EXPLORANDO TÓPICOS DA HISTÓRIA DA GEOMETRIA COM O CABRI-GÉOMÈTRE
Claudia Laus Ângelo UFT claudia@uft.edu.br
Introdução:
Nossa experiência com a disciplina História da Matemática, enquanto aluna de graduação, não foi muito satisfatória. Encontrávamos-nos com o professor da disciplina uma vez por semana e líamos alguns capítulos da primeira edição do livro História da
Matemática de Carl B. Boyer. Pouco discutíamos sobre os assuntos lidos, poucos
comentários eram feitos pelo professor e não há lembranças de termos feito sequer algumas anotações ou alguns “rabiscos” na tentativa de compreendermos melhor algumas das conjecturas matemáticas presentes no texto. Parecia haver um acordo implícito entre nós, alunos, e o professor de não questionarmos muito e de deixarmos o tempo passar rápido para podermos nos dedicar as outras disciplinas do curso.
Durante o curso de Mestrado, tivemos novamente a oportunidade de cursar a disciplina História da Matemática. O então professor da disciplina optou por aulas expositivas, excelentes por sinal, mas que muito pouco exigiam o defrontar com textos de história da Matemática e a compreensão e interpretação destes textos.
Quando nos foi apresentado o desafio de lecionar esta disciplina num curso de graduação em Matemática, em encontros semanais de duas horas-aula, percebemos o quanto a disciplina História da Matemática exige do professor, em termos de planejamento, de pesquisa e de estudo.
Foram quatro semestres trabalhando esta disciplina em quatro turmas diferentes, reformulando a cada semestre a proposta didático-pedagógica, procurando acatar algumas das sugestões dos alunos e tentando corrigir as experiências negativas. A carga horária total da disciplina era de 30 horas, o que já se apresentava como um fator complicador ao planejamento da mesma, devido à quantidade de conteúdos e o curto
espaço de tempo para exploração dos mesmos. As aulas expositivas, apesar de se constituírem numa metodologia eficaz quando nos propomos a cumprir rigorosamente o programa de uma disciplina, no caso da disciplina História da Matemática, muitas vezes tornam-se monótonas e não estimulam à curiosidade, o espírito de investigação e o contato com os textos dos autores. Procuramos, então, mesclar aulas expositivas com pesquisas de temas na internet, nos livros-texto, discussão de artigos, seminários, exibição de vídeos, estudos dirigidos etc.
A proposta da disciplina vinha sendo desenvolvida em conformidade com uma das sugestões propostas por Silva (2001) para implementação da História da Matemática em cursos de formação de professores:
Os cursos de História da Matemática muitas vezes são ministrados de forma muito expositiva, sem exercícios ou alguma iniciação em pesquisa. Seria interessante que as aulas dessa disciplina não fossem somente teóricas, mas que oportunizassem ao aluno realizar exercícios, participar de seminários, fazer pequenas investigações em torno de um tema de interesse, que tivessem um breve contato com algum tipo de fonte primária e pudessem redigir algum texto. (Silva, 2001: 160)
Mesmo assim, podemos afirmar que até então não encontramos uma linha satisfatória para condução da disciplina. Tivemos, sim, algumas experiências positivas durante o desenvolvimento dos planos de ensino-aprendizagem. Uma delas, refere-se à utilização do software Cabri-Géomètre para explorar tópicos de história da Geometria presentes no texto sobre Geometria, organizado por Howard Eves, da série Tópicos de
História da Matemática para uso em sala de aula. Esta experiência, descrita a seguir,
aconteceu no 2o semestre de 2002, com uma turma de 6o semestre.
Desenvolvimento da atividade:
A proposta de trabalho para a disciplina de História da Matemática no 2o semestre de 2002 foi elaborada e organizada de acordo com o seguinte cronograma:
1. Apresentação da disciplina, cronograma, avaliação, sorteio dos temas para pesquisa.
1) A matemática no mundo atual. 2) Bhaskara descobriu a “Fórmula de Bhaskara”?. 3) A trigonometria foi inventada para viabilizar aplicações na agrimensura?. 4) Os números complexos foram inventados para resolvermos as equações do 2º grau?. 5) O triângulo de Pascal é de Pascal?.6) A medida da terra por Erathostenes. 7) Início do estudo das probabilidades. 8) A denominação número primo.1
2. Pesquisa dos temas / Reunião por grupos. 3. Pesquisa dos temas / Reunião por grupos. 4. Apresentação dos grupos.
1 Todos estes temas são encontrados num site desenvolvido pela Universidade Federal do Rio Grande do
5. Apresentação dos grupos.
6. História do Cálculo: apresentação da professora. 7. Estudo dirigido 1: História dos Números e Numerais2 8. Seminário / Entrega do estudo dirigido 1.
9. Estudo dirigido 2: História da Computação. 10. Seminário / Entrega do estudo dirigido 2. 11. Estudo dirigido 3: História da Álgebra. 12. Seminário / Entrega do estudo dirigido 3. 13. Estudo dirigido 4: História da Geometria. 14. Seminário / Entrega do estudo dirigido 4.
15. Tópicos de história da Geometria com o software Cabri-Géomètre. 16. Tópicos de história da Geometria com o software Cabri-Géomètre.
O desenvolvimento da proposta ocorreu de maneira satisfatória. Os alunos participaram de maneira significativa das pesquisas, dos seminários, organizaram as apresentações com criatividade e aproveitaram bem os momentos de reunião por grupos para esclarecimento de dúvidas e para os questionamentos à professora. No entanto, esbarramos novamente com a questão do tempo que sempre foi um impeditivo para explorarmos mais profundamente os assuntos estudados.
De todas as atividades desenvolvidas, as que os alunos manifestaram maior participação foram as referentes aos itens 15 e 16 do cronograma acima, apesar de terem acontecido já no final do semestre.
Os alunos receberam um roteiro de estudo e foram executando passo a passo os itens do roteiro, com o software Cabri-Géomètre. Estas atividades aconteceram no Laboratório de Informática da Universidade.
O roteiro iniciava com a apresentação da barra de ferramentas do Cabri:
Continha também algumas explicações básicas de como utilizar as ferramentas, pois alguns alunos ainda não haviam tido contato com o Cabri. Na seqüência, iniciava o estudo dos tópicos selecionados:
11 10 9 8 7 5 6 4 3 2 1 1. Ponteiro 7. Macro
2. Pontos 8. Verificar propriedade 3. Retas 9. Medir
4. Curvas 10. Exibir 5. Construir 11. Desenhar 6. Transformar
2 Para os estudos dirigidos, foram elaboradas questões para serem pesquisadas nos livros da série Tópicos
1. Explorando um dos teoremas do Livro I dos Elementos de Euclides:
A proposição XXXVII dos Elementos de Euclides diz o seguinte: Os triângulos,
que estão postos sobre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, são iguais.
1) Selecione a opção “Reta” da caixa 3. Dê dois “cliques” na tela de desenho e você obterá uma reta
2) Com a opção “Rótulo” da caixa 10, clique sobre a reta e aparecerá uma caixa de ta.
da reta r. Você vai obter uma reta paralela à reta r.
4) 3. Dê dois cliques na reta r e um clique na
5)
lo.
você pode
. O Círculo de nove pontos
.
Vamos verificar esta proposição.
texto. Digite r para nomear esta re
3) Selecione “Reta Paralela” na caixa 5. Dê um clique na reta r e outro clique num ponto qualquer acima
Utilizando os mesmos procedimentos do item 2, nomeie esta outra reta por s. Agora selecione “Triângulo” na caixa
reta s (que não coincida com aquele ponto que já aparece na reta s).
Selecione “Área” na caixa 9 e aproxime o cursor do triângulo. Quando aparecer a pergunta “Este triângulo”, você clica e o programa lhe dará a área do triângu 6) Selecione a opção “Ponteiro” da caixa 1 e aproxime do vértice do triângulo que
está sobre a reta s. Vai aparecer uma mãozinha. Isto significa que
movimentar aquele ponto. Faça isto. Movimente o vértice do triângulo sobre a reta s. A área dos triângulos que você obtém permanece a mesma?___________ Por quê?_________________________________________________________
2 :
O teorema, conhecido como “teorema do círculo de nove pontos”, foi descoberto por Charles J. Brianchon e Jean Victor Poncelet, que publicaram sua demonstração num
bos. Este teorema diz o seguinte: artigo de 1822, assinado por am
A circunferência que passa pelos pés das perpendiculares, baixadas dos vértices de desses lados assim como pelos pontos médios dos segmentos que ligam os vértices ao ponto de intersecção das perpendiculares [ortocentro]. (Retz, 19
qualquer triângulo sobre os lados opostos a eles, passa também pelos pontos médios 92: 68)
Pode-se provar também que o centro do círculo de nove pontos é o ponto médio do segmento de
ortocentro (p
Vamos, então, construir uma circunferência de nove pontos com o Cabri: 1)
e sobre o ponto A e sobre o lado
er o ponto denominado “pé” da perpendicular baixada
4) mentos 2) e 3), para encontrar o pé da perpendicular baixada
5) , BC e AC do
6) caixa 2, clique sobre duas das
7)
to O, para obter o ponto H (ponto médio do segmento AO).
terminado pelo circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes) e o onto de encontro das alturas) do triângulo.
Com a opção “Triângulo” da caixa 3, construa um triângulo qualquer e nomeie os vértices por A, B e C.
2) Selecione “Reta Perpendicular” na caixa 5, cliqu BC do triângulo.
3) Com a opção “Pontos de Intersecção” da caixa 2, clique no lado BC e na reta perpendicular. Vai aparec
do vértice A ao lado BC do triângulo. Nomeie este ponto por D. Repita os procedi
do vértice B ao lado AC e o pé da perpendicular baixada do vértice C ao lado AB. Nomeie-os, respectivamente, por E e F.
Selecione “Ponto Médio” na caixa 5 e clique sobre os lados AB
triângulo. Nomeie estes pontos médios dos lados, respectivamente, por M, N e P.
Com a opção “Pontos de Intersecção” da perpendiculares para obter o ponto O (ortocentro).
Agora, utilizando novamente “Ponto Médio” da caixa 5, clique no ponto A e no pon
8) Crie também os pontos I e J, pontos médios dos segmentos BO e CO, respectivamente.
Pergunta: Quais são os pontos que pertencem ao círculo de nove pontos?__________________________________________________________
10) circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes), utilize a
to de intersecção K das mediatrizes.
9) Com a opção “Cor” da caixa 11, pinte estes pontos de azul. Para determinar o
opção “Mediatriz” da caixa 5 e clique sobre os lados do triângulo. Note que as mediatrizes passam perpendicularmente pelos pontos médios M, N e P.
12) Agora, obtenha o ponto médio do segmento OK e nomeie-o por L. O ponto L é o centro da circunferência de nove pontos.
Com a opção “Circunferência” da caixa 4, clique no ponto L e em qual
13) quer um
dos nove pontos, algum procedimento foi feito errado.
14) ize “Esconder/Mostrar” da caixa 11 e
15)
3. História dos termos elipse, hipérbole e parábola
dos nove pontos. Você obterá a circunferência de nove pontos. Caso ela não passe por algum
Verifique.
Para visualizar melhor a sua figura, util clique sobre todas as retas para escondê-las. Utilize “Ponteiro” para movimentar o triângulo.
:
pela pr aplicação de áreas”. No decorrer de
um gura construída era mais curta,
o que um dado segmento. Essas três condições eram designadas por elleipsis, “falta”; hyperbole, “excesso”; e parabole, “compa
rrendo de calor.
bolas a seus discípu
eiro utilizou estas denominações para as cônicas
brica da geometria analítica. Ele pensava assim:
Sejam A o vértice de uma cônica, AB o eixo principal da cônica, P um ponto genérico da cônica e Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AB. Por A traça-se a
te igual a ele ou (Bowsher, 1992: 61)
Pitágoras (c. 540 a.C.), ou membros de sua comunidade, usaram esses termos imeira vez com relação ao método chamado “
a solução ocorria uma das três situações: a base da fi ou era mais comprida ou ainda de mesmo compriment
ração”. Mas os pitagóricos não usavam estes termos em relação às secções cônicas.
Veja que na Gramática estes termos têm significados semelhantes:
Elipse: É a omissão de palavras que podem ficar facilmente subentendidas. Ex:
Toda a cidade parada por causa do calor.
Hipérbole: Consiste no exagero proposital de seres, qualidades ou fatos. Ex:
Estou mo
Parábola: É uma comparação sob medida. Cristo falou em pará
los.
Foi Apolônio (c. 225 a.C.) quem prim
. Todo o trabalho de Apolônio foi apresentado sob forma geométrica regular, sem ajuda da notação algé
perpendicular a AB e sobre esta reta marca-se a distância AR igual ao (...) comprimento da corda que passa por um foco da cônica e que é perpendicular ao eixo principal.
Agora aplica-se ao segmento AR um retângulo de área (PQ)2, sendo AQ um dos seus
lados. Conforme a aplicação fique aquém do segmento AR, seja exatamen o exceda, Apolônio chamou a cônica de elipse, parábola ou hipérbole.
Vamos tentar entender esta construção de Apolônio, mas antes vamos aprender a construir um
3.1. Con
1) Com a
de desenho. Nom ie as extremidades do segmento por A e B.
2) Com a opção “Reta Perpendicular” da caixa 5, clique no segmento AB e no ponto A.
3) Selecione “Circunferência” na caixa 4, clique no ponto A e no ponto B. 4) Marque o ponto D, de intersecção da circunferência com a reta perpendicular. 5) Selecione “Reta Paralela” na caixa 5 e clique no segmento AB e no ponto D. 6) Selecione “Reta Perpendicular” na caixa 5 e clique no segmento AB e no ponto B.
7) Marque o ponto C, de intersecção das retas construídas nos itens 5) e 6). 8) Selecione “Polígono” na caixa 3 e clique sobre os pontos A, B, C, D e A. 9) Esconda as retas e a circunferência.
10) Selecione “Área” na caixa 9 e aproxime o cursor do quadrado até aparecer “Este Polígono”. Então dê um clique e aparecerá a área do quadrado que você construiu.
3.2. Construção de um retângulo, dada a base e com a área equivalente a do quadrado construído:
1) Crie um segmento qualquer EF, utilizando “Segmento” na caixa 3.
2) Construa retas perpendiculares ao segmento EF, passando pelos pontos E e F. 3) Construa uma reta paralela ao segmento EF, passando por um ponto de uma das retas perpendiculares.
4) Marque os pontos de intersecção da reta paralela com as perpendiculares. Nomeie-os por G e H.
5) Crie o polígono (retângulo) de vértices EFGHE. 6) Meça a área deste retângulo.
7) Movimente a reta GH, até que a área do retângulo coincida (ou mais se aproxime) com a área do quadrado construído no item 3.1..
retângulo cuja base seja dada e que tenha a mesma área de um quadrado.
strução de um quadrado, dado um lado:
opção “Segmento” da caixa 3, dê um clique, solte e dê outro clique na tela e
3.3. Trabalhando com a elipse:
2) Marque um ponto P qualquer sobre a elipse (de preferência que não fique “sobre” o foco).
3) Construa uma reta perpendicular a AB, passando por P.
4) Marque o ponto de intersecção da reta perpendicular com a reta AB e nomeie-o por Q.
5) Construa uma reta perpendicular a AB, passando por F2.
6) Marque os pontos de intersecção desta reta perpendicular com a elipse. Nomeie-os por C e D.
7) Construa o segmento CD.
8) Construa outra reta perpendicular ao segmento AB, passando por A.
9) Selecione a opção “Compasso” da caixa 5. Dê um clique no segmento CD e no ponto A.
10) Marque o ponto de intersecção da circunferência com a reta perpendicular que passa pelo ponto A, acima do ponto A. Nomeie-o por R. O segmento AR possui a mesma medida do segmento CD.
11) Esconda a circunferência
12) Utilizando os procedimentos do item 3.1., construa um quadrado no qual um dos lados seja o segmento PQ.
13) Utilizando “Preencher” na caixa 11, escolha uma cor e clique sobre o quadrado para pintá-lo.
14) Meça a área deste quadrado.
15) Utilizando os procedimentos do item 3.2., construa um retângulo no qual um dos lados seja o segmento AQ e cuja área seja a mesma (ou muito próxima) a do
1) Abra o arquivo “Elipse limpa”. Você vai visualizar uma elipse, com eixo principal AB e focos F1 e F2.3
3 Os passos para construção da elipse limpa, assim como da hipérbole e da parábola, podem ser obtidos
qua o outro lado deve ser menor do que o segmento AR
16) Pin nte da do quadrado.
r do retângulo é maior do que o segmento A1R, como
afir
drado. De acordo com Apolônio, .
te o retângulo de uma cor difere 17) Sua figura deve ficar parecida com esta:
3.4. Trabalhando com a hipérbole:
1) Abra o arquivo “Hipérbole limpa”.
2) Repita todos os procedimentos do item anterior e sua figura ficará parecida com a que segue. Note que o lado maio
3.5. Trabalhando com a parábola:
) Repita todos os procedimentos do item 3.3. Sua figura ficará como a que segue. Perceba que o lado maior do retângulo é do mesmo tamanho do segmento AR.
O software Cabri-Géom ito eficaz na exploração dos
picos de Geom
rincipalm uito
enosa, ou talvez nem
A proposta de utilizar um
onsiderarmos a questão do tem dois encontros) para desenvolver
queles tópicos. No entanto as e
onjecturas, construíssem ètre, para
xplorar e buscar a compreensão dos mesmos. 1) Abra o arquivo “Parábola limpa”.
2
Conclusões:
ètre foi uma ferramenta mu
etria citados, pois a compreensão das conjecturas envolvidas, ente as relacionadas ao Círculo de Nove Pontos e às Cônicas, teria sido m
ocorresse, sem a utilização dos recursos do Cabri.
roteiro para guiar as construções foi significativa se po (4 horas-aula em
, o ideal seria que os próprios alunos, a partir dos teorem seus próprios caminhos, com auxílio do Cabri-Géom tó p p c a c e
Muitos alunos manifestaram verbalmente a satisfação em terem participado dos
doi nfatizando terem sido as melhores aulas do
sem
No entanto, com s, ainda vemos a possibilidade
e aperfeiçoarm ática, procurando
catar algum ente as que se
ferem Filosofia e o professor de História da
atemá uturo professor a aquisição
/ou discussão de mé utilizar a História da Matemática em sala
e aula.
Referências Bibliográficas:
ONGIOVANNI, V. et al. : caderno de atividades. São
aulo: FTD, 1997.
OWSHER, L. E. História dos term
eometria
atemática para Uso em
ETZ, M. O círculo de nov . São Paulo: Atual, 1992.
.68-69. (Coleção Tópicos Sala de Aula)
ILVA, C. M. S. da. A His ação de professores.
:____. ultifacetada. Porto
legre: EDIPUCRS, 2001.
s últimos encontros da disciplina, e estre.
o professores reflexivos que somo
os o trabalho com a disciplina História da Matem as das sugestões dadas por Silva(2001: 160), principalm à cooperação entre o professor de
tica e à introdução de artigos que possibilitem ao f todos e técnicas de como
d a re M e d
Palavras Chaves: História da Matemática, Geometria, Cabri-Géometrè.
B Descobrindo o cabri-géomètre
os elipse, hipérbole e parábola. . In: EVES, H. . São Paulo: Atual, 1992. p.60-62. (Coleção Tópicos de História da
Sala de Aula)
e pontos. In:EVES, H. Geometria de História da Matemática para Uso em tória da Matemática e os cursos de form
Formação de professores de Matemática: uma visão m
cap. 5, p.129-165. P B G M R p S In A
