CAP 5

C I R C E L

( P R O F M A S S I M O A R G E N T O ) – C O R R E N T E C O N T Í N U A –

C APÍ TU LO V – AS S OCI AÇ ÃO DE BI POLOS –C UR V AS C AR AC TE RI S TIC AS

1) – AS SOCI AÇ ÃO DE BI POLOS:

DEF.: Def in imos Bip o lo E létr ico com o sen do q ua lq uer dis pos iti vo e létr ico q ue possu a do is termin ai s acess íve is.

Num Bi po lo def inem -se sempr e d uas va riá ve is: A t ensã o e xistent e e ntre o s s e us termina is e a corre nt e q ue o atravessa.

A tens ão é me di d a atra vé s d e volt ímetros; a c orrente é med id a atra vés de amper ímetros. T ant o os vo lt ím etros c omo os amper ímet ros possu em os seus termina is d iscr imi na dos atra vés do si na l (+) ou ( -). O vo lt ím etro é f eito de ta l f orma q ue q uando o s eu te rmina l (+) f or conec tado ao t ermina l de maior p otenc ia l d e u m bip ol o, a su a ind ica ção s ej a p osit i va; de mane ira aná log a, o amper ímetro é f eito de tal f orma q ue q uando no seu termi na l (+) entrar uma corrente pos iti va, a sua ind ic ação s ej a pos iti va .

1.1) - CON VE NÇÕE S - BIPOLOS GER ADORE S E R EC EP TO RES :

Poder emos co n ven ci onar arb itrar iamente um bip ol o como g er ador ou r ecept or. No te q ue con venc io nar é d if erente d e s er; ou sej a: Nad a i mpede q ue um bi pol o con ve nci ona do como g erador se comport e como receptor o u vice- versa. Com o reg ra g eral poder emos di zer q ue se o produt o v x i f or positi vo o bipo lo rea lment e está se comportand o conf orme a con ven ção a d otada ; vic e- versa, se o produt o v x i f or neg ati vo, s ig nif icar á q ue o comp ortamento d o b ipo lo é o contrár io d o q ue f oi adotad o. Res sa ltamos ai nda q ue te n sões e c orrentes são fun çõe s de um determinad o insta n te:

1.2) AS SOCI AÇÕ ES DE BIPOLO S POR CU RV AS C AR AC TE RIS TIC AS:

CU RV A C AR AC TE R IS TIC A : Gráf ico q ue demo nstra o c o mportamento da t en são para uma det ermina da corrente (o u vi ce- ver sa ) num determi nado b ip ol o.

Uma ve z con hec id as as cur vas cara cter íst icas de bi po l os q uai sq uer, as s uas assoc iaç ões p oderã o ser e xec utada s in c lus i ve g raf icamente:

a)- Bipo lo “A” e re specti va b) - Bipol o “B” e respecti va curva car acter isti ca curva c aracter íst ica

A cur va car acteri st ic a do b ipo lo res ult ant e da ass oci açã o pro posta po derá ser obtid a da s eg uinte f orma:

NOT AS:

a) Des de q ue s ej a p oss íve l obt er an al iti camente a eq uaç ão da cur va cara cter ísti ca de cad a b ipo lo , será também pos s íve l o bter a eq ua ção cara cter ístic a da assoc iaç ão eq ui va le nte

b) Mesmo q ue os bipo lo s possu am con ve nçõ es dif erentes entre si , sempre será poss íve l obt er a cur va (ou a eq uaçã o) car acter íst ica da ass oc i ação,

E X EM PL O S D E AP L I C AÇ ÃO :

1º) Send o f orneci da s as cur va s caract er íst icas dos b ip ol o s “A” e “B” co nf orme con ve nção in dic ada, pede- se determi nar:

a) A eq uação, e a c ur va caracter ístic a da assoc iaç ão pe di da;

c) A T ensão em cad a b ipo lo, su pon do- se u ma tensão d e 8V n a assoc iaç ão

SOLU ÇÃO: Vamo s i nic ia lmente determi n ar a eq uaç ão car act er íst ica de ca da bi p olo, le vando em cons ider ação as eq uações d e reta ; teremos:

Bip. “A” : vA = -2iA + b ; q uando iA = 0 ⇒ vA = 4 ⇒ b = 4 ⇒ vA = -2iA + 4 Bip. “B” : vB = iB + b ; q uando iB = 0 ⇒ vB = 3 ⇒ b = 3 ⇒ vB = iB + 3

Em seg uid a, vamos comparar à caracter ística de c ada bi po lo com a as soc iaç ão q ue está sen do pe di da; teremos:

Dond e con cl uirem os q ue:      − = − = − = B A A B i i i : e v v v

Portanto: v = ( iB + 3 ) – (-2iA + 4) ; Cons ider and o- se q ue i = - iA = - iB teremos v = ( -i + 3 ) – (2 i + 4) ∴ v = -3i - 1 ; Para obtermos a curva caracter ístic a atra vé s da eq uação obti da:

Quando i = 0 ⇒ v = -1 ; Quando v = 0 ⇒ i = 3 1 − portanto: A Ii_A Iv_A 1 2 Iv A Ii_A Ii_B 3 B Ii_B Iv_B 4 3 Iv B -1 1 2 1 2 3 4 -2 -3 1 2 3 4 1 = 3 2 4 Iv Ii A B

E :

Ii_A Iv_A IvB 1 = 3 2 4 Iv Ii IiB A B Iv Ii -1/3 -1

b) Supo ndo- s e i = 2A na a ssoc iaç ão ter emos : v = -3(2) - 1 ⇒ v = - 7v c) Supo ndo- s e v = 8V na a ssoc iaç ão ter emos : 8 = - 3i - 1 ⇒ i = - 3A

substit ui ndo- s e este i na eq uaç ão de c ad a bip ol o teremos:

com : vA = -2iA + 4 , e lembrand o q ue i = -iA ⇒ iA = 3 , teremos: vA = -2(3) + 4 ∴ vA = - 2V

Ain da, com : vB = iB + 3 , e lembrand o q ue i = -iB ⇒ iB = 3 , teremos: VB = (3) + 3 ∴ vB = 6V

2º) Sendo f orneci da s as curvas caracte r ísti cas dos b ip ol os “A” e “B” do mesmo exerc íc io anter ior co nf orme conve nçã o in dic ada, pe de- se dete rminar:

a) A eq uação, e a c ur va caracter ístic a da assoc iaç ão pe di da;

b) Corrente n a ass oci a ção, sup ondo- se um a tensão d e 4V n a mesma

c) A Corre nte em cada bip ol o, supo ndo- s e u ma corrente de 8 A n a assoc iaç ão

AS S O C I AÇ ÃO P E D I D A:

SOLU ÇÃO: No vame nte, da mesma f orma anteri or,vamos determin ar a eq ua ção caracter ístic a de c a da b ipo lo, le va ndo em cons idera ção a s eq uações de reta ; teremos:

Bip. “A” : vA = -2iA + b ; q uando iA = 0 ⇒ vA = 4 ⇒ b = 4 ⇒ vA = -2iA + 4 Bip. “B” : vB = iB + b ; q uando iB = 0 ⇒ vB = 3 ⇒ b = 3 ⇒ vB = iB + 3 A Ii_A IvA 1 2 Iv A Ii_A IiB 3 B Ii_B IvB 4 3 Iv B -1 1 2 1 2 3 4 -2 -3 1 2 3 4

E :

A B 2 4 3 1 Ii Iv

Em seg uida, va mos comparar à caracter ístic a d e c ada bi po lo c om a assoc iaç ão q ue e stá sen do ped id a; teremos:

Dond e con cl uirem os q ue:      − = − = − = B A A B i i i : e v v v Send o: vA = -2iA + 4 ⇒ iA = 2 v 4 − A _{; sendo v} B = iB + 3 ⇒ iB = vB - 3; Log o: i = 2 v 4 − _A

- (vB - 3) ; substitu indo vA e vB por: -v , ir emos ter:

i = 2 v 4 + - (-v - 3) ⇒ 2i = 4 + v + 2v + 6 ⇒ v = 3 10 i 2 − b) Send o v = 4V teremos 4 = 3 10 i 2 − _{⇒ 12 = 2i - 10 ⇒ i = 11A}

c) Supo ndo- s e i = 8 A na ass oci açã o , teremos: v = 3

10 8 2⋅ −

= 2V lembra ndo q ue v = -vA , teremos : vA = -2V ; substitu ind o em: iA =

2 v 4 − _A , teremos: iA = = + 2 2 4 3A ;

lembra ndo q ue v = -vB , teremos : vB = -2V ; substitu ind o em: iB = vB - 3

teremos: iB = -5 A

R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C I C I O S P E L A O B T E N Ç Ã O D A S C U R V A S C A R A C T E R I S T I C A S

3) Determi nar a cur va caracter ísti ca da a ssoc iaçã o de b ip ol os do circu ito a ba i xo:

A B 2 4 3 1 Ii Iv Iv_B IvA IiA IiB v

SOLU ÇÃO (Ap li cá ve l tambem a circ uito s mais comp le xos): Poder emos ente nde r o circu ito pro posto co mo sendo a a sso ciação em p aralelo de do is circ u itos mai s simp les o u sej a:

E ai nda interpr etare mos cada b ip ol o co mo sendo:

Nestas c ond içõ es pa ssemos ao le va ntam ento da cur va caract er íst ica de c ada b ip olo, para em seg ui da e xe cutarmos a ass oci aç ão dos mesmos; tere mos então:

Bipo lo 1) : v1 = 6 - 6.i1 Bipo lo 2): 2 = 2 _i2 3 v ₊

Podemo s ai nda ente nder a ass oci açã o i nic ia lmente pr opost a como send o:

Donde:     + = = = 2 1 2 1 i i i : e ; v v v + -6Ω 6V i v 2A 3Ω + -6Ω 6V i v 2A 3Ω 1 2 3 4 + -6Ω 6V 2A 3Ω 1 2 3 4 i₁ v1

+

i₂ v2

=

1 ₂ 1 3 1 2 4 2 i₁ i2 i₁ i₂ v₁ v2 v₁ v₂ + -2A 3 4 E: B1 B2 6Ω 6V 3Ω 1 2 i1 v₁ + -6Ω 6V i₂ v2 2A 3 4 3Ω 1 3 2 4 i₁ i₂ i v1 v2 v

Pel o B ipo lo 1 : i1 = 6 v 6 − ₁ ; Pelo B ip ol o 2 : i2 = 2 - 3 v₂ ; sendo i = i1 + i2 E ai nda v = v1 = v2 , iremos ter:

i = 6 v 6 − + 2 - 3 v ⇒ i = 3 - 2 v ;

ou ai nda : v = 6 - 2i , q ue irá f ornecer a cur va caract er íst ica ao la do:

4) Send o dad os os b ipo lo s aba i xo, c om a s conv enç ões in dic adas , pe de-se:

a) Determ ine a e q uação car acter ísti ca de cad a b ipo lo , conf orme con ve n ção ind ic ada; SOLU ÇÃO: Para B1 : v1 = 12 + 4i1 ⇒ ₄ v 3 i₁ = − + 1 Para B2 : 12 v i 1 2 2 + = ⇒ v2 = 12 − 12i2 ⇒ ₁₂ v 1 i 2 2 = − v i 6 3 1 3 1 2 4 2 i₁ i2 i₁ i₂ v₁ v2 v₁ v2 + -1A 3 4 B1 B2 4Ω 12V 12Ω

;

5 6 i₃ i₃ v₃ v₃ 1A 5 6 B3 6Ω

Para B3 : 6 v 1 i 3 3 = + ⇒ v3 = 6i3 − 6 ⇒ ₆ v 1 i 3 3 = +

b) Determi ne a eq ua ção cara cter ístic a d a assoc ia ção aba i xo ; determine a tens ão em cada b ip ol o, supo nd o- se uma tens ão de 17V n a asso ci ação:

SOLU ÇÃO: Obser ve como podemos co n clu ir a sente nça da assoc iaç ão, em f unção das caract er íst ica s d e cada b ip ol o:

Dond e con cl uirem os q ue:      + = − = − = − − = 3 2 1 3 2 1 i i i i : e v v v v

Log o: v = (12 + 4i1) - (12 - 12i2) - ( 6i3 - 6 ) ; substit uin do i1 , i2 e i3 :

v = (12 - 4i) - (12 + 12i) - ( 6i - 6 ) ⇒ v = 6 − 22i ⇒ i = ₁₁3 − ₂₂v se v = 17 ⇒ 0,5A 22 11 22 17 11 3 i = − = − = − ; i1 = 0,5A ; i2 = 0,5 A ; i3 = - 0,5A v1 = 12 + 4i1 ⇒ v1 = 14V ; v2 = 12 - 12i2 ⇒ v2 = 6 V ; v3 = 6i3 - 6 ⇒ v3 = - 9V

c) Determi ne a eq uação caracter íst ic a da ass oci açã o ao lad o; determi ne a corrente em c ada bip ol o, sup ond o- s e uma corrente d e 6A na asso ci ação:

B1 B2 B3 1 2 = 4 v 3 = 6 5 i B1 B2 B3 1 2 = 4 v 3 = 6 5 i v₁ v₂ v₃ i₃ i₂ i1 1 2 B1 4 3 B2 6 B3 v i 5

SOLU Ç ÃO: Obser ve ao l ado c omo podemos conc lu ir a senten ça d a assoc iaç ão, em f unção da s caracter ístic as de c a da bi po lo:

Dond e con cl uirem os q ue:      + + − = = − = − = 3 2 1 3 2 1 i i i i : e v v v v log o:

(

)

(

)

(

)

6 v 1 12 v 1 4 v 3 i = − − + 1 + − 2 + + 3 _{; substitu ind o v} 1 , v2 e v3 :

)

(

)

(

)

(

6 v 1 12 v 1 4 v 3 i = − − − + + + + ⇒ i = 5 + v₂ ⇒ v = 2i− 10 se i = 6A ⇒ v = 2V ; v1 = -2V ; v2 = -2V ; v3 = 2V A ,5 3 − = + − = 4 v 3 i 1 1 ; = − ₁₂ = 1,17A v 1 i 2 2 ; = + ₆ = 1,33A v 1 i 3 3

d) Determi ne a eq ua ção cara cter ístic a d a assoc ia ção aba i xo ; determine a tens ão em cada b ip ol o, supo nd o- se uma corrente de 11,5 A na ass oc ia ção:

SUGE ST ÃO: Determine in ic ia lmente a e q uação caract er íst ic a do b ipo lo eq u i va le nte, B4 por e xemp lo com o mostrado ab ai xo :

1 2 i₁ v₁ B1 4 3 i₂ v₂ B2 6 i₃ v₃ B3 v i 5 5 B1 B2 B3 2 1 = 4 v 3 i 6

Dond e con cl uirem os para B4 :      = − = − − = 2 1 4 2 1 4 i i i : e v v v

Portanto: v4 = - (12 + 4i1) – (1 2 – 12 i2) ; substitu ind o i1 e i2 teremos:

v4 = - (12 - 4i4) – ( 12 – 12 i4) ⇒ v4 = 16i4 − 24 ou : ₂ 3 16 v i 4 4 = +

Podemo s ag ora proc eder à ass oc iaçã o a bai xo, con hec ida s as caracter ístic as de B4:

Dond e con cl uirem os q ue :      − = − = = 3 4 3 4 i i i : e v v v Log o:

(

)

(

)

6 v 1 2 3 16 v i = 4 +

−

+ 3 _{; substitu ind o v} 3 e v4 teremo s:

)

(

)

(

6 v 1 2 3 16 v i = +

−

− ⇒ _{48 2}1 v 11 i = + _ou: 11 24 11 i 48 v = − Se i = 11,5A ⇒ v = 48V ; v4 = 4 8V ; 2 3 1648 + = 4 i = 4,5 A ; Se i = 11,5A ⇒ v = 48V ; v3 = - 48V ; 6 48 1 − = 3 i = -7 A ; com i4 = 4,5 A ⇒ i1 = - 4,5 A com: v1 = 12 + 4i1 ⇒ v1 = -6V ; B1 B2 v4 2 1 = 4 3 i4 v₁ i1 v₂ i2

B

4 v i₃ B3 B4 2 3 6 5 i v₄ i₄ v₃

Fin alme nte com i4 = 4,5 A ⇒ i2 = 4,5 A com: v2 = 12 - 12 i2 ⇒ v2 = - 42V

Cuj a d istri bu ição em termos de “Bl ocos” f ornece:

Ain da, a mesma a ná l ise em termos de c ir cuitos , compr o va q u e:

AP LI C AÇ ÃO CON C EI TU AL : EQUI V AL E NCI A NOR THON- TH EVE NÌM

Supo nha p or e xem plo q ue q ueremos le vantar a cur va c aracter ístic a confor me

conv enç ão indic ad a do bip ol o “ A” ao la do mostrado, q ue é composto da

assoc iaç ão de um Gerador de te nsão E , em série com um R esistor R;

Pel a an ál ise da ass o ciaç ão em sér ie co n clu ímos q ue:

v = E - R.i

(Cur va car acter ístic a resulta nte : v em f unção d e i)

2) Supo nha ag ora p or exempl o q ue q ueremos le vantar a cur va caracter ístic a conf orme

conv enç ão in dica d a do b ip ol o “B” ao la do

mostrado, q ue é co mposto d a ass oc iaç ão d e um Gerador de corr ente I , em para le lo com

B1 B2 2 3 6 B3 5 1 = 4 i 2= 4,5A i = 11,5A i 1= - 4,5A i 3= - 7A v 3= - 48V v = 48V v 1= - 6V v 2= - 42V 2 2 3 + -1A 1 = 4 11,5A 48V 18V 42V 7A 12V 12Ω 4,5A 6V 3,5A 1A 3Ω 6Ω 8A 6 5 i v + -R E R.i

um Res istor r ;

Pel a an ál is e da assoc iaç ão em p a rale lo no nó conc lu ímos q ue:

i . r I . r v v i . r I . r r v i I = + ⇒ = + ∴ = −

(Cur va car acter ístic a resulta nte : v em f unção d e i)

Atra vés das eq uaçõ es car acter ístic as a cima obti das, vis ua l i zemos as sua s cur va s caracter ístic as:

Dond e co nc lu ím os, q ue para q ue os do i s bi po los poss uam a bso lutamente o mes mo comportamento p ara q ualq uer v e p ara q ualq uer i , q ue:

E = r.I ; e aind a q ue : I R E

= ; Donde: R = r ; e _RE = ou E = r.I ; I Nestas c ond içõ es po deremos ter:

EX E MPLOS D E UT IL IZAÇ ÃO:

1) determin e a tens ã o VA B e a c orrente I do circ uito aba i xo:

i v I r v B i B v r I i I v r v i E E R v i r.I Cur va caracteristica de '’A’’ Cur va caracteristica de '’B’’ I

;

i v v + -R E i E R R v i R i v + -R I R.I

SOLU ÇÃO: Ver if iq ue como o circu ito p od e ser vis ua li zado:

Vamos proc eder à simpl if icaç ão do circu ito, com f oco no q ue nos i ntere ssa; determin emos i ni ci al mente a tensã o VA B:

Com VA B = 36 V, e de posse d as l eis de K irchof f , f acilmen te determin amos q ue I = - 2A

2) Determi ne a tens ã o VR i nd ica da no circu ito ao la do:

SOLU ÇÃO: São a ba i xo mostra das a s eta pas de res ol uçã o:

+ + + + -- -6Ω 20Ω 30Ω 12Ω 40V 4A 2A 90V 48V 30V A B VAB I A 2A 20Ω 4A 3A 12Ω 4A _{2A 6Ω} 5A 30Ω B I VAB A 1A 4Ω 11A 12Ω B I VAB 12A 3Ω A B VAB = 36V 1A 4Ω 11A 12Ω I 36V 9A 2A 36V 3A A B + + + -IvR 4Ω 15Ω 10Ω 10V 21V 15V

e ain da: ⇒ ⋅ − = ∴ − = + − = 0,9A V 0,9 4 4 6 21 12 I _R V 6 , 3 V_R = − + + + + -- -IvR IvR 4Ω 4Ω 15Ω 15Ω _10Ω 10Ω 10V 21V 21V 15V 1A 1A + ₊ - -IvR IvR 4Ω 6Ω 4Ω 6Ω 21V 21V 2A 12V I + -I