto

• Para obter as relações entre os diversos contrastes, vamos

empregar duas propriedades da multiplicação das colunas de sinais.

• A primeira é que a multiplicação de uma coluna por ela

123

4 = (4.1)

• A primeira é que a multiplicação de uma coluna por ela

mesma, produz uma coluna contendo apenas sinais

positivos. Essa nova coluna quando aplicada sobre outra, deixa-a inalterada (elemento identidade I):

• A segunda propriedade reconhece que a multiplicação das

colunas é comutativa e associativa. Por ex.:

• Para obter as relações entre os vários contrastes,

multiplicamos a expressão definidora do fracionamento (Eq. 4.1), por algum produto de colunas e aplicamos as propriedades enunciadas.

• Quando quisermos saber a que equivale determinado

contraste, precisamos isolá-lo num dos lados da Eq. (4.1).

• Por ex.: qual é o contraste que tem os mesmos sinais que • Por ex.: qual é o contraste que tem os mesmos sinais que

l₂. É possível isolar o fator 2 no lado direito da Eq. 4.1 multiplicando 123 pelo produto 13 (o que transformará em identidade o 1 e o 3 ).

• Então concluímos que l₁₃₄=l₂.

• Dizemos que o emprego da fração meia confunde o

efeito principal 2 com a interação 134.

• O valor do contraste calculado, l₂ (ou l₁₃₄), é na verdade

uma estimativa da soma dos dois efeitos.

• Você pode confirmar que isso é verdade, adicionando os

valores dos efeitos 2 e 134 na Tabela 4.3 e comparando o resultado com o valor de l₂ na Tabela 4.4.

• Para mostrar que o contraste calculado confunde os dois

efeitos e estima a sua soma costuma-se empregar a notação

notação

• Todas as relações entre os contrastes calculados na fração

meia 24-1 e os efeitos obtidos com o planejamento 24 (os

chamados padrões de confundimento) são mostrados na segunda coluna da Tabela 4.5.

134 2 +

→

2

•

Quantos ensaios tem um planejamento 2

?

•

Escreva por extenso as expressões algébricas

para o cálculo dos efeitos 2 e 134 no fatorial 2

completo e mostre que o contraste l

Exercício 4.3, 4.4 e 4.5

completo e mostre que o contraste l

calculado na meia fração realmente

corresponde à soma desses dois efeitos.

(b) Relações geradoras de fatoriais

fracionários

• A fração meia foi obtida a partir da igualdade 4=123

(Eq. 4.1). A literatura costuma apresentar essa relação na forma

• Nessa forma (elemento identidade isolado) a expressão

1234

I = (4.2)

• Nessa forma (elemento identidade isolado) a expressão

é conhecida como geratriz (ou relação geradora) do fatorial fracionário.

• Ela é suficiente para definir toda a fração meia.

• Cada possível fração de um planejamento completo

• Considerando agora os ensaios restantes da Tabela 4.2,

aqueles que não foram usados nos cálculos do fatorial fracionário.

• Esse 8 ensaios também constituem uma fração meia. • Os sinais do fator 4 nesses ensaios são o contrários dos

sinais do produto 123. Podemos dizer que essa outra fração é gerada pela relação

,

123

4 = − (4.3)

ou, que sua geratriz é

• Os contrastes agora são estimativas da diferença entre

dois efeitos do planejamento completo. Por ex.

• As relações entre os novos contrastes (identificados

pelo asterisco) e os efeitos do planejamento completo são as mesmas da segunda coluna da Tabela 4.5 com os sinais negativos.

• Também podemos usar a segunda fração meia, que é

chamada de fração complementar, para estimar os efeitos do fatorial.

efeitos do fatorial.

• Com os valores e sinais apropriados, teríamos, por ex.,

em boa concordância com o valor do efeito principal 2 obtido para o fatorial completo (109,38).

•

Use os ensaios da fração meia complementar

na Tabela 4.2 para calcular os valores dos

contrastes l

, l

, e l

. Compare os resultados

com os valores dados na Tabela 4.4 e também

Exercício 4.6

com os valores dados na Tabela 4.4 e também

com os efeitos principais calculados no

• Se juntarmos as duas frações meias, teremos de novo o

fatorial de partida.

• Fazendo a combinação dos contrastes apropriados,

podemos recuperar os valores dos efeitos sem nenhum confundimento.

• Por ex., l₂ e l₂* _{envolvem o mesmo par de efeitos, 2 e 134.}

• Somando-os, teremos

(

)(

)

• O valor do efeito principal será portanto a metade da soma

dos dois contrastes:

• A interação 134 será dada pela metade da diferença entre l₂

•

Como você combinaria os valores dos

contrastes para obter o efeito da interação

1234? Faça as contas e compare o resultado

com o valor dado na Tabela 4.3.

Exercício 4.7

O Conceito de resolução

(a) Fatoriais fracionários de resolução

quatro 2

• Se as interações de três fatores forem mesmo desprezíveis,

os contrastes devem fornecer ótimas aproximações dos efeitos principais do fatorial completo.

• Devemos ter por ex., l₂≅l₂*≅_{2 (l}

i≅li*≅i).

• Devemos ter por ex., l₂≅l₂*≅_{2 (l}

i≅li*≅i).

• Entretanto a interpretação dos contrastes de combinações

de pares de interação fica mais difícil.

• Por ex. o valor de l₁₄ (da Tabela 4.4) é 26,75. Pelos padrões

de confundimento (Tabela 4.5), esse valor corresponde à soma das interações 14 e 23. Ele deve ser atribuído

principalmente a 14, 23 ou igualmente às duas?

• No entanto estes resultados indicam que o fator 1

(concentração de H₂SO₄) não tem efeito principal

significativo, ao contrário dos fatores 2 (KI) e (H₂O₂), o que sugere que a interação 23 deve ser, em princípio, mais

importante que a interação 14.

• Portanto o valor do contraste l₂₃(ou l₁₄) deve ser uma boa

aproximação da interação entre os fatores [KI] e [H₂O₂].

• Infelizmente, nem sempre isso funciona. • Infelizmente, nem sempre isso funciona.

• O planejamento 24-1 _{é um exemplo de fatorial fracionário de}

resolução quatro (índice em algarismo romano).

• A resolução é determinada pelo número de fatores que

compõe o termo mais curto presente nas suas relações

(b) Fatoriais fracionários de resolução

cinco

• No estudo do sinal analítico do Mo(VI), na verdade foi

investigado mais um fator além dos quatro já

mencionados: o fluxo através do sistema contínuo.

• Os 16 ensaios cujos resultados estão na Tabela 4.2 não

correspondem realmente a um planejamento 24_{, e sim a}

correspondem realmente a um planejamento 24_{, e sim a}

uma fração meia de um planejamento 25, que está

apresentado na Tabela 4.6.

• Essa fração foi construída a partir da relação 5=1234, ou,

a partir de

• Trata-se portanto de uma fração meia de resolução cinco,

para a qual podemos usar a notação 2_V5-1

12345

•

Numa fração meia de resolução seis, os efeitos

principais estão confundidos com quem? E as

interações de dois fatores?

•

Explique porque os resultados dos ensaios

Exercício 4.9 e 4.10

(c) Variáveis inertes e fatoriais

embutidos em frações

• Vemos na Tabela 4.7 que os contrastes envolvendo os

fatores 1 e 5 (concentração de ácido sulfúrico e o fluxo) são aparentemente desprezíveis.

• São variáveis inertes que não precisamos mais levar em

consideração neste estudo.

• Isso permite retirar da Tabela 4.6 as colunas

correspondentes, o que nos deixará com um fatorial 23_,

• Planejamento fatorial 23 em duplicata obtido a partir da

fração 25-1 _{quando as variáveis [H}

2SO4] e Fluxo são

eliminadas. _{Valores mais altos}

• O aparecimento de fatoriais embutidos em decorrência da

inércia de determinadas variáveis é uma situação que pode ocorrer com qualquer planejamento fatorial.

• A próxima figura mostra a razão disto ocorrer, para o

fatorial 2_III3-1_{com sinais definidos pela relação 3=12.}

• Se eliminarmos o fator 3 desse planejamento, teremos um

fatorial 22 _{nas variáveis 1 e 2.}

• Geometricamente, ao eliminar a variável 3 retiramos o seu • Geometricamente, ao eliminar a variável 3 retiramos o seu

eixo da figura.

• O cubo fica reduzido a um simples quadrado, situado no

plano definido pelos fatores 1 e 2 (projeção do fatorial fracionário no plano 12).

• Qualquer que seja a variável eliminada, teremos um

• Representação geométrica dos três fatoriais completos 22

Na Tabela 4.8 temos as duas meias frações dos fatoriais 24 _e

25_.

Se eliminarmos qualquer

variável de uma fração 2 4-1,

variável de uma fração 2_IV4-1,

ficaremos com um

planejamento 23 _{completo nas}

outras variáveis.

(d) Fração meias com resolução

máxima

• No 1º ex., partimos de um fatorial 23 e usamos a interação

123 para definir os níveis da 4ª variável (ΙΙΙΙ=1234) - Fração de resolução IV.

• No 2º ex., começamos com um planejamento 24 _{e com a}

• No 2º ex., começamos com um planejamento 24 _{e com a}

relação ΙΙΙΙ=12345, chegamos a uma fração de resolução V.

• Usar sempre a interação de ordem mais alta no fatorial de

partida é o mais indicado.

• Se definíssemos os sinais da variável 5 na fração 25-1 _pela

• Meias frações baseadas na interação mais alta possível

são as que tem a resolução máxima.

• Em geral, para construir uma fração 2k-1 _{de resolução}

máxima, devemos fazer o seguinte: máxima, devemos fazer o seguinte:

1. Escrever o planejamento completo para k-1 variáveis; 2. Atribuir à variável restante os sinais da interação

•

Construa um planejamento fracionário 2

usando a relação 5=124. Determine, nessa

fração, as relações existentes entre os

contrastes correspondentes a um e a dois

Exercício 4.11

Triagem de variáveis

(a) Fatoriais fracionários de resolução

três

• Quando estamos investigando o efeito de muitas

variáveis, fazer um planejamento completo logo de saída nunca é uma boa política.

saída nunca é uma boa política.

• É melhor começar com um planejamento fracionário e

fazer uma triagem, ou seja, separar os fatores realmente significativos.

• O planejamento sempre poderá ser completado mais

• Dependendo do número de fatores a fração meia ainda

pode ser grande demais.

• Neste caso pode-se considerar planejamentos fracionários

contendo apenas um quarto do total de ensaios.

• Com cinco variáveis, como no ex. do Mo(VI), o

planejamento teria apenas oito ensaios e corresponderia a uma fração 25-2_{. Para construir sua matriz,}

começaríamos com um fatorial 23 baseado em 3 das 5

começaríamos com um fatorial 23 baseado em 3 das 5

variáveis e precisaríamos de 2 relações geradoras, para definir os níveis das duas variáveis restantes.

• Por ex., para chegar ao planejamento mostrado na

Mais econômico, mas produz contrastes que misturam efeitos principais com interações de dois fatores. Analisando os resultados da fração quarta os pesquisadores podem pesquisadores podem decidir se vão fazer mais ensaios e chegar até uma fração meia ou mesmo até o

fatorial completo 25

, se vão introduzir novas variáveis no lugar de 1 e 5, ou ainda se

• Os efeitos confundidos num determinado contraste são determinados pelas relações geradoras do fatorial e por todos os seus possíveis produtos. Nos

planejamentos 24-1

e 25-1

só havia uma relação

geradora, e por isso os efeitos eram confundidos dois a

dois. No planejamento 25-2

, como existem duas

Exercício 4.12

dois. No planejamento 25-2

, como existem duas

relações geradoras, precisamos considerar 3 equações:

as próprias relações, ΙΙΙΙ=1234 e ΙΙΙΙ=125, e o seu produto,

(ΙΙΙΙ)(ΙΙΙΙ)=ΙΙΙΙ=(1234)(125)=345. Cada efeito estará portanto

confundido com outros três. (a) Use estas relações

(b) Planejamentos saturados

• Os planejamento fracionários, que permitem uma triagem

eficaz são particularmente importantes para laboratórios industriais.

• Nos exemplos anteriores, à custa de fragmentar- e portanto

confundir- um planejamento completo, vínhamos confundir- um planejamento completo, vínhamos

conseguindo estudar cada vez mais fatores com cada vez menos ensaios. Limite?

• Dado um certo número de ensaios, deve existir um número

máximo de fatores que podemos estudar com esses ensaios.

• Quando esse limite é alcançado, dizemos que o

Com 8 ensaios podemos estudar no máximo 7

• O planejamento foi construído a partir de um fatorial

completo para as três primeiras variáveis, usando-se as relações geradoras ΙΙΙΙ=124, ΙΙΙΙ=135, ΙΙΙΙ=236 e ΙΙΙΙ=1237 para definir os níveis das quatro variáveis restantes.

• Esse planejamento é chamado de saturado porque todas

as possíveis interações entre os fatores do planejamento base, 12, 13, 23 e 123, foram usadas para determinar os níveis das outras variáveis.

níveis das outras variáveis.

• Isso torna impossível definir novas variáveis cujos níveis

não sejam inteiramente coincidentes com os níveis de uma das que já fazem parte do planejamento.

• Como o termo mais curto no conjunto das relações

• O fatorial completo tem 27_{=128 parâmetros, usando 8}

observações estaremos confundindo em cada contraste um total de 128/8=16 efeitos. E precisamente o fatorial 2_III7-4 _{corresponde a 1/16 do fatorial completo.}

• A Tabela 4.11 mostra apenas as interações de 2 fatores.

( 56 66 51 52 54 70 42 64) 4 / 1 1 = − + − + − + − + l

Exercício 4.13 e 4.14

•

Calcule o valor do contraste correspondente ao

efeito principal do lado da quadra, usando os

dados da Tabela 4.10.

•

No fatorial 2

cada efeito principal é confundido

com quinze interações. Para descobrir o que se

com quinze interações. Para descobrir o que se

confunde com o quê, é necessário usar, além das 4

relações geradoras, seus seis produtos binários,

seus 4 produtos ternários e finalmente o produto

de todas elas. Determine que interações estão

• Considerando todas as interações de dois fatores também

desprezíveis.

• Cada contraste passará a representar um efeito principal,

ficando evidente que a técnica e a frequência são os fatores mais importante dos sete.

• A mudança do saque chapado para cortado resulta num

aproveitamento 12,25% maior, enquanto o aumento da frequência dos saques piora a precisão em 9,25%.

• São resultados esperados para um tenista amador (nível • São resultados esperados para um tenista amador (nível

médio).

• Para lado esquerdo de onde o saque é feito o aproveitamento

subiu cerca de 7% (esperado, uma vez que o autor é canhoto)

• O emprego de uma raquete maior ajuda a melhorar os

acertos em aproximadamente 4%.

• Os demais fatores (hora, camisa e revestimento da quadra)

• E se os efeitos de interação que desprezamos são os

verdadeiros responsáveis pelos altos valores dos contrastes?

• Por ex., os fatores 1 e 2. A interação 12 está embutida no

contraste l4, cujo valor é praticamente nulo. Se 12 fosse significativa esperaríamos um valor maior para l₄.

• Um argumento similar pode ser aplicado às interações 15 e

17, que contribuem para os contrastes l₃ e l₆, respectivamente.

• Restam as interações 25, 27 e 57, que participam de • Restam as interações 25, 27 e 57, que participam de

contrastes importantes.

• A interação 27, entra em l₅ (lado da quadra). Se o valor de

27 for significativo, a interpretação de l₅ será diferente.

Planejamento usado para separar (desconfundir) o valor do efeito

Exercício 4.15

•

Cada ensaio das Tabelas 4.10 e 4.12

corresponde à realização de saques sob certas

condições, especificadas pelos sinais das

respectivas matrizes de planejamento.

respectivas matrizes de planejamento.

Descreva a realização do ensaio número 4 na

Tabela 4.10. Qual a diferença, em termos

Note que: (a) todas as interações binárias do fator 5 estão com o sinal

negativo, e (b) todas as interações binárias do contraste l5 também estão com

o sinal negativo.

O único contraste com valor claramente significativo é o correspondente à técnica de saque.

• Para isolar o efeito principal 5, combinamos os dois

contrastes em que ele aparece:

• Da mesma forma: . 75 , 4 2 75 , 2 75 , 6 2 * 5 5 + = + = = l l 5 . 00 , 2 2 * 5 5 − = = + + 46 27 l l 13

• Podemos concluir então, que o efeito principal do lado

da quadra no aproveitamento do saque é quase 5%, ao passo que o efeito combinado das interações 13, 46 e 27 é de 2%.

Os valores absolutos das interações binárias envolvendo o fator 5 são todos inferiores a 2,25.

Se admitirmos que o valor verdadeiro de todas elas é zero, podemos usar estes 7 valores para estimar o erro de um contraste: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 25 , 0 50 , 1 00 , 2 50 , 0 50 , 1 25 , 2 50 , 0 2 2 2 2 2 2 2 2₌ − + − + + + + + − c s

o que dá um erro padrão de 1,42.

02 , 2 2 ₌ c s

o que dá um erro padrão de 1,42. Com essa estimativa do erro

podemos concluir que só os

contrastes envolvendo os efeitos principais da técnica (1), da

(c) Como construir uma fração de

resolução três

• Saturando um planejamento completo 2m

, podemos obter planejamentos fracionários de resolução três para um total de 2m

-1 variáveis.

• Para isso temos que utilizar relações geradoras obtidas a partir de todas as possíveis interações dos m fatores de partir de todas as possíveis interações dos m fatores de partida.

• Por ex., com um fatorial 24

, devemos empregar as onze relações: 5=12, 6=13,7=14, 8=23,9=24, 10=34, 11=123, 12=124, 13=134, 14=234 e 15=1234. A fração resultante terá 16 ensaios e com ela será possível estudar o efeito de quinze (24

-1) variáveis. Sua notação será 2III

15-11

(d) Como construir uma fração 2

a

partir de uma fração 2

• Planejamento de resolução IV podem ser construídos de

planejamentos saturados de resolução III.

• Por ex., partindo da nossa primeira fração 2_III7-4,

podemos construir o planejamento 2_IV8-4 _{mostrado na}

Tabela 4.15. Tabela 4.15.

• Para isso acrescentamos ao planejamento de partida

uma coluna para o fator 8, toda de sinais positivos.

• Como um planejamento 28-4 deve ter 16 ensaios,

precisamos de mais 8 linhas.

• Invertemos os sinais dos 8 primeiros ensaios, linha por

O 9º ensaio será o 1º com os sinais trocados, o 10º será a inversão do 2º , e assim até o 16º, que só tem sinais negativos e

portanto é obtido portanto é obtido a partir do 8º .

• Com resolução IV, podemos separar completamente

todos os efeitos principais das interações de dois fatores, como mostra a Tabela abaixo.

(e) Planejamentos saturados de

Plackett e Burman

• Vimos que realizando 8, 16, 32,..., 2m ensaios, podemos

empregar planejamentos e com eles estudar a influência de até 7, 15, 31,..., 2m-1 fatores.

• Uma outra classe de planejamentos fracionários emprega um

total de 12, 20, 24, 28, ... ensaios para investigar total de 12, 20, 24, 28, ... ensaios para investigar simultaneamente até 11, 19, 23, 27, ... fatores.

• Esses planejamentos propostos por R. L. Plackett e J. P.

Burman, permitem estimar todos os k=n-1 efeitos principais (n=número de ensaios) com variância mínima.

• A Tabela 4.17 mostra o planejamento Plackett-Burman (n=12) • Os n/2 sinais positivos de qualquer coluna correspondem, nas

• Em outras palavras, as colunas são todas ortogonais, o que

permite que os efeitos principais de cada fator sejam

determinados individualmente, admitindo-se que os efeitos de interação sejam desprezíveis.

• Embora num planejamento saturado seja possível estudar

até n-1 fatores, é aconselhável um número menor, para que as colunas não utilizadas façam o papel de variáveis inertes e possam ser empregadas para estimar o erro associado aos contrastes.

contrastes.

• No caso dos planejamentos Plackett-Burman, recomenda-se

que o número de fatores reais não ultrapasse n-4. Na Tabela 4.17 devemos estudar no máximo 8 fatores.

• Uma desvantagem é que as relações entre os contrastes

(f) Técnicas de Taguchi para

engenharia de qualidade

No Japão pós-guerra Genichi Taguchi desenvolveu

planejamentos experimentais com o objetivo de projetar produtos ou processo que:

produtos ou processo que:

• Fossem pouco sensíveis a variações ambientais;

Em relação ao pensamento tradicional houveram duas novidades:

• Qualquer desvio em relação ao valor alvo passou a ser

considerado indesejável, mesmo que o produto estivesse dentro dos limites especificados.

• Durante o planejamento do produto era recomendável

levar em conta os fatores que podemos controlar levar em conta os fatores que podemos controlar

durante o processo de fabricação, e também fatores que são difíceis ou impossíveis de controlar, mas podem

afetar a resposta, como pequenas flutuações nos componentes, degradação dos equipamentos ou

• Considere uma mistura para bolo, fabricada com 4

ingredientes: farinha de trigo, açúcar, ovos e gordura vegetal.

• Quando o cozinheiro prepara o bolo, tem de adicionar

leite, ajustar a temperatura do forno e controlar o tempo que a massa ficará assando.

• Esses fatores também afetam o resultado final, mas estão

fora do alcance do fabricante, por mais explícitas que fora do alcance do fabricante, por mais explícitas que sejam as instruções na embalagem.

• Aos 1º fatores, que podem ser controlados na fabricação

da mistura, Taguchi chama de parâmetros. Os outros são fontes de ruído. Na abordagem de Taguchi, estes últimos também devem ser incluídos durante o planejamento e o desenvolvimento do produto (planejamentos fatoriais

• Dois tipos de planejamento devem ser construídos: um

arranjo interno, envolvendo apenas os parâmetros, e um arranjo externo baseado nas fontes de ruído.

• Esses dois arranjos são então cruzados, isto é, realizam-se

ensaios em todas as suas possíveis combinações.

• Na mistura para bolo, por ex., se considerarmos apenas dois

níveis para todos os sete fatores mencionados, uma abordagem tauguchiana poderia resultar no esquema mostrado na Tabela 4.18.

abordagem tauguchiana poderia resultar no esquema mostrado na Tabela 4.18.

• Para Taguchi, a resposta deve estar tão próxima do alvo

quanto possível, mas também deve ser robusta (pouco sensível) à influência do ruído.

• Isto significa que devemos levar em conta não só as

• Na análise de Taguchi, na verdade, deveríamos escolher o

melhor ensaio analisando uma relação sinal-ruído, escolhida de acordo com o objetivo do experimento.

• Para este ex., em que o objetivo é chegar a um

determinado valor nominal, Taguchi recomenda maximizar a relação

• Cujos valores aparecem na última coluna da Tabela 4.18. , log 10 ₂ 2 s y SN_T =

• Cujos valores aparecem na última coluna da Tabela 4.18. • Por este critério, o 2º ensaio também seria o escolhido. Já

o 8º ensaio, que dos outros sete é o único centrado no valor alvo, ficaria em antepenúltimo lugar, ganhando apenas do 4º e do 6º ensaios.

• Isto é uma consequência da ênfase taguchiana na

• A estratégia de Taguchi para melhoria da qualidade é

intrinsecamente multivariada, não trazendo grandes novidades do ponto de vista formal.

• Seus planejamentos envolvendo dois níveis, por ex.,

têm a mesma estrutura dos planejamentos fatoriais discutidos anteriormente.

discutidos anteriormente.

• Na metodologia taguchiana, como vimos, esses