AL aula19

(1)

Álgebra Linear

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2019.2

(2)

Objetivos

Estudar os Operadores Ortogonais e suas Propriedades Denir Formas Lineares

(3)

Operador Ortogonal

Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno h., .i e α uma base ortonormal de V Um operador T : V → V é Ortogonal se

[T ]α_α é uma matriz ortogonal

Aqui também vale notar que essa denição não é condicionada à base α. Se T é ortogonal e β é outra base ortonormal qualquer então [T ]β

β é ortogonal . Vejamos

[T ]β_β = [I]α_β[T ]α_α[I]β_α Nessa equação

([T ]α_α)−1 = ([T ]α_α)t

[I]α_β = ([I]βα)−1 = ([I]βα)t

(4)

Operador Ortogonal

([T ]α_α)−1 = ([T ]α_α)t [I]α_β = ([I]βα)−1 = ([I]βα)t

(5)

Operador Ortogonal

(6)

Operador Ortogonal

[I]βα = ([I]α_β)−1 = ([I]α_β)t

([T ]β_β)−1 = ([I]β_α)−1([T ]α_α)−1([I]α_β)−1 ([T ]β_β)−1 = ([I]β_α)t([T ]_αα)t([I]α_β)t= ([T ]β_β)t

(7)

Exemplo: Rotação em R

3

Na Aula 11 vimos como determinar a transformação no espaço que representa uma rotação em torno da reta X = λ(1, 1, 0).

Vamos considerar a rotação de um ângulo θ, R`, em torno da reta ` : X = λv. Para tal,

adotamos uma base ortonormal β = {u1, u2, u3} de R3 onde

u1 é o versor de v.

u2 é um vetor unitário no plano π ⊥ v

(8)

Exemplo: Rotação em R

3

(9)

Exemplo: Rotação em R

3

(10)

Exemplo: Rotação em R

3

u3 é um vetor unitário ortogonal a u1 no plano π

Temos

R`(u1) = u1

R`(u2) = cos θu2+ sen θu3

R`(u3) = −sen θu2+ cos θu3

⇒ _[R_`_]β β =   1 0 0 0 cos θ sen θ 0 −sen θ cos θ  

(11)

Exemplo: Rotação em R

3

u3 é um vetor unitário ortogonal a u1 no plano π

Temos

R`(u1) = u1

R`(u2) = cos θu2+ sen θu3

R`(u3) = −sen θu2+ cos θu3

⇒ _[R_`_]β β =   1 0 0 0 cos θ sen θ 0 −sen θ cos θ  

Com o produto interno usual as linhas dessa matriz são uma base ortonormal de R3_{. Portanto}

(12)

Propriedades dos Operadores Ortogonais

Seja T é um operador em um espaço vetorial V munido de um produto interno h., .i

Teorema (1)

Se T é ortogonal então para quaisquer vetores v e w em V hT (v), T (w)i = hv, wi E reciprocamente,

Teorema (2)

Se para quaisquer vetores v e w em V

hT (v), T (w)i = hv, wi então T é ortogonal.

(13)

Prova do Teorema (1) para dim V = 2

Seja T um operador ortogonal em V , α uma base ortonormal (com relação ao produto interno em uso) de V e A = [T ]α α A = a b c d com a2+ b2= 1 ac + bd = 0 c2+ d2= 1 a2+ c2 = 1 ab + cd = 0 b2+ d2 = 1

Considerando todas as coordenadas na base α. Se v = (x1, y1) e w = (x2, y2), então

T (v) = (ax1+ by1, cx1+ dy1)

T (w) = (ax2+ by2, cx2+ dy2)

E temos

hT (v), T (w)i = (ax1+ by1)(ax2+ by2) + (cx1+ dy1)(cx2+ dy2)

= a2x1x2+ abx1y2+ bay1x2+ b2y1y2+ c2x1x2+ cdx1y2+ dcy1x2+ d2y1y2

= (a2+ c2)x1x2+ (ab + cd)x1y2+ (ba + dc)y1x2+ (b2+ d2)y1y2

(14)

Prova do Teorema (2)

Seja T um operador em V que satisfaz a condição do Teorema, ou seja, para quaisquer vetores

v e w em V

hT (v), T (w)i = hv, wi

e considere uma base ortonormal α = {v1, v2, . . . , vn}. Precisamos mostrar que A = [T ]αα é

ortogonal. Para isso, considere os vetores w1, w2, . . . , wn cujas coordenadas na base α são as

colunas de A. Então, para i = 1, 2, . . . , n

wi= [T (vi)]α Por hipótese hw_i, wji = h[T (vi)]α, [T (vj)]αi = hvi, vji = 1 se i = j 0 se i 6= j

Então as colunas de A são vetores de uma base ortonormal de V e, consequentemente, A é uma matriz ortogonal.

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Consequências dos Teoremas (1) e (2)

Sobre operadores ortogonais, podemos destacar as seguintes características Se T é ortogonal então T preserva a norma, ou seja,

kT (v)k = kvk

Se T é ortogonal então T preserva ângulo, ou seja, o ângulo entre T (v) e T (w) é igual ao ângulo entre v e w

(16)

Sobre Operadores Ortogonais em R

2

Considere um operador ortogonal no plano cuja matriz na base canônica é A =

a b

c d

Então, considerando as colunas, (a, c) e (b, d) são vetores unitários e ortogonais, ou seja a2+ c2 = 1

ab + cd = 0 b2+ d2 = 1

Os pontos (a, c) e (b, d) estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio 1. Logo para algum ângulo θ e φ = θ ± π

2

a = cos θ b = cos φ = −sen θ

c = sen θ d = sen φ = cos θ ou

a = cos θ b = cos φ = sen θ c = sen θ d = sen φ = − cos θ

(17)

Sobre Operadores Ortogonais em R

2

Concluímos que a matriz na base canônica de um operador ortogonal T em R2 _{é da forma}

A = cos θ −sen θ sen θ cos θ ou B = cos θ sen θ sen θ − cos θ = cos θ −sen θ sen θ cos θ 1 0 0 −1 = A.J

Observe que A é a matriz de uma rotação e J é a matriz de uma reexão em torno do eixo Ox. As únicas transformações no plano que são ortogonais, ou seja preservam comprimento e ângulo são composições de A e J.

(18)

Sobre Operadores Ortogonais em R

3

Quais das seguintes transformações no espaço são ortogonais? Rotação em torno de uma reta que passa pela origem Projeção sobre um plano que contém a origem Reexão em torno de um plano que contém a origem

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Formas Lineares

Uma Forma Linear é uma transformação linear T : V → R Exemplos de formas lineares

1 Sendo a e b constantes. T : R2 _{→ R} T (x, y) = ax + by 2 Sendo a, b e c constantes T : R3_{→ R} T (x, y, z) = ax + by + cz 3 _{T : M (n, n) → R} T (A) = Tr (A)

(20)

Formas Bilineares

Uma Forma Bilinear em V é uma função

B : V × V → R (v, w) → B(v, w) = x que é linear nas duas variáveis, ou seja, tal que

(i) B(av1+ bv2, w) = aB(v1, w) + bB(v2, w)

(i) B(v, aw1+ bw2) = aB(v, w1) + bB(v, w2)

Exemplos de formas bilineares

1 Todo produto interno em V é uma forma bilinear 2 _{A ∈ M (2, 2)}, V = R2, v = (x₁_{, y}₁₎ e w = (x₂_{, y}₂₎

(21)

Outros exemplos de formas bilineares

Generalizando o exemplo 2. Se V é um espaço vetorial de dimensão n, α é uma base de V , [v]α= (x1, x2, . . . , xn), [w]α = (y1, y2, . . . , yn)e M é uma matriz real n × n, então

B(v, w) = [v]αM [w]tα

(22)

Outros exemplos de formas bilineares

Generalizando o exemplo 2. Se V é um espaço vetorial de dimensão n, α é uma base de V , [v]α= (x1, x2, . . . , xn), [w]α = (y1, y2, . . . , yn)e M é uma matriz real n × n, então

B(v, w) = [v]αM [w]tα

é uma forma bilinear (isso segue das propriedades do produto de matrizes). Para V = R3 _{e α a base canônica, considere}

M =   2 0 −1 1 3 0 3 2 −2   Com v = (x1, y1, z1) e w = (x2, y2, z2) B(v, w) = [x1, y1, z1]   2 0 −1 1 3 0 3 2 −2     x2 y2 z2  = [x1, y1, z1]   2x2− z2 x2+ 3y2 3x2+ 2y2− 2z2   B(v, w) = 2x1x2− x1z2+ y1x2+ 3y1y2+ 3z1x2+ 2z1y2− 2z1z2

(23)

Observe

No exemplo, sendo α = {e1, e2, e3} a base canônica do R3, note que as entradas da matriz M

são

M = 



B(e1, e1) B(e1, e2) B(e1, e3)

B(e2, e1) B(e2, e2) B(e2, e3)

B(e3, e1) B(e3, e2) B(e3, e3)



= [B]α_α

Generalizando Se B é uma forma bilinear em V e α = {v1, v2, . . . , vn}é uma base de V então

a matriz de B na base α é [B]α_α=      B(v1, v1) B(v1, v2) · · · B(v1, vn) B(v2, v1) B(v2, v2) · · · B(v2, vn) ... ... · · · ... B(vn, v1) B(vn, v2) · · · B(vn, vn)     

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Exercício

Verique se a forma bilinear em R2 _{associada à matriz na base canônica}

M = 1 5 5 1 é um produto interno.