Aula 08
Estamos terminando nossa disciplina e precisamos ver mais três itens que estão faltando neste conteúdo. “Variância”, “Desvio Padrão” e “Coeficiente de Variação”, de dados agrupados e não- agrupados, com ou sem intervalos de classe.
O que são essas medidas? Já ouviram falar de variância?
E desvio-padrão? Então, vamos estudar mais um pouquinho? Mas, antes, vamos verificar quais são os objetivos e quais as seções que serão desenvolvidas ao longo desta aula.
Bom trabalho!
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VIABILIDADE
Objetivos de Aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
x Identificar variância, desvio padrão e coeficiente de variação;
x Calcular variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Seções de estudo
x Seção 1 - Variância (s2) e desvio padrão (s) 1.1 Dados não agrupados
1.2 Dados agrupados
1.2.1 Sem intervalos de classe 1.2.2 Com intervalos de classe x Seção 2 - Coeficiente de variação
Estatística Aplicada -UNIGRAN
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CONCEITO
xi xi2
4045 4852 5462 70
1.600 2.025 2.304 2.704 2.916 3.844 4.900 6 = 371 6 = 20.293 Seção 1 – Variância (s2) e Desvio Padrão (s)
Segundo Crespo (2002), a variância e o desvio-padrão são medidas que fogem a essa falha, pois levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.
Para efetuar os cálculos de variância e desvio-padrão é calculado pela raiz quadrada da variância:
s = _____ ___
Essa última fórmula é utilizada não apenas por ser mais prática, mas também por ser mais precisa, pois quando a média não é exata e tem de ser arredondada, cada desvio fica ligeiramente do erro, devido a esse arredondamento.
Para o cálculo do desvio-padrão, consideremos os seguintes casos:
1.1 Dados não agrupados
Tomemos, como exemplo, o conjunto de valores a da variável x:
40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
O modo mais prático para se obter o desvio-padrão é formar uma tabela com duas colunas: uma xi outra para xi2. Assim:
Importante lembrar que n é a quantidade de elementos que a distribuição apresenta. Neste caso temos 7 números apresentados em xi, portanto n = 7.
Então temos:
6
xi2 n6
xi2
nEstatística Aplicada -UNIGRAN
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xi xi2 13
59
19 2581 6 =18 6 =116 s = _____ ___
s = _______ ___
s = 2.899 2.809 s = 90
s = 9,49
Dessa forma, obtermos o desvio-padrão (s) como 9,49 e sua variância (s2) por 90.
Vejamos mais alguns exemplos:
Para os conjuntos de dados, calcule os desvios-padrões e variâncias.
1, 3, 5, 9
Importante lembrar que para encontrarmos os valores de variância e desvio padrão, devemos calcular o valor de xi2, conforme está apresentado na tabela a seguir.
Somente após estes cálculos e que poderemos disponibilizar os valores na fórmula...
s = _____ ___
s = ____ __
s = ____ ___
s = 29 20,25 s = 8,75
371 2 7
6
xi2 n 20.2937
6
xi2 n18 2 4 324
16
6
xi2 n 1164 116
4
6
xi2 nEstatística Aplicada -UNIGRAN
185
xi Į 01
23 4
26 127
3 6 = 30
xi Į xi Į Į .xi2 01
23 4
26 127
3
06 2421 12
06 4863 48 6 = 30 6 = 63 6 = 165 s = 2,95
Desvio-padrão S = 2,95 e a variância será S² = 8,75.
1.2 - Dados agrupados
1.2.1 - Sem intervalos de classe Fórmula:
s = _____ ___
xExemplo:
Se tivermos dados, representados conforme a tabela a seguir, calcule a variância e o desvio padrão:
Para procedermos com os cálculos, primeiramente e necessário que tenhamos uma coluna com valores referentes aos resultados de xi.fi (terceira coluna) para que, posteriormente, tenhamos o resultado de fi.xi2 (quarta coluna), conforme apresentado na tabela a seguir.
Atenção
Importante lembrar que na quarta coluna, os valores de Į .xi2, devemos mulƟ plicar os valores da terceira coluna (xi.Į ) com os valores da primeira coluna (xi).
Desta forma teremos, na quarta coluna, os valores referentes à Į .xi2.
Como, neste caso, temos a presença de frequências, devemos levá-las em consideração, resultando a fórmula:
6
fixi 2 n6
fixi2
nEstatística Aplicada -UNIGRAN
186
Estaturas Į 150 154
154 158 158 162 162 166 166 170 170 174
49 118
53 6 = 40
AAAAAA
Atenção
Importante lembrar que n é a quanƟ dade total de elementos em Į que a distribuição apresenta. Neste caso temos 30 números apresentados em Į , portanto n = 30.
Aplicando os valores na fórmula e considerando a tabela anterior, temos:
s = _____ ____
s = ____ __
s = 5,5 (2,1)2 s = 5,5 4,41 s = 1,09 s = 1,04
Dessa forma, o desvio-padrão será s = 1,04 e a variância será s2 = 1,09.
1.2.2 - Com Intervalos de Classe Fórmula:
s = _____ ____
x Exemplo:
Calculem os valores de variância e desvio padrão da tabela a seguir:
Percebam que nesta tabela não existem os valores de xi e neste caso torna-se necessário, primeiramente, encontrar o valor de xi. Vocês lembram como se calcula o valor de xi? Não?! Vamos relembrar??
6
fixi 2 n6
fixi2
n 16530
632
306
fixi2 n6
fixi2
nEstatística Aplicada -UNIGRAN
187
Estaturas Į xi 150 154
154 158 158 162 162 166 166 170 170 174
49 118
53
152156 160164 168172 6= 40
AAAAAA
AAAAAA
Estaturas Į xi Į .xi Į xi2 150 154
154 158 158 162 162 166 166 170 170 174
49 118
53
152156 160164 168172
1.404608 1.760 1.312 840516
92.416 219.024 281.600 215.168 141.120 88.752 6 = 40 6 = 6.440 6 = 1.038.080 Resumindo
O valor de xi é o ponto médio das classes. Para encontrar o valor de xi basta somar o limite inferior (li) e limite superior (Li) e dividir por 2. Isto deve ser feito para cada uma das classes.
Após encontrado os valores de xi, teremos que calcular dois valores fixi (quarta coluna) e fixi2 (quinta coluna), conforme apresentado na tabela a seguir.
Depois de atribuirmos os valores nas referidas colunas, passaremos, então, aos cálculos.
Vejam que neste caso devem ser envolvidos no cálculo os valores de xi e fi, conforme apresentado na tabela. Importante lembrar que n é a quantidade total de elementos em fi que a distribuição apresenta. Neste caso temos 40 números apresentados em fi, portanto n = 40.
Desta forma temos:
s = _____ ____
s = _________ ____
s = 25.952 (161)2 s = 25.952 25.921
6
fixi 2 n6
fixi2
n1.038.080 40
6.4402 40
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AAAAA
Classes Į 2 6
6 10 10 14 14 18 18 22
125 2115 7 60
AAAAA
Classes Į xi Į xi Į xi2 2 6
6 10 10 14 14 18 18 22
125 2115 7
48 1216 20
2096 252240 140
76880 30242840 2800
60 748 10512
s = 31 s = 5,57 cm
Então, teremos o desvio-padrão como s = 5,57 cm e a variância como s2
= 31 cm.
x Mais um exemplo:
Exemplo: Calculem o desvio-padrão e variância da distribuição:
Para calcular a variância e desvio padrão, devemos, primeiramente, calcular alguns termos como xi, fixi e fixi, conforme estão apresentados na tabela a seguir, nas terceira, quarta e quinta colunas, respectivamente.
s = _____ ____
s = _________ ___
s = _________ ______
s = 175,2 155,42 s = 31
s = 4,45
6
fixi2 n6
fixi2
n10512 60 10512
60
559504 3600
748 2 60
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s2 = 19,78
Desvio-padrão s = 4,45 e a variância será s² = 19,78.
Seção 2 – Coe ciente de Variação (CV)
Você sabe o que é o Coeficiente de Variação? Para que ele serve? Não?!
Então vamos estudar?!!
Coeficiente de Variação é uma medida de dispersão que se presta para comparar distribuições diferentes, que varia de acordo com o desvio padrão e a média. Seu valor é disponibilizado sempre em percentuais e calcula-se por meio da seguinte fórmula:
CV = __ . 100
Onde:
s é o valor de desvio padrão x é a média dos valores
x Exemplo:
Sabendo que um conjunto de dados apresenta para média (x) 18,3 e desvio-padrão 1,47, calcule o coeficiente de variação.
CV = __ . 100
CV = ____ . 100 CV = 0,08 . 100 CV = 8%
Neste exemplo, para encontrar o valor de 8%, somente bastou aplicar os valores de desvio padrão e média na referida fórmula.
x Mais outro exemplo: uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas:
s = 1,5 e CV = 2,9%. Calcule a média.
CV = __ . 100
CONCEITO
s x
s x
s x 1,47 18,3
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Chegamos, assim, ao Į nal da Aula 08. Espero que agora tenha Į cado mais claro o entendimento de vocês sobre Medidas de Dispersão ou de Viabilidade. Vamos, então, recordar:
CV = ____ . 100 2,9 . x = 1,5 . 100 x = ____
x= 51,72
Este foi um pouco diferente na questão onde eu não tinha o valor de média e precisava encontrá-la. Perceba que a fórmula é a mesma, entretanto a aplicação e desenvolvimento é um pouco diferente do exemplo anterior.
x Um último exemplo: em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi de 7,8 e o desvio-padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi de 7,3 e o desvio-padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão (coeficiente de variação)?
CVm = ___ .100 CVE = ___ .100 CVm = _____ .100 CVE = ____ .100 CVm = 0,102 .100 CVE = 0,104 .100 CVm = 10,2% CVE = 10,4%
A disciplina de Estatística obteve maior coeficiente de variação, com 10,4%.
Percebam que, neste último exemplo, o enunciado pede que se faça um comparativo para verificar qual das disciplinas teve uma maior dispersão de notas, um maior coeficiente de variação. Desta forma, aplicamos a fórmula para as duas disciplinas e depois comparamos os coeficientes.
Retomando a conversa inicial
x Seção 1 – Variância e Desvio Padrão Nesta seção estudamos:
s x
s x 0,80
7,8
0,76 7,3 1,5
x 150
2,9
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a) Dados não agrupados;
b) Dados agrupados;
c) Dados Sem intervalos de classe;
d) Dados Com intervalos de classe.
x Seção 2 – Coeficiente de Variação
Coeficiente de Variação é uma medida de dispersão que se presta para comparar distribuições diferentes, que varia de acordo com o desvio padrão e a média. Seu valor é disponibilizado sempre em percentuais e calcula-se por meio da seguinte fórmula:
CV = __ . 100
Onde:
o s é o valor de desvio padrão o x é a média dos valores
Não esqueçam! Em caso de dúvidas, acessem as ferramentas “Fórum” ou
“Quadro de Avisos”
Sugestões de leituras e sites Leituras
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
OLIVEIRA, J. U. C. de. Estatística – uma nova abordagem. Rio de Janeiro:
Ciência Moderna, 2010.
TRIOLA, M. F. Introdução a estatística. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
Sites
x Média, desvio padrão e variância. Disponível em: <http://educacao.uol.com.br/
matematica/ult1705u28.jhtm>
x InfoEscola – Variância e desvio padrão. Disponível em: <http://www.infoescola.
com/estatistica/variancia-e-desvio-padrao/>
x InfoEscola – Coeficiente de Variação. Disponível em: <http://www.infoescola.
com/estatistica/coeficiente-de-variacao/>
s x
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x Média, variância e desvio padrão. Disponível em: <http://leg.ufpr.br/~silvia/
CE003/node16.html>
x Coeficiente de Variação. Disponível em: <http://leg.ufpr.br/~silvia/CE055/
node26.html>
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