AED
Algoritmos e Estruturas de Dados LEEC - 2004/2005
Teoria de Grafos e Algoritmos em Grafos
Grafos - O que é um grafo?
• Objecto abstracto
• Dois tipos de entidades
– Nós ou Vértices – Ramos ou Arestas
• Vértices representam
– cidades, pessoas, máquinas, números, etc
• Arestas representam
– existência de ligações entre nós, valor da ligação entre nós, distância entre nós, etc
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Grafos - Motivação
• Mapas
– caminhos mais curtos; ca- minhos mais baratos.
• Circuitos Eléctricos
– existência de curto-circui- tos; existência de cruzamen- to entre ligações.
• Sequenciamento
– tarefas a executar por um conjunto de recursos sujei- tas a restrições de carácter tecnológico.
• Emparelhamento
– processamento de imagem estéreo; atribuição de pes- soas a lugares.
• Redes de dados
– computadores ligados entre si, enviando e recebendo mensagens; existência de li- gação entre quaisquer nós;
redundância.
• Estrutura de Programas
– grafos gerados por compila- dores representando a estru- tura de chamadas;
Grafos – Definições (1)
• Def: Um grafo é um conjunto de vértices e um conjunto de arestas que ligam pares de vértices distintos (com nunca mais que uma aresta a ligar qualquer par de vértices).
• Def: Dois vértices ligados por uma aresta dizem-se adjacentes.
• Def: Uma aresta que ligue dois vértices diz-se incidente de cada um dos vértices.
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Grafos – Definições (2)
• Def: O número de arestas incidentes num vértice diz-se o grau desse vértice.
• Def: O subconjunto de arestas e vértices a elas associados diz-se um sub-grafo do grafo original.
• Def: Uma sequência de vértices na qual os vértices sucessivos estão ligados por arestas do grafo diz-se um caminho.
Grafos – Definições (3)
• Def: Num caminho simples os vértices e arestas são distintos.
• Def: Um caminho em que todos os vértices e arestas são distintos, excepto para o primeiro e último que são iguais, diz-se um ciclo.
• Def: Dois caminhos simples dizem-se disjuntos se não possuírem vértices comuns, excepto possivelmente para os vértices extremos.
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• Def: Um grafo diz-se ligado se existir um caminho de cada vértice para todos os outros vértices do grafo.
• Def: Um grafo que não seja ligado é constituído por componentes ligadas, que se dizem sub-grafos ligados máximos.
• Def: Um grafo ligado acíclico, i.e. sem ciclos, diz-se uma árvore.
Grafos – Definições (4)
Grafos – Definições (5)
• Def: Um conjunto de árvores diz-se uma floresta.
• Def: A árvore de suporte de um grafo ligado é um sub-grafo que contém todos os vértices e é uma árvore.
• A floresta de suporte de um grafo é um sub-grafo que contém todos os seus vértices e é uma floresta.
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Grafos – Propriedades em árvores
• Um grafo G de Vvértices é uma árvore se e só se satisfizer qualquer das seguintes condições:
– G tem V-1 arestas e nenhum ciclo.
– G tem V-1 arestas e é ligado.
– Existe apenas um caminho simples a unir quaisquer dois vértices.
– G é ligado mas retirando uma só aresta faz com que deixe de o ser.
Grafos – Exemplos (1)
• Os vértices 6 e 7 são adjacentes.
• Os vértices 4 e 6 não são adjacentes.
• O vértice 7 tem grau quatro.
1
4 2
7 6
5 8
3
G
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Grafos – Exemplos (2)
• G’ é um sub-grafo de G, gerado a partir das arestas a cheio.
• O vértice 5 não pertence a G’.
• G é um grafo ligado; G’ não é.
• O sub-grafo G’ é constituído por um grafo completo com três vértices e por uma árvore com quatro vértices
1
4 2
7 6
5 8
3
G’
Grafos – Exemplos (3)
1
4 2
7 6
5 8
3
G
• Caminho: 1-2-4-5-7-8
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Grafos – Exemplos (4)
1
4 2
7 6
5 8
3
G
• Ciclo: 3-4-5-6-7-8-3
Grafos – Exemplos (5)
1
4 2
7 6
5 8
3
G’’
• G’’: árvore de suporte de G.
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• Introdução
– Definição de grafo – Motivação aplicacional
• Definições e notação
• Propriedades elementares em grafos
• Exemplos
Grafos – Síntese da Aula 1
Grafos - Definições e Propriedades (1)
• Def: Um grafo diz-se completo quando existe uma aresta ligando qualquer par de vértices.
• Prop: Um grafo com V vértices possui, no máximo, V(V-1)/2 arestas.
• Def: Um grafo G’ diz-se complemento do grafo G quando se obtém a partir de um grafo completo com o mesmo número de vértices de G, retirando-lhe todas as arestas de G.
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Grafos - Definições e Propriedades (2)
• Def: Um grafo que possua um número de arestas próximo do número máximo diz-se denso.
• Def: Um grafo cujo complemento seja denso diz-se esparso.
• Def: Densidade de um grafo: 2E/V, em que E é o número de arestas e V o de vértices.
• Def: A um sub-grafo completo dá-se o nome de clique.
Grafos - Definições e Propriedades (3)
• Def: Um grafo que possua a propriedade de ser possível dividir os vértices em dois conjuntos tais que todas as arestas apenas ligam vértices de um conjunto a vértices do outro conjunto diz-se bipartido.
• Def: Quando existe um sentido atribuído às arestas, os grafos dizem-se direccionados, dirigidos ou digrafos.
• Def: O primeiro vértice de uma aresta direccionada diz-se fonte e o segundo diz-se destino.
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Grafos - Definições e Propriedades (4)
• Prop: Apenas os vértices destino são adjacentes dos vérti- ces fonte.
• Def: Um ciclo direccionado num digrafo é um ciclo em que todos os pares de vértices adjacentes surgem pela ordem especificada pelas arestas.
• Def: Um digrafo sem ciclos direccionados diz-se grafo direccionado acíclico, ou DAG (Directed Acyclic Graph).
Grafos - Definições e Propriedades (5)
• Def: Quando se atribuem pesos às arestas, representando custo, distância, etc., diz-se que o grafo é ponderado.
– Também é possível atribuir pesos aos próprios vértices, ou a pares vértice/aresta.
• Def: Grafos ponderados direccionados, dizem-se redes.
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Grafos - Interface ADT para Grafos (1)
• Os algoritmos para processamento de grafos serão desenvolvidos no contexto de uma ADT que define as tarefas de interesse.
• A nossa primeira interface elementar é tal que:
– O número de vértices e arestas são especificados por inteiros;
– Uma aresta é definida por um par de inteiros, designando os vértices que une;
– O número de vértices é limitado superiormente.
• Esta interface irá sendo alargada à medida das necessidades.
typedef struct {int v; int w;} Edge;
Edge EDGE(int, int);
typedef struct graph *Graph;
Graph GRAPHinit(int);
void GRAPHinsertE(Graph, Edge);
void GRAPHremoveE(Graph, Edge);
int GRAPHedges(Edge a[], Graph G);
Graph GRAPHcopy(Graph);
void GRAPHdestroy(Graph);
Grafos - Interface ADT para Grafos (2)
Graphinit cria grafo com o número final de vértices, sem arestas.
GraphinsertE insere uma aresta, caso não exista.
GraphremoveE retira uma aresta, caso exista.
Graphedges conta o núme- ro de arestas.
Graphcopycria uma segun- da cópia do grafo.
Graphdestroy faz o inver-
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Grafos - Matriz de Adjacências (1)
• Matriz de Adjacências
– Matriz (V
×V) de valores booleanos;– A entrada correspondente à linha
ve coluna
wé 1 se existir uma aresta ligando estes dois vértices;
– A mesma entrada vale 0 caso contrário;
– A matriz é simétrica, excepto para digrafos, em que poderá não sê-lo.
Grafos - Matriz de Adjacências (2)
• Matriz
1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0 0 0 3 0 0 1 1 0 0 1 1 4 1 1 1 1 1 0 0 0 5 0 0 0 1 1 1 1 0 6 0 0 0 0 1 1 1 0 7 0 0 1 0 1 1 1 1 8 0 0 1 0 0 0 1 1
• Grafo
1
4 2
6 7
5 8
3
G
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Grafos - Implementação de ADT (1)
#include <stdlib.h>
#include “GRAPH.h”
struct graph {int V; int E; int **adj;};
Graph GRAPHinit(int V){
Graph G = malloc(sizeof(struct graph));
G->V = V; G->E = 0;
G->adj = MATRIXint(V, V, 0);
return G;
}
void GRAPHinsertE(Graph G, Edge e){
int v = e.v, w = e.w;
if (G->adj[v][w] == 0) G->E++;
G->adj[v][w] = 1; G->adj[w][v] = 1;
}
void GRAPHremoveE(Graph G, Edge e){
int v = e.v, w = e.w;
if (G->adj[v][w] == 1) G->E--;
G->adj[v][w] = 0; G->adj[w][v] = 0;
}
int GRAPHedges(Edge a[], Graph G){
int v, w, E = 0;
for (v = 0; v < G->V; v++) for (w = v+1; w < G->V; w++)
if (G->adj[v][w] == 1) a[E++] = EDGE(v, w);
Grafos - Implementação de ADT (2)
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• Definições e propriedades
– Grafos completos, complemento de um grafo, densidade, cliques, grafos bipartidos, grafos direccionados, ciclos em grafos direccionados, grafos ponderados, redes.
• Estrutura abstracta de dados para grafos
– Interface elementar
• Matrizes de adjacência
– Representação de um grafo
– Implementação da estrutura abstracta de dados
Grafos – Síntese da Aula 2
Grafos - Listas de Adjacências (1)
• Listas de Adjacências
– Cada vértice possui uma lista ligada;
– Os elementos constituintes da lista de um vértice são os seus vértices adjacentes;
– Em grafos simples, se os vértices v e w são adjacentes, então w pertence à lista de v e v pertence à lista de w
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Grafos - Listas de Adjacências (2)
• Grafo
1
4 2
6 7
5 8
3
G
• Listas de Adjacências
1 4
2
4 8 7
3
1
3 2 5
4
4 6 7
5
6 5 7
7 5 3 6 8
8 3 7
4 2
1
Tabela com V listas de arestas
Grafos - Implementação de ADT (1)
#include <stdlib.h>
#include “GRAPH.h”
typedef struct node *link;
struct node {int v; link next;};
struct graph{int V; int E; link *adj;};
link NEW(int v, link next){
link x = malloc(sizeof(struct node));
x->v = v; x ->next = next;
return x;
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Graph GRAPHinit(int V)}
int v; Graph G = malloc(sizeof(struct graph));
G->V = V; G->E = 0;
G->adj = malloc(V * sizeof(link));
for (v = 0; v < V; v++) G->adj[v] = NULL;
return G;}
void GRAPHinsertE(Graph G, Edge e){
int v = e.v, w = e.w;
G->adj[v] = NEW(w, G->adj[v]);
G->adj[w] = NEW(v, G->adj[w]);
G->E++;}
Grafos - Implementação de ADT (2)
void GRAPHremoveE(Graph G, Edge e){
/* Fica como exercício */ }
int GRAPHedges(Edge a[], Graph G){
int v, E = 0; link t;
for (v = 0; v < G->V; v++)
for (t = G->adj[v]; t != NULL; t = t->next) if (v < t->v )
a[E++] = EDGE(v, t->v);
return E;
Grafos - Implementação de ADT (3)
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Grafos - Vantagens das M. de Adj.
• Representação de eleição quando
– há espaço disponível;
– os grafos são densos;
– os algoritmos requerem mais que V2operações.
• Adição e remoção de arestas é feita de forma eficiente;
• É fácil evitar a existência de arestas paralelas;
• É fácil determinar se dois vértices estão ou não ligados.
• Grafos esparsos de grande dimensão requerem espaço de memória proporcional a V2;
• Neste casos, a simples inicialização do grafo (
proporcional a
V2) pode ser do-minante na execução global do algoritmo;• Pode nem sequer existir memória suficiente para armazenar a matriz.
Grafos - Inconvenientes das M. de Adj.
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Grafos - Vantagens das L. de Adj.
• Inicialização é proporcional a V.
• Utiliza sempre espaço proporcional a V+E
– adequado para grafos esparsos.
– algoritmos que assentem na análise de arestas em grafos esparsos.
• Adição de arestas é feita de forma eficiente.
• Arestas paralelas e adjacência entre vértices
– requer que se pesquise as listas de adjacências, o que pode levar um tempo proporcional a V.
• Remoção de arestas
– pode levar um tempo proporcional a V (este problema pode ser contornado).
• Não aconselhável para
– grafos de grande dimensão que não podem ter arestas paralelas;
Grafos - Inconvenientes das L. de Adj.
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Grafos - Variantes e Extensões (1)
• Outros tipos de grafos – Digrafos
• ambas facilmente extensíveis;
• arestas representadas só uma vez;
– Grafos ponderados e redes
• M. de Adj. preenchida com pesos;
• L. De Adj. com campos extra para representação dos pesos.
• Alteração da estrutura de dados
– Tipo “EDGE” contendo informação adicional, para além dos vértices que liga.
– Vectores indexados pelos vértices
• Manutenção da informação do grau do vértice.
– Vector de arestas
• Forma alternativa de representação de grafos.
Grafos - Variantes e Extensões (2)
AED (IST/DEEC) 39
Grafos - Representações alternativas
• Três mecanismos básicos de representação de grafos – Vector de arestas;
– Matriz de adjacências;
– Listas de adjacências.
• Produzem diferentes desempenhos ao nível das opera- ções de manipulação.
• Escolha deverá depender do problema a resolver.
Grafos – Desempenho Relativo
V. de Arestas M. de Adj. L. de Adj.
Espaço E V2 V+E
Inicialização 1 V2 V
Cópia E V2 E
Destruição 1 V E
Inserir aresta 1 1 1
Encontrar aresta E 1 V
Remover aresta E 1 V
Vértice isolado? E V 1
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Grafos - Encontrar e remover arestas (1)
• Eficientes em representações por matriz de adjacências.
• Como torná-las eficientes para as outras representações?
• Atribuir um símbolo inteiro a cada aresta – Aresta v-w fica com o símbolo v*V+w.
• Por exemplo, fazer uso de tabelas de dispersão (“hash- tables”)
• Quando uma aresta é inserida, é fácil testar se o símbolo já foi usado.
Grafos - Encontrar e remover arestas (2)
• Remoção em digrafos
– ponteiro na tabela de dispersão para a sua representação na lista de adjacências;
– requer listas duplamente ligadas.
• Remoção em grafos simples
– colocação de ambos os ponteiros na tabela de dispersão;
– ou ponteiro entre os vértices.
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• Listas de adjacência
– Representação de um grafo
– Implementação da estrutura abstracta de dados
• Comparação das representações alternativas
– Vantagens e inconvenientes das matrizes de adjacência – Vantagens e inconvenientes das listas de adjacência
• Variantes e extensões
– Grafos direccionados, ponderados e redes – Outras representações
• Comparação das representações alternativas
– Memória e tempo de execução
