Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 01 a 04, 2007.
Equilíbrio Magnetohidrodinâmico em Tokamaks de alta razão de aspecto
Susane Ribeiro Gomes
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Divisão de engenharia aeronáutica ,Praça Marechal Eduardo Gomes 50, Vila das Acácias, 12228-900 São José dos Campos, SP, Brasil
Bolsista PIBIC-CNPq
susaneriebeiro@gmail.com
Marisa Roberto
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Divisão de Física ,Praça Marechal Eduardo Gomes 50, Vila das Acácias, 12228-900 São José dos Campos, SP, Brasil
Bolsista PIBIC-CNPq
marisa@ita.br
Resumo. Considerando-se o aumento de requisição de energia mundial e a exigência por novas tecnologias pouco invasivas ao meio ambiente, a fusão termonuclear controlada surge como uma possível solução à essa crescente demanda. Neste trabalho serão analisados aspectos do equilíbrio Magnetohidrodinâmico para o confinamento de plasmas em tokamaks de alta razão de aspecto.Será apresentada uma formulação hamiltoniana do equilíbrio definindo variáveis de campo e ação, os quais estão relacionados com os campos de equilíbrio.
Palavras-chave: tokamak, equilíbrio MHD, energia termonuclear controlada.
1. Introdução
O desenvolvimento econômico e industrial mundial das últimas décadas acompanha o aumento quase exponencial da requisição de energia. Tal crescimento aliado ao fututo esgotamento de combustíveis fósseis e U235 (para a realização de fissão nuclear) implica na necessidade de novas grandes fontes de energia serem encontradas, e de preferência energias renováveis.
Nos últimos anos, a evidência científica da mudança climática e do efeito estufa global, a diminuição da camada de ozônio, a perda de biodiversidade, a desertificação e, em suma, o impacto ambiental que a presença do homem produz no planeta levantam mais uma questão sobre a energia: o impacto no ecossistema mundial.
Com tais desafios em pauta, a energia obtida através de fusão nuclear apresenta-se como uma séria candidata a suprir as necessidades energéticas futuras. Pois, entre outros motivos, um reator baseado na fusão nuclear terá custo menor, a energia será mais limpa e poderá ser obtida de forma sustentável, pois a matéria prima é abundante.
A fusão nuclear é um processo de produção de energia que consiste na fusão dos núcleos de dois átomos para assim, ocorrer a formação de elementos mais pesados com certa perda de massa. Tal perda massa, através da equação de Einstein, implica em produção de energia.
Figura 1. Esquematização de um processo de fusão
Neste trabalho, trataremos da fusão lenta por confinamento magnético, na qual os reagentes se encontram no estado de plasma obtido pela ionização de uma mistura gasosa de Deutério é Trítio.
Para haver ignição deve-se criar uma configuração magnética estável para confinar o plasma e fazer que o tamanho crítico seja o bastante grande, para que as reações de fusão aqueçam o combustível mais rapidamente que o calor perdido por transporte e radiação.
A estabilidade do tokamak deve-se a sua geometria magnética, na qual linhas de campo produzidas pelo campo toroidal e poloidal dão direção helicoidal a corrente. As superfícies magnéticas, formadas por esta configuração de campo, são idealmente também superfícies isobáricas, que permitem a manutenção de gradiente de pressão no plasma.
A pesquisa em fusão magnética está agora focalizada num esforço internacional para alcançar a ignição num tokamak e em melhorias no conceito, incluindo outros meios para criar as superfícies magnéticas. O ITER (“International Thermonuclear Experimental Reactor”) é o primeiro reator experimental de fusão, da configuração tokamak, concebido e projetado no âmbito de um Protocolo assinado entre a “European Atomic Energy Community” e os governos do Japão, Canadá, Estados Unidos, China, Coréia e Índia. O ITER será construído em Cadarache, no sul da França.
Enormes diferenças de temperatura e fluxo de nêutrons em distâncias muito pequenas ainda são sérios problemas para o projeto de reatores de fusão. Assim, o reator de fusão será a solução em longo prazo para os problemas de eliminação da poluição radioativa e térmica, para obtenção de energia a baixo preço.
No presente relatório será desenvolvido o estudo de tokamaks de alta razão de aspecto, aplicando as equações do equilíbrio magnetohidrodinâmico (MHD) para a obtenção das equações de Grad-Shafranov na geometria polar-toroidal. Como veremos mais adiante, a geometria polar toroidal tem a vantagem preservar o deslocamento de Shafranov, que é o deslocamento do eixo magnético em relação ao eixo geométrico.
Assim, obtivemos a configuração de equilíbrio dos campos magnéticos. Em seguida, aplicaremos o formalismo Hamiltoniano para descrevermos o traçado das linhas de campo na configuração de equilíbrio.
2. Introdução à equação de Grad Shafranov
Para desenvolvermos um estudo da evolução da maneira como o equilíbrio magnetohidrodinâmico se desenvolveu durantes as décadas passadas, mostraremos como chegamos ao equilíbrio MHD [1]. Iniciaremos com o estudo do equilíbrio de sistemas toroidais [2] terminando com o equilíbrio MHD, utilizando coordenadas polares toroidais [3,4].
Esta análise deve ser entendida sabendo-se que primeiramente devemos escolher um sistema de coordenadas (r,z,φ). Para, em seguida, escrevermos a equação de Grad Shafranov nesta geometria.
Depois de encontrada a equação de Grad Shafranov devemos especificar o melhor perfil da densidade de corrente toroidal jφ, isto é, aquele que se assemelha ao obtido experimentalmente, tais como no tokamak TFTR[5, 6]. E essa escolha, conduzirá ao perfil do fator de segurança não-monotônico que obteremos em seguida.
2.1 Equilíbrio Magnetohidrodinâmico
Para descrever o equilíbrio magneto-hidrodinâmico necessário para o confinamento de plasmas devemos utilizar um modelo físico simples, mas condizente com a realidade, modelo esse capaz de descrever qualitativa e quantitativamente o comportamento de plasmas a temperaturas termonucleares [1].
Assim, os conjuntos de equações iniciais que descrevem o equilíbrio MHD ideais são:
∇
P=j
x
B
r
r
e∇
xB
r
=µ0j
r
(2.1) Assim, o campo magnético e a densidade de corrente têm que ser sempre perpendiculares ao gradiente de pressão. Logo, como a pressão P é uma quantidade escalar que varia no espaço, a curva P=constante tem que definir uma superfície simples e fechada, caracterizada pelo valor dessa constante. Dessa maneira, dizemos que as superfícies P=constante são formadas por linhas de forca que dividem o espaço em duas regiões. Vemos que todas essas superfícies formam topologicamente um toróide.Assim, a pressão aumenta à medida que ser penetra no plasma, então deve existir uma única linha ligando todas as superfícies e definido a pressão máxima. Esta linha e denominada de eixo magnético.
3. Sistemas de coordenadas
Para resolvermos a equação de Grad-Shafranov de maneira simplificada devemos escolher um sistema de coordenadas que represente o sistema com precisão e exatidão ao considerarmos um tokamak de alta razão de aspecto (Ro/a>>1), e que considere o deslocamento de Grad-Shafranov (que será mostrado no decorrer do texto).
Dessa forma, a seguir será feita a representação de coordenadas polares toroidais.
3.1. Sistema de coordenadas polar-toroidal (rt, θt, φt)
A escolha desse sistema de coordenadas deve-se ao fato de elas tenderem às coordenadas polares locais no limite de grande razão de aspecto. Em razão disso, as soluções expressas nestas coordenadas guardam algumas semelhanças com aquelas expressas nas coordenadas polares locais (r, φ, z).
O sistema de coordenadas polar toroidal é obtido a partir do sistema de coordenadas toroidais (ξ, ω, φ) [2]. N o limite Ro <<1
r
, as coordenadas polares toroidais (rt, θt, φt) tendem às coordenadas polares locais (r, θ, φ), em que
R
=
R
o+
r
cos
θ
,z
=
r
sin
θ
eφ
=
ϕ
.Figura 2. Representação das coordenadas toroidais polares (rt, θt, φt). Note que na figura ρt=rt.
Geometricamente a figura representa a interseção de um semi-plano φ=constante com as superfícies rt =constante e φt =constante.
As curvas não se interceptam ortogonalmente se comparadas com as correspondentes nos outros sistemas. As superfícies rt=constante se ajustam melhor às superfícies magnéticas no equilíbrio (
ψ
(
r
t,
θ
t)
=
const
.
) nos limites dointerior do toro (rt<b), por apresentarem um deslocamento semelhante no sentido do equador externo do toro, que é o deslocamento de Shafranov [2].
Na figura 2, particularizou-se φt =0 para rt =constante e θt=const. Podemos notar que a curvatura das superfícies rt=cte não se mantém constante. Dessa maneira, não há formação de circunferências concêntricas.
Podemos facilmente perceber pela figura 3 que os efeitos de toroidicidade estão intrínsecos neste sistema de coordenadas.
4. Perfil de densidade de corrente toroidal
j
ϕr
nas coordenadas polares-toroidais.
Da equação (2.1) temos j⋅∇P= B⋅∇P=0 r r , então j r e B r
encontram-se sobre superfícies fechadas. Também de (2.1) sabemos que as superfícies magnéticas precisam ser fechadas para assegurar o confinamento do plasma. Assim, no confinamento em questão, as superfícies magnéticas devem formar toróides inscritos uns nos outros.
Chamamos de fluxo de linhas de campo o fluxo magnético poloidal associado a cada superfície magnética. Ele será visto mais adiante.
Através da equação (2.1) podemos escrever
B
r
de equilíbrio em termos do gradiente de uma função escalar independente da coordenada azimutal. E Assim, podemos encontrar a Equação de Grad Shafranov nas coordenadas polares toroidais[2]. Como só estamos considerando tokamaks de alta razão de aspecto Rt/Ro→ 0, podemos
simplificar a equação de Grad-Shafranov, pois t p r
ψ não depende de
θ
t, neste limite:( )
t o t p t t t r j dr d r dr d r µ ϕ ψ = 1 (4.1) Em seguida, utilizaremos um perfil radial não-monotônico paraj
ϕencontrado em resultados experimentais[5,6]. Este perfil é parabólico com um buraco central.
(
)(
)
γ ϕ β β γ γ γ π − + + + + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 ' a r a r a R I j p o t t (4.2) onde Ip é a corrente total do plasma, β e γ são parâmetros ajustáveis e a é o raio da coluna de plasma.Da equação do campo magnético em coordenadas polares toroidais [1], podemos obter as simulações para os campos magnéticos poloidal e toroidal.
Figura 4 . Campos magnéticos obtidos através de simulação numérica.
Representando as superfícies magnéticas em coordenadas cilíndricas observamos uma quase-simetria do campo poloidal. A quase-simetria deve-se ao aparecimento do deslocamento de Shafranov.
Há maior concentração de espiras geradoras de campo toroidal no lado interno do tokamak (figura 5), o que causa o aumento deste campo na parte interna do tokamak. Esse fato explica o desvio de Shafranov, que é o desvio do eixo magnético em relação ao eixo geométrico.
Figura 5. Superfícies magnéticas representadas em coordenadas cilíndricas.
Assim, as linhas de campo magnético devidas aos campos poloidal e toroidal terão formato helicoidal. E essas linhas serão mais intensas na região interior do tokamak (onde
B
ϕt é mais intenso).5. Fator de segurança Sabemos que B× ld =0 r r , onde dl r
é um elemento infinitesimal da linha de campo. E que essa linha não se propaga radialmente, isto é, drt=0. Logo,
t t t t B B θ ϕ θ ϕ = ∂ ∂ (5.1) Podemos definir t t θ ϕ ν ∂ ∂ =
, que será a inclinação local das linhas de campo, conforme mostrado na figura 6.
Figura 6. esquema indicando a inclinação local de uma linha de campo magnético. Definindo o fator de segurança:
t d q νθ π π
∫
= 2 0 2 1 , e assim 2 t t t 0 B 1 q d 2 B π ϕ θ = θ π∫
(5.2)Para que se obtenha um plasma estável, deve-se ter
q
≥
1
no eixo magnético.Utilizando os valores do tokamak TCABR, construído na IF/USF, que tem Ie= 4x106 A (valor da corrente nas bobinas externas poloidais), Ip=7x104A (corrente toroidal ou corrente de plasma), a= 0,18m e Ro=0,61m. Assim,
Figura 7. Fator de segurança obtido através de simulação numérica. Ao definirmos jϕ
r
não monotônico, definimos também o mesmo perfil radial para o fator de segurança. Dessa maneira, percebemos que o fator de segurança passa a ser uma média do ângulo toroidal percorrido enquanto uma linha de campo executa uma volta no sentido poloidal.
Assim, seja também o fator de segurança definido como q=m/n. Se q é racional teremos linhas de campo que se fecham após completar m voltas no sentido toroidal e n no poloidal. Se o valor de q for irracional significa que a linha de campo nunca retorna a posição inicial, ocupando (em um tempo infinito) todos os pontos da superfície magnética. Ou seja, para obtermos um sistema estável, as linhas devem se fechar e conseqüentemente q deve ser racional.
6. Controle do plasma através de ergotização na borda
Para um bom confinamento do plasma é essencial a existência de superfícies magnéticas toroidais fechadas, onde as linhas de campo magnético repousam. Estas superfícies são também isobáricas, isto é, pressão = constante sobre estas superfícies. Entretanto, certas instabilidades se desenvolvem na coluna de plasma. A fim de controlar estas instabilidades, pequenas perturbações do campo magnético de equilíbrio são introduzidas através de bobinas externas, de tal forma a criar perturbações ressonantes. Estas ocorrem quando a helicidade de linha de campo perturbado coincide com a helicidade das linhas de força do campo de equilíbrio que se deseja perturbar.
A perturbação causa uma ergotização das linhas de campo, e como conseqüência pode haver destruição das superfícies magnéticas, dependendo do valor da perturbação. Quando a perturbação externa ergotiza superfícies mais internas, há uma melhora no transporte radial de partículas e energia. No outro caso, quando, a perturbação afeta superfícies mais externas poderá haver escape das linhas de campo para as paredes, e neste caso, poderá ser formado um sistema caótico aberto.
7. Formulação hamiltoniana das linhas de campo
Em plasmas confinados magneticamente, tais como os tokamaks, as linhas de campo magnético jazem sobre as chamadas superfícies magnéticas. O fluxo que atravessa estas superfícies é fluxo toroidal ψt=const, igual ao fluxo magnético através de uma superfície perpendicular ao eixo magnético, onde ψ =0. A posição da linha de campo sobre a superfície magnética é dada por um ângulo poloidal θe um ângulo toroidalϕ. O campo magnético de equilíbrio levando em conta que ∇ Br⋅r=0, pode ser escrito como:
H B=∇ t+∇ +∇ ×∇ r r r r r ϕ θ ψ (7.1),
As equações das linhas de campo podem ser colocadas na forma das equações de Maxwell, tal que:
ψ ϕ θ θ ϕ ψ ∂ ∂ = ∂ ∂ − = H d d H d d t (7.2)
As variáveis canônicas são (θ,ψ ). Notar que ψ é a variável independente, fazendo o papel o papel do tempo nas equações de Hamilton. O fluxo poloidal H = H(θ,ψ,ϕ) é a Hamiltoniana.
Colocando a equação (6.2) na forma das equações de Hamilton[6].
z H d dp p H d dz z z ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ϕ ϕ (7.3) Onde a função H é a componente normalizada do potencial vetor
A
ϕ, isto é:2 ) , ), ( ( ) ( ) , , ( o o o z z z R B zR p R A p R p z H H= ϕ = ϕ ϕ (7.4) onde R=Roexp(pz).
No caso de simetria toroidal o campo magnético não depende do ângulo ψ, isto é, Aϕ=Aϕ( ZR, ) e portanto )
, (zpz H
H= . Neste caso o sistema Hamiltoniano é completamente integrável. As linhas de campo jazem sobre superfícies H(z,pz)=const=ψ(R,Z).
Introduzindo as variáveis de ângulo e ação, tem-se:
∫
∫
∂ ∂ = = ' ) ,' ( 2 1 dz I z p I dz p J z c z υ π (7.5) Podemos verificar que a variável de ação I coincide com o fluxo toroidalψ
t normalizado:∫
∫
= ⇒ = pdz dp dz J z c z π π 2 1 2 1∫
= = t o o dRdZ Z R B B R J ψ π ϕ( , ) 2 1 2 (7.6) A variável angularυ
é o ângulo poloidal definido como:∫
= θ ϕ ψ υ 0 ) ( 1 poloidal B B q (7.7) Onde q(ψ)é o fator de segurança. Mas q também pode ser escrito como q=∆2πϕ, onde ∆ϕ é o incremento do
ângulo toroidal ϕ quando a linha de campo faz uma volta poloidal completa. Assim, segue que:
∫
∂ ∂ ∆ = c H pz dz q / 2 ) ( π ϕ ψ (7.8) Nas coordenadas polares toroidais (rt,θt,ϕt), que no limite de alta razão de aspecto reduz-se às coordenadaslocais (r,θ,ϕ), a eq de Grad Shafranov pode ser escrita como: ) ( ) ( 1 t o t t p t t t r J dr r d r dr d r µ ϕ ψ = , (7.9) onde ψ é função somente de p
r
tnuma aproximação de alta razão de aspecto, isto é, para o'→0t R
r
As intersecções das superfícies magnéticas ψp(0)(rt)=constcom planos ϕt=const diferem de círculos e
apresentam um deslocamento, no sentido da região equatorial externa. Este deslocamento é conhecido como deslocamento de Shafranov.
Suponha que o perfil da densidade de corrente seja dado por:
γ ϕ β β γ γ γ π − + + + + + = 2 2 2 2 2 ( 2) 1 1 ) 1 )( 2 ( ' a r a r a R I j p o t t (7.10) onde Ipé a corrente total do plasma, γ e β são parâmetros ajustáveis e a é o raio da coluna de plasma. Este perfil de jϕ
fornece perfis de fator de segurança não-monotônicos.
Assim, um mapa simplético pode ser construído nas variáveis de ângulo e ação. Este mapa representa as linhas de campo magnético numa seção transversal do toróide. Na situação de equilíbrio, as linhas de campo seriam representadas por retas paralelas, o que significa que as linhas de campo repousam sobre as superfícies de fluxo. Se uma perturbação é introduzida, seja externa ou do próprio plasma, instabilidades se desenvolvem, de tal forma a causar a formação de cadeias de ilhas magnéticas, e eventualmente, dependendo da amplitude da perturbação, a destruição completa das superfícies de fluxo gerando caos.
8. Conclusões
Na primeira etapa do trabalho, foi realizado o estudo das propriedades do plasma e de modelos de confinamento magnético, seguido do estudo de geometrias utilizadas na descrição do equilíbrio magnetohidrodinâmico. Em seguida, desenvolvemos a formulação matemática necessária para a obtenção da equação de Grad-Shafranov, assim como o perfil mais adequado de corrente toroidal jϕ
r
.
Estudou-se, neste trabalho, os campos magnéticos de confinamento do plasma em tokamaks. Para tal, foi utilizado um sistema de coordenadas que leva em consideração os efeitos de assimetria devido à toroidicidade do sistema. Em decorrência dessa assimetriaas superfícies magnéticas não são concêntricas, apresentando o desvio de Shafranov. A helicidade das linhas de campo não é constante, fazendo com que o fator de segurança também não seja.
A seguir foi apresentada uma formulação hamiltoniana do equilíbrio em plasmas confinados magneticamente, definindo variáveis de ângulo e ação, os quais estão relacionados com os campos de equilíbrio. A vantagem de tal formulação reside no fato de podermos construir mapas simpléticos nas variáveis canônicas. Se por outro lado, integrássemos diretamente as equações das linhas de campo, o sistema adquirirá instabilidades numéricas decorrentes do processo de integração, não ocorrendo esta dificuldade na formulação Hamiltoniana.
9. Agradecimentos
Antes de tudo agradeço à professora Marisa por estar sempre disposta a ajudar e ensinar, e ao PIBIC e Cnpq por promover estas bolsas de iniciação científica incentivando a pesquisa científica e a busca pelo aprendizado e interesse por parte dos alunos do ITA.
10. Referências bibliográficas
[1] Francis F. Chen. Plasma physics and Controlled Fusion, Plenum Press - New York. 1984 [2] Jeffrey P. Freidberg. Ideal Magnetohidrodynamics, Plenum Press - New York. 1987 [3] E.C. Silva, I.L. Caldas e E.L. Viana. Phy.of plasmas, 8,6, 2855 - 2865.2001
[4] M.Roberto, E.C.Silva, I.C. Caldas e R.L. Viana. Phys. of plasmas, 11,1, 214-225.2004 [5] E. Mazzucato et al. Phys. Rev. Letters, 77, 15, 3145, 1996.
[6] E.J.Synakowski et al. Phys. Rev. Letters, 78, 15, 2972, 1997.
[7] J. A. Bittencourt, Fundamentals of Plasma physics, Pergamon Press, 1996.
[8] R. Balescu, Dynamical Systems and Irreversibility. Volume 122, 2002. Edited by I. Antoniou. John Wiley & Sons. [9] P.J. Morrison, Rev. Of Modern Physics, vol. 70, 2, 467, 1998.
