5.2 Regime de Ondas de densidade
5.2.1 Propagação de ondas
Os testes foram realizados com esferas das duas faixas de diâmetro (seção 3.7), porém o regime de propagação de ondas ocorreu apenas quando foram utilizadas as esferas com diâ- metros na faixa de 106−212 �m. Em todos os ensaios, as ondas propagaram-se para cima, em direção contraria ao escoamento(velocidade negativa). A figura 5.2, apresenta alguns diagramas espaço-tempo de ondas se propagando. A velocidade média dos plugues, �p, varia em função
da vazão mássica ˙�. Por exemplo, �p, do diagrama (a) da figura 5.2, corresponde a ˙� = 0,44
g/s. Os diagramas desta figura foram construídos com imagens capturadas a uma distância ℎ1 =
30 cm à jusante do início do tubo, logo o campo de visão da câmera começa nessa distância.
2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Time (s) Position (m) (a) 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Time (s) Position (m) (b) 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Time (s) Position (m) (c) 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Time (s) Position (m) (d)
Figura 5.2: Diagramas espaço-tempo para diferentes valores de ˙�. As posições superiores e inferiores dos plugues são identificadas com os pontos pretos e azuis, respectivamente. A velo- cidade média dos plugues é representada pela linha descontínua. (a) �p= -0,0434 m/s, ˙� = 0,44
g/s. (b) �p = -0,0366 m/s, ˙� = 0,37 g/s. (c e d) �p = -0,0538 m/s, ˙� = 0,55 g/s.
A figura 5.3 apresenta os diagramas espaço-tempo desenvolvidos a partir de imagens obtidas com a câmera posicionada em ℎ2= 45 cm. Os grãos utilizados foram aqueles definidos
como "grãos novos"(seção 3.6).
Para todos os diagramas espaço-tempo, o zero do eixo vertical coincide com o valor de ℎ1 ou de ℎ2, segundo o caso. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Time (s) Position (m) (a) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Time (s) Position (m) (b) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 Time (s) Position (m) (c) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Time (s) Position (m) (d)
Figura 5.3: Diagramas espaço-tempo para diferentes valores de ˙�. As posições superiores e inferiores dos plugues são identificadas com os pontos pretos e azuis, respectivamente. (a) �p=
-0,0382 m/s, ˙� = 0,36 g/s. (b) �p = -0,0873 m/s, ˙� = 0,84 g/s. (c) �p = -0,0408 m/s, ˙� = 0,40
g/s. (d) �p= -0,0914 m/s, ˙� = 0,96 g/s.
Em todos os diagramas espaço-tempo, pode ser observado que a velocidade média dos plugues , �p, é independente da distância. Assim, se for escolhido arbitrariamente um diagrama
qualquer, todos os plugues capturados nesse diagrama movimentam-se aproximadamente com a mesma velocidade média �p. A velocidade dos plugues não varia dentro do campo de visão
analisado. Desta forma, é possível concluir que �pé constante ao longo do tubo. Além disso, �p
é a velocidade uma vez que um estado de propagação estacionário tenha sido atingido (Aider e outros, 1999). Para validar que os plugues propagam-se dentro deste estado foram analisa- dos diagramas espaço-tempo construídos com filmagens contínuas. Por exemplo, os diagramas das figuras 5.2c e 5.2d pertencem a um mesmo ensaio com uma duração de 4 segundos. O teste
começa na figura 5.2c com um tempo de observação de quase um segundo, depois de 2,4 segun- dos (não mostrados nos diagramas), o teste continua na figura 5.2d onde os plugues mantêm a mesma velocidade que tinham no primeiro segundo por mais uns 0,6 segundos, onde a filmagem termina. Este tipo de validação foi efetuada em vários ensaios, com grãos "novos"e "velhos", os resultados sempre foram os mesmos, os plugues mantiveram a propagação para cima com a mesma velocidade.
É importante comentar sobre o sentido de deslocamento dos plugues. Nos trabalhos de Aider e outros (1999); Bertho e outros (2002) e Bertho e outros (2003), foi reportado que os plugues propagaram-se para baixo, no sentido do escoamento. Durante os ensaios realizados para este projeto, que corresponderam a este regime de escoamento, a propagação das ondas aconteceu em sentido contrário do escoamento. A diferença em relação aos estudos citados po- deria ser devido à vazão mássica, ˙�. Esses autores utilizaram vazões mássicas até oito vezes maiores que as empregas no presente trabalho. Aider e outros (1999) demonstraram que a velo- cidade média dos plugues, �p, varia linearmente com a vazão mássica, ˙�. Então, é importante
investigar se para este trabalho os valores de �p calculados também apresentam esse tipo de
variação como função de ˙�.
A tabela 5.2, resume os valores da vazão mássica, ˙�, da velocidade média dos plugues, �pe do comprimento de onda, �, para alguns dos ensaios que corresponderam ao regime de pro-
pagação de ondas. Além disso, são adicionadas as informações do estado dos grãos, "novo"ou "velho", e o valor da umidade relativa do ar, H.
Tabela 5.2: ˙�, �, �p, � e estado dos grãos para os testes no regime de propagação de ondas
Teste �˙ H estado �p � · · · �/� % · · · �/� �� 1 0,37 44,1 velho -0,0366 3,06 2 0,52 41,4 velho -0,0491 3,04 3 0,55 41,3 velho -0,0538 3,06 4 0,40 41,6 velho -0,0389 3,04 5 0,67 42,3 velho -0,0631 3,04 6 0,44 43,0 velho -0,0434 3,05 7 0,58 42,1 velho -0,0566 3,01 8 0,68 64,8 novo -0,0681 3,2 9 0,36 59,2 novo -0,0382 3,1 10 0,84 53,5 novo -0,0873 3,05 11 0,40 62,9 novo -0,0408 2,93 12 1,05 63,6 novo -0,0963 3,15 : : : : : : 17 0,96 52,5 novo -0,0914 2,75
Com as informações da tabela 5.2, podem-se produzir gráficos que permitem observar melhor a relação entre os dados. Um primeiro gráfico pode servir para determinar a dependência de �p com ˙�. Assim, a figura 5.4 apresenta a variação dos valores absolutos da velocidade
média, �p, como função da vazão mássica, ˙�. Os dados permitem realizar um ajuste linear,
demonstrando que existe uma dependência linear aproximada entre estas duas magnitudes.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 | vp | (m / s) ˙ m(g/s)
Figura 5.4: Velocidade média dos plugues, �p, como função da vazão mássica ˙�, no regime
de propagação de ondas. ∘, correspondem a ensaios com grãos "velhos". △, correspondem a ensaios com grãos "novos", e as linhas correspondem ao ajuste linear realizado para cada grupo de dados, mostrando a dependência linear aproximada de �p como função de ˙�.
O comportamento aproximadamente linear de �p como função de ˙�, apresentado na fi-
gura 5.4, está em concordância com o reportado por Raafat e outros (1996), Aider e outros (1999) e Bertho e outros (2002).
Observando os diagramas espaço-tempo, é possível realizar algumas análises adicionais. Os pontos em azul, que identificam as zonas inferiores dos plugues, apresentam uma curvatura acentuada em algumas regiões. Isto sugere que, nessas regiões, os grãos são acelerados dei- xando um plugue e ingressando na bolha de ar posicionada abaixo dele, i.e., caindo em queda livre. Pouco tempo depois, os grãos atingem a parte superior do plugue seguinte, onde eles são freados abruptamente. A figura 5.5, apresenta uma ampliação da região analisada. As linhas com elevadas curvaturas alcançam uma inclinação constante (representadas pelas linhas contí- nuas na figura 5.5), que permite calcular uma velocidade aproximada dos grãos, da ordem de 0,8 m/s. Por outro lado, assumindo um movimento de queda livre dentro das bolhas, e um sistema de coordenadas inercial fixo ao plugue, essa velocidade pode ser determinada teoricamente. Utilizando a equação 5.1, proposta no trabalho de Aider e outros (1999), pode-se calcular a velocidade inicial, �i, correspondente aos grãos saindo do plugue e ingressando na bolha de ar.
Figura 5.5: Vista ampliada de um diagrama espaço-tempo, correspondente ao regime de propa- gação de ondas. Velocidade média de propagação, �p = -0,0366 m/s, vazão mássica, ˙� = 0,37
g/s.
˙
�m = � (�2/4)�s� �i (5.1)
onde �s é a densidade dos grãos (2500 kg/m3), � é a compacidade dos plugues que pode ser
assumida como constante e igual a 0,6, � é o diâmetro do tubo e foi utilizada ˙�m = 0,8 g/s que
é um valor médio da vazão mássica. Deste modo, �i = 0,075 m/s. A velocidade dos grãos, �f,
depois de percorrer uma distância ��, pode ser calculada através da equação 5.2.
�2f = �2i + 2��� (5.2)
Da figura 5.5, �� ≈ 0,04 m, e desprezando a resistência do ar, obtém-se que �f ≈ 0,9 m/s.
Este valor de velocidade está de acordo com o calculado apenas utilizando a vista ampliada do diagrama espaço-tempo. Além disso, este valor também se aproxima da velocidade reportada em Aider e outros (1999).
Também é interessante determinar o valor aproximado do comprimento de onda �, como função da vazão mássica, ˙�. A figura 5.6, construída a partir dos dados da tabela 5.2, mostra que � é quase independente da vazão mássica ˙�. Esta última constatação está de acordo com o reportado por Raafat e outros (1996). Além disso, normalizando o comprimento de onda do plugue, �, pelo diâmetro do tubo �, tem-se que �/� ≈ 10, o que também coincide com os resultados reportados por Raafat e outros (1996) e Aider e outros (1999).
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 ˙ m(g/s) λ (c m )
Figura 5.6: Comprimento de onda dos plugues, �, como função da vazão mássica ˙�. ◇, corres- pondem a ensaios com grãos "novos". ▽, correspondem a ensaios com grãos "velhos".
Observando a figura 5.6, conclui-se que não há diferença significativa, do comprimento de onda dos plugues, em relação ao estado dos grãos.
A análise detalhada dos diagramas espaço-tempo para o regime do propagação de ondas, permitiu determinar que os plugues granulares se movimentam com velocidade constante ao longo do tubo. Esta velocidade varia linearmente com a vazão mássica, além de, para vazões mássicas similares, os plugues de grãos "novos"terem maior velocidade quando comparados aos de grãos "velhos"(figura 5.4). Além disso, foi determinado que o comprimento de onda dos plugues é aproximadamente independente da vazão mássica, e não é influenciado pelo estado dos grãos (figura 5.6).