Publicações do PESC Um Problema de Planejamento de Redes Telefônicas

U M P R O B L E M A D E . P L A N E J A M E N T 0

D E R E D E S T E L E F O N I C A S

G e r s o n Couto de Õ l i v e i r a

T E S E SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE P~S-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO R I O DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSARIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU ~ S T R E EM CIÊNCIAS (M.SC. )

Aprovada por:

P r e s i d e n t e

/

ESTADO DO R I O DE J A N E I R O DEZEMBRO DE 1 9 7 5

No Planejamento de Redes ~ e l e f ô n i c a s Urbanas, um problema a ser r e - s o l v i d o c o n s i s t e em d e t e r m i n a r o número e a l o c a l i z a ç ã o das c e n t r a i s a s e r e m i n s t a l a d a s e a s s u a s r e s p e c t i v a s á r e a s de i n f l u ê n c i a . P a r a i s s o , a l i g a ç ã o e n t r e a s c e n t r a i s

é

c o n s i d e r a d a de forma s i m p l i f i c a -

d a , supondo-se a i n e x i s t ê n c i a de c e n t r a i s "tandem". Deseja-se que o c u s t o g l o b a l do s i s t e m a , i n c i d e n t e no ano e m e s t u d o , r e s u l t e minimo, impostas a s r e s t r i ç õ e s que garantem a q u a l i d a d e dos s e r v i ç o s p r e s t a

-

dos, no que concerne

5

q u a l i d a d e d a t r a n s m i s s ã o e a o g r a u d e s e r v i -

G O . O problema

é

r e s o l v i d o u t i l i z a n d o - s e t é c n i c a s de programação ma -

iii

ABSTRACT

On p l a n n i n g urban t e l e p h o n e networks, a problem which needs s o l v i n g i s t o f i n d o u t t h e nurnber and t h e l o c a t i o n of exchanges t o b u i l d and a l s o t h e i r b o u n d a i r e s . To do t h i s , c o n n e c t i o n between t h e exchanges i s c o n s i d e r e d i n a s i m p l e way, supposing t h a t t h e r e a r e n ' t "tandem" exchanges. I t i s d e s i r e d t h a t t h e g l o b a l c o s t i n v o l v e d i n t h e y e a r u n d e r s t u d y i s minimun, g u a r a n t e e i n g t h e s t a n d a r d o£ t h e s e r v i c e s o f f e r e d , c o n c e r n i n g q u a l i t y of t r a n s m i s s i o n and g r a d e of s e r v i c e .

AGRADECIMENTO

Agradeço a cooperação e a ajuda dos t é c n i c o s A l b e r t o de O l i v e i r a Moreno, Ramiro de Almeida Sobrinho, S é r g i o E l l e r y

irão

e Paulo Pavanini Rai da ~ e r ê n c i a de ~ s t a t í s t i c a e P e s q u i s a Operacional da CTB, c u j o apoio e i n c e n t i v o foram de v a l o r i n e s t i m a v e l ao desenvol- vimento d e s t e t r a b a l h o .

~ N D I C E DE C A P ~ T U L O Ç

-

Um problema de planejamento de r e d e s t e l e f ô n i c a s -

-

11. Modelo ~ a t e m á t i c o 3 11.1 - Conceitos ~ ã s i c o s 1 1 . 2

-

v a r i á v e i s do Modelo 1 1 . 3

-

unção

O b j e t i v o 1 1 . 4

-

~ e s t r i ç õ e s 111. ~ é t o d o de Solução 1 6 111.1

-

S o l u ç ã o I n i c i a l 1 1 1 . 2

-

S o l u ç ã o do Subproblema 1 111.3

-

S o l u ç ã o do Subproblema 2 1 1 1 . 4

-

c o n v e r g ê n c i a I V . ~ o n c l u s õ e s e c o m e n t á r i o s 2 9 I V . 1

-

A p l i c a b i l i d a d e do Programa I V . 2

-

~ e n e r a l i z a ç õ e s ~ o s s i v e i s Apêndice I

-

~ x p e r i ê n c i a Computacional 32

Apêndice I1

-

~ e s c r i ç ã o do " C y c l i c C o o r d i n a t e Descent Method" 59

Apêndice I11

-

unção

de E r l a n g com Número de Meios c o n t í n u o e s u a s Derivadas P a r c i a i s 8 2

Pag

.

Figura 1

...

3

Um s i s t e m a t e l e f ô n i c o pode s e r d e f i n i d o como um c o n j u n t o d e £a- c i l i d a d e s que t e m p o r o b j e t i v o s a t i s f a z e r a s n e c e s s i d a d e s de comuni

-

cação e n t r e a s s i n a n t e s l o c a l i z a d o s numa determinada á r e a . Como ape- n a s uma pequena p a r c e l a d a t o t a l i d a d e d e a s s i n a n t e s m a n i f e s t a s i m u l

-

taneamente o d e s e j o de s e comunicar, s e r i a demasiado o n e r o s o munir o s i s t e m a de meios que p e r m i t i s s e m a t o d o s o s p a r e s d e a s s i n a n t e s co

-

municação ao mesmo tempo, p o i s o equipamento f i c a r i a o c i o s o d u r a n t e um l a r g o p e r í o d o de tempo. A s o l u ç ã o a d o t a d a

é

i n t r o d u z i r equipamen

-

t o s denominados c e n t r a i s t e l e f Ônicas

.

Cada a s s i n a n t e

é

e n t ã o f i l i a - do a uma c e n t r a l , ou s e j a , s e e s t a b e l e c e uma l i g a ç ã o r í g i d a de cada a s s i n a n t e da á r e a a cada c e n t r a l do s i s t e m a , sendo a s c e n t r a i s i n - t e r c o n e c t a d a s p o r meio de cabos. O p a p e l das c e n t r a i s e s t a b e l e c e r um caminho e l é t r i c o t e m p o r á r i o p a r a o s a s s i n a n t e s l i g a d o s a e l a s . A operação de s e l e ç ã o de um p e r c u r s o e l é t r i c o r e a l i z a d o p e l a s c e n t r a i s

6

denominada comutação.

Dois c r i t é r i o s s ã o usualmente empregados p e l a s empresas que ad- m i n i s t r a m o s s e r v i ç o s t e l e f Ô n i c o s p a r a e x p r i m i r a q u a l i d a d e d e s s e s s e r v i ç o s . Um d e l e s d i z r e s p e i t o à q u a l i d a d e de t r a n s m i s s ã o e o ou- t r o , conhecido como g r a u d e s e r v i ç o , se r e f e r e a o congestionamento do s i s t e m a , e x p r e s s o p e l a p r o b a b i l i d a d e de que um a s s i n a n t e , que de

-

s e j a s e comunicar com o u t r o , e n c o n t r e todos o s p e r c u r s o s que o s ligam ocupados. Diz-se que um s i s t e m a t e l e f ô n i c o s a t i s f a z aos d o i s c r i t é - r i o s de q u a l i d a d e , quando a s a t e n u a ç õ e s d a s l i g a ç õ e s do s i s t e m a fo- rem i n f e r i o r e s a uma q u a n t i d a d e p r é - f i x a d a e quando o g r a u de s e r v L

Ç O f o r também i n f e r i o r a um c e r t o v a l o r p r é - f i x a d o . A s a t i s f a ç ã o ao c r i t é r i o de q u a l i d a d e da t r a n s m i s s ã o pode s e r g a r a n t i d a p r o p o r c i o - nando-se meios de comunicação de um m a t e r i a l adequado e a s a t i s f a - ç ã o ao g r a u de s e r v i ç o imposto

é

o b t i d a munindo-se o s i s t e m a de um número de meios adequado.

O d e s e j o d e comunicação e n t r e a s s i n a n t e s do s i s t e m a p o d e s e r ava

-

l i a d o p o r uma grandeza denominada t r á f e g o t e l e f ô n i c o . T a l p a r â m e t r o depende da c a t e g o r i a dos a s s i n a n t e s e v a r i a razoavelmente a o longo do tempo.

E

u s u a l e s t a b e l e c e r - s e , p a r a f i n s de p r o j e t o e p l a n e j a m e n t o , um p e r í o d o de tempo p a d r ã o denominado "Hora de Maior Movimento" (HMM)

,

sendo o t r á f e g o t e l e f o n i c o d e f i n i d o p a r a e s t e i n t e r v a l o de tempo.

A i n t r o d u ç ã o de novos a s s i n a n t e s em um s i s t e m a t e l e f ô n i c o t o r n a n e c e s s á r i o que s e promova a expansão c o n t i n u a d a do r e f e r i d o s i s t e - ma.

E

n e c e s s á r i o que s e i n s t a l e m novas c e n t r a i s , que s e f i l i e m o s no

_-

vos a s s i n a n t e s 2s c e n t r a i s e que s e promova a e x i s t ê n c i a d e m e i o s c a

_-

paz de i n t e r c o n e c t a r a s c e n t r a i s . A q u a l i d a d e dos s e r v i ç o s t e l e f ô n i

_-

tos p r e s t a d o s deve s e s i t u a r acima de v a l o r e s p r é - f i x a d o s e

é

conve

_-

n i e n t e , p a r a a empresa que e x p l o r a o s s e r v i ç o s , que a s a t i s f a ç ã o d a demanda s e f a ç a a c u s t o mínimo.

O problema g e r a l de planejamento da expansão de uma r e d e t e l e f Ô

_-

n i c a l o c a l c o n s i s t e n a d e t e r m i n a ç ã o espaço-temporal dos meios de co

_-

municação que i n t e g r a m t a l s i s t e m a .

A r e a l i z a ç ã o de um e s t u d o g l o b a l dinâmico d e s s e s i s t e m a l e v a a modelos matemáticos d i f i c i l m e n t e p r o c e s s á v e i s

,

devido ao grande nú- mero de v a r i á v e i s e n v o l v i d a s e à s n ã o - l i n e a r i d a d e s e x i s t e n t e s . Ado- t a - s e e n t ã o uma h i p ó t e s e s i m p l i f i c a d o r a , que c o n s i s t e n a c o n s i d e r a -

-

ç ã o e s t á t i c a do e s t a d o do s i s t e m a num i n s t a n t e do f u t u r o , i s t o e , f a z - s e um e s t u d o t i p o " c r o s s - s e c t i o n "

.

Ademais, d i v i d e - s e o p r o b l e - ma em d o i s subproblemas. No p r i m e i r o (PROBLEMA A) c u i d a - s e da d e t e r

_-

m i n a ~ ã o do número d e c e n t r a i s , de s u a s 1 o c a l i z a ç Õ e s e da f i l i a ç ã o dos a s s i n a n t e s , levando-se em c o n t a , de forma s i m p l i f i c a d a , o c i r - c u i t o de junção que i n t e r c o n e c t a a s c e n t r a i s , não c o n s i d e r a n d o a e x i s t ê n c i a de "tandems". No segundo (PROBLEMA B )

,

a p a r t i r d a loca- l i z a ç ã o d a s c e n t r a i s e de s u a s r e s p e c t i v a s á r e a s de i n f l u ê n c i a , p r o

_-

c u r a - s e d e t e r m i n a r o número de t a n d e h s a i n s t a l a r , s u a s l o c a l i z a - ç õ e s , os t i p o s de l i g a ç õ e s e n t r e a s c e n t r a i s , a s q u a n t i d a d e s e ti- pos de cabos a i n s t a l a r nos t r e c h o s d a r e d e , a s c o n f i g u r a ç õ e s das c e n t r a i s e tandems com r e l a ç ã o aos j u n t o r e s de e n t r a d a e s a í d a , a s a c e s s i b i l i d a d e s e o número de meios n a s l i g a ç õ e s e n t r e c e n t r a i s e tandems, impostas a s r e s t r i ç õ e s que garantem a q u a l i d a d e dos s e r v i - ç o s t e l e f ô n i c o s p r e s t a d o s .

Nos d o i s problemas, d e s e j a - s e minimizar o c u s t o g l o b a l i n c i d e n - t e no p e r í o d o e m e s t u d o .

E s t e t r a b a l h o a p r e s e n t a uma s o l u ç ã o do t i p o " c r o s s - s e c t i o n " pa- r a o problema A , supondo a d i s junção u s u a l e n t r e o s d o i s problemas c i t a d o s

[I],

[ 6 ] , [ 7 ] .

11.1

- -

C o n c e i t o s ~ á s i c o s

A c o n s i d e r a ç ã o da á r e a urbana em e s t u d o , como um conjun

_-

t o c o n t í n u o de p o n t o s , g e r a modelos matemáticos de manipulação com- p l e x a e e x i g e dados com um detalhamento d i f l c i l de s e r o b t i d o . I n s -

crevendo-se a á r e a em e s t u d o num r e t i c u l a d o uniforme, obtém-se umnú

_-

mero f i n i t o de p o n t o s , d i t o s q u a d r í c u l a s , que s ã o s u a s c é l u l a s e l e - mentares (v. F i g . 1)

.

Admite-se que a s c a r a c t e r í s t i c a s da á r e a en- c e r r a d a numa q u a d r í c u l a e s t e j a m c o n c e n t r a d a s no s e u c e n t r o g e o m é t r i

_-

co. Ao s e dimensionar uma q u a d r í c u l a e s t á em jogo um compromisso e n

_-

t r e a p r e c i s ã o d e s e j a d a ( e também o d e t a l h e dos dados) e o número de q u a d r í c u l a s c r i a d a s e , p o r t a n t o , de v a r i á v e i s no modelo.

S e j a J , J C N , o c o n j u n t o d a s q u a d r í c u l a s . O r e t i c u l a d o p e r m i t e i d e n t i f i c a r uma q u a d r í c u l a j s J p o r meio de um s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s , conforme a F i g . 2 , que a e l a a s s o c i a um p a r ( x j r Y j ) r X j r Y j E N . A s s i m , no exemplo d a F i g . 2 , ~ = { 1 , 2 , .

. .

, 1 1 0

1

e a q u a d r i - c u l a j=25 t e m coordenadas ~ ~ ~ ' 5 , y25 = 3 . A t o p o l o g i a d a á r e a

é

d e f i n i d a usando a noção d e d i s t á n

_-

tia r e t a n g u l a r . Se A x e 6 s ã o a s dimensões d e c a d a q u a d r í c u l a nos

V

s e n t i d o s x e y , a

distância

d ( j

,

j I ) e n t r e duas q u a d r í c u l a s que s e

l i g a m d i r e t a m e n t e é uma f u n ç ã o d:J x J - t R

E s s a d e f i n i ç ã o

é

u t i l i z a d a , p o r ser a que melhor r e p r e s e n t a o cami- nho s e g u i d o p o r um cabo t e l e f ô n i c o numa á r e a urbana. A F i g . 3 exem- p l i f i c a a a p l i c a ç ã o d e s s a d e f i n i ç ã o 2s q u a d r í c u l a s 8 4 e 27.

FIG.3-EXEMPLO DA D E T E R M I N A Ç ~ O DE

DISTANCIA

SEM ROTEAMENTO

ENTRE Q U A D R ~ C U L A S

Admitindo ox=300m e 6 = 2 0 0 ,

Y

i

A p r e s e n ç a d e p o s s í v e i s o b s t ~ c u l o s f í s i c o s impedindo uma l i g a ç ã o d i r e t a e n t r e duas q u a d r í c u l a s

,

como p o r exemplo a e x i s t ê n c i a de morros, l a g o s , r i o s e t c .

,

impõe a c r i a ç ã o d e "pontos d e passagem

f o r ç a d a " o u " d e r o t e a m e n t o " de modo q u e , havendo o b s t á c u l o s à l i g a - ç ã o , e s t a

é

f e i t a d e forma i n d i r e t a . passando p o r um ou mais p o n t o s de r o t e a m e n t o q u e permitem o c o n t o r n o dos o b s t á c u l o s . A F i g . 4 i l u s t r a o c o n c e i t o acima. Havendo o b s t á c u l o s e n t r e a s q u a d r í c u l a s 84 e 5 9 , c r i a - s e um p o n t o de passagem n a qua- d r í c u l a 2 7 , d e modo q u e a l i g a ç ã o e n t r e e l a s c o n t o r n e o s o b s t á c u l o s . D e s s e modo t e m - s e , onde a s q u a d r í c u l a s 59 e 2 7 se l i g a m d i r e t a m e n t e , o mesmo o c o r r e n d o com a s q u a d r í c u l a s 2 7 e 84.

FIG.4- EXEMPLO DA DETERMINAÇ~O DA DISTÂNCIA ENTRE QUADR~CULAS COM ROTEAMENTO.

C a r a c t e r i z a d o s os o b s t ~ c u l o s , p a r t i c i o n a - s e a á r e a em e s t u d o em zonas de roteamento, de modo que a cada p a r de zonas e s t á a s s o c i a d o um ponto de passagem o b r i g a t õ r i o , p a r a a l i g a ç ã o e n t r e qua d r i c u l a s s i t u a d a s m a em cada zona.

Sendo R o c o n j u n t o d a s zonas de roteamento, a a p l i c a ç ã o

d e f i n e a zona d e r o t e a m e n t o , r ( j )

,

d a q u a d r í c u l a j.

A a p l i c a ç ã o

d e f i n e o p o n t o d e roteamento, p ( r l , r 2 )

,

e n t r e a s r e g i õ e s rl e r 2 .

, Convenciona-se q u e , c a s o não h a j a roteamento e n t r e duas r e g i õ e s , i s t o

é,

quando r =r ou quando a l i g a ç ã o

é

d i r e t a , p ( r l , r 2 )

1 2

= O . No exemplo a p r e s e n t a d o n a F i g . 4 ,

A demanda de t e r m i n a i s

é

d e f i n i d a p e l a a p l i c a ç ã o

n

: J+N

que, a cada q u a d r í c u l a j , a s s o c i a o número de a s s i n a n t e s ( j ) a e l a p e r t i n e n t e s .

P a r a e f e i , t o de c á l c u l o d e c u s t o de t e r r e n o a á r e a

é

p a r

_-

t i c i o n a d a em "zonas de t e r r e n o " , de modo que em cada zona o c u s t o u n i t á r i o de t e r r e n o s e j a uniforme ( v i d e F i g . 5 )

FIG.5 - PARTIÇÃO E M ZONAS DE T E R R E N O

P a r a e f e i t o de c o n s i d e r a ç ã o do t r á f e g o , i d e n t i f i c a m - s e a s q u a d r í c u l a s que contêm a s s i n a n t e s que o r i g i n a m e recebem o mesmo t r á f e g o . A á r e a

é

e n t ã o p a r t i c i o n a d a em "zonas de t r á f e g o " , de modo que duas q u a d r i c u l a s , d e uma d e s s a s zonas, o r i g i n a m o mesmo t r á f e g o e recebem o mesmo t r á f e g o ( v i d e F i g . 6 ) .

FIG.6- PARTIÇAO EM ZONAS DE T R Á F E G O

A j u s t a p o s i ç ã o d e s s a s duas p a r t i ç õ e s g e r a uma nova p a r - t i ç ã o em "zonas de t r á f e g o - t e r r e n o " , c a r a c t e r i z a d a p e l a a p l i c a ç ã o

onde Ç

é

o c o n j u n t o das zonas de t r á f e g o - t e r r e n o e s ( j )

é

a zona de

A a p l i c a ç ã o que c a r a c t e r i z a o t r á f e g o o r i g i n a d o de um a s s i n a n t e da zona sl a um da zona s ₂

_'

< ( s l , s 2 ) ,

é

d e f i n i d a por

A comunicação da q u a d r í c u l a j

,

f i l i a d a

5

c e n t r a l i , com a q u a d r í c u l a j l , f i l i a d a

5

c e n t r a l i ' , f a z uso dos s e g u i n t e s e q u i p a

_-

mentos: p a r e s de f i o s de cabo que conectam a q u a d r í c u l a j

5

c e n t r a l i e r e s p e c t i v o s d i s p o s i t i v o s de l i g a ç ã o d e s s e s p a r e s

2

c e n t r a l i p a r e s de f i o s do cabo de junção da c e n t r a l i

2

c e n t r a l i ' e r e s p e c t i v o s j u n t o r e s de s a í d a da c e n t r a l i e e n t r a d a n a c e n t r a l i

'

; e , p a r e s d e f i o s de cabo que conectam a q u a d r í c u l a j'

5

c e n t r a l i ' e r e s p e c t i - vos d i s p o s i t i v o s de l i g a ç ã o d e s s e s p a r e s

2

c e n t r a l , conforme m o s t r a a F i g . 8.

FIG. 8

Denomina-se " r e d e de a s s i n a n t e s " a p a r t e do s i s t e m a cons

_-

ti t u i d a dos equipamentos que ligam os a s s i n a n t e s

2s

c e n t r a i s a s q u a i s e s t ã o f i l i a d o s , e denomina-se " r e d e de junção" a p a r t e do s i s t e m a c o n s t i t u í d a dos equipamentos que i n t e r l i g a m a s c e n t r a i s .

A h i p ó t e s e a d o t a d a , das c e n t r a i s serem l i g a d a s d i r e t a - mente ( n ã o s e c o n s i d e r a a e x i s t ê n c i a de c e n t r a i s tandem), é c a l c a d a n a predominância do c u s t o d a r e d e de a s s i n a n t e s s o b r e o c u s t o da re de de junção. Rapp [7] r e p o r t a que a u t i l i z a ç ã o d e s t a h i p ó t e s e não a l t e r a s u b s t a n c i a l m e n t e a c o n f i g u r a ç ã o f i n a l da r e d e . '

Considera-se um Único g r a u de s e r v i ç o G , i s t o

é,

a per- da de t r á f e g o máxima a d m i s s i v e l p a r a q u a l q u e r l i g a ç ã o e n t r e cen- t r a i s ( v i d e a p ê n d i c e 111). E s s a s l i g a ç õ e s s ã o s u p o s t a s f e i t a s a t r a - vés de meios u n i d i r e c i o n a i s , u t i l i z a n d o o mesmo t i p o de cabo.

Cada c e n t r a l

-

i

é

s u p o s t a t e r uma c a p a c i d a d e mínima

-

n ( i )

,

n ( i ) E N , e máxima

n

( i )

,

n

( i ) EN

,

de a s s i n a n t e s a e l a f i l i a d o s .

-

A p a r t e da r e d e i n t e r n a 2s q u a d r í c u l a s não f o i l e v a d a em c o n t a .

E

a d m i t i d a c o n s t a n t e .

1 1 . 2

-

v a r i á v e i s do Modelo

O problema pode s e r r e p r e s e n t a d o p o r um modelo matemáti

-

co c o n s t i t u í d o de duas f a m í l i a s de v a r i á v e i s ,que e s t a b e l e c e m r e s p e c

-

t i v a m e n t e o esquema de f i l i a ç ã o d a s q u a d r í c u l a s e a l o c a l i z a ç ã o das c e n t r a i s . S e j a J , J C N , o c o n j u n t o das q u a d r í c u l a s e 1 , I C N o conjun

-

t o d a s c e n t r a i s . Define-se

-

e ( i , j )

,

v a r i á v e l r e l a t i v a à f i l i a ç ã o da q u a d r í c u l a j a c e n t r a l i , i e I e j & J . A v a r i á v e l de f i l i a ç ã o e ( i , j ) = l , se a q u a d r í c u l a j se f i l i a

5

c e n t r a l i , e

é

n u l a em c a s o c o n t r á r i o . Define-se l ( i )

,

v a r i á v e l r e l a t i v a à l o c a l i z a ç ã o da c e n t r a l i , ~ E I . A v a r i á v e l 1 ( i ) = j s e a c e n t r a l i s e l o c a l i z a n a q u a d r í - c u l a j .

Criam-se também duas f a m í l i a s d e v a r i á v e i s a u x i l i a r e s , p a r a f a c i l i t a r a manipulação do modelo: a ( i , i 1 )

,

t r á f e g o o r i g i n a d o n a c e n t r a l i d e s t i n a d o à cen

_-

t r a l i ' , i ~ 1 , i l c I . n ( i , i 1 )

,

números de meios de t r a n s m i s s ã o d a c e n t r a l i p a r a a c e n t r a l i ' , d e s t i n a d o s à condução de a ( i , i l ) , i & I , i ' ~ 1 . É t o

_-

mado como sendo um número r e a l não n e g a t i v o .

A s e x p r e s s õ e s a b a i x o r e l a c i o n a m a s v a r i á v e i s p r i n c i p a i s

às

v a r i á v e i s a u x i l i a r e s :

onde E-' ( a , ~ ) r e p r e s e n t a a função i n v e r s a de E r l a n g ( v i d e apêndice 111).

1 1 . 3

-

unção

O b j e t i v o

A função o b j e t i v o r e t r a t a o c u s t o t o t a l d a r e d e i n c i d e n

_-

t e no p e r í o d o em e s t u d o , supondo que a á r e a urbana

é

v i r g e m , i s t o

é,

não p o s s u i equipamentos i n s t a l a d o s . E s t e c u s t o r e s u l t a da soma de 3 p a r c e l a s : c u s t o de comutação e t r a n s m i s s ã o da r e d e de a s s i n a n t e s (Z1)

,

c u s t o de edificação-terreno-energia das c e n t r a i s ( Z ) e c u s t o 2 de comutação e t r a n s m i s s ã o da r e d e de junção ( Z )

.

3 Definindo

a1 ( d )

-

Custo p o r unidade de comprimento d a l i g a ç ã o de um a s s i n a n t e p e r t i n e n t e a uma q u a d r í c u l a d i s t a n

_-

t e d da q u a d r í c u l a onde s e s i t u a a

_-

c e n t r a l a que e s t á f i l i a d o . uma função do t i p o s u g e r i d o n a F i g . 9

a; ( i )

-

Custo f i x o d e comutação r e f e r e n t e

2

c e n t r a l i ~ 1 .

-

$(i)

-

C u s t o d e comutação d e um a s s i n a n t e f i l i a d o a c e n t r a l i & I . a; ( i )

-

Custo f i x o de e d i f i c a ç ã o - e n e r g i a r e f e r e n t e

5

cen

_-

t r a l i ~ 1 . a3 ( i )

-

Custo de e d i f i c a ç ã o - e n e r g i a r e f e r e n t e

5

f i l i a - ç ã o de um a s s i n a n t e

5

c e n t r a l i s I . a4 ( s )

-

Custo d a unidade d a á r e a de t e r r e n o d a s q u a d r í - c u l a s p e r t e n c e n t e s zona S E S .

a5 ( d )

-

Custo p o r u n i d a d e d e comprimento de um meio u n i

_-

d i r e c i o n a l de l i g a ç ã o e n t r e c e n t r a i s l o c a l i z a - d a s e m q u a d r í c u l a s d i s t a n t e s d. uma f u n ç ã o do t i p o mostrado n a F i g . 9 .

a ( i , i l )

-

Custo de comutação da c e n t r a l i s I

5

c e n t r a l 6 i's I

.

y l ( i )

-

Area f i x a de t e r r e n o n e c e s s á r i a à l o c a l i z a ç ã o da c e n t r a l i s I . y W ( i )

-

Area n e c e s s á r i a à f i l i a ç ã o de cada a s s i n a n t e à c e h t r a l i s I . As j e t i v o Z1, z 2 f

expressões abaixo relacionam as p a r c e l a s da função ob

_-

Z 3 às v a r i á v e i s do modelo:

Deseja-se minimizar Z = Z +Z + Z

1 2 3 ' s u j e i t o às r e s t r i ç õ e s

que são apresentadas a s e g u i r .

A s r e s t r i ç õ e s impostas às v a r i á v e i s e ( i , j ) e 1 ( i ) são as seguintes : ( i ) Pela d e f i n i ç ã o da v a r i á v e l de f i l i a ç ã o , e ( i , j ) ~ { O , l } , v ~ E I , Vj&J ( i i ) ~ e l à - d e f i n i ç ã o da v a r i á v e l de l o c a l i z a ç ã o , 1 ( i ) E L ,

-

V i & I onde L C J

é

o conjunto das quadrículas onde e p o s s í v e l l o c a l i z a r c e n t r a i s .

(iii) Cada quadrícula s e f i l i a a uma única centr,al:

( i v ) A cada c e n t r a l

s ó

é

p o s s í v e l f i l i a r - s e a s s i n a n t e s , , c u j a soma s e s i t u e nos l i m i t e s de sua capacidade:

O modelo d e f i n i d o supõe um número f i x o de c e n t r a i s . P a r a s e d e t e r m i n a r o número Ótimo d e c e n t r a i s do s i s t e m a , v a r i a - s e a # I e , a cada a l t e r n a t i v a d e número de c e n t r a i s , determina-se a s o l u ç ã o &i

_-

ma dada p e l o modelo. Escolhe-se e n t ã o a a l t e r n a t i v a que c o r r e s p o n d a ao menor v a l o r da função o b j e t i v o . O problema s e a p r e s e n t a g r a f i c a - mente conforme a f i g u r a 1 0 .

A modelagem r e s u l t o u em um problema de programação não l i n e a r i n t e i r a . Devido ao grande número de v a r i á v e i s e d e v i d o

5

i n e x i s t ê n - c i a de um a l g o r i t m o capaz de g a r a n t i r a convergência p a r a uma s o l u - ção Ótima de maneira e f i c i e n t e , optou-se p o r um procedimento de de- composição e x p o s t o no a p ê n d i c e 11.

O procedimento c o n s i s t e em, p a r t i n d o - s e de uma s o l u ç ã o i n i - c i a l c u j a obtenção s e r á d e s c r i t a e m 111.1, r e s o l v e r a l t e r n a d a m e n t e os s e g u i n t e s subproblemas: Subproblema 1: f i x a d a s a s v a r i á v e i s de l o c a l i z a ç ã o

-

1, determinam-se as v a r i á v e i s de f i l i a ç ã o que minimizam S s u j e i t o à s r e s t r i c õ e s ( i )

,

(iii) ( i v )

.

Subproblema 2 : f i x a d a s a s v a r i á v e i s de f i l i a ç ã o

-

e , determinam-se a s v a r i á v e i s de l o c a l i z a ç ã o 1 que minimizam & s u j e i t o à r e s t r i ç ã o ( i i )

.

O p r o c e s s o

é

r e p e t i d o a t é e n c o n t r a r - s e uma s o l u ç ã o ( e ,1 ) de P P v a l o r Z que é um mínimo l o c a l p a r a o problema ( o e s t u d o d a conver

0 '

-

L

111.1

- -

~ o l u ç ã o I n i c i a l

O método de decomposição e x i g e que s e d i s p o n h a de uma s o l u ç ã o de p a r t i d a . Recorre-se

5

predominância do c u s t o d a r e d e de a s s i n a n t e s em r e l a ç ã o ao c u s t o da r e d e de junção, p a r a o b t e r - s e , de modo e f i c i e n t e , uma s o l u ç ã o i n i c i a l "próxima" da s o l u ç ã o Ótima.

O p r o c e s s o c o n s i s t e em f i x a r uma l o c a l i z a ç ã o i n i c i a l q u a l q u e r p a r a a s c e n t r a i s l0 ( i )

,

i a 1 e minimizar

sendo s u j e i t o a ( i ) , ( i i )

,

( i v ) , onde

Devido

6

f i x a ç ã o do número e da l o c a l i z a ç ã o das cen- t r a i s , o s c u s t o s f i x o s s ã o c o n s t a n t e s e p o r t a n t o não s ã o c o n s i d e r a - dos. O c u s t o d a r e d e de junção

é

desprezado n a obtenção d a s o l u ç ã o i n i c i a l .

O modelo acima c a r a c t e r i z a um problema de programação l i n e a r i n t e i r a . P a r a r e s o l v ê - l o , a r e s t r i ç ã o ( i )

é

r e l a x a d a e s ã o c r i a d a s v a r i á v e i s a u x i li a r e s x ( i , j ) = v ( j ) . e ( i , j )

,

i a 1 , j & J I n t r o d u z i n d o e s s a s v a r i á v e i s no modelo e desprezando s u a s i n t e i r e z a s , chega-se a o s e g u i n t e problema: ( P ) min z"= C C a ( i , j ) . x ( i , j ) ~ E I ~ E J s u j a C x ( i , j ) = ~ ( j )

,

V j & J = { l , .

..

,m} i ~ 1 (1) n ( i ) s . Z

-

x ( i , j ) & ( i )

,

V i & I = { l , . . . , n l J E J ( 2 ) x ( i , j ) > O , V i e I , VjaJ ( 3 ) O problema ( P )

é

um problema de t r a n s p o r t e g e n e r a l i z a

-

do [2]

.

Como

n,

-

n , E Z

,

s e (P) a d m i t i r s o l u ç ã o , a s o l u ç ã o Ótima

s e r á i n t e i r a [ 4 ] . P a r a c o l o c a r ( P ) numa forma padrão u t i l i z a - s e a s e g u i n t e t r a n s f o r m a ç ã o [ 2 ] :

n ( i )

,

i = l , n

-

n ( i ) = C

-

n ( i ) -n

_-

( i )

,

i = n + l , 2n x ( i , j ) = x l ( i , j ) + x l ( i + n , j )

,

V i = l , n , Vj=l,m a ' ( i + n , j ) = a ' ( i , j ) = a ( i , j )

,

V i = l , n , Vj=l,m E s s a t r a n s f o r m a ç ã o g e r a o problema e q u i v a l e n t e ( P

'

) 2n n ( P i ) min z " = C C a ' ( i , j ) . x l ( i , j ) i=l j = l 2n s u j a C x ' ( i l j ) = q ( j )

,

Vj=lm i=l x ' ( i , j ) > 0 , V i = 1 , 2 n , V j = l , m P a r a t o r n a r a s d e s i g u a l d a d e s ( 2 ' B ) e m i g u a l d a d e s , ado

_-

t a - s e a s e g u i n t e t r a n s f o r m a ç ã o [2] :

Dessa m a n e i r a , obtém-se uma forma ~ a d r ã o d e um p r o b l e _- ma de t r a n s p o r t e s : 2n m + l ( P i i ) min z l ' = C C a " ( i , j ) . x " ( i , j ) i=l j = l s u j a C x" ( i , j ) =q ( j )

,

V j = l l m + l i=l

x" ( i , j ) > O , Vi=1,2n, Vj=l,m+l ( 3 " )

Rara que o problema ( P " ) t e n h a s o l u ç ã o , a s r e l a ç õ e s abaixo devem s e r s a t i s f e i t a s

O problema ( P " )

é

r e s o l v i d o usando-se o a l g o r i t m o de Hitchcock [ 4 ]

.

P a r a s e o b t e r a s o l u ç ã o x* ( i , j ) do problema ( P )

,

a p a r t i r da s o l u ç ã o x U * ( i , j ) do problema ( P " )

,

r e c o r r e - s e

2

equação

A s o l u ç ã o Ótima o b t i d a s e r á sempre i n t e i r a [ 4 ] . Como a r e s t r i ç ã o ( i ) f o i r e l a x a d a , p a r a que a s o l u ç ã o i n i c i a l s e j a v i á v e l é n e c e s s á r i o que cada q u a d r í c u l a j e s t e j a a s s o c i a d a a uma Única cen

-

t r a l , i s t o

é,

x* ( i , j ) >O p a r a uma Única c e n t r a l i . Quando t a l não o c o r r e , d i z - s e que a q u a d r í c u l a e s t á p a r t i c i o n a d a .

Uma q u a d r í c u l a p a r t i c i o n a d a corresponde a uma s o l u ç ã o t a l que a r e s t r i ç ã o ( 2 )

é

a t i v a p a r a uma das c e n t r a i s n a q u a l e l a s e f i l i a , i s t o

é,

s e

5

e s t á p a r t i c i o n a d a , e n t ã o e x i s t e

7

t a l que

S e j a v ( i ) a v a r i á v e l d u a l c o r r e s p o n d e n t e à r e s t r i ç ã o ( 2 ) e u ( j ) a v a r i á v e l d u a l correspondente

2

r e s t r i ç ã o (1)

.

S e j a

O a l g o r i t m o de Hitchcock geralmente f i l i a uma q u a d r i - c u j a

3

a uma Única c e n t r a l il. Quando e s t a c e n t r a l tem s u a c a p a c i d a

-

de e x a u r i d a , a q u a d r í c u l a

7

f i c a p a r t i c i o n a d a e n t r e i e o u t r a s cen

1

-

t r a i s que possuem alguma f o l g a na s u a capacidade. Aproveita-se en- t ã o e s s a f o l g a , p a r a t e n t a r f i l i a r a q u a d r í c u l a

5

a alguma o u t r a c e n t r a l i ₂ N o caso da q u a d r í c u l a e s t a r p a r t i c i o n a d a e n t r e a s cen '

-

t r a i s i e i temos e n t ã o o s e g u i n t e aumento de c u s t o p o r a s s i n a n - 1 2 ' t e :

l o g o ~ a v e r á e n t ã o um acréscimo d e c u s t o de v ( i ) . x ( i

,3)

1 1

-

Caso a f o l g a d a c e n t r a l i 2 s e j a i n f e r i o r a x ( i l

,

j )

,

r e c o r r e - s e a degeneração d a s o l u ç ã o p a r a aumentar-lhe a f o l g a , d e mo

-

do a s e r p o s s i v e l f i l i a r - l h e a q u a d r í c u l a

3.

P a r a i s s o , tome j t a l que : Trocam-se os f l u x o s em i 2 e i ' p a r a x ( i 2 , j ) = O t x ( i ) = q ( j ) (sem mudar o c u s t o da s o l u ç ã o ) . Dessa m a n e i r a , a f o l g a da c e n t r a l i2 f i c a aumentada de q ( j ) . Se s u a nova f o l g a j á f o r maior que x ( i l , j )

,

f i l i a - s e

3

a e l a . Se n ã o , toma-se o u t r a q u a d r í c u l a com a s p r o p r i e d a d e s acima, de modo

-

a aumentar s u a f o l g a a t é que e l a s u p e r e x ( i l , j )

.

Embora não s e p o s s a g a r a n t i r que i s s o sempre s e j a pos v

s í v e l

,

devido

5

pequena percentagem de q u a d r í c u l a s p a r t i c i o n a d a s n a s o l u ç ã o (menos de 0 , 5 % , quando a degeneração

é

da ordem de 5 % ) não

é

n e c e s s á r i o maiores preocupações. A f i l i a ç ã o das q u a d r í c u l a s p a r t i

-

c i o n a d a s a uma Única c e n t r a l tem p e s o d e s p r e z í v e l no c u s t o d a s o l u - ç ã o , não i n f l u i n d o na s u a o t i m a l i d a d e .

O procedimento que s e segue u t i l i z a o s c o n c e i t o s a c i - ma, p a r a o b t e r uma s o l u ç ã o i n i c i a l . v i á v e l . P 1 : Determine: J ' C J , c o n j u n t o das q u a d r í c u l a s c o r r e s p o n d e n t e s 2s s o

-

l u ç õ e s degeneradas J N C J ' , c o n j u n t o d a s q u a d r í c u l a s p a r t i c i o n a d a s I ' C 1

,

c o n j u n t o d a s c e n t r a i s c o r r e s p o n d e n t e s

2s

s o l u - ções degeneradas

~2 : C a l c u l e

f

( i )

=n

( i )

-

C x* ( i , j )

,

V i c I

'

( f o l g a s u p e r i o r das c e n t r a i s ) j & J

f ( i ) = C x* ( i , j ) -n ( i )

,

V i c I

'

( f o l g a i n f e r i o r d a s c e n t r a i s )

-

-

j e J

P3: Ache i

'

t a l que ? ( i

'

) =max

f

( i )

,

( c e n t r a l de maior f o l g a s u p e r i o r i ~ 1

'

em I ' )

f a ç a x * ( i ' , j " ) = q ( j l ' ) , ~ * ( i , j ~ ~ ) = O , i f i ' e vá p a r a P 4 .

Se não houver j " s a t i s f a z e n d o a s condições acima, vá p a r a P5.

P4: Reformule J ' , J 1 ' , I ' . Se JI1=g, v á p a r a P 6 , s e n ã o vá p a r a P 2 . P5: Tome j ' e J 1 t a l que x * ( . i l , j ' ) > O . Faça x ' ( i 1 , j ' ) = 0 , coloque o £ l u

-

xo numa c e n t r a l e m que e s t a q u a d r a se d e g e n e r a e v01

-

t e a P 2 .

P6: P a r a cada j & J t a l que n ( j ) > O , v a r i e i & I : s e x * ( i j ) = ( j )

,

f a ç a e o ( i , j ) - = l s e x * ( i , j ) = O

,

f a ç a e o ( i , j ) = O

Dessa maneira obtém-se uma s o l u ç ã o i n i c i a l (eo lo

1

" b a s t a n t e boa". convém o b s e r v a r que a l o c a l i z a ç ã o i n i c i a l das cen- t r a i s f o i a r b i t r a d a . T a l f a t o não a c a r r e t a grandes problemas ,porque o a l g o r i t m o d e s o l u ç ã o depende fracamente d e s t a l o c a l i z a ç ã o i n i - c i a l , de a c o r d o com e x p e r i ê n c i a s numéricas que s e r ã o d e s c r i t a s pos- t e r i o r m e n t e .

1 1 1 . 2

-

Solução do Subproblema 1 ( ~ e f i l i a ç ã o de a s s i n a n t e s )

N e s t e subproblema, d e s e j a - s e minimizar Z s u j e i t o

5

( i ) , ( i i i )

,

( i v )

,

onde a v a r i á v e l 1

é

f i x a d a . Devido ao grande nÜme

-

r o de v a r i á v e i s b i v a l e n t e s e à não l i n e a r i d a d e de Z , r e c o r r e - s e a um método denominado dos c u s t o s i n c r e m e n t a i s [l]

.

Define-se z

.

( j ) como c u s t o - i n c r e m e n t a l de f i l i a ç ã o dos

a s s i n a n t e s d a q u a d r í c u l a j

5

c e n t r a l i . E s s e c u s t o compõe-se de: 1) a c r é s c i m o d e meios de l i g a ç ã o d a c e n t r a l i 5 s demais c e n t r a i s 2 ) decréscimo d e meios d e l i g a ç ã o d a c e n t r a l

i,

5

q u a l a q u a d r í c u l a j a t u a l m e n t e s e f i l i a ,

5s

demais c e n t r a i s 3) l i g a ç ã o e comutação d a q u a d r í c u l a j

5

c e n t r a l i 4 ) edificação-energia-terreno c o r r e s p o n d e n t e

5

c e n t r a l i c o n s i d e r a - d a ( v i d e F i g . 11). Pode-se e x p r e s s a r e s t e c u s t o do s e g u i n t e modo: A n ( i l , i 2 )

é

o a c r é s c i m o de meios d e i p a r a i

,

quando o s a s s i n a n - 1 2 t e s d a j s ã o f i l i a d o s

2

c e n t r a l i Note-se q u e , c a s o 1 ' i=: n a e x p r e s s ã o d e z i ( j )

,

OS d o i s s o m a t õ r i o s se anulam. P a r a se c a l c u l a r esse a c r é s c i m o d e meios, u s a - s e a e x

_-

p r e s s ã o O termo a ( i i )

é

o a c r é s c i m o de t r á f e g o de i p a r a 1' 2 1 i quando o s a s s i n a n t e s d a q u a d r í c u l a j s ã o f i l i a d o s

5

c e n t r a l i 2 ' 1 :

P a r a c a l c u l a r a d e r i v a d a

-

a n como não há uma f ó r m u l a a a f

Cada d e r i v a d a acima

é

c a l c u l a d a usando a s e x p r e s s õ e s a p r e s e n t a d a s no apêndice I11 :

a

?E=--

( a --)- 2 ( n + a ) E n

an 2Jn O n 2n ( g - l + E )

,

onde a o , al

,

a2 s ã o funções do p a r â m e t r o c- a-n

_-Ti

2 3

a, ( C ) =2/3+c /3-ao ( c )

.

c /3

A s funções acima também s ã o usadas p a r a s e o b t e r uma equação que r e l a c i o n a n , a , G:

F a r a d e t e r m i n a r o v a l o r de n que s a t i s f a z a equação acima, p a r t i n d o - s e do v a l o r n = a , i s t o

é,

c=O

,

u s a - s e o método de Newton Raphson, a p r o v e i t a n d o - s e a e x p r e s s ã o da d e r i v a d a aE/an. Esse método converge em, no máximo, 3 i t e r a ç õ e s , sendo b a s t a n t e r á p i d o .

U t i l i z a n d o - s e a s e x p r e s s õ e s a n t e r i o r e s , pode-se c a l - c u l a r o c u s t o i n c r e m e n t a l z . ( j ) . Diz-se que a q u a d r í c u l a j

é

poten-

1 -

c i a l m e n t e r e f i l i á v e l , s e o min z . ( j ) f o r menor que z ~ ( j ) . Devido

5

r e s t r i ç ã o ( i v )

,

nem t o d a s a s q u a d r í c u l a s que atendem a e s t a r e l a ç ã o podem s e r r e f i l i a d a s

.

Adota-se e n t ã o o s e g u i n t e procedimento:

PO: Obtenha J o c o n j u n t o das q u a d r a s p o t e n c i a l m e n t e r e f i l i á v e i s , 1

'

e I o c o n j u n t o das c e n t r a i s c o r r e s p o n d e n t e s a e s t a s q u a d r i - 1

'

c u l a s

.

-

P l : C a l c u l e f ( i ) =;(i)- C V ( j ) . e ( i , j ) , i & I ( f o l g a s u p e r i o r a cen-

j s J 1 t r a l i )

-

i C V j . e ( i , ) - i i ( f o l g a i n f e r i o r a cen-

-

-

j & J t r a l i ) Determine i l & I 1 de modo que

f

( i ) = m a x ? ( i )

i & I 1

P 2 : Determine j l & J 1 d e modo que z ~ ( j " ) - z . ( j l ) = m a x z - z i

02

1 1 1

j&J1

Se não houver j 1 & J 1 que s a t i s f a ç a

5

condição acima, v ã p a r a P 3 , c a s o c o n t r á r i o f a ç a e ( i , j l ) = O , e ( ? , j l ) = l .

P3: Reformule J1 e I Se J

=%

ou I

=%,

p a r e , c a s o c o n t r á r i o v o l t e

1' 1 1

a P 1 .

O p a s s o 1 v i s a o melhor a p r o v e i t a m e n t o d a s f o l g a s su- p e r i o r e s das c e n t r a i s i s I que s ã o g e r a l m e n t e bem menores que a s i n

1

-

f e r i o r e s

.

O p a s s o 2 v i s a , a cada r e f i l i a ç ã o , o b t e r - s e o maior ganho p o s s í v e l , r e f i l i a n d o - s e uma q u a d r í c u l a

5

c e n t r a l e s c o l h i d a no p a s s o a n t e r i o r . O p a s s o 3 v i s a , a cada r e f i l i a ç ã o , retomar o p a s s o 1, c a s o a i n d a hajam q u a d r í c u l a s r e f i l i á v e i s a c e n t r a i s que tenham f o l - g a s s u f i c i e n t e s p a r a que e s t a s s e r e f i l i e m .

Devido

5

pequena p a r c e l a de q u a d r í c u l a s potencialmen- t e r e f i l i á v e i s , em r e l a ç ã o ao número t o t a l de q u a d r í c u l a s , o proce- dimento acima p e r m i t e o b t e r - s e uma s o l u ç ã o aproximada p a r a o s u b p r o

-

blema 1.

111.3

-

s o l u ç ã o do Subproblema 2 (Movimento d e c e n t r a i s )

Nesse subproblema, d e s e j a - s e minimizar Z s u j e i t o a ( i i )

,

onde a v a r i á v e l - e e s t á f i x a d a .

E s s e subproblema de programação não l i n e a r i n t e i r a

6

r e s o l v i d o u t i l i z a n d o - s e , também, um método de decomposição, que con

-

s i s t e em f i x a r a l o c a l i z a ç ã o de t o d a s a s c e n t r a i s , e x c e t o uma, e de

-

t e r m i n a r a l o c a l i z a ç ã o Ótima d e s t a c e n t r a l d e n t r o de s u a á r e a de i n

-

f l u ê n c i a . E s t e p r o c e s s o é r e p e t i d o s e q u e n c i a l m e n t e a t é que nenhuma c e n t r a l a l t e r e s u a l o c a l i z a ç ã o .

O c u s t o e n v o l v i d o na movimentação da c e n t r a l i , c o n s i

-

derando a s demais f i x a d a s ,

é

dado p o r

P a r a cada c e n t r a l i e I , e p a r a cada q u a d r í c u l a 1 . p e r - 1 t e n c e n t e a i n t e r c e s s ã o da v i z i n h a n ç a de c e n t r o n a l o c a l i z a ç ã o a t u a l

-

d e s t a c e n t r a l , l i , e de r a i o E (número d e q u a d r i c u l a s em cada d i r e - ç ã o )

,

com s u a á r e a de i n f l u ê n c i a ( L ( i ) ) c a l c u l a - s e z ( l i )

.

E Se min z ( l i ) < z ( l i )

,

licLE ( i ) movimenta-se a c e n t r a l i p a r a a q u a d r í c u l a l ( i ) = l

.

i O c á l c u l o d e n ( i , i l )

é

f e i t o u t i l i z a n d o - s e a s f u n ç õ e s

a a a 2 d e f i n i d a s n a s e ç ã o 1 1 1 . 2 , e a equação 0 ' 1' 1

-1

=ao ( C ) &+al ( c ) + a 2 ( C )

//h

E E=G como no subproblema 1.

~ x p e r i ê n c i a s numéricas r e a l i z a d a s mostraram que de- p o i s de uma v a r r e d u r a nas c e n t r a i s , não h á a l t e r a ç õ e s nas l o c a l i z a -

111.4

-

c o n v e r g ê n c i a

O método de decomposição adotado g e r a u m a s e q u ê n c i a d e s o l u ç õ e s (10 , e 0 )

,

l l e

. . .

,

e ) de c u s t o s d e c r e s c e n t e s , _que

r

convergem a m a s o l u ç ã o c u j o c u s t o pouco d i f e r e do c u s t o da s o l u ç ã o Ótima. Embora não s e j a p o s s í v e l t e o r i c a m e n t e que e s t e s e j a um míni- mo g l o b a l , e x p e r i ê n c i a s f e i t a s com v á r i a s s o l u ç õ e s i n i c i a i s levaram

sempre

à

mesma s o l u ç ã o f i n a l , v a r i a n d o apenas o número de i t e r a ç õ e s

.

O número máximo de i t e r a ç õ e s n e c e s s á r i a s p a r a se o b t e r um mínimo,em e x p e r i ê n c i a s

já

f e i t a s , f o i de c i n c o .

P a r a a s o l u ç ã o i n i c i a l , a q u a l d e s p r e z a o c u s t o d a

r 2

de de junção, g a r a n t e - s e o t i m i c i d a d e . A d i f e r e n ç a de c u s t o d e s s a s o

_-

l u ç ã o p a r a a s o l u ç ã o f i n a l

é

da ordem de 1 0 % . Pode-se c o n c l u i r , en- t ã o , que a s o l u ç ã o g e r a d a p e l o a l g o r i t m o s e aproxima, em r e l a ç ã o a o c u s t o , da s o l u ç ã o ótima. O método h e u r í s t i c o , adotado na s o l u ç ã o do s u b p r o b l e -

-

ma 1, a p o i a - s e no f a t o de q u e , f i x a d a s a s v a r i á v e i s t i p o 1, s Õ e p o s s í v e l d i m i n u i r Z r e f i l i a n d o - s e a s s i n a n t e s . O c u s t o _{zi ( j ) -zI ( j )} r e t r a t a o ganho no s i s t e m a a o r e f i l i a r - s e a q u a d r í c u l a j à c e n t r a l i . O procedimento d e s c r i t o v i s a o b t e r r e f i l i a ç õ e s que diminuam Z . E s t e procedimento l e v a

5

c o n f i g u r a ç ã o em que não

é

p o s s í v e l h a v e r

r e f i l i a ç õ e s que diminuam a função o b j e t i v o .

O método de decomposição adotado n a s o l u q ã o do s u b p r o

-

blema 2 , ao f i x a r - s e a v a r i á v e l

-

e , c o n s i s t e em v a r i a r sequencialmen

_-

t e a l o c a l i z a ç ã o de uma c e n t r a l f i x a n d o a l o c a l i z a ç ã o das demais. A cada i t e r a ç ã o , v a r i a - s e a l o c a l i z a ç ã o de uma c e n t r a l i -na i n t e r c e s - s ã o de s u a á r e a de i n f l u ê n c i a com uma v i z i n h a n ç a d e r a i o E (número

de q u a d r í c u l a s em cada d i r e ç ã o ) . Repete-se o p r o c e s s o a t é c h e g a r - s e a uma s o l u ç ã o em que não

é

d e s e j á v e l movimentar nenhuma c e n t r a l de s u a l o c a l i z a ç ã o a t u a l .

O s d o i s subproblemas s ã o r e s o l v i d o s a l t e r n a d a m e n t e a t é que não hajam a l t e r a ç õ e s em s u a s soluçÕes, quando e n t ã o o p r o c e s s o

I V . l

-

A p l i c a b i l i d a d e do programa

O a l g o r i t m o d e s c r i t o f o i programado numa linguagem a l t o n x v e l ( P L / f ) , podendo a d m i t i r um número q u a l q u e r d e q u a d r x c u l a s e d e c e n t r a i s . Embora o modelo s e a p l i q u e fundamentalmente a áreas urba- n a s v i r g e n s , a c o n s i d e r a ç ã o d e r e s t r i ç õ e s p e r m i t e que se estudem á r e a s em expanszo. Por exemplo:

i ) No c a s o d e já e x i s t i r e m algumas c e n t r a i s i n s t a l a d a s , p o s s i v e l f i x a r s u a s 1 o c a l i z a ç Õ e s .

i i ) Pode-se tambêm f i x a r a â r e a d e i n f l u ê n c i a d e uma ou m a i s cen- t r a i s , i s t o

e ,

a s q u a d r x c u l a s a e l a f i l i a d a s não podem a l t e r a r s u a f i l i a ç ã o

.

iii) Pode-se i m p e d i r a l o c a l i z a ç ã o d e c e n t r a i s e m c e r t a s á r e a s . Is- t o

6

f e i t o a t r i b u i n d o - s e um c u s t o d e t e r r e n o e l e v a d o

8s

q u a d r z c u l a s p e r t i n e n t e s a e s s a á r e a .

Cumpre r e s s a l t a r a i m p o r t â n c i a da e x a t i d ã o dos dados o- f e r e c i d o s ao modelo, no que c o n c e r n e

a

m a t r i z d e a s s i n a n t e s p o r q u a d r f c u l a e

a

matr5z d e i n t e r e s s e d e t r á f e g o p a r a o perxodo e m e s t u - do. F o i comprovado que a s o l u ç ã o g e r a d a p e l o a l g o r i t m o

é

b a s t a n t e s e n s í v e l a e s s e s dados.

A g e n e r a l i z a ç ã o n a t u r a l do problema c o n s i s t e em c r i a r u m modelo de d e c i s õ e s s e q u e n c i a i s p a r a , a o longo do h o r i z o n t e d e e s t u - do, d e f i n i r a expansão da r e d e . P a r a e s t u d a r a expansão da r e d e de a s s i n a n t e s de uma á r e a urbana

é

n e c e s s á r i o c o n s i d e r a r , a cada e t a - p a , a u t i l i z a ç ã o e a d i s p o n i b i l i d a d e de cabos d e s t a r e d e , d e v i d o a o remanejamento e ao a p r o v e i t a m e n t o de cabos que ocorrem quando

é

f e i

_-

t o um c o r t e de á r e a , i s t o

é,

quando q u a d r í c u l a s passam a s e f i l i a r a uma c e n t r a l a n t e r i o r m e n t e i n e x i s t e n t e ( v i d e f i g u r a 11). A q u a n t i - f i c a ç ã o d e s s e s f a t o r e s e x i g i r i a que o modelo c o n s i d e r a s s e de manei- r a mais d e t a l h a d a a g e o m e t r i a da r e d e de a s s i n a n t e s .

O

grande n h e r o de informações necessárias para caracte

-

rizar cada possfvel configuração do sistema e a investigação dessas

posszveis configurações, a cada etapa, torna diffcil

um tratamento

eficiente desse problema. ~stá-se

est-dando uma alternativa a esse

enfoque, que utiliza certos coeficientes de aproveitamento de cabos,

em função da posição relativa das centrais.

A

caracterização de uma

dada configuração

é

feita em termos do número de mÕdulos de equipa-

mentos de comutação (n? de terminais, n? de juntores de entrada e

de saida) de cada central.

~ p ê n d i c e I

-

~ x p e r i ê n c i a Computacional

Neste apêndice a p r e s e n t a - s e um e s t u d o f e i t o n a CTB, em uma á r e a que p o s s u i duas c e n t r a i s i n s t a l a d a s e n a q u a l d e s e j a v a - s e f a z e r um p l a n e j a m e n t o p a r a 1990. P a r a t a l u t i l i z o u - s e o programa c i

-

t a d o , mantendo e s t a s duas c e n t r a i s f i x a s em cada um dos s e g u i n t e s c a s o s : i n s t a l a r mais uma, mais d u a s , mais

t r ê s

ou mais q u a t r o cen- t r a i s . A á r e a r e t i c u l a d a em 720 q u a d r í c u l a s com dimensões i g u a i s a 0,35km p o r 0,35km.

Na t a b e l a a b a i x o , a p r e s e n t a - s e o c u s t o da r e d e c o r r e s - pondente à s o l u ç ã o Ótima o b t i d a em cada a l t e r n a t i v a :

n? c e n t r a i s c u s t o da r e d e ( C r $ ) 3 638 032 384,OO 4 6 2 6 771 200,OO O s c u s t o s a p r e s e n t a d o s não r e t r a t a m o c u s t o r e a l de i n

_-

v e s t i m e n t o devido a e x i s t ê n c i a de p a r t e da r e d e . A p r e s e n t a - s e , em cada a l t e r n a t i v a , o r e l a t ó r i o de s a í d a do programa, onde a cada i t e r a ç ã o imprime-se uma m a t r i z de f i l i a ç ã o de a s s i n a n t e s , n a q u a l a cada q u a d r í c u l a a s s o c i a - s e o número de cen

_-

t r a l

à

q u a l e l a s e f i l i a . Na q u a d r í c u l a onde e s t á l o c a l i z a d a a cen-

t r a l i a p a r e c e o simbolo * i . A s e g u i r , imprime-se o n h e r o de a s s i - n a n t e s f i l i a d o s a cada c e n t r a l e o c u s t o da r e d e c o r r e s p o n d e n t e . De

_-

v i d o à não convexidade da f u n ç ã o o b j e t i v o , o s c u s t o s corresponden- t e s à s o l u ç ã o de cada subproblema não s ã o n e c e s s a r i a m e n t e d e c r e s c e n

_-

t e s , porém, a cada i t e r a ç ã o , i s t o

é,

a cada s o l u ç ã o c o n s e c u t i v a dos subproblemas 1 e 2 , o s c u s t o s s ã o d e c r e s c e n t e s .

- - - - --- -- 34 C A R A C T E R I S T f C A S DAS

CENTRAIS

-. -. - -

C P F i C I C A D E

D A S C E k T R A Z S -- -- - - C E N T F f \ i L I M I T E I N F Ç R I O P L f%f 7E SUPERIOR 1 - --- -- -- 16000 - 40011f3 - - -- - - -- . .-.---A - -- 2 10000 46006 a d l.0600 45800 4 - -- - 10000 -- -- -- -- 50000 --- -- - -- -

--- -

C L E I C E € P A R E S P O R U N I D A D E C E C C N P R I M E N T C

T P P f E G t E N T R E P S S I h A N T E S POR F C N A S 1 F A T G R

D E

ESCALA DE 1 - C O E - 0 8 3

- - - 3 9 - -- --

ia,

ALTERNATIVA: 6 CENTRAIS

0BS.s AS CENTRAIS 3 E 4 TEM SUAS LOCALIZAÇ~ES FTXADAS

4 2

4 3

CENTRAL 2 NDaASS TNAMTES i8610

CENTRAL 3

NG-ASSfNBNT

ES

3E445

CENTRAL 4 PJO*ASSINAPITES

18725

CENTRAL 5 NO aASSINAMTES 18545

QUADRAS

POTENCIALMENTE

R E F I F T A Y E I S 2 2- 049785+-04 3 1*36882E+66 3 7*64934E+05 3 6*41582E+O6 QUADRAS

REFICXADAS

3 6+4f 58ZE+06 3 f 36%82E+06 3 7*64934E+05

4 5

NOVA FIA TACAB DAS QUADRAS CONSIDERANDO-SE O S CUSTOS

DE

JRANSMI SSAO

E CBWUTACAO

ENTRE

CENTRAI

S

2a. ALTERNATIVA

-

5 CENTRAIS

MESMOS DADOS EXCETO QUANTO AO

NOMERO

DE CENTRAIS E

Às

CAPACIDADES

49 F I C I A L A O I N I C I A L DE A S S I N A N T E S 2 2 2 2 2 l l l l l l l l l f 2 2 2 2 2 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 3 1 1 1 E l J 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 3 l l l l l 2 2 2 2 2 2 5 5 5 * 5 5 5 3 3 3 3 3

5 0

CENTRAL 2 NO.ASSINANIES 2 4 8 4 0

CENTRAL 3 NO.ASSINANTES 457213

C E N T R P t 4 NOS A S S INANTES 34770

C U S T O EA FIL. I N I C I A L 51 I T E R A C A O 1 Q U A D R A S POTENC I A F M E N T E R E F I C P A V E ã S 5 1.877926+05 QUADRAS P E F I L I A D A S 5 1*87792E+05

52

NOVA F I L I ACAO DAS QUADRAS C B N S I D E K A N U U - S E O S ClJSTUS O E T R A M S M I S S A O E COMUTACAO E N T R E C E N T R A I S

5 3

CENTRAL 2 NO.ASSIMANTES 24840

CENTRAL 3 NO. ASSINANTES 4 5 7 2 0

CENTRAL 4 NO.ASSfNANfES 3 4 7 7 0

M O V I M E N T O 1 1 2 C U S T O DP R E F I L i. CENTRAL 1 2 3 4 M U V E M E N T A C A O DAS C E N T R A I S F I X A D ~ S S U A S F I L I A C O E S

QUADRAS K t F I L I A D A S 3 2.187U8fi-Oh 3 l o 1 4 7 b 2 E + Q 0 3 1.14489E+06 3 8 m í 9 9 1 3 € + 0 5 2 5 . 0 5 2 5 9 € + 0 6 2 2 . 3 9 5 6 5 € + 0 6 2 1.79155E+06 1 Y . ! J 1 9 L ' S t + i 5 1 7 m 5 8 4 2 ~ E + U 5 1 4.09956E+05 1 l o 2 5 1 9 5 E + 0 5

56

NOVA F E L I A C A O DAS Q U A D R A S C O N S I D E R A N D O - S E O S C U S T O S D E T R A l t l S M I S S A O E COMUTACAL1 ENTRE C E N T R A I S

CENTRAL 2 N O * A S S I N A N T E S

CENTRAL 3 N O * A S S I N A N T E S 45000

CENTRAL 4

Na.

A S S I N A N f E S 3 7u6 5

M U V I M E N T A C A D DAS C E N T R A I S F I X A D A S SUAS F IC I A C U E S

3a. ALTERNATIVA

-

4 CENTRAIS

E

AS CAPACIDADES

CENTRAL CAPACIDADE INFERIOR CAPACIDADE SUPERIOR

1 20 O00 40 O00

2 20 O00 40 O00

3 30 O00 45 O00

4 30 O00 50 O00

60

Fí

LI

ACAZ! TN I C I AL

DE

ASSIPJ%NT ES

63

CENTRAL 1.

2

Q U A D R A S R E F I C f COAS

CEATRAL 3 ND.ASS INA R T f S 4 4 7 2 5

4a. ALTERNATIVA

-

3 CENTRAIS

MESMOS DADOS EXCETO QUANTO AO NOMERO DE CENTRAIS E

ÀS

CAPACIDADES

CENTRAL CAPACIDADE INEEZIOR CAPACIDADE SUPEFUOR

1 30 O00 50 O00

' 2 30 O00 5 5 O00

3 30 O00 6 0 O00

OBS.: AS CENTRAIS 2 E 3 TEM SUAS LOCALIZAÇÕES FIXADAS

f 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 í 0 'i f. 1 2 13 8 4

15

16 17 18 19 2 0 2 1 2 2 23 3 24 3

CENTRAL

F I L f A C A Q

I N I C I A L DE

ASSINANTES

CENTRAL 2 MO*ASSiNAh?ES

74

NOVA f ILIACcBO C A S QUADRAS

CBNSIOERANDB-SE

O S CUSTuS

DE

fRANSMf SSAO

E

CãMUSACAC ENTRE

CENTRAIS

#BV I MENTACAO DAS C E N T R A I S F I X A D A S

S U A 5

F I L

IACOES

CENí

F A L

L

1

2

CUSTB C B MBV 1

78

~ p ê n d i c e I1

- -

~ e s c r i ç ã o do C y c l i c C o o r d i n a t e Descent Method

O método de s o l u ç ã o adotado n e s t e t r a b a l h o f a z uso de uma t é c n i c a de decomposição denominada " C y c l i c C o o r d i n a t e Descent Method"

,

a s s i m d e s c r i t a p o r Zadeh [ 3 ]

.

Sejam @:SCR"+R e s O c S . Define-se uma s e q u ê n c i a {Sn'n=l , m onde si d i f e r e de no máximo q u a n t o ao v a l o r da s u a i-ésima coordenada, l < i i m . S e j a S , + ~ E S que d i f e r e d e s no máximo

m

q u a n t o a o v a l o r de s u a p r i m e i r a coordenada e que minimize

4

em S , com r e l a ç ã o a t o d o s o s p o n t o s com e s s a p r o p r i e d a d e .

Gera-se a s e q u ê n c i a {s ) i n d u t i v a m e n t e , d a s e g u i n t e ma

n

-

dos p o n t o s de S que d i f e r e m de si no máximo coordenada c o r r e s p o n d e n t e ao r e s t o da d i v i - n e i r a : i ) i c O , e s c o l h a siaS i i ) S e j a Ci o c o n j u n t o q u a n t o ao v a l o r da s ã o de i p o r n a c r e s c i d a de uma unidade. S e l e c i o n a - s e s itlECi

P a r a demonstrar que a s e q u ê n c i a d e f i n i d a acima conver

_-

ge

,

i n t r o d u z - s e a s s e g u i n t e s de£ i n i ç õ e s :

n 1 2 . n

Def.: ( Y s & R ) S = ( S , S , . . . s )

Def. : S C R ~

é

d i t o r e t a n g u l a r sss 3a,B&Rn t a l que

i i i

(VSES) = 2

.

.

l

a É s I r B

Def.: c ( s , s , ~ ) ~ { x E s I

-

( j = . . . i - l i t l . . . , n ) x l = s j } é o c o n j u n t o dos pontos de S que d i f e r e m de s no máximo q u a n t o a o v a l o r da i - é s i m a coordenada.

Def. : : SCR"+R

é

convexa em S em cada coordenada s e e l a

é

c o n t í n u a e convexa e s e p a r a t o d o SES e p a r a todo i = l , .

. .

, n , C$ p o s s u i um Único argumento que a minimiza em C ( s , S , i ) .

Def.: T(C$,S,i) é a t r a n s f o r m a ç ã o de S e m S que a s s o c i a a cada S E §

um Único p o n t o em c ( s , S , i ) que minimiza

4

em C ( s , S , i ) . Pode-se demonstrar o s e g u i n t e teorema: