3 Trabalho e. potencial elétrico. Capítulo

(1)

Capítulo

3

Trabalho e

potencial elétrico

UNIDADE A

A cada ponto de um campo

elétrico associa-se a grandeza

escalar potencial elétrico. Com

base nessa grandeza, pode-se

determinar a intensidade de

diversas interações entre as

cargas elétricas presentes

nesse campo.

3.1 Trabalho da força elétrica

O trabalho da força elétrica entre

dois pontos de um campo elétrico

não depende da trajetória seguida

pela carga.

3.2 Diferença de potencial

elétrico

A diferença de potencial elétrico

entre dois pontos de um campo

elétrico é também chamada

tensão elétrica. Sua unidade

de medida é o volt.

3.3 Superfície equipotencial

As superfícies equipotenciais

em um campo elétrico são

quaisquer superfícies nas quais

todos os pontos têm potenciais

elétricos iguais.

O

globo de plasma é preenchido com argônio

à baixa pressão. Uma fonte de alta tensão

excita e ioniza alguns átomos do gás argônio.

Quando voltam ao estado inicial, esses átomos

emitem luz azulada.

(2)

68

Unidade A • Car gas elétricas em r epouso

68

Repr odução pr

oibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fever

eir

o de 1998.

Objetivos

Analisar o trabalho da

força elétrica em um

campo elétrico uniforme.

Analisar o trabalho da

força elétrica em um

campo elétrico qualquer.

Seção 3.1

1 _{Trabalho da força elétrica num campo}

uniforme

Considere um campo elétrico uniforme de intensidade E. Nesse campo,

vamos supor que uma carga elétrica puntiforme q positiva, por exemplo,

sofre um deslocamento do ponto A até o ponto B, ao longo de uma linha

de força (

fig. 1).

Trabalho da força elétrica

Esse trabalho é positivo (trabalho motor), pois a força elétrica está a

favor do deslocamento. Se q fosse levada de B até A, a força elétrica teria

sentido contrário ao deslocamento e o trabalho seria negativo (trabalho

resistente). Se q vai de A até B, passando por um ponto intermediário C

(

fig. 2), para o cálculo do trabalho projetamos o deslocamento na direção

da força. Sejam d

1

a projeção de AC e d

2

a projeção de CB. Daí:

B A q E Fe d Figura 1.

D

AB

5 F

e

d

F

e

5 qE

]

_D

AB

5 qEd

B A q C E d1 d2 Fe Fe d = d₁ + d₂ Figura 2.

D

AB

5 D

AC



D

CB

5 qEd

1

 qEd

2

]

D

AB

5 qE 3 (d

1

 d

2

) ]

D

AB

5 qEd

A força elétrica F

_e

5 qE, que age em q, é constante, pois o campo

é uniforme (E constante). Seja d o módulo do deslocamento de A a B e

F

e

5 qE a intensidade da força elétrica. Da definição de trabalho de uma

força constante e paralela ao deslocamento, vem:

(3)

69

Capítulo 3 • T rabalho e po tencial elétrico

69

Repr odução pr

eir

o de 1998.

Considere, agora, uma sucessão de segmentos de reta AC, CD, DE, ..., XB de A até B (

fig 3A).

Pelo raciocínio anterior, sejam d

₁

, d

₂

, d

₃

, ..., d

n

as projeções desses segmentos na direção da

força. Temos:

Se a linha poligonal ACDE...XB possui um conjunto demasiadamente grande de segmentos

(

fig. 3B), ela tende a uma curva. O trabalho da força elétrica entre os pontos A e B, porém,

continua o mesmo e, portanto,

não depende da forma da trajetória.

Essa conclusão, embora demonstrada para o caso particular do campo elétrico uniforme,

é válida para um campo elétrico qualquer.

(1) B (2) (3) q A

Figura 4. DAB independe da trajetória entre A e B.

Figura 3. B Aq C d X E D Fe d1 d2 d3 dn A B B A d Fe

2 **_{Trabalho da força elétrica num campo elétrico* qualquer}**

Quando uma carga elétrica q se desloca num campo elétrico qualquer de um ponto A para

um ponto B,

o trabalho da força elétrica resultante, que age em q, não depende da forma

da trajetória, que liga A com B, e depende dos pontos de partida (A) e de chegada (B).

Desse modo, no campo elétrico da

figura 4, o trabalho da força elétrica é o mesmo, quer a

trajetória seja (1), (2) ou (3).

*

Todas as conclusões apresentadas neste capítulo são válidas para um campo elétrico qualquer mas estacionário, isto é, em cada ponto o vetor campo elétrico não varia no decorrer do tempo (campo eletrostático).

D

AB

5 qEd

1

 qEd

2

 qEd

3

 ...  qEd

n

D

AB

5 qE 3 (d

1

 d

2

 d

3

 ...  d

n

)

(4)

70

Repr odução pr

eir o de 1998.

Objetivos

Definir diferença de

potencial elétrico.

Compreender o

conceito de

potencial elétrico.

Analisar o potencial

elétrico em um ponto

de um campo elétrico

gerado por uma ou

por várias cargas

elétricas puntiformes.

Conhecer a

unidade de medida de

potencial elétrico.

Conceituar energia

potencial elétrica.

Termos e conceitos

• tensão elétrica

• campo conservativo

• forças conservativas

• elétron-volt

Seção 3.2

Figura 5. (A) Para transportar duas cargas diferentes de A para B, o DAB será diferente para cada carga, porém, o quociente ___ DAB_{q permanece constante. (B) A cada ponto de um} campo elétrico associa-se um potencial elétrico. VA e VB são os potenciais elétricos em

A e B, respectivamente, e VA 2 VB é a ddp entre A e B.

Unidade de diferença de potencial

A partir da fórmula anterior estabelecemos a unidade de diferença

de potencial.

V

A

e V

B

são os

potenciais elétricos dos pontos A e B. O potencial elétri

co é uma grandeza escalar associada a cada ponto do campo (

fig. 5B).

V

A

2 V

B

5 D

AB

___

_{q ou U 5}

_{___}

D

AB

q

unidade de ddp 5

unidade de trabalho

____________________

unidade de carga

Diferença de potencial elétrico

Considere uma carga elétrica q num campo elétrico qualquer. O traba

lho realizado para deslocar a carga elétrica do ponto A para o ponto B é

o mesmo, independentemente da trajetória (

fig. 5A). Entretanto,

verifica--se que, se outra carga for deslocada entre os pontos A e B, alteraverifica--se o

trabalho da força elétrica, porém o quociente

D

___

_{q permanece constante}

AB

e só depende dos pontos A e B do campo.

A grandeza escalar

D

___

_{q , que depende dos pontos A e B do campo, é}

AB

indicada por V

A

2 V

B

ou por U, e recebe o nome de

diferença de potencial

elétrico entre os pontos A e B (abreviadamente ddp) ou tensão elétrica

entre os pontos A

e B.

ExErcícIo rEsolvIDo

A B B q A B (VB) A (VA)

(5)

71

Repr odução pr

eir

o de 1998.

V

A

5 D

AB ___

_q

No Sistema Internacional de Unidades, temos:

unidade de ddp 5 1

_________

joule

coulomb

5 1

J

__

C

5 1 volt 5 1 V

O nome

volt (símbolo V) dado à unidade de ddp é uma homenagem ao físico italiano Ales

sandro Volta.

Concluindo, podemos afirmar que o trabalho da força elétrica num campo elétrico qualquer

depende da carga elétrica q e dos pontos de partida (A) e de chegada (B), sendo expresso

pelas fórmulas:

D

AB

5 qU ou

D

AB

5 q 3 (V

A

2 V

B

)

1 _{Potencial elétrico num ponto de um campo elétrico qualquer}

A fórmula V

A

2 V

B

5 D

AB

___

_{q permite determinar a diferença de potencial entre dois pontos de}

um campo elétrico. Para o cálculo do potencial elétrico em um ponto é preciso

atribuir um valor

arbitrário (por exemplo, zero) ao potencial elétrico de outro ponto. Assim, se a ddp entre dois

pontos A e B de um campo elétrico é 50 V (V

A

2 V

B

5 50 V), convencionando-se V

B

5 0, teremos

V

A

5 50 V. Porém, se convencionarmos V

A

5 0, teremos V

B

5 250 V.

O ponto cujo potencial elétrico é convencionado nulo constitui o ponto de

referência para a medida de potenciais.

Observe que, mudando o ponto de referência, os potenciais mudam, mas a ddp entre dois

pontos permanece a mesma.

Sendo V

A

2 V

B

5 D

AB

___

_{q e adotando V}

_B

5 0 (potencial de referência), vem:

R. 22 Uma carga elétrica puntiforme q 5 1 jC é transportada de um ponto A até um ponto B de um campo elétrico. A força elétrica que age em q realiza um trabalho DAB 5 1024 J. Determine:

a) a diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B;

b) o potencial elétrico de A, adotando-se B como ponto de referência. Solução:

a) Da expressão do trabalho da força elétrica temos DAB 5 q(VA 2 VB).

Sendo DAB 5 1024 J e q 5 1 jC 5 1026 C, vem: 1024 5 1026 3 (VA 2 VB) ] VA 2 VB 5 100 V

b) Fazendo VB 5 0 (potencial de referência), temos: VA 5 100 V

Resposta: a) 100 V; b) 100 V

ExErcícIo rEsolvIDo

O potencial elétrico V

A

do ponto A em relação a um ponto B é medido

pelo trabalho da força elétrica que atua sobre uma carga unitária q no

deslocamento dessa carga desde o ponto A até o ponto de referência B.

Ou seja:

(6)

72

Repr odução pr

eir o de 1998. B (VB) A (VA) Q (fixa) dA dB Figura 6.

2 _{Potencial elétrico no campo de uma carga puntiforme}

Considere o campo elétrico originado por uma carga elétrica puntiforme Q, fixa e no vácuo.

A e B são dois pontos desse campo, distantes respectivamente d

A

e d

B

da carga Q fixa (

fig. 6).

em que k

0

é a constante eletrostática do vácuo.

Adotando B como ponto de referência (V

B

5 0) e supondo-o infinitamente afastado da carga Q,

ou seja, d

B

P ` (lê-se d

B

tende ao infinito). tem-se que k

0

3 Q

___

d

B

P 0

@

lê-se k

0

3 Q

___

d

B

tende a zero

#

.

Nessas condições, temos:

De modo geral associamos a cada ponto P do campo de uma carga elétrica puntiforme Q,

situado à distância d dessa carga, um potencial elétrico V

P

, tal que:

em relação a um ponto de referência no infinito.

Ressaltemos novamente que o

potencial elétrico é uma grandeza escalar que, ado tan

do-se um ponto de referência no infinito, será positiva se Q . 0 ou negativa se Q  0.

V

A

2 V

B

5 k

0

3 Q

___

d

A

2 k

0

3 Q

___

d

B

V

A

5 k

0

3 Q

___

d

A

, potencial elétrico do ponto A em relação a um ponto de referência

infinitamente afastado.

V

P

5 k

0

3 Q

__

d

P. 44 Num campo elétrico, leva-se uma carga puntiforme q 5 5 3 1026_{C de um ponto A até um ponto B.}

O trabalho da força elétrica é de 21024_{J. Qual a ddp entre os pontos A e B?}

P. 45 Dois pontos A e B de um campo elétrico têm potenciais iguais a 150 V e 100 V, respectivamente, em relação a um determinado ponto de referência. Qual o novo potencial de A, adotando-se B como referencial?

ExErcícIos propostos

Pode-se demonstrar que a diferença de potencial entre A e B vale:

ExErcícIo rEsolvIDo

(7)

73

Repr odução pr

eir

o de 1998.

Figura 7. Gráficos VP versus d. Ponto de referência no infinito.

VP Q > 0 d 0 Hipérbole equilátera VP Q < 0 d 0 Hipérbole equilátera

ExErcícIo rEsolvIDo

ExErcícIo proposto

R. 23 Considere o campo elétrico gerado pela carga puntiforme Q 5 1,2 3 1028_{C, no vácuo.}

Determine:

a) os potenciais elétricos nos pontos A e B indicados;

b) o trabalho da força elétrica que age numa carga q 5 1 jC ao ser deslocada de

A para B.

Adote o referencial no infinito. É dado k0 5 9 3 109 N 3 m 2 _______

C2 .

Solução:

a) A expressão do potencial num ponto à distância d da carga Q é: V 5 k0 3

Q

__

d

P. 46 No campo de uma carga puntiforme Q 5 3 jC são dados dois pontos A e B cujas distâncias à carga Q são, respectivamente, dA 5 0,3 m e dB 5 0,9 m.

O meio é o vácuo. Determine:

a) os potenciais elétricos em A e B (adote o referencial no infinito). b) o trabalho da força elétrica que atua numa carga q 5 5 jC, ao ser

deslo-cada de A para B.

c) o trabalho da força elétrica que atua na mesma carga q 5 5 jC, ao ser deslocada de B para A. Dado: k0 5 9 3 109 N 3 m 2 _______ C2 B dA Q A dB

b) O trabalho da força elétrica que age numa carga q 5 1 jC 5 1026_{C no deslocamento de A}

para B é: DAB 5 q(VA 2 VB) ] DAB 5 1026 3 (270 2 180) ] DAB 5 9 3 1025 J Resposta: a) VA 5 270 V e VB 5 180 V; b) 9 3 1025 J Em A, temos VA 5 k0 3 Q ___ dA . Sendo k0 5 9 3 109 N 3 m 2 _______ C2 , Q 5 1,2 3 10 28_{C e d} A 5 0,4 m, vem: Em B temos VB 5 k0 3 Q ___ dB . Sendo dB 5 0,6 m, vem: VB 5 9 3 109 3 1,2 3 1028 _________ 0,6 ] VB 5 180 V VA 5 9 3 109 3 1,2 3 1028 _________ 0,4 ] VA 5 270 V B A Q 0,4 m 0,6 m

(8)

74

Repr odução pr

eir o de 1998. d P d + Q + Q

R. 24 Determine o potencial elétrico resultante em P nos casos a e b indicados. Admita, em cada caso, que Q 5 1026_{C e d 5 0,3 m.} O meio é o vácuo

@

k0 5 9 3 109 N 3 m 2 _______ C2

#

. a) d P d + Q – Q b) Solução:

Quando o exercício não especifica o referencial, adota-se o infinito.

a) O potencial elétrico num ponto P do campo é a soma algébrica dos potenciais parciais. Assim, temos: VP 5 k0 3 Q ____ d  k0 3 Q ____ d Sendo k0 5 9 3 109 N 3 m 2 _______ C2 , Q 5 10 26_{C e d 5 0,3 m, vem:}

ExErcícIo rEsolvIDo

b) Neste caso: VP 5 9 3 109 3 10 26 _____ 0,3  9 3 10 9_{3 10}_{_____}26 0,3 ] Vp 5 6 3 104 V Resposta: a) 6 3 104_{V; b) zero} VP 5 k0 3 Q ____ d  k0 3 2Q ____ d ] VP 5 0

3 _{Potencial elétrico no campo de várias cargas}

Considere o campo elétrico originado por várias cargas

Q

1

, Q

2

, ..., Q

n

, fixas no vácuo (

fig. 8).

d₁ P d2 d_n Q1 Q2 Qn

...

Figura 8. O potencial elétrico no ponto P devido a várias cargas é a soma algébrica dos potenciais parciais.

O potencial elétrico num ponto P

do campo é a soma algébrica

dos potenciais em P, produzidos

separadamente pelas cargas

Q

1

, Q

2

, ..., Q

n

.

Adotando o ponto de referência no infinito, temos:

V

P

5 k

0

3 Q

1 ___

d

1

 k

0

3 Q

2 ___

d

2

 ...  k

0

3 Q

n ___

d

n

ExErcícIos propostos

(9)

75

Repr odução pr

eir

o de 1998.

P. 47 Duas cargas elétricas puntiformes Q 1 5 2,0 jC e

Q 2 5 4,0 jC estão fixas nos pontos A e B, separados

pela distância d 5 8,0 m, no vácuo.

A D Q1 4,0 m 4,0 m 3,0 m Q2 B C Dado k0 5 9 3 109 N 3 m 2 _______ C2 , determine:

a) os potenciais elétricos resultantes nos pontos C e D. O ponto C é médio de AB;

b) o trabalho da força elétrica resultante que atua numa carga q 5 2,0 3 1027_{C, ao ser levada de C}

para D.

P. 48 Em três vértices de um quadrado de lado L 5 dll 2 fixam-se cargas elétricas, conforme a figura, sendo o meio o vácuo. –2 µC L –3 µC L 1 µC Dado k0 5 9 3 109 N 3 m 2 _______ C2 , determine:

a) o potencial elétrico resultante no centro do quadrado;

b) a carga elétrica que deve ser fixada no quarto vértice, de modo que se torne nulo o potencial elétrico no centro do quadrado.

ExErcícIos propostos

4 _{Energia potencial elétrica}

Um campo de forças cujo trabalho entre dois pontos não depende da forma da trajetória

é um

campo conservativo. As forças desse campo são chamadas forças conservativas. É o

caso da

força gravitacional, da força elástica e da força elétrica.

Aos campos de forças conservativas associa-se o conceito de

energia potencial.

Assim, por exemplo, uma carga elétrica puntiforme q, abandonada em repouso num ponto A

de um campo elétrico uniforme (

fig. 9A) ou no campo de uma carga elétrica puntiforme Q

(

fig. 9B), fica sujeita a uma força elétrica F

e

e desloca-se, espontaneamente, na direção e no

sentido da força. Nessas condições, F

_e

realiza trabalho positivo.

Pelo teorema da energia cinética, o trabalho da força é medido pela variação da energia

cinética entre os pontos A e B:

D

AB

5 E

c(B)

2 E

c(A)

5 E

c(B)

, pois E

c(A)

5 0 (q parte do repouso em A)

Na posição A, q não possui energia cinética (foi abandonada em repouso), mas possui a

qualidade em potencial de vir a ter energia cinética, pois, ao ser abandonada, a força elétrica

realiza trabalho (entre A e B) igual à energia cinética de q ao passar por B. Desse modo,

na

posição A a carga q tem energia associada à sua posição. Essa energia é denominada

energia potencial elétrica.

B Figura 9. A carga q, ao ser colocada em A, adquire energia potencial elétrica. B A q F_e E A A q B Fe Q

Em relação a um ponto de referência em B, a energia potencial elétrica da carga q, no

ponto A (E

p(A)

), é igual ao trabalho da força elétrica no deslocamento de A a B (

D

AB

).

(10)

76

Repr odução pr

eir

o de 1998.

R. 25 Calcule a energia potencial elétrica que q 5 2 jC adquire ao ser colocada num ponto P de um campo elétrico cujo potencial é VP 5 200 V.

R. 26 No campo de uma carga puntiforme Q 5 2 3 1027_{C, considere um ponto P a 0,2 m de Q. Qual}

a energia potencial elétrica que q 5 1 jC adquire ao ser colocada em P? O meio é o vácuo

@

k0 5 9 3 109 N 3 m 2 _______ C2

#

. Solução: q Q = 2 •₁₀–7_C 0,2 m P

ExErcícIos rEsolvIDos

Solução:

A energia potencial elétrica Ep(P ) que q adquire ao ser colocada em P é dada por Ep(P) 5 qVP (produto

da carga q pelo potencial elétrico VP do ponto P ).

Sendo q 5 2 jC 5 2 3 1026_{C e V} P 5 200 V, vem: Ep(P ) 5 2 3 1026 3 200 ] Ep(P) 5 4 3 1024 J Resposta: 4 3 1024_J Para k0 5 9 3 109 N 3 m 2 _______ C2 , Q 5 2 3 10 27_{C, q 5 1 jC 5 10}26_{C e} d 5 0,2 m, temos: Observação: A fórmula Ep(P) 5 k0 3 Q 3 q _____

d representa a energia potencial elétrica do par de cargas Q e q.

Resposta: 9 3 1023_J Ep(P) 59 3 109 3 2 3 10 27_{3 10}26 _____________ 0,2 ] Ep(P) 5 9 3 1023 J De Ep(P ) 5 q 3 VP, sendo VP 5 k0 3 Q __ d , temos: Ep(P) 5 k0 3 Q 3 q _____ d

Como E

p(A)

5 D

AB

e

D

AB

5 q(V

A

2 V

B

), temos:

E

p(A)

5 q(V

A

2 V

B

)

Mas V

B

5 0 (potencial de referência).

Portanto:

A unidade elétron-volt

Dá-se o nome de

elétron-volt (símbolo eV) ao trabalho realizado pela força elétrica no des

locamento espontâneo de um elétron num campo elétrico, entre dois pontos A e B, tais que

entre eles exista uma ddp de 1 volt (V

B

2 V

A

5 1 V ).

A B

–

Fe

E

O elétron-volt é usado como unidade de energia na análise do movimento de partículas

atômicas. Sua correspondência com o joule (J) é a seguinte:

D

AB

5 q(V

A

2 V

B

), em que q 5 21,6 3 10

219

_{C (carga do elétron) e}

_D

AB

5 1 eV

Assim:

1 eV 5 21,6 3 10

219

_{3 (21) ] 1 eV 5 1,6 3 10}

219

_J

E

p(A)

5 qV

A

ExErcícIos propostos

(11)

77

Repr odução pr

eir

o de 1998.

P. 49 No ponto P de um campo elétrico onde o potencial é VP 5 21.000 V, coloca-se uma carga q 5 3 jC.

Qual a energia potencial elétrica que q adquire?

P. 50 Um campo elétrico é produzido no vácuo por duas cargas puntiformes de 22 jC e 5 jC, respec-tivamente. Calcule:

a) o potencial elétrico num ponto P, que dista 0,20 m da primeira e 0,50 m da segunda; b) a energia potencial elétrica que q 5 6 3 1028_{C adquire ao ser colocada em P.}

ExErcícIos propostos

5 _{Propriedades do potencial elétrico}

Uma carga elétrica puntiforme q, abandonada em repouso num ponto A de um campo elé

trico, fica sujeita a uma força elétrica resultante F

e

e desloca-se espontaneamente. Nessas

condições, F

_e

realiza trabalho positivo.

Sendo B um ponto da trajetória, temos

D

AB

. 0. De D

AB

5 q(V

A

2 V

B

) . 0 resultam duas pos

sibilidades:

1

a

_{) q . 0 ] V}

A

2 V

B

. 0 ] V

A

. V

B

2

a

_{) q  0 ] V}

A

2 V

B

 0 ] V

A

 V

B

Cargas elétricas

positivas, abandonadas em repouso num campo elétrico e sujeitas

apenas à força elétrica, deslocam-se, espontaneamente, para pontos de

menor potencial.

Cargas elétricas

negativas, abandonadas em repouso num campo elétrico e sujeitas

apenas à força elétrica, deslocam-se, espontaneamente, para pontos de

maior potencial.

Sendo

D

AB

5 q(V

A

2 V

B

) . 0, vem: qV

A

2 qV

B

. 0 ] E

p(A)

2 E

p (B)

. 0 ] E

p(A)

. E

p (B)

Em todo movimento espontâneo de cargas elétricas num campo elétrico, a energia potencial

elétrica diminui.

Vamos agora supor que um operador desloque uma carga q . 0 ao longo de uma linha de

for ça de um campo elétrico qualquer (

fig. 10), desde A até B. A força elétrica resultante, que

atua em q, tem a direção e o sentido de E, em cada ponto, de modo que o trabalho

D

AB

da força

elétrica resulte positivo.

Linha de força A B q > 0 VA VB Fe E Figura 10.

Percorrendo-se uma linha de força no seu sentido, o potencial elétrico ao longo de seus

pontos diminui.

De

D

AB

5 q(V

A

2 V

B

) . 0 e sendo q . 0, vem V

A

2 V

B

. 0 e, portanto, V

A

. V

B

.

(12)

78

Repr odução pr

eir o de 1998.

Objetivos

Caracterizar

superfícies

equipotenciais.

Conhecer as

superfícies

equipotenciais no campo

elétrico uniforme.

Analisar a diferença

de potencial entre dois

pontos em um campo

elétrico uniforme.

Termos e conceitos

• superfícies esféricas

concêntricas

Seção 3.3

Linha de força B A C Superfície equipotencial VB VA VC Q Figura 11. No campo de uma carga puntiforme, as superfícies equipotenciais são esféricas.

As linhas de força são perpendiculares às superfícies equipotenciais.

Essa propriedade é válida em qualquer campo elétrico.

De fato, sendo A e B dois pontos de uma mesma superfície

equipoten-cial de um campo elétrico qualquer (

fig. 12),desloquemos uma carga q

de A até B. Admitindo-se A e B muito próximos, podemos considerar o

deslocamento de A até B retilíneo (AB  d) e a força elétrica resultante F

e

,

que age em q, constante.

J  90w

Assim, temos:

D

AB

 F

e

3 d 3 cos J

Mas:

D

AB

 q(V

A

 V

B

)

Como A e B pertencem a uma mesma superfície equipotencial

(V

A

 V

B

), resulta

D

AB

 0. Portanto:

F

e

3 d 3 cos J  0

Como F

e

% 0 e d % 0, temos cos J  0 e portanto:

Isso significa que F

_e

é perpendicular ao deslocamento de A para B e,

consequentemente, à superfície equi potencial. Como F

e

e E têm mesma

direção, e sendo a linha de força tangente ao vetor campo E, resulta que

esta também é perpendicular à superfície equipotencial.

Superfície equipotencial

Superfície equipotencial em um campo elétrico é qualquer superfície

cujos pontos têm

potenciais elétricos iguais.

No campo de uma carga puntiforme Q, as superfícies equipotenciais

são esféricas e concêntricas com a carga (

fig. 11): da expressão do

poten-cial elétrico V

P

 k

0

3 Q

__

d

, os pontos que possuem mesmo po tencial elétrico V

P

devem estar à mesma distância d de Q. Observe na

figura 11 que:

Linha de força θ A B Superfície equipotencial Fe = qE Figura 12.

exercícios resolvidos

(13)

79

Repr odução pr

eir o de 1998.

U  V

A

 V

B

 Ed

Linhas de força Superfície equipotencial VA > VB > VC > VD

Figura 13. Num campo uniforme, as superfícies equipotenciais são planas.

2 _{Diferença de potencial entre dois pontos de um campo}

elétrico uniforme

Considere dois pontos A e B de um campo elétrico

unifor-me de intensidade E. Sejam V

A

e V

B

os potenciais elétricos de

A e B, respectivamente, e seja d a distância entre as

super-fícies equi po tenciais que passam por A e B (

fig. 14).

Vimos, na seção 3.1 deste capítulo, que, quando uma

car-ga puntiforme q  0 é deslocada de A a B, a força elétrica

realiza trabalho,

D

AB

 qEd.

De U  V

A

 V

B



D

AB ___

_{q , resulta:}

VA A B d q > 0 VB E C Fe Figura 14.

Assim, a unidade de intensidade de campo no Sistema Internacional é

volt/metro (símbolo

V/m), equivalente ao newton/coulomb (símbolo N/C), que usamos no capítulo 2.

Na

figura 14, observe que a ddp entre os pontos A e C (V

A

 V

C

) é igual à ddp entre A e B

(V

A

 V

B

), pois B e C pertencem à mesma superfície equipotencial (V

B

 V

C

).

Da igualdade anterior, temos:

1 _{Superfície equipotencial em um campo elétrico uniforme}

Particularmente, para o campo elétrico uniforme (

fig. 13), verifica-se que as superfícies

equipotenciais, por serem perpendiculares às linhas de força, são planos paralelos entre si.

E 

__

U

d

R. 27 São dadas as linhas de força e as superfícies equipoten ciais de um campo uniforme. Determine:

a) a intensidade E do campo elétrico; b) o potencial elétrico do ponto C;

c) o trabalho da força elétrica que atua em q  1 jC, ao ser deslocada de A para C.

A B C 0,1 m 0,2 m 100 V 80 V E

exercícios resolvidos

(14)

80

Repr odução pr

eir

o de 1998.

0 V 80 V

–20 V 20 V 40 V 60 V 100 V

Observe que, embora os pontos B e C não estejam na mesma linha de força, podemos aplicar

U  Ed, lembrando que d é a distância entre as superfícies equipotenciais que passam

por B e C.

R. 28 Na figura representamos as superfícies equipotenciais planas, paralelas e igual mente espaçadas de um campo elétrico uniforme.

a) Determine a ddp entre os pontos A e B. b) Represente algumas linhas de força des

se campo e determine sua intensidade. _A

B 4 cm 0 V 80 V 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 2 cm U  VA  VB ] U  70 V  20 V ] ] U  50 V A B 0 V 80 V 4 cm 4 cm 2 cm –20 V 20 V 40 V 60 V 100 V

b) As linhas de força são perpendiculares às superfícies equipotenciais e têm sentido dos poten ciais de crescentes.

Cálculo da intensidade do campo:

De U  Ed, sendo U  50 V e d  10 cm  0,10 m a distância entre as superfícies equipotenciais que passam por A e B, vem:

50  E 3 0,10 ] E  5,0 3 102_V/m

Resposta: a) 50 V; b) 5,0 3 102_V/m

Solução:

a) A ddp entre dois pontos de um campo uniforme é dada por U  Ed. Sendo U  VA  VB com VA  100 V, VB  80 V e d  0,1 m, vem:

c) O trabalho da força elétrica que atua em q no deslocamento de A até C é dado por DAC  q(VA  VC). Sendo q  1 jC  106 C, VA  100 V e VC  40 V, vem:

Resposta: a) 200 V/m; b) 40 V; c) 6 3 105_J

Solução:

a) Como o campo elétrico é uniforme e a distância entre duas superfícies equipo tenciais sucessivas é constante, temos a distribuição de potenciais indicada na figura ao lado.

Assim, o ponto A tem potencial elétrico VA  70 V e o ponto B, VB  20 V.

A ddp U entre A e B será:

exercícios propostos

exercícios propostos de recapitulação

b) Para o cálculo do potencial elétrico no ponto C (VC), podemos novamente usar U  Ed entre

os pontos B e C. Sendo VB  80 V, E  200 V/m e d  0,2 m, vem:

VA  VB  Ed ] 100  80  E 3 0,1 ] E  200 V/m

VB  VC  Ed ] 80  VC  200 3 0,2 ] VC  40 V

(15)

81

P. 51 São dadas as linhas de força e as superfícies equipotenciais de um campo elétrico uniforme de intensidade E  105_V/m. 90 V 80 V 100 V F C B G D A d d E Determine: a) a distância d; b) a ddp entre os pontos A e F;

c) o trabalho da força elétrica que atua em q  1 jC ao ser levada de A até C pelo caminho

A P D P G P F P C;

d) a energia potencial elétrica que q  1 jC adquire ao ser colocada em B.

P. 52 (FEISP) A figura indica a posição dos planos equi potenciais numa região de um campo elétrico uniforme. Uma partícula de massa m  4,0 3 107_kg

e carga q  2,0 3 106_{C é abandonada em repouso}

no ponto A (x  1,0 m). 10 V 3,0 –5,0 V A 2,0 1,0 0 –1,0 –2,0 0 V 15 V 20 V x (m) 5,0 V Determine:

a) a intensidade, a direção e o sentido do vetor campo elétrico;

b) a velocidade da partícula após um deslocamento de 2,0 m.

P. 53 (UnifeiMG) Considere a figura a seguir, onde q e q são cargas elétricas puntiformes que distam 4a

uma da outra. As distâncias entre os pontos (A e B) e (B e C) valem a. A constante eletros tática do meio é k0. A +q B C –q a

a) Determine para o ponto B o potencial VB e o vetor

campo elétrico EB.

b) Determine a diferença de potencial entre os pontos B e A e C e B.

P. 55 (FuvestSP) São dadas duas cargas elétricas pon tuais 1Q e Q de mesmo módulo, situadas como mostra a figura. Sabese que o potencial elétrico no ponto A vale 5,0 V, considerandose nulo o po ten cial no infinito.

O +Q A

–Q

d d d

Determine o trabalho realizado pelo campo elétrico quando se desloca uma carga pontual

q  1,0 nC  1,0 3 109_C:

a) do infinito até o ponto A; b) do ponto A até o ponto O.

45° –Q a a –Q 45° A X

a) A que distância de A sobre a reta AX devemos colocar uma outra carga elétrica puntiforme 1Q para que o potencial elétrico em A seja nulo? b) É esse o único ponto do plano da figura em que

a carga 1Q pode ser colocada para anular o potencial em A? Justifique a resposta.

P. 54 (FuvestSP) Duas cargas elétricas puntiformes Q distam a do ponto A, conforme indicado na figura.

exercícios propostos

exercícios propostos de recapitulação

P. 56 (FuvestSP) A figura representa algumas superfí cies equipo tenciais de um campo eletrostático e os valores dos potenciais correspondentes.

A +20 V B –20 V –10 V +10 V 0

a) Represente o vetor campo elétrico nos pontos

A e B.

b) Qual o trabalho realizado pelo campo para levar uma carga q, de 2 3 106_{C, do ponto A ao ponto B?}

(16)

82

Repr odução pr

eir

o de 1998.

P. 57 Uma carga elétrica puntiforme q  3 3 109_{C é le}

vada de um ponto A de um campo elétrico, onde o potencial é VA  900 V, até um ponto B do referido

campo, onde o potencial é VB  2.100 V.

a) A carga ganhou ou perdeu energia potencial elétrica? Quanto?

b) Determine o trabalho da força elétrica que atua em q, ao ser deslocada de A até B.

c) Compare e interprete os resultados obtidos nos itens a e b.

P. 58 Uma carga elétrica puntiforme q  1 jC é deslocada dentro de um campo elétrico desde um ponto A, cujo potencial é VA  40 V, até um ponto B, cujo

potencial VB é desconhecido. Nesse deslocamento,

a carga ganhou 20 jJ de energia potencial elétrica. Calcule VB.

P. 59 Consideremos o campo elétrico criado por duas cargas puntiformes de 16 3 109_{C e 6 3 10}9_C

fixas a 20 cm do ponto A e a 12 cm e 8 cm, respec tivamente, do ponto B, no vácuo. Qual a energia potencial elétrica que q  2 3 109_{C adquire ao ser}

colocada, sucessivamente, nos pontos A e B da figura? Considere k0  9 3 109 N 3 m 2 _______ C2 . A 20 cm B 20 cm 12 cm 8 cm +6 • 10–9 C –6 • 10–9 C

P. 61 (UnirioRJ) Com base no esquema, que representa a configuração das linhas de força e das superfícies equi po ten ciais de um campo elétrico uniforme de intensidade E  5 3 102_{V/m, determine:}

a) a distância entre as superfícies equipotenciais

S1 e S2;

b) o trabalho da força elétrica que age em q  2 3 106_C

para esta ser deslocada de A para B.

A

B

100 V 50 V

S1 S2

E

P. 60 Uma carga elétrica puntiforme q  106_{C é aban}

donada em repouso num ponto A de um campo elé tri co uni for me de intensidade E  105_{N/C e cujas}

linhas de força são horizontais, conforme a figura. Su ponha que a única força que atua na partícula seja a elétrica.

A

E

a) Determine a intensidade, a direção e o sentido da força elétrica que atua em q.

b) Ao passar por um ponto B situado a 0,1 m de A, a energia potencial elétrica de q vale 103_{J. Qual}

o potencial elétrico em B? c) Qual a ddp dada por U  VA  VB?

d) Qual a energia potencial elétrica de q em A?

P. 62 (FuvestSP) Uma partícula eletrizada positivamente com carga q  3 3 1015_{C é lançada em um campo}

elétrico uniforme de intensidade 2 3 103_{N/C, des}

crevendo o movimento representado na figura.

A

B

3 cm

4 cm

a) Qual a intensidade da força que atua sobre a partícula no interior do campo elétrico? b) Qual a variação da energia potencial elétrica da

partícula entre os pontos A e B?

P. 63 (Vunesp) Os elétrons de um feixe de um tubo de TV são emitidos por um filamento de tungstênio dentro de um compartimento com baixíssima pressão. Es ses elétrons, com carga de módulo e  1,6 # 1019_C,

são acelerados por um campo elétrico existente entre uma grade plana e uma placa, separadas por uma distância d  12,0 cm e polarizadas com uma diferença de potencial U  15 kV. Passam então por um orifício da placa e atingem a tela do tubo. A figura ilustra esse dispositivo.

Grade Placa

d

e

testes propostos

Considerando que a velocidade inicial dos elétrons é nula, calcule:

a) o campo elétrico entre a grade e a placa, consi derando que ele seja uniforme;

b) a energia cinética de cada elétron, em joules, quando passa pelo orifício.

(17)

83

Repr odução pr

eir

o de 1998.

+q _P –q

r

O ponto P está localizado na posição média entre as duas cargas. Identifique a alternativa correta. a) A força elétrica resultante sobre uma carga

colocada no ponto P é zero.

b) O campo elétrico resultante no ponto P é zero. c) O potencial elétrico resultante no ponto P é zero. d) Como temos duas cargas de mesmo módulo e

sinais contrários, o valor do campo elétrico ao longo da reta que as une é constante.

e) Como temos duas cargas de mesmo módulo e sinais contrários, o valor do potencial elétrico ao longo da reta que as une é zero.

T. 56 (UFTMMG) Com relação a um ponto P sobre as linhas de campo geradas por uma única carga puntiforme positiva, analise:

I. a força elétrica exercida sobre uma carga nesse ponto tem a direção da linha de força que passa pelo ponto P;

II. o vetor campo elétrico nesse ponto tem sentido voltado para a carga geradora do campo; III. o potencial elétrico em P é um vetor com direção

radial à carga geradora do campo. Está correto o contido em:

a) I, apenas d) I e II, apenas b) II, apenas e) I, II e III c) III, apenas

T. 57 (FamecaSP) O gráfico representa o potencial gerado por uma carga elétrica puntiforme, em função da distância dessa carga aos pontos do campo elétrico. O meio é o vácuo. 0 2,0 d2 d (m) V (volts) 1,0 V1 45 15

Dado: constante eletrostática do vácuo

O potencial elétrico V1 e a distância d2, que podem

ser obtidos a partir do gráfico, e a carga Q que gera o potencial, assumem os seguintes valores: a) V1  180 V; d2  6,0 m; Q  1,0 3 108 C b) V1  90 V; d2  6,0 m; Q  2,0 3 108 C c) V1  90 V; d2  3,5 m; Q  1,0 3 108 C d) V1  180 V; d2  3,5 m; Q  2,0 3 108 C e) V1  90 V; d2  6,0 m; Q  1,0 3 108 C k0  9,0 3 109 N 3 m 2 _______ C2

T. 58 (UCSalBA) Considere uma carga puntiforme po sitiva Q, fixa na origem 0 de um sistema de eixos cartesianos, e dois pontos A e B desse plano, como mostra a figura. 0 A B Q y x

No ponto B, o vetor campo elétrico tem intensidade E e o potencial elétrico é V. No ponto A, os valores dessas grandezas serão, respectivamente: a) E __

4 e V __ 2 c) E e V e) 4E e 2V b) E __

2 e V __ 2 d) 2E e 2V

T. 59 (MackenzieSP) Num ponto A do Universo, cons tatase a existência de um campo elétrico E de in ten si da de 9,0 3 105_{N/C, devido exclusivamente a}

uma carga puntiforme Q situada a 10 cm dele. Num outro ponto B, distante 30 cm da mesma carga, o vetor campo elétrico tem intensidade 1,0 3 105_N/C.

A ddp entre A e B é:

a) 1,8 3 104_V _{d) 6,0 3 10}5_V

b) 2,0 3 104_V _{e) 8,0 3 10}5_V

c) 6,0 3 104_V

testes propostos

T. 60 (Olimpíada Brasileira de Física) Duas cargas punti formes 1q e q, localizadas no vácuo, estão sepa radas por uma distância fixa r, como ilustrado na figura abaixo.

T. 61 (PUCSP) Duas cargas pontuais Q1 e Q2, respectiva

mente iguais a 12,0 jC e 4,0 jC, estão fixas na reta representada na figura, separadas por uma distância d. Q1 Q2 P d d d M a) 2,0 jC c) ___ 7,0 9 jC e) 14 ___ 7 jC b) 3,0 jC d) ___ 7,0 4 jC

T. 62 (PUCMG) Quatro cargas puntiformes iguais, positi vas, estão nos vértices de um quadrado. O potencial foi considerado nulo a uma distância infinita. É correto, então, dizer que no centro do quadrado: a) o potencial é diferente de zero e o campo elétrico

é nulo.

b) o potencial é nulo e o campo elétrico é diferente de zero.

c) o potencial e o campo elétrico são ambos dife rentes de zero.

d) o potencial e o campo elétrico são ambos nulos. Qual é o módulo de uma terceira carga pontual Q3,

a ser fixada no ponto P de modo que o campo elétrico resultante da interação das 3 cargas no ponto M seja nulo?

(18)

84

Repr odução pr

eir

o de 1998.

T. 64 (MackenzieSP) Nos vértices A e B do retângulo ilustrado a seguir estão fixas as cargas elétricas puntiformes Q A  3,0 3 102 jC e Q B  6,0 3 102 jC,

respectivamente. Considerando que o evento ocor re no vácuo (k0  9 3 109 N 3 m2/C2) e que o potencial

elétrico de referência corresponde ao de um ponto muito distante, a diferença de potencial elétrico entre os pontos C e D é: a) zero d) 3,6 3 104_V b) 9,0 3 104_V _{e) 3,6 3 10}4_V c) 9,0 3 104_V 4,00 mm 3,00 mm A B C D

T. 65 (UnipSP) Quatro partículas eletrizadas estão fixas nos vértices de um quadrado. As partículas têm as cargas elétricas indicadas nas figuras. Identifique a opção em que o potencial elétrico e o vetor campo elétrico, no centro C do quadrado, são ambos nulos.

+Q C –Q +Q –Q a) b) d) e) c)

T. 66 (Unifesp) Na figura, as linhas tracejadas repre sentam superfícies equipotenciais de um campo elétrico; as linhas cheias I, II, III, IV e V represen tam cinco possíveis trajetórias de uma partícula de carga q, positiva, realizadas entre dois pontos dessas superfícies, por um agente externo que realiza trabalho mínimo. A trajetória em que esse trabalho é maior, em módulo, é:

a) I b) II c) III d) IV e) V I II III IV V

T. 67 (MackenzieSP) Ao abandonarmos um corpúsculo, eletrizado positivamente com carga elétrica de 2,0 jC, no ponto A de um campo elétrico, ele fica sujeito a uma força eletrostática que o leva para o ponto B, após realizar o trabalho de 6,0 jJ. A dife rença de potencial elétrico entre os pontos A e B desse campo elétrico é:

a) 1,5 kV c) 4,5 kV e) 7,5 kV b) 3,0 kV d) 6,0 kV

T. 68 (UEMPR) Considere uma carga elétrica, positiva, isolada no vácuo (k0  9 3 109 N 3 m2/C2), cujo módulo

é q  12 jC. Assinale o que for correto.

(01) Em qualquer ponto em torno da carga q, as li nhas de força têm a mesma direção e o mesmo sentido do vetor campo elétrico gerado por ela. (02) A intensidade do campo elétrico gerado pela

carga q, em um ponto situado a 5 cm de dis tância, é igual a 4,32 3 107_N/C.

(04) O potencial elétrico no ponto situado a 5 cm de distância da carga é igual a 2,16 3 106_V.

(08) A diferença de potencial elétrico entre dois pontos situados em uma mesma superfície equipotencial é diferente de zero.

–2Q C +Q +Q –2Q +2Q C –Q –Q +2Q +2Q C +Q –2Q –Q +Q C –Q –Q +Q Q1 d Q2

Sabendose que a carga Q 1 exerce uma força F1

sobre a carga Q 2 e que a carga Q 2 exerce uma força

F2 sobre a carga Q 1, é correto afirmar que:

(01) os sentidos das forças F1 e F2 serão opostos

somente quando as cargas tiverem sinais opostos;

(02) os sentidos das forças F1 e F2 serão sempre

opostos, quaisquer que sejam os sinais das cargas;

(04) o campo elétrico é nulo em d __

2 , o ponto médio da distância entre as duas cargas, somente se as cargas tiverem sinais iguais;

(08) o potencial elétrico é nulo em d __

2 , o ponto médio da distância entre as duas cargas, não impor tando quais sejam os sinais das cargas; (16) colocandose uma terceira carga Q 3 negativa

em d __

2 , o ponto médio da distância entre as duas cargas, a força resultante sobre essa carga será nula somente se Q 1 e Q 2 tiverem sinais

iguais.

Dê como resposta a soma dos números que prece dem as afirmativas corretas.

T. 63 (UEMPR) Duas cargas elétricas pontuais Q 1 e Q 2, de

mesmo módulo e de sinais desconhecidos, estão fixas no espaço e separadas por uma distância d, como mostra a figura a seguir.

(19)

85

Repr odução pr

eir

o de 1998.

T. 69 (UELPR) O esquema representa uma região onde existe um campo elétrico uniforme E.

Sabendose que o módulo de E vale 200 N/C, a dife rença de potencial entre os pontos X e Y, indicados no esquema, é, em volts, igual a:

a) zero c) 60 e) 120 b) 18 d) 80 X 20 cm _{20 cm} Y E

T. 70 (UELPR) Em uma região existe um campo elétrico uniforme, cuja direção pertence ao plano xy. Um agente externo desloca com movimentos unifor mes uma carga q igual a 0,5 C, conforme a figura abaixo. B x y 2 m 2 m 3 m 5 m A C D

Sabendose que o agente externo não efetua tra balho sobre a carga q no trajeto AB, mas efetua um trabalho igual a 2 J no trajeto BC e 4 J no trajeto AD, é correto afirmar:

a) O campo elétrico nesta região tem módulo

E  2 V/m, direção do eixo x e sentido positivo.

b) O campo elétrico nesta região tem módulo

E  2 V/m, direção do eixo x e sentido negativo.

c) O campo elétrico nesta região tem módulo

E  4 V/m, direção do eixo x e sentido negativo.

d) O campo elétrico nesta região tem módulo

E  4 V/m, direção do eixo y e sentido positivo.

e) O campo elétrico nesta região tem módulo

E  2 V/m, direção do eixo y e sentido negativo.

T. 71 (UniubeMG) Em uma região de campo elétrico uniforme de intensidade E  20.000 N/C, uma carga q  4 3 108_{C é levada de um ponto A, onde}

VA  200 V, para um ponto B, onde VB  80 V. O

trabalho realizado pela força elétrica no desloca mento da carga entre A e B e a distância entre os pontos A e B são, respectivamente, iguais a: a) 4,8 3 106_{N e 6 3 10}3_m

b) 4,8 3 106_{J e 6 3 10}3_m

c) 2,4 3 105_{J e 8 3 10}3_m

d) 2,4 3 105_{N e 6 3 10}3_m

e) 0 e 8 3 103_m

T. 72 (UEMPR) O campo elétrico entre duas placas condutoras vale E  2,0 # 104_{N/C e a distância}

entre elas é d  7,0 mm. Suponha que um elétron (qe  1,6 # 1019 C e me  9,1 # 1031 kg) seja libera

do em repouso nas proximidades da placa negativa. O campo gravitacional é considerado desprezível. Com base na situação descrita, assinale o que for correto.

(01) A força F que atuará sobre o elétron terá a mesma direção e sentido do campo elétrico. (02) O módulo da força F que atuará sobre o elétron

é igual a 3,2 # 1015_N.

(04) Sabendo que o peso do elétron é despre zível em comparação com a força elétrica que atuará sobre ele, podese afirmar que o movimento do elétron será retilíneo unifor memente variado e que o módulo da acele ração adquirida por ele é, aproximadamente, 3,5 # 1015_m/s2_.

(08) O tempo que o elétron gastará para ir de uma placa a outra será 4,0 # 109_s.

(16) A velocidade do elétron ao chegar à placa positiva é 14,0 # 106_m/s.

(32) A diferença de potencial entre as placas é 140 V. (64) O trabalho que o campo elétrico realiza sobre

o elétron, ao deslocálo da placa negativa para a placa positiva, é 2,24 # 1018_{N 3 m.}

Dê como resposta a soma dos números que prece dem as afirmativas corretas.

(16) O trabalho realizado pela força elétrica do cam po elétrico para deslocar uma carga q2  15 jC

desde o infinito até o ponto situa do a 5 cm da carga q é, em módulo, igual a 32,40 J.

(32) O trabalho realizado pela força elétrica do campo elétrico para deslocar uma carga entre dois pontos pertencentes à mesma linha de força é nulo.

(64) Potencial elétrico e trabalho são grandezas vetoriais.

Dê como resposta a soma dos números que pre cendem as afirmativas corretas.

T. 73 (PUCCampinasSP) Considere dois pontos M e N, de um campo elétrico uniforme de intensidade 5,0 3 103_{N/C, conforme mostra o esquema a seguir.}

Sabendo que o potencial elétrico no ponto M vale 40 V, é correto afirmar que:

a) o potencial elétrico no ponto N vale 10 V. b) o trabalho do campo elétrico ao deslocar uma

carga q  2,0 3 106_{C, de M até N, vale 2,0 3 10}4_J.

c) o potencial elétrico no ponto N vale 40 V. d) o trabalho do campo elétrico ao deslocar uma

carga q  2,0 3 106_{C, de M até N, vale 2,0 3 10}4_J.

e) o potencial elétrico do ponto N vale 90 V.

M

N

1,0 cm

(20)

86

Repr odução pr

eir o de 1998. P q Equipotenciais P1 P2 A A' O E

T. 74 (FuvestSP) Seja o sistema formado por duas placas planas P1 e P2 eletrizadas com cargas elétricas de

sinais opostos e separadas de 10 mm entre si. Na figura, são mostradas as interseções das placas P1

e P2 e de algumas superfícies equipotenciais com

o plano do papel. Ao longo do eixo médio AAe, o campo elétrico é uniforme entre as placas e seu valor é E  105_{V/m. As superfícies equipotenciais}

indicadas estão igualmente espaçadas de 1 mm ao longo do eixo. Uma carga q  1014_{C é levada do}

ponto O ao ponto P, indicados na figura.

O trabalho realizado é: a) 0 J b) 5 3 1012_J c) 1 3 1011_J d) 4 3 1012_J e) 1 3 1010_J

T. 75 (E. NavalRJ) Uma partícula eletrizada, possuindo carga elétrica positiva igual a 12,0 3 109_{C e massa}

igual a 1,0 3 1010_{kg, é abandonada do repouso num}

ponto P de um campo elétrico uniforme, horizontal e de módulo igual a 400 V/m.Desprezandose a ação gravitacional, a perda de energia potencial no deslocamento de 4,0 m até um outro ponto Q é: a) 32 3 107_J _{d) 32 3 10}9_J

b) 16 3 107_J _{e) 16 3 10}6_J

c) 8 3 107_J

T. 76 (UesbBA) Uma partícula permanece em repouso em um campo elétrico vertical e dirigido para cima, produzido entre duas placas paralelas e horizon tais, igualmente carregadas com cargas de sinais opostos e distantes 2 cm. Se a partícula em questão possui massa igual a 4 3 1013_{kg e carga positiva}

2,5 3 1018_{C, a diferença do potencial V, em 10}4_volts,

entre as placas, é:

a) 1,3 c) 2,6 e) 3,8 b) 1,8 d) 3,2

(Dado: g  10 m/s2₎

T. 77 (ITASP) Um pêndulo simples é construído com uma esfera metálica de massa m  1,0 3 104_kg

carregada com uma carga elétrica de 3,0 3 105_{C e}

um fio isolante de comprimento L  1,0 m de massa desprezível. Esse pêndulo oscila com período T num local em que g  10,0 m/s2_{. Quando um campo}

elétrico uniforme e constante E é aplicado vertical mente em toda região do pêndulo, o seu período dobra de valor. A intensidade do campo elétrico E é de: a) 6,7 3 103_N/C _{d) 33 N/C}

b) 42 N/C e) 25 N/C c) 6,0 3 106_N/C

R. 29 É dado o diagrama da energia potencial Ep de um elétron,

no vácuo, submetido apenas à ação de um campo elétrico uniforme e paralelo ao eixo x; em x  0, a energia cinética do elétron é nula. Determine a energia cinética do elétron em x  0,5 cm. Ep (�10–19J) A O –160 B 0,5 1,0 x(cm) –80

ExERcícios REsolvidos

exercícios especiais

de trabalho e potencial elétrico

Solução:

No campo elétrico, há conservação da energia total, isto é, a energia cinética mais a energia po ten cial elétrica é constante:

Ec(O) 1 Ep(O)  Ec(A) 1 Ep(A) y

em que: Ec(O)  energia cinética em O  zero (dado); Ep(O)  energia potencial em O  zero (do

gráfico); Ep(A)  energia potencial em A  80 3 1019 J (do gráfico); Ec(A)  energia cinética em A

(incógnita).

Substituindo em y, temos:

0 1 0  Ec(A) 1 (80 3 1019) ] Ec(A)  180 3 1019 J

(21)

87

Repr odução pr

eir

o de 1998.

R. 30 Têmse duas placas paralelas, planas e horizontais, entre as quais se estabelece um campo elétrico uniforme de intensidade E, direção vertical e sentido descendente. Um feixe de elétrons penetra horizon talmente nesse campo com velocidade v0. Sendo dados: E, v0, m (massa

do elétron), e (carga do elé tron em valor absoluto), determine a equação da trajetória dos elétrons. Despreze as ações gravitacionais.

+ + + + + + + + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – – – – E v0 Elétron + + + + + + + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – – –E v0 y x Px P Py O Fe

Sendo Fe  may  eE, resulta ay  eE ___

m constante, isto é, o ponto Py executa movimento retilíneo

uniformemente variado. As funções horárias dos movimentos componentes são:

x  v0t e y  1 __

2 3 eE ___ m 3 t

2

Para a determinação da equação da trajetória y  f(x), eliminamos o tempo t nas duas equações anteriores.

Obtemos, assim, uma equação do tipo y  kx2_{, com k  eE}_{_____}

2mv2 0

constante, que representa uma parábola.

Resposta: y 

@

eE _____

2mv2 0

#

3 x2

R. 31 No campo da carga Q  2 jC, considere dois pontos A e B pertencentes a uma mesma linha de força e que distam 0,1 m e 0,2 m, respectivamente, de Q. Com que velocidade se deve lançar do ponto B uma pequena esfera de carga q  108_{C e massa m  0,2 g, para que atinja A com}

velocidade nula?

O meio é o vácuo e desprezamse as ações gravitacionais. É dada a constante eletrostática do vácuo: k0  9 3 109 N 3 m

2 _______

C2 .

Solução:

Neste exercício, a força elétrica é variável e, portanto, não podemos aplicar a equação de Torri celli, válida para o MUV (produzido por forças constantes).

Assim, devemos aplicar o teorema da energia cinética entre B e A: DBA  Ec(A)  Ec(B) em que Ec(A)  mv2 A ____ 2 é a energia cinética de q em A, Ec(B)  mv2 B ____ 2 é a energia cinética de q em B e DBA  q(VB  VA). Portanto: q(VB  VA)  mv2 A ____ 2  mv2 B ____ 2 Solução:

A força Fe tem sentido ascendente, pois a carga do elétron é negativa.

Portanto, a trajetória do elétron se rá desviada para cima.

Em vez de estudarmos o movimento do elétron P ao longo da trajetó ria, estudemos os movimentos de Px (projeção de P no eixo x) e de Py

(projeção de P no eixo y). Fe é vertical, portanto sua projeção no eixo x

é nula, isto é, Fe(x)  0. Sendo Fe(x)  max  0, resulta ax  0, isto é, o

ponto Px executa movimento retilíneo uniforme. A projeção de Fe no

eixo y é Fe(y)  Fe. x  v0t ] t  x __ _v 0 e y  1 __ 2 3 eE ___ m t 2 _]_{y  1}_{__} 2 3 eE ___ m 3 x 2 __ v2 0 ] y 

@

eE _____ 2mv2 0

#

3 x2 vA = 0 A Q B Posição inicial vB q Posição final Sendo k0  9 3 109 N 3 m 2 _______ C2 , Q  2jC  2 3 10 6_{C e d}

A  0,1 m, o potencial elétrico VA vale:

q(VB  VA)  mv2 A ____ 2  mv2 B ____ 2 ] 10 8_{3 (9 3 10}4_{ 18 3 10}4_{)  0 }0,2 3 10_{_____________}3 3 v2B 2 ] vB  3 m/s Resposta: 3 m/s Sendo m  0,2 g  0,2 3 103_{kg, q  10}8_{C e v}

A  0, pois a carga q deve atingir A com velocidade

nula, podemos determinar a velocidade vB de lançamento:

VB  9 3 109 3 2 3 10

6 _______

0,2 ] VB  9 3 104 V

Como a distância de Q a B é dB  0,2 m, o potencial elétrico VB vale:

VA  k0 3 Q ___ dA ] VA  9 3 109 3 2 3 10 6 _______ 0,1 ] VA  18 3 104 V