Teoria dos Grafos Conceitos Básicos

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Teoria dos Grafos Conceitos Básicos

Profª. Alessandra Martins Coelho

fev/2014

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Grafos com apelidos

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Grafos com apelidos

diamante

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Grafos com apelidos

diamante casinha

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Grafos com apelidos

diamante casinha touro

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Grafos com apelidos

diamante casinha touro pegada

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Grafos com apelidos

Guarda-chuva

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Grafos com apelidos

Guarda-chuva cadeira

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Grafos com apelidos

Guarda-chuva cadeira gema

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Grafos com apelidos

Guarda-chuva cadeira gema dominó

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Grafos com apelidos

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Grafos com apelidos

antena

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Grafos com apelidos

antena balão

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Grafos com apelidos

antena balão leque

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Grafos com apelidos

antena balão leque bandeira

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Grafos com apelidos

grilo

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Grafos com apelidos

grilo borboleta

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Grafos com apelidos

grilo borboleta garra

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Grafos com apelidos

grilo borboleta garra

Torre Eiffel

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Grafos com apelidos

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Grafos com apelidos

Gêmeos

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Grafos com apelidos

Gêmeos Sunlet

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Grafos com apelidos

Gêmeos Sunlet Peixe

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Grafos com apelidos

• Grafo Pirâmide

Grafo pirâmide forte Grafo pirâmide dupla

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Grafos com apelidos

• Grafo Escorpião

• possui 4 tipos de vértice:

– Um vértice de grau 1 – ferrão.

– Um vértice de grau 2 – calda.

– Um vértice de grau n-1 – corpo – n-3 vértices restantes - pés

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Grafo Linha

• É denotado por L(G) e representa a

adjacência entre as arestas do grafo G.

– Cada vértice de L(G) representa uma aresta em G

– Dois vértices de L(G) são adjacentes se e somente suas arestas correspondentes

compartilham um mesmo vértice em G, ou seja, são adjacentes em G.

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Grafo Linha

Grafo G Vértices associados

às arestas Ligação das

arestas vizinhas

Grafo Linha – L(G)

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Fecho Transitivo de um vértice

• O conjunto de vértices alcançáveis a partir de x.

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Fecho Transitivo de um vértice

• O conjunto de vértices alcançáveis a partir de x.

Fecho transitivo direto do vértice 1 – {2,3,4,5,7,9,10,13}

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Fecho Transitivo de um vértice

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Fecho Transitivo de um grafo

• O grafo G construído a partir de G, incluindo-se um arco (x,y) para todo y alcançável a partir de x.

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Fecho Transitivo de um grafo

Grafo de alcançabilidade de G ou grafo fecho transitivo

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Exercício1 - Exemplo

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Exercício 1

• você percebeu alguma relação entre os números obtidos? O que você observou?

• O que você observou é válido para

TODOS os grafos? Construa um grafo (com pelo menos 6 vértices) e faça a tabela. A sua observação continua

valendo?

• Escreva um argumento que explique a sua observação.

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Grau

• grau (ou valência) de um vértice de um grafo é o número de arestas incidentes para com o

vértice, com os laços contados duas vezes.

• Lema do Aperto de Mão [Euler (1735)]

Se os convidados de uma festa apertarem as

mãos quando se encontrarem pela primeira vez, o número de convidados que apertam a mão um número ímpar de vezes é par.

• A soma total dos graus de todos os vértices de um grafo é 2x o número de arestas.

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Exercício 2

• Quantas arestas tem um grafo com

vértices de graus 5; 2; 2; 2; 2; 1? Desenhe um possível grafo.

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Resolução

• O grafo possui seis vértices e tem um grau total de 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 14.

Isso significa que existem sete arestas.

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Exercício 3

• Existe um grafo simples com cinco

vértices dos seguintes graus? Se existir, desenhe um possível grafo.

(a) 3; 3; 3; 3; 2 (b) 1; 2; 3; 4; 5 (c) 1; 2; 3; 4; 4 (d) 3; 4; 3; 4; 3 (e) 0; 1; 2; 2; 3

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Resolução

• O grafo tem um grau total de 3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 14. Isso significa que existem 7

arestas.

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Resolução

• O grafo tem um grau total de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Isso não é possível.

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Resolução

• O grafo tem um grau total de 1+2+3+4+4 = 14.

No entanto, como existem dois vértices com

grau 4, todos os vértices devem ter pelo menos grau 2, como mostrado na figura abaixo. Como supostamente existe um vértice com grau 1, não é possível existir tal grafo.

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Resolução

• O grafo tem um grau total de 3 + 4 + 3 + 4 + 3 = 17. Isso não é possível.

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Resolução

• O grafo tem um grau total de 0 + 1 + 2 + 2 + 3 = 8. Isso significa que existem quatro arestas.

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Exercício 4

• Pode haver um grafo simples com 15 vértices, cada um com grau 5?

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Resolução

• Não. O grau desse suposto grafo seria

15x5 = 75, que é um número ímpar. Sabe- se que o grau de qualquer grafo deve ser um número par.

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Subgrafo

• um subgrafo de um grafo G é um grafo cujo conjunto de vértices é um subconjunto do conjunto de vértices G e o conjunto de arestas é um subconjunto do conjunto de arestas de G, ou seja, cuja relação de adjacência é um subconjunto de G restrita a esse subconjunto.

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Subgrafo

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Subgrafo

Grafo exemplo Subgrafo próprio Subgrafo parcial próprio

Subgrafo parcial próprio

Um grafo é subgrafo parcial dele mesmo

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Subgrafo induzido por Arestas

• Um subgrafo G pode ser obtido por um subconjunto e arestas e seus respectivos vértices.

• Neste caso será denominado induzido por arestas.

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Exemplo

• Subgrafo por indução de arestas

Grafo de referência Arestas removidas Subgrafo formado

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Subgrafo induzido por Vértices

• Um subgrafo G pode ser obtido por um subconjunto de vértices e suas

respectivas arestas.

• Neste caso será denominado induzido por vértices.

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Exemplo

• Subgrafo por indução de vértices

Grafo de referência vértice removido Subgrafo formado

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Supergrafo

• Se G’ é um subgrafo de G, então G também pode ser denominado um supergrafo de G’.

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Exemplo

• Supergrafo

• Se G’ é um subgrafo de G, então G também pode ser denominado um supergrafo de G’.

Grafo de referência Acréscimo de vértices Supergrafo formado

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Exercício 5

• Quantos subgrafos com pelo menos um vértice tem K₃?

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Resolução

• Quantos subgrafos com pelo menos um vértice tem K₃?

• São os subgrafos com um, dois e três vértices:

– Existem três subgrafos com um vértice e nenhuma aresta;

– Existem C(3; 2) = 3 possibilidades de escolher

subgrafos com dois vértices. Para cada possibilidade, podemos incluir ou não a aresta, i.e., 3x2 = 6

subgrafos com dois vértices;

– Com três vértices, temos 2³ = 8 possibilidades de incluir ou não cada aresta.

– Assim, a quantidade total de subgrafos com pelo menos um vértice é a soma de 3 + 6 + 8 = 17.

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Exercício 6

• Desenhe todos os subgrafos do grafo abaixo.

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Exercício 8

• Para o grafo da figura abaixo, determine um subgrafo próprio, um subgrafo parcial, um subgrafo induzido por vértices, um subgrafo induzido por arestas e um

supergrafo.