INDICE GERAL. Prólogo. Capítulo 1 - Introdução. Capítulo 2 - Equações de Maxwell

,

INDICE GERAL

Prólogo

XIII

Capítulo 1 - Introdução

1.1 - O Electromagnetismo Clássico e a Física Moderna 1.2 - Estrutura conceptual do livro . . . .

1

1 4

Capítulo 2 - Equações de Maxwell

2.1 - Campos electrostáticos . . . . Exemplo 2.1: Distribuição linear de carga de densidade uniforme Exemplo 2.2: Distribuição volumétrica de carga com simetria esférica 2.2 - Campos de indução magnética . . . .

Exemplo 2.3: Condutor infinito percorrido por corrente distribuída uniformemente

Exemplo 2.4: Solenóide infinito .

Exemplo 2.5: Força entre duas correntes paralelas . 2.3 - Regime não estacionário e corrente de deslocamento de Maxwell 2.4 - As equações de Maxwell e a força de Lorentz

Exemplo 2.6: Experiência de Thomson Exemplo 2.7: Efeito Hall ..

2.5 - Equações para os potenciais . . . . . 2.6 - Problemas resolvidos. . . .

2.6.1 - Campo electrostático (coordenadas cartesianas) 2.6.2- Campo eléctrico com simetria cilíndrica - I

7 7 11 12 13 17 19 21 22 23 24 26

27 29 29

31

v

2.6.3 - Campo eléctrico com simetria cilíndrica - 11 2.6.4 - Campo eléctrico em coordenadas esféricas . . 2.6.5 - Esfera uniformemente carregada . 2.6.6 - Campo criado por um plano de corrente uniforme 2.6.7 - Distribuição de correntes entre planos paralelos 2.6.8 - Cilindro carregado a rodar. . . . 2.6.9 - Cilindro com carga superficial a rodar . . 2.6.10- Potencial vector de um campo uniforme . 2.6.11 - Potencial vector de um solenóide infinito.

2.6.12 - Corrente variável em solenóide .. . . . 2.6.13 - Solenóide toroidal. . . . 2.6.14 - Anel em campo deindução magnética variável 2.6.15 - Ciclotrão .

2.6.16 - Magnetrão .

32 34 34 35 37 39

41

42 43 45

46

49 51 53

Capítulo 3 - Energia electrostática

3.1 - Energia de

uma distribuição estática de cargas.

Exemplo 3.1: Esfera uniformemente carregada 3.1.1 - A energia em função do campo eléctrico

3.2

-

Forças eléctricas em condutores

.

. . .

.

.

.

3.2.1- Método do trabalho virtual . Exemplo 3.2: Condensador plano a potencial constante

3.3 - Problemas resolvidos .

3.3.1 - Energia electrostática de uma esfera uniformemente carregada 3.3.2- Energia de esfera condutora carregada

3.3.3- Energia de um condensador plano . . . .

3.3.4 - Força num condensador plano isolado ..

3.3.5 - Condensador plano suspenso de uma mola 3.3.6 - Forças num condensador cilíndrico

59

59

61 62

63 65 65 66

66

68 69 69 70 71

Capítulo 4 - Multipolos eléctricos

4.1 -

Introdução .

'::=(f.2 - Dipolo eléctrico .

4.3 - O

quadrupolo eléctrico linear

4.4 -

Desenvolvimento em multipolos do potencial escalar

Exemplo 4.1: Momentos quadrupolares de núcleos

4.5

-

Escolha da origem

. .

.

. .

. .

.

.

.

.

.

. .

.

. . .

4.6-

Energia de

uma distribuição de cargas num campo exterior

4.6.1 - Interacção dipolo -campo eléctrico Exemplo 4.2: Interacção dipolo-dipolo

4.7 - Problemas resolvidos .

4.7.1 - Distribuição de carga emsuperfície esférica

4.7.2 - Cubo de carga .

4.7.3 - Distribuição discreta de cargas - I ....

73

73 74 77 79 86 87 88 90

91

92 92 93 95

VI

4.7.4 - Distribuição discreta decargas - II 97

4.7.5 - Distribuição linear de carga . . 99

4.7.6 - Anel decarga . . . 102

4.7.7 - Distribuições lineares de carga. . . 103

4.7.8 - Distribuição de carga com simetria axial 105

4.7.9 - Cilindro de carga . . . 106

4.7.10- Momento quadrupolar deumelipsóide . 107

4.7.11 - Campo eléctrico dipolar 109

4.7.12 - Energia de um dipolo 109

4.7.13 - Força entre dipolos . . 110

Capítulo 5 - Meios dieléctricos 113

5.1 - Introdução 113

5.2 - Polarização eléctrica. Cargas e correntes de polarização 114

5.3 - Potencial eléctrico criado pelas cargas de polarização. . 117

Exemplo 5.1: Efeito de um dieléctrico num condensador plano 117

Exemplo 5.2: Campo criado por uma esfera uniformemente polarizada 118 5.4 - Lei de Gauss na presença de dieléctricos ecampo deslocamento D . 120

5.5 - Classificação dos dieléctricos 122

5.5.1 - Relação entre cargas livres e de polarização . . . 123 Exemplo 5.3: Interface condutor-dieléctrico . . . 124 5.5.2 - Dieléctricos lineares eisotrópicos - exemplos que ilustram o cálculo de D, E e P 125 Exemplo 5.4: Carga pontual num dieléctrico infinito . . . 125 Exemplo 5.5: Superfície de separação de dois meios dieléctricos . . . 126 5.6 - Energia armazenada no campo na presença de meios dieléctricos . 128

Exemplo 5.6: Energia deum condensador esférico 128

5.7 - Forças em dieléctricos . . . 130 Exemplo 5.7: Força sobre um dieléctrico introduzido entre asplacas

de um condensador (V constante) . . . 131 Exemplo 5.8: Força sobre um dieléctrico introduzido entre asplacas

de um condensador (Q constante) . 132

5.8 - Campo no interior do dieléctrico . . . 134

5.9 - Campo eléctrico em cavidades num dieléctrico . . . . 137

5.10 - Permitividade relativa de gases e líquidos não polares. 139

5.11-Permitividade relativa de gases de moléculas polares 140

5.12-Problemas resolvidos. . . 143

5.12.1 - Diamante polarizado 143

5.12.2 - Dieléctrico com polarização nãouniforme 144

5.12.3 - Condensador plano com dieléctrico 145

5.12.4 - Condensadores - I . 146

5.12.5 - Condensadores - II 147

5.12.6 - Condensadores - III 148

5.12.7 - Esfera dieléctrica com carga livre no centro 148

5.12.8 - Polarização com simetria cilíndrica . . . . 150

VII

5.12.9 - Condensador esférico com dieléctrico de permitividade variável

151

5.12.10-

Dieléctrico

não homogéneo . . .

153

5.12.11 -Condensador esférico com dois dieléctricos . . .

154

5.12.12 -Condensador plano com dieléctrico de permitividade variável- I

157

5.12.13 -Condensador plano com dieléctrico de permitividade variável- II

159

5.12.14 -Esfera polarizada radialmente

161

5.12.15 -Di eléctrico em equilíbrio . . .

163

Capítulo 6 - Solução da equação de Laplace

165

..::p 6.1 - Teorema da unicidade 166

6.2 - O método das imagens

.

.

.

. . . .

.

. .

. .

. . .

.

. . 167

Exemplo 6.1: Carga pontual e condutor plano ligado à terra

168

Exemplo 6.2: Carga pontual junto a uma esfera condutora ligada à terra

169

Exemplo 6.3: Carga pontual próxima deuma esfera condutora descarregada e isolada

172

Exemplo 6.4: Dieléctrico semi-infinito e carga pontual . . .

173 6.3 - Solução da equação de Laplace em coordenadas cartesianas . .

.

. .

.

. .

.

174

Exemplo 6.5: Potencial entre dois eléctrodos planos semi-infinitos, ligados à terra

eseparados porum eléctrodo plano ao potencial Vo

177

6.4 - Solução da equação

de Laplace em coordenadas esféricas

179

Exemplo 6.6: Esfera ligada à terra num campo uniforme . . . .

180

Exemplo 6.7: Esfera dieléctrica num campo uniforme . . .

182 6.5 - Solução da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. 186

Exemplo 6.8: Condutor cilíndrico em campo uniforme

188

6.6 - Problemas resolvidos. . . .

.

. . . . . 190

6.6.1 - Linha carregada e plano condutor

190

6.6.2 - Cavidade esférica em condutor

192

6.6.3 - «Iglu» ligado àterra. . .

194

6.6.4 - Uma solução particular da equação de Laplace

196

6.6.5 - Resistência paralelepipédica .

197

6.6.6 - Potencial num condutor plano

198

6.6.7 - Cavidade em U num condutor

199

6.6.8 - Potencial numa cavidade

201

6.6.9 - Potencial no exterior de uma esfera

203

6.6.10 - Cilindros coaxiais

205

6.6.11 - Cabo coaxial . . .

208

Capítulo 7 - Energia magnética e multipolos magnéticos

211 7.1 - Energia armazenada num campo de indução magnética. . .

. . .

. .

211

Exemplo 7.1: Energia armazenada num solenóide longo de comprimento L 214

---::..-07.2- Energia em função da indução magnética B . . .

214

Exemplo 7.2: Energia armazenada num cabo coaxial

215

7.3 - Indutância própria e indutância mútua.

. . .

. .

216

7.4-

Desenvolvimento multipolar do potencial vector 218

Exemplo 7.3: Momento magnético deuma espira de corrente

220

VIII

7.4.1 - Campo deindução magnética criado por um dipolo . 7.5 -

Momento sobre

uma espira percorrida por uma corrente

7.6 -

Problemas resolvidos .

7.6.1 - Energia de umsistema de duas correntes . 7.6.2 - Momento dipolar magnético de uma esfera carregada a rodar 7.6.3 - Disco carregado a rodar . . . .

221 222 224 224 226 227

Capítulo 8 - Magnetismo em meios materiais 231

8.1-

Vector magnetização. Correntes de magnetização

. .

. . . .

.

.

. . .

. .

232 Exemplo 8.1: Campo de indução magnética criado por cilindro

uniformemente magnetizado ... 234

8.2 -

Campo intensidade magnética

H . . . . . 234

8.3 -

Condições de fronteira para os campos

B, H

e

M 235

8.4 -

Materiais magnéticos

homogéneos,

lineares e isotrópicos

. 237 Exemplo 8.2: Solenóide enrolado em torno de um cilindro magnetizado 238 8.5 - Potencial escalar magnético

. .

.

. . . .

.

. . . .

.

. .

.

. . .

239 8.6 -

Modelo

das cargas magnéticas

. .

. .

.

.

.

. . .

. . .

.

.

.

.

. . . 239 8.7 -

Energia armazenada no campo magnético

na presença de meios magnéticos 240

8.8 -

Materiais ferromagnéticos

241

8.9 - Problemas resolvidos.

.

. 245

8.9.1 - Cubo magnetizado 245

8.9.2- Cabo coaxial . . . 246

8.9.3 - Fatia magnetizada. 251

8.9.4 - Esfera uniformemente magnetizada 252

8.9.5 - Esfera magnética em campo uniforme 255

8.9.6- Cilindro magnetizado . . . 257

8.9.7 - Casca esférica magnetizada . . . 260

8.9.8 - Esfera com magnetização não uniforme 262

Capítulo 9 - Ondas electromagnéticas 265

9.1 -

Equações

de Maxwell

-

resumo 265

9.2 -

Campo electromagnético

no vazio 268

9.2.1 - Representação exponencial 271

9.3 - Polarização

. . . .

273

9.4 -

Teorema de

Poynting . .

. . . .

. 275

Exemplo 9.1: Teorema de Poynting para onda plana 277

9.4.1 - Valor médio do vector de Poynting para onda plana polarizada linearmente 278

9.5 -

Ondas electromagnéticas em meios materiais

279

9.5.1 - Meios não condutores . . . 279

9.5.2 - Meios condutores . . . 280

9.5.3 - Ortogonalidade dos campos E e H .. 282

9.6 - Propagação do campo electromagnético

em condutores.

283

Exemplo 9.2: Valor médio no tempo do vector de Poynting em meio condutor

286

9.6.1 - Caso de um bom condutor. . . 286

IX

9.6.2 - Efeito Joule em bons condutores. . . .

9.7 - Reflexão e refracção de ondas electromagnéticas em interfaces planas

9.7.1- Leis de Snell-Descartes

9.7.2 - Equações de Fresnel .

9.7.3 - Ângulo de Brewster .

9.7.4 - Coeficientes de reflexão e de transmissão

9.8 - Guias de ondas

.

9.8.1 - Guia de secção rectangular 9.8.2 - Linhas de transmissão ..

9.9 - Problemas resolvidos .

9.9.1 - Efeito Joule em fio longo .

9.9.2 - Corrente não uniforme em cilindro infinito 9.9.3 - Condensador com placas oscilantes . . . 9.9.4 - Condensador plano com carga variável 9.9.5 - Campo electromagnético em cilindro infinito.

9.9.6 - Solução da equação de onda para onda plana 9.9.7 - Onda plana a propagar-se em direcção arbitrária

9.9.8 - Solução daequação de ondas para onda esfericamente simétrica

9.9.9 - Onda plana novazio .

9.9.10 - Campo electromagnético entre dois planos 9.9.11 - Onda plana em meio dieléctrico

9.9.12 - Onda plana mudando demeio .

9.9.13 - Antena quadrada .

9.9.14 - Onda plana incidente numa lâmina dieléctrica 9.9.15 - Onda plana em meio condutor

9.9.16 - FIuxo do vector de Poynting . . . . 9.9.17 - Ondas estacionárias num ressoador

288 289 292 293 295 296 297 301 304 307 307 309 310 312 314 317 318 319 320 321 324 325 327 329 331 334 336

Capítulo 10 - O electromagnetismo e a Teoria da Relatividade 10.1

- A

transformação de Lorentz

.

.

.

. . . .

.

.

.

. . .

.

.

10.1.1 - Contravariância e covariância . . . . 10.1.2 - Transformação de comprimentos e de intervalos de tempo

Exemplo 10.1: Transformação dadensidade de carga 10.1.3- Lei de transformação das velocidades

10.2 - Tetravector momento linear ..

10.3 - Tetravector gradiente .

. .

. . .

10.3.1 - Operador d'alembertiano

10.4 -O tetrapotencial

^{AJL .}

Exemplo 10.2: Transformação dos potenciais produzidos por uma carga pontual

10.5 -O tensor do campo electromagnético .

1O.6-Lei de transformação dos campos eléctrico e de indução magnética

Exemplo 10.3: Condensador plano visto de dois referenciais deinércia

10.7 -O tetravectorforça

.

10.8 - Problemas resolvidos . . . .

.

. . . .

. 10.8.1 - Equação de onda e transformação de Galileu 10.8.2 - Transformação de fontes e de campos ...

341

342

343

346

346

347

349

350

352

352

353

354

356

358

360

362

362

363

x

Capítulo 11 - Radiação

l1.1-(Ainda) A equação de Poisson .

11.1.1- Ponto fora da distribuição volumétrica de carga . 11.1.2 - Ponto no interior da distribuição volumétrica de carga

11.2 - Potenciais retardados

.

.

.

. . . .

Exemplo 11.1: Potenciais de Liénard- Wiechert .

11.3 - Radiação do dipolo eléctrico . . .

. . .

11.3.1 - Os campos eléctrico e magnético . 11.3.2 - Vector de Poynting . . . .

11.4 - Radiação do quadrupolo eléctrico linear . 11.5 - Problemas resolvidos . . . .

.

11.5.1 - Potenciais de Liénard- Wiechert 11.5.2- Antena de meia onda . . . . .

367

367 368 369 370 372 376 378 380 380 381 381 383

Apêndice A - Teoremas de Gauss e de Stokes A.1

-

Teorema de Gauss

A.2

-

Teorema de Stokes .

.

. . .

.

387

387 388

Apêndice B - Cálculo vectorial B.1- Sistemas de coordenadas

.

B.2 - Operadores diferenciais

.

B.2.1 - Gradiente de funções escalares B.2.2 - Divergência de funções vectoriais B.2.3 - Rotacional de funções vectoriais . B.2.4 - O operador laplaciano ...

B.3 - Identidades úteis do cálculo vectorial

391

391 395 395 396 398 399 400

Bibliografia 403

Constantes físicas, grandezas e unidades SI 405

Tabela de símbolos 407

Índice remissivo

411

/' XI

I