Avaliação de Projetos de Investimento em Plantas XTL
utilizando a Teoria de Opções Reais
Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Industrial da PUC-Rio.
Orientador: Prof. José Paulo Teixeira
Rio de Janeiro Março de 2007.
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Avaliação de Projetos de Investimento em Plantas XTL
utilizando a Teoria de Opções Reais
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Industrial da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. José Paulo Teixeira Orientador Departamento de Engenharia Industrial-PUC-Rio
Prof. Marco Antônio Guimarães Dias Departamento de Engenharia Industrial-PUC-Rio
Prof. Carlos Patrício Samanez Departamento de Engenharia Industrial-PUC-Rio
Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro
Técnico Científico - PUC-Rio Rio de Janeiro, 06 de março de 2007
autor e do orientador.
Eduardo Ferraz de Lima Vieira Formado em Engenharia Elétrica/Telecomunicações pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Participou do projeto XTL - Cenpes/Petrobras de análise de investimentos de uma planta GTL através da teoria de opções reais.
Ficha Catalográfica Vieira, Eduardo Ferraz de Lima
Avaliação de projetos de investimento em plantas XTL utilizando a teoria de opções reais. Estudo de caso do projeto XTL – Cenpes/Petrobras / Eduardo Ferraz de Lima Vieira; orientador: José Paulo Teixeira. – 2007.
78 f.: il. ; 29,7 cm
Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial)– Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2007.
Inclui referências bibliográficas
1. Engenharia industrial – Teses. 2. Análise de investimentos. 3. Teoria das opções reais. 4. Processo estocástico. 5. Movimento de reversão à media com saltos. 6. Viabilidade econômica. I. Teixeira, José Paulo. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Industrial. III. Título.
CDD: 658.5
À minha família e futura esposa.
Em especial ao professor José Paulo Teixeira, pelo total apoio, sacrifício e orientação no trabalho que foi realizado.
Ao professor Marco Antônio Dias, pela excelência no ensino da metodologia de opções reais e ao professor Carlos Patrício Samanez, pelas opiniões e sugestões de análise.
Ao Centro de Pesquisas e Desenvolvimento Leopoldo A. Miguez de Mello – CENPES, pela iniciativa e suporte desta pesquisa e em especial a todos os colaboradores responsáveis pelo desenvolvimento do projeto XTL, entre eles: Luis Alberto Melchíades, Alessandro Oliveira, Reynaldo Taylor, Luís Eduardo Peron, Sirlei Souza e Henrique S. Cerqueira. Gostaria de agradecer também ao colaborador da área de E&P/Petrobras Edison Tito pelo auxílio na programação da plataforma computacional utilizada.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES, pelo apoio financeiro.
Por fim, à Pontifícia Universidade Católica por todo conhecimento transmitido ao longo de minha graduação em engenharia elétrica e pela excelência de conhecimento no programa de pós-graduação do departamento de engenharia industrial.
Ferraz de Lima Vieira, Eduardo; Teixeira, José Paulo. Avaliação de projetos de investimento em plantas XTL utilizando a teoria de opções reais. Rio de Janeiro, 2007. 78p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
O objetivo da presente dissertação é capturar o valor da flexibilidade que uma planta XTL oferece na entrada do sistema produtivo, onde podem ser utilizados diversos tipos de insumos como matéria-prima. A saída do sistema produtivo também permite que diferentes produtos sejam produzidos. Desta forma, o autor considera que a metodologia das opções reais é a mais indicada para se avaliar tais flexibilidades, sendo o objeto principal deste estudo a análise da opção de conversão (Input/Output Switch option) através da utilização do processo estocástico de reversão à média com saltos. Os resultados desta dissertação podem auxiliar a tomada de decisão dos gestores da área de petróleo e energia, onde outros projetos já foram avaliados através dessa mesma metodologia, no entanto, não existe qualquer interesse em comprovar a eficiência da teoria das opções reais frente às metodologias de avaliação financeira usuais.
Palavras-chave
Análise de investimentos; teoria das opções reais; processo estocástico; movimento de reversão à media com saltos; viabilidade econômica.
Abstract
Ferraz de Lima Vieira, Eduardo; Teixeira, José Paulo. Valuation of XTL Plants Project Investment based on Real Options Theory. Rio de Janeiro, 2007. 78p. MSc Dissertation - Departamento de Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The objective of this dissertation is to value the operational flexibility that a GTL plant can offer at the entrance of the productive process where multiples inputs can be used as row material. Different products also can be produced. The real options theory is considered by the author as the most indicated financial methodology to value theses flexibilities and the main goal of the present study is to value the Input/Output switch option and the mean reversion with jumps stochastic process. The aim of this study is also to support manager’s investment decision from oil and energy field, where others projects has been already valuated with real options theory so the proof of the theory efficiency against traditional valuation methodologies is not object from this study.
Keywords
Investment analysis; real option theory; mean reversion with jumps stochastic process; economic viability.
1 Introdução 14
2 O setor Gas-to-Liquids (GTL) 16
2.1. Histórico 16
2.2. A capital mundial do GTL 18
2.3. Diesel GTL: O combustível limpo 20
2.4. O processo GTL + Gaseificador 22
2.4.1. Geração do Gás de síntese 22
2.4.2. Processo de Fischer–Tropsch 23
2.4.3. Hidroprocessamento 24
3 Análise por Opções Reais 26
3.1. Exemplos de opções reais 27
3.2. A opção de conversão (Switch Use Option) 30
3.3. Simulação de Monte Carlo 32
4 A modelagem estocástica 34
4.1. Definição 35
4.2. Principais processos estocásticos 37
4.2.1. Movimento Aritmético Browniano 38
4.2.2. Movimento Geométrico Browniano 39
4.2.3. Movimento de Reversão à Média 40
4.3. Lema de Itô 42
4.4. Movimento de Reversão à Média com Saltos 44
4.4.1. O modelo 45
5 Estudo de caso: Refinaria XTL 48
5.1. Precificação das opções de conversão 48
5.2. Premissas de simulação 50
5.2.1. Características técnicas dos inputs 50
5.2.2. Capacidade nominal de produção 50
5.2.3. Capex (I0) 51
5.2.4. Custo dos produtos vendidos – CPV 52
5.2.5. Receitas operacionais 53 5.2.6. Impostos e Taxas 55 5.2.7. Séries de Preços 55 5.2.8. Aspectos financeiros 63 5.2.9. Outras premissas 64 6 Resultados e conclusões 65
6.1. Apresentação dos resultados 65
6.2. Conclusões 69
6.3. Sugestões para futuros trabalhos 70
7 Referências bibliográficas 71
8 Apêndices e anexos 73
Figura 1 - Processo Gas-to-Liquids 25 Figura 2 - Flexibilidades em um projeto de investimento 27 Figura 3 - Combinação ótima de insumos e produtos do
processo XTL 31 Figura 4 - Representação gráfica de simulação de Monte Carlo. 32
Figura 5 - Movimento Aritmético Browniano (MAB) 39
Figura 6 - Movimento Geométrico Browniano (MGB) 40
Figura 7 - Movimento de Reversão à Média (MRM) 41
Figura 8 - Preços nominais do óleo Brent e similares – período
mensal (1970 a 2003) 44
Figura 9 - Distribuição de probabilidade dos saltos aleatórios 46 Figura 10 - Curvas de produção de líquidos sintéticos (ASF) 54 Figura 11 - Evolução histórica dos preços do gás natural -
evolução mensal 56
Figura 12 - Evolução histórica dos preços do óleo pesado -
evolução diária 56
Figura 13 - Evolução histórica dos preços da Nafta – evolução mensal 57 Figura 14 - Evolução histórica dos preços do Diesel – evolução mensal 57 Figura 15 - Evolução histórica dos preços da Parafina e Lubrificantes -
evolução mensal 58
Figura 16 - Projeção real e neutra ao risco dos preços do gás natural -
projeção trimestral 60
Figura 17 - Projeção real e neutra ao risco dos preços do óleo pesado -
projeção trimestral 60
Figura 18 - Projeção real e neutra ao risco dos preços da nafta -
projeção trimestral 61
Figura 19 - Projeção real e neutra ao risco dos preços do diesel -
projeção trimestral 61
Figura 20 - Projeção real e neutra ao risco dos preços da parafina -
projeção trimestral 62
Figura 21 - Projeção real e neutra ao risco dos preços do lubrificante -
projeção trimestral 62
Figura 22 - Valor da opção em função do fator de correlação 66
Figura 23 - Sensibilidade do Valor presente Líquido 76
Figura 24 - Distribuições de probabilidade dos resultados encontrados 77
Tabela 1 - Principais plantas GTL no mundo 17 Tabela 2 - Principais acordos para desenvolvimento de plantas GTL 18 Tabela 3 - Lista dos índices de enxofre permitido nos combustíveis 20
Tabela 4 - Propriedades do diesel GTL 21
Tabela 5 - Relação dos tipos de plantas industriais analisadas 49
Tabela 6 - Rendimentos por tipo de input 50
Tabela 7 - Investimento por barril e capacidade de planta 51
Tabela 8 - Alocação de recursos por fase de projeto 51
Tabela 9 - Valor total de Investimentos para uma planta
de 35.000 bbl/dia 51
Tabela 10 - Quantidades diárias de matéria-prima 53
Tabela 11 - Perfil de produção 54
Tabela 12 - Parâmetros do processo estocástico de reversão
à média com saltos 59
Tabela 13 - Taxas de desconto 63
Tabela 14: Conversores de unidades e densidades 64
Tabela 15 - Valor Presente Líquido das plantas A e B sem
flexibilidade 65
Tabela 16 - Valor Presente Líquido da planta com flexibilidade
de input 66
Tabela 17 - Perfis de produção por cenário 67
Tabela 18 - Valor Presente Líquido dos diferentes perfis de produção 67 Tabela 19 - Valor Presente Líquido da planta com flexibilidade
de output 67
Tabela 20 - Valor Presente Líquido de uma planta Total Flex 68
Tabela 21 - Consolidação dos resultados 68
Tabela 22 - Tabela parametrizada ASF (Anderson-Schulz-Flory) 73 Tabela 23 - Resultados encontrados através da regressão linear 76
Lista de símbolos, abreviaturas e siglas
GTL – gas to liquids FT – Fischer- Tropsch bbl – barris por dia QP – Qatar Petroleum p.p.m – partes por milhão
SMR – processo de reforma a vapor POX – processo de oxidação parcial HCC – Hidrocraking
HIDW -Hdrodewaxing
ANP – Agência Nacional do Petróleo
OPEC - Organization of the Petroleum Exporting Countries. On Shore – dentro do continente
Off Shore – fora do continente, em alto mar Input – entrada
Output – saída
Shut Down – processo de parada temporária Restart – reinício de operação
Max[.] – (operador) máximo Syngas – gás de síntese π – pi, 3,14
VPL – valor presente líquido Prob[.] – (operador) probabilidade εt – variável aleatória
dz – incremento de Wiener
dt – variação de tempo infinitesimal dx - variação de x infinitesimal α – tendência (drift)
σ – volatilidade
Е[.] – (operador) valor esperado V[.] - (operador) variância
MAB – movimento aritmético browniano MGB - movimento geométrico browniano MRM - movimento de reversão à média
MRMJ - movimento de reversão à média com saltos η – velocidade de reversão à média
x
- média de longo prazoe[.] – (operador) exponencial
dq – distribição de probabilidade dos saltos aleatórios λ – taxa de ocorrência dos saltos aleatórios
φ – tamanho dos saltos aleatórios Nm3 – normal metro cúbico
ton MP – toneladas de matéria-prima I0 – Investimento
Capex – capital expenditure Opex – operational expenditure CPV – custo dos produtos vendidos ASF – curva Anderson-Schulz-Flory
Pis/Pasep – Programa de Integração social
Cofins – Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social ISS – Imposto Sobre Serviços
ICMS – Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços IRPJ – Imposto de Renda sobre Pessoa Jurídica
CSLL – Contribuição Social sobre Lucro Líquido MMBTU – milhões BTU (British Thermal Unit) US$c/gal – centavos de dólar por galão l – litro
Ln – logaritmo na base e
N[.] – (operador) distribuição normal µ – taxa de desconto ajustada ao risco rf – taxa de desconto livre de risco
p.a. – per annum, por ano Alpha – perfil de produção ASF
Cenpes - Centro de Pesquisas e Desenvolvimento Leopoldo A. Miguez de Mello
@Risk – plataforma estatística
Out-of-the-money – opção fora do dinheiro
Recentemente incorporada ao planejamento estratégico da Petrobras, a viabilidade econômico-financeira de uma planta XTL, antes chamada de GTL, vem sendo estudada por um grupo de pesquisadores e especialistas do CENPES/Petrobras em conjunto com as universidades PUC/RJ e UFMG.
O objetivo da presente dissertação é capturar o valor da flexibilidade que uma planta XTL oferece na entrada do sistema produtivo, onde podem ser utilizados diversos tipos de insumos como matéria-prima. A saída do sistema produtivo também permite que diferentes produtos sejam produzidos. Desta forma, a metodologia das opções reais é a mais indicada para se avaliar tais flexibilidades, sendo o objeto principal deste estudo a análise da opção de conversão (Input/Output Switch option) e a utilização do processo estocástico de reversão à média com saltos.
Os resultados desta dissertação visam a auxiliar a tomada de decisão dos gestores da Petrobras, onde outros projetos1 já foram avaliados através dessa mesma metodologia, no entanto, não existe qualquer interesse em comprovar a eficiência da teoria das opções reais frente às metodologias de avaliação financeira usuais.
Esta dissertação foi organizada em 8 capítulos. O presente capítulo procura informar o objetivo principal desta dissertação.
No segundo capítulo será apresentado um posicionamento atual do mercado de plantas GTL no mundo, trazendo as informações mais relevantes sobre as recentes plantas operacionais, as regiões de maior concentração de reservas de gás natural, a questão de um diesel mais puro e um resumo das fases do processo produtivo de uma planta GTL.
No terceiro capítulo serão analisadas questões sobre a teoria tradicional das opções reais, sem, no entanto, que definições mais quantitativas sejam feitas e que o enfoque principal seja a definição e utilização das opções de conversão.
1
Projeto do Biodiesel e negociação de contratos Take or Pay de gás natural, dentre outros.
No quarto capítulo serão abordadas as definições sobre modelagem estocástica, os principais processos e um enfoque especial sobre o movimento de reversão à média com saltos.
No quinto capítulo serão apresentadas todas as premissas do estudo de caso desta pesquisa, de forma a possibilitar a reconstrução do fluxo de caixa que será formado para a análise econômico-financeira.
No sexto capítulo serão apresentados os resultados obtidos, principais conclusões e sugestão para futuros desenvolvimentos no assunto.
Nos últimos dois capítulos, sétimo e oitavo, são apresentadas as referências bibliográficas, apêndices e anexos, que pelo seu tamanho ou importância não foram mostradas no corpo principal da dissertação.
2
O setor Gas-to-Liquids (GTL)
2.1. Histórico
A tecnologia de conversão do gás natural em líquido tem uma longa história que se inicia na década de 1920, quando os cientistas alemães Franz Fischer e Hans Tropsch introduziram o processo de conversão do gás de síntese, produzido a partir do carvão, em combustíveis líquidos.
A partir deste desenvolvimento a tecnologia foi utilizada em escala comercial na Alemanha, especialmente durante a segunda grande guerra para a produção de diesel e óleo sintético.
O interesse no processo que ficou conhecido como Fischer-Tropsch (FT) espalhou-se rapidamente durante os anos de 1930 e 1940 para os principais países industriais, entre eles, Reino Unido, França, Estados Unidos, Japão e China, tendo como principal motivação o fortalecimento do fornecimento de energia, especialmente no período de guerra e instabilidade política que o mundo vivia.
O primeiro complexo industrial de combustíveis sintéticos entrou em operação no final do ano de 1955, na cidade de Sasolburg (80 km ao sul de Johannesbourg, capital da África do Sul), convertendo carvão com baixa taxa de poluentes em combustíveis sintéticos como gasolina e diesel a uma taxa diária de 8.000 barris por dia. Este complexo pertence à empresa Sasol, estatizada em 1950 pelo governo sul-africano após um programa industrial para a redução da dependência da importação de matéria-prima (óleo cru, aço e outros) decorrente do embargo econômico sofrido.
Como resultado da crise internacional do petróleo em 1973 e da revolução iraniana de 1979, houve o ressurgimento do desenvolvimento das tecnologias de conversão baseadas em gás natural, liderado pelas principais empresas de energia, tais como British Petrol, Exxon e Shell. A partir da década de 1980, essas mesmas empresas iniciaram seus próprios projetos piloto de conversão do gás natural em óleos sintéticos. A era do GTL estava iniciada.
Atualmente existem diversas plantas GTL em operação e outras em fase final de construção, comissionamento e implantação. Especialistas do setor afirmam que existem mais de doze plantas GTL em produção ou em fase inicial de operação no mundo, nas quais a capacidade estimada está se aproximando de 1,5 milhões de barris por dia.
A tabela 1 destaca as principais plantas no mundo:
Planta Capacidade (bbl/dia) Tipo de Input Localidade Início Operação
Sasol Chevron
PetroSA 36.000 Gás Natural Mossel Bay, África do Sul 1991
Oryx GTL 34.000 Gás Natural Ras Laffan, Catar 2006
EGTL 34.000 Gás Natural Escravos, Nigéria 2009
Sasol Synfuel 100.000 Gás Natural Bandar Assaluyeh, Irã em estudo Shell
Planta GTL 14.700 Gás Natural Bintulu, Malásia 1993
Pearl GTL 70.000 Gás Natural Ras Laffan, Catar Fase 1: 2009 Pearl GTL 70.000 Gás Natural Ras Laffan, Catar Fase 2: 2011 Shell, NPC 75.000 Gás Natural Bandar Assaluyeh, Irã em estudo Exxon Mobil
Planta GTL 154.000 Gás Natural Ras Laffan, Catar 2011
Tabela 1 - Principais plantas GTL no mundo
A maioria da plantas GTL está direcionando suas operações para a produção do chamado “diesel GTL”, embora a nafta e GLP (Gás Liquefeito de Petróleo) também sejam resultados do processo produtivo. Fazendo os ajustes no processo FT, a combinação de produtos pode ser alterada. De qualquer maneira é sempre válido lembrar que o padrão do processo produtivo de uma planta GTL é diferente do processo de uma refinaria tradicional, embora os produtos GTL se direcionem para os mercados das atuais refinarias de óleo.
Existem atualmente mais de vinte projetos ao redor do mundo em estágios bem avançados de discussão e desenvolvimento. Algumas dessas plantas estão sendo planejadas para uma capacidade de cerca de 160.000 barris por dia de produtos líquidos.
2.2.
A capital mundial do GTL
A era do desenvolvimento de plantas GTL na região do Catar começou no final dos anos noventa, quando a Qatar Petroleum (QP) e Sasol of South Africa assinaram uma carta de intenções para construir e operar uma planta de GTL na região de Ras Laffan. O acordo visava à concepção de um projeto que se auto-sustentasse durante todo o seu período operacional e trouxesse retorno financeiro a qualquer projeto de larga escala neste setor.
Em localização estratégica favorável, o Catar tem fácil acesso aos mercados Europeus e asiáticos, e com isso a região desponta como ótimo local para o desenvolvimento de plantas GTL.
Com uma das maiores reservas de gás natural do planeta, estimada em 25,77 trilhões de metros cúbicos, ficando atrás somente da Rússia e Irã, com 47 trilhões de metros cúbicos e 26,69 trilhões, respectivamente, a região de Ras
Laffan no Catar concentra as principais plantas GTL no mundo.
O governo do Catar realizou diversos acordos comerciais com empresas internacionais, buscando novos caminhos para maximizar e diversificar sua enorme reserva de gás. Nos últimos anos, o país assinou uma série de contratos de produção compartilhada, viabilizando a entrada de investimentos substanciais no país, fazendo com que a economia expandisse significantemente.
A tabela 2 ilustra os principais acordos comerciais realizados, destacando as respectivas capacidades e início de operação.
Planta Capacidade (bbl/dia) Tipo de Input Joint Venture Início Operação
Oryx 34.000 Gás Natural QP, Sasol 2006
Oryx - Expansão 65.000 Gás Natural QP, SasolChevron 2009
Pearl - Fase 1 70.000 Gás Natural QP, Shell 2009
SasolChevron 130.000 Gás Natural QP, SasolChevron 2010
Marathon 120.000 Gás Natural QP, Marathon 2010
ConocoPhilips 160.000 Gás Natural QP, ConocoPhilips 2010
Pearl - Fase 2 70.000 Gás Natural QP, Shell 2011
ExxonMobil 154.000 Gás Natural QP, ExxonMobil 2011
Tabela 2 - Principais acordos para desenvolvimento de plantas GTL
Com esses acordos, houve mudanças nas leis comerciais e aumentos dos incentivos, por parte do governo, para atrair ainda mais investimentos nos diversos setores da economia.
Atualmente o Catar apresenta uma alta qualidade de vida devido a sua alta produção de óleo e gás, onde 90% da produção é exportada. A renda per capita do país em 1990 estava estimada em US$ 12.500 ao ano enquanto o
produto interno bruto estava estimado em US$ 6,6 bilhões. Dez anos depois, esses números cresceram, chegando à marca de US$ 18.630 e US$ 14,1 bilhões, respectivamente. Com esses números, o Catar já desponta entre os 25 maiores do mundo em renda per capita.
Como a maioria dos investidores em plantas GTL estão focando suas operações em grandes reservas de gás, Rússia, Irã, Nigéria e Austrália são claramente candidatos para a próxima onda de plantas GTL. De acordo com a revista BP’s Statistical Review of World Energy, as reservas desses países já foram provadas e juntas somam mais de 80,73 trilhões de metros cúbicos. A Venezuela, com uma reserva provada de 2,7 trilhões de metros cúbicos, também faz parte desses novos candidatos, assim como a Arábia Saudita com 7,05 trilhões de metros cúbicos e Iraque com 3,3 trilhões de metros cúbicos.
2.3.
Diesel GTL: O combustível limpo
O intenso crescimento do número de veículos automotor ao redor do mundo tem contribuído para o aumento significativo dos índices de poluição urbana através da emissão de gases poluentes. Além disso, já é praticamente consenso científico que a emissão de gases de efeito estufa está causando alarmantes mudanças no clima do planeta. Para combater isso e garantir uma melhor qualidade do ar, os governos em todo o mundo vêm tomando medidas para controlar o nível de emissão desses gases.
O avanço da tecnologia contribui e muito para a redução dos níveis de poluição através de dispositivos que minimizam as emissões. Combustíveis mais limpos são uma tendência mundial na busca de uma melhor qualidade do ar.
Os principais blocos econômicos vêm firmando acordos para a redução do índice de enxofre no diesel. Na união européia, o máximo de enxofre permitido desde janeiro de 2005 é de 50 ppm (partes por milhão) e a meta é que em 2009 este índice chegue à zero (ou menos que 10 ppm).
A tabela 3 demonstra os atuais índices de concentração de enxofre permitido nos principais países do mundo.
País/Região Concentração Atual (ppm) Meta (ppm) / Ano União Européia 50 10 / 2009 EUA 500 15 / 2006 Paquistão 5.000 -Bangladesh 5.000 -Indonésia 5.000 -Vietnã 5.000 -Malásia 3.000 500 / 2005 Sri Lanka 3.000 500 / 2007 Índia 500 50 / 2010 China 500 50 / 2008 Filipinas 500 -Japão 500 50 / 2005 Singapura 500 50 / 2006 Corea do Sul 430 30 / 2006 Tailandia 350 50 / 2010 Taiwan 350 50 / 2007 Hong Kong 50
-Tabela 3 - Lista dos índices de enxofre permitido nos combustíveis
A demanda mundial de diesel em 2001 era de 12.500 milhões barris por dia de combustível. Esta demanda tem crescido, aproximadamente, 3% ao ano, fazendo com que o diesel apresente o mais rápido crescimento no mercado de produtos de refinaria. A demanda do diesel esta correlacionada com o crescimento da economia mundial. Não é à toa que o diesel é o combustível preferido dos setores de mineração, agricultura e frotas rodoviárias.
As propriedades do diesel GTL fazem dele um componente ideal para a aumentar a qualidade na mistura com o diesel atual. Esse fator pode ser de extrema importância na Europa, onde a adaptação das configurações das refinarias para esse aumento da qualidade dos produtos são extremamente difíceis e caras. De maneira geral, o diesel GTL irá permitir que as refinarias desenvolvam um diesel de melhor qualidade (mais limpo e menos poluente).
As propriedades do diesel GTL são listadas a seguir:
Componente Diesel Atual Diesel GTL
Enxofre, max (ppm) 50
-Densidade, masx (Kg/cm) 845 790
Cetano, min 51 75
Aromáticos, max (vol %) 11
-T95, max(oC) 360 345
Tabela 4 - Propriedades do diesel GTL
Embora o diesel GTL não possa ser comercializado como combustível sem ser misturado, o produto encontra ou excede as especificações de enxofre e cetano, como vimos na tabela 4.
A necessidade de um combustível mais limpo é uma realidade premente e o alcance das metas estipuladas poderão trazer uma melhor qualidade do ar e de vida para todos nós.
2.4.
O processo GTL + Gaseificador
A tecnologia do GTL + gaseificador é baseada na conversão de Gás Natural em combustíveis líquidos em três estágios:
1. Geração de Gás de Síntese;
2. Produção de hidrocarbonetos de cadeia alta através do processo de Fischer–Tropsch;
3. Hidrocraqueamento da cadeia para a produção de compostos como nafta, diesel, parafina e lubrificantes.
Em termos genéricos, o processo consiste em converter gás de síntese em hidrocarbonetos líquidos.
2.4.1.
Geração do Gás de síntese
Este processo consiste na conversão de sólidos, líquidos e gás (usualmente Gás Natural) em hidrogênio e monóxido de carbono. A razão molar de hidrogênio e monóxido de carbono ideal para a utilização na síntese de Fischer-Tropsch (FT) é de 2 (dois).
Todas as tecnologias estabelecidas para obtenção do gás de síntese (syngas) são realizadas a altas temperaturas e pressões. Os gases de exaustão devem ser resfriados antes de entrarem na síntese de FT, necessitando de processos de resfriamento e equipamentos resistentes a altas temperaturas.
A escolha da tecnologia vai ser diretamente dependente da eficiência térmica da planta e dos custos de investimento. A otimização energética entre a produção de gás de síntese e a conversão do mesmo é um grande desafio para as empresas que vêm estudando a tecnologia nos últimos anos.
Atualmente, existem cinco tecnologias disponíveis para a geração do gás de síntese: a reforma a vapor (SMR), a oxidação parcial (POX), a oxidação parcial catalítica, a reforma autotérmica e a reforma com membrana catalítica. Todas as tecnologias, excetuando a reforma com membrana, são conhecidas e bem estabelecidas. A reforma por membrana é um processo mais novo e vem sendo estudado nos últimos anos por algumas empresas tais como a Praxair Inc e a Amoco Corp (Corke, 1998).
Cada processo possui uma contrapartida técnica ou de investimento associado. O processo de oxidação parcial, por exemplo, utiliza oxigênio puro ao
invés do ar. Com a remoção do nitrogênio pode-se construir equipamentos menores. A planta de separação de ar, entretanto, onera o investimento já que representa cerca de 30% do investimento da etapa de produção do gás de síntese.
O processo de obtenção do gás de síntese é um processo comum na indústria petroquímica, embora a tecnologia GTL exija que a produção de gás de síntese se faça em escalas muito superiores e com custos muito inferiores aos das aplicações usuais. A fase de produção de gás de síntese corresponde a mais de 50% dos custos de investimento de uma planta de GTL.
O gás de síntese também é matéria-prima utilizada para produção de metanol e amônia. Por isso, existem alguns projetos que visam à construção de plantas de GTL aproveitando plantas de metanol já existentes ou a construção de plantas novas para produzir tanto metanol quanto combustíveis sintético (Wilhelm, 2001).
2.4.2.
Processo de Fischer–Tropsch
Este é o estágio mais importante do processo onde o gás de síntese é convertido em hidrocarbonetos líquidos por meio de uma reação catalítica. O cobalto é utilizado como catalisador juntando uma cadeia de hidrocarbonetos mais simples, contidas no gás, para criar uma cadeia longa de hidrocarbonetos líquidos (syncrude).
Como foi dito, o processo FT produz uma mistura de hidrocarbonetos parafínicos e oleofínicos de cadeia longa. A conversão acontece em três fases, num reator catalítico, entre 200 e 300oC, e pressões moderadas, na faixa de 10 a 40 bar. O objetivo principal é minimizar a produção de metano e etano e maximizar a produção de graxa e nafta e a reação produz como subproduto água e calor em baixa temperatura (230oC).
Com o avanço da tecnologia GTL na década de 1990, foi possível o desenvolvimento de novos processos FT, que ocorreu pela substituição dos catalisadores tradicionais de ferro por catalisadores de cobalto. Os novos processos utilizando catalisadores de cobalto possuem uma maior eficiência na conversão, com menor produção de gases (metano e etano). Entretanto, este tipo de catalisador exige um gás de síntese de melhor qualidade (baixo teor de enxofre e elevada proporção CO/H). Devido à reação de conversão ser
extremamente exotérmica, várias pesquisas têm sido realizadas com o objetivo de desenvolver novas configurações dos equipamentos e melhorias na purificação e tratamento de gases, permitindo um aproveitamento energético mais eficiente.
Além de desativar os catalisadores, as altas temperaturas provocam a formação de fuligem, que se deposita na superfície dos reatores, com perdas de produtividade. A Sasol, empresa fornecedora da tecnologia FT, tem realizado significativos esforços de pesquisa e desenvolvimento nesta área (Wilhelm, 2001).
2.4.3.
Hidroprocessamento
Vários processos podem ser usados para tratar o material gerado na reação de FT. O hidrotratamento é normalmente utilizado para o tratamento da cera produzida na tecnologia de FT a baixa temperatura, composta basicamente de parafinas lineares e pequenas quantidades de oleofinas e oxigenados. A hidrogenação das oleofinas e dos compostos oxigenados, além do hidrocraqueamento (HCC) da cera, pode ser realizado em condições não muito severas, com a produção de nafta e óleo diesel.
São vários os fornecedores desta tecnologia que é largamente utilizada nas operações tradicionais de refino. A Chevron tem se destacado pelo seu interesse nos processos de conversão de gás natural em hidrocarbonetos e como uma fornecedora de tecnologia. Atualmente a Chevron e a Sasol desenvolvem vários projetos comerciais em conjunto.
Entretanto, o esforço tecnológico nesta área é bem menor que os relacionados aos catalisadores de FT e a produção do gás de síntese, por ser um processo comum à indústria do refino, onde os equipamentos já são bem conhecidos e a tecnologia bastante difundida.
A figura 1 ilustra de uma forma geral o processo produtivo de uma planta XTL, onde podem ser utilizados diversos tipos de matéria-prima (Biomassa, Gás Natural e Carvão) para a produção do gás de síntese. O processo de Fischer-Tropsch é alimentado pelo gás de síntese e este convertido em hidrocarbonetos líquidos. Após a reação de FT, vários processos podem ser utilizados, como o hidrocraqueamento, para a produção de diesel, e o hidrotratamento para a produção de parafinas e lubrificantes.
Figura 1 - Processo Gas-to-Liquids
Flexibilidade tem valor. Por mais que pareça óbvia essa afirmação, os mais tradicionais métodos de avaliação econômico-financeira não são capazes de capturar essa medida. Profissionais do mercado têm uma grande intuição de que a flexibilidade operacional e estratégica, ou seja, a habilidade de alterar um planejamento no futuro à vista de uma informação recebida são importantes elementos na avaliação econômico-financeira de projetos e na tomada de decisões.
Afinal, como essa flexibilidade é medida? O quanto ela é valiosa? Quais são os tipos de flexibilidades? Essas e outras perguntas são a base da avaliação por opções reais que, graças a enormes esforços de grandes pesquisadores como Lenos Trigeorgis, Avinash Dixit, Robert Pindyck, Rober tMcDonald, Daniel
Siegel, Eduardo Schwartz, Marco Antônio Dias e outros, conseguiram dar
grandes avanços na metodologia de valorar e capturar essas flexibilidades2.
2 Pesquisadores de opções financeiras como Robert Merton, Myron Scholes, Fisher Black, Paul Samuelson e outros também contribuíram para desenvolvimento da teoria de opções reais.
Atualmente um grande número de acadêmicos e profissionais especializados estão convencidos de que os métodos tradicionais de alocação de recursos falharam. Isto porque não foram capazes de capturar as flexibilidades gerenciais para adaptar e revisar decisões futuras em resposta às incertezas de mercado.
O atual mercado é caracterizado pela troca, incerteza e interações competitivas, onde a realização de fluxos de caixa futuros, provavelmente, será diferente da expectativa dos executivos de uma empresa. Com a chegada de novas informações e a incerteza sobre as condições de mercado sendo resolvidas, o corpo gerencial de uma empresa deverá ser capaz de alterar suas estratégias iniciais, sua atuação competitiva, reagir de maneira a reduzir possíveis perdas e também aproveitar as oportunidades para proporcionar maiores lucros aos acionistas. De modo a exemplificar essas flexibilidades, o gerenciamento da empresa deverá ser capaz de adiar uma oportunidade de
investimento, expandir ou contrair sua produção, abandonar o projeto ou até mesmo alterar os vários estágios do processo produtivo da empresa.
3.1.
Exemplos de opções reais
A figura 2 procura identificar os diversos tipos de opções reais presentes em uma oportunidade de investimento de capital.
Figura 2 - Flexibilidades em um projeto de investimento
Tomando, a título exemplificativo, um projeto de exploração de um campo de petróleo para simulação das diversas etapas que um projeto de investimento pode envolver, vários tipos de opções reais podem ser detectadas.
Atualmente, no Brasil e na maioria dos países que possuem localidades geográficas propícias à exploração de campos de petróleo, existem as chamadas agências regulatórias (no Brasil, Agência Nacional do Petróleo - ANP). A função principal destas agências é a regulamentação do setor e a concessão, através de leilões públicos, das áreas a serem exploradas e desenvolvidas, sejam elas On Shore ou Off Shore.
Uma vez que uma empresa possua um contrato de concessão, esta geralmente terá até três anos para iniciar a exploração do campo. Caso não inicie o processo de exploração e não haja uma justificativa legal que implique na extensão do prazo, a área concedida poderá ser devolvida à agência. Muitas vezes, tanto o tempo para início da exploração do campo quanto o tempo total de concessão da determinada área, podem ser estendidos através de um pagamento adicional.
Já de início foi possível identificar a primeira flexibilidade deste projeto: o adiamento do investimento em exploração. O fato de adiar o investimento possui grande valor, pois durante o intervalo de tempo em que a concessão foi ganha e
0 3 5 6 7 15 Período de Exploração Período Operacional I1 I2 I3 IE Ic Opção de Conversão (Abandonar para salvar) Expandir 50% Contrair 25%, economizar Ic Abandonar Adiar 0 3 5 6 7 15 Período de Exploração Período Operacional I1 I2 I3 IE Ic Opção de Conversão (Abandonar para salvar) Expandir 50%
Contrair 25%,
economizar Ic
Abandonar Adiar
o investimento iniciado ou não, a empresa pôde continuar suas pesquisas sobre a área a ser desenvolvida, revelando novas informações e, ao mesmo tempo, os indicadores de mercado como o preço do barril de petróleo podem ter se tornado mais favoráveis ainda.
Seguindo a figura 2 e com a fase de exploração do campo iniciada, a empresa começará a desenvolver o campo obtendo assim as informações reais da área de concessão. A partir do período produtivo, a empresa poderá avaliar a todo o momento, segundo as condições de mercado, se o projeto ainda é economicamente viável, podendo assim contrair sua produção com conseqüente redução dos gastos caso não seja tão favorável assim, ou até mesmo ao contrário, expandir sua produção caso as condições sejam ainda mais favoráveis. Assim, pode-se identificar mais duas flexibilidades, com as opções de contrair e/ou expandir a produção.
Finalmente, dependendo do tipo de produto ou tecnologia disponível, a empresa poderá optar pela matéria-prima que for mais rentável num determinado período. Este tipo de opção é chamado de opção de conversão (Input/Output Switch option), onde a partir de uma mesma matéria-prima é possível fabricar produtos distintos realizando pequenas modificações no processo produtivo.
Observando o texto acima, diversas condições de cenários foram apresentadas e agora podemos comentar cada uma delas:
Opção de Adiar: A empresa pode esperar durante um tempo para ver se novas informações justificam iniciar um empreendimento imobiliário, a construção de uma fábrica ou o desenvolvimento de uma área de prospecção. Se a opção de se investir com diferimento tem valor maior do que a de investir imediatamente, a empresa deve adiar a decisão.
A decisão ótima é baseada no máximo entre investir de imediato e adiar.
Opção de Expandir: Quando a empresa tem oportunidade de aumentar a produção caso as condições de mercado se tornem melhores do que o esperado. Esta opção permite à empresa capturar o potencial positivo do projeto e pode muitas vezes ser incluída no projeto original por um custo adicional. O custo da expansão é o preço de exercício da opção. Prever a expansão futura é como possuir uma Call (opção de compra).
A decisão ótima é baseada no máximo entre não fazer nada e expandir o projeto.
Opção de Contrair: É o inverso da opção de expansão. Ela reduz o risco de perdas futuras e o preço de exercício são os custos de contração. A decisão ótima é baseada no máximo entre não fazer nada e contrair o projeto.
Opção de conversão: Existe quando a empresa tem produtos ou processos flexíveis que permitem a substituição de inputs ou outputs em resposta a fatores de mercado. Sistemas flexíveis podem conter um número infinito de opções que permitem uma contínua troca dos modos de operação. O preço de exercício é o custo da substituição.
Opção de Shut Down/Restart: Nem todos os projetos necessitam operar continuamente. Alguns possuem a flexibilidade para recomeçar após uma suspensão temporária. Isto é semelhante a uma opção de adiar um investimento. O custo de retomada é o preço de exercício desta opção.
A decisão ótima é baseada no máximo entre manter a suspensão e retomar a operação.
Já a opção de Shut Down elimina temporariamente possíveis perdas. Pode envolver custos de suspensão.
A decisão ótima é baseada no máximo entre continuar e suspender a operação. Opção de Abandonar: Abandonar o projeto significa eliminar todos os custos fixos em troca de um valor residual ou valor de abandono. Pode ocorrer quando as condições de mercado pioram e o valor do projeto se torna menor que o valor de abandono. Permite eliminar possíveis perdas futuras. O preço de exercício é o custo de abandono.
A decisão é baseada no máximo entre continuar e abandonar a operação.
3.2.
A opção de conversão (Input/Output Switch option)
A opção de conversão existe quando o ativo real (projeto) permite vários insumos e/ou pode produzir vários tipos de produtos, com um custo de conversão que não seja proibitivo. O exemplo clássico é a operação de uma termoelétrica, que pode ser movida a gás, óleo ou carvão. Em recente publicação, Gonçalves (2005) avaliou esta opção numa usina sucroalcooleiro, onde a matéria-prima é única – cana de açúcar – e os produtos resultantes são álcool e açúcar.
Segundo Trigeorgis (1996, p.177), o payoff desta opção é:
Payoff= Máx [FLCX1-FLCX2 - Cs;0], onde: FLCX1: Fluxo de Caixa do modo operante 1; FLCX2: Fluxo de Caixa do modo operante 2;
Cs: Custo de conversão do modo 1 para o modo 2 e vice-versa;
Outros exemplos de opções de conversão, baseadas na múltipla aplicabilidade de um ativo real e de mudança de insumo, podem ser mencionadas:
O navio P.P. Moraes construído para viagens domésticas foi convertido para viagens internacionais, depois foi convertido em unidade de processo na bacia de campos e atualmente produz petróleo em águas profundas;
Automóveis Flex-Fuel (dois ou mais combustíveis) – é uma opção para o consumidor;
Um terreno com uma casa pode ser redesenvolvido (edifício, shopping
center, outros); e
Unidade industrial bicombustível (carvão ou óleo combustível).
Aqui serão analisadas as diversas matérias-prima (Gás Natural e Óleo Pesado) para a produção do gás de síntese (syngas), onde a cada instante será observada a combinação ótima de insumos. E a partir da produção de gás de síntese, será analisada a combinação ótima de produtos (Óleo Diesel, Nafta, Lubrificantes e Parafinas) a serem produzidos a cada instante.
Gás Natural Biomassa Resíduo de Vácuo Óleo Pesado HCC HIDW Gaseificador ou Reforma Fischer-Tropsch Nafta Diesel Lubrificantes e Parafinas Combinação ótima de insumos Combinação ótima de produtos 1 2 3
Figura 3 - Combinação ótima de insumos e produtos do processo XTL
A figura 3 apresenta uma ilustração do processo produtivo, onde diversos tipos de matéria-prima podem ser considerados para a produção do gás de síntese. O gás de síntese é gerado na saída do sistema de gaseificação ou reforma e o mesmo alimenta a fase 2 que é o processo de Fischer-Tropsch. A partir da fase 3, a nafta já é produzida e os outros produtos como diesel, lubrificantes e parafinas podem ser obtidos através da fase de enriquecimento3.
3 HCC: Hidrocracking e HIDW: Hidrodewaxing
3.3.
Simulação de Monte Carlo
O método de Monte Carlo é uma expressão muito geral, onde as formas de investigação estão baseadas no uso de números fortuitos e estatística de probabilidade. Pode-se verificar a utilização de tal método em diversas áreas, como economia, física, química, medicina entre outras. Para que uma simulação de Monte Carlo esteja presente em um estudo, basta que este faça uso de números aleatórios na verificação de algum problema.
O método leva este nome devido à famosa roleta de Monte Carlo, no Principado de Mônaco. Seu nome bem como o desenvolvimento sistemático do método teve origem em 1944, quando da Segunda Grande Guerra, época em que foi usado como ferramenta de pesquisa para o desenvolvimento da bomba atômica. Porém, existem alguns registros isolados de sua utilização em datas bem anteriores, por exemplo, na segunda metade do século XIX, quando várias pessoas executaram experiências nas quais lançavam setas, de uma maneira fortuita, sobre uma tábua onde havia um conjunto de linhas paralelas e deduziram o valor de π(pi) =3.14..., observando o número de interseções entre as setas e linhas. Os primeiros estudos envolvendo simulação de Monte Carlo e avaliações de investimentos de capital foram feitos por David B. Hertz e publicados em um artigo na revista Havard Business Review em 1974.
A figura 4 apresenta uma representação gráfica de uma avaliação de investimento de capital envolvendo uma simulação de Monte Carlo.
Figura 4 - Representação gráfica de simulação de Monte Carlo.
Para a construção de um modelo do fluxo de caixa acima, fazendo uso da simulação de Monte Carlo, segue-se uma seqüência lógica, conforme abaixo:
Construir um modelo básico das variações dos fluxos de caixa futuros, provocados pelo investimento em questão;
Elaborar, para toda a variável que puder assumir diversos valores, sua distribuição de probabilidade acumulativa correspondente;
Especificar a relação entre as variáveis de entrada a fim de se calcular o VPL do investimento;
Selecionar, ao acaso, os valores das variáveis, conforme sua probabilidade de ocorrência, para assim calcular o valor presente líquido; e
Repetir esta operação muitas vezes, até que se obtenha uma distribuição de probabilidade do valor presente líquido – VPL.
Novamente, para o caso específico do projeto XTL, as simulações são realizadas sobre a incerteza dos preços futuros dos inputs e dos outputs. Essas são as variáveis que afetam as receitas e custos do processo e definem o VPL a ser obtido a partir do investimento realizado. A diferença entre o VPL calculado com flexibilidade e o VPL sem flexibilidade será o valor da opção existente para cada combinação de inputs e outputs.
A utilização da metodologia de opções ficou, durante muito tempo, limitada a ativos financeiros que possuíam dados abundantes, e o preço de mercado do ativo subjacente era diretamente perceptível. A utilização de equações diferenciais estocásticas reforçava a dificuldade para o uso em aplicações gerenciais.
A facilidade do acesso à atual tecnologia computacional pode ser considerada o fator de maior estímulo à utilização de opções em avaliações “não financeiras”. Enquanto grande parte das opções financeiras pode ser avaliada pelo modelo Black-Scholes-Merton, as opções reais possuem particularidades que as afasta da avaliação por este modelo. Ankum e Smit (1993, p.243) destacam as divergências entre as opções: A opção financeira é exclusiva ao investidor, nenhuma outra pessoa pode exercer a opção por ele. A opção real depende da característica do mercado e pode existir mais de uma empresa detendo a mesma opção real.
A maior dificuldade ao analisar uma opção real, é o fato de, na maioria das vezes, o ativo-objeto da opção real não ser comercializado no mercado. Um caminho para superar esta restrição é a utilização da técnica do portfólio replicado (Contigent Claims Analysis)4.
Algumas questões sobre a modelagem estocástica serão abordadas nas próximas seções, como por exemplo:
i) A definição de modelagem estocástica;
ii) Os tipos de modelagem estocástica mais utilizados;
iii) A utilização da modelagem estocástica como aproximação de modelos de previsão; e
iv) O modelo estocástico utilizado nesta dissertação para a projeção dos preços dos insumos e produtos finais.
4 Para maiores informações sobre portfólio replicado ver Dixit e Pindyck, (1996, p. 114).
4.1. Definição
Um processo estocástico é uma variável que se comporta, durante o tempo, de uma maneira onde pelo menos parte é considerada randômica. De maneira mais formal, é definido pela probabilidade da evolução xt da variável x durante o tempo t. Para instantes t1, t2 e t3 nos é fornecida, ou calculada a probabilidade dos valores correspondentes x1, x2 e x3, estarem numa faixa específica de valores, por exemplo:
Prob( a1<x1<b1; a2<x2<b2; a3<x3<b3;...)
Quando o tempo t1 chegar e observarmos o valor correspondente de x1, poderemos condicionar a probabilidade dos eventos futuros baseado nesta informação.
Um processo estocástico pode ser classificado como um processo em tempo discreto ou em tempo contínuo. Um processo estocástico em tempo discreto é aquele em que o valor da variável só varia em um determinado instante de tempo. Esta variável é classificada com variável discreta. Já um processo em tempo contínuo, a variável assume valores a qualquer instante de tempo, por isso é chamada de variável contínua.
Dois pequenos exemplos podem definir o que é um processo estocástico: A variação ao longo do tempo da temperatura de uma determinada cidade é parcialmente determinística (elevação durante o dia e queda à noite, ou até mesmo elevação durante o verão e queda durante o inverno) e parcialmente imprevisível. Um outro exemplo pode ser o preço de uma determinada ação de uma empresa cotada em bolsa de valores (seu preço flutua aleatoriamente, mas no longo prazo se tem uma taxa esperada de crescimento positiva que compensa o risco de um investidor em carregar esse papel).
Ambos os exemplos são processos que diferem um do outro. A temperatura de uma determinada cidade é o chamado processo estacionário, ou seja, as propriedades estatísticas desta variável são constantes durante longos períodos de tempo. Isto quer dizer que apesar da temperatura do dia seguinte desta cidade ser, em grande parte, dependente da temperatura do dia anterior, a expectativa e variância da temperatura nos meses de inverno são iguais à expectativa e variância da temperatura do inverno de dois anos atrás. Já o preço da ação de uma empresa é um processo não-estacionário. O valor esperado do
preço pode crescer sem grandes elevações e a variância do preço daqui a T anos, cresce na mesma proporção T.
Embora os dois exemplos abordados tratem de processos estocásticos diferentes, estes processos possuem uma característica em comum muito importante: Ambos os processos são contínuos no tempo, no sentido em que a variável tempo é contínua, ou seja, mesmo estando preocupados com os valores a serem medidos, temperatura e preço, essas variáveis estão continuamente variando com o tempo.
4.2.
Principais processos estocásticos
Ao invés de simplesmente destacar os principais modelos de processos estocásticos, enfatizaremos a abordagem sobre o chamado processo de
Wiener5, também conhecido como Movimento Browniano (Brownian Motion). Um
movimento Browniano é um processo estocástico em tempo contínuo e possui três importantes propriedades:
i) É um processo de Markov (Markov process). O processo estocástico de Markov é um caso particular de processo estocástico, onde somente o valor atual de uma variável é relevante para se prever seu valor futuro. Os dados históricos desta variável e a maneira de como esta “emergiu” do passado são irrelevantes;
ii) A distribuição de probabilidade da variável aleatória em qualquer instante de tempo futuro depende, unicamente, de seu atual valor. Pode-se dizer com isso que um processo de Wiener possui incrementos independentes; e
iii) Mudança durante qualquer intervalo de tempo são normalmente distribuídas, onde a variância cresce linearmente durante o tempo.
Os preços de uma ação de uma empresa são normalmente modelados como um processo de Markov e informações de mercado são rapidamente incorporadas no valor atual desta ação, sendo que toda a informação histórica não possui peso para a previsão de seus valores futuros.
Essas três propriedades abordadas sobre o processo de Wiener parecem restringir o número de variáveis do mundo real. É de se perceber que enquanto um processo de Markov parece modelar, razoavelmente, o valor dos preços futuros de uma ação, não nos parece razoável que esses preços sejam normalmente distribuídos, uma vez que o preço de uma ação nunca poderá ser menor que zero. Com isso, sugere-se que os preços de uma ação possuem uma distribuição lognormal, ou seja, mudanças no logaritmo dos preços de uma ação são normalmente distribuídos6.
As propriedades quantitativas do processo de Wiener são apresentadas:
5 Robert Wiener (1923) desenvolveu a teoria matemática proposta por Albert Einstein chamada de Brownian Motion.
6 É utilizado logaritmo natural (Logaritmo de base e).
∆z=εt ∆t , onde εt é uma variável aleatória normalmente distribuída
com média zero e desvio-padrão um.
A variável εtnão possui correlação, ou seja, Ε
[
εtεs]
=0 para t ≠ s. Ovalor de ∆z para qualquer dois intervalos de tempo distintos são independentes. Fazendo com que ∆z seja infinitamente pequeno, dz, o incremento de Wiener poderá ser representado, em tempo contínuo, como:
dt
dz=εt , (1)
Onde εt possui média zero e desvio padrão um. Note que dz tende a infinito à
medida que dt se aproxima de zero.
4.2.1.
Movimento Aritmético Browniano
Um processo estocástico é caracterizado pela composição de dois termos principais: O primeiro termo é chamado de tendência α (drift) e o segundo é chamado de termo aleatório σ. No entanto, esses processos podem ser decompostos por mais de dois termos, o que é objeto desta dissertação e é conhecido como processo de reversão à média com saltos7.
7 Este processo será abordado na seção 4.4 e será tema principal do presente estudo.
Vejamos a seguir a generalização mais simples de um processo estocástico: dz t x b dt t x a dx= ( , ) + ( ,) , (2)
Onde a(x,t)= α; b(x,t)= σ, no caso do Movimento Aritmético Browniano, e dz é o já conhecido incremento de Wiener.
Qualquer mudança em x durante um intervalo de tempo ∆t tem distribuição normal com valor esperado E(∆x)=α×∆t e variância V(∆x)=σ2×∆t.
Em outras palavras, o movimento do desvio-padrão σ será muito maior que o termo de tendência α: se ∆t é pequeno, ∆t1/2 será muito maior que ∆t. Isto determina um comportamento serrilhado dos caminhos do processo de Wiener.
A figura 5 ilustra o movimento aritmético browniano (Brownian Motion with
Drift) com crescimento linear com taxa α e desvio-padrão σ:
MAB - Movimento Aritmético Browniano
0 5 10 15
0 50 100 150 200 250 300
Figura 5 - Movimento Aritmético Browniano (MAB)
4.2.2.
Movimento Geométrico Browniano
O movimento geométrico browniano (Geometric Brownian Motion with drift) é um importante processo, pois é o mais utilizado na modelagem de preços de ativos.
Neste processo, a(x,t)= αx e b(x,t)= σx, onde α e σ são constantes. Desta forma, é obtida a seguinte equação:
xdz axdt
dx= +
σ
(3)As mudanças do valor de x, em termos percentuais - ∆x/x, são distribuídas normalmente. No entanto, mudanças no logaritmo natural de x, em termos absolutos de x, possuem distribuição lognormal. Esta é uma observação fundamental, pois permite que os preços de um ativo sejam sempre positivos.
O valor esperado e a variância seguem as seguintes expressões, respectivamente: t t x e x E( )= 0× α× (4) ) 1 ( ) ( = 02× 2× ×t 2×t− t x e e x V α σ (5)
A figura 6 ilustra o movimento geométrico browniano (Brownian Motion with
Drift) com crescimento linear α e desvio-padrão σ:
MGB - Movimento Geométrico Browniano 0 25 50 75 100 0 50 100 150 200 250 300
Figura 6 - Movimento Geométrico Browniano (MGB)
4.2.3.
Movimento de Reversão à Média
Até esse ponto, alguns tipos de variáveis econômicas, como por exemplo, os preços de uma ação, requerem uma modelagem estocástica específica. No entanto, para outros tipos de variáveis econômicas, como o preço de commodities, estes mesmos processos não apresentam uma modelagem ideal, embora, muitas vezes, sejam os mais utilizados.
Para equacionar uma modelagem mais apropriada a cada tipo de variável, o movimento de reversão à média sugere que, embora os preços no curto prazo possam flutuar, para cima ou para baixo, no longo prazo esses preços tendem a ser trazidos de volta ao custo marginal de se produzir, por exemplo, petróleo. Desta forma, é dito que uma determinada variável tem um comportamento de reversão à média.
O modelo estocástico de reversão à média mais simples é conhecido como modelo de Ornstein-Uhlembeck e pode ser apresentado através da seguinte equação: dz dt x x dx=η( − ) +σ , (6)
Onde η é a velocidade de reversão e x é a média de longo prazo do custo
marginal, em outras palavras, é o nível em que x tende a convergir.
Observa-se que através desta equação que o valor esperado de x depende da diferença entre x e x. Se x é maior(menor) que x, é mais provável
que haja uma queda(crescimento) no próximo intervalo de tempo.
Uma importante observação é que embora o movimento de reversão à média satisfaça as propriedades do processo de Markov, este movimento não possui incrementos independentes.
O valor esperado e a variância deste processo são calculados através das seguintes expressões, respectivamente:
t t x x x e x E( )= +( 0− )× −η× (7) ) 1 ( 2 ] [ 2 2 t e x x Var − = × − −×η× η σ (8)
Das expressões 7 e 8, pode-se concluir que:
i) O valor esperado de xt converge para x à medida que t aumenta e a variância converge para
η σ
2
2 ;
ii) Se a velocidade de reversão, η, converge para infinito, Var[xt] → 0, o que significa que x nunca irá desviar de x, mesmo que momentaneamente; e
iii) Caso η → 0, x se torna um MAB com Var xt = ×t
2 ]
[ σ .
A figura 7 ilustra o movimento de reversão à média:
Processo de Reversão à Média
3 6 9 12
0 50 100 150 200 250 300
Figura 7 - Movimento de Reversão à Média (MRM)
4.3.
Lema de Itô
A modelagem desses processos estocásticos requer a utilização do cálculo diferencial, e para se trabalhar com esses processos, é extremamente necessária à utilização do chamado Lema de Itô, às vezes conhecido como o teorema fundamental do cálculo estocástico. O uso do Lema de Itô, também conhecido como processo de Itô, é extremamente importante, pois para descrever o valor de uma opção de investimento é necessário determinar o tipo de processo estocástico desta opção.
A melhor maneira de se compreender este teorema é recorrer à expansão de Taylor do cálculo ordinário. Suponha que x(t) siga um processo estocástico e considere a função F(x,t) que é duas vezes diferenciável em x e uma vez em t. O objetivo principal é encontrar dF. O cálculo diferencial define dF em termos de mudanças de primeira ordem em x e t, a saber:
dt t F dx x F dF ∂ ∂ + ∂ ∂ = . (9)
Com a expansão dos termos de ordem superior, é obtida a equação da expansão de Taylor: ... ) ( 6 1 ) ( 2 1 3 3 3 2 2 2 + ∂ ∂ × + ∂ ∂ × + ∂ ∂ + ∂ ∂ = dx x F dx x F dt t F dx x F dF . (10)
No cálculo ordinário, os termos de ordem superior são desconsiderados, pois dtn é cada vez menor, ou seja, tendem a zero mais rápido que dt. No entanto, o Lema de Itô não despreza o termo (dx)2 por ser considerado de ordem dt se X for uma variável estocástica. Com isso, obtemos dF para o cálculo diferencial: 2 2 2 ) ( 2 1 dx x F dt t F dx x F dF ∂ ∂ × + ∂ ∂ + ∂ ∂ = . (11)
O Lema de Itô nos permitirá descrever as relações entre a variável de interesse (F) e as variáveis de estado (X,t), onde X é um vetor de variáveis estocásticas (valor do ativo básico V e investimento I), que seguem processos
estocásticos específicos. A seguir uma pequena demonstração de como escrever essas relações:
Seja uma variável estocástica P, seguindo um movimento geométrico browniano: dP=αPdt+σPdz e sabendo que (dP)2=σ2P2dt. É válido lembrar que
(dP)2, desprezado no cálculo ordinário, é considerado no calculo estocástico por ser de Ordem dt8.
8 A comprovação de que o termo (dP)2 é de ordem dt será mostrada no Apêndice.
Seja uma variável p, dada pela função: p=lnP.
Para encontrar a equação estocástica que descreve dp, utilizaremos o lema de itô (equação 11) e as seguintes derivadas: =0
∂ ∂ t p , P P p 1 = ∂ ∂ e 2 2 2 1 P P p − = ∂ ∂ .
Aplicando a equação 11 para p(P,t), teremos:
2 2 ( ) 1 2 1 1 dP P dP P dp= − × 2 2 ( ) 1 2 1 1 dP P dP P dp= − × , substituindo (dP)2, dt dz dt dp 2 2 1 σ σ α× + × −
= , rearranjando os termos, temos: dp= α− σ )dt+σ×dz
2 1
( 2 .
4.4.
Movimento de Reversão à Média com Saltos
Até agora, foram apresentadas as características e aspectos de como os principais processos estocásticos são formados. Nesta seção, estudaremos o
processo estocástico de reversão à média com saltos mencionado na seção
4.2.1. e utilizar suas propriedades para a estimação dos parâmetros e projeção de preços que serão utilizados nesta pesquisa.
Muitas vezes, no entanto, a maneira mais realística de se modelar uma variável econômica é atribuir, em seu processo de estimação, saltos discretos, mesmo que não sejam tão freqüentes. As possíveis causas de um salto aleatório podem ser: a entrada de um novo competidor no mercado de poucas firmas, fazendo com que os preços caiam repentinamente. Outro exemplo de grande importância pode ser o conflito armado entre nações detentoras de importantes reservas de óleo (Guerra do Golfo – anos 90 e Guerra do Iraque – Março/2003).
Pode-se dizer que informações de mercado consideradas “normais” causam um processo de reversão à média contínuo nos preços. Por outro lado, informações consideradas “anormais” provocam saltos (discretos) de tamanho aleatório.
Jumps-up
Jumps-down Jumps-up
Jumps-down
Figura 8 - Preços nominais do óleo Brent e similares – período mensal (1970 a 2003)
O gráfico acima ilustra claramente este tipo de modelagem estocástica, onde fatores considerados “anormais” causaram choques nos preços do óleo
Brent. Saltos positivos podem ser observados nos anos 1973/1974 devido à
guerra do Yom Kippur e embargos sobre o petróleo. Em 1979/1980 podem-se destacar a guerra Irã e Iraque e a revolução iraniana. Nos anos noventa, a
invasão no Kuwait pelo Iraque, e por fim em 1999 um choque na demanda de petróleo por parte da OPEC9e aliados. Já nos anos de 1986, 1991 e 1997, onde a “guerra” de preços, a guerra do golfo e a crise asiática, respectivamente, provocaram saltos negativos nos preços. Especialistas do setor indicam que esses saltos levaram de um a três meses para serem absorvidos no preço da
commodity.
9 OPEC: Organization of the Petroleum Exporting Countries. 4.4.1.
O modelo
Para modelar o processo de reversão à média com saltos, utiliza-se o modelo de Ornstein-Uhlembeck que foi apresentado na seção 4.2.3. A partir da equação 6, adiciona-se o termo dos saltos aleatórios. Sendo assim, é obtida a seguinte equação: dq dz dt x x dx=η( − ) +σ + (12)
O termo dq adicionado é modelado como um processo de Poisson, de tamanho aleatório e independente do incremento dz.
Essa equação diz que existe uma força de reversão η sobre a variável x, trazendo-a ao equilíbrio x e os saltos são, na maioria do tempo, iguais a zero e
quando ocorrem são de tamanho aleatório φ e taxa de ocorrência λ. A distribuição de probabilidade do termo dq é:
dq= 0, com probabilidade 1-λdt dq= φ, com probabilidade λdt
Essa distribuição de probabilidade representa uma distribuição de Poisson, onde esses saltos são chamados de “eventos”. Sendo λ a freqüência com que um evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo infinitesimal dt, a probabilidade de ocorrer um evento é dada por λdt e a probabilidade deste evento não ocorrer será 1- λdt.
