Exercícios de Teoria dos Grafos
http://www.ime.usp.br/~pf/grafos-exercicios/
Paulo Feofiloff
Departamento de Ciência da Computação Instituto de Matemática e Estatística
Universidade de São Paulo
junho de 2011
FEOFILOFF 2
Sumário
1 Conceitos básicos 7
1.1 Grafos . . . 9
1.2 Grafos bipartidos . . . 16
1.3 Vizinhanças e graus de vértices . . . 18
1.4 Caminhos e circuitos . . . 21
1.5 União e interseção de grafos . . . 24
1.6 Grafos planares . . . 25
1.7 Subgrafos. . . 26
1.8 Cortes . . . 29
1.9 Caminhos e circuitos em grafos . . . 32
1.10 Grafos conexos . . . 36
1.11 Componentes . . . 39
1.12 Pontes e grafos aresta-biconexos . . . 41
1.13 Articulações e grafos biconexos . . . 43
1.14 Florestas e árvores. . . 45
1.15 Menores de grafos. . . 48
1.16 Mapas planos e suas faces . . . 51
1.17 Grafos aleatórios . . . 57
2 Isomorfismo 59
3 Síntese de grafos com graus dados 65
4 Caracterização de grafos bicoloráveis 67
5 Conjuntos estáveis 71
6 Cliques 77
7 Cobertura por vértices 81
8 Coloração de vértices 83
3
FEOFILOFF 4
9 Emparelhamentos 95
10 Emparelhamentos em grafos bipartidos 101
11 Emparelhamentos em grafos arbitrários 107
12 Coloração de arestas 111
13 Conectores e conjuntos acíclicos 117
14 Caminhos e circuitos mínimos 121
15 Circuitos e caminhos hamiltonianos 125
16 Coberturas por circuitos 131
17 Fluxo 137
18 Fluxo internamente disjunto 141
19 Caracterização da planaridade 145
A Algumas dicas 149
B O alfabeto grego 153
Bibliografia 156
Índice Remissivo 157
Prefácio
A teoria dos grafos estuda objetos combinatórios — osgrafos— que são um bom modelo para muitos problemas de matemática, de computação, e de engenharia. A teoria dos grafos não é propriamente uma teoria mas uma coleção de problemas. Muitos desses problemas são um interessante desafio intelectual e têm importantes aplicações práticas.
O presente texto é uma coleção de exercícios de teoria dos grafos. A mai- oria dos exercícios foi extraída dos livros de Bondy e Murty [BM08, BM76], Wilson [Wil79], Diestel [Die00,Die05], Bollobás [Bol98], Lovász [Lov93], Mel- nikovet alii[MST+98], Lucchesi [Luc79] e Lovász e Plummer [LP86]. Alguns outros são subproduto de projetos de pesquisa. Autros ainda nasceram de conversas com professores, colegas e alunos.
O texto tem muitoslinksque levam de uma parte do texto a outra e apon- tam para material complementar. Para tirar proveito desseslinksé preciso ler o texto na tela do seu computador (e não impresso em papel).
O sítio www.ime.usp.br/~pf/grafos-exercicios/ tem informações adicionais, além de uma versão atualizada do texto.
Organização. O capítulo 1 trata de conceitos básicos. Cada um dos outros capítulos aborda um problema clássico. Muitos desses problemas têm cará- ter computacional: procura-se um algoritmo eficiente que receba um grafo e extraia dele uma certa informação. Alguns dos problemas são fáceis, outros são difíceis; alguns já foram resolvidos, outros não.1
Em que ordem os capítulos devem ser examinados? Depois de estudar a primeira seção do capítulo 1, sugiro que o leitor avance imediatamente para o capítulo 2 e os seguintes, voltando ao capítulo 1 somente quando isso se fizer necessário. Há um bom índice remissivo que ajuda a localizar as definições dos vários conceitos.
1 Para vários desses problemas não se conhece (ainda?) um algoritmo rápido, ou seja, não se conhece um algoritmo substancialmente melhor que examinar, pacientemente, uma enorme lista de candidatos a solução. Em termos técnicos, um problema desse tipo é NP- completoou NP-difícil. Veja os livros de Garey–Johnson [GJ79], Harel [Har92] e Sipser [Sip97].
5
FEOFILOFF 6
Classificação dos exercícios. Os números dos exercícios têm prefixos. O prefixoEé genérico. Outros prefixos são mais específicos:
EF . . . exercício particularmente fácil ou rotineiro ED . . . exercício difícil
EDD . . . exercício muito difícil EI . . . exercício importante
EID . . . exercício importante e difícil EIF . . . exercício importante mas fácil
EU . . . exercício útil como ferramenta técnica DD . . . desafio, problema em aberto
Terminologia técnica em inglês. Boa parte da literatura da teoria dos gra- fos está escrita em inglês. Por isso, a definição de cada termo técnico em português é acompanhada, entre parênteses, do correspondente termo em inglês. O termo em inglês também é listado no índice remissivo.
O idioma inglês determinou a escolha de muitos símbolos. Assim, por exemplo, o conjunto das arestas (=edges) de um grafo é denotado por “E” e não por “A”, como seria mais natural em português.
Agradecimentos. Agradeço a Rogério Brito por resolver várias dificulda- des tipográficos.
IME–USP, São Paulo, dezembro de 2010 P. F.
Capítulo 1
Conceitos básicos
Este capítulo formaliza a noção de grafo, dá vários exemplos, e introduz al- guns conceitos básicos da teoria (grau de vértice, corte, subgrafo, conexão, componente, menor etc.). O capítulo também introduz vários tipos impor- tantes de grafos, como
caminhos, circuitos, árvores,
grafos bipartidos, grafos biconexos, grafos planares, etc.
Sugiro que depois de estudar a primeira seção deste capítulo o leitor avance imediatamente para os capítulos seguintes. Mais tarde, quando hou- ver necessidade, o leitor poderá voltar a este capítulo para rever conceitos e entender as sutilezas de algumas definições. Use o índice remissivo para encontrar as definições dos vários conceitos.
Eis as seções deste capítulo:
1.1 Grafos
1.2 Grafos bipartidos
1.3 Vizinhanças e graus de vértices 1.4 Caminhos e circuitos
1.5 União e interseção de grafos 1.6 Grafos planares
1.7 Subgrafos 1.8 Cortes
1.9 Caminhos e circuitos em grafos 1.10 Grafos conexos
7
FEOFILOFF Conceitos básicos 8
1.11 Componentes
1.12 Pontes e grafos aresta-biconexos 1.13 Articulações e grafos biconexos 1.14 Florestas e árvores
1.15 Menores de grafos
1.16 Mapas planos e suas faces 1.17 Grafos aleatórios
FEOFILOFF Grafos 9
1.1 Grafos
Umgrafo(=graph)1 é uma estrutura formada por dois tipos de objetos: vér- tices (=vertices) e arestas (=edges). Cada aresta é um par não ordenado de vértices, ou seja, um conjunto com exatamente dois vértices.2 Uma aresta como {v, w} será denota simplesmente porvw ouwv; diremos que a aresta vw incideem v e emw; diremos também que v ewsão aspontasda aresta; di- remos, ainda, que os vérticesv ewsãovizinhos(=neighbors), ouadjacentes (=adjacent).
EXEMPLO: os vértices do grafo são t, u, v, w, x, y, z e as arestas são vw, uv, xw,xu, xyeyz. A figura abaixo é uma representação gráfica desse grafo.
r r r r
r r
r PP
PPPPPPPP
PPP v
u
w y
x
z t
De acordo com nossa definição, um grafo não pode ter duas arestas dife- rentes com o mesmo par de pontas (ou seja, não pode ter arestas “paralelas”).
Além disso, as duas pontas de qualquer aresta são diferentes (ou seja, não há
“laços”). Alguns livros gostam de enfatizar esse aspecto da definição dizendo
que o grafo é “simples”; nós não usaremos este adjetivo. simples
Um grafo com conjunto de vérticesV e conjunto de arestasEé denotado
por(V, E). Muitas vezes é conveniente dar um nome ao grafo como um todo. (V, E) Se o nome do grafo é G, o conjunto dos seus vértices é denotado porVG e o VG,EG
conjunto das suas arestas porEG. O número de vértices deGé denotado por n(G) n(G)e o número de arestas porm(G); portanto, m(G)
n(G) :=|VG| e m(G) := |EG|.
O complementode um grafo (V, E)é o grafo (V, V(2) rE), onde V(2) é V(2) o conjunto de todos os pares não ordenados3 de elementos deV. O comple-
mento deGé usualmente denotado porG. G
Um grafoGécompletoseEG = VG(2). A expressão “Gé umKn” é uma Kn
abreviatura de “Gé um grafo completo comnvértices”. Um grafoGévazio se EG = ∅. A expressão “G é umKn” é uma abreviatura de “Gé um grafo Kn
vazio comnvértices”.
1 O termo foi usado pela primeira vez (no sentido que nos interessa aqui) por James Joseph Sylvester(−). (Vejaverbete na Wikipedia.)
2 Suporemos sempre que os conjuntos de vértices e de arestas de qualquer grafo são finitos e mutuamente disjuntos. Suporemos também que o conjunto de vértices não é vazio.
3 Diestel [Die05] escreve “[V]2”. Há quem escreva “ V2
”.
FEOFILOFF Grafos 10
Exercícios
E 1.1 Faça uma lista de todos os grafos que tenham {a, b, c} por conjunto de vértices.4 Faça a lista de modo que cada grafo apareça ao lado do seu complemento.
E 1.2 Faça uma figura de um K5 e outra de um K5. Quantas arestas tem umKn? E umKn?
E 1.3 A matriz de adjacências de um grafo G é a matrizA definida da se- guinte maneira: para quaisquer dois vérticesuev,
matriz de adjacências
A[u, v] = 1 seuv ∈EG,
0 em caso contrário.
É claro que a matriz é indexada porVG×VG. (A matriz de adjacência é uma espécie de “figura” do grafo. Ela tem certas vantagens sobre a figura pontos- e-linhas que usamos acima.)
Escreva a matriz de adjacências do grafo definido no exemplo que apa- rece na página 9. Escreva a matriz de adjacências de um K4. Qual a relação entre a matriz de adjacências de um grafo e matriz de adjacências do seu complemento?
E 1.4 A matriz de incidênciasde um grafo G é a matrizM definida da se- guinte maneira: para todo vérticeue toda arestae,
matriz de incidências
M[u, e] = 1 seué uma das pontas dee, 0 em caso contrário.
É claro que a matriz é indexada porVG×EG. (A matriz de incidência é uma espécie de “figura” do grafo. Ela tem certas vantagens sobre a figura pontos- e-linhas que usamos acima.)
Escreva a matriz de incidências do grafo definido no exemplo que apa- rece na página 9. Escreva a matriz de incidências de umK4. Quanto vale a soma de todos os elementos da matriz de incidências de um grafo? Qual a relação entre a matriz de incidências de um grafo e matriz de incidências do seu complemento?
E 1.5 Os hidrocarbonetos conhecidos como alcanos têm fórmula química
alcanos
CpH2p+2, onde C e H representam moléculas de carbono e hidrogênio res- pectivamente. As moléculas de alcanos podem ser representadas por grafos como os da figura1.1.
4 Num conjunto, a ordem em que os elementos são apresentados é irrelevante. Assim, {a, b, c}={b, c, a}={c, b, a}.
FEOFILOFF Grafos 11
Faça uma figura de uma molécula de metanoC1H4. Quantas moléculas
“diferentes” deC3H8 existem?
r r r r
r r r r
r
r r r r r r r r r r r
r r
r r r r
r r r r r rr
r r r
Figura 1.1: Etano (C2H6), butano (C4H10) e isobutano (C4H10). Os vérti- ces em que incide uma só aresta representam átomos de hidrogênio (H);
os demais representam átomos de carbono (C). (Veja o exercício1.5.)
E 1.6 SejaV o produto cartesiano{1,2, . . . , p}×{1,2, . . . , q}, isto é, o conjunto de todos os pares ordenados5 (i, j)comiem{1, . . . , p}ej em {1, . . . , q}. Di- gamos que dois elementos(i, j)e(i0, j0)deV são adjacentes se
i=i0e|j −j0|= 1 ou j =j0 e|i−i0|= 1.
Essa relação de adjacência define um grafo sobre o conjunto V de vértices.
Esse grafo é conhecido comograde(=grid)p-por-q. grade
Quantas arestas tem a gradep-por-q? Escreva as matrizes de adjacência e incidência de uma grade4-por-5.
r r r
r r r r
r r
r
r r
Figura 1.2: Uma grade3-por-4(veja exercício1.6).
E 1.7 Dados números inteirospeq, sejaV o conjunto{1,2,3, . . . , pq−2, pq−1, pq}. Digamos que dois elementosk ek0 deV, com k < k0, são adjacentes se k0 =k+qou6
kmodq6= 0 e k0 =k+ 1.
Essa relação de adjacência define um grafo com conjunto de vérticesV. Faça uma figura do grafo com parâmetrosp= 3eq = 4. Faça uma figura do grafo com parâmetrosp= 4eq = 3. Qual a relação entre esses grafos e a grade definida no exercício1.6?
E 1.8 O grafodos movimentos da dama, ou simplesmente grafoda dama, é dama
5 Um par ordenado é uma sequência de comprimento 2. Numa sequência, aordem dos elementos é essencial. Assim,(1,2)6= (2,1)e(1,2,1)6= (1,1,2).
6 A expressão “kmodq” denota o resto da divisão dekporq, ou seja,k/q− bk/qc.
FEOFILOFF Grafos 12
definido assim: os vértices do grafo são as casas de um tabuleiro de xadrez comt linhas et colunas (no tabuleiro usual temost = 8) e dois vértices são adjacentes se uma dama (=queen) do jogo de xadrez pode saltar de um deles para o outro em um só movimento. Para deixar claro o número de linhas e colunas do tabuleiro, podemos dizer que esse é o grafo da damat-por-t. (Veja figura1.3.)
Faça uma figura do grafo da dama4-por-4. Escreva as matrizes de adja- cência e incidência do grafo da dama4-por-4. Quantas arestas tem o grafo da dama8-por-8? Quantas arestas tem o grafo da damat-por-t?
E 1.9 O grafodo cavalot-por-té definido assim: os vértices do grafo são as
cavalo
casas de um tabuleiro de xadrez com t linhas e t colunas; dois vértices são adjacentes se um cavalo (=knight) do jogo de xadrez pode saltar de um deles para o outro em um só movimento. (Veja figura1.3.)
Faça uma figura do grafo do cavalo3-por-3. Escreva as matrizes de ad- jacência e incidência do grafo do cavalo3-por-3. Quantas arestas tem o grafo do cavalo8-por-8? Quantas arestas tem o grafo do cavalot-por-t?
Figura 1.3: Tabuleiros de xadrez8-por-8. A figura esquerda indica todos os vizinhos do vértice•no grafo da dama (veja exercício1.8). A da direita indica todos os vizinhos do vértice•no grafo do cavalo (veja exercício1.9).
E 1.10 O grafodo bispot-por-té definido assim: os vértices do grafo são as
bispo
casas de um tabuleiro de xadrez com t linhas e t colunas; dois vértices são adjacentes se um bispo (=bishop) do jogo de xadrez pode saltar de um deles para o outro em um só movimento.
Faça uma figura do grafo do bispo4-por-4. Escreva as matrizes de adja- cência e incidência do grafo do bispo4-por-4. Quantas arestas tem o grafo do bispo8-por-8? Quantas arestas tem o grafo do bispot-por-t?
E 1.11 O grafo da torre t-por-t é definido assim: os vértices do grafo são as
torre
casas de um tabuleiro de xadrez com t linhas e t colunas; dois vértices são adjacentes se um torre (= rook) do jogo de xadrez pode saltar de um deles para o outro em um só movimento.
FEOFILOFF Grafos 13
Faça uma figura do grafo da torre4-por-4. Escreva as matrizes de adja- cência e incidência do grafo da torre4-por-4. Quantas arestas tem o grafo da torre8-por-8? Quantas arestas tem o grafo da torret-por-t?
E 1.12 O grafo do rei t-por-t é definido assim: os vértices do grafo são as rei
casas de um tabuleiro de xadrez com t linhas e t colunas; dois vértices são adjacentes se um rei (=king) do jogo de xadrez pode saltar de um deles para o outro em um só movimento.
Faça uma figura do grafo do rei4-por-4. Escreva as matrizes de adjacên- cia e incidência do grafo do rei 4-por-4. Quantas arestas tem o grafo do rei 8-por-8? Quantas arestas tem o grafo do reit-por-t?
E 1.13 O grafodas palavrasé definido assim: cada vértices é uma palavra da palavras
língua portuguesa e duas palavras são adjacentes se diferem em exatamente uma posição. (Esse grafo é uma adaptação do ladders doStanford Graph- Base [Knu93].) Por exemplo, rato e ralo são adjacentes, enquanto ralo e rota não são. Faça uma figura da parte do grafo definida pelas palavras abaixo:
caiado cavado cavalo girafa girava ralo ramo rata rato remo reta reto rota vaiado varado virada virado virava Escreva as matrizes de adjacência e incidência do grafo.
E 1.14 Para qualquer inteiro positivok, umcubode dimensãok(ouk-cubo) cubo
é o grafo definido da seguinte maneira: os vértices do grafo são todas as sequências7 b1b2· · ·bk de bits8; dois vértices são adjacentes se e somente se diferem em exatamente uma posição. Por exemplo, os vértices do cubo de dimensão3são000, 001,010,011,100, 101,110,111; o vértice000é adjacente aos vértices 001, 010, 100 e a nenhum outro; e assim por diante. O cubo de
dimensãokserá denotado porQk. Qk
Faça figuras dos cubosQ1,Q2 eQ3. Escreva as matrizes de adjacência e incidência deQ3. Quantos vértices temQk? Quantas arestas temQk?
E 1.15 Seja X o conjunto {1,2,3,4,5} e V o conjunto X(2) (portanto, V é o conjunto de todos os subconjuntos de X que têm exatamente 2elementos).
Digamos que dois elementos v e wde V são adjacentes se v ∩w = ∅. Essa
relação de adjacência sobre V define o grafo de Petersen.9 Faça uma figura Petersen
do grafo. Escreva as matrizes de adjacência e incidência do grafo. Quantos vértices e quantas arestas tem o grafo?
7 A expressão “b1b2· · ·bk” é uma abreviatura de “(b1, b2, . . . , bk)”.
8 Portanto, cadabipertence ao conjunto{0,1}.
9 Referência ao dinamarquêsJulius Petersen(−). (Vejaverbete na Wikipedia.)
FEOFILOFF Grafos 14
E 1.16 Seja V o conjunto de todos os subconjuntos de {1,2, . . . , n} que têm exatamentek elementos, sendok ≤ n/2. Digamos que dois elementos v ew deV são adjacentes sev∩w=∅. Essa relação de adjacência sobreV define o grafode KneserK(n, k).10Em particular,K(5,2)é o grafo de Petersen. Faça
Kneser
figuras deK(n,1),K(n, n),K(n, n−1),K(4,2),K(5,3),K(6,2)eK(6,3). E 1.17 O grafo dos estados do Brasil é definido assim: cada vértice é um dos
estados
estados da República Federativa do Brasil; dois estados são adjacentes se têm uma fronteira comum. Faça um desenho do grafo. Quantos vértices tem o grafo? Quantas arestas?
E 1.18 Considere as grandes cidades e as grandes estradas do estado de São Paulo. Digamos que uma cidade égrandese tem pelo menos 300 mil habitan- tes. Digamos que uma estrada é grande se tiver pista dupla (como a SP300, por exemplo). Digamos que duas grandes cidades são adjacentes se uma grande estrada ou uma concatenação de grandes estradas liga as duas cida- des diretamente (ou seja, sem passar por uma terceira grande cidade). Faça
cidades
uma figura do grafo das grandes cidades definido pela relação de adjacência que acabamos de descrever.
E 1.19 Seja V um conjunto de pontos no plano. Digamos que dois desses pontos são adjacentes se a distância entre eles é menor que 2. Essa relação de adjacência define o grafodos pontos no plano(sobre o conjuntoV). Faça
pontos
no plano uma figura do grafo definido pelos pontos abaixo.
(0,2) (1,2) (2,2) (0,1) (1,1) (2,1) (0,0) (1,0) (2,0)
Escreva as matrizes de adjacência e incidência do grafo.
E 1.20 Dado um conjuntoV, sejaEo conjunto definido da seguinte maneira:
para cada par não ordenado de elementos deV, jogue uma moeda; se o resul- tado for cara, acrescente o par aE. O grafo(V, E)assim definido éaleatório
aleatório
(=random).
Pegue sua moeda favorita e faça uma figura do grafo aleatório com vér- tices 1, . . . ,6. Agora repita o exercício com uma moeda viciada que dá cara com probabilidade1/3e coroa com probabilidade2/3.
E 1.21 Seja S uma matriz de números inteiros. Suponha que as linhas de S são indexadas por um conjuntoV e que as colunas são indexadas pelo mesmo conjuntoV. O grafoda matrizS é definido da seguinte maneira: o conjunto
matriz
10 Lásló Lovász usou esse grafo em 1978 para provar uma conjectura proposta por M. Kne- ser em 1955.
FEOFILOFF Grafos 15
de vértices do grafo éV e dois vérticesiej são adjacentes seS[i, j]6= 0. O grafo deS está bem definido? Que condições é preciso impor sobre a matriz para que o grafo esteja bem definido?
E 1.22 Suponha dados k intervalos de comprimento finito, digamos I1, I2, . . . , Ik, na reta real. Digamos que dois intervalos Ii e Ij são adjacentes se Ii ∩ Ij 6= ∅. Essa relação de adjacência define um grafo com conjunto de
vértices{I1, I2, . . . , Ik}. Esse é um grafode intervalos. intervalos
Faça uma figura do grafo definido pelos intervalos[0,2],[1,4],[3,6],[5,6]
e[1,6]. Escreva as matrizes de adjacência e incidência do grafo.
E 1.23 Sejauma relação de ordem parcial sobre um conjunto finitoV. Por- tanto, a relação é transitiva (se x y e y z então x z), antissimétrica (se x y e y x entãox = y) e reflexiva (x x para todo x). Digamos que dois elementos distintosxeydeV são adjacentes se forem comparáveis, ou seja, se x y ou y x. Essa relação de adjacência define o grafo de
comparabilidadeda relação. compara-
bilidade
Faça uma figura do grafo de comparabilidade da relação usual de inclu- são⊆entre a coleção de todos os subconjuntos de{1,2,3}.
E 1.24 Duas arestas de um grafoGsãoadjacentesse têm uma ponta comum.
Essa relação de adjacência define o grafo das arestas de G. De modo mais
formal, ografo das arestas(=line graph) de um grafoGé o grafo(EG, A)em das arestas
que Aé o conjunto de todos os pares de arestas adjacentes de G. (Há quem diga [Per09]grafo linealno lugar degrafo das arestas.) O grafo das arestas de Gserá denotado porL(G). (Veja a figura1.4.) L(G)
Faça uma figura deL(K3). Faça uma figura deL(K4). Escreva as matri- zes de adjacência e incidência deL(K4). Quantos vértices e quantas arestas temL(Kn)? Faça uma figura do grafoL(P), sendoP ografo de Petersen(veja exercício1.15).
P
PP PP PP
PPPP
PP
r r r r
r r
r v
u
w y
x
z t
H HH
vu
vw wx yz ux s xy
s s
s s s
Figura 1.4: Um grafo (esquerda) e o seu grafo das arestas (direita).
FEOFILOFF Grafos bipartidos 16
1.2 Grafos bipartidos
SejamU eW dois conjuntos mutuamente disjuntos (isto é,U ∩W =∅). Seja E um conjunto de pares não ordenados da forma(u, w)comu∈U ew∈W. Dizemos então que
(U∪W, E)
é umgrafo bipartido(=bipartite graph). Para explicitarUeW, podemos dizer que o grafo é(U, W)-bipartido.11
Há quem goste de dizer que o objeto (U, W, E)é umbigrafo(=bigraph) [LP86]. O conceito é atraente, mas não vamos usá-lo.
Um grafo (U, W)-bipartido é completo se, para todo u em U e todo w em W, o par uwé uma aresta. Se |U| = pe|W| = q, dizemos que o grafo é umKp,q.
Kp,q
Todo K1,q é uma estrela(= star). Se q ≥ 2, o centro da estrela é o único
estrela
vértice que incide em duas ou mais arestas. (Se q < 2, a estrela não tem centro.)
Figura 1.5: Um grafo bipartido completo.
Exercícios
EF 1.25 Uma pequena fábrica tem cinco máquinas —1, 2, 3, 4e 5— e seis operários — A, B, C, D, E e F. A tabela especifica as máquinas que cada operário sabe operar:
A 2,3 B 1,2,3,4,5
C 3 D
E 2,4,5 F 2,5
Faça uma figura do grafo bipartido que representa a relação entre operários e máquinas.
11 Podemos dizer que o par (U, W)é uma bipartição do conjunto de vértices do grafo.
De modo mais geral, umapartiçãode um conjuntoAé um conjunto {X1, X2, . . . , Xk}de conjuntos não vazios tal que X1∪X2 ∪ · · · ∪Xk = A e Xi ∩Xj = ∅ para cada i 6= j. (A exigência de que os elementos da partição não sejam vazios é às vezes relaxada.) Se k = 2, temos umabipartição. Não faz sentido dizer “X1éuma das partições deA”. Diga
“X1é um dos elementos da partição”.
FEOFILOFF Grafos bipartidos 17
EF 1.26 Quantas arestas pode ter um grafo(U, W)-bipartido?
EF 1.27 Quantas arestas tem umKp,q? Quantas arestas tem umKp,q?
E 1.28 Faça uma figura de umK3,4. Escreva as matrizes de adjacência e inci- dência de umK3,4. Faça uma figura de uma estrela com6vértices.
E 1.29 É verdade que o grafo do bispot-por-té bicolorável?
E 1.30 Que aparência tem a matriz de adjacências de um grafo bipartido?
E 1.31 A matriz da bipartição de um grafo (U, W)-bipartido é definida as- sim: cada linha da matriz é um elemento deU, cada coluna da matriz é um elemento deW e no cruzamento da linhaucom a colunawtemos um1seuw é uma aresta e temos um0em caso contrário.
Escreva a matriz da bipartição do grafo do exercício1.25. Adote a bipar- tição óbvia: U ={A, . . . , F}eW ={1, . . . ,5}.
FEOFILOFF Vizinhanças e graus de vértices 18
1.3 Vizinhanças e graus de vértices
A vizinhança(=neighborhood)de um vértice v em um grafoGé o conjunto de todos os vizinhos dev. Este conjunto será denotado por
NG(v)
ou simplesmente porN(v).12O grau(=degree) de um vérticev em um grafo
N(v)
Gé o número de arestas que incidem emv. O grau dev será denotado por dG(v)
ou simplesmente pord(v). É evidente qued(v) = |N(v)|para todo vérticev.
d(v)
Um vérticevéisoladosed(v) = 0.
O grau mínimo e o grau máximo dos vértices de um grafo13 G são os números
δ(G)
∆(G) δ(G) := min
v∈VG dG(v) e ∆(G) := max
v∈VG dG(v) respectivamente. A média dos graus deG, ou seja, |V1|P
v∈V d(v), será deno- tada porµ(G).14 Como veremos no exercício1.43,µ(G) = 2m(G)/n(G).
µ(G)
Um grafo éregularse todos os seus vértices têm o mesmo grau, ou seja, se δ = ∆. Um grafo ér-regularse d(v) = r para todo vértice v. Um grafo cúbicoé o mesmo que um grafo3-regular.
Exercícios
EF 1.32 Quais são os graus dos vértices de umaestrela(veja a seção1.2)?
EF 1.33 Se Gé um Kn, quanto valemδ(G) e∆(G)? Quanto valem os parâ- metrosδe∆de umKp,q(veja a seção1.2)?
EF 1.34 Parar = 1,2,3, faça uma figura de um grafor-regular com12vérti- ces.
E 1.35 Quais são os graus dos vértices de uma molécula dealcano(veja exer- cício1.5)?
E 1.36 Calcule os valores dos parâmetros δ, ∆ e µ no k-cubo (veja exercí- cio1.14) e nografo de Petersen(veja exercício1.15ou figura1.6).
12 Alguns autores dizem “Adj(v)” em lugar de “N(v)”. Outros dizem “Γ(v)”.
13 A expressão “grau mínimo de um grafo” não é muito gramatical, uma vez que “grau de um grafo” não faz sentido.
14 Ao contrário deδe∆, a notaçãoµnão é uma unanimidade.
FEOFILOFF Vizinhanças e graus de vértices 19
r r r
r r
r r
r
r r XX
Q Q
QC C C C
JJ
A
A A
A
Z Z
Z Z
Figura 1.6: Grafo de Petersen. Veja exercícios1.15e1.36.
E 1.37 Calcule os valores dos parâmetrosδe∆nografo dos estados do Brasil (veja exercício1.17).
E 1.38 Calcule os valores dos parâmetros δ, ∆ e µ no grafo da dama (veja exercício1.8) e no grafo docavalo(veja exercício1.9).
E 1.39 SejaAamatriz de adjacências(veja exercício1.3) eM amatriz de inci- dências(veja exercício1.4) de um grafoG. Quanto vale a soma dos elementos da linhav deA? Quanto vale a soma dos elementos da linhavdeM?
EU 1.40 SejaGum grafo(U, W)-bipartido. Suponha queGér-regular, com r >0. Mostre que|U|=|W|.
E 1.41 É verdade que todo grafo com pelo menos dois vértices tem dois vér- tices com o mesmo número de vizinhos? Em outras palavras, se um grafo tem mais de um vértice, é verdade que tem dois vértices distintos v ewtais que|N(v)|=|N(w)|? (Uma maneira informal de dizer isso: é verdade que em toda cidade com pelo menos dois habitantes residem duas pessoas que têm exatamente o mesmo número de amigos na cidade?)
EI 1.42 Mostre15que, em todo grafo, a soma dos graus dos vértices é igual ao dobro do número de arestas. Ou seja, todo grafo(V, E)satisfaz a identidade
P
v∈V d(v) = 2|E|. (1.1)
EF 1.43 Mostre que aµ(G) = 2m(G)/n(G)para todo grafoG.
EF 1.44 Mostre que todo grafoGtem um vérticevtal qued(v)≤2m(G)/n(G) e um vérticewtal qued(w)≥2m(G)/n(G). É verdade que todo grafo Gtem um vérticextal qued(x)<2m(G)/n(G)?
E 1.45 Mostre que em qualquer grafo tem-seδ≤2m/n≤∆.
15 Mostre = prove.
FEOFILOFF Vizinhanças e graus de vértices 20
E 1.46 Mostre que todo grafo comnvértices tem no máximon(n−1)/2ares- tas.
EU 1.47 Mostre que em qualquer grafo o número de vértices de grau ímpar é necessariamente par.
E 1.48 Quantas arestas tem o grafo da dama 8-por-8 (veja exercício 1.8)?
Quantas arestas tem o grafo da damat-por-t?
E 1.49 Quantas arestas tem o grafo do cavalo 4-por-4 (veja exercício 1.9)?
Quantas arestas tem o grafo do cavalot-por-t?
E 1.50 Quantas arestas tem um grafor-regular comnvértices?
E 1.51 Quantas arestas tem ocubode dimensãok?
E 1.52 Quantas arestas tem o grafo das arestas (veja exercício 1.24) de um grafoG?
E 1.53 SejaGo complemento de um grafoG. Calculeδ(G)e∆(G)em função deδ(G)e∆(G).
E 1.54 SejaGum grafo tal quem(G)> n(G). Mostre que∆(G)≥3.
E 1.55 Suponha que um grafoGtem menos arestas que vértices, ou seja, que m(G)< n(G). Mostre queGtem (pelo menos) um vértice de grau0ou (pelo menos) dois vértices de grau1.
ED 1.56 Escolha dois números naturaisneke considere o seguinte jogo para dois jogadores,AeB. Cada iteração do jogo começa com um grafoGque tem n vértices (no início da primeira iteração tem-se EG = ∅). Em cada iteração ímpar (primeira, terceira, etc.), o jogadorAescolhe dois vértices não adjacen- tes u ev e acrescenta uv ao conjunto de arestas do grafo. Em cada iteração par (segunda, quarta, etc.), o jogador B faz um movimento análogo: escolhe dois vértices não adjacentes ue v e acrescenta uv ao conjunto de arestas do grafo. O primeiro jogador a produzir um grafo G tal queδ(G) ≥ k perde o jogo. Problema: determinar uma estratégia vencedora paraAe uma estraté- gia vencedora paraB.
FEOFILOFF Caminhos e circuitos 21
1.4 Caminhos e circuitos
Esta seção introduz dois tipos muito simples mas muito importantes de gra- fos. Para quaisquer objetosv1, v2, v3, . . . , vndistintos dois a dois, o grafo
{v1, v2, v3, . . . , vn}, {v1v2, v2v3, . . . , vn−1vn}
é umcaminho(=path). Por exemplo, o grafo({x, y, w, z}, {xy, yw, wz})é um caminho.16
Portanto, um grafo é um caminho se seus vértices podem ser ordenados de tal maneira que o primeiro seja adjacente ao segundo, o segundo adja- cente ao terceiro, etc., o penúltimo adjacente ao último e que não haja outras adjacências entre os vértices além dessas. Em outras palavras, um grafoGé um caminho seVG admite uma permutação17(v1, v2, . . . , vn)tal que
{vivi+1 : 1≤i < n}=EG.
Os vérticesv1 evnsão osextremosdo caminho; os demais vértices sãointer- nos.18 Diremos que esse caminholigav1avn.
O caminho que acabamos de descrever pode ser denotado simplesmente
por v1v2· · ·vn. Por exemplo, se dissermos “o caminhoxywz” estaremos nos v1v2· · ·vn
referindo ao grafo({x, y, w, z}, {xy, yw, wz}).
Para quaisquer objetosv1, v2, v3, . . . , vndistintos dois a dois, comn≥3, o grafo
{v1, v2, v3, . . . , vn}, {v1v2, v2v3, . . . , vn−1vn, vnv1}
é um circuito (= circuit = polygon).19 Em outras palavras, um grafo G é um circuito20 se VG tem 3 ou mais elementos e admite uma permutação (v1, v2, . . . , vn)tal que
{vivi+1 : 1≤i < n} ∪ {vnv1}=EG.
Esse circuito pode ser denotado simplesmente por v1v2· · ·vnv1. As-
v1v2· · ·vnv1
sim, se dissermos “o circuito xyzx”, estaremos nos referindo ao grafo ({x, y, z}, {xy, yz, zx}).
16 Convém insistir que, para nós, caminhos são grafos. Em alguns livros, caminhos são tratados como sequências de vértices e não como grafos.
17 Uma permutação de um conjuntoX é uma sequência em que cada elemento deX aparece uma e uma só vez.
18 Alguns autores [Per09] dizem que um caminho só é caminho se tiver2ou mais vértices.
Para nós, entretanto, o grafo({v},∅)é um caminho. Esse detalhe não é tão irrelevante quanto pode parecer.
19 Alguns autores dizem “ciclo” (=cycle) no lugar de “circuito”.
20 Observe que, para nós, um circuito é um grafo. Em alguns livros, circuitos são tratados como sequências (de um certo tipo) e não como grafos.
FEOFILOFF Caminhos e circuitos 22
r
r r r r
r r r r
r
r SS
SS
##c c##c
c
Figura 1.7: Um caminho e um circuito.
Ocomprimentode um caminho ou circuitoGé o númerom(G). É claro que um caminho de comprimento m temm+ 1 vértices e um circuito com- primentomtemmvértices.21
Umtriângulo,quadrado,pentágonoehexágonoé o mesmo que um cir- cuito de comprimento 3, 4, 5 e 6 respectivamente.
Exercícios
EF 1.57 Faça uma figura de um caminho de comprimento0, de um caminho de comprimento1e de um caminho de comprimento2. Faça uma figura de um circuito de comprimento3e de um circuito de comprimento4. Por que a definição de circuito tem a restrição “n ≥3”?
EF 1.58 Seja V o conjunto {a, b, c, d, e}e E o conjunto {de, bc, ca, be}. Verifi- que que o grafo (V, E) é um caminho. Agora suponha que F é o conjunto {bc, bd, ea, ed, ac}e verifique que o grafo(V, F)é um circuito.
EF 1.59 Faça um figura do caminho 1 2 4 3 5. Faça um figura do caminho 1 3 2 4 3 5. Faça um figura do circuito1 2 4 3 5 1.
EF 1.60 Verifique que o caminho u v w x y z também pode ser denotado por z y x w v u. Verifique que essas duas expressões representamo mesmo cami- nho.
EF 1.61 Considere o circuitou v w x y z u. Mostre quez y x w v u z também é um circuito. Mostre que qualquer permutação cíclica — como w x y z u v w, por exemplo — também é um circuito. Mostre que todas essas expressões representamo mesmocircuito.
EF 1.62 Exiba as matrizes de adjacências e incidências de um caminho de comprimento4. Exiba as matrizes de adjacências e incidências de um circuito de comprimento5.
EF 1.63 É verdade que o grafo do cavalo3-por-3é um circuito?
21 A expressão “tamanho de um caminho” é vaga e ambígua: não se sabe se estamos falando do número de vértices ou do número de arestas do caminho.
FEOFILOFF Caminhos e circuitos 23
EF 1.64 Verifique que a grade1-por-né um caminho de comprimenton−1. Quais grades são circuitos?
EF 1.65 Suponha queP é um caminho de comprimenton−1eOum circuito de comprimenton. Quanto valemδ(P),∆(P),δ(O)e∆(O)?
EF 1.66 Faça uma figura do complemento de um caminho de comprimento3. Faça uma figura do complemento de um caminho de comprimento 4. Faça uma figura do complemento de um circuito de comprimento 5. Faça uma figura do complemento de um circuito de comprimento6.
E 1.67 Quantos caminhos diferentes existem com conjunto de vértices {1,2,3}? Quantos circuitos diferentes existem com conjunto de vértices {1,2,3}? Quantos circuitos diferentes existem com conjunto de vértices {1,2,3,4}?
E 1.68 É verdade que todo grafo2-regular é um circuito?
E 1.69 Seja G um grafo com n(G) ≥ 3, ∆(G) = 2 e δ(G) = 1. Se G tem exatamente dois vértices de grau1, é verdade queGé um caminho?
FEOFILOFF União e interseção de grafos 24
1.5 União e interseção de grafos
Auniãode dois grafosGeHé o grafo(VG∪VH, EG∪EH). É natural denotar esse grafo porG∪H.
G∪H
Ainterseçãode dois grafosGeHé o grafo(VG∩VH, EG∩EH). É natural denotar esse grafo por G∩H. Para evitar grafos sem vértices, só trataremos
G∩H
da interaçãoG∩HseVG∩VH não for vazio.
Dois grafos Ge H são disjuntos se os conjuntosVG eVH são disjuntos, ou seja, seVG∩VH =∅. É evidente queEG eEH também são disjuntos nesse caso.
Exercícios
EF 1.70 SejaGum grafo completo com conjunto de vértices{1,2,3,4,5}eH um grafo completo com conjunto de vértices {4,5,6,7,8}. Faça figuras dos grafosG∪H eG∩H.
E 1.71 SejaGo grafo do bispo eHo grafo da torre (veja exercícios1.10e1.11).
Mostre queG∪H é o grafo da dama.
EF 1.72 Seja G o circuito 1 2 3 4 5 6 1 eH o caminho 4 7 8 5. Faça figuras dos grafosG∪H eG∩H.
E 1.73 SejaP um caminho com extremosuaveQum caminho com extremos v ew. Mostre que seVP ∩VQ ={v}então o grafoP ∪Qé um caminho.
E 1.74 Suponha que os caminhosP eQtêm os mesmos extremos, digamosu ev. Suponha ainda queVP ∩VQ ={u, v}. Em que condições o grafoP ∪Qé um circuito?
E 1.75 SejamA, B eC os conjuntos{1,2,3,4},{5,6,7}e{9,10,11}. SejaGo grafo (A, B)-bipartido completo. Seja H o grafo (B, C)-bipartido completo.
Faça figuras dos grafosG∪HeG∩H.
E 1.76 Uma roda(= wheel) é qualquer grafo da formaG∪H, onde G é um circuito eHé uma estrela (veja a seção1.2) com centrovtal queVHr{v}=VG. Faça figuras de rodas com4,5e6vértices. Quanto valem os parâmetrosm,δ e∆de uma roda comnvértices?
FEOFILOFF Grafos planares 25
1.6 Grafos planares
Um grafo é planarse pode ser desenhado no plano sem que as curvas que representam arestas se cruzem. Esta definição é imprecisa, mas suficiente por enquanto. Daremos um definição melhor na seção1.16.
Exercícios
EF 1.77 Verifique que todo caminho é planar. Verifique que todo circuito é planar.
EF 1.78 Mostre que toda grade (veja exercício1.6) é planar.
E 1.79 Mostre que o grafo dos estados do Brasil (veja exercício1.17) é planar.
E 1.80 O grafo dos pontos no plano descrito no exercício1.19é planar?
E 1.81 Mostre que todoK4é planar. É verdade que todoK5 é planar?
E 1.82 Mostre que todoK2,3é planar. É verdade que todoK3,3é planar?
E 1.83 Mostre que o grafoQ3 (veja exercício 1.14) é planar. O grafo Q4 tam- bém é planar? O grafoQ5é planar?
E 1.84 O grafo do bispot-por-t(veja exercício1.10) é planar?
E 1.85 O grafo da damat-por-t(veja exercício1.8) é planar? O grafo do ca- valot-por-t(veja exercício1.9) é planar?
FEOFILOFF Subgrafos 26
1.7 Subgrafos
Umsubgrafode um grafoGé qualquer grafoHtal queVH ⊆VGeEH ⊆EG. É conveniente escrever “H ⊆G” para dizer queHé subgrafo deG.
H⊆G
Um subgrafoHdeGégerador(=spanning) seVH =VG. (Há quem diga abrangenteno lugar degerador[Per09].)
Um subgrafo H de G é próprio se VH 6= VG ou EH 6= EG. Às vezes é conveniente escrever “H ⊂G” para dizer queH é subgrafo próprio deG.22
H⊂G
O subgrafo deGinduzidopor uma parte23XdeVGé o grafo(X, F)onde F é o conjuntoEG∩X(2). Esse subgrafo é denotado por
G[X]
G[X].
Para qualquer subconjunto X de VG, denotaremos por G − X o sub-
G−X
grafo G[VG r X]. Se v é um vértice de G então G −v é uma abreviatura
G−v
deG− {v}.
Se e é uma aresta deG entãoG−e é o grafo(VG, EGr{e}). De modo
G−e
mais geral, seAé uma parte deEGentãoG−Aé o grafo(VG, EGrA). É claro
G−A
queG−Aé um subgrafo gerador deG.
Exercícios
EF 1.86 Suponha que H é um subgrafo de G. Se VH = VG, é verdade que H =G? SeEH =EG, é verdade queH =G?
EF 1.87 SejaGum grafo,V0 uma parte de VG eE0 uma parteEG. É verdade que(V0, E0)é um subgrafo deG?
EF 1.88 Seja G um grafo (U, W)-bipartido. Mostre que os subgrafos G[U] e G[W]são vazios.
E 1.89 Repita o exercício1.42: Use indução24 no número de arestas do grafo para provar que todo grafo(V, E)satisfaz a identidade
P
v∈V d(v) = 2|E|.
EF 1.90 Mostre que todo subgrafo induzido de um grafo completo é com- pleto. É verdade que todo subgrafo induzido de um caminho é um caminho?
É verdade que todo subgrafo induzido de um circuito é um caminho?
22 De modo geral, escreveremos “X ⊂ Y” ou “Y ⊃ X” para dizer que o conjuntoX é subconjunto próprio deY, ou seja, queX ⊆Y masX 6=Y.
23 Umapartede um conjunto é o mesmo que um subconjunto do conjunto.
24 Indução é a arte de reduzir um problema a uma versão menor dele mesmo.
FEOFILOFF Subgrafos 27
EF 1.91 Sejavum vértice eeuma aresta de um circuitoO. Mostre que o grafo O−v é um caminho. Mostre que o grafoO−eé um caminho.
E 1.92 Mostre que todo subgrafo de um grafo planar é planar. Em outras palavras, se um grafoGtem um subgrafo não planar entãoGnão é planar.
E 1.93 Sejamv ewdois vértices de um grafoG. Suponha qued(v) = δ(G)e d(w) = ∆(G). É verdade queδ(G−v) =δ(G)−1? É verdade que∆(G−w) =
∆(G)−1?
EF 1.94 Verifique que o grafo do bispo t-por-t é um subgrafo do grafo da damat-por-t. Verifique que o grafo da torre t-por-té um subgrafo do grafo da damat-por-t.
E 1.95 O grafoQ3é subgrafo deQ4?
EF 1.96 Seja G o grafo representado na figura 1.8 e X o conjunto {a, b, f, e, g, l}. Faça uma figura deG[X].
r r r
r r r r
r r r r
r b d
f g h
k l
a e
i j
c
Figura 1.8: Veja exercícios1.96,1.115e1.116.
E 1.97 (BOM!) SejaH o grafo das arestas (veja exercício1.24) de um grafoG (portanto, H = L(G)). Mostre que H não contém K1,3 como subgrafo in- duzido, ou seja, mostre que não existe subconjunto X deVH tal queH[X]é umK1,3. Mostre que a recíproca não é verdadeira.
E 1.98 Seja H o grafo das arestas (veja exercício 1.24) de um grafo G (por- tanto, H = L(G)). SejaH0 um subgrafo induzido de H. Mostre que H0 é o grafo das arestas de algum grafoG0.
E 1.99 Dado grafoGe inteirok, encontrar um subconjunto máximoX deVG tal que δ(G[X]) ≥ k. (Ou seja, dentre os subconjuntosX deVG que têm a propriedadeδ(G[X])≥k, encontrar um de cardinalidade máxima.)
FEOFILOFF Subgrafos 28
E 1.100 SejaGum grafo tal quen(G)>1eδ(G)≤ 12µ(G). Mostre queGtem um vérticextal que
µ(G−x)≥µ(G).
Em outras palavras, mostre que é possível retirar um vértice sem com isso reduzir a média dos graus do grafo.
E 1.101 Mostre que todo grafo G com pelo menos uma aresta tem um sub- grafoHtal que
δ(H)> µ(H)/2 mas µ(H)≥µ(G).
FEOFILOFF Cortes 29
1.8 Cortes
Suponha queXé um conjunto de vértices de um grafoG. Ocorteassociado a X é o conjunto de todas as arestas que têm uma ponta em X e outra em VGrX. O corte associado aX será denotado por ∂(X)
∂G(X)
ou simplesmente por ∂(X).25 (Alguns autores preferem escrever δ(X) ou até∇(X).)
Dizemos que os cortes∂(∅)e∂(VG)sãotriviais. É evidente que os cortes triviais são vazios.
É claro que |∂({v})| = d(v) para todo vérticev. Para qualquer conjunto X de vértices, diremos que|∂(X)|é ograudeX e denotaremos esse número
pord(X): d(X)
d(X) :=|∂(X)|.
Um corte (= cut = coboundary) em um grafo G é qualquer conjunto da forma∂(X), ondeX é uma parte deVG. (Um corte é, portanto, um conjunto de arestas e não de vértices.)
Exercícios
EF 1.102 Seja X um conjunto de vértices de um grafo G. Mostre que (VG, ∂(X))é um subgrafo gerador bipartido deG.
E 1.103 SejaGo grafo representado na figura1.8. É verdade que o conjunto {ae, ef, f j, jk, cd, dh}é um corte?
r r r
r r r r
r r r r
r b d
f g h
k l
a e
i j
c
Figura 1.9: Veja o exercício1.103.
E 1.104 Encontre o menor corte não trivial que puder no grafo da dama 8-por-8. Encontre o maior corte não trivial que puder no grafo da dama.
25 Não confunda∂com a letra gregaδ.
FEOFILOFF Cortes 30
E 1.105 Encontre o menor corte não trivial que puder no grafo do bispo t-por-t.
E 1.106 Encontre o menor corte que puder no grafo de Petersen. Encontre o maior corte que puder no grafo de Petersen.
EF 1.107 Para qualquer conjuntoX de vértices, denotamos porN(X), o con-
N(X)
junto dos vértices emVGrXque têm um ou mais vizinhos emX. É verdade qued(X) =|N(X)|para todoX?
EI 1.108 Mostre que para qualquer grafoGe qualquer parteXdeVG tem-se P
x∈XdG(x) = 2m(G[X]) + dG(X). (1.2) (Isso é uma generalização do exercício1.42.)
E 1.109 Suponha que todos os vértices de um grafo Gtêm grau par. É ver- daded(X)é par para todo subconjuntoXdeVG?
Suponha que todos os vértices de um grafoGtêm grau ímpar. É verdade d(X)é ímpar para todo subconjunto próprio e não vazioX deVG?
E 1.110 (CORTE GRANDE) Mostre que em todo grafo (com dois ou mais vér- tices) existe um corte que contém pelo menos a metade das arestas do grafo.
Em outras palavras, mostre que todo grafoGtem um conjuntoX de vértices tal qued(X)≥ 12m(G).
E 1.111 (BOM!) Mostre que todo grafo G tem um subgrafo gerador bipar- tidoHque satisfaz a condiçãodH(v)≥dG(v)/2para todo vérticev.
Operações sobre cortes
E 1.112 (DIFERENÇA SIMÉTRICA) Mostre que∂(X⊕Y) = ∂(X)⊕∂(Y)para quaisquer conjuntos X e Y de vértices de um grafo. Aqui, A⊕B denota a
A⊕B
diferença simétrica26dos conjuntosAeB.
E 1.113 (SUBMODULARIDADE) Mostre que em qualquer grafo G, para quaisquer subconjuntosXeY deVG,
d(X∪Y) + d(X∩Y)≤d(X) + d(Y).
26 Adiferença simétricade dois conjuntosAeB é o conjunto(ArB)∪(BrA). É fácil verificar queA⊕B= (A∪B)r(A∩B).
FEOFILOFF Cortes 31
E 1.114 (Consequência de 1.113) Sejam v ew dois vértices de um grafoG. Umisolador é qualquer subconjunto deVGque contémvmas não contémw. Um isoladorXémínimo sed(X)≤d(X0)para todo isoladorX0. Mostre que seXeY são isoladores mínimos entãoX∪Y eX∩Y também são isoladores mínimos.
FEOFILOFF Caminhos e circuitos em grafos 32
1.9 Caminhos e circuitos em grafos
Se um caminhov1· · ·vp é subgrafo deG, dizemos simplesmente quev1· · ·vp é um caminho em G ou que G contém o caminho v1· · ·vp. Por exem- plo, se dissermos que u v w z é um caminho em G, devemos entender que ({u, v, w, z},{uv, vw, wz})é um subgrafo deG. Convenção análoga vale para circuitos que são subgrafos deG.27
Sev ewsão os dois extremos de um caminho emG, é cômodo dizer que o caminho vai dev awou quecomeça emv etermina emw. Mas é preciso usar estas expressões com cautela pois caminhos são objetos estáticos e não têm orientação.
Um caminhoP em um grafoGémáximoseGnão contém um caminho
máximo
de comprimento maior que o deP. Um caminhoP em Gémaximalse não
maximal
existe caminhoP0 emGtal queP ⊂P0.
Exercícios
EF 1.115 SejaGo grafo representado na figura1.8. É verdade quee a b f g ké um caminho emG? É verdade quee a b f c dé um caminho emG? É verdade quee a b f g k j i eé um circuito emG?
E 1.116 Seja G o grafo da figura 1.8. É verdade que G contém um circuito de comprimento 6? É verdade queGcontém um circuito induzido de com- primento6? (Ou seja, é verdade que existe um subconjuntoX deVGtal que G[X]é um circuito de comprimento6?) Exiba um caminho induzido de com- primento3em G. (Ou seja, exiba um conjunto X de vértices tal queG[X]é um caminho de comprimento 3.) Exiba um caminho de comprimento 3em Gque não seja induzido.
EU 1.117 Sejam P um caminho com extremos x e x0 e seja Q um caminho com extremos yey0. Suponha queVP ∩VQ 6= ∅. Mostre existe um caminho com extremosxeyno grafoP ∪Q(veja seção1.5).
Pergunta adicional: Sez é um vértice emVP ∩VQ, é verdade que existe, no grafoP ∪Q, um caminho dexayque passa porz?
E 1.118 Encontre um circuito de comprimento mínimo no grafo de Petersen (veja exercício1.15ou figura1.6). Encontre um circuito de comprimento má- ximo no grafo de Petersen. Encontre um caminho de comprimento máximo no grafo de Petersen.
27 Eu gostaria de dizer “subcaminho de G” e “subcircuito deG”. Infelizmente, essas expressões não são usadas na literatura.
FEOFILOFF Caminhos e circuitos em grafos 33
EF 1.119 Verifique que o grafo do cavalo3-por-3contém um circuito. Encon- tre o circuito mais longo que puder no grafo do cavalo4-por-4.
E 1.120 Encontre o mais longo caminho que puder no grafo da dama. En- contre o mais longo circuito que puder no grafo da dama.
E 1.121 O grafo de Heawood28 tem conjunto de vértices {0,1,2, . . . ,13}. Cada vérticeié vizinho de(i+ 1) mod 14e de(i+ 13) mod 14.29 Além disso, cada i é vizinho de um terceiro vértice, que depende da paridade de i: se i é par então ele é vizinho de (i+ 5) mod 14 e sei é ímpar então ele é vizi- nho de (i+ 9) mod 14. Faça uma figura do grafo. Encontre um circuito de comprimento mínimo no grafo de Heawood.
E 1.122 Suponha que um grafoGtem um circuito ímpar. Mostre queGtam- bém tem um circuito ímpar induzido, ou seja, que existe um conjunto X de vértices tal que G[X] é um circuito ímpar. Algo análogo vale para circuitos pares?
E 1.123 Dê um exemplo de um grafoGe um caminho emGque seja maximal mas não seja máximo.
EU 1.124 (BOM!) Suponha que d(v) ≥ k para todo vértice v de um grafo.
Mostre que o grafo tem um caminho de comprimento pelo menosk. (Suges- tão: tome um caminho maximal.)30
O problema poderia ter sido formulado assim: mostre que todo grafoG contém um caminho com pelo menosδ(G) + 1vértices.
EU 1.125 SejaGum grafo tal queδ(G)≥2. Prove queGtem um circuito.
E 1.126 SejaG um grafo tal que δ(G) ≥ 3. Prove que Gtem um circuito de comprimento par.
E 1.127 Sejak um número natural maior que1. Suponha qued(v) ≥ k para todo vérticevde um grafoG. Mostre queGtem um circuito de comprimento pelo menos k+ 1. Em outras palavras, mostre queG tem um circuito com pelo menosδ(G) + 1vértices, desde queδ(G)>1. (Veja exercício1.124.) E 1.128 SejaGum grafo comn >1vértices e pelo menos2n arestas. Mostre queGtem um circuito de comprimento≤2 log2n.
28 Percy John Heawood(−). (Vejaverbete na Wikipedia.)
29 A expressão “imodj” denota o resto da divisão deiporj.
30 O capítulo15discute o importante mas difícil problema de encontrar um caminho de comprimentomáximoem um grafo.
FEOFILOFF Caminhos e circuitos em grafos 34
E 1.129 SejaGum grafo sem circuitos de comprimento menor que5. Mostre quen(G)≥δ(G)2+ 1.
E 1.130 Mostre que todo grafoGcom pelo menosk n(G)arestas contém um caminho de comprimentok. (Combine os exercícios1.101e1.124.)
Caminhos e circuitos versus cortes
Dizemos que um corte∂(X)separaum vérticexde um vérticey X contémx mas não contémy. (É claro que se∂(X)separaxdeyentãoX separaydex.)
E 1.131 Seja P um caminho num grafo G. Seja X um conjunto de vértices que contém um e apenas um dos extremos deP. Mostre queEP ∩∂(X)6=∅.
EI 1.132 Prove que, para qualquer par (x, y) de vértices de qualquer grafo, vale uma e apenas uma das seguintes afirmações: (1) um caminho ligaxay ou (2) um corte vazio separa xde y. (Outra maneira de formular a mesma questão: prove que existe um caminho dexayse e somente se nenhum corte vazio separaxdey.)
E 1.133 (ALGORITMO) Construa um algoritmo eficiente que receba vértices v ewde um grafoGe encontre um caminho que vaqi devawou mostre que tal caminho não existe.
Passeios, trilhas e ciclos
Umpasseio(=walk) em um grafo é qualquer sequência finita (v0, v1, v2, . . . , vk−1, vk) de vértices tal quevi é adjacente avi−1 para todo ientre 1ek. (Os vértices do passeio podem não ser distintos dois a dois.) Dizemos que o vértice v0 é a origemdo passeio e que vk é otérmino do passeio. Dizemos também que o passeiovai dev0 avke que o passeioligav0 avk.
Asarestasdo passeio sãov0v1, v1v2, . . . ,vk−1vk. Ocomprimentodo pas- seio é o númerok.
Umatrilha(=trail) é um passeio sem arestas repetidas, isto é, um passeio cujas arestas são distintas duas a duas. É claro que o comprimento de uma trilha é igual à cardinalidade do seu conjunto de arestas.
Um passeio é simples se os seus vértices são distintos dois a dois, ou seja, se não tem vértices repetidos. É evidente que todo passeio simples é, em particular, uma trilha.
Um passeio(v0, . . . , vk)éfechado(=closed) se sua origem coincide com o término, ou seja, sev0 =vk.
