CÂMPUS CURITIBA
ENGENHARIA ELÉTRICA
ÉVERTON FERNANDES DA CUNHA
IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA EXPERIMENTAL
CAÓTICO: CIRCUITO DE CHUA
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
CURITIBA 2019
IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA EXPERIMENTAL
CAÓTICO: CIRCUITO DE CHUA
Trabalho de Conclusão do Curso de Graduação em Engenharia Elétrica apresentado à disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso 2, do Departamento Acadêmico de Eletrotécnica (DAELT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) como requisito para obtenção do título de Engenheiro Eletricista.
Orientador: PROF. DR. EMILSON RIBEIRO VIANA JUNIOR
Coorientador: PROF. DR. GLAUBER GOMES DE OLIVEIRA BRANTE
CURITIBA 2019
A folha de aprovação assinada encontra-se na Coordenação do Curso de Engenharia Elétrica.
Identificação de um sistema experimental caótico: circuito de Chua
Este Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação foi julgado e aprovado como requisito parcial para a obtenção do Título de Engenheiro Eletricista, do curso de Engenharia Elétrica do Departamento Acadêmico de Eletrotécnica (DAELT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR).
Curitiba, 28 de junho de 2019.
____________________________________ Prof. Antônio Carlos Pinho, Dr.
Coordenador de Curso Engenharia Elétrica
____________________________________ Prof. Marcelo de Oliveira Rosa, Dr.
Responsável pelos Trabalhos de Conclusão de Curso de Engenharia Elétrica do DAELT
ORIENTAÇÃO BANCA EXAMINADORA
______________________________________ Emilson Ribeiro Viana Junior, Dr.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná Orientador
______________________________________ Glauber Gomes de Oliveira Brante, Dr.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná Co-orientador
_____________________________________ Emilson Ribeiro Viana Junior, Dr.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
_____________________________________ Glauber Gomes de Oliveira Brante, Dr.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
_____________________________________ Jose Carlos Pereira Coninck, Dr.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
_____________________________________ Victor Baptista Frencl, Dr.
na minha formação como pessoa e pesquisador e, dentre estes, em especial o meu orientador Emilson por todo o aprendizado e amizade que me foi oferecido.
A realização deste trabalho só foi possível graças a ajuda e apoio de diversas pessoas. Neste espaço expresso meus sinceros agradecimentos a todos que, de alguma forma, participaram deste processo, mesmo que não seja possível citar todos os nomes.
Agradeço, primeiramente, aos meus pais, Valdeci e Haidê, pelo incondicional apoio e suporte em todo o meu percurso até aqui. Reconheço o privilégio de tê-los em minha vida, pois sem eles, as dificuldades enfrentadas seriam ainda maiores.
Agradeço aos meus irmãos, Evandro, por sempre acreditar em mim e por me proporcionar a vivência no meio acadêmico desde cedo, e Diego, por me oferecer a oportunidade de sempre refletir sobre como ser uma pessoa melhor.
Agradeço imensamente ao meu orientador e amigo Emilson Viana (DAFIS, UTFPR-CT) por me fornecer mais do que equipamentos, suporte financeiro e orientação, mas pela amizade, compreensão, apoio emocional, vivência acadêmica e por sempre acreditar na minha capacidade e no meu trabalho. Tanto nossas discussões de trabalho quanto nossos momentos de lazer foram de imensa importância para mim. Com toda certeza, este trabalho não teria sido o mesmo sem sua inestimável participação. Agradeço também desde os puxões de orelha as inúmeras risadas, aprendi muito sobre orientação e amizade nesses anos que passamos juntos e levarei isto para minha vida.
Ofereço meus sinceros agradecimentos ao meu coorientador, Glauber Brante (CPGEI, UTFPR-CT), pelo impagável apoio dado a mim, possibilitando a conclusão deste trabalho. Também agradeço pela orientação e amizade a mim oferecidas e pela oportunidade de aprender com um professor e pesquisador que tanto admiro. Com certeza este tempo que passamos juntos me ajudou também a me formar tanto como pessoa quanto como pesquisador.
Agradeço ao meu orientador de iniciação científica, Marcelo Rosa (DAELT, UTFPR-CT), por me fornecer um local de trabalho, equipamentos, conselhos, financiamentos e diversas discussões importantes durante grande parte da minha graduação, sendo alguém de muita importância na minha formação como pesquisador.
Agradeço ao meu ex-orientador, Elder Oroski (DAELT, UTFPR), por me apresentar este tema de pesquisa.
(DELT-UFMG), tanto por fornecer as principais referências utilizadas neste trabalho quanto por me dar conselhos que mudaram drasticamente o rumo da minha pesquisa. Ao Eduardo Mendes (DELT-UFMG), por me fornecer não apenas as suas rotinas de doutorado, mas pela discussão que me levou a desenvolver a metodologia de modelagem aqui utilizada, sendo sempre solicito em me auxiliar. Agradeço imensamente a eles, por toda orientação em relação a identificação de sistemas e aos seus orientados do laboratório MACSIN-UFMG, sendo o principal grupo de pesquisa em que me apoiei.
Agradeço aos professores Wilson da Silva (CPGEI, UTFPR-CT) e Jeferson de Deus (DAFIS, UTFPR-CT) pelos equipamentos emprestados para que este trabalho fosse realizado. Agradeço ao Francisco de Sousa (IFSULDEMINAS) pelas informações fornecidas sobre o protótipo aqui utilizado.
Agradeço pela ajuda na escrita no LATEX aos professores, Marcelo Rosa (DAELT,
UTFPR-CT), Hugo Vieira (CPGEI, UTFPR-CT), Glauber Brante (CPGEI, UTFPR-CT) e Rubens Machado (DAFIS, UTFPR-CT)
Agradeço sinceramente a inestimável amizade de Patrícia Talhari, que foi uma das pessoas mais importantes pra mim já nos meus primeiros semestres da graduação. Serei sempre grato por ter a amizade de uma das melhores pessoas que já tive o prazer de conhecer, sendo para mim um grande exemplo de bondade, inteligência, força e caridade. Estarei sempre em dívida por tudo o que me ofereceu.
Agradeço ao Higor Serafim (CPGEI, UTFPR-CT), alguém que tem a minha admiração, pela amizade e por diversas discussões que me ajudaram a enxergar as coisas com mais clareza, sendo o mais próximo de um grupo de pesquisa que pude ter durante este trabalho, sua participação foi essencial para a execução desta pesquisa. Agradeço ao Edgar de Souza pela ajuda, sempre descontraída, sobre eletrônica que me fez ter uma compreensão melhor do sistema no qual estava trabalhando.
Gostaria de agradecer imensamente ao meu colega de apartamento e grande amigo, Hudson Soares, não apenas por ser um irmão nestes últimos anos, mas também alguém que pude trocar diversas experiências e ensinamentos. Tudo o que passamos juntos terá sempre uma imensa marca na minha vida, a quantidade de coisas que aprendemos juntos nos mudou dia após dia e tenho certeza que lembraremos desses anos com muita nostalgia. Gostaria que pudéssemos ter ainda mais tempo juntos, mas temos que seguir nossos sonhos, sonhos que um sempre incentivou o outro, mas espero que possamos ainda nos encontrar futuramente, ter mais momentos especiais como os diversos que tivemos
a me ouvir sobre meu trabalho e diversos problemas da vida, obrigado por aguentar e apreciar as nossas intermináveis conversas sobre ciência e relações sociais. Eu poderia escrever muito mais sobre esse tempo que passamos juntos, muitas histórias poderiam ser contadas e que não caberiam neste texto, mas deixarei isso guardado nas nossas memórias. Obrigado por tudo, meu amigo.
Em especial, eu gostaria de agradecer a um grupo de amigos que impactaram fortemente na minha vida desde o nosso primeiro encontro até todos os ensinamentos e experiências que cada um individualmente me forneceu. Este proto engenheiro flautista que mora distante da família agradece ao viking lenhador cachimbista quase cético anti-positivista, Aislan de Borba, à ex-quase-arquiteta que se interessa muito por astronomia, Camila Durdyn, ao sobrevivente geneticista especializado em formigas, Guilherme Passos, e ao jovem pequeno ocarista que já sabe muito sobre a vida, Hudson Soares, pela incomensurável amizade. Espero que possamos ter muitas histórias pela frente, para que elas também se eternalizem em novas canções que com imensa alegria entoaremos. Como tio Sagan já dizia: “Diante da vastidão do tempo e da imensidão do universo, é um imenso prazer para mim dividir um planeta e uma época com você[s]”.
Eu gostaria que minha memória não fosse tão ruim para lembrar de nomes e que este espaço fosse suficientemente grande para que eu pudesse agradecer a todas as pessoas que foram, de alguma forma, importantes para mim neste trajeto. Se você que está lendo este texto participou da minha vida, saiba que sou grato a você pelo aprendizado que me forneceu, independente de qual tenha sido, pois cada aprendizado foi um tijolinho que me tornou quem sou hoje e peço desculpas por não te citar nominalmente. Agradeço aos amigos que me ajudaram financeiramente quando precisei, aos que cuidaram de mim quando eu estava doente, seja fazendo comida ou trazendo remédio, aos que me ajudaram em diversas disciplinas, aos que me abrigaram em viagens, aos que me fizeram refletir sobre diversos assuntos, aos que me ensinaram sobre relacionamentos, aos que me ajudaram com a língua portuguesa, aos que me ofereceram café, um abraço, um conselho, um apoio, uma conversa. Sempre serei grato a vocês e sempre farei de tudo para ajudá-los.
Agradeço ao CNPq, CAPES, Fundação Araucária e FAPEMIG pelo financiamento desse trabalho.
E, por último, mas não menos importante, eu agradeço a grande ave negra, que com seu bico abre as portas da pesquisa, e também a grande biblioteca que guarda o saber disponível. São essas iniciativas que tornam o conhecimento mais acessível a
take it from only one place, it becomes rigid and stale.” Uncle Iroh
CUNHA, Éverton Fernandes da. IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA EXPERIMENTAL CAÓTICO: CIRCUITO DE CHUA. 2019. 96 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação - Curso de Engenharia Elétrica). Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2019.
Este trabalho apresenta conceitos de identificação de sistemas não lineares e caos através de representações NARMAX (Nonlinear AutoRegressive Moving Average
with eXogenous input) e do circuito de Chua forçado com uma fonte de tensão DC
(Direct Current) em série com o diodo de Chua. Neste contexto, utilizaram-se conceitos de classificação caótica conhecidas como atratores caóticos, expoentes de Lyapunov e dimensão de Lyapunov. Investigaram-se as dinâmicas que o circuito de Chua é capaz de produzir, conhecidas como atratores Double-Scroll e Rössler. Por meio da aquisição experimental da variável x, fez-se a modelagem matemática utilizando a representação NARMAX polinomial e a técnica FROLS (Forward Regression with Orthogonal Least
Squares) para seleção de estrutura e estimação de parâmetros. Os modelos foram validados
comparando os atratores caóticos, os expoentes de Lyapunov e as dimensões de Lyapunov obtidas a partir das medidas experimentais e a partir da modelagem. Obteve-se 13 modelos para cada dinâmica, que representaram adequadamente os comportamentos originais demonstrando a eficiência das técnicas utilizadas. Os melhores modelos obtidos apresentaram um erro relativo aos valores reais menores do que 0,8%, tanto na etapa de identificação quanto na etapa de validação.
Palavras-Chave: Caos. Circuito de Chua forçado. Identificação de sistemas não lineares. Método FROLS. Dimensão de Lyapunov.
CUNHA, Éverton Fernandes da. IDENTIFICATION OF A CHAOTIC EXPERIMENTAL SYSTEM: CHUA’S CIRCUIT. 2019. 96 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação - Curso de Engenharia Elétrica). Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2019.
This work presents concepts of nonlinear system identification and chaos through NARMAX representations and the Chua’s circuit forced with a DC voltage source in series with the Chua’s diode. In this context, were used chaotic classification concepts known as chaotic attractors, Lyapunov exponents and Lyapunov dimensions. An investigation was done about the dynamics that the Chua’s circuit is capable of producing known as Double-Scroll and Rössler attractors.Through the experimental acquisition of the variable x, the mathematical modeling was done using the polynomial NARMAX representation and the FROLS technique for structure selection and parameter estimation. The models were validated comparing the chaotic attractors, the Lyapunov exponents and the Lyapunov dimensions obtained from the experimental measurements and from the modeling. 13 models were obtained, for each dynamics, which adequately represented the original behaviors demonstrating the efficiency of the techniques used. The best models obtained presented an error relative to real values smaller than 0,8%, both in the identification step and in the validation step.
Keywords: Chaos. Forced Chua’s circuit. Identification of nonlinear systems. FROLS method. Lyapunov’s dimension.
–
FIGURA 1 Séries temporais com periodicidade 3 . . . 25 –
FIGURA 2 Espaço de estados com órbita de periodicidade 3 . . . 26 –
FIGURA 3 Ponto fixo estável ou atrator . . . 27 –
FIGURA 4 Ponto fixo instável ou repulsor . . . 28 –
FIGURA 5 Ponto fixo de sela . . . 28 –
FIGURA 6 Atrator estranho: sistema de Lorenz . . . 29 –
FIGURA 7 Esquemático do circuito de Chua . . . 36 –
FIGURA 8 Dinâmicas caóticas do circuito de Chua . . . 37 –
FIGURA 9 Dispositivo não linear NR construído com AmpOp e resistores . . . 38
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FIGURA 10 Curva I(V ) característica do dispositivo NR . . . 39
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FIGURA 11 Esquemático do diodo de Chua . . . 40 –
FIGURA 12 Curva da corrente Id(V ) do diodo de Chua . . . 40
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FIGURA 13 Circuito equivalente do indutor eletrônico . . . 43 –
FIGURA 14 Esquemático do circuito de Chua com uma fonte VDC em série . . . 45
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FIGURA 15 Linhas de carga variadas através da fonte de tensão DC . . . 46 –
FIGURA 16 Diagrama esquemático . . . 59 –
FIGURA 17 Esquemático com diodo de Chua e indutor eletrônico em destaque . 60 –
FIGURA 18 Protótipo de Chua . . . 61 –
FIGURA 19 Painel frontal do LabVIEWr . . . 63
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FIGURA 20 Espaço de Parâmetros . . . 64 –
FIGURA 21 Evolução das dinâmicas do circuito de Chua com a variação de VDC 72
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FIGURA 22 Série temporal da dinâmica Double-Scroll experimental . . . 73 –
FIGURA 23 Dados experimentais de identificação da dinâmica Double-Scroll . . . 74 –
FIGURA 24 Teste de vizinhança k para a dinâmica Double-Scroll . . . 74 –
FIGURA 25 Teste de iterações para a dinâmica Double-Scroll . . . 75 –
FIGURA 26 Melhor modelo da dinâmica Double-Scroll identificado . . . 76 –
FIGURA 27 Dados experimentais de validação da dinâmica Double-Scroll . . . 77 –
FIGURA 28 Melhor modelo da dinâmica Double-Scroll validado . . . 78 –
FIGURA 29 Comparação dos dados reais e modelagem da dinâmica Double-Scroll 79 –
FIGURA 30 Série temporal da dinâmica de Rössler experimental . . . 80 –
FIGURA 31 Dados experimentais de identificação da dinâmica de Rössler . . . 80 –
FIGURA 32 Teste de vizinhança k para a dinâmica de Rössler . . . 81 –
FIGURA 33 Teste de iterações para a dinâmica de Rössler . . . 81 –
FIGURA 34 Melhor modelo da dinâmica de Rössler identificado . . . 83 –
TABELA 1 – Movimento do atrator em relaçao ao maior expoente de Lyapunov. . . 31 TABELA 2 – Dimensão fractal de alguns sistemas dinâmicos. . . 33 TABELA 3 – Componentes utilizados no circuito de Chua desse trabalho. . . 60 TABELA 4 – Especificação do programa TISEAN: lyap_spec. . . 70 TABELA 5 – Invariantes caóticas dos dados reais e dos modelos identificados - DS. . 76 TABELA 6 – Invariantes caóticas dos dados reais e dos modelos validados - DS. . . . 77 TABELA 7 – Invariantes caóticas dos dados reais e dos modelos identificados - R. . . 82 TABELA 8 – Invariantes caóticas dos dados reais e dos modelos validados - R. . . . 83
AmpOp Amplificador Operacional AR AutoRegressive
ARMAX AutoRegressive Moving Average with eXogenous input
ARX AutoRegressive with eXogenous input
BJ Box-Jenkins
CH Canal da fonte de alimentação CI Circuito Integrado
DC Direct Current
ERR Error Reduction Ratio
FIR Finite Impulse Response
FROLS Forward Regression with Orthogonal Least Squares
LASSO Least Absolute Shrinkage and Selection Operator
LS Least Squares
MA Moving Average
NARMAX Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous input
NARX Nonlinear AutoRegressive with eXogenous input
NDC Negative Differential Conductivity
OE Output-Error
OLS Orthogonal Least Squares
PG Programação Genética
TCC Trabalho de Conclusão de Curso UKF Unscented Kalman Filter
1 INTRODUÇÃO . . . 16 1.1 DELIMITAÇÃO DO TEMA . . . 19 1.2 PROBLEMAS E PREMISSAS . . . 19 1.3 OBJETIVOS . . . 20 1.3.1 Objetivo Geral . . . 20 1.3.2 Objetivos Específicos . . . 20 1.4 JUSTIFICATIVA . . . 21 1.5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS . . . 21 1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO . . . 22 2 SISTEMAS CAÓTICOS . . . 23
2.1 SENSIBILIDADE ÀS CONDIÇÕES INICIAIS . . . 23
2.2 INVARIANTES CAÓTICAS . . . 24
2.2.1 Atratores Caóticos . . . 24
2.2.1.1 Espaço de Estados . . . 25
2.2.1.2 Pontos Fixos e Estabilidade . . . 27
2.2.1.3 Atratores Estranhos . . . 29 2.2.2 Expoentes de Lyapunov . . . 30 2.2.3 Dimensão Fractal . . . 31 2.2.3.1 Dimensão de Lyapunov . . . 33 2.3 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 33 3 CIRCUITO DE CHUA . . . 35
3.1 FUNCIONAMENTO DO CIRCUITO DE CHUA . . . 35
3.2 DIODO CHUA . . . 37
3.2.1 Curva Id(V ) e Pontos de Operação do Diodo de Chua . . . 38
3.3 INDUTOR ELETRÔNICO . . . 42
3.4 CIRCUITO DE CHUA FORÇADO . . . 44
3.4.1 Circuito de Chua forçado por uma fonte DC em série . . . 45
3.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 46
4 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES . . . 47
4.1 ASPECTOS DA IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS . . . 47
4.2 MODELOS LINEARES . . . 48
4.2.1 Modelagem Geral para Sistemas Lineares . . . 48
4.3 MODELOS NÃO LINEARES . . . 49
4.3.1 NARX . . . 50
4.3.2 NARMAX . . . 50
4.4 DETECÇÃO DE ESTRUTURAS E ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS . . . 52
4.4.1 Método dos Mínimos Quadrados Ortogonais . . . 53
4.4.1.1 Taxa de Redução de Erro . . . 55
4.4.1.2 Método FROLS . . . 57
4.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 58
5.1.1 Protótipo do circuito de Chua forçado com a fonte VDC . . . 60
5.1.2 Aquisição dos dados . . . 62
5.2 MODELAGEM . . . 65
5.3 VALIDAÇÃO . . . 68
5.3.1 Simulação dos Modelos . . . 68
5.3.2 Cálculo das Invariantes Caóticas . . . 70
5.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 71
6 RESULTADOS E DISCUSSÕES . . . 72
6.1 DINÂMICA DOUBLE-SCROLL . . . 73
6.2 DINÂMICA RÖSSLER . . . 79
6.3 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 85
7 CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS . . . 87
7.1 CONCLUSÃO . . . 87
7.2 TRABALHOS FUTUROS . . . 88
1 INTRODUÇÃO
Graças aos trabalhos de Henri Poincaré, sobre a dinâmica das órbitas celestes, no problema dos três corpos, considerou-se, pela primeira vez, o estudo de sistemas com alta sensibilidade nas condições iniciais. Percebeu-se que as trajetórias dos planetas tornavam-se imprevisíveis com o passar do tempo, mesmo com equações determinísticas e, desta forma, classificou-se esse tipo de dinâmica como Caos, (STROGATZ, 2018). Com isso, iniciou-se uma nova abordagem sobre os estudos de órbitas celestes e uma nova forma de enxergar problemas que, até então, eram tidos como aleatórios.
Posteriormente às contribuições de Poincaré, Edward Lorenz observou comportamentos caóticos ao tentar explicar a convecção de ar na atmosfera através de um modelo baseado nas equações de Navier-Stokes, (HILBORN, 2000). Lorenz (1963) percebeu comportamentos irregulares e imprevisíveis a longo prazo, mesmo descrevendo o sistema com equações determinísticas, encontrando dinâmicas que ficaram conhecidas como “atratores estranhos”. A partir deste trabalho, nas décadas seguintes, percebeu-se que estes comportamentos aprepercebeu-sentavam-percebeu-se em várias áreas como economia e finanças, (LEBARON, 1994; BROCK, 2018), fisiologia humana, (MACKEY; GLASS, 1977; GLASS et al., 1987; GOLDBERGER et al., 1990), dinâmica populacional, (MAY, 1987; HASSELL et al., 1991), ecologia e epidemiologia, (MAY, 1980; SCHAFFER, 1985), entre outras.
Comportamentos caóticos começaram a receber atenção em diversas áreas de sistemas elétricos e sistemas de controle. Alguns exemplos são estudos sobre filtros digitais, (LIN; CHUA, 1991; OGORZAŁEK, 1992), reguladores de eletrônica de potência, (TSE, 1994), microeletrônica, (BUSKIRK; JEFFRIES, 1985), controle adaptativo, (MAREELS; BITMEAD, 1986), e sistemas de controle digital, (USHIO; HSU, 1987).
Muitos dos trabalhos em eletrônica envolvendo caos tiveram como base as contribuições dadas por Leon O. Chua. Em 1980, Chua elaborou um estudo revisando o que se conhecia sobre sistemas eletrônicos não lineares, (CHUA, 1980). Posteriormente, Chua e Takashi Matsumoto publicaram uma série de artigos sobre um circuito caótico
que ficou conhecido como circuito de Chua, (MATSUMOTO, 1984; MATSUMOTO et al., 1984, 1985). Com o advento destes trabalhos, foram obtidos os comportamentos caóticos encontrados por Lorenz. No entanto, também observou-se outros resultados que não apresentam nenhuma relação com os resultados que Lorenz havia obtido, despertando interesse da comunidade científica por esse circuito, (FORTUNA, 2009). Os primeiros resultados experimentais deste circuito foram obtidos por Zhong e Ayrom (1985) e, consequentemente, realizaram a primeira confirmação de caos experimental em circuitos eletrônicos.
O circuito de Chua é composto por componentes lineares, dois capacitores, um indutor e um potenciômetro e um elemento não linear, conhecido como diodo de Chua, (CHUA, 1992). Este último componente caracteriza-se como um resistor negativo com dois terminais e apresenta comportamento linear por partes, (CORRÊA, 1997). As primeiras construções deste circuito apresentaram diversos problemas como a utilização de indutores de valores não comerciais, de alta instabilidade e um alto custo de implementação. Com o propósito de sanar essas dificuldades, protótipos utilizando Amplificadores Operacionais (AmpOp’s) foram criados, simplificando e barateando sua implementação, (KENNEDY, 1992; CHUA, 1994).
Uma importante contribuição ao estudo do circuito de Chua foi dada por Torres e Aguirre (2000) no desenvolvimento de um protótipo que apresenta uma arquitetura simples, de baixo custo de implementação e alta estabilidade. Como confirmação dessas vantagens, tem-se a utilização experimental deste protótipo pela dissertação de Viana (2010), e a tese de Sousa (2016). O primeiro apresenta um estudo sobre os espaços de parâmetros1 da periodicidade e do expoente de Lyapunov do sistema caótico através
da variação de uma fonte de tensão DC (Direct Current) em série com o diodo de Chua. No segundo trabalho, dando continuidade ao primeiro, analisaram-se os espaços de parâmetros com a variação automatizada das resistências do circuito. Ambos estudaram o comportamento do circuito com a alteração das suas condições iniciais, explorando, assim, novas dinâmicas do sistema através dos espaços de parâmetros.
Como Corrêa (2001) relata, a representação de sistemas dinâmicos por equações matemáticas é algo que desperta o interesse de pesquisadores há bastante tempo. São descritos na literatura científica diversos casos em que se procurava descrever os fenômenos físicos através de leis matemáticas. Desta forma, Coelho e Coelho (2004) afirmam que a modelagem matemática tem o intuito de prever o comportamento do sistema estudado e desenvolver equações que demonstrem as relações entre as variáveis desse sistema.
1Espaço de parâmetros é um mapa em duas dimensões representando duas variáveis e apresenta uma
O modelo físico e matemático de um sistema, que é obtido através das leis e princípios teóricos de uma determinada ciência, é conhecido como modelagem caixa branca. Nesse tipo de modelagem, os parâmetros necessitam ser previamente conhecidos, utilizando os dados de entrada e saída apenas para sua validação, (CORRÊA; AGUIRRE, 2004). No entanto, nem sempre é viável essa abordagem, pois, dada a complexidade dos fenômenos envolvidos, estes necessitam de muito tempo e conhecimento para serem desenvolvidos (AGUIRRE, 2015).
Com a intenção de buscar modelos que pudessem ser efetivos, mesmo quando a compreensão dos sistema fosse escassa ou nula, surge o processo de identificação de sistema, (LJUNG, 1999; BOX et al., 2015). Segundo Aguirre (2015, p. 32), “é uma área de modelagem matemática que estuda técnicas alternativas à modelagem caixa branca".
Um método de identificação de sistemas que desconsidere os conhecimentos teóricos prévios é conhecido como modelagem caixa preta (LJUNG, 2001). Tal abordagem utiliza apenas os dados empíricos como medidas das entradas e saídas de um sistema. Para modelagem caixa preta de sistemas lineares, utiliza-se, por exemplo, modelos como FIR (Finite Impulse Response), OE (Output-Error), BJ (Box-Jenkins), ARX (AutoRegressive with eXogenous input) e ARMAX (AutoRegressive Moving Average
with eXogenous inputs), entre outros, (SJÖBERG et al., 1995).
Sjöberg et al. (1995) consideram a modelagem caixa preta de sistemas não lineares um problema mais difícil de se lidar. O principal motivo disto é o espectro muito rico de possibilidade de análises que podem ser utilizadas como redes neurais, wavelets e modelos fuzzy. Os autores ainda comentam que esta é uma área muito diversa que abrange conceitos de aproximação matemática, teoria de estimação, regressão não paramétrica entre outras.
Trabalhos relacionados com a identificação do circuito de Chua podem ser citados, por exemplo, a estimação de estados de sistemas não lineares utilizando UKF (Unscented
Kalman Filter), (AGUIRRE et al., 2005); identificação de sistemas não lineares por uma
abordagem hibrida de modelos fuzzy entrelaçados com otimização de enxame de partículas (ARAUJO; COELHO, 2007); e identificação de modelos não lineares discretos a partir de series temporais e atratores estranhos, (AGUIRRE; BILLINGS, 1994a).
Na prática, a maioria dos sistemas dinâmicos apresentam comportamento não linear. Porém, é comum simplificá-los através de técnicas de linearização com a intenção de facilitar a sua modelagem, (AGUIRRE, 2015). Em grande parte dos casos, esta aproximação é suficiente para representar o sistema. Entretanto, existem vários casos
em que essa abordagem não é eficiente, (BILLINGS, 2013). Portanto, é necessário utilizar modelos não lineares, o que aumenta a complexidade dos algoritmos de estimação, (LJUNG, 1999).
1.1 DELIMITAÇÃO DO TEMA
Caos é popularmente relacionado ao conceito de desordem, dando a impressão de ser um comportamento que não pode ser compreendido. Entretanto, caos é uma dinâmica determinística, mesmo sendo imprevisível em um longo período. Desta forma, é possível caracterizar os comportamentos caóticos através de medidas intrínsecas a este tipo de dinâmica, as invariantes caóticas. As medidas de invariâncias caóticas utilizadas neste trabalho são: atratores caóticos, que informam sobre a instabilidade do sistema além de manter características da dinâmica frente a alta sensibilidade às condições iniciais; expoentes de Lyapunov, que informam a taxa de convergência e divergência dos atratores; e a dimensão de Lyapunov, que classifica o sistema através de informações geométricas obtidas através dos atratores.
O circuito de Chua é um sistema que apresenta uma rica variedade de dinâmicas e, dentre elas, algumas são caóticas. Com a variação de alguns parâmetros desse circuito eletrônico, o sistema exibe comportamentos dinâmicos que se tem interesse em estudar, como os atratores Double-Scroll e Rössler.
Por caos ser um sistema não linear e apresentar sensibilidade as variações iniciais, faz-se necessário a utilização de modelos não lineares capazes de modelar todas essas características do sistema. Utiliza-se os modelos NARMAX (Nonlinear AutoRegressive
Moving Average with eXogenous input) polinomiais para este fim. Pelo fato das
estruturas polinomiais serem lineares nos parâmetros, faz-se a parametrização utilizando uma variante do método dos mínimo quadrados, LS (Least Square), a técnica FROLS (Forward Regression with Orthogonal Least Squares), (BILLINGS; CHEN, 1989). 1.2 PROBLEMAS E PREMISSAS
Um sistema caótico apresenta alta sensibilidade às condições iniciais e exibe comportamentos aperiódicos, fazendo com que seja impossível de prever o comportamento do sistema depois de um tempo suficientemente longo. Dessa forma, para não comprometer os resultados, deve-se ter uma preocupação com a qualidade da aquisição dos dados experimentais.
Além dessas características que dificultam a obtenção de parâmetros que definem o sistema, ainda tem-se a complexidade dos modelos não lineares. Comumente, o número de parâmetro a ser determinado é grande, mesmo para sistemas não lineares com baixo grau de não linearidade, pois podem apresentar comportamentos caóticos muito complexos, (AGUIRRE, 2015). Nas próximas seções, serão apresentados os objetivos deste trabalho, levando em conta os problemas apresentados.
1.3 OBJETIVOS 1.3.1 Objetivo Geral
Realizar a identificação das dinâmicas caóticas do circuito de Chua forçado com uma fonte de tensão DC através da representação NARMAX.
1.3.2 Objetivos Específicos
• Revisar a bibliografia sobre sistemas caóticos; • Revisar a bibliografia sobre modelos NARMAX;
• Revisar a bibliografia sobre técnicas de seleção de estrutura e estimação de parâmetros;
• Obter os dados experimentais do circuito utilizando uma placa de aquisição de dados;
• Selecionar as dinâmicas a serem identificadas; • Extrair as invariantes caóticas:
- Atratores caóticos; - Expoentes de Lyapunov; - Dimensão de Lyapunov;
• Modelar as dinâmicas utilizando representações NARMAX polinomiais e técnica FROLS;
• Validar os modelos comparando as invariantes caóticas reais com as dos modelos utilizados.
1.4 JUSTIFICATIVA
Sistemas caóticos apresentam comportamentos dinâmicos que não conseguem ser descritos por modelos lineares, necessitando utilizar a repsentação por modelos não lineares. O estudo de características caóticas, além de aprofundar os conhecimentos matemáticos e físicos sobre os temas abordados, também apresenta a oportunidade de desenvolver técnicas experimentais e computacionais para a identificação.
Uma vez que os fenômenos com comportamentos não lineares são muito comuns na natureza, o interesse por sistemas caóticos desenvolveu-se em diversas áreas da ciência, demonstrando a importância de estudar esse assunto. Dessa forma, analisar o circuito de Chua é uma das diversas abordagens possíveis para contribuir com essa área, já que ele apresentou, desde os primeiros trabalhos, uma grande variedade de comportamentos não lineares. Além disso, este trabalho é o primeiro na literatura a fazer a identificação do circuito de Chua forçado por uma fonte de tensão DC em série com o diodo de Chua, que foi proposto por Viana (2010).
1.5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Como primeira etapa do desenvolvimento do trabalho, é realizado um estudo bibliográfico a cerca dos sistemas caóticos para compreender as dinâmicas e características destes sistemas. Também é feito um estudo sobre os modelos não lineares, com ênfase na representação NARMAX, de tal maneira a ser utilizada na identificação das dinâmicas do circuito de Chua.
Realiza-se a aquisição dos dados através da placa myDAQr 2018, com o auxílio
do software LabViewr2018, ambos da empresa National Instruments, e as representações
serão geradas utilizando o software MATLABr. Tanto o circuito de Chua quanto a placa
de aquisição de dados foram fornecidas gentilmente pelo orientador desse TCC (Trabalho de Conclusão de Curso), Prof. Emilson Ribeiro Viana Junior (DAFIS, UTFPR-CT).
São feitas as medidas das séries temporais de uma das variáveis, sendo a variável
x, a tensão no primeiro capacitor do circuito, a escolhida por ser a variável que apresentou
os melhores modelos na literatura, (RODRIGUES, 1996). A partir disto, a modelagem das dinâmicas do sistema são feitas utilizando a representação NARMAX polinomial com o auxílio do software MATLABr. As rotinas utilizadas como base para a identificação
Na etapa de validação dos modelos, são gerados os atratores estranhos, os maiores expoentes de Lyapunov e as dimensões de Lyapunov, fazendo a comparação com estes mesmos resultados encontrados nas medidas.
1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO
Este trabalho de conclusão de curso está estruturado da seguinte maneira: Capítulo 2: Sistemas Caóticos. Este capítulo contém a fundamentação teórica sobre caos, apresentando definições preliminares e propriedades caóticas, dando suporte para a compreensão da dinâmica do sistema;
Capítulo 3: Circuito de Chua. Será responsável por apresentar o circuito de Chua, com suas principais informações, como o desenvolvimento de suas equações, pontos de operação e detalhes sobre seus componentes, também apresenta a modificação no circuito a ser estudada;
Capítulo 4: Identificação de Sistemas Não Lineares. Neste capítulo, são apresentados os conceitos teóricos sobre identificação, apresentando alguns modelos lineares e não lineares e explicando mais detalhadamente sobre as representações NARMAX;
Capítulo 5: Experimentos e Modelagem. Este capítulo apresenta toda a metodologia utilizada neste trabalho. Abrange os processos de coleta de dados, de identificação e de validação das dinâmicas do sistema;
Capítulo 6: Resultados e Discussões. Este capítulo é responsável por apresentar os principais resultados encontrados. Contém a modelagem das duas dinâmicas escolhidas e suas validações;
Capítulo 7: Conclusão e Trabalhos Futuros. Neste capítulo, são discutidas as conclusões atingidas com o desenvolvimento deste trabalho e sugestões de estudo para trabalhos futuros.
2 SISTEMAS CAÓTICOS
Neste capítulo, serão apresentados os conceitos preliminares deste trabalho. Na Seção 2.1, é apresentada a principal característica das dinâmicas caóticas, a sensibilidade às condições iniciais. Na Seção 2.2, será apresentada a definição de Caos e suas principais formas de caracterização, como atratores caóticos, expoentes de Lyapunov e dimensões fractais.
2.1 SENSIBILIDADE ÀS CONDIÇÕES INICIAIS
A princípio, a dinâmica caótica assemelha-se aos comportamentos de processos aleatórios, aparentemente não seguindo nenhum tipo de padrão. Contudo, é necessário fazer a distinção entre os dois. O termo caótico é reservado para os sistemas que são regidos por equações determinísticas e que não há entradas ou parâmetros imprevisíveis. Os movimentos aleatórios são problemas em que não se sabe as forças atuantes ou apenas podem ser descritos em termos de propriedades estatísticas, (MOON, 1992; OTT, 1993). Desta forma, a modelagem de sinais aleatórios necessita de estruturas específicas, conhecidas como processos estocásticos, (DAVIS; VINTER, 1985). Além disso, enquanto que os sistemas estocásticos guardam informações de um instante qualquer no seu instante anterior, possibilitando voltar na análise da dinâmica, um fenômeno caótico é imprevisível tanto no seu futuro quanto no seu passado devido a sua alta sensibilidade a pequenas mudanças.
Ott (1993) menciona que uma característica muito importante na distinção de sistemas caóticos de outros sistemas não lineares é a sensibilidade às condições iniciais, ou seja, pequenas divergências nas condições iniciais podem causar grandes mudanças nos fenômenos futuros. Hilborn (2000) complementa que, como sempre haverá uma imprecisão nas condições iniciais em qualquer experimento ou cálculo numérico, o comportamento futuro de um sistema caótico será imprevisível, mesmo que o sistema seja determinístico.
2.2 INVARIANTES CAÓTICAS
A aparente contradição entre a propriedade determinística de um sistema caótico e a sua imprevisibilidade é resolvida com sua não linearidade e sua alta sensibilidade às condições iniciais. Isso ocorre pelo fato da imprevisibilidade do estado do sistema não vir da aleatoriedade, mas, sim, da complexidade da dinâmica não linear que produz comportamentos muito distintos com excitações infinitesimalmente semelhantes, (HAYKIN, 2007).
O comportamento futuro de um sistema caótico é, em princípio, determinado pelo seu passado. Entretanto, qualquer incerteza nas condições iniciais, mesmo as mais ínfimas, produzem alterações na variável de saída que crescem exponencialmente com o tempo, (HAYKIN, 2007). Então, mesmo que o caos seja previsível a curto prazo, é impossível prever o comportamento em um tempo longo e isso ocorre mesmo utilizando o processamento dos computadores atuais, (MOON, 1992). Essa complexidade do comportamento não necessariamente vem acompanhada de um sistema regido por equações complexas. Na verdade, o caos pode estar presente em sistemas simples e muito bem definidos tendo poucos graus de liberdade, (DEVANEY, 1992). Como exemplo de sistema regido por uma equação simples, com um grau de liberdade, mas que apresentam comportamentos caóticos, Boeing (2016) apresenta o Mapa Logístico, que descreve o modelo do crescimento de uma população por:
xk+1= r xk(1 − xk), (1)
sendo r um parâmetro ambiental, xk a população no instante k e xk+1 a população no
instante k + 1.
2.2.1 Atratores Caóticos
A periodicidade é uma importante propriedade dos sinais provenientes de sistemas dinâmicos que apresentam repetições. Um sinal x(t), ∀t ∈ R, é dito periódico quando existe um valor positivo T ∈ R que satisfaça a igualdade:
x(t) = x(t + T ), (2)
ou seja, um sinal periódico se caracteriza por: dado um deslocamento de tempo T , o sinal não se modifica, (OPPENHEIM et al., 2010). Dessa forma, se um sinal for
representado por uma série temporal, ou seja, ter sua dinâmica representada através da sua evolução em relação ao tempo, é possível observar as suas repetições. Entretanto, um sinal periódico pode apresentar uma periodicidade maior do que um, como pode ser observado na Figura 1, que apresenta três séries temporais com periodicidade igual a três.
Figura 1: Três séries temporais x, y e z de um circuito de Chua experimental com resistência R = 1676,00Ω e tensão VDC = −0,3510V , apresentando periodicidade
três.
Fonte: Adaptado de Viana (2010).
2.2.1.1 Espaço de Estados
Outra importante abordagem para o estudo de sistemas dinâmicos é a representação de um sistema em espaço de estados. Essa representação utiliza valores, chamados de variáveis de estado, que, em um instante de tempo qualquer, contenham informações suficientes para prever o comportamento futuro do sistema, (HAYKIN, 2007). Se pelo menos n variáveis x1, x2, ..., xn são necessárias para descrever completamente a
dinâmica do sistema, não necessitando serem variáveis fisicamente medidas ou quantidades observadas, então este grupo de variáveis são consideradas as variáveis de estado do sistema, (OGATA, 2011). Desta forma, Ogata (2011) e Hilborn (2000) concordam que um espaço n-dimensional em que os seus eixos coordenados sejam definidos pelas variáveis de estado x1, x2, ..., xn, esse espaço é definido como espaço de estados, sendo que qualquer
O caminho formado no espaço de estados pela evolução temporal das variáveis é referida como trajetória ou órbita. Para diferentes condições iniciais, diferentes órbitas são traçadas e uma representação que compreenda diversas trajetórias, é conhecida como retrato de estados, (HAYKIN, 2007).
Assim como a representação por série temporal, a representação em espaço de estados também é capaz de informar sobre a periodicidade de um sinal periódico. O número de órbitas fechadas, convergentes ou divergentes, que um sistema forma antes de voltar a se repetir é o valor da periodicidade do sistema. Isso pode ser observado na Figura 2, que é formado pelas três séries temporais da Figura 1, formando uma trajetória com periodicidade igual a três em um espaço de estados tridimensional.
Figura 2: Trajetória tridimensional formada pelas variáveis x, y e z de um circuito de Chua com resistência R = 1676,00Ω e tensão VDC = −0,3510V com periodicidade
três.
Fonte: Adaptado de Viana (2010).
É interessante ressaltar que a representação em espaço de estados é apenas uma forma de apresentar os dados de um sistema sem deixar explícita a variável tempo, mesmo que os sinais que estão sendo representados sejam temporais, (AGUIRRE, 2015). Para o caso de órbitas periódicas, esta representação não fornece muita informação, pois independente do instante em que a trajetória irá começar, as órbitas serão as mesmas. Desta forma, a representação temporal é suficiente para apresentar as informações relevantes de dinâmicas periódicas.
2.2.1.2 Pontos Fixos e Estabilidade
Uma importante propriedade de sistemas dinâmicos é a estabilidade e ela está intimamente ligada com o conceito de ponto fixo, conhecido também como ponto de equilíbrio. Dessa forma, é necessário apresentar algumas definições.
Considera-se que ¯x é um ponto de equilíbrio de um sistema dinâmico se o estado permanecer em ¯x indefinidamente, uma vez que ali chegar, (OTT, 1993). Considerando sistemas autônomos, os pontos de equilíbrio são caracterizados pela solução de:
˙x = f(x(t)) ↔ 0 = f(¯x). (3)
sendo ˙x a derivada da variável x em relação ao tempo.
Ott (1993) define que um vetor x(t0) ∈ Rné um ponto de equilíbrio de um sistema
que não apresenta forças externas e é invariante no tempo ˙x = f(x(t)) se, ∀t ≥ t0, f(x(t)) =
0. Dessa forma, se x(t0) é um ponto de equilíbrio de ˙x = f(x(t)) e se x(t0) = x0, então
a solução deste sistema para t ≥ t0 é única e é dada por x(t) = x0. Segundo Ott (1993),
existem três tipos de pontos fixos, os pontos estáveis, os pontos instáveis e os de pontos de sela, definidos a seguir.
Um ponto fixo estável, ou atrator, pode ser definido como um ponto que representa o estado atual de um sistema dinâmico e que, com pequenas perturbações impostas a ele, o sistema resulta em uma trajetória que retorna ao ponto fixo depois de um transiente inicial. Dessa forma, a distância entre o ponto fixo estável e um estado qualquer na sua vizinhança, em um instante t, tornar-se-á arbitrariamente pequena conforme t → ∞, sendo representado pela Figura 3.
Figura 3: Ponto fixo estável ou atrator.
Define-se um ponto fixo instável, ou repulsor, como um ponto que não atrai os seus estados vizinhos, repelindo-os. Dado um estado do sistema, no tempo t0, que coincida
com um ponto fixo, ele permanecerá nesse estado ∀t ≥ t0. Portanto, qualquer perturbação
neste estado, por menor que seja, fará com que a dinâmica do sistema afaste-se do ponto fixo instável, nunca retornando, como pode ser visto na Figura 4.
Figura 4: Ponto fixo instável ou repulsor.
Fonte: Haykin e Veen (2002).
Entre os pontos fixos estável e instável, existe o ponto fixo de sela que apresenta propriedades de atração e repulsão, que são determinados pela direção de aproximação dos estados na vizinhança. Dessa forma, pontos de sela apenas podem existir em sistemas dinâmicos que tenham mais de uma variável de estado, exemplificado pela Figura 5.
Figura 5: Ponto fixo de sela.
Fonte: Haykin e Veen (2002).
Diversos estudos sobre dinâmica caótica são feitos sob a ótica desses conceitos, porém, nesse trabalho, a atenção será dada ao ponto fixo estável, que será referido daqui em diante como atrator.
2.2.1.3 Atratores Estranhos
Os sistemas que não apresentam dissipação ou injeção de energia são chamados de sistemas conservativos ou sistemas Hamiltonianos, (GOLDSTEIN et al., 2002). Eles são caracterizados por construir órbitas fechadas no espaço de estados, ou seja, eles nunca convergem para um ponto, independente da evolução da dinâmica no tempo, (STROGATZ, 2018). Isso ocorre pois se o sistema não apresenta dissipação de energia, ele sempre se repetirá e nunca alcançará um ponto fixo. Dessa forma, atratores são impossíveis de serem encontrados em sistemas conservativos, sendo uma característica específica de sistemas não-conservativos, (HILBORN, 2000).
As definições de atratores apresentadas referem-se às dinâmicas relacionadas a atratores pontuais fixos e a comportamentos lineares. Porém, sistemas caóticos apresentam características distintas destas, como visto anteriormente na Seção 2.1, apresentando estruturas que recebem o nome de atratores estranhos, (OTT, 1993). São considerados atratores, pois apresentam um ou mais pontos aos quais se atraem, porém nunca convergem e nem formam órbitas periódicas, (HILBORN, 2000), conforme pode ser visto na Figura 6.
Figura 6: Atrator estranho: sistema de Lorenz.
Um sistema possui um atrator estranho quando as órbitas do atrator, que apresentam condições iniciais próximas, tendem a se afastar ou se aproximar uma das outras com o tempo em uma taxa exponencial, (HAYKIN, 2007). Classifica-se um atrator caótico de forma quantitativa através de dois métodos que serão definidos nas próximas subseções: os expoentes de Lyapunov, que mede a taxa de afastamento ou aproximação das órbitas, e a dimensão fractal, que caracteriza a geometria dos atratores em “dimensões” que apresentam valores não inteiros, (MOON, 1992).
2.2.2 Expoentes de Lyapunov
Para se distinguir de forma quantitativa o comportamento caótico de outros comportamentos lineares e não lineares, aplica-se, como teste, o cálculo dos expoentes de Lyapunov, (HILBORN, 2000). Eles descrevem a taxa exponencial da divergência, ou convergência, de trajetórias próximas ao longo de um atrator, (HAYKIN, 2007; CHAU; WANG, 2011).
O número de expoentes de Lyapunov de um sistema é determinado pela própria dimensão do sistema, (VIANA, 2010). Os atratores caóticos apresentam, pelo menos, um expoente de Lyapunov positivo, sendo uma condição necessária para alta sensibilidade às condições iniciais, originando os comportamentos caóticos, (MOON, 1992; HAYKIN, 2007). Dessa forma, determina-se que qualquer sistema que não seja caótico, não é capaz de apresentar expoentes positivos e, assim, essa medida também serve como critério para determinar se o atrator é ou não caótico, (WOLF et al., 1986). A partir dessa formulação, três conceitos foram desenvolvidos para o estudo de caos: os expoentes de Lyapunov locais, os expoentes de Lyapunov espúrios e o maior expoente de Lyapunov.
Segundo Aguirre (1996), os expoentes de Lyapunov locais são responsáveis por descrever as instabilidades de um atrator em uma pequena região, sendo melhor discutido no trabalho de Abarbanel et al. (1992). O autor explica que os expoentes de Lyapunov espúrios são expoentes extras que surgem em algumas situações de modelagem e são melhor descritos em Stoop e Parisi (1991), Parlitz (1992), Abarbanel et al. (1992).
Devido às dificuldades que os cálculos dos expoentes podem representar e também do fato de que, em diversos casos, o maior expoente de Lyapunov é o único valor positivo, ele é a medida mais utilizada para caracterização de caos em um atrator, (ROSENSTEIN et al., 1993). Aguirre (1996) complementa que o maior expoente de Lyapunov é capaz de apresentar com que exatidão as medidas futuras podem ser feitas
para aquela dinâmica. Considerando x0= x(0) um ponto na trajetória x(k) (assumindo
x(k) ∈ R por simplicidade, mas podendo ser generalizado para sistemas de maiores
dimensões) e um ponto na sua vizinhança como x0+ δ0, define-se o maior expoente de
Lyapunov, para um atrator de comprimento N, conforme:
λ= lim N →∞ 1 N N X k=1 lnkδk+1k kδkk , (4)
sendo que δk é a distância entre duas órbitas próximas na trajetória no tempo k e é dado
pelo operador norma kk que se associa a distância de dois vetores. Classifica-se a dinâmica do atrator em relação ao maior expoente de Lyapunov conforme a Tabela 1.
Tabela 1: Tipos de movimento do atrator em relação ao maior expoente de Lyapunov.
Tipos de Movimento Maior Expoente de Lyapunov Ponto fixo estável λ <0
Periódico λ= 0
Caos 0 < λ < ∞
Ruído λ → ∞
Fonte: Adaptado de (VIANA, 2010).
Em um espaço n-dimensional, têm-se n expoentes de Lyapunov que se relacionam com a expansão ou contração das órbitas em uma determinada direção de acordo com as n variáveis de estado do sistema e o conjunto de todos esses expoentes é chamado de espectro de Lyapunov, (HILBORN, 2000; KANTZ; SCHREIBER, 2004). A presença de um ou mais expoentes de Lyapunov negativos indica a convergência exponencial de algumas direções no espaço de estados. A soma de todos os n expoentes de um sistema n-dimensional se relaciona diretamente com o comportamento total do sistema. O resultado é nulo para sistemas conservativos e negativo para os demais comportamentos, porém não pode ser positivo se o espaço de estados do sistema for limitado, (VIANA, 2010).
2.2.3 Dimensão Fractal
É importante deixar claro que a temática dos fractais constitui, por si só, uma área própria do conhecimento e, neste trabalho, serão utilizados apenas os conceitos necessários para compreender a “estranheza” dos atratores estranhos. Para uma compreensão mais aprofundada sobre fractais Moon (1992) indica (PEITGEN et al., 1992) como livro introdutório, (FALCONER, 2004) ou (BARNSLEY, 2014) para um tratamento
matemático mais rigoroso, e (MANDELBROT, 1982) e (PEITGEN; RICHTER, 2013) como leituras clássicas.
Os atratores caóticos tendem a deixar vazios entre as órbitas, além de não apresentar sobreposições, exemplificado pelo atrator de Lorenz na Figura 6. Isso significa que as trajetórias sempre preencherão menos do que um subespaço inteiro dentro do espaço de estados, ou seja, dado qualquer trecho do atrator, sempre haverá um vazio, mesmo esperando um tempo elevado. Desta forma, o conceito de dimensão é utilizado para descrever um atrator através dos seus aspectos geométricos e o conceito de fractal refere-se a sua incapacidade de preencher uma dimensão inteira. Por fim, dimensão fractal pode ser considerada a medida do quanto o atrator estranho preenche o espaço de estados. (MOON, 1992; HILBORN, 2000). Para exemplificar, um atrator, como na Figura 6, de dimensão fractal entre dois e três, apresenta uma estrutura que preenche mais do que um espaço bidimensional e menos do que um espaço tridimensional.
A determinação da dimensão de um atrator caótico é um dos métodos mais utilizados para sua caracterização. Assim como os expoentes de Lyapunov, a dimensão fractal é capaz de não apenas de caracterizar um sistema caótico, mas também de prover informações sobre o futuro de sua dinâmica, (AGUIRRE, 1996). Desta forma, desenvolveu-se diversas definições de como calcular as dimensões fractais e algumas delas são: pointwise dimension, dimensão de informação, dimensão de Hausdorf, dimensão de capacidade, dimensão de Lyapunov e dimensão de correlação, (AGUIRRE, 1996). As definições e comparações desses métodos, podem ser encontrados em Moon (1992), Farmer (1982) e Hentschel e Procaccia (1983). A Tabela 2 apresenta alguns sistemas caóticos mais estudados e suas dimensões fractais por alguns desses métodos. Para ver a tabela completa, sugere-se a consulta à Moon (1992, p. 339).
Tabela 2: Dimensão fractal de alguns sistemas dinâmicos.
Nome dos Sistemas Dimensão Tipo Fonte dos Dados Mapa de Henon 1,26 Capacidade Grassberger e Procaccia (1983)
1,26 Correlação
Mapa Logístico 0,538 Capacidade Grassberger e Procaccia (1983) 0,500 Correlação
Sistema de Lorenz 2,06 Capacidade Grassberger e Procaccia (1983) 2,05 Correlação
Potencial de dois Poços 2,14 Correlação Moon e Li (1985) Circuito de Chua 2,82 Lyapunov Matsumoto et al. (1985)
Como pode ser visto na Tabela 2, o circuito de Chua foi originalmente classificado em termos de dimensão de Lyapunov. Devido a isto, e por este método ser um dos mais simples de se realizar, a dimensão de Lyapunov será a única medida de dimensão fractal definida e utilizada nesse trabalho.
2.2.3.1 Dimensão de Lyapunov
O valor da dimensão de Lyapunov é apresentado através de uma relação entre as dimensões fractais e os expoentes de Lyapunov sendo proposto por Kaplan e Yorke (1979)1. Neste artigo, é apresentado como é possível fazer essa relação em sistemas com
várias dimensões, e é comparado os resultados encontrados com outras medidas fractais, (MOON, 1992). Hegger et al. (1999) definem a dimensão fractal como:
DL = k +
Pk
i=1λi
|λk+1|
, (5)
sendo, para o sistema de Chua, λ1 o maior expoente de Lyapunov, λ2 o expoente
idealmente zero, λ3 o expoente negativo, k é o índice do último expoente somado, que o
valor do somatório não se torna negativo e o operador módulo, ||, extrai o valor absoluto do expoente. No caso do circuito de Chua, a soma dos três expoentes é negativa, logo
k <3. Como λ1 é o maior expoente, o somatório com λ2 é positivo, logo, neste caso,
k= 2. Por exemplo, se λ1= 5,5180 × 10−2, λ2= −2,0623 × 10−2 e λ3= −5 × 4539.10−1,
então DL = 2,0633.
Desta forma, obtém-se uma medida de dimensionalidade de um espaço ocupado pela trajetória de um atrator devido a sua taxa média de atração e contração.
2.3 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este capítulo apresentou os conceitos básicos sobre dinâmicas caóticas, para que seja possível compreender os comportamentos do circuito de Chua. Existem diversos conceitos utilizados na caracterização de sistemas caóticos, porém, este trabalho limitou-se a aprelimitou-sentar apenas os que são mais utilizados na literatura de identificação do circuito de Chua.
Também foi explanada a representação por espaço de estados, pois as estruturas dos atratores apresentam uma maior robustez frente a alta sensibilidade às condições
iniciais. Enquanto as séries temporais caóticas apresentam grandes divergências devido a pequenas mudanças, os atratores mantêm suas características dinâmicas, sendo capaz de continuar informando o comportamento do circuito frente a essas alterações. As informações retiradas dos atratores são os expoentes de Lyapunov e a dimensão de Lyapunov. O primeiro apresenta o conhecimento sobre a taxa de convergência ou divergência do atrator. O segundo apresenta informações geométricas de quanto o atrator preenche as dimensões em que esta inserido.
3 CIRCUITO DE CHUA
Neste capítulo, é apresentado o circuito de Chua. A Seção 3.1 apresenta o funcionamento do circuito e as equações temporais que regem suas dinâmicas. A Seção 3.2 é responsável por esclarecer o principal componente do circuito, o diodo de Chua. Posteriormente, na Seção 3.3, é exibido o indutor eletrônico, sendo um importante componente do sistema. Por fim, são apresentadas, na Seção 3.4, as alterações no circuito de Chua e suas consequências.
3.1 FUNCIONAMENTO DO CIRCUITO DE CHUA
Segundo Matsumoto (1984), o circuito de Chua foi concebido na visita de Leon O. Chua ao laboratório de Takashi Matsumoto, em Waseda University. A motivação em desenvolvê-lo foi devido à necessidade de demonstrar que era possível a reprodução de caos em circuitos eletrônicos experimentais, pois, até o momento, era considerado “apenas uma abstração matemática”, (FORTUNA, 2009). Sendo assim, Fortuna (2009) relata que Chua inspirou-se nos sistemas caóticos de Lorenz e de Rössler para desenvolver um circuito eletrônico que apresentasse também comportamentos caóticos.
Entretanto, o circuito de Chua demonstrou-se capaz de apresentar dinâmicas muito além das previstas, possibilitando, inclusive, comportamentos que não têm nenhuma relação com os sistemas já conhecidos, (VIANA, 2010). Desta forma, o circuito de Chua consolidou-se como um dos circuitos eletrônicos não lineares mais estudados na literatura, acumulando um grande número de trabalhos que podem ser vistos em Chua (1994) e Fortuna (2009).
O circuito de Chua é constituído de uma topologia bastante simples. Como visto na Figura 7, o circuito pode ser dividido em dois. Uma primeira parte, à direita, apresenta um indutor, L, dois resistores, R e rL, e dois capacitores, C1 e C2, formando um circuito
oscilatório linear convencional, (VIANA, 2010). A segunda parte, à esquerda, é formada pelo elemento não linear, denominado de diodo de Chua, (SOUSA, 2016). De forma
simplificada, o circuito de Chua é um circuito RLC oscilante forçado por um elemento de condutividade negativa, o diodo de Chua, que fornece energia para o sistema oscilar sem amortecimento.
Figura 7: Esquemático do circuito de Chua.
Fonte: Retirado de Viana (2010).
À partir da aplicação das leis de Kirchoff no circuito da Figura 7, é possível obter as três equações diferencias que regem a dinâmica do circuito de Chua:
˙x = [(y − x)/(R C1)] − Id(x)/C1, (6)
˙y = [(x − y)/(R C2)] − z/C2, (7)
˙z = (−y/L) − z (rL/L), (8)
sendo x, y e z as variáveis dinâmicas do sistemas, tal que, x e y são, respectivamente, as tensões sobre os capacitores C1 e C2, e z é a corrente que passa pelo indutor L, (VIANA,
2010). Os parâmetros de controle básicos do circuito de Chua são as resistências R e
rL, que são, respectivamente, uma resistência variável entre os capacitores C1 e C2, e
a resistência do indutor L normalmente representado como uma resistência variável em série, (SOUSA, 2016). Estas equações indicam que o sistema apresenta três graus de liberdade, x, y e z, e dessa forma a sua dinâmica está contida em um espaço de fases de tridimensional.
Variando os valores dos componentes de controle, é possível obter diversas dinâmicas distintas. O sistema apresenta não apenas comportamentos com diversos graus de periodicidade, (VIANA, 2010), mas também encontram-se dois regimes dinâmicos de interesse que apresentam comportamentos caóticos: o atrator duplo rolo (Double-Scroll) e o atrator espiral (Rössler), (AGUIRRE, 2015). A Figura 8 exemplifica estas dinâmicas obtidas por Rodrigues (1996).
Figura 8: Dinâmicas caóticas do circuito de Chua.
(a) Atrator caótico Dupla Rolo (Double-Scroll). (b) Atrator caótico Espiral (Rössler ).
Fonte: Retirado de Rodrigues (1996).
As seções a seguir são responsáveis por explicar mais detalhadamente o funcionamento desse sistema, apresentando o componente não linear e seu funcionamento, bem como o emulador de indutância. Por fim, será apresentado o funcionamento de uma versão modificada do circuito de Chua, que contém uma fonte de tensão DC em série com o diodo Chua, conforme proposto por Viana (2010). Entretanto, não serão apresentadas todas as deduções das equações e nem as demonstrações de todos os comportamentos, pois essas demonstrações não são o foco deste trabalho e já foram apresentadas em Viana (2010).
3.2 DIODO CHUA
A primeira parte do circuito de Chua, como visto na Figura 7, é formada apenas por resistores, capacitores e um indutor, compondo o que é conhecido como circuito RLC. Dependendo da relação entre os seus componentes, Sadiku e Alexander (2013) afirmam que este tipo de circuito pode apresentar três tipos de comportamentos: amortecimento supercrítico, amortecimento crítico e subamortecimento.
No caso do circuito de Chua, o interesse está no comportamento oscilatório presente em um circuito RLC, porém, para que seja caótico, deve-se evitar o amortecimento do sistema. Sem uma fonte restauradora, um sistema deste tipo perderá energia até cessar a oscilação. Portanto, para que um circuito seja capaz de oscilar sem uma fonte externa, é necessário repor a energia perdida no amortecimento e isto pode ser feito através de um elemento de resistência negativa, (VIANA, 2010). Rosenthal (1980) demonstrou este funcionamento em seu circuito não linear que, posteriormente, foi adaptado para o circuito de Chua com o diodo de Chua, (MATSUMOTO et al., 1984). Isto culminou na confirmação de caos experimental em circuitos eletrônicos por Zhong e Ayrom (1985).
Como Viana (2010) menciona, é possível emular o efeito de resistência negativa através de uma associação de resistores, capacitores e AmpOp’s. A principal característica deste componente é a sua curva de corrente Id(V ) que apresenta uma condutividade
diferencial negativa, dI/dV < 0, conhecido como comportamento NDC (Negative
Differential Conductivity) que foi estudado em Esaki e Tsu (1970).
3.2.1 Curva Id(V ) e Pontos de Operação do Diodo de Chua
As informações sobre o funcionamento do diodo de Chua, dadas a seguir, são detalhadas na dissertação de Viana (2010) e na tese de Sousa (2016). Estes trabalhos apresentam com mais detalhes o equacionamento do circuito do diodo e também alguns detalhes que vão além do escopo deste trabalho.
Considerando NR como o componente de resistência negativa, tem-se a sua
configuração formada por um AmpOp e três resistores, como pode ser visto na Figura 9, sendo Vin e Vout, respectivamente, as tensões de entrada e a saída dos amplificadores.
Figura 9: Dispositivo não linear NR construído com AmpOp e resistores.
Um AmpOp apresenta três regiões de operação: a região linear e as regiões de saturação positiva e negativa. Levando isto em consideração, é possível representar a curva
I(V ) do elemento NR, como na Figura 10, considerando Vsat e −Vsat, respectivamente,
como as tensões de saturação positiva e negativa.
Figura 10: Curva I(V ) característica do dispositivo NR.
Fonte: Autoria própria.
Os pontos VB e −VB são os pontos de tensão limites da região linear, ou seja, os
pontos de transição da região linear para as regiões de saturação e são determinados por: ±VB = ±Vsat
R3
R3+ R2
. (9)
Como pode ser visto pela equação (9), os pontos de transição entre as regiões do componente NR são dependentes tanto da tensão de saturação, e sua polaridade, quanto
dos valores das resistências R2e R3. Desta forma, também é possível determinar o formato
da sua curva I(V ), aumentando ou diminuindo as regiões de operação, através da variação dos valores destas variáveis. Isto é importante, pois um diodo de Chua é constituído por dois componentes NR em paralelo, como representado na Figura 11. Portanto, a curva
da corrente do diodo de Chua, Id(V ), é formada pela junção de duas curvas I(V ) não
Figura 11: Esquemático do diodo de Chua.
Fonte: Adaptado de Viana (2010).
Figura 12: Curva da corrente Id(V ) do diodo de Chua.
Sendo m0, m1 e m2 as inclinações dos seguimentos de reta da Figura 12. A partir
da equação (9), as tensões limites dos dois componentes NR, ±VB1 e ±VB2, são dadas
por: ±VB1= ±Vsat R3 R3+ R2 , (10) ±VB2= ±Vsat R6 R5+ R6 . (11)
Por fim, tem-se a equação total da corrente do diodo de Chua, Id(x), sendo x a
tensão aplicada no diodo, dada por:
Id(x) = m2x −(m1− m0) VB1−(m0− m2) VB2, se x ≤ −VB2, m0x −(m1− m0) VB1, se −VB2< x ≤ −VB1, m1x, se −VB1< x < VB1, m0x+ (m1− m0) VB1, se VB1≤ x < VB2, m2x+ (m1− m0) VB1−(m0− m2) VB2, se x ≥ VB2. (12)
A reta de cor verde representa o funcionamento do diodo quando ambos AmpOp’s então atuando na região linear e a sua inclinação é dada por:
m1= − R2 R1R3+ R5 R4R6 ! . (13)
As duas retas de cor preta são referentes ao funcionamento de um amplificador na região linear e outro na região de saturação. O que determina se a corrente estará negativa ou positiva é a polaridade da tensão de saturação, Vsat. A inclinação, portanto,
é dada por: m0= 1 R1 − R5 R4R6 ! . (14)
Por fim, as duas retas de cor vermelha se relacionam com ambos AmpOp’s estarem funcionando na região de saturação e a sua inclinação é dada por:
m2= 1 R1+ 1 R4 ! . (15)
Vale lembrar que a região de inclinação m2 não estava presente nos primeiros
diodos de Chua, pois apenas eram considerados AmpOp’s ideais. Entretanto, em situações experimentais, lida-se com componentes reais que apresentam saturação para determinadas tensões.
Como o diodo de Chua é o componente que evita o amortecimento do circuito, sendo responsável pelo controle da dinâmica de oscilação do sistema, os seus pontos de operação regem o comportamento total do circuito de Chua. A determinação destes pontos é dada pelo cruzamento da reta azul, conhecida como linha de carga, com a curva Id(V ),
definindo os pontos (−V0, I0) e (V0, −I0) da Figura 12. Para se obter a função da linha
de carga é preciso considerar o circuito em condição de equilíbrio, sem oscilação. Nesta condição, os capacitores C1 e C2 se comportam como se estivessem abertos e o indutor L
comporta-se como se fosse um condutor ideal. Desta forma, o sistema se resume apenas ao diodo de Chua e o resistor variável R e, assim, tem-se pela lei de Kirchhoff para malha:
−R I − x= 0 → I = − 1
R
x, (16)
sendo x a tensão no diodo. Portanto, tem-se que a linha de carga apresenta inclinação negativa inversamente proporcional a resistência R. Desta forma, a variação do valor do resistor implica na alteração da inclinação da reta e, assim, faz com que o sistema tenha novos pontos de operação. Diversas dinâmicas são encontradas no circuito através da variação dos pontos de operação do circuito, como pode ser conferido detalhadamente nos trabalhos de Viana (2010) e Sousa (2016).
3.3 INDUTOR ELETRÔNICO
Diferentemente de componentes como resistores e capacitores, que apresentam uma grande variedade de valores comerciais, os indutores são mais restritos devido a suas diversas limitações, (TORRES; AGUIRRE, 2000). Indutores reais apresentam problemas como: imprecisão em seu valores em decorrência do seu aquecimento, e.g. tensão, corrente, indutância; elevadas dimensões, se houver a necessidade de altas indutâncias; elevado valor de resistência interna; e alto custo, (VIANA, 2010). Desta forma, faz com que seja dificultosa e, por vezes, até inviável a implementação de indutores reais em circuitos caóticos.
Vale lembrar, ainda, que o circuito de Chua exibe uma ampla faixa de frequência de oscilação, (RECAI, 2010). Torres e Aguirre (2000) afirmam que o sistema apresenta uma maior recorrência em valores próximos a frequências determinadas pelos valores do capacitor C2 e da indutância L, vistos na Figura 7, conforme:
f= 1
2π√LC2
Desta forma, ser capaz de controlar os valores da indutância, permite controlar a frequência principal do circuito. Isto é uma enorme vantagem em trabalhos experimentais, pois permite-se selecionar frequências que não ultrapassem o limite máximo das taxas de aquisição de dados, (VIANA, 2010).
Como solução para todas essas questões, foi desenvolvido um componente conhecido como indutor eletrônico. Diversas alternativas foram propostas para a construção deste tipo de componente, (RECAI, 2010). Dentre estes trabalhos, destaca-se o de Torres e Aguirre (2000), por seus bons resultados que utilizou de base os trabalhos de Tellegen (1948) e Antoniou (1969). Esta proposta apresenta uma simples associação de AmpOp’s e resistores que emula o indutor L sem muitas complicações, como pode ser visto na Figura 13.
Figura 13: Circuito equivalente do indutor eletrônico.
Fonte: Adaptado de Torres e Aguirre (2000).
A partir deste circuito, é possível obter o valor da indutância equivalente do circuito, L = Leq, através dos valores dos seus componentes, como:
L=C3R7R9R10 R8
, (18)
sendo C3, R7, R8, R9 e R10 os componentes do circuito do indutor eletrônico ilustrados
