Encontro da Geometria com a Álgebra

(1)

Encontro da Geometria com a ´

Algebra

Proponho-lhe uma viagem até ao século XVII, mais precisamente ao ano de 1637. Uma viagem com menos de 400 quilómetros! Perdão, quero dizer, menos de 400 anos. Foi só para lhe dar a ideia de que não passaram assim tantos anos. Espero que aceite esta viagem ao século do iluminismo matemático1_{, pois trata-se de um per´ıodo particularmente}

importante, não apenas na história da matemática, mas sobretudo na história geral da humanidade.

As grandes ideias encaixam-se geralmente em duas categorias: uma pequena parte resulta do produto criativo de uma única pessoa, vindo ao mundo subitamente como um relâmpago num dia claro; as restantes resultam de uma longa evolu¸cão que fermentou na mente de muita gente durante anos, décadas ou mesmo séculos. A maioria dos conceitos matemáticos pertence à segunda categoria. No entanto, de quando em vez surgem ideias inovadoras. Por vezes, ainda mais curiosa é a forma como essas ideias aparecem. É o que acontece com a história que lhe vou contar.

René Descartes (1596-1650) foi um matemático e filósofo francês que tinha uma saúde muito débil e, por esse motivo, passava parte das manhãs na cama, sempre que lhe era poss´ıvel. A observa¸cão do zumbir de uma mosca no canto do quarto onde estava deitado inspirou-lhe uma ideia brilhante. Enquanto deitado, Descartes compreendeu subitamente que a posi¸cão da mosca em qualquer momento podia ser representada por três números, cada um indicando a distância da mosca ao chão e às paredes que se juntavam no canto. Esta visão tridimensional levou-o a postular que a cada ponto do espa¸co se pode associar um conjunto de três números (a que hoje chamamos coordenadas do ponto) e a cada linha ou corpo uma equa¸cão matemática.

Para identificar qualquer ponto do plano, Descartes come¸cou por tra¸car duas retas perpendiculares, x e y, chamadas eixos, que constituem o sistema de referˆencia ou refe-rencial, a partir do qual pode ser identificado qualquer ponto2_{. Em cada eixo considerou}

uma unidade de medida, cuja contagem come¸ca no ponto onde os dois eixos se cruzam, a que se chama origem do referencial. Inicialmente, Descartes apenas considerou coor-denadas positivas, até porque naquela época os números negativos ainda não estavam consolidados, mas rapidamente os seus seguidores alargaram o referencial aos números negativos.

1

O Iluminismo foi um movimento que surgiu em Fran¸ca do século XVII e defendia o dom´ınio da razão sobre a visão teocêntrica que dominava a Europa desde a Idade Média. Segundo os filósofos iluministas, esta forma de pensamento tinha o propósito de iluminar as trevas em que se encontrava a sociedade.

2

Descartes come¸cou por n˜ao usar eixos perpendiculares mas rapidamente se apercebeu que uma curva era mais facilmente interpretada num referencial ortogonal (eixos perpendiculares).

(2)

x y b O 1 2 3 −1 −2 1 2 3 −1 −2 x y b O bB bA bC

Referencial cartesiano Representa¸c˜ao de pontos

Assim, se partirmos da origem do referencial, ponto O, identificado pelo par de números (0, 0), e andarmos três unidades para a direita e duas unidades para cima, ob-temos um novo ponto, designado por A, ao qual correspondem as coordenadas (3, 2). A identifica¸cão de qualquer ponto do plano é feita pela sombra (quer dizer, pela proje¸cão perpendicular) que provoca em cada eixo. Por exemplo, o ponto B está uma unidade à direita do eixo vertical, por isso a sua ‘sombra vertical’ é 1. Relativamente ao eixo horizontal, B está duas unidades abaixo, por isso a sua ‘sombra horizontal’ é −2. Desta forma o ponto B fica identificado pelas coordenadas (1, −2). Os números 1 e −2 chamam-se coordenadas do ponto B e o par (1, −2) chama-chamam-se par ordenado, significando que existe uma ordem que deve ser respeitada para escrever as coordenadas do ponto. Assim, primeiro escreve-se a abcissa, coordenada que faz a identifica¸cão com o eixo horizontal ou eixo das abcissas (neste caso o eixo Ox ), seguida da ordenada ou coordenada que faz a identifica¸cão com o eixo vertical ou eixo das ordenadas (neste caso o eixo Oy)3_.

Assim, as coordenadas (1, −2) e (−2, 1) identificam pontos diferentes, como se pode ve-rificar pela localiza¸cão dos pontos B e C no referencial. Desta forma, as coordenadas de qualquer ponto são sempre únicas e obtemos sempre um único ponto se conhecermos as suas coordenadas.

Esta forma de identificar qualquer ponto do plano ficou conhecida por representa¸cão cartesiana e o sistema de retas passou a chamar-se referencial cartesiano. A palavra cartesiano deriva do nome do criador, pois Descartes assinava as suas obras por Cartesius, nome latino para Descartes. Atualmente, sempre que fazemos a representa¸cão de qual-quer figura geométrica num referencial cartesiano estamos a prestar uma homenagem a Descartes. Sim, uma merecida homenagem, pois este sistema revolucionou a matemática. Até ao século XVII a geometria e a álgebra desenvolveram-se separadamente. Os talen-tosos matemáticos gregos resolveram grandes problemas de geometria mas sempre através de diagramas ou figuras. Os algebristas árabes e italianos avan¸caram no desenvolvimento

3

Os termos coordenadas, abcissa e ordenada utilizados modernamente foram introduzidos em 1692 por Gottfrield Leibniz. Abcissa deriva do latim abscissa linea que significa linha cortada.

(3)

do cálculo algébrico, nomeadamente na resolu¸cão de equa¸cões. Descartes foi mais longe e mostrou que as figuras podem relacionar-se com as equa¸cões. Ao casar a geometria com a álgebra, Descartes criou um novo ramo da matemática que ficou conhecido por geometria anal´ıtica(embora se devesse chamar geometria cartesiana), que permitiu fazer geometria através da álgebra4_{. Pela primeira vez, duas áreas separadas e distintas da matemática}

revelavam n˜ao apenas estarem ligadas mas, principalmente, serem representa¸c˜oes alter-nativas e complementares uma da outra. Como afirma Carl Boyer, Descartes desejava

≪libertar a geometria≫ do uso de diagramas atrav´es de procedimentos alg´ebricos e dar

sentido às opera¸cões da álgebra através da interpreta¸cão geométrica.

Esta maravilhosa ideia de Descartes foi publicada em 1637, num apêndice − A Geo-metria _{− da sua obra mais famosa: Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e} Procurar a Verdade nas Ciências, onde o filósofo francês procura aplicar o pensamento matemático ao racioc´ınio humano, ficando célebre a cita¸cão “Penso, logo existo!”, em que o processo de pensar (duvidar de todas as coisas) exige a existência de um pensador. A Geometria de Descartes é o primeiro livro que parece um livro de matemática moderna, inaugurando um novo pensamento em matemática5 _{e, talvez, nenhum outro apêndice}

te-nha ganho tanta fama. Atualmente, o trabalho de Descartes é de uso muito prático e ajuda a resolver muitos problemas, não apenas na matemática mas na ciência em geral. Por exemplo, os cientistas e os engenheiros recorrem a equa¸cões para descrever linhas quando estão a desenhar os projetos em que trabalham.

O plano que os matemáticos usam para estudo da geometria anal´ıtica corresponde precisamente ao plano cartesiano, isto é, ao produto R × R, que abreviadamente se es-creve R2_{. Cada ponto do plano é identificado por um par da forma (x, y), em que x}

corresponde ao número real do eixo das abcissas e y corresponde ao número real do eixo das ordenadas. Assim, o plano corresponde a todos os pares ordenados de números reais, chamado produto cartesiano, tais que

R2 = R × R = {(x, y) : x ∈ R e y ∈ R}

A ideia de que as linhas podem ser representadas por equa¸cões foi a grande inven¸cão da Geometria de Descartes. Este casamento entre as ideias abstratas (álgebra) e a imagem espacial (geometria) reflete a motiva¸cão de Descartes em tornar a álgebra e a geometria mais fáceis de entender, uma ideia que a partir da´ı se tornou recorrente na matemática.

4

Refira-se que os historiadores modernos apontam o ano de 1637 como o nascimento da Geometria Anal´ıtica, filha de Ren´e Descartes e Pierre de Fermat (1601-1665).

5

Descartes também desenvolveu a nota¸cão algébrica introduzida por Fran¸cois Viète (1540-1603), su-gerindo as primeiras letras do alfabeto (a, b, c) para representar quantidades fixas (constantes) e as letras finais (x, y, z) para representar as incógnitas (e variáveis), contribuindo ainda para a consolida¸cão dos s´ımbolos que usamos para representar as opera¸cões aritméticas fundamentais e o s´ımbolo√a(radical).

(4)

Dessa intui¸c˜ao resulta que as equa¸c˜oes em x e y podem ser escritas como linhas. Repare na reta tra¸cada no referencial da figura seguinte.

1 2 3 −1 1 2 3 −1 −2 x y b O b D(1, 2) b A(−2, −1) b B(−1, 0) b C(0, 1) b E(2, 3) b F

Comparando as coordenadas dos vários pontos assinalados sobre a reta verificamos que o valor de y é sempre uma unidade maior do que o valor de x. Isto permite-nos escrever y = x + 1. Esta é precisamente a equa¸cão que identifica todos os pontos daquela reta. Vejamos a perspetiva contrária: para x = 0, 5 obtemos y = 0, 5 + 1 = 1, 5. Isto diz-nos que F (0, 5; 1, 5) deverá ser um ponto da reta. Representando este ponto no referecial vemos que cai precisamente sobre a reta, portanto, é um ponto da reta. Se fizermos isto para outros valores de x acontece exatamente a mesma coisa. Experimente!

O melhor do método cartesiano consiste em permitir escrever a equa¸cão de uma reta conhecidos apenas quaisquer dois dos seus pontos (afinal, por dois pontos passa uma única reta). Assim, as retas são descritas por equa¸cões do tipo y = ax+b, em que os parâmetros ae b têm significados espec´ıficos, chamados, respetivamente, declive e ordenada na origem. O declive diz-nos se a reta é muito ou pouca inclinada, enquanto a ordenada na origem corresponde ao valor onde a reta interseta o eixo Oy, precisamente o ponto (0, b).

Para descobrir o declive calcula-se a razão entre a varia¸cão das ordenadas e a varia¸cão das abcissas. Por exemplo: determinemos a equa¸cão da reta que passa nos pontos P (1, 0) e Q(0, 1) representada na figura abaixo. Comecemos por determinar o seu declive: temos a = 1−0

0−1 = 1

−1 = −1. Portanto, a equa¸c˜ao da reta P Q ´e da forma y = −1x + b. Como

vemos, b = 1 (porquê?), assim a equa¸cão de P Q é y = −x + 1. Note-se que este caso é imediato. Todavia, se Q tem outras coordenadas substitu´ımos os seus valores na equa¸cão y_{= −x + b e resolve-se a equa¸cão em ordem a b.}

Mais, isto conduz ao reconhecimento de que diferentes tipos de equa¸cões produzem diferentes tipos de linhas. Além disso, este método aplica-se a um grande número de curvas (circunferência, hipérbole, parábola, elipse, etc.). Todavia, as curvas têm uma equa¸cão mais complicada do que a reta e precisamos de saber um pouco mais de matemática. Por agora vejamos apenas alguns gráficos. As equa¸cões do 1.o _{grau, como x + y = 1, ou}

(5)

equivalentemente, y = −x + 1, produzem (sempre) linhas retas, enquanto as equa¸c˜oes do 2.o _{grau, como x}2 _{+ y}2 _{= 1 produzem linhas curvas fechadas. Neste caso, trata-se}

precisamente de uma circunferˆencia, representada abaixo.

1 2 −1 −2 1 2 −1 −2 x y b O 1 2 −1 −2 1 2 −1 −2 x y b O Representa¸c˜ao de x+ y = 1 Representa¸c˜ao de x2 + y2 = 1

Já a equa¸cão x3 _{+ y}3 _{= 1 produz uma curva aberta. Porém, qualquer equa¸cão da}

forma xn_{+ y}n _{= 1 com n par produz uma curva fechada. Curiosamente, `a medida que n}

aumenta, a nossa circunferência come¸ca a quadrar-se. Parece que estamos perante uma máquina que nos conduz à quadratura do c´ırculo6_{! Observe as figuras seguintes e tire as}

suas conclusões. 1 2 −1 −2 1 2 −1 −2 x y b O 1 2 −1 −2 1 2 −1 −2 x y b O Representa¸cão de x4 + y4 = 1 Representa¸cão de x8 + y8 = 1

Surpreendentemente, o criador do sistema de coordenadas cometeu um erro pessoal. Precisamente, um erro de cálculo de coordenadas quando aceitou ir para a corte sueca. Descartes não ponderou suficientemente que as coordenadas de Estocolmo estão muito próximas do Pólo Norte. Também não previu que tinha um problema com a coordenada tempo, pois a rainha Cristina gostava de receber li¸cões de filosofia às cinco da manhã. O frio na cama e as madrugadas geladas fizeram com que a sua estada na Suécia, iniciada em 1649, terminasse em 1650, devido a uma pneumonia que o conduziu à morte.

6

A quadratura do c´ırculo é um dos três problemas clássicos da geometria grega que só foi resolvido, pela negativa, em 1882. Este problema refere-se à constru¸cão de um quadrado com a mesma área de um c´ırculo dado, o que não se verifica nesta situa¸cão.