ESTUDO NUMÉRICO-EXPERIMENTAL
SOBRE A FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS
DE MADEIRA LAMINADA COLADA (MLC)
Relatório Técnico-Científico
São Paulo 2013
AGRADECIMENTOS
Ao Fundo Mackenzie de Pesquisa, em nome do seu presidente Dr. José Francisco Hintze Jr. e dos atenciosos e prestativos funcionários Cristiane Alves Macedo, Edivaldo Ferreira Cavalcante, Marli Rosana Tonin e Verônica de Farias.
Ao Professor Doutor Celso Antonio Abrantes da Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie (EEUPM) e seu orientador Professor Dr. José Nivaldo Garcia da Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiróz da Universidade de São Paulo (ESALQ) pelo incentivo dado no desenvolvimento deste trabalho, em paralelo com a sua Tese de Doutoramento, e pelo fornecimento dos dados experimentais e incentivo ao desenvolvimento de um modelo matemático.
Ao Professor Dr. Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP) pelas críticas e sugestões no âmbito da modelagem matemática por elementos finitos e pela orientação no estudo de estruturas em MLC para grandes vãos.
Ao Professor Dr. Nilson Franco do Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo (IPT) pelas importantes considerações feitas no âmbito do comportamento da MLC que balizaram nossos estudos.
Ao Engenheiro José Alberto Corrêa Gonçalves, diretor da empresa CG Sistemas Construtivos, pela palestra proferida na XXIV Semana de Engenharia de Engenharia e Tecnologia 2012 da EEUPM sobre MLC, motivando nossos acadêmicos para a escolha deste tema nos Trabalhos de Graduação Interdisciplinar, e pelo fornecimento dos materiais de consumo.
Aos técnicos de laboratório Sr. José Carlos Sobrinho e Sr. Lázaro de Castro pelo auxílio nos ensaios mecânicos realizados no Laboratório de Ensaios de Materiais e no Laboratório de Estruturas da EEUPM.
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 5 1.1 OBJETIVOS 6 1.2 METODOLOGIA 7 1.3 REVISÃO DA LITERATURA 7 1.4 MOTIVAÇÃO 8 2 REFERENCIAL TEÓRICO 11
2.1 TEORIA DA ESTABILIDADE ELÁSTICA DE VIGAS 11
2.2 RELAÇÃO ADERÊNCIA-ESCORREGAMENTO NA INTERFACE DAS LÂMINAS 14
2.3 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DE MATERIAIS ELÁSTICOS-LINEARES 15
2.3.1 Materiais isotrópicos 15
2.3.2 Materiais anisotrópicos 16
3 PROGRAMA EXPERIMENTAL 22
3.1 ENSAIOS DE FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS DE MLC 23
3.2 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE FLAMBAGEM LATERAL 23
3.3 ENSAIOS DE CISALHAMENTO NA INTERFACE DAS LÂMINAS 24
3.4 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO 25
4 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL 28
4.1 DESCRIÇÃO DO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS 28
4.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO E DE CARREGAMENTO 31
4.3 ANÁLISE DE FLAMBAGEM ELÁSTICA 32
4.4 RESULTADOS DA ANÁLISE DE FLAMBAGEM ELÁSTICA 33
4.5 ANÁLISE DE NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA 34
4.6 RESULTADOS DA ANÁLISE DE NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA 35
4.7 INFLUÊNCIA DO NÚMERO DE LÂMINAS AO LONGO DA ALTURA 36
4.8 INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO FORÇA-DESLOCAMENTO INTERLAMINAR 39
5 APLICAÇÕES PRÁTICAS 41
5.1 CALIBRAÇÃO DO MODELO TEÓRICO 41
5.2 APLICAÇÕES PRÁTICAS DO MODELO TEÓRICO ADAPTADO 42
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 46
7 FUTURAS INVESTIGAÇÕES 46
RESUMO
Este trabalho consiste no estudo numérico-experimental sobre o comportamento de estruturas de Madeira Laminada Colada (MLC) sujeitas à instabilidade lateral. São propostas fórmulas, adaptadas da Teoria de Timoshenko, para a estabilidade elástica de vigas, para a avaliação expedita da carga crítica de flambagem lateral de vigas de MLC de seção retangular com razão de aspecto igual a cinco (altura/largura). Também são investigadas as distâncias mínimas de travamento lateral de vigas esbeltas de MLC para grandes vãos, não cobertas pelas normas brasileiras, de modo a garantir níveis mínimos de segurança estrutural.
Inicialmente, a identificação e a quantificação do fenômeno da instabilidade lateral são obtidas experimentalmente em vigas de três metros de comprimento. Em seguida, prossegue-se com um estudo de retroanálise para a obtenção de parâmetros elásticos do material e de suas interfaces em comparação com os resultados experimentais. São desenvolvidos modelos matemáticos no programa ANSYS, utilizando-se elementos finitos sólidos para as lâminas e elementos de interface entre as lâminas, considerando-se o material elástico-linear de comportamento ortotrópico. O modelo descrito é submetido a uma análise de flambagem de modo a se obter o limite superior da carga crítica. Neste tipo de análise não são considerados os efeitos das imperfeições geométricas, da excentricidade do carregamento e da não linearidade do material das lâminas e da relação aderência-escorregamento nas interfaces das lâminas. De modo a contornar as limitações do modelo de cálculo anterior e tornar a análise mais realista, parte-se para uma análise estática geometricamente não linear. Os resultados numéricos e experimentais são confrontados com os teóricos.
O trabalho apresenta o estágio atual do desenvolvimento de programas CAD generativos, que permitem a busca das formas geométricas de acordo com critérios de desempenho e de sustentabilidade. Em confronto, são apresentados alguns projetos, elaborados pelos escritórios de Arquitetura e de Engenharia mais renomados do planeta, de modo a apontar a defasagem existente entre o projeto e a construção.
Palavras-chave: Madeira Laminada Colada (MLC), flambagem lateral, não linearidade geométrica, Método dos Elementos Finitos (MEF), efeitos de interface.
1 INTRODUÇÃO
Elementos estruturais de madeira de reflorestamento, considerados como recursos renováveis, ganharam uma importância estratégica neste novo milênio. Por outro lado, a redução das áreas de florestas naturais provocada pelo aumento do consumo mundial deste material de construção, leva à necessidade de desenvolvimento de produtos alternativos de madeira em substituição à madeira serrada. Neste sentido, surge o conceito MLC, cujas peças são confeccionadas a partir lâminas ou pequenas peças de madeira, certificadas e sem valor comercial, que ligadas por adesivos especiais formam elementos estruturais com as mais variadas formas e dimensões, cobrindo das vigas de seção retangular e eixo reto às vigas curvas com inércia variável. A possibilidade de se obter vigas curvas, aliando-se plasticidade e beleza com esforços de flexão reduzidos, pode-se maximizar as relações resistência/peso e rigidez/peso com o emprego racional das lâminas de melhor qualidade em regiões de maiores solicitações e seções transversais tipo I com relação altura/largura elevada.
Na classificação e seleção das lâminas e peças de madeira serrada são aproveitadas apenas das partes que não apresentarem defeitos naturais, tais como, nós, fendas, gretas, abaulamentos, fibras reversas, furos de larvas, bolor e apodrecimento. Por outro lado, a presença de tais defeitos em peças de madeira serrada limita suas dimensões, perda de qualidade e desempenho estrutural e, principalmente, queda do valor comercial.
As indústrias químicas desenvolveram a tecnologia dos adesivos de alto desempenho, que apresentam excelentes propriedades mecânicas e alta resistência à água e, à presença de umidade. Os avanços nesta área permitiram, a partir da década de 60, a produção em larga escala de produtos de MLC de grande confiabilidade para o uso estrutural, sem causar impactos ambientais. Os principais tipos de adesivos são a Resorcina Fenol Formaldeído (RFF), a Melamina Uréia Formaldeído (MUF) e o Poliuretano (PUR).
Para aumentar o comprimento das peças produzidas com MLC é imprescindível a presença de emendas. Tais emendas são dispostas aleatoriamente, tomado-se o cuidado em não concentrá-las em uma mesma seção. A NBR 7190 (ABNT, 1997) considera em seu item 7.7.4, que “todas as emendas contidas em um comprimento igual à altura da viga são consideradas como pertencentes à mesma seção resistente”. Atualmente, as emendas dentadas (finger-joints) são largamente utilizadas na fabricação de MLC. Sabe-se que as emendas dentadas em MLC apresentam grande eficiência mecânica e, para tanto, exigem um processo de colagem criterioso e permitem a reconstituição praticamente integral da capacidade resistente do conjunto, embora a NBR 7190 (ABNT, 1997) no mesmo item anteriormente citado, considera uma resistência reduzida em noventa por cento da resistência da lâmina.
As principais vantagens no uso da MLC são: liberdade de forma (produção de peças curvas), ótima qualidade de acabamento e estética, excelente desempenho estrutural (altas resistências mecânicas em relação ao baixo peso específico), alta resistência ao fogo e material ecologicamente correto, dentre outras.
1.1 OBJETIVOS
O objetivo deste trabalho é a identificação de parâmetros de dimensionamento para a instabilidade lateral de vigas de MLC utilizados em modelos de cálculo analisados por sistemas computacionais, baseados na Tecnologia da Engenharia Assistida por Sistemas Computacionais (CAE “Computer Aided Engineering”).
Neste estudo torna-se necessário o conhecimento dos parâmetros elásticos do material de comportamento ortotrópico, encontrados na literatura, e a relação aderência-escorregamento na interface das emendas, obtida pelos ensaios laboratoriais propostos neste projeto. Os elementos estruturais estão sujeitos aos esforços combinados de flexo-torção, complexos de serem avaliados analiticamente, recorrendo à necessidade do uso da plataforma CAE. Além destas características, serão investigadas as mudanças nas propriedades da MLC que o adesivo provoca nas adjacências do plano de colagem, relatadas na Seção 3.3.
1.2 METODOLOGIA
A caracterização das propriedades da MLC na interface entre as lâminas é feita a partir de ensaios de cisalhamento puro em corpos-de-prova extraídos das peças estruturais fabricadas. Em uma etapa posterior, estes resultados aliados às propriedades elásticas ortotrópicas da madeira utilizada – a espécie Eucaliptus Grandis – extraídas da literatura (ABRANTES, 2004), permitem efetuar as análises numéricas para a avaliação da estabilidade de vigas de MLC.
1.3 REVISÃO DA LITERATURA
Nesta seção são apresentadas as principais abordagens relacionadas simulação computacional aliada à experimentação de estruturas de MLC, de modo a ressaltar a originalidade do emprego da abordagem numérica proposta para este estudo. Kechter et al. (1984) analisaram pelo Método dos Elementos Finitos (MEF) as tensões em vigas de MLC com inércia variável e eixo reto. Consideraram o material elástico-linear de comportamento ortotrópico e analisaram a distribuição de tensões normais perpendiculares às fibras. Nesta linha de investigação, Aicher (2005) analisou vigas curvas de MLC, a partir de modelos de elementos finitos utilizando materiais elásticos-lineares de comportamento anisotrópico, sujeitas às tensões perpendiculares às fibras. Encontrou resultados que diferem substancialmente daqueles levando-se em conta materiais elásticos-lineares de comportamento ortotrópico. Este trabalho (AICHER, 2005) proporcionou uma compreensão mais clara do comportamento de vigas curvas de MLC com carregamento predominantemente transversal às fibras do material, podendo ser utilizado como referência em projetos que levem em conta a otimização da seção transversal formada por múltiplas lâminas. Simulações computacionais utilizando modelos de elementos finitos tridimensionais elásticos com comportamento ortotrópico com confirmação experimental foram descritos por Gutkowsky et al. (1984) e Wipf et al. (1990). A incorporação do comportamento não linear do material e das relações aderência-escorregamento de vigas de MLC reforçadas com fibras foi analisada por Davids (2001), sendo confirmada a aderência com os resultados experimentais. Ekevad et al. (2011) analisou as tensões de cisalhamento em vigas de pontes em MLC pelo MEF. Ensaios experimentais com modelos em escala natural e as
correspondentes simulações por elementos finitos, considerando modelo constitutivo elasto-plástico, confirmaram o deslizamento horizontal entre as lâminas que conduzem às deformações permanentes da viga que, sob carregamento cíclico, levam ao dano acumulado e, consequentemente, colapso da peça. As evidências numéricas e experimentais do estudo da flambagem de colunas de MLC reforçadas com mantas confeccionadas com materiais compósitos foram obtidas por Taheri et al. (2009) atestando a eficiência estrutural e viabilidade econômica destes elementos. Guan et al. (2005) analisaram vigas de MLC protendidas com cabos de fibras de vidro e verificaram um aumento na capacidade portante das vigas de MLC em função do nível de protensão. Os modelos de elementos finitos permitiram a validação dos resultados experimentais e uma compreensão maior das tensões de aderência entre os materiais. Modelos elementos finitos com acoplamento higrométrico-mecânico permitem revelar os efeitos do transporte de umidade no interior da peça, a partir de um gradiente de concentração d´água, que induz a aparecimento de tensões indesejáveis levando-a ao empenamento e alterações nas distribuições de tensões na mesma (ANGST, 2012). Outro efeito semelhante a este, é o fenômeno da fluência da madeira (EKEVAD, 2011) levando a deformações deletérias nos elementos estruturais compostos por MLC.
1.4 MOTIVAÇÃO
As coberturas para grandes vãos são, dentre as aplicações da MLC, as mais surpreendentes e notáveis. Destacam-se pela simplicidade, adaptabilidade, flexibilidade e leveza, além de ser sustentável atendendo os requisitos de durabilidade e manutenibilidade.
O arquiteto canadense-americano Frank Gehry, vencedor do Prêmio Pritzker 1989 – considerado o Prêmio Nobel de Arquitetura –, utilizou vigas em arco de MLC no projeto da cobertura da pista profissional de patinação no gelo em Anahein, na Califórnia, mostrada na Figura 1. A cobertura é composta por onze vigas de MLC, com dupla curvatura e vão de, aproximadamente, quarenta metros. As peças foram transportadas em partes e montadas no local da obra, mostrando a facilidade construtiva do sistema estrutural.
Figura 1 Arena Anaheim de patinação no gelo (Anahein, EUA)
Fonte: http://www.anaheimice.com/
Figura 2 Aeroporto de Barajas (Madrid, Espanha)
Fonte: http://www.aena-aeropuertos.es/csee/Satellite/Aeropuerto-Madrid-Barajas/en/Page/1049727006313//Photo-gallery.html
A cobertura em MLC de bambu do terminal T4 do Aeroporto de Barajas, inaugurado em Fevereiro de 2006, recebeu diversos prêmios internacionais de Arquitetura e Engenharia pelo projeto e construção, mostrada na Figura 2. Os Jogos Olímpicos de Inverno de 2010 em Vancouver no Canadá, além dos inúmeros recordes batidos pelos atletas olímpicos, também se destacou a cobertura do ginásio poliesportivo de Richmond, mostrada na Figura 3, considerada uma das mais belas estruturas de cobertura em MLC do mundo.
Um dos maiores escritórios do mundo em projetos de Arquitetura e Engenharia, a empresa Skidmore, Owings and Merrill (SOM), que assina por cinco entre os dez maiores edifícios do planeta, inclusive o edifício Burj Khalifa, em Dubai, que é a torre mais alta do mundo (828 metros) tem utilizado com frequência elementos estruturais em MLC nos projetos devido à sua resistência, durabilidade, conforto térmico e acústico e forte apelo estético. A catedral Christ the Light projetada pelo arquiteto Craig Hartmann do escritório da SOM em São Franscisco, mostrada na Figura 4, é uma das estruturas com grande prestígio e popularidade.
Estes são alguns dos casos de obra selecionados que atestam a grande aceitação dos profissionais do mercado de projetos arquitetônicos e a indiscutível viabilidade técnica no uso das vigas de MLC como solução estrutural para grandes vãos.
Figura 3 Quadra poliesportiva olímpica de Richmond (Vancouver, Canadá)
Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Richmond Olympic_Oval_intern_View.jpg
Fonte: http:// www.ctlcathedral.org
2 REFERENCIAL TEÓRICO
Nesta seção é apresentada a formulação de Timoshenko sobre flambagem lateral-torcional de vigas maciças, homogêneas e de comportamento isotrópico (TIMOSHENKO, 1936), representada por um modelo idealizado unidimensional. Timoshenko é considerado o pioneiro no estudo da estabilidade elástica de estruturas formadas por barras, placas e cascas.
A formulação original foi inicialmente desenvolvida para o aço, considerado um material homogêneo de comportamento isotrópico e amplamente utilizado na época. Este trabalho busca a adaptação desta teoria clássica para o uso em MLC, a partir dos resultados numéricos e experimentais.
2.1 TEORIA DA ESTABILIDADE ELÁSTICA DE VIGAS
Timoshenko, considerado o pai da Resistência dos Materiais – disciplina obrigatória em todos os cursos de Engenharia e Arquitetura –, conquistou grande prestígio internacional com seus livros clássicos sobre Teoria da Estabilidade Elástica, Teoria da Elasticidade e Teoria das Placas e Cascas mostrados na Figura 5.
Figura 5 (a) Selo ucraniano com Timoshenko e suas teorias
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Stephen_Timoshenko
Considerando-se uma viga simplesmente apoiada, feita de material elástico-linear e de comportamento isotrópico, suportando uma carga P aplicada meio do vão e no centróide da seção transversal retangular, a flambagem lateral ocorre quando a carga excede o valor da carga crítica (TIMOSHENKO, 1936):
, 93 16 2 cr L GJ EI , P (1)
onde EI é a rigidez à flexão (igual a Ehb3/12, para flexão lateral, sendo h a altura e b a largura da viga), GJ é a rigidez à torção e L é o comprimento da viga.Na expressão (1) , assume-se que as extremidades da viga estão impedidas de rotacionarem em torno do eixo longitudinal da viga e livres para rotacionarem em torno do eixo principal de maior inércia. Estas condições de contorno refletem a maioria das situações práticas. A Equação (1) é válida para tensões abaixo do limite de proporcionalidade do material.
Figura 6 Excentricidades horizontal e vertical do ponto de aplicação da carga
Timoshenko (1936) analisou a influência do ponto de aplicação da carga na instabilidade lateral da viga, formulada com a introdução do parâmetro a (excentricidade vertical do ponto da aplicação da carga). Na Figura 6, observa-se que
a<0
P
a0P
a>0P
Y Z XP
a h b cpara um parâmetro a negativo (abaixo do centro geométrico da seção transversal) ocorre um aumento da carga crítica de flambagem lateral, pelo fato que a carga P tende a retificar a rotação da seção transversal. Por outro lado, assumindo-se que a carga P esteja aplicada acima do centróide da seção transversal retangular com uma excentricidade vertical, mostrada na Figura 7, a fórmula aproximada para o cálculo da carga crítica de flambagem lateral é dada por (TIMOSHENKO, 1936):
, 48 , 3 1 93 , 16 2 cr GJ EI L a L GJ EI P
(2)
onde a corresponde à distância vertical do centróide da seção até o ponto de aplicação da carga. O momento de inércia à torção da seção rectangular é dado pela fórmula aproximada: . h b h b , hb J 4 4 3 12 1 21 0 3 1 (3)
Figura 7 Esquema estático da viga simplesmente apoiada sujeita à carga
concentrada P aplicada no meio do vão com seção transversal retangular
Finalmente, para o carregamento uniformemente distribuído q aplicado ao longo do eixo longitudinal da viga, conforme mostrado na Figura 8, a fórmula aproximada para o cálculo da carga crítica de flambagem lateral é dada por (TIMOSHENKO, 1936):
GJ EI L a L GJ EI qcr 28,3 3 1 3,48
(4)
Figura 8 Esquema estático da viga simplesmente apoiada sujeita ao carregamento
uniformemente distribuído q com seção transversal retangular
As pesquisas desenvolvidas sobre este tema permitirão fazer uma adaptação da Fórmula de Timoshenko, para o caso da MLC assumindo-se um material de comportamento ortotrópico com descontinuidades entre as lâminas, dotado de imperfeições geométricas (empenamentos, emendas, defeitos de fabricação) e com cargas excêntricas.
2.2 RELAÇÃO ADERÊNCIA-ESCORREGAMENTO NA INTERFACE DAS LÂMINAS
Outro aspecto importante nesta pesquisa é a descrição comportamento mecânico na interface entre as lâminas. Baseado em diversos estudos experimentais utilizando-se resinas a base de epóxi, GUO (2005) apresenta alguns modelos para a relação entre as tensões de aderência e o deslocamento relativo. Dentre os modelos apresentados, inclui-se a Equação de Popovics, dada por:
2 ) ( 1 2 máx máx máx s s s s
(5)onde é a tensão de aderência (MPa), máx é a tensão de aderência última, s é o deslocamento relativo (mm) entre dois pontos da interface analisada e smáx é o deslocamento relativo associado a tensão de aderência última, parâmetros indicados na Figura 9.
Figura 9 Curva tensão de aderência versus deslocamento relativo
Fonte: Adaptado de GUO, 2005
A Figura 9 representa a variação da tensão de aderência em relação ao deslocamento relativo entre dois pontos contíguos na interface. A Equação (5) pode ser utilizada para representar matematicamente o comportamento estrutural nas interfaces da MLC em modelo de elementos finitos não lineares. A dificuldade de confirmação experimental deste comportamento exige um ensaio de cisalhamento com velocidade de deformação controlada para poder capturar o ramo descendente da curva.
2.3 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DE MATERIAIS ELÁSTICOS-LINEARES
2.3.1 Materiais isotrópicos
As hipóteses básicas dos materiais isotrópicos apoiam-se no fato de que o comportamento mecânico independe da direção do carregamento e da orientação das fibras do material e que as componentes de tensão normal e de cisalhamento são desacopladas. Para a Teoria da Elasticidade, as componentes do tensor das deformações e do tensor das tensões são dados em relação aos eixos principais de inércia, respectivamente, por:
1 2 3 12 23 31
T ε e
1 2 3 12 23 31
T σ ,sendo relacionados pela expressão matricial: (tensão de aderência)
máx
s (deslocamento relativo) smáx
31 23 12 3 2 1 12 12 12 1 1 12 1 1 12 1 12 1 31 23 12 3 2 1 31 23 12 3 2 1 1 0 1 (s i m) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 G G G E E E E E E S
onde E1 é o módulo de elasticidade longitudinal, 12 é o coeficiente de Poisson e G12 é
o módulo de elasticidade transversal dado por:
) 1 ( 2 12 1 12 E G
São necessários dois parâmetros físicos para se caracterizar um material elástico linear, pois o terceiro parâmetro está relacionado aos outros dois pela expressão acima. No caso do coeficiente de Poisson, o segundo índice 12 corresponde à direção transversal e o primeiro índice 12 está relacionado à direção onde foi aplicada a tensão que causou a deformação imposta, ou seja:
1 2 12 . 2.3.2 Materiais anisotrópicos
As hipóteses básicas dos materiais anisotrópicos são fundamentadas no comportamento mecânico depender da direção do carregamento e do sistema ortogonal adotado para representar as características do material e as componentes de tensão normal e de cisalhamento são acopladas. Analogamente, pode-se escrever:
31 23 12 3 2 1 31 31 56 23 31 46 23 45 12 31 36 23 35 12 34 3 31 26 23 25 12 24 2 23 2 31 16 23 15 12 14 1 13 1 12 1 31 23 12 3 2 1 31 23 12 3 2 1 1 1 (s i m) 1 1 1 1 G G G G G G G G G E G G G E E G G G E E E S
sendo 1, 2 e 3 as direções principais ortogonais assumidas para representar o material. Os módulos de elasticidade longitudinal e transversal devem ser positivos. Os coeficientes de Poisson somente poderão assumir valores que levem à condição de que a matriz de acoplamento seja positiva definida (determinante não-nulo). Estas propriedades são obtidas por meio de ensaios em laboratório. Cada coeficiente da matriz representa uma medida de deformação devida à aplicação apropriada de uma tensão unitária. Observa-se que, devido à simetria, são necessários 21 tipos de ensaios para se caracterizar o comportamento mecânico elástico-linear de um material anisotrópico.
Para o caso da MLC, as fibras estão praticamente alinhadas ao eixo da viga MLC (direção longitudinal), conforme pode ser observado na Figura 10. Assim, o módulo de elasticidade na direção das fibras (direção 1) é maior daqueles nas direções radial e circunferencial (direções 2 e 3).
Figura 10 Seção transversal retangular de MLC
As equações constitutivas, que refletem o comportamento mecânico dos materiais, são definidas a partir de parâmetros elásticos representativos. Neste caso, a representação é usualmente aproximada para materiais de comportamento ortotrópico, onde E1E2E3, sendo que o comportamento observado depende da
direção do carregamento, sendo distinto para as três direções principais do material e as componentes de tensão normal e de cisalhamento são desacopladas:
31 23 12 3 2 1 31 23 12 3 2 23 2 1 13 1 12 1 31 23 12 3 2 1 31 23 12 3 2 1 1 0 1 (s i m) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 G G G E E E E E E S
A simetria da matriz de acoplamento deve-se à validade das seguintes relações:
2 23 3 32 1 13 3 31 1 12 2 21 ; e E E E E E E
São necessários 9 tipos de ensaios para se caracterizar o comportamento mecânico elástico-linear de um material ortotrópico.
É comum assumir, devido à aleatoriedade das fibras nas direções radial e circunferencial, no plano transversal à direção das fibras (Figura 10), que as propriedades neste plano sejam isotrópicas, com E2 E3. Neste caso, os materiais são
chamados de transversalmente isotrópicos governados pela equação constitutiva:
12 2 1 12 2 1 12 1 12 2 1 12 2 1 1 s i m 0 1 0 1 G E E E S .
1 12 2 21 E E ,
sendo necessários 4 tipos de ensaios para se caracterizar o comportamento mecânico elástico-linear de um material transversalmente isotrópico. Observa-se que o coeficiente de Poisson 12 não é limitado ao valor 0,5 como nos materiais isotrópicos.
Por outro lado, 21 é a deformação induzida na direção 1 por uma deformação aplicada
na direção 2 e sendo esta última a direção transversal às fibras (que é muito menos rígida que a direção 1 paralela às fibras), pode-se afirmar que 12 > 21.
Observa-se, devido à presença de zeros na relação constitutiva de materiais transversalmente isotrópicos, que as componentes de tensão normal e de cisalhamento são desacopladas. Esta forma é obtida somente quando os eixos de referência estiverem alinhados com as direções principais dos materiais. Caso contrário, a matriz de acoplamento será livre de termos nulos e não simétrica. Por exemplo, caso exista um carregamento axial, não orientado com as fibras do material também serão desenvolvidas tensões de cisalhamento.
Para se relacionar tensão e deformação, segundo os eixos de referência não alinhados com as direções principais do material, podem-se utilizar as transformações tensoriais das equações constitutivas, dadas por (ROYLANCE, 1996):
12 2 1 12 2 1 S xy y x 1 1 xy y x xy y x SA R RA S
onde A é a matriz de transformação dos eixos numa direção qualquer para a direção principal do material, explicitamente escrita como:
xy y x 2 2 2 2 2 2 xy y x 12 2 1 s en cos cos s en cos s en cos s en 2 cos s en cos s en 2 s en cos p p p p p p p p p p p p p p A ,
sendo p o ângulo entre o eixo arbitrário e o eixo principal do material e R é a matriz
/2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 /2 xy y x xy y x xy y x R .
2.3.2.1 Tensão imposta ao longo do eixo da peça
Um exemplo numérico permite uma interpretação mais clara sobre o comportamento de materiais transversalmente isotrópicos. Considerando-se uma peça de MLC cujas propriedades do material transversalmente isotrópico são fornecidas na Figura 11, dadas em relação aos eixos ortogonais às fibras. Observa-se no caso das fibras estarem orientadas 30 graus em relação à linha de ação do carregamento, o módulo de elasticidade longitudinal cai para EX = 9,60 GPa, sendo que na direção paralela às fibras
vale E1 = 13,91 GPa. O mesmo efeito observa-se com o módulo de elasticidade
transversal. Em relação ao plano principal vale G12 = 5,08 GPa e em relação ao plano
orientado 30 graus em relação ao plano principal, cai para GXY = 1,66 GPa. Um outro
fato curioso é que a matriz de acoplamento S continua simétrica para outras direções das fibras, porém as componentes de tensão normal e de cisalhamento estarão acopladas (perde os zeros da terceira coluna). Isto implica em afirmar que para uma tensão normal X10 MPa serão desenvolvidas, além das deformações lineares X
1,042x103 e Y0,718x103,também a deformação angularXY1,144x103. Caso a
tensão normal 1 10 MPa fosse aplicada na direção paralela às fibras seriam
observadas as deformações lineares 1 0,719x103 e 20,295x103, que são
menores que as anteriormente apresentadas, e sem deformação angular 120. Um
outro fato que pode ser apontado, é que na situação de carga paralela às fibras ocorre alongamento das fibras enquanto que na direção transversal, ocorre encurtamento (efeito de Poisson). Mas, curiosamente na situação de carga não paralela às fibras ocorre alongamento nas duas direções (coeficiente de Poisson negativo).
Figura 11 Material transversalmente isotrópico sob tensão
na direção paralelas às fibras
Figura 12 Material transversalmente isotrópico sob tensão na direção X
formando um ângulo de 30 graus em relação às fibras
2.3.2.2 Deformação imposta ao longo do eixo da peça
As mesmas considerações poderão ser feitas de maneira inversa, ou seja, definindo-se a matriz constitutiva D S1 que relaciona t ensão e deformação, pode-se impor uma deformação específica de 0,001 na direção principal, assim:
0 MPa 00069 , 0 MPa 01419 , 0 0 0 001 , 0 08 , 5 0 0 0 68 , 1 69 , 0 0 69 , 0 19 , 14 12 2 1 12 2 1 12 2 1 D
obtendo-se as tensões normais principais 114,19 MPa e 20,69 MPa, isenta de
tensão de cisalhamento 120.
Por outro lado, impondo-se uma deformação específica de 0,001 na direção X, defasada 30 graus em relação à direção principal do material, tem-se:
MPa 0,002078 MPa 0004 , 0 MPa 01216 , 0 0 0 001 , 0 99 , 3 34 , 3 08 , 2 34 , 3 90 , 5 40 , 0 08 , 2 40 , 0 16 , 12 XY Y X XY Y X XY Y X D
que leva aparecimento da tensão de cisalhamento 122,08 kPa, além da presença de
tensões normais X12,16 kPa e 20,40 kPa. Neste caso, as tensões são menores
porque módulo de elasticidade do material aparentemente diminuiu. A Figura 13 mostra o acoplamento entre as tensões normais e de cisalhamento para o caso de uma deformação unitária (micro deformação) imposta na direção X produzir tensões normais e de cisalhamento. Estes estudos permitem ampliar o entendimento para correta interpretação e validação dos resultados advindos de modelos com materiais ortotrópicos e transversalmente isotrópicos.
Figura 13 Material transversalmente isotrópico sob deformação na
direção X formando um ângulo de 30 graus em relação às fibras
3 PROGRAMA EXPERIMENTAL
O programa experimental apresentado faz parte da Tese de Doutorado “Determinação do momento fletor último no regime linear elástico em vigas de MLC” do professor Celso Antonio Abrantes, que é um dos autores do trabalho. O experimento consiste na obtenção da carga crítica de flambagem lateral de vigas de MLC com três metros de
comprimento e simplesmente apoiadas e travadas lateralmente nas extremidades. Foram ensaiadas seis vigas com uma série de pequenos defeitos naturais e emendas decorrentes do próprio processo de fabricação. Desta forma, os resultados obtidos serão conservadores.
3.1 ENSAIOS DE FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS DE MLC
As vigas de MLC de seção transversal retangular com 40 mm de largura por 192 mm de altura, composta por seis lâminas de 32 mm. A madeira utilizada é o Eucalyptus Grandis, classificada como madeira de reflorestamento (PARRA, 2010).
Figura 14 Ensaio de flambagem lateral da viga de MLC de
seção transversal retangular de 40 x 192 mm
Fonte: ABRANTES, 2012.
3.2 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE FLAMBAGEM LATERAL
Uma grande dispersão de resultados foi observada e pode ser justificada pela perceptível diferença de qualidade do produto manufaturado. A Tabela 1 apresenta os resultados dos ensaios de flambagem lateral.
Tabela 1 Resultados experimentais
GRUPO P cr,lab (N) P u,lab (N)
40 x 192 mm 2000 10000 4000 2000 22000 17600
5000 23000 Fonte: ABRANTES, 2012
3.3 ENSAIOS DE CISALHAMENTO NA INTERFACE DAS LÂMINAS
A determinação das propriedades mecânicas (resistência e rigidez ao cisalhamento na lâmina de cola) na interface de elementos estruturais de MLC é feita a partir das prescrições da ABNT (1997) considerando-se um lote homogêneo de doze peças, divididos em interface colada e maciça conforme mostrado na Figura 15. A resistência ao cisalhamento na lâmina de cola paralela às fibras da MLC é dada pela máxima tensão de cisalhamento que pode atuar na lâmina de cola de um corpo-de-prova prismático, calculada a partir da força cisalhante máxima aplicada no corpo de prova pela área de cola em um plano paralelo às fibras, ou seja:
gv,0 máx v0, gv A F f
O corpo-de-prova para o ensaio de cisalhamento deve ter a forma e dimensões indicadas na Figura 15, cuja amostra deve ser representativa para toda a viga de MLC. Para a caracterização das propriedades da interface colada deve-se excluir a deformação da madeira. Para tanto, são utilizados corpos de prova de referência, com as mesmas dimensões, feitos de madeira maciça sem ligações. A Figura 15 mostra os dois tipos de corpos de prova ensaiados: (a) com interface colada e (b) com interface maciça e fibras paralelas e orientadas na direção vertical. As medidas dos lados dos corpos-de-prova foram feitas com precisão da ordem do décimo de milímetro. Não serão investigadas as mudanças das propriedades da MLC que o adesivo provoca nas adjacências do plano de colagem. Os corpos de prova foram armazenados em ambiente não exposto à emissão direta da radiação solar e apresentaram umidade relativa de 12% (valor médio).
Figura 15 Corpos de prova para ensaio de cisalhamento na direção
paralela às fibras (a) interface com lâmina de cola (b) interface maciça
Os resultados da resistência e da rigidez ao cisalhamento na lâmina de cola, na direção paralela às fibras, foram apresentados com seus valores característicos. A Figura 16 apresenta a ruína do corpo de prova obtida no ensaio de cisalhamento na lâmina de cola.
Figura 16 Ensaio de cisalhamento na lâmina de cola
3.4 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO
As figuras 17 e 18 apresentam os resultados dos ensaios após dois ciclos de carga e descarga, de acordo com o procedimento especificado pela ABNT (1997), correspondente a uma taxa de carregamento de 2,5 MPa/min. Os resultados da resistência ao cisalhamento nos dois tipos de corpos de prova (seis com lâmina de cola e outros seis maciços) foram apresentados com base nos seus valores característicos.
O corpo de prova feito de madeira maciça apresentou uma resistência 20% superior daquele feito em MLC. Uma das razões pela diferença encontrada deve-se ao tempo de cura do adesivo, onde se adotou o período de 48 horas. O adesivo utilizado é monocomponente e à base de poliuretano (PURBOND, HENKEL). A partir da resistência ao cisalhamento característica na lâmina de cola igual a 4 MPa, associaram-se os deslocamentos verticais neste dois tipos de ensaio encontrando-se 1,22 mm para o corpo de prova de madeira maciça e 1,36 mm para o corpo de prova de madeira colada. De modo a se excluir a deformação da madeira deste estudo será considerado um modelo reológico básico formado por molas Hookeanas associadas em série. A rigidez relativa é definida por:
MPa/mm 28 , 3 22 , 1 4 mad 4 , 0 , 0 mad v k v K MPa/mm 94 , 2 36 , 1 4 mad cola 4 , 0 , 0 mad cola v k v K
Figura 17 Relação entre a tensão de cisalhamento e o deslocamento
vertical para o corpo de prova com interface colada
Figura 18 Relação entre tensão de cisalhamento
e deslocamento vertical para o corpo de prova maciço
Para a obtenção do deslocamento relativo v0 foram utilizados dois sensores LVDT, um
em cada porção do corpo de prova. A rigidez relativa equivalente, relativa às deformações da madeira e da cola, será considerada por meio da associação em série das rigidezes relativas de cada parte do conjunto. A necessidade desta separação incide no fato que no modelo matemático foram considerados elementos de interface cujo comportamento está desassociado às deformações da madeira. Assim, a rigidez relativa da cola é obtida a partir da analogia de resistores associados em série, dada por: mad cola mad cola mad cola K K K K K MPa/mm 28 28 , 3 28 , 3 94 , 2 cola cola cola K K K mm 14 , 0 28 4 mad , 0 mad 4 , 0 K k v v
Figura 19 Modelo reológico básico adotado
O valor obtido é o deslocamento relativo na interface colada para a tensão de aderência 4 MPa. Este deslocamento e a tensão de cisalhamento associada são utilizados para a definição das propriedades elásticas dos elementos de interface no modelo matemático de elementos finitos, apresentado na Seção 4. Notar que o deslocamento vertical obtido corresponde à diferença entre os deslocamentos verticais medidos nos corpos de prova. Deve-se notar ainda, que a rigidez relativa da
cola, calculada anteriormente, não corresponde às características exclusivas do material adesivo, por não existir um plano de colagem bem definido, mas sim, de um material mais rígido composto por madeira saturada com cola. A profundidade de penetração da cola está associada à espessura deste material compósito equivalente, com características melhoradas. A porosidade da madeira é um fator importante a ser considerado para este estudo. Tais investigações não fazem parte do escopo deste trabalho, pois se exige um estudo mais aprofundado e específico para a descrição do comportamento na interface colada.
4 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL
Nesta seção é apresentado o modelo de elementos finitos da viga ensaiada mostrando aspectos relacionados às formulações utilizadas, os tipos de elementos finitos, as condições de contorno e de carregamento. Dois tipos de análise estrutural são realizados para a descrição da instabilidade lateral de vigas de MLC. As análises estruturais utilizadas são: (a) análise de flambagem, para obtenção do limite superior das cargas críticas de flambagem e seus modos associados (problema de autovalores e autovetores) e (b) análise geometricamente não linear, que é uma abordagem mais precisa, que fornece as informações necessárias para projetos de estruturas de MLC.
4.1 DESCRIÇÃO DO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
O modelo de elementos finitos é composto por dois tipos de elementos: elemento sólido hexaédrico com oito nós e três graus de liberdade translacionais por nó e elemento de interface unidimensional com dois nós e três graus de liberdade por nó, compatíveis com os graus de liberdade dos elementos sólidos. Dois tipos de materiais são considerados: o material que compõe as lâminas de madeira (elementos sólidos) sendo caracterizado pelas propriedades elásticas ortotrópicas apresentadas na Figura 20 e pelo material da interface colada (elementos de interface) caracterizado pelas propriedades elásticas da curva generalizada mostradas nas Figuras 21 e 22.
Figura 20 Propriedades elásticas ortotrópicas da madeira analisada
Figura 21 Elemento de interface com dois nós e de comportamento elástico-linear
Fonte: ABRANTES,2012
Figura 22 Relação força-deslocamento relativo para os elementos de interface
para a simulação da tendência de escorregamento e de descolamento
TYPE: SOLID45 (3-D)
TIMBER: EUCALIPTUS GRANDIS
ORTHOTROPIC :COMBIN39 INTERFACE: ADHESIVE 3 DIRECTIONS LR0,37 RL0,044 GXY GLR4676 MPa RT=0,55 TR=0,330 GYZ GRT 4133 MPa LT=0,45 TL=0,027 GXZ GLT 4418 MPa EZ ETT 769 MPa EX ELL 12813 MPa EY ERR 1524 MPa DELAMINATION SLIP Y UPPER NODE LOWER NODE VERTICAL DIRECTION TRANSVERSAL DIRECTION LONGITUDINAL DIRECTION SLIP Z X relative displacement (mm) (MPa) u smáx bound stress TYPE LONGITUDINAL DIRECTION X Y TANGENTIAL DIRECTION Z RADIAL DIRECTION dT (mm) 1 2 3 4 5 6 7
RELATIVE DISPLACEMENT ALONG THE PLANE OF INTERFACE
IN TE R LA M IN A R S H EA R F O R C E FN(N) 1 2 3 4 5 6 7 RELATIVE DISPLACEMENT NORMAL TO INTERFACE D EL A M IN A TI O N F O R C E FT(N) INTERLAMINAR SHEAR
STRESS LEVEL (MPa) DELAMINATION NORMAL
STRESS LEVEL (MPa)
... ... dN (mm) FT FT dT FN FN dN
A relação elástica-multilinear entre força e deslocamento nas três direções (normal e tangencial longitudinal e tangencial transversal) foi adotada para caracterização do nível de tensão normal e de cisalhamento nos elementos de interface correspondentes ao plano de colagem. O limite de resistência ao cisalhamento na interface das lâminas, (tensão de aderência última) cujo valor obtido experimentalmente é igual a 4 MPa, não será considerado neste estudo, pois a relação entre as dimensões da seção transversal das vigas adotadas neste trabalho (h/b5) leva a ocorrência do fenômeno da flambagem lateral antes da ruína por esgotamento da capacidade resistente ao cisalhamento dos planos de colagem interlaminares.
Caso contrário, dois tipos de comportamento poderiam ser previstos: a separação entre lâminas (delaminação), segundo a direção perpendicular ao plano de colagem, e deslocamento relativo entre duas lâminas (escorregamento), na direção paralela ao plano de colagem. As forças estão correlacionadas aos respectivos níveis de tensão (normal e de cisalhamento) de acordo com a área de influência de cada nó da interface.
Figura 23 Modelo de elementos finitos da viga de MLC com
emendas de topo e quatro lâminas ao longo da altura
Figura 24 Detalhe dos elementos de interface
1 X Y Z APR 20 2011 20:10:59 ELEMENTS
A Figura 24 mostra os elementos de interface interligando duas lâminas, com um nó em cada lâmina adjacente. Esta simplificação do plano de colagem em pontos de cola é inerente ao processo de discretização do modelo de elementos finitos. Quanto maior o nível de discretização mais realista é a representação do plano de colagem.
4.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO E DE CARREGAMENTO
As condições de apoio e de carregamento da viga estão apresentadas na Figura 25. A figura mostra que os nós da base das seções transversais extremas são impedidos de apresentar deslocamento vertical, refletindo as condições do ensaio onde a viga é apoiada sobre os cutelos da máquina de ensaios mecânicos. As seções transversais extremas estão travadas lateralmente ou impedidas de girar entre relação ao eixo da viga. Para tanto, os nós do eixo vertical de simetria das seções extremas estão impedidos de se deslocarem na direção horizontal transversal.
O sistema de aplicação de carga reflete as condições impostas pela máquina de ensaio de flexão por três pontos. A aplicação da carga é feita indiretamente com deslocamento vertical da base do equipamento por pistões hidráulicos, onde a viga está apoiada, contra o anteparo rígido onde se situa a célula de carga. Pode-se levar em conta as excentricidades horizontal eZ e vertical eY do ponto de aplicação de carga,
mostradas na Figura 25, por meio de um sistema de barras rígidas. Devido à condição de simetria, os nós da seção transversal do meio do vão são impedidos de se deslocarem na direção do eixo da viga.
Figura 25 Condições de contorno e deslocamento imposto
4.3 ANÁLISE DE FLAMBAGEM ELÁSTICA
Na análise de flambagem assume-se que os materiais sejam elásticos-lineares de comportamento ortotrópico. Considera-se que as fibras da madeira estejam idealmente orientadas na direção do eixo longitudinal da viga. A equação matricial para análise de flambagem de uma estrutura com múltiplos graus de liberdade recai em um problema de autovalores e autovetores dada por:
0
U
S
K
λ
)
(
(6)onde K é a matriz de rigidez da estrutura, S é a matriz de rigidez geométrica, é o fator de carga (autovalor) e U é vetor deslocamento associado ao modo de flambagem (autovetor). A carga crítica de flambagem é obtida pela expressão:
aplic cr
P
P
λ
.A solução não trivial da equação (6) leva ao cálculo do determinante:
0
λ
S
K
,que conduz à obtenção das raízes de um polinômio de grau compatível com o número de graus de liberdade da estrutura. Normalmente, os algoritmos de resolução de problemas de autovalores e autovetores são iterativos. O algoritmo utilizado é baseado no Método do Subespaço, que é recomendado para análises de flambagem, pois permite que sejam calculados, com razoável precisão, apenas os menores
Y Z X LATERAL CONFINEMENT (TYPICAL) PRESCRIBEB VERTICAL DISPLACEMENT MACHINE MOVEMENT RIGID MEMBER SYMMETRY BOUNDARY CONDITION (TYPICAL FOR
ALL NODES INDICATED) ez ey VERTICAL REACTION COUPLED NODES FOR UY,UZ
autovalores não se levando em conta o número total de graus de liberdade da estrutura. Os resultados teóricos, obtidos por meio da Teoria da Estabilidade Elástica (TIMOSHENKO, 1936), e os numéricos, utilizando-se O Método dos Elementos Finitos são sumarizados na Tabela 2.
Para a formulação analítica utiliza-se o módulo de elasticidade longitudinal E = 12813 MPa, módulo de elasticidade transversal G = 4676 MPa e excentricidade vertical a 192/2 = 96 mm. Para a obtenção dos resultados da análise numérica foram assumidas as propriedades elásticas-ortotrópicas do material apresentadas na Figura 20.
4.4 RESULTADOS DA ANÁLISE DE FLAMBAGEM ELÁSTICA
Tabela 2 Resultados numéricos (modelo 3-D) e teóricos (modelo 1-D)
para a carga concentrada aplicada no meio do vão
Y Z X Y Z X Y Z X 1-D/ISOTROPIC/MASSIVE TIMOSHENKO’S ELASTIC STABILITY THEORY CONSIDERING THE POINT OF APPLICATION
OF THE LOAD ABOVE THE CENTROID (2)
Y
Z X
3-D/ISOTROPIC
FINITE ELEMENT FORMULATION LINEAR BUCKLING ANALYSIS WITH CONTINUOUS MODEL /MASSIVE Pcr a Pcr Pcr Pcr 40 mm x 192 mm 50 mm x 192 mm 60 mm x 192 mm DIMENSIONS THEORETICAL ASSUMPTIONS SCHEMATIC MODEL 3-D/ORTHOTROPIC
FINITE ELEMENT FORMULATION LINEAR BUCKLING ANALYSIS WITH CONTINUOUS MODEL /MASSIVE
CRITICAL LOAD
3-D/ORTHOTROPIC
FINITE ELEMENT FORMULATION LINEAR BUCKLING ANALYSIS WITH INTERFACE ELEMENTS /LAMINATED 40 mm x 192 mm 50 mm x 192 mm 60 mm x 192 mm 40 mm x 192 mm 50 mm x 192 mm 60 mm x 192 mm 40 mm x 192 mm 50 mm x 192 mm 60 mm x 192 mm 25047 N 47886 N 80928 N 27002 N 51504 N 86826 N 26322 N 49882 N 83328 N 22737 N 41746 N 67922 N
Supõe-se que a análise geometricamente não linear assimile as imperfeições físicas e geométricas da viga de MLC por meio de uma excentricidade fictícia do ponto de aplicação de carga, no sentido de aproximar os resultados numéricos dos experimentais. Observa-se que os resultados experimentais são significativamente inferiores aos analíticos e numéricos. Este comportamento discrepante deve-se ao fato que os modelos teóricos e experimentais não consideraram as imperfeições geométricas e defeitos naturais dos elementos estruturais. A Figura 26 apresenta os dois primeiros modos de flambagem lateral da viga de MLC estudada. No caso da peça estar impedida de se deslocar lateralmente nas seções extremas e no meio do vão ocorrerá o segundo modo de flambagem, apresentado na Figura 26.
Figura 26 Primeiro e segundo modo de flambagem lateral da viga de MLC simplesmente
apoiada de três metros de vão com carga concentrada no meio do vão
4.5 ANÁLISE DE NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA
A análise de não linearidade geométrica utiliza a formulação Lagrangeana, com atualização da geometria a cada iteração de uma estrutura composta por múltiplos graus de liberdade, sendo governada pela equação matricial:
F
U
U
K
T(
)
(2) onde KT é a matriz de rigidez tangente (dependente do campo dos deslocamentos), Ué o vetor deslocamento incremental e F é o vetor força desbalanceada. Foi aplicado um deslocamento imposto de 50 mm nas extremidades da viga, em 50 incrementos de deslocamento (1 mm a cada iteração). O sistema de aplicação de carga do modelo
matemático busca a simulação fidedigna da forma como foi aplicada a carga no experimento. Os resultados na análise geometricamente não linear são apresentados na Figura 27. Devido a dificuldades numéricas para a convergência do problema com a utilização do algoritmo iterativo de Newton-Raphson, em alguns casos analisados não foi possível atingir o deslocamento total imposto.
Neste tipo de análise são calculados os deslocamentos, as tensões e as deformações e as forças externas reativas que são informações necessárias para os dimensionamento e verificações normativas que visam o projeto de estruturas de MLC (ABNT, 1997). Assume-se que o material seja elástico linear de comportamento ortotrópico, com as fibras orientadas na direção do eixo longitudinal da peça.
Este tipo de análise é mais completo que a análise de flambagem elástica, pois permite a inclusão de modelos com comportamento visco-elástoplástico, carregamentos dinâmicos e termodinâmicos com transporte de massa e acoplamento estrutural (impacto e concentração de umidade e suas alterações nas propriedades da madeira), comportamento não linear para os elementos de interface (delaminação e descolamento da interface segundo os ensaios destrutivos), análise limite (para verificação da carga de ruptura da viga de madeira definida por um critério de resistência para materiais ortotrópicos estabelecido a partir das propriedades da madeira analisada. Tais propriedades utilizadas para a definição de superfície de ruptura são os valores limites do material ortotrópico referentes às resistências à tração, à compressão e ao cisalhamento, paralelo ou não às fibras). O estudo atual baseia-se na flambagem elástica de vigas de MLC e não foram levados em conta os fenômenos não lineares expostos anteriormente.
4.6 RESULTADOS DA ANÁLISE DE NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA
Os resultados das análises geometricamente não linear são sumarizados na Figura 27. Nesta figura, a linha tracejada horizontal corresponde aos resultados da análise de flambagem linear para o modelo de elementos finitos sólidos com elementos de interface, apresentados na Tabela 2. Pode-se observar que este valor corresponde ao limite superior da teoria geometricamente não linear considerada. Na Figura 27, as
curvas apresentadas correspondem às diferentes excentricidades horizontais consideradas. Observa-se que quanto maior a excentricidade lateral do ponto de aplicação de carga indireta, situado no meio do vão da viga do modelo de elementos finitos, menor é a sua capacidade de suportar cargas transversais. As curvas tracejadas indicam que o limite de resistência à compressão foi atingido (ponto onde a ruína seria por esmagamento). Para este grupo de vigas de MLC, onde a relação entre os lados da seção transversal é igual a cinco (40 mm x 192 mm) observa-se que a instabilidade lateral precede a ruína por esmagamento das fibras. A análise da Figura 27, permite concluir que quanto maior for a imperfeição geométrica da peça, introduzida por meio da excentricidade fictícia, menor será a capacidade de suportar carregamentos transversais, levando-a prematuramente a instabilidade. Este efeito pode explicar em partes as grandes diferenças encontradas no confronto entre os resultados experimentais (faixa amarela) e numéricos.
Figura 27 Carga vertical versus deslocamento lateral para
vigas de MLC variando-se a excentricidade horizontal
4.7 INFLUÊNCIA DO NÚMERO DE LÂMINAS AO LONGO DA ALTURA
Para verificar a influência do número de lâminas que compõem a viga de MLC na carga crítica de flambagem lateral utiliza-se um modelo de elementos finitos calibrado de
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0,5 mm
LINEAR BUCKLING Pcr22737 N (Model 4 ofTable 2)
8 mm 5 mm 12 mm 40 mm x 192 mm 16 mm 2 mm
EXPERIMENTAL RANGE (Table 1)
2000 5000
uma viga em balanço de 1 metro de vão com seção transversal retangular de 40 mm por 200 mm com distintas configurações de lâminas ao longo da altura.
Figura 28 Deslocamento lateral do ponto da seção transversal
extrema em função da carga vertical para a viga 4 x 50 mm
Figura 29 Deslocamento lateral do ponto da seção transversal
extrema em função da carga vertical para a viga 8 x 25 mm
Figura 30 Deslocamento lateral do ponto da seção transversal
Figura 31 Deslocamento lateral do ponto da seção transversal
extrema em função da carga vertical para a viga 16 x 12,5 mm
Figura 32 Deslocamento lateral do ponto da seção transversal
extrema em função da carga vertical para a viga 20 x 10 mm
Figura 33 Curvas carga versus deslocamento lateral para
Para o estudo da influência no número de lâminas da viga de MLC no ponto limite de instabilidade, as curvas carga-deslocamento das Figuras 28 a 32 foram sobrepostas na Figura 33. Fica claro que com o aumento do número de interfaces diminui a rigidez torcional da viga de MLC levando a diminuição da capacidade de suportar cargas transversais. Deve-se observar que este comportamento instável depende da rigidez da interface colada e não da resistência, uma vez que a instabilidade antecede qualquer um dos modos de ruptura da peça. Daí a importância da descrição realista da relação entre carga e deslocamento relativo interlaminar para o modelo de elementos finitos.
4.8 INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO FORÇA-DESLOCAMENTO INTERLAMINAR
Neste estudo paramétrico busca-se a identificação da influência da rigidez da cola na instabilidade lateral da viga de MLC. Consideram-se três relações tensão de cisalhamento no plano de colagem versus deslocamento relativo interlaminar para os elementos de interface.
A espessura da interface colada é função da porosidade da madeira e do tipo de cola. Neste estudo a variação das propriedades mencionadas não foi levada em conta, adotando-se uma espessura fictícia de 0,1 mm. A distância entre os nós dos elementos de interface é descontada da altura da lâmina, pelo fato que há penetração de cola nos vazios entre as fibras e não se observa um aumento da altura final da viga de MLC em função do número de lâminas coladas.
Para vigas com grande altura em relação ao vão (L/h<5) há preponderância das tensões de cisalhamento sobre as tensões normais. Conforme se observa nas Figuras 34 e 35, quanto menor a rigidez do elemento de interface menor será a carga crítica. Diante deste fato, suspeitou-se que as vigas curtas tivessem uma redução maior da carga de flambagem lateral por serem preponderantemente exigidas ao cisalhamento. Assim, analisam-se as vigas em balanço com vãos de um metro, dois e meio metros e cinco metros, mostradas na Figura 36.
Figura 34 Curvas carga versus deslocamento lateral para
vigas de MLC com distintos números de lâminas
Figura 35 Curvas carga versus deslocamento lateral para
Em todas as vigas analisadas observou-se a depreciação da carga de flambagem lateral em função da redução da rigidez dos elementos de interface, não influenciando a relação entre comprimento e altura da viga de MLC. A queda da carga crítica verificada na Figura 35, considerando uma viga de MLC em balanço com um metro de vão, foi quantitativamente comparável para as vigas de MLC de dois metros e meio e cinco metros de balanço.
Figura 36 Vigas de MLC em balanço de 2,5 metros e 5,0 metros
com seção transversal retangular de 40 x 200 mm
5 APLICAÇÕES PRÁTICAS
5.1 CALIBRAÇÃO DO MODELO TEÓRICO
Uma vez que os resultados experimentais (Tabela 1) apresentam valores significativamente inferiores aos resultados teóricos e numéricos, deve-se proceder com um ajuste da Fórmula de Timoshenko de modo a refletir o comportamento experimental observado.
Utilizando-se o ajuste curva potencial pelo Método dos Mínimos Quadrados, sendo esta curva aquela que apresentou o maior coeficiente de correlação com os valores experimentais, propõe-se a inclusão do fator de correção 0.30/c0.45 na expressão (2):
GJ EI L a L GJ EI c P 0,30 16,93 1 3,48 2 45 , 0 cr,corr (6) 1 MN MX XYZ -.024902.088976 .202854 .316732 .43061 .544488 .658366 .772244 .886122 1 APR 7 2013 17:17:45 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 FREQ=5998 UZ (AVG) RSYS=0 DMX =1 SMN =-.024902 SMX =1 1 MN MX X Y Z 0 .11112 .222239.333359 .444478 .555598.666717 .777837 .8889571 APR 7 2013 16:56:48 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 FREQ=1339 USUM (AVG) RSYS=0 DMX =1 SMX =1
onde c (em milímetros) corresponde à excentricidade lateral fictícia que incorpora todas as imperfeições geométricas e defeitos naturais e de fabricação da viga de MLC.
Tabela 3 Fator de correção para vigas de MLC com seção
transversal retangular de 40mm x 192 mm c (mm) (0.30/c0.45) Pcr,corr(6) Pcr(2) 0.5 0.41 10265 N 25047 N 2.0 0.22 5500 N 5.0 0.15 3642 N 8.0 0.12 2948 N 12.0 0.10 2507 N 16.0 0.09 2158 N
Inspecionando-se os resultados fornecidos pela expressão (6), que representa a adaptação da Fórmula de Timoshenko para o caso de vigas de MLC com relação entre lados igual a cinco, e confrontando-os com os resultados experimentais, apresentados na Tabela 1, sugere-se a adoção de uma excentricidade lateral fictícia a ser utilizada tanto na expressão analítica (6) quanto nas análises não lineares por elementos finitos. Recomenda-se o uso da excentricidade fictícia c 2 mm para vigas de MLC com um excelente controle de qualidade de produção e livre de defeitos naturais e c 16 mm para vigas de MLC com baixo controle de qualidade de fabricação. Deve-se observar que a influência do número de lâminas na instabilidade lateral de vigas de MLC é significativa, exigindo-se a inclusão de mais um fator de correção para levar em conta este efeito.
Acredita-se que a fórmula adaptada de Timoshenko possa servir como uma maneira prática e expedita para a incorporação das imperfeições das vigas de MLC no sentido de atender os critérios de segurança impostos pelas prescrições normativas nacionais e internacionais.
5.2 APLICAÇÕES PRÁTICAS DO MODELO TEÓRICO ADAPTADO
A expressão (6) pode ser utilizada para a previsão da distância entre travamentos laterais ao longo do eixo das vigas de MLC. Reescrevendo-se a expressão (4), para
carregamento uniformemente distribuído, e se incluindo o fator de correção proposto neste trabalho chega-se a:
GJ EI L a L GJ EI c qcr,corr 00,30,45 28,3 3 1 3,48 (7)
Como exemplo prático, pode-se ilustrar o uso da expressão (7) para os seguintes exemplos práticos. Considerando-se uma cobertura plana formada por justaposição de vigas de MLC com seção retangular de 338 mm x 1692 mm compostas por seis lâminas com espessura de 282 mm, espaçadas a cada dois metros, cujo carregamento uniformemente distribuído leva em conta o peso da cobertura mais vento, em relação a área de influência de dois metros, incluindo-se o coeficiente de segurança igual a dois. Introduzindo-se as propriedades físicas e geométricas na expressão (7) e os carregamentos de 24 kN/m e 60 kN/m obtém-se, respectivamente, os comprimentos de intertravamento lateral (distância entre terças) de 20 metros e de 15 metros, conforme ilustrados na Figura 37.
Figura 37 Exemplos de aplicação da metodologia proposta
unbr aced leng th 1692 mm 338 mm 100 m a=896 mm p 24 kN/m 20 m (safety factor=2) 2 m 2 m unbr aced leng th 100 m 60 kN/m 15 m (safety factor=2) 2 m 2 m
O procedimento proposto pode ser generalizado, a partir de estudos numéricos específicos, para diferentes tipos de elementos estruturais, tais como, coberturas em arcos de MLC. A Figura 38 apresenta os bancos criados pelo arquiteto Matthias Pliessing que poderiam ser, perfeitamente, protótipos para projetos de coberturas genéricas compostas por elementos curvilineares de MLC. Os programas de CAD generativos permitem a criação de coberturas com formas orgânicas e muito complexas tanto do ponto de vista geométrico, quanto executivo. Os avanços que poderão ser sentidos no setor dos laminados colados, a partir de estudos como o presente trabalho, permitirão enfrentar estes desafios no âmbito de projetos de coberturas formadas por elementos estruturais de MLC.
Figura 38 Obras em exibição (a) galeria Renwick (DC) do Museu de Arte
Smithsonian (b) Sunnyvale (CA) do arquiteto Matthias Pliessnig
De modo a vislumbrar a utilização de recursos de modelagem de última geração aliados às análises não lineares por elementos finitos e a facilidade de fabricação de peças de MLC com formas genéricas, apresentam-se nas Figuras 38 e 39 as integrações entre tecnologias para o sucesso dos projetos inovadores e arrojados em MLC. É óbvio que a confirmação experimental torna-se imprescindível para a calibração dos modelos não lineares de elementos finitos.
