CMB222 - Agronomia - Profa. Ana Gabriela Martínez
Modelos Matemáticos e Equações Diferenciais
Muitos problemas práticos, podem ser modelados pela Matemática, de acordo com as quatro etapas abaixo (não muito bem de nidas):
1. Construção de um modelo para descrever algum fenômeno físico;
2. Estabelecimento de um procedimento matemático adequado ao modelo físico;
3. Realização de cálculos numéricos aproximados com o uso do Modelo Matemático pré-estabelecido;
4. Interpretação física dos resultados numéricos obtidos.
Após estas etapas, costuma-se analisar os resultados e na veri cação da adequação dos mesmos, aceita-se o modelo e na inadequação dos resultados, reformula-se o modelo, geral-mente introduzindo maiores controles sobre as variáveis importantes, retirando-se os contro-les sobre as variáveis que não mostraram importância.
Crescimento Populacional: Modelo de Malthus Problemas relacionados com o crescimento populacional:
1. Qual será a população de um certo local ou meio ambiente em alguns anos?
2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou deste meio ambiente para que não ocorra a extinção de uma ou de várias espécies?
Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionado com este problema, consideraremos o modelo matemático mais simples para tratar sobre o crescimento populaci-onal de algumas espécies, conhecido como o Modelo de Crescimento Exponencial de Malthus, que estabelece que a taxa de variação da população em relação ao tempo, aqui denotada por
dN
dt , é proporcional à população presente.
Em outras palavras, se N = N(t) mede a população, resulta que dN
dt = kN onde a taxa k é uma constante.
A solução de esta equação de primeira ordem é dada por N (t) = N0ekt
Podemos concluir o seguinte:
1. Se k > 0, haverá crescimento populacional e este continuará a se expandir para ∞. 2. Se k < 0, a população se reduzirá e tenderá a 0, o que signi ca que ocorrerá extinção da espécie.
O primeiro caso não é muito realista pois o modelo pode não funcionar bem a longo prazo, principalmente devido às limitações do ambiente: o crescimento populacional é even-tualmente limitado por algum fator, em geral recursos naturais. Quando uma população está muito distante de seu limite de crescimento ela pode crescer de forma exponencial, mas quando está próxima de seu limite o tamanho da população pode variar.
Este modelo precisa ser melhorado incorporando algum tipo de informação extra que leve em consideração esta situação.
Crescimento Populacional: Modelo de Verhulst
Um outro modelo proposto para remediar este problema do modelo exponencial é cha-mado de Modelo Logístico ou modelo de Verhulst-Pearl.
Neste modeto um novo termo é introduzido para regular o crescimento da população em função da capacidade do ambiente (L) onde esta se desenvolve.
A equação diferencial para este modelo é dN
dt = kN (1 − N
L)
onde L é o limite máximo para a população (também chamado a capacidade do ambiente). Se N = N(t) é muito pequeno quando comparado com a capacidade do ambiente L, a expressão em parênteses é próxima de 0 e o modelo se reduz ao modelo exponencial de Malthus.
Quando o número de indivíduos se aproxima da capacidade máxima L então a taxa de variação é reduzida signi cativamente.
A equação diferencial resultante é não linear separável. As soluções constantes são N = 0 e N = L.
A solução geral pode ser obtida pelo método da separação das variáveis:
LdN dt = kN (L − N ), L 1 N (L − N ) dN dt = k, L Z 1 N (L − N )dN = Z kdt, Integrando obtem-se:
Temos a solução geral dada por:
N (t) = LCe
kt
L + Cekt,
onde C é uma constante.
Considerando N(0) = N0 e assumindo que N0 não é igual a 0 nem igual a L, obteremos:
N (t) = LN0
N0+ (L − N 0)e−kt
Daqui se segue que
limt→∞N (t) = L.
Isto signi ca que no longo prazo o número de indivíduos aproxima-se da capacidade máxima do ambiente. Porém, não temos nenhuma informação em relação a extinção da população.
Mesmo que N0 seja pequena, a população sempre tenderá para a capacidade L do
ambi-ente. Embora este modelo ainda possua falhas, ele é apropriado para a análise de crescimento populacional de cidades, assim como de populações de lactobacilos e outros.
Figura 1: Campo de direções para o modelo de Malthus. Observar que aqui o crescimento é exponencial.
Exercício: Na produção de certo alimento estima-se em N o número de organismos de um certo tipo presentes na embalagem. Após 60 dias este número N tem crescido até 1000N. Porém o número 200N é considerado como o limíte saudável. Determine em quantos dias depois de elaborado o produto, este perde sua validade (use o modelo de crescimento populacional). (Rta.: 46.02 dias)
Decaimento Radioativo
Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma taxa propor-cional à quantidade presente do material. Se Q = Q(t) é a quantidade presente de um certo
Figura 2: Campo de direções para o modelo de Verhulst. Observar como a população aproxima-se do seu limiar, aqui L=1.
material radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, aqui denotada por dQ
dt , é dada por:
dQ
dt = kQ(t)
onde k é uma constante negativa bem de nida do ponto de vista físico (constante de desin-tegração). Para o Carbono 14 a constante é k = −1, 244E − 4 e para o caso do Rádio a constante é k = −1, 4E − 11.
Normalmente consideramos Q(0) = Q0 a quantidade inicial do material radioativo
con-siderado. Quando não conhecemos o material radioativo, devemos determinar o valor da constante k, o que pode ser feito através da característica de meia-vida do material.
A meia-vida é o tempo necessário para desintegrar a metade do material. Portanto, se nós conhecemos a meia-vida do material, podemos obter a constante k e vice-versa. Em li-vros de Química podemos obter as meias-vidas de vários materiais radioativos. Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 está na faixa entre 5538 anos e 5598 anos, numa média de 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos. O Carbono-14 é uma importante ferramenta em Pesquisa Arqueológica conhecida como teste do radiocarbono.
Problema: Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g no nal de 30 dias. Com quanto radioisótopo você deve começar?
Solução: Desde que a meia-vida está dada em dias, nós mediremos o tempo em dias. Seja Q = Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0) = Q0a quantidade inicial. Sabemos
que r é uma constante e usaremos a meia-vida 16 dias para obter a constante k.
Como Q(t) = Q0ektentão, parat = 16 teremos Q(16) = 12Q0, logo 12Q0 = Q0e16k portanto
e16k = 1/2.
k = −ln2/16 = −0, 043321698785.
Desta forma temos a função que determina a quantidade de material radioativo a qualquer momento:
Q(t) = Q0e0,043321698785t.
Exercício: Foi encontrado um osso fossilizado que contém um milésimo da quantidade original de carbono 14. Determinar a idade do fóssil sabendo que a meia vida do C14 é 5600 anos. (Rta: 55,8 anos).
Algumas considerações sobre a técnica da Datação do Carbono 14
O método do carbono 14 deve-se ao químico Willard Libby. Ele recebeu o premio Nobel no ano 1960 por essa descoberta. Esta técnica funciona da seguinte forma: a atmosfera terrestre é bombardeada continuamente por raios cósmicos. Estes raios produzem neutrones livres que se combinam com o nitrogênio da atmosfera para produzir o isótopo C-14 (ou radiocarbono). Este C-14 combina-se com o bióxido de carbono presente na atmosfera que é absorvido pelas plantas e que passa para os animais através de sua ingestão. Desta forma, o C-14 é incorporado aos tecidos dos seres vivos. A proporção deste isótopo contida nos seres vivos é igual que a da atmosfera. Quando este morre a incorporação de C-14 é detida e começa o processo de desintegração. Portanto comparando a proporção de radiocarbono presente no fóssil com a da atmosfera é possível obter uma estimativa razoável da sua idade. Dado que a concentração de 14C em um ser vivo é a mesma que existe em equilíbrio na atmosfera, ela só começa a mudar a partir do momento em que ele morre. Para saber há quanto tempo a morte ocorreu basta medir quanto de 14C está em seu corpo ou parte dele. Admitindo que a concentração de 14C no passado, centenas ou milhares de anos atrás, é igual àquela existente atualmente, é possível determinar o tempo decorrido desde a morte da planta ou animal (idade do corpo).
A análise por meio do método de 14C é efetiva, normalmente, até datas de 30 mil a 40 mil anos, já que, após esse período, a radiação emitida pelo 14C terá sido reduzida a praticamente zero. Por outro lado, em um objeto com, por exemplo, cem anos de idade, a quantidade de radiação emitida não terá diminuído o su ciente para que seja detectada alguma diferença.
Para aplicar o método são feitas algumas suposições:
• A concentração de 14C permanece constante ao longo do tempo;
• essa concentração é igual em todos os reservatórios de carbono (atmosfera, biosfera, oceanos, rios e lagos);
• a proporção dos isótopos se mantém constante nos ciclos químicos em que intervém o carbono;
• com a morte do organismo, cessa o intercâmbio de 14C com o meio.
Em geral, nenhuma dessas suposições acontece na realidade. É por isso que, quando falamos do conteúdo de 14C em uma amostra e o expressamos em anos, dizemos que é uma
idade radiocarbônica, que pode estar mais ou menos próxima da idade real, dependendo da situação, do peso de cada uma das variáveis.(Fonte:Univerciência, dezembro de 2002).
Lei de Resfriamento de Newton
Quando se expõe um corpo de temperatura Tc a um ambiente de temperatura TA, de
forma que Tc6= TA, observa-se que após um certo tempo o objeto atinge o equilibrio térmico
com o ambiente. A taxa de resfriamento depende de fatores, tais como: • a diferença de temperatura entre o corpo e o meio externo;
• a superfície do corpo exposta;
• o calor especí co da substância que o constitui;
• as condições do ambiente no qual este corpo foi colocado; Matemáticamente isto pode ser escrito na seguinte forma:
∆T = −K(Tc− TA) ∆t,
onde ∆T é a variação de temperatura sofrida pelo corpo;
K representa um coe ciente de proporcionalidade, que dependerá da superfície exposta, do calor especí co do corpo e também é funçãode características do meio ambiente;
Tc e TA são as temperaturas do corpo e do ambiente repectivamente;
∆t é um intervalo de tempo.
Logo temos que este fenômeno pode ser modelado através da seguinte equação diferencial ordinária:
dT
dt = −K(T − TA).
Esta última equação é valida para variações de temperatura dentro de certos limites. Resolvendo a e.d.o teremos uma expressão para predizer por exemplo em que momento o corpo irá a atingir uma dada temperatura.
Exemplo: Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100 C. No instante t = 0ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura de 30 C. Depois de 3 minutos a temperatura de esfera está reduzida a 70 C. Determine o instante em que a temperatura atinge 31 C.
Solução: Se T é a temperatura do corpo, sabemos que dT
dt = −k(T − 30).
pois a temperatura do ambiente é de 30C e a constante de proporcionalidade k é positiva, pois a temperatura do corpo sempre diminui com o tempo.
A solução geral desta e.d.o é dada por:
T (t) = 30 + cekt.
O valor da constante c é determinado usando a condição inicial do problema: T (0) = 100. Logo temos que T (t) = 30+70ekt.Para determinar o valor de k usamos o fato que T (3) = 70;
isto corresponde a 70 = 30 + 70e3k de onde obtém-se k = 1
3ln(4/7) ≈ −0.1865; portanto
T (t) = 30 + 70e−0.1865t;
vemos que para saber em que instante a temperatura atinge 31C é preciso resolver T (t∗) = 31
resultando t∗ = 22.78 minutos.
Exemplo:
Quando um paraquedista abre seu paraquedas está caindo a uma velocidade v0 = 17f t/s,
se a força do ar é de W v2/256onde W é o peso do paraquedas e do homem e v é a velocidade
com que va caindo, encontre a velocidade do paraquedista em qualquer instante de tempo após o paraquedas ter sido aberto.
Soluçao: Após aplicar a segunda lei de Newton mdv
dt = Ftotal= W − Far,
desta forma o problema de valor inicial é dado por: dv dt = 256 − v 2 /8, v(0) = 176 A solução resulta:v(t) = 166 + 5e−4t 6 − 5e−4t.
Observa-se que para valores grandes de t a velocidade se aproxima de 16ft/s, que é a velocidade com que o corpo chega no chão.
