CARLOS AZAEL ALVAREZ ZAMBRANO
Instabilidades de escoamentos gravitacionais
de material granular em um tubo vertical
CAMPINAS 2016
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Peitrosanto Milla - CRB 8/8129
Alvarez Zambrano, Carlos Azael,
1982-AL85i Instabilidades de escoamentos gravitacionais de material granular em um tubo vertical / Carlos Azael Alvarez Zambrano.− Campinas, SP : [s.n.], 2016.
Orientador: Erick de Moraes Franklin.
Dissertação (mestrado)− Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.
1. Materiais granulados. 2. Estabilidade linear. 3. Tubos. 4. Processamento de imagens. 5. Câmera de alta velocidade. I. Franklin, Erick de Moraes, 1974-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Instabilities of gravitational flows of granular material in a vertical pipe Palavras-chave em inglês: Granular materials Linear stability Pipes Image processing High speed camera
Área de concentração: Térmica e Fluídos Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica Banca examinadora:
Erick de Moraes Franklin [Orientador] Marcelo Souza de Castro
Oscar Mauricio Hernandez Rodriguez Data da defesa: 04-02-2016
Em primeiro lugar, quero dedicar este trabalho a Deus por seu imenso amor e pela infinita misericórdia.
Aos meus amados pais, Carlos e Jenny, sinto muito orgulho de seu exemplo. Obrigado por ensinar me a trabalhar com humildade e perseverança.
Aos meus irmãos, Gina e Jimmy, sinto admiração da sua fortaleza e constância. Obrigado por toda a confiança.
A meu sobrinho Emilito, por ser a alegria de todo dia. Tenho certeza que ele vai superar minhas conquistas.
A Deus por me ajudar a escolher o caminho certo.
A meus pais e meus irmãos por aceitar minha partida, por a força e por o amor incondicional. Ao povo equatoriano, e principalmente à SENESCYT por terem me conferido a bolsa de estudos e o apoio financeiro. A bolsa de estudos conferida sob contrato N° 2013-AR2Q2850.
Ao meu orientador, o Prof. Dr. Erick de Moraes Franklin, pela qualidade dos conhecimentos transmitidos, pela oportunidade de ser seu aluno, pelas palavras de confiança e pela amizade. Ao CEPETRO por ter disponibilizado a câmera rápida.
Aos alunos de graduação Rodolfo Tomazela e Lucas Teshida pela ajuda durante os ensaios. A meus amigos José Luis e Gabriel por todos os bons comentários e momentos de conversa e discussão.
A meus amigos Bruno, Jan, Lucas, Luiz e Maikon, por as excelentes discussões quando fomos colegas em várias disciplinas.
Ao Prof. Dr. William Wolf pelas excelentes aulas nas suas disciplinas.
Ao pessoal do Laboratório Multiusuário de Caracterização de Materiais da Faculdade de Enge-nharia Mecânica da UNICAMP pelas microscopias eletrônicas.
Aos funcionários da Secretaria da Pós-graduação da Faculdade de Engenharia Mecânica da UNICAMP pelo serviço oferecido.
Estudos em meios granulares têm uma notável importância devido a suas aplicações industriais e ambientais. Os escoamentos de grãos dentro de tubos são frequentemente encon-trados nas indústrias farmacêutica, química, de petróleo, mineração e alimentícia. No caso de escoamentos gravitacionais, onde existem limitações de tamanho da relação entre o diâmetro do tubo e o diâmetro dos grãos, ondas de densidade, que consistem de regiões alternadas de alta e baixa compacidade, podem aparecer. Este trabalho tem como objetivo estudar experimentalmente o comportamento das ondas de densidade que ocorrem em escoamentos gravitacionais de grãos finos em tubos verticais. A bancada experimental utilizada consiste basicamente de um tubo de vidro através do qual diferentes populações de esferas de vidro escoaram conduzidas pela gravidade. Durante os experimentos, a temperatura ambiente e a umidade relativa foram controladas e o escoamento granular foi filmado com uma câmera de alta velocidade. Os resultados experimentais consistem em medições da escala de comprimento e da velocidade das ondas de densidade. Estas magnitudes foram determinadas através de um processamento digital de imagens, utilizando um código numérico desenvolvido ao longo deste trabalho na plataforma Matlab. Além disso, foi desenvolvido um modelo unidimensional e uma análise de estabilidade linear para determinar a escala de comprimento das ondas de densidade. A análise linear mostra a presença de uma instabilidade de grande comprimento de onda, com um modo mais instável e um número de onda de corte, cujos valores estão de acordo com os resultados medidos experimentalmente.
Palavras-chave: grãos finos, escoamento gravitacional, instabilidade, ondas de densidade, processamento de imagens.
Investigations on granular media have a remarkable importance because of its industrial and environmental applications. Flows of grains in pipes are frequently encountered in pharmaceutical, chemical, petroleum, mining and food industries. In the case of gravitational flows where the grains and the tube diameter are size-constrained density waves consisting of alternate high- and low-compactness regions may appear. This work investigates experi-mentally the dynamics of density waves that appear in gravitational flows of fine grains in vertical pipes. The experimental device consisted basically of a glass pipe through which different populations of glass spheres flowed driven by gravity. In the experiments, the ambient temperature and relative humidity were controlled, and the granular flow was filmed with a high-speed camera. Experimental results concerning the length scales and celerities of density waves are presented. This measurements were determinated by digital image processing using a numerical code developed in Matlab envionment. Moreover, a one-dimensional model and a linear stability analysis to determinate the length scale of density waves are presented. The linear analysis shows the presence of a long-wavelength instability, with a most unstable mode and a cut-off wave-number whose values are in agreement with the experimental results.
1.1 Diagrama espaço-tempo típico. O diagrama corresponde a um escoamento em regime de queda livre, extraído de Bertho e outros (2002) . . . 21 2.1 Configuração experimental típica para estudar escoamentos gravitacionais em
tubos verticais. . . 31 2.2 Vista esquemática do regime de ondas de densidade. . . 32 2.3 Vista esquemática dos regimes de escoamento observados em tubos verticais
como função da vazão mássica, adaptada de Aider e outros (1999). . . 33 2.4 Configuração cilíndrica que define os parâmetros usados no modelo de Janssen. 35 2.5 Esquema de escoamento de ar através de um plugue. . . 38 3.1 Diagrama esquemático da bancada experimental. . . 43 3.2 Foto da bancada experimental. . . 44 3.3 Detalhe dos redutores de diâmetro utilizados para conectar o reservatório ao
tubo de vidro. . . 45 3.4 Imagem de calibração. O papel milimetrado foi colocado fora do tubo de vidro 46 3.5 Dispositivos de medição. (a) Termo-higrômetro. (b) Balança digital. . . 47 3.6 Fluxograma de caracterização granular. . . 48 3.7 Imagens MEV das esferas de vidro. (a) 212−300 �m a 100X. (b) Esfera de
vidro a 2000X. (c) 106−212 �m a 300X. (d) 212−300 �m a 300X. . . 49 3.8 Histograma das esferas na faixa de 106−212 �m. Diâmetro mediano calculado
110 �m. . . 50 3.9 Histograma das esferas na faixa de 212−300 �m. Diâmetro mediano calculado
225 �m. . . 50 3.10 Posicionamento da câmera em relação ao tubo de escoamento. . . 51 4.1 Imagem do escoamento granular. As regiões mais claras correspondem aos
plu-gues formados pelos grãos. A imagem é prévia ao processamento realizado com o código desenvolvido em Matlab. A região completamente escura corresponde a uma base metálica que suporta o tubo de vidro. . . 54 4.2 Imagem após a identificação da região que contém o tubo de vidro. O
compri-mento total da imagem corresponde a 1024 pixels. A largura é igual ao diâmetro do tubo, neste caso corresponde a 22 pixels. . . 55 4.3 Imagem em escala de cinzas após a aplicação do filtro �1. Para a imagem
exi-bida, o valor de �1é igual a 140. Comparada à figura 4.2, algumas regiões foram
escuras correspondem ao tubo de vidro. . . 57 4.5 Imagem capturada durante a execução do código numérico. As imagens
conti-das nesta figura apresentam graficamente, os passos do processo de reconheci-mento dos plugues granulares. . . 59 4.6 Diagrama espaço-tempo de um escoamento granular obtido com o código
nu-mérico desenvolvido. As posições superiores e inferiores dos plugues são mos-tradas em preto e azul, respectivamente. A linha descontínua corresponde à ve-locidade média dos plugues, �p. Nesse caso, as ondas de densidade propagam-se
com movimentos oscilantes no mesmo sentido do escoamento. . . 61 5.1 Ondas de densidade com velocidade positiva. A frequência utilizada foi de 250
Hz. O tempo entre a obtenção das imagens é de 0,06 s. . . 70 5.2 Diagramas espaço-tempo para diferentes valores de ˙�. As posições superiores e
inferiores dos plugues são identificadas com os pontos pretos e azuis, respectiva-mente. A velocidade média dos plugues é representada pela linha descontínua. (a) �p = -0,0434 m/s, ˙� = 0,44 g/s. (b) �p = -0,0366 m/s, ˙� = 0,37 g/s. (c e d)
�p = -0,0538 m/s, ˙� = 0,55 g/s. . . 71
5.3 Diagramas espaço-tempo para diferentes valores de ˙�. As posições superiores e inferiores dos plugues são identificadas com os pontos pretos e azuis, respec-tivamente. (a) �p = -0,0382 m/s, ˙� = 0,36 g/s. (b) �p = -0,0873 m/s, ˙� = 0,84
g/s. (c) �p= -0,0408 m/s, ˙� = 0,40 g/s. (d) �p = -0,0914 m/s, ˙� = 0,96 g/s. . . . 72
5.4 Velocidade média dos plugues, �p, como função da vazão mássica ˙�, no
re-gime de propagação de ondas. ∘, correspondem a ensaios com grãos "velhos". △, correspondem a ensaios com grãos "novos", e as linhas correspondem ao ajuste linear realizado para cada grupo de dados, mostrando a dependência li-near aproximada de �p como função de ˙�. . . 74
5.5 Vista ampliada de um diagrama espaço-tempo, correspondente ao regime de propagação de ondas. Velocidade média de propagação, �p= -0,0366 m/s, vazão
mássica, ˙� = 0,37 g/s. . . 75 5.6 Comprimento de onda dos plugues, �, como função da vazão mássica ˙�. ◇,
correspondem a ensaios com grãos "novos". ▽, correspondem a ensaios com grãos "velhos". . . 76 5.7 Diagramas espaço-tempo para diferentes valores de ˙�, regime de ondas
osci-lantes de pequena amplitude. As posições superiores e inferiores dos plugues são identificadas com os pontos pretos e azuis, respectivamente. A velocidade média dos plugues é mostrada com a linha descontínua. (a) �p = 0,0652 m/s, ˙�
= 0,41 g/s. (b) �p= 0,0250 m/s, ˙� = 0,26 g/s. (c) �p= 0,0401 m/s, ˙� = 0,35 g/s.
dência linear aproximada de �p como função de ˙�. . . 79
5.9 Comprimento de onda dos plugues, �, como função da vazão mássica, ˙�, no regime de ondas oscilantes de pequena amplitude. . . 79 5.10 Diagramas espaço-tempo para diferentes valores de ˙�, regime de ondas
osci-lantes. As posições superiores e inferiores dos plugues são identificadas com os pontos pretos e azuis, respectivamente. A velocidade média dos plugues é mostrada com a linha descontínua. (a) �p = 0,0190 m/s, ˙� = 0,21 g/s. (b) �p =
0,0401 m/s, ˙� = 0,36 g/s. (c) �p = 0,045 m/s, ˙� = 0,42 g/s.(d) �p= 0,0501 m/s,
˙
� = 0,43 g/s. . . 81 5.11 Região ampliada de um diagrama espaço-tempo que exibe o comportamento de
cola-escorrega dos plugues. . . 82 5.12 Taxa de crescimento adimensional �*
i como função do número de onda
adimen-sional �*. �*
2.1 Estudos experimentais realizados para analisar escoamentos gravitacionais em tubos verticais. . . 30 2.2 Resumo dos regimes de escoamento e de valores dos parâmetros físicos. . . 33 4.1 Valores de �s, �a, �, �0, � e � empregados para calcular �*(�*). . . 68
5.1 Regimes de escoamento como função de ˙� e � associados a este trabalho. . . . 69 5.2 �, �, �˙ p, � e estado dos grãos para os testes no regime de propagação de ondas 73
Letras Latinas
� Área de seção transversal (m2)
�, �1 Constantes
� Constante
� Compacidade (%)
�0 Compacidade média (%)
� Diâmetro do grão (m)
�50 Diâmetro mediano do grão (m)
� Diâmetro do tubo de vidro (m)
� Aceleração da gravidade (m/s2)
� Umidade do ar (%)
ℎ Altura de referência (m)
�a Velocidade superficial do ar (m/s)
�s Velocidade superficial dos grãos (m/s)
� Permeabilidade do pacote de grãos
� Número de onda (m−1)
� Comprimento do tubo de vidro (m)
˙
� Vazão mássica granular (kg/m3)
� Pressão do ar (Pa)
�0 Pressão atmosférica (Pa)
� Perímetro (m)
� Thresholdde uma imagem
� Tempo (s)
�a Velocidade do ar (m/s)
� Velocidade média do escoamento (m/s)
�p Velocidade média dos plugues (m/s)
�s Velocidade de grãos individuais (m/s)
�som Velocidade do som (m/s)
� Coeficiente de calor específico � Porosidade do meio granular
� Ângulo de inclinação do tubo (o)
� Coeficiente de redirecionamento
� Comprimento de onda (m)
�s Coeficiente de fricção estático
�a Viscosidade dinâmica do ar (Pa s)
�a Massa específica do ar (kg/m3)
�s Massa específica do grão (kg/m3)
�h Tensão horizontal (N/m2)
�v Tensão vertical (N/m2)
�zr Tensão entre a parede do tubo e os grãos (N/m2)
�zz Tensão vertical atuando nos grãos (N/m2)
�i Taxa de crescimento (s−1)
�r Frequência angular (rad/s)
Abreviações
DM Dinâmica molecular
FFT Fast fourier transform LGA lattice-gas automata
MEV Microscopia electrônica de varredura
Siglas
CCD Charge Coupled Device
ECT Electrical capacitance tomography LED Light Emitting Diode
PVC Polyvinyl chloride RGB Red, Green, Blue
Subscritos
� Relativo ao ar
� Relativo a uma magnitude característica
� Relativo ao grãos
˜ Relativo à perturbação
ˆ Relativo à amplitude das perturbações * Relativo a uma magnitude adimensional
Lista de Ilustrações Lista de Tabelas
Lista de Abreviaturas e Siglas SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 19
1.1 Definições e considerações gerais . . . 19
1.2 Motivação do trabalho . . . 22
1.3 Objetivos . . . 23
1.3.1 Objetivo geral . . . 23
1.3.2 Objetivos específicos . . . 23
2 REVISÃO DA LITERATURA 25 2.1 Algumas definições associadas a meios granulares . . . 25
2.1.1 Material granular . . . 25
2.1.2 Pó . . . 25
2.1.3 Compacidade . . . 25
2.2 Estudos de escoamentos granulares . . . 26
2.3 Estudos experimentais de escoamentos granulares em tubos verticais . . . 28
2.3.1 Configurações dos dispositivos experimentais . . . 28
2.3.2 Análises através de imagens . . . 29
2.3.3 Primeiras observações dos regimes de escoamento . . . 30
2.3.4 Parâmetros físicos que determinam os regimes de escoamento . . . 32
2.3.5 Outros aspectos que intervêm na formação de ondas de densidade . . . 34
2.4 Lei de Janssen . . . 34
2.5 Permeabilidade do ar através dos pistões granulares . . . 37
2.5.1 Lei de Darcy . . . 37
2.5.2 Equação de Carman-Kozeny . . . 38
2.6 Estabilidade linear . . . 39
2.6.1 Método dos modos normais . . . 39
2.6.2 Critério de estabilidade linear . . . 40 2.6.3 Análise de estabilidade linear em escoamentos granulares gravitacionais 41
3.2 Dispositivo para escoamento de grãos . . . 44
3.3 Aquisição de imagens . . . 46
3.4 Fonte de Luz . . . 47
3.5 Medição de temperatura, umidade e vazão mássica . . . 47
3.6 Caracterização dos grãos . . . 47
3.7 Preparação do equipamento . . . 51
4 METODOLOGIA 53 4.1 Análises através de processamento de imagens . . . 53
4.1.1 Representação das imagens . . . 53
4.1.2 Processamento das imagens . . . 54
4.1.3 Etapas de execução do código . . . 59
4.1.4 Diagramas espaço-tempo do escoamento . . . 60
4.2 Equações governantes . . . 61
4.2.1 Pressão do ar . . . 61
4.2.2 Equação de conservação da massa normalizada . . . 64
4.2.3 Movimento dos grãos . . . 64
4.3 Análise de estabilidade linear . . . 66
4.3.1 Equações dos modos normais . . . 67
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO 69 5.1 Regimes de escoamento . . . 69
5.2 Regime de Ondas de densidade . . . 70
5.2.1 Propagação de ondas . . . 71
5.2.2 Ondas oscilantes de pequena amplitude . . . 76
5.2.3 Outras ondas oscilantes . . . 80
5.3 Resultados obtidos utilizando a análise linear . . . 82
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 85 Referências 89 ANEXOS 93 A – Trabalhos publicados 93 A.1 Artigo publicado em J. Braz. Soc. Mech. Sci. Eng. . . 93
1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo, são apresentadas as características gerais do material granular, descrevem-se os fenômenos que aparecem no escoamento de meios granulares dentro de tubos verticais, e identificam-se os três regimes de escoamento. De forma geral, detalham-se alguns trabalhos realizados envolvendo escoamentos granulares em tubos verticais e seus resultados mais importantes. Finalmente, são expostos a motivação e os objetivos do presente trabalho.
1.1 Definições e considerações gerais
Os materiais granulares ocupam um lugar proeminente nas atividades humanas. Durante muitos anos, cientistas têm estudado estes materiais para entender seu comportamento na natu-reza e em aplicações industriais. Estes materiais são utilizados extensivamente na indústria, como exemplos podem-se citar: mineração, construção civil, agricultura, farmacêutica, ali-mentícia, cerâmicas, etc. Desta forma, qualquer desenvolvimento para entender sua física tem grande relevância econômica e industrial. Depois da água, os materiais granulares são os se-gundos na escala de prioridades das atividades humanas (Duran, 1999).
Os materiais granulares podem ser definidos como grandes conglomerados de partículas macroscópicas discretas. Na ausência de forças capilares e eletrostáticas, os materiais granula-res caracterizam-se por não serem coesivos, dessa forma, as forças entre grãos são unicamente de repulsão, portanto, a forma do material é determinada pelas fronteiras externas e pela gravi-dade (Jaeger e outros, 1996). No entanto, apesar da aparente simplicigravi-dade, um material granular comporta-se de maneira diferente das outras formas da matéria (sólidos, líquidos e gases); e portanto, poderia ser considerado um estado adicional da matéria. Existem dois aspectos im-portantes que contribuem às propriedades exclusivas do meio granular: a temperatura não tem influência sobre eles, e as interações entre os grãos são dissipativas devido ao atrito estático e às colisões inelásticas (Jaeger e outros, 1996).
Apesar da contínua pesquisa em atividades industriais, a tecnologia para controlar e utili-zar materiais granulares tem sido desenvolvida deficientemente. Como já foi mencionado, vá-rias atividades industriais dependem do transporte, armazenagem e produção de grãos, porém, estima-se que 40% da capacidade das plantas industriais, envolvendo grãos, é desperdiçada por problemas associados ao transporte destes materiais (Jaeger e outros, 1996). Outro problema importante é o armazenamento de grãos. A pressão dentro de um tubo contendo grãos, dife-rentemente de como acontece num líquido, não varia proporcionalmente com a altura (Jaeger e Nagel, 1992). Adicionar material granular não resulta necessariamente num aumento de pressão
na base de um tubo devido à carga adicional, porém, pode gerar maior esforço nas paredes do tubo, (a força vertical devido ao peso é transmitida horizontalmente às paredes do tubo). Esse efeito é conhecido como "efeito Janssen". Desta forma, o aumento da pressão nas paredes do tubo pode produzir uma falha do material, e consequentemente causar sua ruptura.
O escoamento de grãos saindo de um recipiente através de um bocal produz outros fenô-menos interessantes além do efeito Janssen. Contrariamente ao que acontece nos líquidos, a vazão pode não ser constante durante o escoamento gravitacional de grãos dentro de tubos abertos à atmosfera. Esta variação na vazão ocorre devido à presença de instabilidades. Uma primeira aproximação considera que as instabilidades podem ocorrer no vácuo, isto é, quando as iterações do ar com os grãos em escoamento são desprezíveis (Savage, 1979). No entanto, no caso de grãos finos alguns estudos têm mostrado que esses padrões são causados pela interação dos grãos com o ar circundante.
Partindo da ideia dos grãos e o ar interagindo, alguns trabalhos determinaram que existem três principais mecanismos de interação: (a) interações dos grãos com o ar circundante, (b) co-lisões dos grãos com as paredes, e (c) coco-lisões entre grãos (Bertho e outros, 2003). Além disso, três regimes de escoamento, que são funções da distribuição espacial da concentração das partí-culas e do campo de velocidades, podem ser observados; esses regimes foram definidos como: (a) queda livre, com uma baixa compacidade do escoamento (b) escoamentos compactos com movimentos mais lentos e (c) ondas de densidade. O termo compacidade pode ser entendido como a fração de volume das partículas.
Essas ondas de densidade são caracterizadas por regiões alternadas de alta compacidade, denominados blocos, plugues ou pistões de grãos, e outras de baixa compacidade conhecidas como bolhas de ar (Bertho e outros, 2003). As ondas trazem efeitos de intermitência ou de obstrução permanente; escoamentos intermitentes podem causar transientes de pressão poten-cialmente perigosos e até destrutivos (Raafat e outros, 1996). Esses efeitos têm sido observados em aplicações industriais de material granular escoando dentro de tubos; o esvaziamento de silos e o transporte de areia e talco são algumas delas (Ellingsen e outros, 2010).
Por outro lado, os fenômenos de formação de ondas de densidade têm sido observados em escala de laboratório também. Desta maneira, vários trabalhos têm sido desenvolvidos para tentar explicar as características destas ondas. Podem ser citados como primeiros experimentos os trabalhos de Raafat e outros (1996) e Aider e outros (1999). Eles utilizaram tubos de 2,9 mm de diâmetro interno e de 1,3 m de comprimento, e como material granular eles usaram esferas de vidro no intervalo de 0,1−0,2 mm de diâmetro; eles reportaram a formação de ondas de densidade que dependiam de fatores como a umidade e vazão mássica, entre outros.
Aider e outros (1999) e Bertho e outros (2002) empregaram diagramas espaço-tempo para analisar o comportamento dinâmico dos padrões granulares. Esses diagramas exibem as variações no tempo da concentração granular em um trecho do escoamento. Para a aquisição dos diagramas foi utilizada uma câmera CCD (em inglês Charge Coupled Device) com frequências de adquisição de até 2000 Hz; a alta frequência é necessária devido à rapidez com que acontece o fenômeno. Então, os diagramas espaço-tempo obtidos foram armazenados como matrizes de dados numéricos e visualizados empregando programas de processamento de imagens.
Figura 1.1: Diagrama espaço-tempo típico. O diagrama corresponde a um escoamento em re-gime de queda livre, extraído de Bertho e outros (2002)
.
A figura 1.1, extraída de Bertho e outros (2002), apresenta um típico diagrama espaço-tempo. Nesse caso, são imagens espaço-tempo das flutuações das partículas em regime de queda livre ao longo de um tubo. A frequência da câmera utilizada nesse experimento foi de 2000 Hz. Quando a densidade das partículas é alta, aparece uma região mais escura, que corresponde à formação de um pistão de grãos. Os pistões apresentam-se como as linhas diagonais mais escuras dos diagramas. A inclinação de cada uma dessas linhas representa as velocidades destes pistões. No caso da figura 1.1, a linha segmentada corresponde a uma velocidade constante de 2,3 m/s.
No trabalho de escoamentos granulares em tubos de pequenos diâmetro de Bertho e outros (2003), eles desenvolveram um estudo experimental combinando a relação entre a pressão do ar,
a compacidade dos grãos e a velocidade dos grãos com a análise através de diagramas espaço-tempo. Este trabalho se restringiu ao regime de escoamento compacto, onde foram observados escoamentos intermitentes no inicio e no final do tubo que continha o escoamento. Porém, a análise empregada neste estudo poderia ser aplicada aos outros regimes de escoamento, por exemplo, quando existem ondas de densidade no escoamento. Aider e outros (1999) observaram que as regiões com ondas de densidade têm um valor aproximado de 60% de compacidade, em grãos, isto é, 60% do espaço é ocupado por material sólido. Este valor é frequentemente utilizado como a compacidade média quando se trata de escoamentos granulares em tubos de pequeno diâmetro. Com esse valor de concentração, é provável que os grãos da periferia dos pistões estejam em contato permanente com as paredes do tubo. Nestas condições ocorre o redirecionamento das forças dentro do pistão e o efeito Janssen poderia ser esperado (Franklin e Alvarez, 2015).
Outro tipo de aproximação, para entender a formação e propagação de ondas de densi-dade, tem sido feita utilizando teoria de meio continuo. Wang e Tong (2001) efetuaram uma análise de estabilidade linear das equações de movimento do material granular. As equações do estado base foram perturbadas inserindo pequenas perturbações. Eles conseguiram determi-nar que a compacidade é um fator importante na formação de patrões granulares que envolvem ondas de densidade. Uma análise de estabilidade linear poderia ser empregada para determinar outras características destas ondas, assim, poderia-se pensar no comprimento de onda.
1.2 Motivação do trabalho
Levando em conta o exposto anteriormente, os estudos em meios granulares têm uma notável importância devido a suas aplicações industrias e ambientais, e por isso, pode-se dizer que qualquer contribuição para entender seu comportamento tem uma grande relevância.
Por outro lado, os estudos de escoamentos em tubos verticais não são conclusivos em tudo, e algumas abordagens podem ser ainda exploradas e desenvolvidas. Desenvolver ensaios experi-mentais utilizando câmeras CCD junto com interpretações físicas demonstram ser formas úteis para estudar padrões formados nesses escoamentos. Assim, os diagramas espaço-tempo permi-tem, por exemplo, analisar as ondas de densidade; porém, a literatura disponível não fornece suficiente informação referente a como construir esses diagramas. Desta forma, neste trabalho pretende-se desenvolver um código numérico implementado no ambiente de Matlab, para tratar as imagens e obter medições do comprimento de onda e da velocidade das ondas de densidade. Além disto, aplicar uma análise de estabilidade linear às equações que governam o esco-amento granular, a partir de seu estado base e inserindo pequenas perturbações, é uma
aborda-gem interessante para determinar o comprimento de onda. Uma análise deste tipo também não é comum em trabalhos anteriores. Os aspectos mencionados são as principais motivações para desenvolver esta pesquisa.
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo geral
Desenvolver um estudo experimental das instabilidades de escoamentos gravitacionais de material granular em um tubo vertical.
1.3.2 Objetivos específicos
∘ Analisar experimentalmente as ondas de densidade formadas no escoamento com a ajuda de uma câmera CCD.
∘ Desenvolver um código numérico no ambiente de Matlab que gere os diagramas espaço-tempo do escoamento.
∘ Calcular o comprimento de onda e a velocidade de propagação das ondas de densidade através dos diagramas espaço-tempo.
∘ Definir as equações que governam o escoamento, o estado base, e a forma das perturba-ções.
∘ Calcular o comprimento de onda através de uma análise de estabilidade linear. ∘ Comparar os resultados obtidos experimentalmente com aqueles da análise linear.
2 REVISÃO DA LITERATURA
Este capítulo começa com a descrição de algumas técnicas e modelos desenvolvidos para estudar escoamentos granulares em tubos verticais. Depois, detalha-se a abordagem experi-mental, resumindo as características dos trabalhos e suas principais conclusões. Em seguida, descrevem-se a Lei de Janssen e algumas relações matemáticas associadas a meios granulares. Continua-se com as definições de estabilidade linear, método do modos normais e o critério de estabilidade linear. Finalmente, apresentam-se alguns trabalhos disponíveis na literatura que empregaram análises de estabilidade linear no estudos de escoamentos granulares.
2.1 Algumas definições associadas a meios granulares
2.1.1 Material granular
Um material granular é composto de sólidos discretos os quais estão em contato entre si a maior parte do tempo (Duran, 1999).
2.1.2 Pó
Um pó é um meio granular constituído de partículas de diâmetro menor do que 100 �m. Além disso, os pós podem ser classificados como: pós granulares (10−100 �m), pós superfinos (1−10 �m) e pós hiperfinos (0,1−1 �m) (Duran, 1999). Neste estudo as partículas empre-gadas tiveram um diâmetro médio superior a 100 �m, portanto, o material granular utilizado não pertence a esta classe de meio granular, ele pertence aos denominados sólidos granulares (100−3000 �m).
2.1.3 Compacidade
O termo compacidade, �, (em inglês compactness, ou em alguns trabalhos denominado particle fraction)denota a concentração das partículas que formam um material granular. No caso de partículas esféricas, uma porcentagem do volume do material granular corresponde ao material das esferas, enquanto a outra porcentagem do volume pertence aos espaços entres elas. O coeficiente entre o volume ocupado pelas partículas e o volume total do material granular
é denominado fração de volume ou compacidade. A fração de volume dá uma ideia de quão compacto está um material granular. No caso de materiais monodispersos, a fração de volume é aproximadamente 0,56 (ou 56%). Porém, quando os grãos são agitados durante um dado inter-vao de tempo, pode-se atingir um valor de 0,68. Além disso, a máxima compactação possível de materiais monodispersos é 0,74. O último caso apresenta-se quando as partículas estão arranja-das em forma hexagonal compacta (Nahmad-Molinari e Ruiz-Suarez, 2002). Neste trabalho, a compacidade �, será expressa em termos de porcentagem para os estudos necessários.
2.2 Estudos de escoamentos granulares
A física do meio discreto e as instabilidades associadas são dois aspectos fundamentais para estudar os escoamentos granulares. A importância se deve às várias aplicações praticas e industriais dos meios granulares. Uma extensa quantidade deste tipo de material deve ser produzida, transportada e armazenada em muitas atividades humanas; na indústria de alimen-tos e nas engenharias civil e química, os meios granulares são muito utilizados (Duran, 1999). Um problema de grande importância é o escoamento de material granular dentro de tubos e canais. Esses escoamentos podem experimentar efeitos de intermitência e/ou bloqueios cau-sados pela formação de ondas de densidade (Aider e outros, 1999). Abordagens teóricas para estudar esses escoamentos têm sido grandemente restringidas por sua incapacidade para lidar com os aspectos de meio discreto (Mehta, 2007). Inclusive geometrias simples, como células de cisalhamento, funis e tubos verticais, mostram que o estudo da dinâmica do meio granular é complexa. Por exemplo, partículas granulares numa cédula de cisalhamento, além do com-portamento não-Newtoniano, apresentam formação de ondas de densidade (Lee, 1994). Em processos com materiais granulares, essas ondas podem afetar propriedades do escoamento, a transferência de calor e taxas de reação (Liss e outros, 2002). Alguns estudos para analisar a formação de ondas de densidade em tubos foram executados utilizando métodos de simulações numéricas (Lee (1994); Peng e Herrmann (1994)). Outros foram efetuados através de ensaios experimentais utilizando areia (Horikawa e outros (1996); Moriyama e outros (1998), ou esfe-ras de vidro (Raafat e outros (1996); Aider e outros (1999)) como meios granulares escoando junto com ar.
Os modelos numéricos citados assumem que a interação entre os grãos em escoamento e o ar é desprezível. Esses métodos incluem: simulações numéricas usando dinâmica molecular (DM) (Lee (1994); Pöschel (1994)) e lattice-gas automata (LGA) (Peng e Herrmann, 1994).
As simulações com DM são ferramentas importantes na pesquisa de escoamentos granu-lares. São poderosas ferramentas porque, em princípio, são capazes de prover toda a informação do sistema. É possível obter informação local do escoamento e os valores das tensões, dados
bastante complicados de se obter experimentalmente. Pöschel (1994) realizou simulações com DM em duas dimensões, ele observou ondas de densidade em escoamentos granulares em tubos, apesar de inicialmente o escoamento ser uniforme. Além disso, em seus ensaios experimentais determinou-se que as características dos pistões granulares dependem fortemente das condições iniciais.
As simulações com LGA têm sido utilizadas para entender como as ondas de densidade aparecem. Peng e Herrmann (1994), empregando este tipo de simulação, encontraram que as colisões inelásticas entre os grãos e a fricção entre eles e as paredes do tubo são mecanismos para a formação das ondas. Porém, uma pesquisa paramétrica dos tipos de ondas que se formam não foi completamente desenvolvida (Liss e outros, 2002).
Além das simulações, teorias do contínuo têm sido desenvolvidas para analisar escoa-mentos granulares em canais. As ondas nesses escoaescoa-mentos têm sido exploradas utilizando uma grande variedade de técnicas, incluindo: (a) modelos em termos de teorias de ondas cine-máticas (Lee e Leibig, 1994), (b) utilizando a equação de Langevin (Riethmüller e outros, 1997) e (c) usando a teoria cinética de gases dissipativos (Wang e outros (1997); Valance e Le Pennec (1998)).
Wang e outros (1997) efetuaram uma análise de estabilidade linear das equações de mo-vimento para um escoamento granular entre paredes paralelas. Eles encontraram que o estado base foi instável a perturbações em forma de ondas de densidade. As auto-funções correspon-dentes aos modos instáveis foram avaliadas, determinou-se que três estruturas básicas poderiam ser reconhecidas. Wang e Tong (2001) estudaram a evolução destes três modos de instabilidade através de simulações numéricas e análise de Fourier. Valance e Le Pennec (1998) relacionaram as ondas de densidade formadas num canal vertical a instabilidades dinâmicas, empregando análises linear e não-linear quase-unidimensionais num escoamento granular. Eles determina-ram que abaixo de um valor crítico o escoamento se desestabiliza e as ondas de densidade se formam.
No entanto, na maioria dos casos de interesse o ar tem um papel importante. Este é o caso de aplicações práticas, tais como: transporte pneumático, craqueamento catalítico, leito móvel e esvaziamento de silos de armazenagem. Os escoamentos granulares, nessas aplicações, podem apresentar efeitos de intermitência, oscilações e/ou bloqueios (Bertho e outros, 2002).
Um escoamento periódico intermitente pode ser observado, por exemplo, em experimen-tos com relógios de areia. Quando os grãos passam pelo estreitamento que conecta os dois reservatórios de vidro, o efeito é gerado pelas interações entre o ar intersticial e os grãos. Tam-bém, ondas de densidade têm sido observadas em escoamentos de areia através de funis; esses
fenômenos foram estudados em relação à dependência da vazão, raio de abertura, ângulo de saída, e tamanho de grão. Especialmente, Baxter e outros (1989) utilizaram técnicas de subtra-ção de raios X para examinar esses escoamentos através de funis. Eles encontraram que as ondas formaram-se unicamente quando misturaram areia de grãos irregulares com areia de grãos de superfície lisa.
Outros modelos teóricos, bastante elaborados e detalhados, têm sido desenvolvidos para analisar escoamentos granulares considerando a interação entre os grãos e o ar (Leung e Jones (1978); Chen e outros (1984); Sinclair e Jackson (1989)). A partir de um número reduzido de variáveis de entrada, esses modelos preveem configurações e parâmetros característicos em di-ferentes partes do escoamento; uma destas variáveis pode ser a vazão mássica, por exemplo. As previsões destes modelos teóricos podem ser comparadas com dados experimentais, assim, é comum comparar as previsões teóricas contra as medições do perfil de pressão obtido experi-mentalmente (Bertho e outros, 2002).
Contudo, os modelos teóricos utilizam numerosas relações entre várias variáveis; essas re-lações estão baseadas em informações da literatura e em correre-lações empíricas e experimentais, e podem gerar incertezas consideráveis na descrição do fenômeno analisado (Bertho e outros, 2002).
2.3 Estudos experimentais de escoamentos granulares em tubos verticais
2.3.1 Configurações dos dispositivos experimentais
Vários trabalhos experimentais têm sido desenvolvidos para estudar escoamentos gra-nulares gravitacionais em tubos verticais (Raafat e outros (1996); Horikawa e outros (1996); Moriyama e outros (1998); Aider e outros (1999); Hua e Wang (1999); Bertho e outros (2002); Bertho e outros (2003)). Esses estudos têm em comum uma configuração experimental geral: um tubo vertical de vidro de pequeno diâmetro interno � e comprimento �, conectado a um funil localizado na parte superior e a um regulador de vazão na parte inferior (dos trabalhos citados, em Hua e Wang (1999) o regulador de vazão localizou-se entre o funil e o tubo).
Nesses trabalhos, como material granular foram utilizadas esferas de vidro ou areia de diâmetro característico �. Porém, os métodos para obter as informações das características di-nâmicas do escoamento foram diferentes.
do escoamento, basicamente constituído de uma lâmpada halógena, dois conjuntos de lentes, diodos e um osciloscópio. As variações no tempo da intensidade de luz, transmitida através do tubo, serviram para determinar a presença de bolhas de ar e dos pistões de grãos. Nos trabalhos de Aider e outros (1999), Bertho e outros (2002) e Bertho e outros (2003), o escoamento gra-nular foi observado utilizando uma câmera CCD. Diagramas espaço-tempo, como o exibido na figura 1.1, permitiram estudar as características das ondas de densidade.
Moriyama e outros (1998) relacionaram as flutuações das ondas com a intensidade de transmissão de luz através do tubo, utilizando a luz de um laser e um sistema de detecção (a variação estava baseada nas diferenças de voltagem recebidas por esse sistema). Horikawa e ou-tros(1996) utilizaram a câmera CCD e um sistema de vídeo, e também mediram a intensidade de transmissão de luz através do tubo. Eles empregaram um diodo emissor de luz (em inglês Light Emitting diode, LED) e um fotodetector. Hua e Wang (1999) empregaram tomografia de capacitância elétrica (em inglês electrical capacitance tomography, ECT) para estudar ondas de densidade, e determinaram que a formação destas ondas tem correlação com a compacidade local das partículas.
Finalmente, para determinar a vazão mássica, ˙�, os trabalhos experimentais comumente empregaram balanças eletrônicas, colocadas abaixo do tubo e sua leitura transmitida a um com-putador. Desta forma, ˙� é a variação no tempo da massa medida.
Na tabela 2.1 apresentam-se as características principais dos dispositivos experimentais, materiais, e técnicas empregadas nos trabalhos citados acima. O termo diagramas relaciona-se aos diagramas espaço-tempo. Em relação aos trabalhos citados na tabela 2.1, a razão entre o diâmetro do tubo e o diâmetro do material granular está num intervalo definido (subseção 2.3.3). Câmeras CCD e diagramas espaço-tempo são frequentemente empregados para estudar o comportamento de material granular escoando em tubos verticais.
2.3.2 Análises através de imagens
Quando são empregadas câmeras CCD para determinar as características dinâmicas de escoamentos granulares, é importante definir corretamente a frequência na qual a câmera vai operar. Horikawa e outros (1996) utilizaram uma frequência de 30 Hz para a aquisição de ima-gens. Nos experimentos de Aider e outros (1999) a frequência foi de 200 Hz, valor segundo os autores, significativamente maior que as frequências características das variações de escoa-mento. Já no trabalho de Bertho e outros (2002), foram empregadas frequências de 2000 Hz e 500 Hz, para o regime de queda livre e para o regime de ondas de densidade, respectivamente.
Tabela 2.1: Estudos experimentais realizados para analisar escoamentos gravitacionais em tubos verticais.
Autor Características do tubo Material Aquisição de informação � (mm) � (m) tipo � (mm)
Raafat e outros (1996) 2,9 1,30 vidro 0,2 luz halogênea + lentes Horikawa e outros (1996) 3,0 1,50 areia 0,3 CCD + LED + fotodetetor Moriyama e outros (1998) 3,0 1,50 areia 0,5 Laser + sensor Aider e outros (1999) 2,9 1,30 vidro 0,125 CCD + diagramas Hua e Wang (1999) 36 1,0 vidro 3,5 sistema ECT Bertho e outros (2002) 3,0 1,25 vidro 0,175 CCD + diagramas Bertho e outros (2003) 3,0 1,25 vidro 0,175 CCD + diagramas
Os diagramas espaço-tempo são criados utilizando as imagens obtidas pela câmera. No caso da formação de pistões de grãos, a velocidade é o parâmetro físico mais simples de medir. Os pistões aparecem como as linhas diagonais escuras nos diagramas e a velocidade é deter-minada através do cálculo direto da inclinação (Becco e outros, 2005). Outra característica do escoamento que pode ser determinada diretamente é o comprimento de onda �.
Um esquema típico de um dispositivo experimental que inclui uma câmera CCD é obser-vado na figura 2.1. Geralmente, o funil que faz parte do aparato experimental tem um ângulo de abertura de 60∘, porém, nos trabalhos de Bertho e outros (2002) e Bertho e outros (2003), o
funil utilizado era esférico. Além disso, ao longo do tubo, foram instalados sensores de pressão.
2.3.3 Primeiras observações dos regimes de escoamento
Raafat e outros (1996) propuseram que o escoamento granular dentro de um tubo vertical pode ser subdividido em três regimes:
O primeiro caso e mais simples, descreve o comportamento de grãos caindo dentro do tubo sem (ou apenas com um pequeno) fechamento da válvula de saída (pouca restrição). Este caso corresponde à maior vazão mássica. O regime é conhecido como queda livre (em inglês free fall regime). A compacidade dos grãos é baixa, o escoamento é estacionário, a velocidade é aproximadamente constante no tempo e não acontecem flutuações significativas de densidade granular (Raafat e outros (1996); Aider e outros (1999)).
O segundo é um regime de escoamento compacto, (em inglês compact regime), caracte-rizado por alta compacidade de grãos. A distribuição das partículas é compacta ao longo do
Figura 2.1: Configuração experimental típica para estudar escoamentos gravitacionais em tubos verticais.
tubo. Este caso corresponde às menores vazões mássicas (pequena abertura da válvula). Além do mais, neste regime podem ser observados dois tipos de variação da velocidade dos grãos com o tempo. Um deles com velocidade e compacidade local de grãos constante com o tempo e, o outro, com um movimento intermitente dos grãos (Aider e outros, 1999).
Entre os dois casos mencionados acima, existe um terceiro regime caraterizado por ondas de densidade (em inglês density waves). Cada onda de densidade consiste de duas partes dife-rentes. A primeira altamente compacta conhecida como plugues granulares de alta densidade (em inglês high-density plugs ou simplesmente plugs). A segunda, uma região de baixa densi-dade, é uma "bolha de ar"na qual a compacidade de grãos é menor e sua velocidade é maior. Dentro das bolhas, a dinâmica dos grãos é localmente similar ao caso de free fall. Além disso, neste regime a velocidade dos plugues pode ser constante ou oscilar periodicamente.
A figura 2.2 exibe típicas ondas de densidades formadas por grãos. Também, apresentam-se em detalhe as duas partes que formam cada onda.
É importante mencionar que, para obter os regimes de ondas de densidade e de escoa-mento compacto, a relação de diâmetros, �/�, deve se manter dentro de determinados limites. Raafat e outros (1996) verificaram a seguinte condição depois de realizar vários experimentos.
Figura 2.2: Vista esquemática do regime de ondas de densidade.
6 ≤ �/� ≤ 30 (2.1)
Para �/� > 30, o regime obtido era o free fall. Para �/� < 6, frequentemente o escoa-mento parava por completo.
Do exposto anteriormente, é evidente dizer que os três regimes dependem principalmente da vazão mássica granular ˙�, mas, de acordo com o que será exposto a seguir, também depen-dem fortemente da umidade do ar �.
2.3.4 Parâmetros físicos que determinam os regimes de escoamento
Antes de realizar os experimentos, deve-se medir a umidade do ar. Os valores de � devem estar entre 30% e 70%. Excessiva umidade resulta na obstrução do escoamento (em inglês clogging) devido às forças de capilaridade entre as partículas ou entre as partículas e o tubo. Por outro lado, quando o ar é demasiado seco, o bloqueio do escoamento produz-se pelas forças eletrostáticas. O simples ato de soprar dentro do tubo cria umidade suficiente para obstruir o escoamento, de forma que o tubo só pode ser utilizado depois de secá-lo com ar quente (Raafat e outros, 1996). Além disso, existem determinadas faixas de umidade onde os
diferentes regimes do escoamento acontecem frequentemente (tabela 2.2).
Na literatura (Raafat e outros (1996); Aider e outros (1999); Bertho e outros (2002); Bertho e outros (2003)) reportam-se valores referenciais de vazão mássica associados aos três regimes. De forma geral, ˙� está no intervalo de 0−10 g/s. Na figura 2.3, podem-se observar de forma esquemática os regimes de escoamento como função da vazão mássica. A tabela 2.2 resume as características físicas dos regimes reportados nesses trabalhos.
Figura 2.3: Vista esquemática dos regimes de escoamento observados em tubos verticais como função da vazão mássica, adaptada de Aider e outros (1999).
Tabela 2.2: Resumo dos regimes de escoamento e de valores dos parâmetros físicos. Regime Vazão mássica Umidade Velocidade média do escoamento
· · · �/� % �/� Free fall 5 < ˙� < 10 30 < � < 70 2 < � < 3 Propagação de ondas 2,5 < ˙� < 5 45 < � < 55 0,2 < � < 0,6 Ondas oscilantes 1,5 < ˙� < 2 35 < � < 75 0,1 < � < 0,3 Compacto 0 < ˙� < 1,5 45 < � < 65 0 < � < 0,15 Compacto intermitente 0 < ˙� < 1,5 45 < � < 65 0 < � < 0,15
2.3.5 Outros aspectos que intervêm na formação de ondas de densidade
Aider e outros (1999) reportaram que no regime de ondas de densidade os plugues com-pletamente desenvolvidos só apareceram depois de 7−15 cm a jusante do início do tubo de vidro. Horikawa e outros (1996) reportaram que os plugues apareceram a alturas de 13 cm e 83 cm medidos a partir da mesma referência. Por outro lado, Pöschel (1994) determinou que as ondas de densidade formaram-se após uma distância de 20 cm, também, a partir da mesma referência.
Outra característica que influencia na formação de ondas de densidade é o "estado dos grãos". Quando o material granular é composto por esferas de vidro, a superfície destas par-tículas muda quando são utilizadas repetidamente nos experimentos devido a um progressivo desbaste. Esse desbaste deve-se às repetidas colisões entre grãos, e dos grãos com as paredes do tubo. Utilizar partículas com maior rugosidade faz com que as ondas se formem com maior facilidade. Geralmente, as esferas mudam sua rugosidade superficial depois de ter passado mais de 100 vezes pelo tubo em diferentes experimentos (Bertho e outros, 2002).
2.4 Lei de Janssen
Esta lei, proposta há mais de cem anos, é frequentemente aplicada no desenho e na cons-trução de silos, destinados a estocagem de material granular. Durante vários anos procurou-se entender porque em silos repletos de grãos, suas paredes laterais falhavam enquanto sua base mantinha-se intacta. Janssen observou que ao depositar material granular num contêiner, a pres-são exercida na base do mesmo torna-se independente da quantidade de grãos, após uma certa altura (Janssen, 1895). A explicação que foi dada para esse fenômeno, está baseada no fato que as forças de contato entre os grãos são transmitidas não apenas verticalmente, mas também lateralmente.
Em 1895, Janssen, utilizando um material granular confinado num contêiner vertical, quantificou uma pressão de saturação no fundo. Ele definiu essa pressão considerando a fricção dos grãos com as paredes do recipiente. Pesquisas referentes ao efeito Janssen têm sido desen-volvidas até recentemente (Bratberg e outros (2005); Cambau e outros (2013)). Estes estudos experimentais estão motivados pelas aplicações práticas na indústria (evitar colapso de silos por exemplo) e, geralmente, tentam determinar a influência de alguns parâmetros na distribuição das tensões em grãos confinados.
automaticamente gera uma tensão �h (ou força) horizontal proporcional, tal que �h = ��v,
sendo � denominado como coeficiente de redirecionamento de uma tensão vertical aplicada ao material. No caso de uma pilha triangular compacta, o valor de � é, aproximadamente, 0,58. A seguir será apresentada a derivação da equação de Janssen, adaptada de Duran (1999).
Com referência à figura 2.4, considerando uma seção de espessura �ℎ, localizada a uma altura ℎ, num cilindro de área � e perímetro �, essa seção estará em equilíbrio pelo efeito combinado de diferentes forças.
∘ Devido ao fato que a pressão aumenta com a profundidade (e usando um sistema referen-cial com ℎ = 0 na parte superior do cilindro e com ℎ > 0 em direção ao fundo), a seção considerada experimenta uma força para cima igual a � ��v.
∘ O peso da seção de espessura �ℎ é uma força igual a �s� � �ℎ, onde �sé a massa
especí-fica do material granular, assumida como constante, e � é aceleração da gravidade. ∘ As forças de fricção com as paredes, resultado do movimento infinitesimal da seção para
o fundo, são dirigidas para cima. Essas forças agem sobre uma área � �ℎ. O valor das forças é igual a �s�h� �ℎ, sendo �h = ��v. Finalmente, determina-se que o valor das
forças de fricção é ��s�v� �ℎ, onde �s é o coeficiente de fricção estático.
Figura 2.4: Configuração cilíndrica que define os parâmetros usados no modelo de Janssen. Depois de ter realizado a análise das forças envolvidas a condição de equilíbrio para a seção considerada pode ser escrita como:
Dividindo toda a equação 2.2 por �ℎ e �, obtém-se a equação diferencial ��v �ℎ + ︂ ��s�v� � ︂ �v = �s� (2.3)
Esta última equação pode ser reescrita como:
�︀�(κµsS/A)h�
v
︀
�ℎ = �s� �
(κµsS/A)h (2.4)
Esta equação diferencial de primeira ordem pode ser facilmente integrada para obter
�v�(κµsS/A)h= ︂ � ��s� ︂ �s� �(κµsS/A)h+ � (2.5)
onde � é uma constante que pode ser determinada utilizando as condições iniciais. Assumindo, por exemplo, que existe uma pressão �v0na parte superior da estrutura devido a uma massa, �,
distribuída sobre a área �, tem-se que �v0= � �/�. Nessas condições, a constante � é igual a
� = �v0−
�s� �
� �s�
(2.6)
Substituindo a equação 2.6 em 2.5, obtém-se
�v = �s�
�
� �s� ︀1 − �
(−κµsS/A)h︀ + �
v0�(−κµsS/A)h (2.7)
Esta última é uma forma generalizada da equação de Janssen. É conveniente estudar o caso quando �v0 = 0. Para pequenos valores de ℎ (próximo ao topo da estrutura), a pressão
é dada por �v ∼ �s� ℎ (obtém-se esta expressão calculando o limite da equação 2.7 quando
ℎ → 0 e com �v0 = 0), o que corresponde à convencional pressão hidrostática, similar à
exercida por uma coluna de água de profundidade ℎ.
Quando ℎ tem um valor maior que aproximadamente �/� �s�, a pressão vertical se
sa-tura e aproxima-se assintoticamente ao limite dado por �v ∼ �s�(�/� �s�). Um caso
seguinte expressão:
�v(ℎ) = �s�
�
4��s ︀1 − �
−(4κµs/D)h︀ (2.8)
2.5 Permeabilidade do ar através dos pistões granulares
Nos escoamentos granulares em tubos, há normalmente um escoamento de ar através dos pistões de grãos. Esse escoamento é um fator importante que deve ser levado em conta, considerando-se a permeabilidade do ar através dos plugues. No regime de ondas de densidade, por exemplo, a permeabilidade do ar limita a estabilidade do regime. Se a compacidade no plugue decresce com a vazão mássica, a permeabilidade aumenta, consequentemente, o esco-amento necessário para gerar um gradiente de pressão que equilibre o peso do plugue chega a um valor muito alto, então, ocorre a transição para o regime de queda livre. A velocidade do ar em relação aos grãos é relacionada à queda de pressão ao longo de um plugue utilizando a lei de Darcy (Bertho e outros, 2002). A seguir, uma descrição da mencionada lei.
2.5.1 Lei de Darcy
A velocidade média por unidade de área através da seção transversal da coluna de um material poroso é diretamente proporcional ao gradiente de pressão estabelecido através da coluna e inversamente proporcional à viscosidade do fluido. Na figura 2.5, é apresentado um esquema do escoamento de ar através de um plugue. Neste caso, a equação 2.9 mostra a lei de Darcy. �a= − � �a �� �� (2.9)
onde �a é a velocidade superficial do ar, �a é a viscosidade do ar e � a permeabilidade do
pacote de grãos. O resultado desta lei equivale a uma média da velocidade na seção transversal da matriz granular. A permeabilidade � dos grãos pode ser estimada através da relação de Carman-Kozeny (Bertho e outros, 2003).
Figura 2.5: Esquema de escoamento de ar através de um plugue.
2.5.2 Equação de Carman-Kozeny
Esta equação permite calcular a queda de pressão experimentada por um fluido que escoa através de um meio poroso (Bertho e outros, 2003). A equação de Carman-Kozeny é apresentada a seguir:
�� �� =
180 �a�a(1 − �)2
�2�3 (2.10)
Sendo, � a porosidade do meio. Assim, para determinar a permeabilidade �, deve-se substituir equação 2.10 na equação 2.9, obtendo:
� = �
2�3
180 (1 − �)2 (2.11)
Finalmente, é interessante expressar esta última equação em termos da compacidade �. Para isso deve-se fazer a substituição � = (1 − �), assim a equação 2.11 converte-se em:
� = �
2(1 − �)3
2.6 Estabilidade linear
A teoria de estabilidade hidrodinâmica tenta determinar qual é o comportamento de um escoamento em relação a perturbações infinitesimais. O procedimento é aplicar perturbações infinitesimais a um dado escoamento e determinar se as equações do problema predizem que essas perturbações crescerão ou decairão. Na análise, as perturbações são assumidas suficien-temente pequenas, portanto, a linearização é possível desprezando os termos quadráticos e de ordem superior nas variáveis de perturbação e em suas derivadas (Kundu e outros, 2012).
A primeira abordagem é considerar um estado base �i, que satisfaz as equações
gover-nantes, então uma perturbação de algum tipo é adicionada. Assim, por exemplo, a velocidade desse escoamento poderia ser escrita como:
�i(�i, �) = �i(�i) + ˜�i(�i, �) (2.13)
Na teoria linear, ˜�i é muito menor que �i, então ˜�i/�i = �(�), onde � ≪ 1. Quando
a equação �i = �i + ˜�i é substituída nas equações governantes, essas equações formam um
sistema para determinar ˜�i com um estado base conhecido �i, e os produtos de termos que
contêm ˜�i são desprezados porque eles são de ordem �
2
ou superior, portanto, forma-se um sistema linear de equações para ˜�i (Panton, 2006).
2.6.1 Método dos modos normais
Como as equações para pequenas perturbações são lineares, é possível decompor as per-turbações em modos normais de vários comprimentos de onda. Esta ideia pode ser apresentada considerando o seguinte exemplo: o estado base de um escoamento paralelo à direção � e que varia unicamente ao longo da direção �, i.e., �i = (�x(�),0,0). Uma perturbação de modo
normal é uma onda cuja amplitude depende de �. Pode-se assumir que a perturbação possui a seguinte forma:
˜
�i = ˆ�i(�) �[i(αx+βz−αct)] (2.14)
onde ˆ�i é uma função complexa da amplitude, � e �, que são reais, são os números de onda
total tem magnitude � = (�2 + �2)1/2.
Separando a velocidade � nas suas partes reais e complexas, � = �r+ ��i e substituindo
na equação 2.14 tem-se:
˜
�i = ˆ�i(�) �[i(αx+βz−αcrt)] �αcit (2.15)
Num ponto fixo no escoamento, a perturbação oscila com uma frequência � = 2�� = ��r, enquanto as ondas de magnitude de número de onda � (comprimento de onda � = 2�/�)
passam. A velocidade de fase do modo está na direção (�, 0, �) ou (�, �) com magnitude �ϕ = ��r/|k|, onde k = (�, 0, �) ou �ϕ = �/�. Uma perturbação na direção do estado base
(isto é, com � = 0, então � = �) tem velocidade de fase �r(Panton, 2006).
O método de análise que avalia as componentes de Fourier apresentadas na equação 2.15 é conhecido como método dos modos normais. Uma perturbação arbitrária pode ser decomposta num conjunto completo de modos normais. Assim, a estabilidade de cada um dos modos pode ser analisada separadamente, e já que a linearidade do problema implica que os vários modos não interajam, o método leva a um problema de auto-valores (Kundu e outros, 2012).
2.6.2 Critério de estabilidade linear
Em referência à equação 2.15, a análise realizada com � complexo é denominado análise temporal de estabilidade. Já no caso de � real e � complexo, a perturbação cresce na direção �. Quando esse tipo de perturbação é usada, o problema é conhecido como análise espacial de estabilidade.
A equação 2.15, com uma perturbação unicamente na direção � (então � = �) e sabendo que �r = ��re com �i = ��i, pode ser escrita como:
˜
�i = ˆ� �ωit�i(kx−ωrt)] (2.16)
Nesta ultima equação, identifica-se: � ∈ R como o número de onda na direção �; � ∈ C, � = �r + ��i, onde �r ∈ R é a frequência angular e �i ∈ R é a taxa de crescimento.
Todos os modos com número de onda real � e frequência complexa � devem ter �i negativos
para garantir estabilidade. Então, se ∀ � ∈ R| �i(�) < 0, existe estabilidade; por outro lado,
se ∃ � ∈ R| �i(�) > 0, existe instabilidade. Conclui-se que a condição suficiente e necessária
para estabilidade é: as partes imaginarias de �j(�) devem ser negativas para todo � e qualquer
número de onda � (Charru, 2011).
2.6.3 Análise de estabilidade linear em escoamentos granulares gravitacionais
Alguns trabalhos desenvolvidos têm utilizado análise de estabilidade linear para estudar escoamentos granulares gravitacionais (Wang e outros (1997);Wang e Tong (2001); Franklin e Alvarez (2015)); isso se deve, principalmente, à simplicidade na implementação e à obtenção de conclusões úteis extraídas deste tipo de análise. Nos trabalhos de Wang e outros (1997) e Wang e Tong (2001) a análise linear foi aplicada às equações de movimento de escoamentos granulares rápidos dentro de canais. Já no trabalho de Franklin e Alvarez (2015), esse tipo de análise foi realizada para escoamentos granulares dentro de um tubo de pequeno diâmetro.
Wang e outros (1997) estudaram a formação de padrões de densidade em escoamentos granulares gravitacionais. Para isso, foi empregado um modelo reológico contínuo de três equa-ções proposto por Lun e outros (1984). As equaequa-ções utilizadas foram a conservação da massa, de movimento e de energia. Foram resolvidas essas equações para o estado base completa-mente desenvolvido e a estabilidade linear das soluções a pequenas perturbações foi analisada. A analise de estabilidade basicamente consistiu em determinar a evolução temporal dos modos instáveis gerados por pequenas perturbações adicionadas ao estado base. Eles concluíram que existem três fatores determinantes para a formação de ondas de densidade: a) colisões inelás-ticas entre as partículas, b) a relação entre a largura do canal e o diâmetro da partícula e c) a compacidade dos grãos. Além disso, determinou-se que a relação entre a compacidade média dos grãos e a largura do canal é a condição crítica de estabilidade. O valor da concentração média dos grãos não foi maior que 60% em seus cálculos.
No trabalho de Wang e Tong (2001) foram analisadas as ondas de densidade em escoa-mentos granulares utilizando a transformada rápida de Fourier (em inglês Fast Fourier Trans-form, FFT). Os autores avaliaram a análise de evolução temporal adicionando perturbações de pequena escala às mesmas equações de movimento apresentados em Wang e outros (1997). Os modos de Fourier foram empregados para seguir a formação dessas ondas. Wang e Tong (2001) mostraram que a rugosidade das paredes do canal podem afetar a estrutura das ondas de den-sidade, porém o mecanismo para formação das ondas não necessariamente se deve apenas à rugosidade. Em suas simulações, o limite máximo para a compacidade dos grãos foi 65%.
Franklin e Alvarez (2015) estudaram as escalas de comprimento das ondas de densidade que aparecem quando grãos finos escoam em um tubo vertical na presença de ar. Nesse trabalho, foram apresentados um modelo unidimensional de escoamento baseado no trabalho de Bertho e outros(2003) e, uma análise linear de estabilidade do escoamento. Duas modificações foram propostas ao modelo de Bertho e outros (2003). A primeira foi modelar a tensão entre a parede do tubo e os grãos como função do quadrado da velocidade do grão. A segunda foi incluir as forças de capilaridade como uma função exponencial do comprimento da onda. As equações resultantes foram resolvidas para a velocidade do grão e a pressão, e para essas duas quantidades realizou-se uma análise de estabilidade linear. Os cálculos incluíram um valor de compacidade constante igual a 60%. Finalmente, os resultados do modelo proposto foram comparados com dados experimentais e uma ótima concordância foi encontrada. Desta maneira, a análise de estabilidade permitiu prever adequadamente as escalas de comprimento das ondas de densidade. Depois de ter apresentado sucintamente os trabalhos, os métodos e os modelos empre-gados para estudar a ocorrência de ondas de densidade em escoamentos granulares dentro de tubos verticais, pode-se concluir que os diversos estudos analisados estão focados nos efeitos das interações entre as partículas, nas interações das partículas com as paredes do tubo e nas interações entre os grãos e o ar. As quantidades comuns utilizadas para explicar as iterações entre grãos são a compacidade e a velocidade deles. Uma vez que as colisões das partículas em escoamentos de materiais granulares dependem fortemente da compacidade, desenvolver um modelo ou uma técnica que consiga determinar esta quantidade converte-se num aspecto chave.
3 DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
Neste terceiro capítulo, é apresentada uma descrição do dispositivo experimental empre-gado para estudar os escoamentos granulares gravitacionais em tubos verticais. Além disso, explica-se o procedimento para a caracterização granular, e mostra-se como foi utilizada a téc-nica de Microscopia Eletrôtéc-nica de Varredura para determinar o diâmetro mediano dos grãos; também, é apresentada uma descrição da preparação do equipamento, além de outros detalhes adicionais que foram necessários para desenvolver os ensaios experimentais.
3.1 Descrição geral
A bancada experimental utilizada para a realização dos testes consistiu basicamente dos seguintes componentes: um dispositivo para escoamento de grãos, uma câmera de alta frequên-cia, um computador, uma fonte de luz, um aparelho para medição da umidade e uma balança analítica. A figura 3.1 exibe um esquema simplificado do dispositivo experimental (não inclui a balança nem o medidor de umidade). A figura 3.2 apresenta uma foto da bancada.
Figura 3.2: Foto da bancada experimental.
3.2 Dispositivo para escoamento de grãos
Um aparato experimental foi projetado e construído para estudar escoamentos gravitaci-onais de grãos em tubo vertical. Os fenômenos a serem estudados são as ondas de densidade granular que geralmente aparecem em escoamentos deste tipo. O dispositivo consistiu de um funil com um ângulo de saída de 60∘, um reservatório de grãos fabricado de PVC, peças de PVC
que servem como redutores de diâmetro e permitem conectar o reservatório ao tubo de vidro de 1 m de comprimento e 3 mm de diâmetro interno. No extremo inferior do tubo, foi colocada uma válvula que funciona como controlador de vazão. Para assegurar a posição vertical do dis-positivo, foram adicionados um disco e uma roseta, desta forma, é possível travar o dispositivo e evitar movimentos laterais do conjunto experimental.
O reservatório é basicamente um tubo de PVC de 25 mm de diâmetro interno e 430 mm de comprimento. Além de armazenar os grãos, o reservatório tem como objetivo evitar que as ca-raterísticas do funil influenciem a formação das ondas de densidade. Além disso, o reservatório deve garantir que exista a quantidade suficiente de material granular e evitar que as instabilida-des ocorram dentro dele. Para este último motivo, o diâmetro do reservatório deve ser grande em relação ao diâmetro do tubo de vidro (neste caso, oito vezes maior). Os redutores de
diâme-tro, colocados abaixo do reservatório, são importantes para evitar as mudanças bruscas de área. Havendo escolhido adequadamente esses componentes, pode-se ter certeza que o escoamento que ingressa no tubo de vidro escoa em regime permanente, e que as ondas de densidade apare-cem somente dentro dele. A figura 3.3 apresenta em detalhe os redutores de diâmetro utilizados para conectar o reservatório ao tubo de vidro. Na saída do adaptador em bronze é colocada uma mangueira flexível de pequeno diâmetro onde ingressa o tubo de vidro.
A válvula colocada no extremo inferior do tubo de vidro tem um desenho simples, con-sistindo numa casca cilíndrica flexível de borracha e um parafuso utilizado para variar a área de saída dos grãos. Para medir a vazão mássica utilizou-se um recipiente graduado para o recolhi-mento dos grãos na saída do tubo. Finalmente, deve-se indicar que a entrada do reservatório e a saída da válvula sempre estiveram abertas à atmosfera.
Figura 3.3: Detalhe dos redutores de diâmetro utilizados para conectar o reservatório ao tubo de vidro.
3.3 Aquisição de imagens
Para filmar o escoamento dos grãos, foi utilizada uma câmera CCD (em inglês Charge Coupled Device) MotionPro X3, com uma resolução de 1280 pixels × 1024 pixels e frequência máxima de 1000 Hz. A alta frequência permite capturar os padrões granulares que acontecem com grande rapidez. Nos ensaios realizados foram empregadas frequências de 250 e 500 Hz. Uma lente Nikon AF Micro Nikkor, com distância focal de 60 mm e com abertura de F1,4 foi utilizada junto com a câmera. A câmera deve ser posicionada de tal modo que todo o campo de interesse possa ser registrado, para isso, foi utilizado um tripé que permitiu manter a posição desejada durante todos os ensaios. Além disso, a câmera foi controlada através de um compu-tador, com o objetivo de selecionar as frequências de filmagem, escolher o número de imagens e armazená-las.
Figura 3.4: Imagem de calibração. O papel milimetrado foi colocado fora do tubo de vidro O número de imagens variou entre 500 e 1500 por teste. O tempo de filmagem depende desse número e da frequência de operação da câmera. Por exemplo, um ensaio a 250 Hz e com 1500 imagens teria uma duração de 6 segundos. Ao final dos ensaios, foi necessário capturar uma imagem de calibração, para isso foi empregada uma folha de papel milimetrado que foi colocada junto ao tubo de vidro. Após obtenção desta imagem de referência, foi possível fazer a conversão de pixels para milímetros. A figura 3.4 exibe uma imagem de calibração de um dos testes realizados. Devido à grande quantidade de imagens obtidas em cada teste, foi necessário desenvolver um código numérico, o que foi feito em ambiente Matlab. Este procedimento é explicado em detalhes no capítulo 4.
3.4 Fonte de Luz
Para prover a iluminação necessária para realizar os ensaios, foram utilizadas placas de luz LED (em inglês Light Emitting Diode) ligadas a corrente contínua, (as placas devem ser co-nectadas a fontes de corrente contínua para evitar a variação de intensidade de luz). Este tipo de luz em corrente contínua é adequado porque evita o batimento entre a fonte de luz e a frequência de trabalho da câmera. As posições das placas LED em relação ao tubo de escoamento foram determinadas em função da qualidade da imagem visualizada na tela do computador.
3.5 Medição de temperatura, umidade e vazão mássica
A temperatura e a umidade relativa do ar foram medidas utilizando um termo-higrômetro digital com tolerâncias de ±0,5∘� e ±2,5%, respectivamente. Por outro lado, a vazão
más-sica foi medida empregando um cronômetro e uma balança digital com precisão de ±0,01 g e capacidade máxima de 4200 g. Na figura 3.5, são mostrados os equipamentos descritos nesta seção.
(a) (b)
Figura 3.5: Dispositivos de medição. (a) Termo-higrômetro. (b) Balança digital.
3.6 Caracterização dos grãos
As partículas que serviram como material granular foram esferas de vidro com massa específica �s= 2500 kg/m3. Inicialmente, as esferas vieram armazenadas em sacos com
capa-cidade de 20 kg. Esses pacotes continham esferas com uma ampla faixa de diâmetros, logo, foi necessário classificar o material em faixas de diâmetros conhecidos. Para efetuar isso, as par-tículas foram peneiradas. Um agitador electromagnético, da marca Bertel, permitiu realizar o processo de peneiramento de forma automática. No agitador foram montadas seis peneiras com malhas de: 600, 500, 425, 300, 212 e 106 �m. Além disto, o dispositivo possui um regulador de
