Cap5 Sec5 2x4

(1)

Capítulo 5

Integrais

5.5

Regra de Substituição

Nesta seção, nós aprenderemos: Substituir uma nova variável no lugar de uma

expressão já existente de uma função.

INTEGRAIS

Por causa do Teorema Fundamental, é importante sermos capazes de encontrar primitivas.

Porém, nossas fórmulas de primitivação não mostram como calcular as integrais do tipo

2

2 1

x

x dx

³

INTRODUÇÃO Equação 1

Para encontrar essa integral usamos a estratégia de resolução de problemas de

introduzir alguma coisa extra.

Aqui o “alguma coisa extra” é uma nova variável; mudamos da variável x para uma nova variável u.

INTRODUÇÃO

Suponha que façamos u igual à quantidade sob o sinal de raiz em (1), u = 1 + x². Então a diferencial de u é du = 2x dx . Observe que se dx na notação de integral for interpretada como uma diferencial, então a diferencial 2x dx ocorrerá em (1);

INTRODUÇÃO

Portanto, formalmente, sem justificar nossos cálculos, podemos escrever

2 2 3/ 2 2 3 2 3/ 2 2 3

2 1

1

2 (

1)

x

x dx

x

x dx

udu

u

C

x

C

³

INTRODUÇÃO Equação 2

Mas agora podemos verificar que temos a resposta correta usando a Regra da Cadeia para derivar a função final da Equação 2:

2 3 2 3 2 1 2 2 2 3 3 2 2

(

1)

(

1)

2

1 d

x

C

x

dx

x x

ª

º

¬

¼

INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO Equação 3

Em geral, esse método funciona sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma f(g(x))g’(x) dx.

Observe que se F’ = f, então

F’(g(x))g’(x) dx = F(g(x)) + C

pois, pela Regra da Cadeia,

>

( ( ))

@

'( ( )) '( )

d

F g x F g x g x dx

(2)

Se fizermos a “mudança de variável” ou “substituição” u = g(x), então da Equação 3 temos

'( ( )) '( )

( ( ))

( )

'( )

F g x g x dx

F g x

C

F u

C

F u du

³

INTRODUÇÃO

f(g(x))g’(x) dx =

f(u) du

Assim, demonstramos a regra a seguir.

INTRODUÇÃO

REGRA DA SUBSTITUIÇÃO Equação 4 Se u = g(x) for uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I , então

f(g(x))g’(x) dx = f(u) du

Observe que a Regra da Substituição para a integração foi demonstrada usando a Regra da Cadeia para a derivação. Note também que se u = g(x), então

du = g’(x) dx, portanto uma forma de se

recordar a Regra da Substituição é imaginar

dx e du em (4) como diferenciais.

REGRA DA SUBSTITUIÇÃO

Assim, a Regra da Substituição diz que:

é permitido operar com dx e du após sinais de integração como se fossem diferenciais.

 Solução: Fazemos a substituição u = x4_{+ 2}

porque sua diferencial é du = 4x³ dx, que, à parte do fator constante 4, ocorre na integral. REGRA DA SUBSTITUIÇÃO EXEMPLO 1

 Assim, usando x³ dx = du/4 e a Regra da Substituição, temos

Observe que no estágio final retornamos para a variável original x.

REGRA DA SUBSTITUIÇÃO EXEMPLO 1

A ideia por trás da Regra da Substituição é substituir uma integral relativamente complicada por uma mais simples.

 Isso é obtido mudando-se da variável original x para uma nova variável u, que é uma função de x. Dessa forma, no Exemplo 1 substituímos a

integral x3_cos(x4_{+ 2) dx pela mais simples}

¼ cos u du. REGRA DA SUBSTITUIÇÃO

(3)

O desafio principal no uso da Regra da

Substituição é descobrir uma

substituição apropriada.

 Você deve tentar escolher u como uma função no integrando cuja diferencial também ocorra (exceto por um fator constante).

Foi isso que aconteceu no Exemplo 1. REGRA DA SUBSTITUIÇÃO

Se isso não for possível, tente escolher u como alguma parte complicada do integrando.

Achar a substituição correta tem algo de artístico. É normal errar na escolha da substituição; se sua

primeira tentativa não funcionar, tente outra substituição.

REGRA DA SUBSTITUIÇÃO EXEMPLO 2 Calcule

 Solução 1: Seja u = 2x + 1. Então du = 2 dx, logo

dx = du/2. Nesse caso, a Regra da Substituição dá

2 x

1 dx

³

Solução 2: Outra substituição possível é Então,

portanto, du = u du

Ou observe que u2_{= 2x + 1, logo 2u du = 2 dx. Assim}

2 1 u x 2 1 dx du x 2 1 dx x

³

1 2 1 1 8 8 2 2 1 1 8 4 1 1 4 (2 ) 1 4 x dx du u du u x u C x C

³

A resposta do Exemplo 3 pode ser verificada por derivação, mas em vez disso vamos verificá-la graficamente.

Na figura usamos um computador para fazer o gráfico do integrando

e de sua integral indefinida (escolhemos o caso C = 0). 2 ( ) / 1 4 f x x x 2 1 4 ( ) 1 4 g x x REGRA DA SUBSTITUIÇÃO

Observe que g(x) decresce quando f (x) é negativa, cresce quando ƒ(x) é positiva e tem seu valor mínimo quando f (x) = 0.

Portanto, parece razoável, da evidência gráfica, que g seja uma primitiva de f.

(4)

e

5x

_dx

 Solução: Se fizermos u = 5x, então du = 5 dx. Portanto, dx = 1/5 du. Dessa forma,

5 1 5 1 5 5 1 5 x u u x e dx e du e C e C

³

Solução: Uma substituição apropriada fica mais evidente se fatorarmos x5_{como x}4 ._x.

Seja u = 1 + x².

Então du = 2x dx, consequentemente x dx = du/2. 2 5

1 x x dx

³

Também temos, x2_{= u – 1; então, x}4_{= (u – 1)}2_:

2 5 2 4 2 2 1 2 5/ 2 3/ 2 1/ 2 1 2 7 / 2 5/ 2 3/ 2 1 2 2 2 2 7 5 3 2 7 / 2 2 5/ 2 1 2 7 5 2 3/ 2 1 3 1 1 ( 1) 2 ( 2 1) ( 2 ) ( 2 ) (1 ) (1 ) (1 ) du x x dx x x x dx u u u u u du u u u du u u u C x x x C

³

tg x dx

Solução: Vamos escrever primeiro a tangente em termos de seno e cosseno:

 Isso sugere que devemos substituir u = cos x, visto que du = - sen x dx e, portanto, sen x dx = - du: REGRA DA SUBSTITUIÇÃO EXEMPLO 6

Uma vez que –ln |cos x| = ln(|cos x|-1₎ = ln(1/|cos x|)

= ln|sec x|,

o resultado do Exemplo 6 também pode ser escrito como

tg x dx = ln |sec x| + C

REGRA DA SUBSTITUIÇÃO Equação 5

Existem dois métodos para se calcular uma integral definida por substituição.

Um deles consiste em se calcular primeiro a integral indefinida e então usar o Teorema Fundamental.

Por exemplo, usando o resultado do Exemplo 2, temos 4 4 0 0 4 3 2 1 3 ₀ 3 2 3 2 1 1 3 3 26 1 3 3 2 1 2 1 (2 1) (9) (1) (27 1) x dx x dx x º _¼ º _¼

³

INTEGRAIS DEFINIDAS

Outro método, geralmente preferível, consiste em se alterar os limites de integração ao se mudar a variável. INTEGRAIS DEFINIDAS

(5)

Outro método, geralmente preferível, consiste em se alterar os limites de integração ao se mudar a variável.

Se g’ for contínua em [a, b] e f for contínua na imagem de u = g(x), então ( ) ( )

( ( )) '( )

( )

b g b a

f g x g x dx

g a

f u du

³

REGRA DA SUBST. PARA INTEGRAIS DEFINIDAS

Então, por (3), F(g(x)) é uma primitiva de

f (g(x))g’(x); logo, pela Parte 2 do Teorema

Fundamental, temos

@

( ( )) '( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) b _b a a f g x g x dx F g x F g b F g a

³

Mas, aplicando uma segunda vez o TFC2, também temos

@

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ( ))

g b _{g b} g a g a

f u du

F u

F g b

F g a

³

Calcule usando a Equação 6.

Solução: Usando a substituição da Solução 1 do Exemplo 2, temos u = 2x + 1 e dx = du/2.

4

0

2 x

1 dx

³

REGRA DA SUBST. P/ INTEGRAIS DEFINIDAS Ex. 7

Para encontrar os novos limites de integração observamos que:

 quando x = 0, u = 2(0) + 1 = 1  quando x = 4, u = 2(4) + 1 = 9

2

1 (9

1 )

x

dx

u du

u

º

_¼

³

Observe que quando usamos (6) não retornamos à variável x após a integração. Simplesmente calculamos a expressão em

u entre os valores apropriados de u.

Calcule

 Seja u = 3 - 5x.

 Então, du = – 5 dx, de modo que dx = – du/5.  Quando x = 1, u = – 2, e quando x = 2, u = – 7. 2 2 1

(3 5 )

dx

x

³

(6)

Assim,

REGRA DA SUBST. P/ INTEGRAIS DEFINIDAS Ex.8

 Solução: Vamos fazer u = ln x, pois sua diferencial

du = dx/x ocorre na integral.  Quando x = 1, u = ln 1 = 0; quando x = e, u = ln e = 1. Assim 1

ln

e

x

dx

x

³

1 2 1 1 0 0 ln 1 2 2 e _x _u dx u du x º » ¼

³

Uma vez que a função f(x) = (ln x)/x no Exemplo 9 é positiva para x > 1, a integral representa a área da região sombreada na figura.

O próximo teorema usa a Regra da Substituição para Integrais Definidas (6) para simplificar o cálculo de integrais de funções que possuam propriedades de simetria.

INT. DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS Teorema 7 Suponha que f é contínua em [–a , a].

a. Se f for par [ f (-x) = f (x)], então

b. Se f for ímpar [ f (-x) = -f (x)], então

0 ( ) 2 ( ) a a af x dx f x dx

³

( ) 0 a a f x dx

³

Dividimos a integral em duas:

Na primeira integral da última igualdade fazemos a substituição u = -x.

Então, du = -dx, e quando x = -a, u = a.

0 0 0 0

( )

a a a a a a

f x dx

³

INT. DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS Demonst. – Eq.8

INT. DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS Demonst.–Eq.9 Portanto,

e assim sendo a Equação 8 fica

0 0 0

( )

( )(

)

( )

a a a

f x dx

f

u

du

f

u du

³

( )

a a a a

f x dx

f

u du

f x dx

³

Se f for par, então f (-u) = f (u); logo, da Equação 9 segue que

0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) a a a a a f x dx f u du f x dx f x dx

³

(7)

Se f for ímpar, então f (-u) = -f (u), e a Equação 9 nos dá que

0 0 ( ) ( ) ( ) 0 a a a a f x dx f u du f x dx

³

INT. DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS Demonstração

INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS

Quando f é positiva e par, a parte (a) diz que a área sob y = f (x) de a até -a é o dobro da área de 0 até a em virtude da simetria. INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS

Lembre-se de que uma integral

pode ser expressa como a área acima do eixo x e baixo de y = f (x) menos a área abaixo do eixo x e acima da curva.

( )

b

a

f x dx

³

Assim, a parte (b) diz que a integral é 0, pois as áreas se cancelam.

Uma vez que f (x) = x6_{+ 1 satisfaz}

f (-x) = f (x), ela é par, e portanto

2 ₆ 2 ₆ 2 0 2 7 1 7 ₀ 128 7 284 7 ( 1) 2 ( 1) 2 2 2 x dx x dx x x ª º ¬ ¼

³

INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS EXEMPLO 10

Já que f (x) = (tg x)/(1 + x² + x4_{) satisfaz}

f (-x) = -f (x), ela é ímpar, e por

conseguinte

Cap5 Sec5 2x4

Integrais

5.5

2 1

x



x dx

³

2 1

1

2

(

1)

x

x dx

x

x dx

udu

u

C

x

C











³

³

³

(

1)

(

1)

2

2

1

d

x

C

x

x

dx

x x

ª





º







¬

¼



>

@

'( ( )) '( )

( ( ))

( )

'( )

F g x g x dx

F g x

C

F u

C

F u du





³

³

f(g(x))g’(x) dx =

f(u) du

O desafio principal no uso da Regra da

Substituição é descobrir uma

substituição apropriada.

2

x



1

dx

_dx

_¼