Cap3 Sec6 2x4

(1)

Capítulo 3

Regras de Derivação

3.6

Derivadas de Funções Logarítmicas

Nesta seção, nós aprenderemos sobre: usar a derivação implícita para achar as derivadas

das funções logarítmicas e, em particular, da função logarítmica natural.

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Um exemplo de função logarítmica é

y = log

_a

x

Um exemplo da função logarítmica

natural é

y = ln x

DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

É possível demonstrar que as funções logarítmicas são deriváveis: com certeza isso é plausível a partir dos seus gráficos. (Veja a figura da

Seção 1.6.)]

DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Seja y = log_ax. Então ay_{= x}

Derivando essa equação implicitamente em relação a x, usando a Fórmula 3.4.5,

obtemos:

DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Fórmula 1

1 (log )

ln

a

d

x

dx

x

a

E assim,

1

1 ln

ln

y

dy

dx

a

x

a

(ln )

1

y

dy

a

dx

Se pusermos a = e na Fórmula 1, então o fator ln a no lado direito torna-se ln e = 1, e obtemos a fórmula para a derivada da função logarítmica natural log_ex = ln x:

1 (ln )

d

x

dx

x

Comparando as Fórmulas 1 e 2, vemos uma das principais razões para os logaritmos naturais (logaritmos com base e) serem usados em cálculo.

A fórmula de derivação é a mais simples quando a = e, pois ln e = 1.

(2)

Derive y = ln (x3_{+ 1).}

 Para usar a Regra da Cadeia vamos fazer u = x3_{+ 1.}

Então y = ln u; logo:

DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 1

2 2 3 3 1 1 3 (3 ) 1 1 dy dy du du x x dx du dx u dx x x

De forma geral, se combinarmos a Fórmula 2 com a Regra da Cadeia, como no Exemplo 1, obtemos

ou

DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Fórmula 3

d

dx

Encontre ln (sen x).

Usando (3), temos

Derive

Dessa vez o logaritmo é a função de dentro; logo, a Regra da Cadeia dá

( ) ln f x x 1 2 1 2 '( ) (ln ) (ln ) 1 1 1 2 ln 2 ln d f x x x dx x x x x

Derive f (x) = log₁₀(2 + sen x).  Usando a Fórmula 1 com a = 10, temos

Encontre Solução 1: d dxln x 1 x 2 1 x 1 x 2 d dx x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 1 (x 1)

12 (x 2) 1 2 x 2 x 2 12(x 1) (x 1)(x 2) x 5 2(x 1)(x 2) 1 ln 2 d x dx x

Solução 2: Se primeiro simplificarmos a função dada usando as propriedades do logaritmo, então a derivação ficará mais fácil:

Essa resposta pode ser deixada assim, mas se usássemos um denominador comum obteríamos a mesma resposta da Solução 1.

>

1

@

2 1 ln ln( 1) ln( 2) 2 1 1 1 1 2 2 d x d x x dx x dx x x § · ¨ ¸ © ¹

Encontre f’ (x) se f (x) = ln_x_. Uma vez que

segue que

(3)

DER. DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS EXEMPLO 6 Equação 4

O resultado do Exemplo 6 vale a pena ser lembrado:

Os cálculos de derivadas de funções complicadas envolvendo produtos, quocientes ou potências podem muitas vezes ser simplificados tomando-se os logaritmos.

O método usado no exemplo a seguir é chamado derivação logarítmica.

DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA EXEMPLO 7

Derive .

Tome o logaritmo em ambos os lados da equação e use as Propriedades do Logaritmo para simplificar:

3 / 4 2 5 1 (3 2) x x y x 2 3 1 4 2 lny lnx ln(x 1) 5ln(3x2)

 Derivando implicitamente em relação a x temos

 Isolando dy/dx, obtemos

2 1 3 1 1 2 3 5 4 2 1 3 2 dy x y dx x x x 2 3 15 4 1 3 2 dy x y dx x x x § · ¨ ¸ © ¹

 Como temos uma expressão explícita para y, podemos substituí-lo por ela e escrever

3 / 4 2 5 2 1 3 15 4 3 2 (3 2) 1 dy x x x dx x x x x § · ¨ ¸ © ¹

PASSOS NA DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

1. Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação y = f (x) e use as Propriedades dos Logaritmos para simplificar.

2. Derive implicitamente em relação a x.

3. Isole y’ na equação resultante.

DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

Se f (x) < 0 para algum valor de x, então ln f (x) não está definida, mas podemos escrever_y_ = _f (x)_ e usar a Equação 4.

Ilustramos esse procedimento demonstrando a versão geral da Regra da Potência, como prometemos na Seção 3.1.

A REGRA DA POTÊNCIA Demonstração

Se n for qualquer número real e f (x) = xn_, então f’ (x) = nxn-1.

Seja y = xn_{. Use a derivação logarítmica:}

Consequentemente ln ln n ln 0 y x n x xz ' y n y x

(4)

A REGRA DA POTÊNCIA Demonstração

Daí,

Você deve distinguir cuidadosamente entre:  a Regra da Potência [(xn_{)’ = nx}n-1_{], na qual a base}

é variável e o expoente, constante;

a regra para diferenciar as funções exponenciais [(ax_{)’ = a}x_{ln a], na qual a base é constante e o} expoente, variável. 1

'

y

x

n n

y

n

nx

x

Em geral há quatro casos para os expoentes e as bases:

1. (a e b são constantes)

2.

3.

4.Para encontrar (d/dx) [ƒ(x)]g(x)_{, a derivação logarítmica} pode ser usada, como no exemplo a seguir.

Derive

Solução 1: Usando a derivação logarítmica, temos

y

x

Solução 2: Outro método é escrever

ln ln

(

)

(

)

(

ln )

2 ln

2

x x x x x x

d

x

e

dx

d

e

x

dx

x

§

· ¨

¸

©

¹

ln ( ) x x x x e

Já mostramos que se f (x) = ln x, então

f’ (x) = 1/x. Assim, f’ (1) = 1.

Agora, usamos esse fato para expressar o número e como um limite.

Da definição de derivada como um limite, temos:

0 0 0 0 1 0 (1 ) (1) (1 ) (1) '(1) lim lim ln(1 ) ln1 1 lim lim ln(1 ) lim ln(1 ) h x x x x x f h f f x f f h x x x x x x o o o o o Como f’ (1) = 1, temos 1 0 lim ln(1 ) x 1 xo x

A Fórmula 5 está ilustrada pelo gráfico da função y = (1 + x)1/x_{da figura e na tabela}

para os valores pequenos de x.

Isso ilustra o fato de que, correto até a sétima casa decimal,

(5)

Se colocarmos n = 1/x na Fórmula 5, então

n o quando x o 0+_{, e uma expressão}

Cap3 Sec6 2x4

Regras de Derivação

3.6

Um exemplo de função logarítmica é

y = log

x

Um exemplo da função logarítmica

natural é

y = ln x

1

(log )

ln

d

x

dx

x

a

1

1

ln

ln

dy

dx

a

a

x

a

(ln )

1

dy

a

a

dx

1

(ln )

d

x

dx

x

d

dx

>

@

'

y

x

y

n

n

nx

x

x

y

x

(

)

(

)

(

ln )

2 ln

2

d

d

x

e

dx

dx

d

e

x

x

dx

x

x

x

§



·

¨