Funções Crescentes e Funções Decrescentes

Funções Crescentes e Funções Decrescentes

DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

2.Pontos críticos e sua utilização

Uma função é crescente se seu gráfico sobe quando

x

se desloca para a direita, e é decrescente se seu gráfico desce quando

x

se desloca para a direita. A definição a seguir constitui um enunciado mais formal.

Definição de Função Crescente e Função Decrescente

Uma função

f

é crescente em um intervalo se, para qualquer

x

₁ e

x

₂ no intervalo,

x x f(x₁) f(x₂) x y

Função Crescente

f(x₂) f(x₁)

y

A função da figura a seguir é decrescente no intervalo (-∞, a), constante no intervalo (a, b) e crescente no intervalo (b, ∞). Na realidade, pela definição de função crescente e função decrescente, a função exibida na figura é decrescente no intervalo (-∞, a] e crescente no intervalo [b, ∞). No presente texto, entretanto, restringimos nosso estudo à determinação de intervalos

abertos

, nos quais a função é crescente ou decrescente em um intervalo.

Teste para Funções Crescentes e Funções Decrescentes

1. Se

f’

(x) >0 para todo

x

em (

a

,

b

),

f

é crescente em (

a

,

b

).

2. Se

f’

(

x

) < 0 para todo

x

em (

a

,

b

),

f

é decres-cente em (

a

,

b

).

3. Se

f’

(

x

) = 0 para todo

x

em (

a

,

b

),

f

é constante em (

a

,

b

).

Exemplo 1: Mostre que a função

é decrescente no intervalo aberto (-∞, 0) e crescente no intervalo aberto (0, ∞).

A derivada de

f

é 2

( )

f x

=

x

'

( )

2

f x

=

x

No intervalo aberto (-∞, 0), o fato de

x

ser negativo implica que

f

’₍

_x

_{) = 2}

_x

_{é também negativa.}

Logo, pelo teste para uma função decrescente, podemos concluir que

f

é

decrescente

nesse intervalo. Analogamente, no intervalo (0, ∞), como

x

é positivo, também o é 2

x

. Logo, concluímos que

f

é

crescente

nesse intervalo, como pode ser observado na figura a seguir.

Exemplo 2: De 1970 a 1980, o consumo

C

de aves (em libras sem osso por pessoa por dia) admite como modelo

C

= 33,5 + 0,074

t

2_{, 0} ≤

_t

≤ _20,

onde

t

= 0 corresponde a 1970. Mostre que o consumo de aves cresceu de 1970 a 1980.

A derivada deste modelo é d

C

/d

t

= 0,148

t

. Para

t

positivo, a derivada é positiva. Portanto, a função é crescente, o que implica que o consumo de aves aumentou de 1970 a 1980.

No Exemplo 1, foram dados dois intervalos – um em que a função era decrescente e um em que era crescente. Suponhamos agora que tivéssemos de determinar esses intervalos. Para isto, poderíamos ter levado em conta o fato de que, para uma função contínua,

f

‘₍

_x

_{) só pode mudar de}

sinal em valores de

x

para os quais

f

‘₍

_x

_{) = 0 ou em}

valores de

x

para os quais

f

‘₍

_x

_{) não é definida,}

conforme mostra a figura a seguir. Esses dois tipos de números são chamados pontos críticos de

Definição de Ponto Crítico

Se

f

é definida em

c

, então

c

é um ponto crítico de

f

se

f

’₍

_c

_{) = 0 ou se}

_f

‘ _{não é definida em}

_c

_.

Nota: Esta definição exige que o ponto crítico esteja

Crescimento e Decrescimento

1. Achar a derivada de

f

.

2. Determinar os pontos críticos de

f

e utilizá-los para estabelecer os intervalos de teste; isto é, achar todos os valores de

x

para os quais

f

‘₍

_x

_{) = 0 ou}

_f

‘₍

_x

_{) não é definida.}

Exemplo 3: Ache os intervalos abertos em que a função é crescente ou decrescente. 3 3 2 ( ) 2 f x = x − x

Comecemos calculando a derivada de

f

. Em seguida, igualemos a derivada a zero e resolvamos a equação para achar os pontos críticos.

' 2

2

( ) 3 3 Diferenciando a função original 3 3 0 Igualando a zero a derivada 3( )( 1) 0 Fatorando f x x x x x x x = − − = − = = =

Como não há valores de

x

para os quais

f

‘

não seja definida, decorre que

x

= 0 e

x

= 1 são os

únicos

pontos críticos. Assim, os intervalos que devem ser testados são (-∞, 0), (0, 1) e (1, ∞). A tabela abaixo apresenta o resultado do teste desses três intervalos.

Intervalo (-∞∞∞∞, 0) (0, 1) (1, ∞∞∞∞)

Valor de teste x = -1 x = ½ x = 2

A função do Exemplo 3 não somente é contínua em toda a reta real, mas também diferenciável ali. Para tais funções, os únicos pontos críticos são aqueles para os quais

f

‘₍

_x

_{) = 0.}

O próximo exemplo considera uma função contínua que tem ambos os tipos de ponto crítico – os números para os quais

f

‘₍

_x

_{) = 0 e os que}

_f

‘₍

_x

_{) não é}

Exemplo 4: Determine os intervalos abertos em que a função é crescente ou decrescente.

(

)

2 2 3 ( ) 4 f x = x −

Comecemos achando a derivada da função.

Vemos que a derivada é zero quando

x

= 0 e que não é definida para

x

= ± 2. Assim, os pontos críticos são

x

= -2,

x

= 0 e

x

= 2. Pontos críticos

(

)

(

)

1 ' 2 3 1 2 3 2 ( ) 4 (2 ) Diferenciar 3 4 Simplificar 3 4 f x x x x x − = − = −

Isto implica que os intervalos de teste são (-∞, -2), (-2, 0), (0, 2) e (2, ∞) Intervalos de teste

A tabela abaixo resume os resultados do teste nesses quatro intervalos; a figura a seguir exibe o gráfico da função.

Nota: Na tabela anterior, não é necessário

calcular

f

‘₍

_x

_{) para os valores de teste – basta determinar}

seu sinal. Assim é que podemos determinar o sinal de

f

‘_{(-3) como segue:} ' 1 3 4( 3) ( 3) 3(9 4) negativo f negativo positivo − − = = = −

As funções nos Exemplos 1 a 4 são contínuas em toda a reta real. Se há valores isolados de

x

para os quais a função não seja contínua, tais valores devem ser utilizados, juntamente com os pontos críticos, para determinar os intervalos de teste.

Por exemplo, a função

não é contínua quando

x

= 0. Como a derivada de

f

,

é zero quando

x

= ± 1, devemos tomar os seguintes

4 2 1 ( ) x f x x + = 4 3 2( 1) '( ) x f x x − =

Intervalo (-∞∞∞∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, ∞∞∞∞)

Valor de teste x = -2 x = -½ x = ½ x = 2

Sinal de f ‘(x) f ‘(-2) <<<< 0 f ‘(-½) >>>> 0 f ‘(½) <<<< 0 f ‘(2) >>>> 0 Conclusão Decrescente Crescente Decrescente Crescente

Após testar

f

‘₍

_x

_{), constatamos que a função}

é decrescente nos intervalos (-∞, -1) e (0, 1), e crescente nos intervalos (-1, 0) e (1, ∞), conforme mostra a figura a seguir.

Exemplo 5: Mostre que a função

f

(

x

) =

x

3 _{– 3}

_x

2 ₊

3

x

é crescente em toda a reta real. Pela derivada de

f

,

f

‘₍

_x

_{) = 3}

_x

2 _{– 6}

_x

_{+ 3 = 3(}

_x

_{– 1)}2_,

podemos ver que o único ponto crítico é

x

= 1. Assim, os intervalos de teste são (-∞, 1) e (1, ∞). A tabela a seguir resume o teste nesses dois intervalos. Pela figura a seguir, vemos que

f

é crescente em toda a reta real – mesmo que

Valor de teste x = 0 x = 2

Sinal de f ‘(x) f ‘(0) = 3(0-1)2 >>>> _{0 f ‘(2) = 3(2-1)}2 >>>> ₀

Exemplo 6: Um distribuidor nacional de brinquedos

estabelece os seguintes modelos de custo e receita para um de seus jogos.

C = 2,4x – 0,0002x2_{, 0} ≤ _x ≤ _6.000

R = 7,2x – 0,001x2_{, 0} ≤ _x ≤ _6.000

Determine o intervalo em que a função lucro é crescente.

O lucro na produção de

x

unidades é

P

=

R

–

C

= (7,2

x

– 0,001

x

2_{) – (2,4}

_x

_{– 0,0002}

_x

2₎

Para achar o intervalo em que o lucro é crescente, façamos o lucro marginal

P

’ _{igual a zero}

e resolvamos em relação a

x

.

'

'

4,8 0,0016 Diferenciando a função lucro 4,8 0,0016 0 Fazendo P igual a 0. 0,0016 4,8 Subtraindo 4,8 de ambos os me P x x x = − − = − = − mbros 4,8

Dividindo ambos os membros por -0,0016 0,0016 3.000 unidades Simplificando x x − = − =

No intervalo (0, 3.000),

P

‘ _{é positiva e o}

lucro é crescente. No intervalo (3.000, 6.000),

P

‘ _é

negativa e o lucro é decrescente. A figura abaixo ilustra os gráficos das funções custo, receita e lucro.