ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS. Luciana Ferreira Lage

ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS

Luciana Ferreira Lage

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientadores: Renato Machado Cotta

João Nazareno Nonato Quaresma

Rio de Janeiro Outubro de 2011

ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS

Luciana Ferreira Lage

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________ Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D.

________________________________________________ Prof. João Nazareno Nonato Quaresma, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL OUTUBRO DE 2011

Lage, Luciana Ferreira

Análise da Influência da Dependência em Temperatura da Viscosidade na Convecção Forçada com Nanofluidos/ Luciana Ferreira Lage. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.

XVII, 80 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Renato Machado Cotta

João Nazareno Nonato Quaresma Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Mecânica, 2011.

Referências Bibliográficas: p. 74-80.

1. Convecção forçada. 2. Nanofluidos. 3. Transformada integral. I. Cotta, Renato Machado et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.

Ao meu filho, Emanuel, por me mostrar a mais fascinante forma de Amar. Ao meu marido, Carlos Erli, pela compreensão e apoio, o meu eterno amor. Aos meus pais, José Manuel e Conceição, pelo estímulo dado desde sempre, entrego a alegria desta conquista. Ao meu irmão, Eduardo, pelo incentivo, o mais sincero afeto.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por sempre estar ao meu lado, principalmente nos momentos mais difíceis, por ter sido Ele o grande responsável pela motivação de sempre continuar lutando por tudo aquilo que acredito e por ter me dado a oportunidade de conhecer pessoas tão especiais e brilhantes.

Ao meu filho Emanuel pela transformação em minha vida.

Ao meu marido Carlos Erli por nossa união e por todos os instantes compartilhados, minha admiração e gratidão eternas.

Aos meus pais e ao meu irmão por todos os momentos de nossas vidas, pelo apoio e ensinamentos que contribuíram para a realização deste sonho.

Ao Grande Mestre e Orientador Renato Machado Cotta pela confiança, competência, paciência e conhecimento compartilhado, suas sugestões e discussões foram indispensáveis para a realização desta conquista.

Ao Grande Mestre e Co-orientador João Nazareno Nonato Quaresma pelo seu apoio, colaboração, compreensão e sugestões tornando possível a realização deste trabalho.

Aos Meus Orientadores e aos Professores Antônio José da Silva Neto, Carolina Palma Navieira Cotta e Helcio Rangel Barreto Orlande pela amizade e pelo carinho.

A todos os meus amigos pelo companheirismo e força, em especial, à Rayana Larissa Vasconcelos e à Vera Lúcia Pinheiro Santos Noronha.

À doutoranda Ivana Gabriela dos Santos Cerqueira pela colaboração.

A todos os citados e aos que involuntariamente tenham sido esquecidos, do fundo do meu coração – Muito Obrigada.

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DEPENDÊNCIA EM TEMPERATURA DA VISCOSIDADE NA CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS

Luciana Ferreira Lage

Outubro/2011

Orientadores: Renato Machado Cotta

João Nazareno Nonato Quaresma

Programa: Engenharia Mecânica

O termo nanofluido é comumente empregado para caracterizar suspensões de nanopartículas de metais ou óxidos metálicos em líquidos normalmente utilizados como fluidos térmicos, visando a intensificação da transferência de calor. Esta dissertação analisa e avalia a influência da variação da viscosidade com a temperatura no problema de convecção forçada interna de nanofluidos, em regime de escoamento laminar e incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e em desenvolvimento térmico no interior de tubos circulares, a partir de comparações entre resultados teóricos e experimentais, próprios e disponíveis na literatura, das quantidades de interesse prático como temperaturas de parede, temperaturas médias de mistura e números de Nusselt. O modelo proposto admite a variação da viscosidade com a temperatura na equação de momentum longitudinal simplificada, desprezando-se os termos de inércia, a partir de um escoamento desenvolvido na entrada da seção aquecida. O campo de velocidades então obtido desta formulação diferencial ordinária é introduzido na equação de energia referente à região de entrada térmica ao longo do duto. A metodologia aplicada na solução desta equação de energia não-linear consiste

na Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT). Esta técnica híbrida numérico-analítica propõe a expansão do campo de temperaturas no fluido em autofunções ortogonais na direção transversal do duto e permite obter um sistema transformado de equações diferenciais ordinárias na direção longitudinal, que é resolvido numericamente através do uso da subrotina IVPAG da biblioteca IMSL, a partir da implementação de um código computacional em Fortran 95. Os resultados obtidos foram inicialmente verificados com outras implementações teóricas disponíveis na literatura, para condições de contorno de temperatura e fluxo uniformes prescritos, e subsequentemente validados com resultados experimentais obtidos no Laboratório de Transmissão e Tecnologia de Calor, LTTC, PEM-COPPE, UFRJ, para um nanofluido comercial de água-óxido de silício.

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF TEMPERATURE DEPENDENCY OF THE VISCOSITY ON FORCED CONVECTION OF NANOFLUIDS

Luciana Ferreira Lage

October/2011

Advisors: Renato Machado Cotta

João Nazareno Nonato Quaresma

Department: Mechanical Engineering

The term nanofluid is commonly used to characterize suspensions of nanoparticles of metals or metal oxides in liquids normally used as heat transfer fluids, aiming at the intensification of heat transfer. This dissertation examines and evaluates the influence of the viscosity with the temperature in the internal problem of forced convection of nanofluids in laminar flow regime and incompressible, hydrodynamically developed and developing heat inside circular tubes, based on comparisons between theoretical results and experimental, fit and available in the literature, the quantities of practical interest such as wall temperatures, average temperatures of mixing and Nusselt numbers. The proposed model admits the change in viscosity with temperature in the longitudinal momentum equation simplified by neglecting the terms of inertia, from a developed flow at the entrance of the heated section. The velocity field obtained then this formulation is introduced into the ordinary differential equation of energy on the thermal entry region along the pipeline. The methodology applied in the solution of energy equation is nonlinear in the Generalized Integral Transform Technique (GITT). This hybrid numerical-technical analytics proposes expanding the field in the fluid temperature in orthogonal eigenfunctions in the transverse direction of the pipeline and allows for a transformed system of ordinary differential equations in the longitudinal

direction, which is numerically solved by using the IMSL subroutine library IVPAG from the implementation of a computer code in Fortran 95. The results were first checked with other theoretical implementations available in the literature for boundary conditions of prescribed uniform temperature and flow, and subsequently validated with experimental results obtained at the Laboratório de Transmissão e Tecnologia de Calor, LTTC, PEM-COPPE, UFRJ, for nanofluid a commercial water-oxide silicon.

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO... 1

CAPÍTULO 2 - REVISÃO DA LITERATURA... 5

2.1 – CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS... 5

2.2 – A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA... 11

CAPÍTULO 3 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E METODOLOGIA DE SOLUÇÃO... 13

3.1 – METODOLODIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA PARABÓLICO GERAL... 13

3.2 – ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE TEMPERATURA PRESCRITA UNIFORME NA PAREDE... 22

3.2.1 - Metodologia de Solução... 23

3.3 - ESCOAMENTO EM DESENVOLVIMENTO TÉRMICO PARA O CASO DE FLUXO DE CALOR PRESCRITO UNIFORME NA PAREDE... 26

3.3.1 - Metodologia de Solução... 28

3.3.2 - Solução pelo Código UNIT (“Unified Integral Transforms”)... 31

CAPÍTULO 4 - DESCRIÇÃO DO APARATO EXPERIMENTAL ... 36

CAPÍTULO 5 – RESULTADOS E DISCUSSÃO... 41

5.1 - TEMPERATURA PRESCRITA... 41

5.1.1 – Análise da Convergência... 41

5.1.2 – Verificação dos Resultados com os da Literatura ([10] e [68])... 46

5.2 - FLUXO PRESCRITO... 51

5.2.1 – Análise da Convergência... 52

5.2.2 – Verificação dos Resultados com os da Literatura ([9] e [10]) ... 54

5.2.2.1 – Verificação da Importância dos Termos Convectivos na Formulação do Problema para Fluxo Prescrito... 56

5.2.3 – UNIT para Óleo Térmico LUBRAX OT-68-OF... 59

5.2.4 – Comparação com os Resultados Experimentais... 65

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES... 72

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.2.1 Representação esquemática do problema de convecção forçada em tubo circular para temperatura prescrita uniforme na parede... 22

Figura 3.3.1 Representação esquemática do problema de convecção forçada em tubo circular para fluxo de calor prescrito uniforme na parede... 26

Figura 4.1a,b

Visões gerais do circuito termohidráulico para medidas de convecção forçada de nanofluidos (LTTC, COPPE/UFRJ)... 37

Figura 4.2 Disposição esquemática do aparato experimental... 37

Figura 4.3 Recipiente do nanofluido (SiO2)-água adquirido (1 litro)

(Nanostructured & Amorphous Materials Inc., EUA)... 38

Figura 5.1.2.1

Análise da variação da viscosidade para o caso da temperatura prescrita e conforme Yang [10]... 46

Figura 5.1.2.2

Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ߛߛߛߛ=9,0 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10]... 47

Figura 5.1.2.3

Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ߛߛߛߛ=-0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10]... 49

Figura 5.1.2.4

Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da temperatura prescrita e ߛߛߛߛ=-0,9 conforme referência [68]... 50

Figura 5.2.2.1

Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e l= -0,3 pela GITT e conforme referência [10]... 55

Figura 5.2.2.1.1

Comparação dos termos convectivos ao longo da entrada térmica como função da coordenada radial para o caso de fluxo prescrito e l= 0,721295... 58

Figura 5.2.3.1.a

Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico (Re=2000, ∆Tb=20°C)... 61 Figura

5.2.3.1.b

Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo (Re=2000, ∆Tb=20°C) ... ₆₂ Figura

5.2.3.2.a

Distribuição espacial das temperaturas no óleo térmico (Re=1200, ∆Tb=10°C) ... 63 Figura

5.2.3.2.b

Evolução das temperaturas na parede, média e no centro do tubo (Re=1200, ∆Tb=10°C) ... 63

Figura 5.2.3.3

Perfis da componente longitudinal da velocidade, u(r,z), em diferentes posições... 64

Figura 5.2.3.4

Coeficientes locais de transferência de calor, h(z), em diferentes posições axiais, z=0, 0.1, 1, 2, 3 e 4 m, para Re=1200 e ∆Tb=10°C

(pontos - presente simulação, linha continua - correlação de Churchill & Ozoe)... 65

Figura 5.2.4.1

Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 1 – SiO2 [75])... 70 Figura

5.2.4.2

Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 7 – SiO2 [75])... 70 Figura

5.2.4.3

Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 9 – SiO2 [75])... 71 Figura

5.2.4.4

Comparação dos números de Nusselt local, teórico e experimental, e médio teórico, considerando-se a viscosidade varíavel e as propriedades constantes, para o caso de fluxo prescrito (medição 3 – SiO2 [75])... 71

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 Dados técnicos do nanofluido (SiO2)-água segundo o fabricante 38 Tabela

5.1.1.1

Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de temperatura prescrita e ߛߛߛߛ=9,0... 42

Tabela 5.1.1.2

Convergência da temperatura média no tubo para o caso de temperatura prescrita e ߛߛߛߛ=9,0... 43

Tabela 5.1.1.3

Convergência do número de Nusselt local (fórmula da inversa)

para o caso de temperatura prescrita e ߛߛߛߛ=9,0... 44

Tabela 5.1.1.4

Convergência do número de Nusselt local (equação de energia) para o caso de temperatura prescrita e ߛߛߛߛ=9,0... 45

Tabela 5.1.2.1

Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ߛߛߛߛ=9,0 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10]... 47

Tabela 5.1.2.2

Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ߛߛߛߛ = -0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [68]... 48

Tabela 5.1.2.3

Comparação do número de Nusselt local para o caso da temperatura prescrita e ߛߛߛߛ = -0,9 para ambas as formas de cálculo e conforme referência [10]... 49

Tabela 5.1.2.4

Comparação da velocidade no centro do tubo para o caso da temperatura prescrita e ߛߛߛߛ = -0,9 conforme referência [68]... 50

Tabela 5.2.1.1

Convergência da velocidade no centro do tubo para o caso de fluxo prescrito e ߣߣߣߣ= -0,3... 52

Tabela 5.2.1.2

Convergência da temperatura média no tubo para o caso de fluxo prescrito e ߣߣߣߣ= -0,3... 53

Tabela 5.2.1.3

Convergência do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e ߣߣߣߣ= -0,3... 54

Tabela 5.2.2.1

Comparação do número de Nusselt local para o caso de fluxo prescrito e ߣߣߣߣ= -0,3 pela GITT e conforme referência [10]... 55

Tabela 5.2.2.2

Comparação dos números de Nusselt local e médio para o caso de fluxo prescrito e propriedades constantes, pela GITT e conforme referência [9]... 56

Tabela 5.2.3.1

Análise de convergência do número de Nusselt local para o caso de viscosidade constante (l= 0) e comparação com resultados de referência [9]... 60

Tabela 5.2.3.2

Comparação dos números de Nusselt locais para o caso não linear l= -0,3: Soluções pelo código UNIT, GITT em rotina dedicada e diferenças finitas [10]... 60

Tabela 5.2.4.1

Consolidação de parâmetros relacionados aos casos experimentais do nanofluido água-sílica selecionados para as comparações... 65

Tabela 5.2.4.2

Convergência do número de Nusselt local para os dois ensaios considerando-se as propriedades constantes para a condição

de fluxo prescrito... 66

Tabela 5.2.4.3

Convergência do número de Nusselt local para os dois ensaios considerando-se a viscosidade variável para a condição de fluxo prescrito... 67

Tabela 5.2.4.4

Convergência do número de Nusselt médio para os dois ensaios considerando-se as propriedades constantes para a condição de fluxo prescrito... 67

Tabela 5.2.4.5

Convergência do número de Nusselt médio para os dois ensaios considerando-se a viscosidade variável para a condição de fluxo prescrito... 68

Tabela 5.2.4.6

Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental (medição 1 – SiO2 [75]),e médio teórico para o caso de fluxo

prescrito... 69

Tabela 5.2.4.7

Comparação do número de Nusselt local, teórico e experimental (medição 7 – SiO2 [75]), e médio teórico para o caso de fluxo

NOMENCLATURA

Letras Latinas

A Coeficientes da expansão em autofunções B_k Operador linear da condição de contorno

d Termo de dissipação linear

D Diâmetro do tubo [m]

f Distribuição inicial do potencial

g Termo fonte

h Coeficiente de transferência de calor [W/m2ºC]

k Condutividade térmica [W/mºC]

L Comprimento do tubo [m]

N Norma (integral de normalização)

Nu Número de Nusselt

NuZ Número de Nusselt local

Nu_av Número de Nusselt médio

P Termo fonte

qw Fluxo de calor prescrito [W/m2]

Re Número de Reynolds

t Variável temporal

T Temperatura [ºC]

Ti Temperatura de entrada do canal [ºC]

Tw Temperatura prescrita uniforme [ºC]

u Velocidade do fluido [m/s]

uav Velocidade média do fluido [m/s]

U Velocidade adimensional

R Coordenada radial adimensional

r Coordenada radial dimensional

rw Raio interno da parede do tubo

S Superfície de contorno

V Volume do meio

x Coordenada espacial

z Coordenada axial dimensional

w Coeficiente do termo convectivo ou transiente

Letras Gregas

α

Difusividade térmica [m2_/s]

α

_k Coeficientes da condição de contorno

β

_k Coeficientes da condição de contorno

φ

Termo fonte da condição de contorno

ߛ Constante que relaciona a variação da viscosidade com a temperatura definida na Eq. (3.2.b)

η

Coordenada radial do problema de Graetz

ϕ

Concentração volumétrica de nanopartículas

ߣ Constante que relaciona a variação da viscosidade com a temperatura definida na Eq. (3.13.b)

ߤ Viscosidade dinâmica [m2/s]

ν Viscosidade cinemática [m2_/s]

θ

Temperatura adimensional

ξ

Coordenada axial do problema de Graetz

ψ

Autofunções

ζ

Autovalores

ζ _k Autovalores do problema auxiliar

Subscrito

av “average” - médio

i inicial

f índice que representa filtro

i índice de autovalores e quantidades relacionadas

j índice de autovalores e quantidades relacionadas

l local

w “wall” - parede

0 condição de entrada

Sobrescrito

- Relativo a transformada

~ Relativo a autofunção normalizada

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

O advento da nanotecnologia proporcionou grandes oportunidades na engenharia moderna ao processar e produzir materiais com tamanho médio menor que 50 nm [1]. Dentre várias outras descobertas em diversos campos, Choi [1] reconheceu uma oportunidade de se aplicar a nanotecnologia então emergente na engenharia térmica. Em 1993, Choi propôs que partículas metálicas nanométricas, com tamanho médio menor que 50 nm, fossem suspensas em fluidos de transferência de calor industriais, como água, etileno glicol ou óleo, para produzir uma nova classe de fluidos projetados com alta condutividade térmica. O autor deu a essa nova classe de fluidos o nome de nanofluidos [2]. Experimentos subsequentes com nanofluidos indicaram aumentos significativos na condutividade térmica, quando comparados com líquidos sem nanopartículas ou partículas grandes [3], e variações significativas das propriedades com a temperatura.

O nanofluido é uma suspensão de partículas ultrafinas em um fluido base convencional que utilizado para melhorar as características de transferência de calor do fluido original. Além disso, espera-se que os nanofluidos não sejam inviabilizados em aplicações práticas, pelo aumento em perda de carga, apesar das nanopartículas serem ultrafinas, aparentando comportamento como um fluido monofásico de uma mistura sólido-líquido [4].

A fabricação de nanofluidos por processos simplificados com nanopartículas de óxidos metálicos [5], tornou viável a extensão dessa tecnologia para diferentes aplicações científicas e industriais.

A literatura científica já reporta algumas aplicações de nanofluidos diretamente no setor de energia, como no caso de transformadores de energia elétrica [5] e em sistemas híbridos de condicionamento de ar com desumidificação a partir de dessecantes líquidos [6]. Entretanto, pode-se vislumbrar uma série de outras possibilidades em processos e equipamentos de transferência de calor que afetam o aumento da eficiência energética, como no caso da energia. Para tanto, é necessária a consolidação da análise da variação das propriedades termofísicas com a

temperatura a fim de possibilitar a correta aplicação desses nanofluidos nos diferentes sistemas de transferência de calor para que os equipamentos tenham a melhor relação custo/benefício aliada ao desempenho e eficiência.

As pesquisas em transferência de calor convectiva utilizando suspensões de partículas nanométricas sólidas em líquidos base começaram a apenas duas décadas. As investigações recentes sobre nanofluidos indicam que as nanopartículas suspensas ocasionam alterações nas propriedades de transporte e nas características da transferência de calor da suspensão. Wang e Mujumdar [7] revisaram as recentes pesquisas teóricas e investigações numéricas de várias propriedades térmicas e aplicações de nanofluidos. Os mesmos autores também revisaram o comportamento do escoamento e da transferência de calor de nanofluidos em situações de convecção forçada e livre e as potenciais aplicações de nanofluidos [8].

Como a razão área superficial volume de partículas nanométricas é muito maior que a de partículas de tamanhos convencionais (micropartículas), não só as propriedades termofísicas podem ser melhoradas, mas também a estabilidade da suspensão. Metais nanométricos podem ser apropriados para aplicações na qual o fluido passa por pequenos orifícios, pois as nanopartículas metálicas são pequenas o bastante para se comportarem como moléculas de líquidos. Dessa maneira, as nanopartículas não obstruem os pequenos orifícios e melhoram a condutividade térmica dos fluidos. Isso abriu a possibilidade de se usar nanopartículas mesmo em microcanais para várias aplicações com altas taxas de transferência de calor [1].

O estudo teórico-experimental da convecção forçada com nanofluidos é um assunto ainda pouco explorado, mas que despertou o interesse e a dedicação de alguns pesquisadores devido à sua relevância. Até aqui, pode-se dizer que um dos focos principais de pesquisa tem sido a análise teórica e experimental das propriedades termofísicas inerentes ao nanofluido proposto.

O presente trabalho objetiva a comparação crítica entre modelos teóricos e resultados experimentais, visando contribuir à avaliação da importância da variação das propriedades termofisicas com a temperatura, no comportamento da convecção forçada interna com nanofluidos. Para tanto, desenvolveu-se um modelo matemático e uma solução híbrida numérico-analítica baseada na Técnica da Transformada Integral Generalizada para o problema de convecção forçada interna com propriedades variáveis em tubos circulares. O código computacional construído em Fortran 95 foi inicialmente verificado através de uma solução onde se considerou as propriedades constantes e, em outra etapa, apenas com a viscosidade variável,

para comparação com os resultados disponíveis na literatura, nas referências [9] e [10], respectivamente.

Além da análise dos resultados obtidos em relação aos já disponíveis na literatura, realizou-se também uma comparação com os dados experimentais obtidos recentemente no Laboratório de Transmissão e Tecnologia de Calor, LTTC, Engenharia Mecânica, POLI & COPPE/UFRJ, objetivando consolidar os estudos experimentais realizados com nanofluidos comerciais de água-sílica e evidenciar a influência da viscosidade variável no comportamento da transferência de calor em regime laminar.

Este trabalho faz parte de um projeto que vem sendo desenvolvido pela equipe do LTTC, iniciado em 2006, com apoio do CENPES/Petrobras. Como parte dos trabalhos já produzidos nesse esforço mais amplo, pode-se citar:

− A medição de propriedades termofísicas de diferentes nanofluidos através de técnicas experimentais e a comparação dos resultados experimentais com modelos e correlações disponíveis na literatura para prever o aumento da condutividade térmica de nanofluidos [11];

− A análise experimental da convecção forçada com nanofluidos de alumina, em diferentes frações volumétricas, no aumento da taxa de transferência de calor no escoamento em regime laminar em tubos, para o problema de convecção forçada interna [12];

− A avaliação da intensificação térmica, através da simulação computacional, de diferentes nanofluidos em tubos circulares para o problema da convecção forçada turbulenta com propriedades constantes, ao longo da região de desenvolvimento térmico [13];

− A análise dos efeitos da intensificação térmica advindos da utilização de nanofluidos comerciais de alumina e óxido de titânio dispersos em água, em convecção forçada laminar em tubos circulares aquecidos eletricamente, incluindo os efeitos de perdas de calor pelo isolamento térmico [14];

Este trabalho apresentará a análise da variação de propriedades termofísicas com a temperatura para o problema de convecção forçada interna de nanofluidos, no regime de escoamento laminar e incompressível, hidrodinamicamente desenvolvido e em desenvolvimento térmico no interior de tubos circulares. Os tópicos a serem explorados são os seguintes:

− Simular a convecção forçada laminar para nanofluidos com variação da viscosidade com a temperatura, considerando um modelo para a equação de momentum na direção longitudinal que desconsidera os termos de inércia, a partir de uma condição de entrada de escoamento desenvolvido, e avaliando-se comparativamente com resultados de referência para o caso de viscosidade constante;

− Verificar a solução obtida com resultados teóricos disponíveis na literatura para os casos de temperatura e fluxo de calor uniforme prescritos;

− Validar o modelo e solução propostos com resultados experimentais recentemente obtidos no contexto do projeto COPPE-CENPES para nanofluidos comerciais de água-sílica.

De forma a elucidar os primeiros estudos para implementação do circuito termohidráulico para altas temperaturas que será construído no LTTC, serão analisados também neste trabalho uma simulação utilizando o código UNIT e aplicando a metodologia de solução aqui descrita para o óleo térmico LUBRAX OT-68-OF. Conforme realizado anteriormente, a formulação com o código UNIT será validada a partir dos resultados deste trabalho.

Será apresentada a seguir uma revisão bibliográfica, com foco na análise da variação de propriedades termofísicas com a temperatura para nanofluidos.

CAPÍTULO 2

REVISÃO DA LITERATURA

2.1 - CONVECÇÃO FORÇADA COM NANOFLUIDOS

Segundo Hwang et al. [15], em seu recente estudo, diversas nanopartículas, em nanotubos de carbono de paredes múltiplas (MWCNT), como, por exemplo, fulereno, óxido de cobre e dióxido de silício têm sido usados para produzir nanofluidos, cujos líquidos bases mais utilizados foram água destilada, etileno glicol e óleo. Os autores realizaram medidas da condutividade térmica e avaliaram a estabilidade do nanofluido através do espectrofotômetro UV-vis. De acordo com suas análises, a condutividade térmica do nanofluido aumenta com a fração de volume crescente de nanopartículas exceto para o nanofluido à base de água e fulereno, pois este tem menor condutividade térmica do que o fluido base. A estabilidade de nanofluido é fortemente influenciada pelas características da interação entre o fluido base e as nanopartículas suspensas, como por exemplo, pela morfologia das partículas, pela estrutura química das partículas e o fluido base. Além disso, a adição de surfactante, SDS, pode melhorar a estabilidade das suspensões. Em suma, a melhora da condutividade térmica depende da fração de volume das partículas em suspensão, da condutividade térmica das partículas e do fluido base.

Nguyen et al. [16] investigaram experimentalmente o comportamento e o aumento da transferência de calor de um nanofluido com nanopartículas de alumina (Al2O3) dispersas em água, fluindo dentro de um sistema fechado que é destinado à

refrigeração de microprocessadores e outros componentes eletrônicos. Os autores obtiveram dados experimentais para o regime de escoamento turbulento, e tais resultados mostraram que a inclusão das nanopartículas em água destilada, produziu uma melhora no coeficiente de transferência de calor convectivo do bloco refrigerado. Além disso, os autores atestaram que um aumento da concentração de partículas produziu uma clara diminuição da temperatura do componente aquecido.

Kwak e Kim [17] estudaram a relação entre as propriedades reológicas de nanofluidos de óxido de cobre (CuO) com partículas de 10-30 nm, em etileno glicol, com o aumento da condutividade térmica. De acordo com os autores, a melhora

substancial da condutividade térmica é atingível somente quando a concentração de partículas é inferior ao limite de solubilidade. O estudo também sugere que, para um nanofluido ser eficiente, as partículas devem ter formato esférico para promover um limite de diluição crítico alto.

Mintsa et al. [18] apresentaram medidas de condutividade térmica efetiva dos nanofluidos de alumina/água e de óxido de cobre/água. Também investigaram os efeitos da fração de volume das partículas, da temperatura e do tamanho das partículas, através de experimentos com leituras à temperatura ambiente e variando-se a temperatura para várias frações volumétricas de partículas. Segundo os autores, o efeito global prevê um aumento efetivo da condutividade térmica com o aumento da fração volumétrica de partículas e com uma diminuição no tamanho das partículas. Além disso, ocorreu um aumento relativo da condutividade térmica que se mostrou mais significativo em altas temperaturas.

Palm et al. [19] promoveram um estudo do escoamento radial em sistemas de refrigeração, incluindo propriedades dependentes da temperatura, mais especificamente, a viscosidade dinâmica e a condutividade térmica foram analisadas para distribuições dependentes da temperatura com concentrações de nanopartículas de 1% a 4%. Os resultados confirmaram que o uso de nanopartículas aumentou a capacidade de transferência de calor para o escoamento radial do sistema de arrefecimento, porém ocorreram aumentos similares para a tensão de cisalhamento na parede. A inclusão da dependência da temperatura mostrou um aumento na taxa de transferência de calor quando comparado com a análise sob uma propriedade constante.

Namburu et al. [20] analisaram numericamente o escoamento turbulento e a transferência de calor de três diferentes nanofluidos fabricados com óxido de cobre (CuO), alumina (Al2O3) e óxido de silício (SiO2), em uma mistura de etileno glicol e

água que flui através de um tubo circular sob condição de fluxo de calor prescrito constante. Os autores apresentaram uma revisão de novas correlações para a viscosidade para até 10% em fração volumétrica para estes nanofluidos, como uma função da fração volumétrica e da temperatura, que foram desenvolvidas a partir dos experimentos. Conforme o estudo numérico realizado, todas as propriedades termofísicas de nanofluidos dependem da temperatura. Além disso, verificou-se que nanofluidos contendo nanopartículas de menor diâmetro apresentaram maior viscosidade e maiores valores de números de Nusselt. Portanto, constatou-se que a viscosidade de nanofluidos aumenta à medida que diminui o diâmetro da partícula. O coeficiente de transferência de calor de nanofluidos aumenta com o aumento da concentração volumétrica de nanopartículas e do número de Reynolds. A operação de

nanofluidos a temperaturas elevadas produz um maior aumento percentual na taxa de transferência de calor. Já o número de Prandtl dos nanofluidos aumenta com a diminuição da temperatura de operação, uma vez que a viscosidade desempenha um papel dominante. Para a mesma concentração de nanopartículas a um dado número de Reynolds, os nanofluidos de óxido de cobre obtiveram um desempenho superior no que diz respeito à transferência de calor, seguidos pelo de alumina e do de óxido de silício. A perda de carga aumenta com o aumento na fração volumétrica de partículas dos nanofluidos.

Cotta et al. [21] investigaram aspectos da modelagem e simulação em convecção forçada laminar relacionada com a melhoria da eficiência energética pelo aumento da transferência de calor no escoamento laminar em dutos. Três linhas de pesquisa complementares foram exploradas, considerando-se a modificação do fluido base com a dispersão de nanopartículas de óxido metálico (nanofluidos), a análise conjugada dos efeitos de transferência de calor em microcanais e o estudo do aumento de transferência de calor em dutos de parede ondulada na microescala. Segundo os autores, foi observado que a dependência da temperatura com a condutividade térmica e com a viscosidade desempenham algum papel na previsão do comportamento convectivo dos nanofluidos, mas, além disso, é necessário levar em consideração as variações da concentração de nanopartículas nos fluidos ao longo da operação dos equipamentos de troca de calor.

Mansour et al. [22] pesquisaram o efeito das incertezas nos valores das propriedades físicas da dispersão de água com alumina gama (γ-Al2O3), sobre o seu

desempenho termohidráulico para convecção forçada com escoamento plenamente desenvolvido, laminar e turbulento, em um tubo com fluxo de calor prescrito uniforme. Os autores analisaram dois tipos de problemas: a substituição de um fluido simples por um nanofluido em uma determinada instalação e o projeto de uma instalação elementar de transferência de calor. Segundo eles, as condições operacionais e os parâmetros de projeto variam de forma significativa com as propriedades termofísicas do nanofluido. No entanto, visto que, os efeitos de certas características do nanofluido, tais como, o tamanho médio das partículas e a distribuição espacial de nanopartículas, sobre estas propriedades não são atualmente conhecidas com precisão, é muito difícil concluir sobre as vantagens estimadas dos nanofluidos sobre fluidos de transferência de calor convencionais.

Yang [10] obteve soluções analíticas para convecção laminar forçada de líquidos escoando em tubos circulares com viscosidade dependente da temperatura

para duas condições de contorno: temperatura prescrita na parede do tubo e fluxo de calor na parede prescrito e uniforme. A acurácia deste procedimento analítico foi demonstrada através da comparação com resultados obtidos para problemas isotérmicos cuja solução exata era possível.

Ferrouillat et al. [23] investigaram experimentalmente a transferência de calor convectiva de suspensões coloidais SiO2/água (5-34 wt.%) em um circuito com uma

seção de testes de tubo horizontal cuja temperatura da parede foi imposta. Experimentos foram realizados em diferentes temperaturas de entrada (20, 50, 70 °C) no resfriamento e / ou nas condições de aquecimento para várias vazões (200 <Re <10000). Os resultados indicaram que utilizando-se o nanofluido, os valores dos coeficientes de transferência de calor aumentaram entre 10% a 60% em comparação com aqueles de água pura. Eles também mostraram que a tendência geral dos padrões das correlações foram respeitados.

Escher et al. [24] apresentaram uma caracterização sistemática de suspensões de nanopartículas de sílica em água até uma concentração volumétrica de 31%. Eles determinaram a morfologia das nanopartículas através de imagens microscópicas e a condição da dispersão pelas medidas dos dispersantes. Também obtiveram medidas experimentais das propriedades termofísicas dos fluidos, a saber, calor específico, densidade, condutividade térmica e viscosidade dinâmica. O número de Nusselt foi extraído dos resultados experimentais e comparados com as previsões teóricas, considerando-se as propriedades da mistura. Através destas análises eles demonstraram um desvio menor que 10%. Concluíram que as correlações usuais podem ser utilizadas para estimar a transferência de calor por convecção dos nanofluidos. Também variaram as propriedades termofísicas individualmente no circuito refrigerante e estudaram estes impactos na performance da transferência de calor no canal submerso. Eles demonstraram que o aumento da condutividade térmica relativa deve ser maior que o aumento da viscosidade relativa a fim de conseguir um considerável benifício na performance. Além disso, eles mostraram que é preferível aumentar o calor específico volumétrico do nanofluido do que aumentar a condutividade térmica.

Heidary e Kermani [25] estudaram numericamente a transferência de calor e o campo do escoamento no microcanal de parede ondulada. A temperatura do fluido de entrada introduzido no canal era menor que a temperatura da parede. O sistema de equações governantes foi resolvido numericamente no domínio através de uma aproximação por um volume de controle baseado na técnica SIMPLE. O nanofluido considerado na simulação é uma mistura de cobre e água. Um amplo espectro de

simulações foram realizadas com um intervalo de Reynolds entre 5 e 1500, com fração volumétrica do nanofluido entre 0 e 20% e amplitude da onda entre 0 e 0,3. Os efeitos desses parâmetros foram investigados através dos números de Nusselt local e médio e do fator de fricção. Os autores concluíram que a transferência de calor nos canais pode aumentar em 50% pela adição das nanopartículas e utilizando-se a parede horizontal ondulada.

Anoop et al. [26] investigaram experimentalmente as características da transferência de calor por convecção forçada em um duto com escoamento em desenvolvimento e com fluxo de calor constante, realizado com nanofluido alumina-água. O objetivo principal era avaliar o efeito do tamanho das nanopartículas na transferência de calor por convecção na região de escoamento laminar. Foram utilizadas nos experimentos duas nanopartículas, uma com média menor que 45 nm e outra com aproximadamente 150 nm. Os autores observaram que ambos os nanofluidos mostraram alta capacidade de transferência de calor comparando-se com o fluido base e o nanofluido com as nanopartículas de menor tamanho apresentou maior coeficiente de transferência de calor que o nanofluido com nanopartículas de 150 nm. Eles também notaram que na região em desenvolvimento, os coeficientes de transferência de calor mostraram-se maiores que na região de escoamento completamente desenvolvido.

Kakaç e Pramuanjaroenkij [27] revisaram e resumiram as mais importantes publicações sobre a intensificação da transferência de calor por convecção forçada com nanofluidos. Este levantamento mostrou que os nanofluidos melhoram significativamente a capacidade de transferência de calor em comparação com a utilização dos fluidos convecionais, tais como óleo e água com nanopartículas suspensas nestes fluidos base. Adicionalmente, modelos teóricos e trabalhos experimentais sobre condutividade térmica efetiva e difusividade aparente são necessários para demonstrar o completo potencial dos nanofluidos para a melhoria da convecção forçada.

Vajjha e Das [28] investigaram experimentalmente, através da determinação da condutividade térmica, três nanofluidos contendo óxido de alumínio, óxido de cobre e óxido de zinco em nanopartículas dispersas no fluido base feito de uma mistura de etileno glicol e água, na proporção (em massa) de 60 para 40. A concentração volumétrica de nanopartículas dos nanofluidos testados foram de até 10% e o intervalo de temperatura nos experimentos foi de 298 a 363K. O resultados mostraram um aumento na condutividade térmica dos nanofluidos comparados com o fluido base bem como com o aumento da concentração volumétrica das nanopartículas. A

condutividade térmica também aumenta substancialmente com o aumento da temperatura. Os autores compararam vários modelos existentes para estimar a condutividade térmica com dados experimentais obtidos para estes nanofluidos, no entato eles não mostraram boa concordância. Logo, um modelo foi desenvolvido, o qual tratava-se de um refinamento de um modelo já existente e que incorporava o modelo clássico de Maxwell e o efeito do movimento Browniano para representar a condutividade térmica de nanofluidos como função da temperatura, da concentração volumétrica das nanopartículas, das propriedades das nanopartículas e do fluido base, o qual concorda com os dados experimentais.

Mirmasoumi e Behzadmehr [29] estudaram numericamente a convecção mista em regime laminar de um nanofluido de água e Al2O3 em um duto horizontal. Um

modelo para mistura bifásica foi empregado para investigar o comportamento térmico e hidrodinâmico do nanofluido para uma elevada gama de números de Grashof e Reynolds. As comparações com trabalhos de análises experimentais e numéricas para convecção mista em dutos horizontais ofereceram boa concordância entre os resultados. Foram apresentados os parâmetros térmicos e hidrodinâmicos, para um determinado diâmetro de nanopartículas, em relação ao efeito da fração volumétrica de nanopartículas. Os resultados mostraram que na região de escoamento completamente desenvolvido a concentração de nanopartículas não influencia significativamente os parâmetros hidrodinâmicos. No entanto, os efeitos sobre os parâmetros térmicos foram relevantes. A concentração das nanopartículas é maior na parte inferior do duto e próxima à parede.

Raisee e Moghaddami [30] examinaram os efeitos da melhora da transferência de calor por convecção forçada a partir da adição de nanopartículas metálicas de alumina gama (γ-Al2O3) na água no escoamento em duto circular avaliando-se,

conforme o caso, duas condições de contorno distintas, ou seja, temperatura na parede constante ou fluxo de calor na parede uniforme. Dois modelos de nanofluidos foram utilizados nas simulações. O primeiro modelo (simpler model) foi desenvolvido por Maiga et al. [31], enquanto o segundo modelo, o qual considerou-se o movimento Browniano das nanopartículas, foi proposto por Koo e Kleinstreuer [32] baseados nos dados experimentais de Das et al. [33]. Os resultados foram obtidos utilizando-se um código de volumes finitos bidimensionais. O campo de pressões foi obtido através do algoritmo SIMPLE. O fluxo advectivo do volume de controle foi aproximado utilizando-se o esquema QUICK. As comparações entre os resultados obtidos numericamente e os dados experimentais de Zeinali et al. [34] mostraram que o segundo modelo previa com maior confiabilidade os níveis de transferência de calor. Além disso, o primeiro

modelo também apresentava maior perda de carga que o segundo. Como esperado, a adição de nanopartículas melhora a transferência de calor. Segundo os autores, a menor melhora da transferência de calor foi de aproximadamente 10% para uma fração volumétrica de nanopartículas 1%, enquanto que a maior ficou em torno de 30%, considerando-se uma fração de 4%. Eles também concluíram que a utilização de nanofluidos produz uma melhora mais significante para menores números de Reynolds.

Chen et al. [35] realizaram experimentos para investigar a condutividade térmica efetiva, o comportamento reológico e a transferência de calor por convecção forçada com nanofluidos. Nanotubos de titânio foram sintetizados, caracterizados e preenchidos com água para formar nanofluidos estáveis na proporção de 0.5, 1.0 e 2.5 (wt.%) dos nanotubos. Os resultados mostraram uma pequena melhora da condutividade térmica em torno de 3% em 25ºC e aproximadamente 5% para 40ºC, considerando-se o nanofluido de (2.5 wt.%). Os nanofluidos encontrados eram fluidos não-Newtonianos com comportamento pseudoplástico, ou seja, a viscosidade diminuiu com o aumento da tensão de cisalhamento para baixas taxas de cisalhamento. Apesar da pequena melhora em relação a condutividade térmica, segundo os autores, observou-se uma excelente melhora do coeficiente de transferência de calor por convecção. Conforme os autores, comparando-se com nanofluidos contendo nanopartículas esféricas de TiO2 sob condições similares, constatou-se que a melhora

de ambos os parâmetros (condutividade térmica e coeficiente de transferência de calor por convecção) em relação ao nanofluido do nanotubo de titânio foi consideravelmente maior; indicando, inclusive, o papel primordial que o formato da nanopartícula exerce na melhora da transferência de calor.

2.2 - A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA

Métodos numéricos discretos para formulações diferenciais parciais em convecção-difusão pertencem hoje em dia ao trabalho rotineiro dos engenheiros térmicos envolvidos em tarefas de projeto e desenvolvimento, e não são mais restritos aos ambientes de pesquisa científica. Os diferentes métodos e enfoques estão fartamente discutidos em livros texto e de referência [36] e muitos estão disponíveis na forma de aplicativos comerciais. No entanto, e não apenas por curiosidade científica, existe ainda uma forte motivação para a otimização das técnicas já existentes, bem como, para o desenvolvimento de novas técnicas de simulação que se beneficiem dos progressos mais recentes em análise numérica e computação mista simbólica-numérica.

Nesse contexto, técnicas de solução para equações diferenciais parciais que exploram a base de conhecimento em métodos analíticos e se apoiam em plataformas de computação simbólica, têm chamado muita atenção da comunidade científica e oferecido algumas vantagens sobre as técnicas numéricas clássicas em diversas aplicações. Dentro desta ampla frente de pesquisa pode-se situar os avanços na Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) [37-42], empregada na solução híbrida numérico-analítica de problemas de convecção-difusão ao longo de cerca de 30 anos. Neste caso, a ênfase é a extensão do método clássico de transformação integral para tratar problemas não transformáveis a priori, permitindo flexibilidade suficiente para tratar mesmo problemas com coeficientes não lineares nas formulações [43-50]. Várias classes de problemas em transferência de calor e em mecânica dos fluidos foram tratados pela GITT, incluindo formulações baseadas nas equações de camada limite e de Navier-Stokes para escoamentos externos, em cavidades e canais, aqui revisados apenas para escoamentos em dutos em função do interesse mais próximo da presente aplicação [51-67]. No entanto, apenas em algumas poucas situações [59-60] a natureza totalmente não linear dessas equações foi tratada, incluindo-se não apenas os termos convectivos não lineares usuais, mas também a variação das propriedades físicas com a temperatura em particular.

Segundo Oliveira Filho et al. [68] a variação da viscosidade com relação a temperatura do fluido influencia fortemente os perfis de velocidade e de temperatura e, às vezes, apresentam desvios significativos no problema típico de propriedades constantes. Um dos pesquisadores pioneiros na indentificação desta característica foi Yang [10] e em reconhecer estas diferenças no estudo da convecção forçada laminar de líquidos com dependência da viscosidade em temperatura [68]. Objetivando explorar mais profundamente o problema da convecção forçada interna nas situações onde a variação da viscosidade com a temperatura é levada em consideração, os autores, também aplicaram a GITT para a formulação apresentada por Yang [10], no entanto, o trabalho consistiu somente na análise do caso da temperatura prescrita na parede. Embora estes autores tenham utilizado a mesma metodologia proposta neste trabalho, a formulação aqui empregada é distinta e mais abrangente pois contempla ambos os casos abordados por Yang [10]. Contudo, faremos aqui uma comparação entre os resultados obtidos nestas publicações e àqueles apresentados neste trabalho. Esta análise é bastante enriquecedora dadas as similaridades entre as metodologias face às diferenças nas formulações.

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E METODOLOGIA DE SOLUÇÃO

A solução da formulação matemática adimensional do problema de convecção forçada laminar em tubo circular considerado neste trabalho, baseou-se na Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT). A Técnica da Transformada Integral Generalizada foi introduzida por Özisik e Murray [69] e Mikhailov [70], a partir da Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT), desenvolvida entre outros por Mikhailov & Özisik [71], a fim de possibilitar a solução analítica de um maior número de problemas de engenharia. Nesta técnica aplica-se o operador de transformação integral no sistema diferencial parcial mesmo que contendo termos não transformáveis, ao contrário do procedimento aplicando-se a CITT. Dependendo da classe do problema e da rigidez das EDOs (Equações Diferencias Ordinárias), pode-se resolver estes problemas através da solução analítica aproximada ou empregando-se uma solução híbrida numérico-analítica.

3.1 - METODOLOGIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA PARABÓLICO GERAL

Na presente seção apresenta-se um procedimento de tranformação integral geral que evita a construção de um sistema transformado com acoplamento do termo transiente a partir de uma matriz de coeficientes não linear, que exigiria tediosas inversões ao longo do processo de integração do sistema diferencial ordinário para o campo transformado. Assim, uma formulação do problema original é preferida, trazendo vantagens na computação dos potenciais transformados.

Para permitir uma análise acurada dos modelos teóricos de convecção forçada de nanofluidos a serem aqui considerados, foi proposta uma extensão da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) para tratar de forma unificada formulações bem gerais não lineares de convecção-difusão, em que se permitem coeficientes dependentes da temperatura em cada termo da equação de energia e das condições de contorno. A metodologia híbrida numérico-analítica proposta é aplicável tanto a situações em regime permanente quanto transiente, e o processo de transformação integral é promovido de forma a se obter um sistema transformado explícito, evitando-se assim permitir coeficientes não lineares no termo transiente (ou variável espacial

equivalente), e com isso reduzir o custo computacional na solução numérica do sistema transformado a partir de rotinas de solução de problemas de valor inicial. Para demonstrar os passos da técnica de solução, considera-se uma formulação suficientemente geral de convecção-difusão, que inclui os problemas não lineares em convecção de calor interna de interesse no presente estudo. Um conjunto de potenciais,

T

k

₍

x

,

t

₎

, k l, =1, 2,…,M , dependentes da posição

x

e do tempo t (ou

variável espacial equivalente) como temperatura, concentrações, componentes de velocidade, pressão, etc., encontra-se definido na regiãoV com superfície de contorno S, e obedece a seguinte formulação com coeficientes não lineares em todos os

coeficientes da equação e das condições de contorno:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

* * * * , , , , , , , , , , , , , , , 0, , 1, 2, , k k l l k k l k k l k k l T t w T u t T T t k t T T t t d t T T x t P t T t k l M ∂ + ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ − ∂ + ∈ > = … x x x x x x x x x V (3.1.a)

com condições iniciais e de contorno

(

,

)

( )

,

k k

T

x

t

=

f

x

x

∈

V

(3.1.b)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

* * * , * , , , , , , , k , , , k l k k l k l k l T t t T T t t T k t T t T

α

+

β

∂ =

φ

∈ ∂ x x x x x x x S n (3.1.c)

O procedimento híbrido baseado em transformação integral se inicia com a proposição de uma solução formal em termos de uma expansão em autofunções para os potenciais desejados,

T

_k

₍

x

,

t

₎

, com os coeficientes dependentes de t correspondentes a ser determinados:

(

)

,

( )

,

( )

1 , k k i k i i T t A t

ψ

∞ = =

∑

x x (3.2)

onde as autofunções,

ψ

_{k i,}

_{( )}

x

, são obtidas de um problema de autovalor

representativo que contém tanta informação quanto possível do problema original, na forma:

( )

( )

(

( )

( )

)

( )

* 2 , , , 0, , 0 k k i k i k k k i k

ψ

ζ

w d

ψ

t ∇ ⋅ x ∇ x + x − x x = x∈V > (3.3.a)

( )

( )

( ) ( )

k ,i

( )

0 k k ,i k k ψ ψ k ,

α

+

β

∂ = ∈ ∂ x x x x x x S n (3.3.b)

Os coeficientes

w

_k

_{( )}

x

,

k

_k

_{( )}

x

,

d

_k

_{( )}

x

,

α

_k

_{( )}

x

e

β

_k

( )

x

do problema auxiliar (3.3)

são esperados incluir informações relacionadas aos coeficientes não lineares originais das Eqs. (3.1). Note que o termo convectivo na Eq. (3.1.a) não foi representado no problema auxiliar (3.3), uma vez que assim resultaria um problema de autovalor não auto-adjunto.

Embora esta situação tenha sido considerada com alguma vantagem na literatura de GITT, pelo objetivo de unificação da presente solução, somente problemas de Sturm-Liouville de comportamento espectral bem estabelecido serão aqui considerados. Assim, o problema (3.3) oferece uma propriedade de ortogonalidade das autofunções que é muito relevante na aplicação desta metodologia, a qual é escrita como:

( )

( )

( )

k k ,i k , j d i, j k,i V

w ψ ψ v=δ N

∫

x x x (3.4.a)

onde o delta de Kronecker δ _{i, j} é igual a 1 para i= j ou 0 para i≠ j e N_{k i,} são as integrais de normalização que são calculadas por:

( )

2

( )

d k,i k k,i

V

N =

∫

w x ψ x v (3.4.b)

Com ajuda da Eq. (3.4.a), pode-se operar na expansão proposta, Eq. (3.2), com o operador integral _k

_{( )}

_k,i

_{( )}

_d

V

w ψ v

∫

x x , para obter os coeficientes da expansão:

( )

( ) (

)

k

1

d

k,j * k,j k,j k V

A (t)

w

ψ

v

N

T

,t

=

∫

x

x

x

(3.5)

Uma vez que todos os termos da soma infinita da Eq. (3.2) são anulados, exceto aquele para o qual i= j. Então, as Eqs. (3.2) e (3.5) fornecem o par de fórmulas de transformação integral, chamadas de transformada e inversa, respectivamente:

( ) ( ) (

)

k d k ,i k,i k V T (t)=

∫

w x ψ
x T x, t v, transformada (3.6.a)

(

)

,

( )

, 1 , ∞ = =

∑

k k i k i i T x t

ψ

x T (t), inversa (3.6.b)

Nas Eqs. (3.6.a,b) acima adotou-se uma autofunção normalizada, repartindo a contribuição da norma entre as duas fórmulas, transformada e inversa, na forma:

( )

=

( )

k,i k,i k,i ψ ψ N x x (3.6.c)

O próximo passo na GITT é então a transformação integral das Eqs. (3.1.a) fazendo uso do par transformada-inversa definido acima. O procedimento tradicional envolveria a operação de transformação integral, com ajuda da fórmula da transformada, Eq. (3.6.b), em ambos os lados da Eq. (3.1.a), o que para essa formulação totalmente não linear resultaria em uma matriz de coeficientes não lineares no lado esquerdo do sistema transformado, devido à natureza não linear do coeficiente do termo transiente no problema original, *

k l

w ( ,T )x . Sob o ponto de vista

computacional, essa formulação explícita não linear iria requerer que a matriz de acoplamento fosse invertida diversas vezes ao longo do processo de integração numérica do sistema transformado, como inerente aos procedimentos das rotinas de solução de problemas de valor inicial, resultando em custos computacionais consideráveis. Entretanto, antes de prosseguir nesse caminho, mostra-se vantajoso reescrever a formulação do problema de forma a oferecer uma transformação linear explícita para a transformação integral do termo transiente. Como o resultado final da transformação integral será a construção de um problema de valor inicial para se obter os potenciais transformados, T (t)_k,i , é sem dúvida mais interessante para o algoritmo de solução numérica dessas equações diferenciais ordinárias, lidar com um sistema explícito e linear no operador transiente, evitando-se assim inversões da matriz não linear que seria usualmente obtida. Desta forma, o coeficiente do termo transiente pode ser reescrito na forma:

( )

( )

( )

1 * * k l k l k k k l k w ( ,T ) w ( ,T )= w w C ( ,t,T ) w − = x x x x x x (3.7)

Que resulta na seguinte versão da equação (3.1a):

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

* * * , , , [ , , , , , , , , , , , ], , 0 k k k l k l k k l k l k k l T t w C t T k t T T t d t T T x t t u t T T t P t T t ∂ = ∇ ⋅ ∇ − ∂ − ⋅∇ + ∈ > x x x x x x x x x x V (3.8)

,ou simplesmente:

( )

k

(

,

)

(

, ,

)

0, , 1, 2,..., k k l T t w H t T t l k M t ∂ = > = ∂ x x x (3.9.a) onde:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

* * * , , , , [ , , , , , , , , , , , ] k l k l k l k k l k l k k l H t T C t T k t T T t d t T T x t u t T T t P t T = ∇ ⋅ ∇ − − ⋅∇ + x x x x x x x x (3.9.b)

com as condições iniciais dadas pelas equações (3.1.b) e condições de contorno também reescritas na forma:

( ) (

,

)

( ) ( )

k

(

,

)

(

, ,

)

, k k k k k l T t T t k t T

α

+

β

∂ =

φ

∈ ∂ x x x x x x x S n (3.9.c) onde:

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

* * * *

, ,

, ,

, ,

,

,

, ,

, ,

k l k l k k l k k k k k l k l

t T

t T

t T

T

t

T

t

k

t T

k

t T

φ

φ

α

α

β

β





=

+

_

−

_

+

∂



−







_∂

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

(3.9.d)

O processo de transformação integral é então realizado operando-se a equação (3.9.a) com o operador _k,i

_{( )}

_d

V ψ v

∫

x , para obter:

( )

( )

(

)

,

, ,

d

k i k,i k l V

dT

t

ψ

H

t T

v, t > 0,i = 1,2,...

dt

=

∫

x

x

(3.10.a)

A princípio, a integração direta do lado direito da eq. (3.10.a) forneceria um vetor, a partir da substituição da fórmula da inversa, eq. (3.6.a), nos termos não-lineares, que no entanto não traria nenhuma informação sobre os termos fonte da condição de contorno,

φ

k

₍

x

, ,

t T

l

₎

. Assim, para levar em conta a contribuição da

condição de contorno, primeiro dividimos o lado direito da equação acima em dois termos, como se segue: