DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES DE MASSA FERMIÔNICAS

DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES DE MASSA FERMIÔNICAS

Mailema Celestino dos Santos (IC)

*

; Mauro Donizeti Tonasse (PQ)

=

Divisão de Engenharia Aeronáutica Instituto Tecnológico de Aeronáutica 12.228-900 São José dos Campos, SP

mailema@bol.com.br

Resumo

Um modelo eletrofraco conhecido como “modelo 3-3-1” fornece matrizes de massa para os quarks numa forma diferente da usual. Nesse trabalho estudamos essas matrizes e comparamos as massas previstas com os respectivos valores experimentais. Nossos resultados sugerem que uma conclusão recente, obtida por outros autores, sobre os “ansatz” para diagonalização de matrizes de

massa fermiônicas não se aplica para o modelo 3-3-1. Abstract

An electroweak model called “3-3-1 model” predicts mass matrices for the quarks that have a different form compared with the usual ones. In this work we studied these matrices and we compared the predict quark masses with the respective experimental values. Our results suggest that a recent conclusion, obtained by other authors, concerning the “ansatz” for diagonalization of fermionic mass

matrices is not appropriate to the 3-3-1 model.

1- INTRODUÇÃO

O problema das massas das partículas elementares vem merecendo a atenção dos físicos teóricos e experimentais há bastante tempo. Existe um modelo chamado “modelo eletrofraco padrão” que é bem sucedido na explicação de quase todos os resultados experimentais disponíveis hoje no campo das partículas elementares [1]. Entretanto, esse modelo deixa várias perguntas sem resposta. Em particular, os físicos de partículas elementares não estão satisfeitos com a maneira pela qual as massas das partículas são introduzidas na teoria. Esses e outros fatos servem como motivação para se estudar possíveis generalizações e modelos alternativos ao modelo padrão.

O tema desse trabalho é especificamente o problema das matrizes de massa dos quarks. O quarks são os constituintes dos núcleons, as partículas subatômicas que formam o núcleo do átomo. Os modelos fornecem as massas dos quarks na forma de matrizes, isto é,

mij = aijw

onde aij são constantes adimensionais (constantes de Yukawa) e w é um parâmetro com dimensão de

massa, com i, j = 1, 2, 3. Existem seis tipos (ou sabores) de quarks, três deles com 2/3 e outros três com -1/3 da unidade da carga elétrica elementar. Logo, temos uma matriz de massa para cada setor de carga dos quarks.

A característica relevante das matrizes de massas fermiônicas é que elas dependem de apenas um parâmetro com dimensão de massa. Mesmo no caso das extensões do modelo padrão essa regra tem que ser respeitada por causa de um vínculo experimental. Nota-se também que essas matrizes 3´3 têm em geral nove parâmetros para descrever três massas físicas. Como não se sabe como eliminar parâmetros espúrios, é usual admitir certos “ansatz” para reduzir o número de parâmetros. Recentemente foi mostrado que dos dezoito “ansatz” encontrados na literatura, apenas um deles ainda está de acordo com os dados experimentais recentes [2].

* _{Estudante de graduação (Bolsista PIBIC)}

= _Orientador

A motivação para o nosso trabalho é que existe um modelo alternativo ao modelo padrão, chamado “modelo 3-3-1”, que prevê matrizes de massa para os quarks na forma:

Mij = Gijv + Fiju

com Gaj = F1j = 0, a = 2, 3 para os quarks de carga 2/3. Esta matriz difere daquela da equação (1)

porque tem dois parâmetros com dimensão de massa, v e u [3]. No outro setor de carga a matriz de massa é obtida pela troca de v com u e a introdução de constantes de acoplamento apropriadas na equação (2). O problema com o vínculo experimental mencionado acima nesse caso não existe, porque devido a certas peculiaridades do modelo essa restrição só pode aparecer para energias muito altas, fora do alcance dos atuais laboratórios. Portanto é interessante verificar se as conclusões da referência [2] se aplicam também para o modelo 3-3-1. Para fazer isso temos que diagonalizar as matrizes de massa do modelo aplicando os “ansatz” conhecidos e comparar os resultados com os dados experimentais.

2- DIAGONALIZAÇÃO DAS MATRIZES

Diagonalização de matrizes é um procedimento bem conhecido em Álgebra Linear. A condição para que uma matriz seja diagonalizável é dada pelo teorema espectral. Esse teorema diz que uma

matriz normal A, sobre um espaço vetorial V, é diagonal com respeito a alguma base ortonormal para V. Por outro lado, se uma matriz é normal, ela é diagonalizável [4]. Uma matriz normal A é aquela

que satisfaz a condição A†_{A = AA}†_.

Em física de partículas, entretanto, a diagonalização de matrizes pode estar sujeita a certas sutilezas. O teorema espectral não garante, por exemplo, que os autovalores da matriz A são reais e positivos e isso é essencial para que eles possam ter interpretação física se estamos trabalhando com matrizes de massa. Por outro lado, as matrizes de massa fermiônicas não são normais em geral e seus autovalores nem sempre são reais e positivos. Entretanto, é fácil ver que matrizes hermitianas são também normais. Portanto, esses problemas podem ser contornados diagonalizando-se não a matriz A, mas H =

AA†_{, que é sempre hermitiana (e portanto normal). A matriz H pode ser diagonalizada por uma}

transformação unitária dando autovalores reais e positivos que são os quadrados dos autovalores da matriz A nos quais estamos interessados. Para uma interessante discussão sobre a diagonalização de matrizes de massa fermiônicas e sua interpretação física veja a referência [5].

As matrizes foram diagonalizadas utilizando o código Maple de computação algébrica. O procedimento utilizado foi encontrar os autovalores em função das constantes de Yukawa e dos parâmetros de massa. Os valores das constantes de Yukawa devem ser tais que o modelo seja perturbativo, isto é, os parâmetros da teoria devem poder ser expandidos em séries convergentes. Essas expansões são um procedimento essencial para que cálculos possam ser feitos analiticamente. Analisando processos eletrofracos fundamentais em função de uma certa constante de acoplamento adimensional f mostra-se que é conveniente levar em conta no estudo da convergência das séries não o valor da constante de acoplamento diretamente fornecido pelo modelo, mas sim ± f2_{/4p [1, 6]. Os}

parâmetros de massa u e v que aparecem na equação (2) precisam estar de acordo com um vínculo para que o modelo 3-3-1 coincida com o modelo padrão em energias baixas, isto é, v2 _{+ u}2 _{= 246}2

GeV2 _[2].

Os resultados são discutidos na seção seguinte. 3 - RESULTADOS

Nossos resultados estão apresentados nas tabelas 1 e 2, correspondentes aos quarks de carga 2/3 e -1/3, respectivamente. Como estamos interessados em comparar nossos resultados com os dos autores da referência [2] é necessário esclarecer que os nossos cálculos não são tão rigorosos quanto os deles. Eles não trabalharam diretamente com as matrizes de massa, mas sim com as matrizes de mistura de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM). Trabalhar com essas matrizes é mais difícil, mas elas representam as taxas de decaimento das partículas e essas taxas são bem medidas. Já as massas dos quarks não. Os quarks são confinados nos núcleons e os valores de suas massas são inferidos de

maneiras indiretas. Mesmo assim podemos fazer esse confronto de resultados e ele poderá indicar se o nosso problema merece ou não um estudo mais rigoroso. Outra diferença das nossas matrizes com relação àquelas da referência [2], é que eles consideraram a possibilidade da existência de parâmetros complexos. Entretanto, a teoria prevê que o efeito desse tipo de parâmetro é muito pequeno. Além disso, lembramos que a diferença relevante é que as nossas matrizes têm dois parâmetros de massa enquanto as da referência [2] têm apenas um [ver equações (1) e (2)].

Nas tabelas 1 e 2 as matrizes que representam os “ansatz” encontrados na literatura estão escritas na coluna 1. Na coluna 2 estão os valores dos parâmetros com dimensão de massa encontrados. Na coluna 3 aparecem os valores encontrados para as constantes adimensionais de Yukawa. Com os dados das colunas 2 e 3 são obtidas as massas dos quarks que estão relacionadas na coluna 4. Os valores experimentais para as massas dos quarks u, c e t, de carga 2/3 são mu = (1,5 – 4,5) MeV, mc =

(1,0 – 1,4) GeV e mt = (169,2 – 179,4) GeV. Para os de carga -1/3 temos md = (5,0 – 8,5) MeV, ms =

(80 – 155) MeV e mb = (4,0 – 4,5) GeV [7]. Note na tabela 1 que o valor da massa do quark top que

estamos ajustando é de aproximadamente 300 GeV (exceto para a quarta matriz) e não o valor dado pela experiência. Isto é porque os autores da referência [2] empregaram esse valor. Entretanto, o valor medido mencionado acima é valido apenas para o modelo padrão já que a experiência, nesse caso, é fortemente dependente do modelo. Portanto o valor de mt no modelo 3-3-1 não é, na verdade,

conhecido. No caso da quarta matriz da tabela 1, o melhor valor que conseguimos ajustar foi de 179,9 GeV, que está quase de acordo com o resultado experimental para o modelo padrão. As constantes de Yukawa devem estar no intervalo entre –3 e 3 aproximadamente (ver discussão sobre constantes de acoplamento na seção anterior). Dentro desse intervalo escolhemos os valores que melhor representam os dados experimentais.

Nossas conclusões são obtidas por inspeção das tabelas 1 e 2, sua comparação com os valores experimentais mencionados acima e com os resultados da referência [2]. Com relação às tabelas 1 e 2 é importante esclarecer ainda que as matrizes dos dois setores de carga devem satisfazer ao mesmo “ansatz”. Isto significa que a primeira matriz de massa da tabela 1 deve ser analisada em conjunto com a primeira matriz da tabela 2, a segunda matriz da tabela 1 junto com a segunda da tabela 2 e assim por diante.

Tabela 1: Autovalores e constantes de acoplamento encontrados para cada matriz de massa u, c, t.

Matrizes de

Massa u (GeV) Constantes de Acoplamento Autovalores (GeV) 12 21 22 33

0

0

0

0

0

G v

F u F u

F u

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

150 G12 = 0,5 F21 = -2,76956´10-3 F33 = 3,4´10-5 F22 = 2,009 1,35 300 5,1´10-3 13 22 31 33

0

0

0

0

0

G v

F u

F u

F u

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

150 G13 = -2,76956´10-3 F22 = 3,4´10-5 F33 = 2,009 F31 = 0,5 1,35 300 5,1´10-3 12 13 21 31 33

0

0

0

0

G v G v

F u

F u

F u

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

100 F21 = 1´10-6 F31 = -1,8 G13 = 0,01 F33 = 3 G12 = -0,32 1,349308315 298,6453372 5,354498182´10-3 12 21 23 32 33

0

0

0

0

G v

F u

F u

F u F u

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

224,76 F21 = 0,003 F32 = -0,8 F33 = -0,02 F23 = -0,005 G12 = 0,002 4,07´10-3 1,31 179,9

Continuação da Tabela 1. Matrizes de

Massa u (GeV) Constantes de Acoplamento Autovalores (GeV)

12 21 22 23 32 33

0

0

0

G v

F u F u F u

F u F u

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

150 G12 = 0,5 F21 = -0,0276956 F33 = 3,4´10-5 F22 = 2,009 F32 = 1´10-4 F33 = 1´10-4 1,349999955 300,0000000 0,5100002844´10-3 13 22 23 31 32 33

0

0

0

G v

F u F u

F u F u F u

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

150 G13 = -0,0276956 F22 = 3,4´10-5 F33 = 2,009 F31 = 0,5 F23 = 10-5 F32 = 10-3 1,349999955 300,0000000 5,100002844´10-3 12 21 22 23 31 33

0

0

0

G v

F u F u F u

F u

F u

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

150 F23 = 1´10-4 F31 = 1´10-4 G12 = 0,5 F21 = -0,0276956 F33 = 3,4´10-5 F22 = 2,009 1,349946098 299,9999995 5,154368741´10-3 12 13 21 23 31 32 33

0

0

G v G v

F u

F u

F u F u F u

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

100 F21 = 1´10-6 F31 = -1,8 G13 = 0,01 F33 = 3 G12 = -0,32 F23 = 10-7 F32 = 5´10-5 1,348984220 298,6453386 0,5677134443´10-3

Tabela 2: Autovalores e constantes de acoplamento encontrados para cada matriz de massa d, s e b. Matrizes de

Massa u (GeV) Constantes de Acoplamento Autovalores (GeV) 12 21 22 33

0

0

0

0

0

G u

F v F v

F v

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

%

%

%

%

150 -5 21 -5 33 22 12 -6,34263 10 4,56464 10 0,0280802 0,5 F F F G = ´ = ´ = = % % % % 5,3 8,9´10-3 0,175 13 22 31 33

0

0

0

0

0

G u

F v

F v

F v

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

%

%

%

%

150 -5 13 -5 22 33 31 -6,34263 10 4,56464 10 0,0280802 0,5 G F F F = ´ = ´ = = % % % % 5,3 8,9´10-3 0,175

Continuação da Tabela 2. Matrizes de

Massa u (GeV) Constantes de Acoplamento Autovalores (GeV)

12 13 21 31 33

0

0

0

0

G u G u

F v

F v

F v

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

%

%

%

%

%

100 -4 31 13 -4 21 -4 12 33 -4,336743 10 0,1003 10 -7,11044 10 0,02440161662 F G F G F = ´ = = = ´ = % % % % % 5,3 9,44986705´10-3 0,1750000730 12 21 23 32 33

0

0

0

0

G u

F v

F v

F v F v

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

%

%

%

%

%

100 12 23 33 21 32 0,003 -0,006 -0,043 0,00004 -0,008 G F F F F = = = = = % % % % % 0,0039 0,672 4,4 12 21 22 23 32 33

0

0

0

G u

F v F v F v

F v F v

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

%

%

%

%

%

%

150 -5 21 -5 33 22 12 -5 23 -5 32 -6,34263 10 4,56464 10 0,0280802 0,5 10 1 10 F F F G F F = ´ = ´ = = = = ´ % % % % % % 0,1749994989 5,299991420 8,900033057´10-3 13 22 23 31 32 33

0

0

0

G u

F v F v

F v F v F v

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

%

%

%

%

%

%

150 -5 13 -5 22 33 31 -5 23 -3 32 -6,34263 10 4,56464 10 0,0280802 0,5 10 10 G F F F F F = ´ = ´ = = = = % % % % % % 0,1749221275 5,300064978 0,8903846139´10-3 12 21 22 23 31 33

0

0

0

G u

F v F v F v

F v

F v

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

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%

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%

%

%

150 -5 21 -5 33 22 12 -6 23 -6 32 -6,34263 10 4,56464 10 0,0280802 0,5 10 1 10 F F F G F F = ´ = ´ = = = = ´ % % % % % % 0,1749969310 5,299990782 8,903238858´10-3 12 13 21 23 31 32 33

0

0

G u G u

F v

F v

F v F v

F v

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ö

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÷

ç

÷

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100 -4 12 23 33 -4 21 -4 32 -4 13 -5 31 - 4 10 -0,05 0,0245 1,338687512 10 3,793745508 10 10 10 G F F F F G F = ´ = = = ´ = ´ = = % % % % % % % 9,525640293´10-3 0,1749217582 5,300002544 3- CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS

Uma inspeção das tabelas 1 e 2 mostra então que com uma escolha conveniente de parâmetros, com todos os valores dentro de intervalos fisicamente razoáveis, indica que todos os “ansatz” encontrados na literatura para as matrizes de massa estão ainda de acordo com os valores experimentais das massas dos quarks quando aplicados ao modelo 3-3-1. Embora os cálculos da

referência [2] sejam mais cuidadosos que os nossos, a discrepância entre os resultados daqueles autores e os nossos é bastante grande: de acordo com os resultados deles apenas um dos “ansatz” de diagonalização, aquele em que os elementos (1,1), (1,3) e (3,1) se anulam, ainda está de acordo com os dados experimentais, enquanto nós obtivemos acordo com todas as formas de matriz de massa. Portanto podemos concluir que um estudo mais rigoroso das matrizes de massa do modelo 3-3-1, de acordo com os “ansatz” usuais, merece ser feito. Por causa do tamanho da discrepância entre os nossos resultados e os da referência [2], é praticamente certo que se fizermos um estudo deste problema via matrizes CKM, ainda encontraremos resultados diferentes daqueles da referência [2] pelo menos para alguns casos.

Neste trabalho as formas das matrizes de massa foram admitidas como “ansatz”. Entretanto, é possível reduzir o número de parâmetros dessas matrizes através da aplicação de simetrias discretas. Isso pode ser o caminho para justificar a forma dessas matrizes, mas isso será estudado na próxima etapa do trabalho.

AGRADECIMENTOS

M. C. S. agradece ao Professor e Orientador Mauro Donizeti Tonasse, ao Professor e Co-orientador Tobias Frederico, ao Professor da graduação Gilberto Petraconi Filho e aos demais alunos e orientados de iniciação científica, mestrado e doutorado por terem trabalhado comigo e colaborado nos mais diversos aspectos. Agradece também ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo incentivo sem o qual a realização deste trabalho não teria sido possível. M. D. T. agradeçe à FAPESP pelo suporte financeiro (processos no. 99/07956-3 e 99/02556-7).

REFERÊNCIAS

[1] Ver, por exemplo, Halzen, F. H. & Martin, A. D., Quarks & Leptons; 1984; John Wiley & Sons, Inc.

[2] Randhawa, M., Bhatnagar, V., Gill, P.S. & Gupta, M., Phys. Rev. D 60, 051301; 1999.

[3] Pisano, F. & Pleitez, V., Phys. Rev. D 46, 410; 1992; Frampton, P. H., Phys. Rev. Lett. 69, 2889; 1992.

[4] Ver, por exemplo, Boldrini, J. L. et al., Álgebra Linear; 1980; Harbra.

[5] Mohapatra, R. N. & Pal, P. B.; Massive Neutrinos in Physics and Astrophysics; 1998; World Scientific (Section 4.7).

[6] Griffiths, D., Introduction to Elementary Particles, 1987, John Willey & Sons Inc.; [7] Groom, D. E. et al. (Particle Data Group), Eur. Phys. J. C 15, 1; 2000.