A figura 5.12 mostra a taxa de crescimento adimensional �*
i como uma função do número
de onda adimensional �*.
A figura 5.12a, para um amplo intervalo de números de onda, mostra que os números de onda menores são estáveis. Por outro lado, a figura 5.12b mostra a região 0 . �* .0,7, onde é
possível observar que uma raiz (desenhada em linha contínua) corresponde a uma instabilidade de grande comprimento de onda, esta raiz tem um modo preferencial �* ≈ 0,2 e um compri-
mento de onda de corte �* ≈ 0,6, este último corresponde a comprimentos de onda � da ordem
de 10�.
Este resultado previsto pelo modelo analítico está em excelente concordância com os resultados experimentais encontrados neste mesmo trabalho, e com aqueles reportados nos tra- balhos de Raafat e outros (1996), Aider e outros (1999), Bertho e outros (2002). Além disso, também concorda com os resultados reportados em Franklin e Alvarez (2015), não obstante que no presente trabalho as equações são expressadas em forma adimensional, resultando em uma equação �*(�*) que pode ser resolvida com maior facilidade. Também, deve-se mencionar que
no presente estudo a compacidade granular dentro do plugue �, não foi restringida a ter um valor constante, ao contrario da análise de Franklin e Alvarez (2015) que emprega essa restrição. Por
fim, deve-se notar que através do ângulo � da equação do movimento dos grãos (equação 4.26), é possível considerar as pequenas inclinações do tubo de vidro, que eventualmente poderiam aparecer no momento de realizar os ensaios. Isto permite considerar as incertezas de medida ao se colocar o tubo na vertical.
(a)
(b) Figura 5.12: Taxa de crescimento adimensional �*
i como função do número de onda adimensi-
onal �*. �*
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
No presente trabalho foram estudados os escoamentos gravitacionais de grãos finos inte- ragindo com ar dentro de um tubo vertical. Os estudos experimentais demonstraram que esses escoamentos apresentam formação de ondas de densidade, principalmente, devido à umidade relativa do ar, à vazão mássica dos grãos, à relação entre o diâmetro do tubo e o diâmetro do grão e à rugosidade superficial dos grãos. As ondas de densidade são formadas por duas regiões: uma de alta compacidade granular, denominada plugue e a outra de baixa compacidade, conhecida como bolha de ar. Por outro lado, a vazão mássica granular determina algumas características interessantes das ondas de densidade, a saber: a menores vazões as ondas caracterizam-se por se propagar com pequenas oscilações, resultando em plugues que oscilam em torno de uma velocidade média; já a vazões maiores a propagação dos plugues é a velocidade constante.
Para capturar as ondas de densidade formadas no escoamento foi utilizada uma câmera de alta velocidade, já para analisar a dinâmica das ondas foi desenvolvido um código numé- rico na plataforma do programa Matlab para o tratamento de imagens. Este código é capaz de gerar rapidamente os diagramas espaço-tempo do escoamento: milhares de imagens podem ser analisadas em poucos minutos. Além dos diagramas, o código calcula a velocidade média de propagação e o comprimento médio das ondas. Uma das vantagens da análise do escoamento através de imagens, é que as ondas de densidade podem ser visualizadas diretamente em cada imagem. Desta forma, é possível obter uma ideia do valor aproximado do tamanho dos plugues, o que permite ter uma ideia bastante acertada se o código calcula adequadamente o compri- mento de onda.
Como foi mencionado anteriormente, um dos parâmetros para a formação de ondas de densidade é a relação entre o diâmetro do tubo e o diâmetro do grão. Para determinar mais exa- tamente o valor desse último, foi empregada a técnica de Microscopia Eletrônica de Varredura (MEV), através de 100 medições aleatórias. Foram obtidos valores medianos de 110 ± 11 �m e 225 ± 14 �m, valores que são menores do que o valor médio do intervalo de grãos contidos em uma malha de peneiramento. Os valores obtidos com a técnica MEV foram utilizados para calcular algumas constantes na análise de estabilidade linear.
Foram observados dois regimes de propagação das ondas de densidade. O primeiro cor- respondeu a ondas de densidade que se propagaram com velocidade constante, e neste regime é importante apontar sobre o sentido de movimento dos plugues: durante todos os ensaios a propagação de ondas aconteceu contrariamente ao sentido do escoamento, e foi possível obser- var este regime com vazões mássicas até oito vezes menores às utilizadas em outros trabalhos reportados na literatura. O segundo regime foi caracterizado por ondas oscilantes, este apareceu
principalmente quando foram empregados grãos com maior desgaste superficial e da faixa de 212 − 300 �m. Em alguns casos se apresentaram ondas de pequena amplitude cujos plugues se propagaram no sentido do escoamento. Os diagramas espaço-tempo mostraram que a frequên- cia de oscilação destas ondas, �osc, é da ordem de 7 Hz. Além disso, essas oscilações foram
modelas como um sistema bifásico ar-água, e com isso foi possível calcular analiticamente �osc
igual a 4 Hz. Deste modo, tornou-se possível comprovar que a frequência calculada utilizando unicamente os diagramas estava correta. Por fim, dentro do mesmo regime de ondas oscilantes, foram observadas outras ondas com frequência menor e amplitude maior que as ondas de pe- quena amplitude. Utilizando os digramas espaço-tempo, foi determinada uma �oscigual a 5 Hz.
Também, para o regime de ondas oscilantes se determinou que existe uma velocidade de deriva dos plugues, �p, que indica que a propagação de ondas acontece no sentido do escoamento; com
exceção das oscilações, as características gerais deste regime são as mesmas que as observadas no regime de propagação de ondas.
Baseado nos diagramas espaço-tempo foi possível determinar as velocidades médias de propagação dos plugues. Para os dois regimes determinou-se que essa velocidade é constante para todo o escoamento dentro de todo o tubo. Também, foi observado que a velocidade dos plugues varia linearmente com a vazão mássica, e o comprimento típico dos plugues foi cal- culado como aproximadamente 10�. Este comprimento de onda não apresenta uma variação significativa com a vazão mássica.
Para calcular analiticamente o comprimento de onda dos plugues uma abordagem analí- tica foi empregada. O modelo consistiu de três equações, a saber: uma equação para o movi- mento dos grãos dentro de um plugue compacto, uma equação para a pressão do ar, e a equação de conservação da massa. A compacidade, a velocidade dos grãos e a pressão foram conside- radas como variáveis dentro do plugue, e essas equações foram normalizadas e serviram para realizar uma análise de estabilidade linear. O estado inicial, considerado como estado base, foi estimado como um escoamento granular muito próximo ao regime compacto de grãos, e então esse estado foi perturbado para determinar se existe um modo preferencial, isto é, se um regime inicial compacto será fraturado em plugues granulares com um comprimento de onda caracte- rístico. Para resolver as equações do modelo, foram considerados os modos normais, também em forma adimensional, que foram inseridos nas equações do modelo, obtendo-se um sistema linear. Em seguida, foi calculado o determinante do sistema que obteve-se a relação de disper- são, �*(�*), com isso foi possível determinar um modo preferencial e um comprimento de onda
de corte, este último correspondendo a comprimentos de onda da ordem de 10�.
Devido à importância dos escoamentos granulares gravitacionais em várias atividades in- dustriais, e à funcionalidade do código numérico para o tratamento de imagens, é possível suge- rir alguns trabalhos adicionais. Realizar um conjunto de ensaios empregando tubos de diâmetros
diferentes ao utilizado no presente trabalho e empregar uma fonte de vibração externa, torna-se em uma interessante proposta para analisar o comportamento do escoamento granular. Estudar o comportamento do meio granular quando uma fonte externa de ar escoa em sentido contrario ao escoamento granular, também é uma importante sugestão. Por fim, se poderia desenvolver trabalhos referentes aos regimes de escoamento compacto e de queda livre, que também podem ser observados em escoamentos granulares dentro de tubos verticais de pequeno diâmetro.
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ANEXO A – Trabalhos publicados
A partir de este trabalho foram publicados dois artigos científicos, o primeiro foi publi- cado em um periódico e o segundo foi apresentado em um congresso.
A.1 Artigo publicado em J. Braz. Soc. Mech. Sci. Eng.
Artigo publicado em Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engi- neering, v. 37, p. 1507-1513, 2015. DOI 10.1007/s40430-014-0291-3
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