Fontes de Campo Magnético
1. Campo magnético produzido por cargas em movimento 2. Campo magnético produzido
por correntes: Lei de Biot-Savart 3. Lei de Gauss para o Magnetismo 4. Lei de Ampère
Campo magnético produzido por cargas em
movimento
• Quando uma carga está se movendo com
velocidade , ela produz um campo magnético
dado por
• Onde é o vetor unitário do raio vetor que liga a
carga ao ponto onde está sendo medido o
campo.
• é uma constante chamada de permeabilidade
do espaço, cujo valor é
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• Vimos que a força exercida sobre cargas pontuais é dada pela expressão
• Essa expressão pode ser estendida para se obter a força sobre elementos de corrente
• O mesmo pode ser feito para se obter o campo produzido por um elemento de corrente. Substituímos pelo elemento de corrente
• Essa equação é conhecida como lei de Biot-Savart.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• As equações do campo produzido por uma
carga pontual e do campo produzido por um
elemento de corrente são análogas à lei de
Coulomb.
• A fonte de campo magnético é uma carga com
velocidade ou um elemento de corrente de
comprimento .
• Enquanto que a fonte de campo elétrico é uma
carga .
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• Assim como o campo elétrico diminui com o quadrado da distância, o campo magnético apresenta o mesmo
comportamento.
• Entretanto, o campo magnético é sempre perpendicular a direção de e a direção de movimento da carga, , ou do elemento de corrente, .
• O campo magnético total produzido por uma corrente pode ser calculado obtendo o campo produzido por um elemento de corrente e integrando o resultado para todos os elementos de corrente do circuito.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por uma espira
– Considere um condutor em forma de espira (circunferência) de raio por onde passa uma corrente .
– Qual é o campo magnético que essa espira vai produzir no seu centro?
– Primeiro, consideramos um elemento de corrente dessa espira e um raio vetor dirigido do elemento para o centro da espira.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por uma espira
– O campo magnético no centro devido a esse elemento de corrente é dado pela lei de Biot-Savart
– A direção do campo magnético é perpendicular ao plano da espira.
– Como o ângulo entre o elemento de corrente e a direção de é de para todos os elementos, então
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por uma espira
– Assim, temos
– A integral de é igual a . Assim,
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por uma espira
– Qual é o campo produzido pela espira em um ponto situado a uma distância do centro da espira?
– Novamente, primeiro consideramos o campo produzido por um elemento de corrente
– Onde para todo elemento de corrente e
– O campo produzido por esse elemento é perpendicular a direção de e .
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por uma espira
– O campo produzido pelo elemento de corrente tem componentes e .
– Quando integramos para todos os elementos de corrente a soma das componentes é igual a zero. – Assim, podemos integrar apenas as componentes
do campo. Temos que,
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por uma espira
– Substituindo o módulo de na expressão anterior, temos
– Integrando ao longo da espira
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por uma espira
– Mostre que a grandes distâncias, , o campo vale – Onde
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um solenoide
– Um solenoide é um fio enrolado em hélice de
modo a formar uma série de espiras muito juntas. – Sua função é análoga ao do capacitor de placas
paralelas: produzir um campo intenso e uniforme. – O campo de um solenoide equivale ao campo
resultante de espiras idênticas colocadas lado a lado.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um solenoide
– No interior do solenoide, as linhas são paralelas ao eixo e muito próximas entre si, indicando um campo intenso.
– Do lado de fora as linhas são mais espaçadas e começam e divergem de uma extremidade e convergem para outra.
– As linhas de um solenoide coincidem com as linhas de campo de um ímã permanente em forma de barra.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um solenoide
– Considere um solenoide de comprimento com espiras percorridas por uma corrente .
– Considerando o eixo do solenoide como eixo dos e posicionando a origem de modo que a extremidade da esquerda esteja em e a da direita em , vamos calcular o campo na posição .
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um solenoide
– Vimos que o campo produzido por uma única
espira em um ponto do eixo localizado a distância do centro é dado por
– Como temos espiras em um comprimento , então em um comprimento teremos espiras, onde é a densidade de espiras.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um solenoide
– Assim, um elemento do solenoide vai produzir um campo na origem que é proporcional a
– O campo magnético resultante é a integral de de até
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um solenoide
– Resolvendo a integral
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um solenoide
– Assim,
• Mostre que para um solenoide muito longo,
ou seja, , o campo magnético é dado por
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um fio retilíneo
– Considere um fio retilíneo por onde passa uma corrente .
– Vamos calcular o campo magnético produzido por esse fio em um ponto situado a uma distância
transversal do fio igual a .
– Tomemos o eixo do fio como o eixo dos . Um elemento de corrente produz um campo no pronto , dado pela lei de Biot-Savart
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um fio retilíneo
– É mais conveniente escrever essa equação em termos de , ou seja,
– Mostre que nesse caso
– Como , e estão variando, temos que encontrar uma relação entre eles para eliminar variáveis.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um fio retilíneo
– Se fizermos , temos
– Assim, o campo magnético produzindo por um elemento de corrente fica,
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um fio retilíneo
– Assim, para obter o campo total integramos em . Vamos integrar primeiro o lado direito e depois o lado esquerdo em relação a reta perpendicular ao fio que passa por
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O campo produzido por um fio retilíneo
– O campo total no ponto é a soma dos campos obtidos
– Mostre que para um fio muito longo, o campo se reduz a
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• Vimos que a força magnética que atua em um segmento de fio percorrido por uma corrente na presença de um campo magnético, é dada pela expressão
• O campo magnético pode ser produzido por outro fio percorrido por uma corrente . Vimos que se o fio for muito longo, o campo é dado por
• Onde é a distância entre o fio que produz o campo e a posição onde o campo é medido.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• Considere dois fios longos percorridos por correntes que têm o mesmo sentido porém módulos diferentes.
• A corrente que passa pelo fio da esquerda vale e a corrente que passa pelo fio da direita vale .
• A força magnética exercida sobre um segmento do fio da direita é dada pela expressão
• Onde é o campo produzido pelo fio da esquerda e vale • Onde é a distância entre os fios.
• O campo na posição do fio 2 é perpendicular ao fio e a força é perpendicular ao fio 2 e tem o sentido voltado para o fio 1.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• Da mesma forma, um segmento do fio 1, sofre uma força magnética dada pela expressão
• Onde é o campo produzido pelo fio da esquerda e vale • Onde é a distância entre os fios.
• O campo na posição do fio 1 é perpendicular ao fio e a força é perpendicular ao fio 1 e tem o sentido voltado para o fio 2.
• Assim, dois fios paralelos percorridos por correntes de mesmo sentido se atraem.
• Mostre que quando os sentidos das correntes são opostas, a força será repulsiva.
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• O módulo da força magnética exercida sobre o
segmento é dado por
• Substituindo a expressão do módulo de ,
temos
Campo magnético produzido por correntes:
Lei de Biot-Savart
• A força por unidade de comprimento é dada por
• Atualmente, a unidade ampère é definida em termos da força por unidade de comprimento que dois fios paralelos exercem entre si.
• Uma corrente de é aquela que produz uma força de em fios paralelos colocados a uma distância de um do outro.
• A definição do ampère torna a permeabilidade do vácuo igual a .
Lei de Gauss para o Magnetismo
• As linhas do campo elétrico começam e terminam em cargas elétricas.
• Quando a carga era envolvida por uma superfície gaussiana, o fluxo de linhas que atravessa a superfície é proporcional ao valor da carga, ou seja,
• No magnetismo, o equivalente da carga é um polo magnético. Se envolvermos um dos polos por uma
superfície, o número de linhas que saem da superfície é igual ao número que entram.
• Assim, o fluxo do campo magnético é nulo
Lei de Gauss para o Magnetismo
• O resultado do fluxo magnético mostra que
não existe nenhum ponto do espaço onde as
linhas do campo magnético divirjam ou
convirjam.
• Em outras palavras, não existem polos
magnéticos isolados. A unidade fundamental
do magnetismo é o dipolo magnético.
A Lei de Ampère
• A lei de Gauss permite calcular o campo elétrico
de uma distribuição de carga com alto grau de
simetria.
• A lei de Ampère pode ser usada para calcular o
campo magnético em situações com alto grau
de simetria.
• Ela relaciona a componente tangencial de ao
longo de uma curva fechada à corrente que
passa pelo interior da curva.
A Lei de Ampère
• Considere um fio reto e longo percorrido por
uma corrente .
• Podemos descrever uma circunferência de raio
centrada no fio e afastada de suas
extremidades.
• O campo é tangente à circunferência e tem o
mesmo módulo em todos os pontos ao longo
da circunferência. De acordo com a lei de
Ampère, temos
A Lei de Ampère
• A integral de é o comprimento da
circunferência e vale
A Lei de Ampère
• Qual é o campo magnético produzido por uma bobina em forma de toróide?
• A bobina possui espiras e é percorrida por uma corrente .
• A curva fechada é descrita de modo que seja
tangente e constante em todos os pontos da curva. • Nesse caso, é uma circunferência de raio com
centro no meio do toróide. Ela passa pelo interior de todas as espiras.
