UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA
Análises de Sistemas
Ciências Contábeis
Engenharia de Produção
2011/1
Material de apoio para o
desenvolvimento da disciplina
Nas sentenças matemáticas, os verbos são normalmente representados pelos símbolos
=, ≠, >, ≥, <, ≤.
Toda sentença matemática que representa uma igualdade e na qual existem uma ou mais letras que se referem a números desconhecidos dessa sentença é denominada equação.
Cada letra que se refere a um número desconhecido chama-se incógnita ou variável.
São exemplos de equações: a) 2x + 1 = 19
b) x − y = 20
c) 5m2 + 2 = 2m − 18
d)
2 x 40 5
x 2
= +
e) y3
− 2y2 + y + 10 = 0
f) 2x =32
g) 32t+1 + 5.3t = 2
h) log (x2
+1) − logx = log 2
Em uma igualdade, a expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da igualdade e a expressão matemática situada à direita do símbolo = é
denominada 2º membro da igualdade.
No conjunto dos números reais, uma igualdade apresenta as seguintes propriedades:
1. Propriedade reflexiva: a = a, para qualquer a.
2. Propriedade simétrica: Se a = b, então b = a, para quaisquer a e b.
3. Propriedade transitiva: Se a = b e b = c, então a = c para quaisquer a, b e c.
Os princípios de equivalência de uma igualdade, descritos a seguir, serão muito úteis na resolução de equações.
Princípio aditivo: adicionando um mesmo número nos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade, ou seja:
Se a = b , então a + c = b + c, para qualquer c.
Princípio multiplicativo: multiplicando os dois membros de uma igualdade por um mesmo número, diferente de zero, obtemos uma nova igualdade, ou seja:
Se a = b, então a.c = b.c, com c≠0.
Denominamos equação do 1º grau toda equação que puder ser simplificada até a forma ax = b, onde x é a incógnita e a ∈ R* e b ∈ R.
Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, dentro de um conjunto universo,
significa determinar a solução ou raiz dessa equação, caso exista.
Exemplo: Determine a raiz da equação 9x − 7 = 5x + 13.
Solução: 9x − 5x = 13 + 7
4x = 20 x =
4 20
x = 5
S = {5}
! "# $ %& '" (
1. Resolva as equações:
a) 3(x+3)−1=2 b) 3(x+2)=2(x−7)
c) 3(x+1)+2=5+2(x−1) d) 2(x−1)+3(x+1)=4(x+2)
e) 2(2x+3)+5(x+1)=8−3(x−1) f) 3−7(1−2x)=5−(x+9)
g) x−3(4−x)=7x−(1−x) h) 5(2x+1)+3=7(x+3)−11
i) 2(2x −1) − 6(1−2x) = 2(4x−5) j) 12
3 2 x 2
3 x
= + + +
k)
30 29 3
x 11 5
3 x 2
= − − −
l)
30 19 x 17 5 18
5 x 13 12
11 x
7 −
− = − − +
m)
16 x 13 7 24
x 2 1 4
x 21 1 9
1 x
1− − + − = − − − n)
5 2 5
x 3 3 1 2 x
− = +
2. Reparta R$ 560,00 entre três pessoas, de modo que a primeira receba R$ 70,00 a mais do que a segunda e esta receba R$ 50,00 a mais do que a terceira.
3. A soma de três números naturais é 404. O segundo número supera o primeiro em 18 unidades e o terceiro supera o segundo em 29 unidades. Qual é o menor dos três números?
4. Reparta 57 em três parcelas de modo que a primeira seja igual a 1/3 da segunda e esta seja igual a 1/5 da terceira.
5. Em uma oficina mecânica cuja folha de pagamento é de R$12.000,00 existem 3 mecânicos, 2 ajudantes, 2 eletricistas e 2 vigilantes. As pessoas que trabalham em funções iguais recebem salários iguais. Um mecânico ganha mensalmente R$ 900,00 a mais do que um eletricista. Um ajudante recebe tanto quanto um vigia e este recebe R$ 150,00 menos do que um eletricista. Qual é o salário mensal de um mecânico?
6. Um campeonato de surf no Havaí oferece 12.000 dólares aos três primeiros colocados. O segundo colocado ganha 1.000 dólares a mais que o terceiro. O primeiro colocado ganha o dobro do segundo. Qual o prêmio de cada um?
8. Para comprar um tênis preciso ter R$ 40,00 a mais do que tenho. Mas se eu tivesse o triplo do que tenho, compraria esse tênis e ainda me sobrariam R$ 70,00. Quanto eu tenho? Qual é o preço do tênis?
9. Uma calça custa R$ 23,00 a mais que uma camiseta. Comprando 3 camisetas e 2 calças, o gasto total é R$ 106,00. Qual é o preço de cada peça?
10. João possui uma loja de eletrônicos. Fazendo um levantamento do seu estoque verificou que
5
3 dos computadores foram importados da China, 4
1 dos computadores foram
importados dos USA e 45 são brasileiros. Quantos computadores a loja do João tem em estoque?
11. José tem uma pequena empresa que possui clientes em várias localidades. Fazendo um levantamento de todos os seus clientes ele verificou que
4 3
dos clientes são de Goiânia,
5
1 dos clientes são do interior do Estado de Goiás e 40 clientes são de outros Estados.
Quantos clientes têm a empresa do José?
" ( )
*
+
%,
Toda equação que pode ser reduzida a uma equivalente da forma ax + by = c, com
a,b ∈ R e a ≠ 0, b ≠ 0, denomina-se equação do 1° grau com duas incógnitas.
Uma equação do 1° grau com duas incógnitas tem infinitas soluções.
Cada solução da equação é um par ordenado de números: o primeiro número representa sempre o valor da incógnita x, o segundo representa sempre o valor da incógnita y. Essa ordem precisa ser respeitada e por isso damos o nome de par ordenado. Indica-se: (x, y).
Um sistema de equações do 1° grau é constituído por duas ou mais equações do 1° grau com duas ou mais incógnitas, onde a solução de uma equação deve satisfazer às outras equações.
Existem métodos algébricos que nos permitem calcular o par ordenado (x, y) que é a solução de um sistema. Para as equações do 1° grau com duas equações e duas incógnitas: x e y, estudaremos três métodos: o da substituição, o da comparação e o da adição.
Independentemente da escolha do método de resolução de um sistema, o conjunto solução deve ser o mesmo.
Vejamos um exemplo. Seja o sistema:
= +
= +
34 2y x 4
10 y x
) b (
) a (
)-+
. + +
/
Isola-se uma incógnita em uma das equações e substitui-se na outra equação. Por exemplo, isolemos x da equação (a):
x = 10 − y (c)
substituindo (c) em (b):
4(10 − y) + 2y = 34 40 − 4y + 2y = 34 − 4y + 2y = 34 − 40
− 2y = − 6 2y = 6 y =
2
6 y = 3 (d)
Agora, substituindo (d) em (c):
x = 10 − y x = 10 − 3 x = 7
Então S = {(7, 3)}.
)-+
/
Isola-se uma das incógnitas nas duas equações e comparam-se seus valores. Por exemplo, isolemos a variável x nas duas equações:
De (a) temos:
x = 10 − y (c)
De (b) temos:
4 y 2 34
Comparando (c) e (d) obtemos: 4 y 2 34 y
10− = − 40−4y=34−2y −4y+2y=34−40 −2y=−6
2y = 6 2 6
y= y = 3
Substituindo o resultado acima em (c) ou (d), teremos: x = 10 − 3 x = 7
Então S = {(7, 3)}.
)-+
/
Este método consiste em adicionar as equações convenientemente, de tal forma a trabalharmos somente com uma das incógnitas. Para isto temos, por exemplo, de multiplicarmos a equação (a) por –2, de tal forma que:
14 x 2 34 y 2 x 4 20 y 2 x 2 = = + − = − − + 2 14
x = x = 7
Substituindo x = 7 em (a):
7 + y = 10 y = 10 − 7 y = 3
Logo: S = {(7, 3)}.
! "# $ 0& '" (
1. Resolva os sistemas a seguir e coloque a resposta na forma: S = {(x, y)}.
a) = + = − 8 y 2 x 3 1 y x b) − = + = + 8 y 5 x 3 0 y 3 x c) = − = − 4 y x 6 y 3 x 2 d) = − = + 2 y 3 x 5 5 y 2 x 3 e) = + = + 2 y 8 x 4 3 y 4 x 2 f) = − = + 1 y 8 x 3 3 y 4 x 2 g) = + = + 1300 y 300 x 200 800 y 200 x 100 h) = − = + 2 y 5 x 2 7 y 3 x 5 i) = + + = + 4 y x 5 y 2 ) 1 x ( 4 j) = + + = + x 2 y x 4 y 2 x 3 k) + = + = + 13 x y x 3 7 y 2 x l) = − = 42 y 5 x 3 2 y x m) − = − = y 3 7 x 1 x 2 y
n) −
s)
= −
= +
11 y 9 x 4
5 y 3 x 2
t)
= + −
= +
6 y 2 x
4 y 3 x
u)
= +
= −
5 , 3 y 3 , 0 x
8 , 5 y x 4 , 0
2. A soma das idades de um casal de noivos é 56 anos. Sabe-se que a idade do noivo é igual a dois quintos da idade da noiva, calcule a idade de cada um.
3. Um livro de matemática tem 260 páginas. A parte da álgebra é o triplo da de geometria e a parte da aritmética tem 20 páginas menos que a de álgebra. Quantas páginas têm a parte dedicada à geometria?
4. Num balanço feito em uma papelaria foram relacionados canetas e cadernos perfazendo um total de 500 objetos e 700 reais. Sabendo-se que cada caneta custa 1 real e que cada caderno custa 2 reais, quantas canetas e quantos cadernos foram relacionados neste balanço?
5. Um professor tem um sistema curioso para dar notas nas provas. O aluno ganha 5 pontos a cada resposta certa e perde 3 a cada resposta errada. Pedro obteve 52 pontos numa prova de 20 questões. Quantas ele acertou?
6. O perímetro de um retângulo é 72 cm. Sabendo que o lado maior é o dobro do lado menor, encontre as medidas dos lados do retângulo.
7. Num quintal, temos porcos e galinhas num total de 88 cabeças e 250 pés. Quantas galinhas e quantos porcos há no quintal?
8. Numa sala estão presentes argentinos e brasileiros. Metade dos argentinos e 1/3 dos brasileiros somam 22 pessoas. A quarta parte dos argentinos e 1/5 dos brasileiros somam 12 pessoas. Quantos são os argentinos e quantos são os brasileiros?
9. A diferença entre dois números é 315. Sabendo que o maior é oito vezes o menor, calcule estes números.
10. A soma de dois números é 595. O maior dividido pelo menor dá o quociente 8 com resto 10. Quais são estes números?
11. Dois números são tais que multiplicando-se o maior por 5 e o menor por 6 os produtos são iguais. O menor, aumentado de 1 unidade, fica igual ao maior, diminuído de 2 unidades. Quais são estes números?
12. Um grupo de amigos pretende fazer uma excursão e, para isso, dispõe de certo número de carros. Sabe-se que, se cada carro levasse apenas 4 pessoas, 3 delas deixariam de ir à excursão; entretanto, se fossem 5 pessoas em cada carro, um deles deixaria de ser usado. Qual o número de pessoas do grupo?
"1
Inequação é a desigualdade algébrica que se verifica somente para determinados valores das suas incógnitas. Esses valores recebem o nome de raízes ou soluções da inequação.
Chamamos de desigualdade algébrica a indicação que exprime a condição para que a expressão algébrica seja maior ou menor que a outra, quando se atribui valores às letras nelas contidas.
2 3
1. Somando-se ou subtraindo-se aos dois membros de uma desigualdade uma mesma quantidade, a desigualdade não muda de sentido:
"Se a > b, somando-se m a ambos os membros, temos: a + m > b + m."
2. Multiplicando-se ou dividindo-se os dois membros de uma desigualdade por uma mesma quantidade positiva, a desigualdade não muda de sentido:
"Se a > b, multiplicando-se m>0 a ambos os membros, temos a.m > b.m."
3. Multiplicando-se ou dividindo-se os dois membros de uma desigualdade por uma mesma quantidade negativa, a desigualdade muda de sentido.
"Se a > b, multiplicando-se m<0 a ambos os membros, temos a.m < b.m."
"
2
As desigualdades ax+b>0, ax+b≥0, ax+b<0 e ax+b≤0 com a≠0 são denominadas
inequações do 1º grau. Observe a resolução de alguns exemplos:
Exemplos:
a) 7x + 2 > 65
7x > 65 − 2
7x > 63
x > 7 63
x > 9
S = {x ∈ R | x > 9}
b) 2 + 5(x − 1) < 6x
2 + 5x − 5 < 6x
5x − 6x < 5 −2 − x < 3 (−1)
x > −3
S = {x ∈ R | x > −3}
c)
2 1 3
2 x 4
1 x
≤ − − +
12 6 12
2) 4(x 1) 3(x
≤ − − +
3x + 3 − 4x + 8 ≤ 6
− x ≤ 6 − 3 − 8 − x ≤− 5 x ≥ 5
! "# $ 4& '" (
1. Resolva as inequações:
a) 2x+1≤x−2 b) 5−3x>7−11x
c) 3(x−1)+2≥5(x+1)−3(x−2) d)
3 1 ) x 5 ( 4 ) 1 x 2 (
2 − − − ≤
e) 6 x 5 1 3 x 2 3 2 4 x − ≥ − − + −
f) )
2 7 x ( 7 2 ) 1 x 2 ( 5 1 ) 2 x ( 4 1 − > − − + g) 4 3 x 5 2 x x 2 1 x 3 x − − − ≤ + − + h) 14 x 2 7 3 x 11 2 7 7 1 x 3 2 1 − − − + < + − i) 3 1 5 x 1 2 x − >
+ j) 5
2 3 x 6 3 2 x 6 < − − −
k) 3−x ≤−1+x l) 2(x+3)<−2(3x+1)
m) 3(x−3)>2(2x−7)−5(1−x) n)
6 x 3 x 2 x − > + o) 10 ) 1 x ( 7 2 ) 2 x ( 3 5 ) x 1 ( 3 3 ) 1 x ( 2 + − − − < − − − p) 10 1 4 3 x 5 2 x 3 1 x − + − > + + + − q) 9 x 2 7 3 x 4 1 4 1 x 3 2 3 x 2 4 5 − + − − − − +
≥ r) 5(3−x)−3(7−x)≥4−(x−13)
s) 0
2 1 x 6 5 1 x 3 > + − + t) 2 1 3 2 x 4 1 x ≤ − − +
2. Resolva as inequações simultâneas a) −2 < 3x −1 < 4
b) −4 < 4 − 2x ≤ 3
c) −3 < 3x − 2 < x
d) x + 1 ≤ 7 − 3x <
2 x
− 1
e) 3x + 4 < 5 < 6 −2
3. Qual o maior número natural ímpar que satisfaz a condição: “a soma de um número natural com o dobro do seu consecutivo é menor que 36”.
4. O triplo de um número real somado com 2 é maior do que o dobro desse número menos 3. Quais os possíveis valores para esse número?
5. João possui um terreno de 1.000 m2, no qual pretende construir uma casa. Ao
engenheiro responsável pela planta, ele impôs as seguintes condições: a área destinada ao lazer (piscina, churrasqueira, etc.) deve ter 200 m2, e a área interna da casa mais a
área de lazer devem ultrapassar 50 % da área total do terreno; além disso , o custo para construir a casa deverá ser de, no máximo, R$ 200.000,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual a área interna da casa que o engenheiro poderá projetar?
6. Dividindo-se a massa M, em kg, de uma pessoa pela segunda potência de sua altura h, em metros, obtém-se um valor I, chamado de índice de massa corporal (IMC), isto é:
2
h M I=
A tabela a seguir mostra a classificação de uma pessoa adulta como magra, normal, levemente obesa ou obesa de acordo com o seu índice de massa corporal:
Homem Mulher Classificação
I < 20 I < 19 Magra
20 I 25 19 I 24 Normal
25 < I 30 24 < I 29 Levemente obesa
I > 30 I > 29 Obesa
5 1
*#
") " #
#
Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Consideremos um conjunto A com dois elementos, m e n. A ordem em que os elementos são representados não distingue conjuntos ou seja A = {m, n} = {n, m}.
Porém, em Matemática existem situações, onde há necessidade de distinguir, entre dois elementos dados, qual é o primeiro e qual é o segundo.
Por exemplo, no sistema de equações
= −
= +
1 y x
3 y x
, x = 2 e y = 1 é solução do sistema, ao
passo que x = 1 e y = 2 não é solução.
Se representássemos a solução por um conjunto teríamos: {2, 1} seria solução e {1, 2} não seria solução. Há uma contradição, pois sendo {2, 1} = {1, 2}, o mesmo conjunto é e não é solução.
Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado (2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incógnita x e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita y.
Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo.
Retornando ao conjunto A, com m e n podemos formar dois pares ordenados (m, n) e (n, m), considerados distintos, onde em (m, n) m é o primeiro elemento e n é o segundo, e em (n, m) n é o primeiro elemento e m é o segundo.
Em geral, tratando-se de pares ordenados (m; n) e (x; y), resulta que: (m, n) = (x, y) se, e somente se, m = x e n = y
Portanto;
(
)
=3 21 , 4 7
,
2 mas (1, 3) ≠ (3, 1).
+
+
# + 2
Seja
α
α
α
α
, abaixo, o plano determinado por dois eixos perpendiculares entre si com a mesma origem 0.O eixo desenhado na posição horizontal é denominado eixo das abscissas, em geral indicado por 0x.
O eixo desenhado na posição vertical é denominado eixo das ordenadas, em geral indicado por 0y.
α
α
α
α
é chamado de plano cartesiano ortogonal.-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
y
D
E
B
F
G
C
A
Dado um ponto P qualquer em
α
α
α
α
:xp é a coordenada de P em 0x; e é única;
yp é a coordenada de P em 0y; e é única.
Qualquer que seja P∈αααα, existe um único par ordenado de valores reais indicado por
(xp, yp) onde xp é a abscissa de P e yp é a ordenada de P.
A cada par ordenado de números reais corresponde um único ponto no sistema cartesiano.
O plano cartesiano fica dividido em quatro regiões distintas, denominadas quadrantes, como mostra a figura acima.
A figura ao lado mostramos um exemplo da localização de pares ordenados no sistema cartesiano:
A(3, 4), B(−5, −3),
C(2, 0), D(0, 5), E(−4, 0),
F(0, −5);
G(3, −4)
5
/
Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. De maneira geral, uma função é uma lei a qual para cada elemento x em um conjunto A faz corresponder exatamente um elemento f(x) em um conjunto B.
A maioria dos livros representa uma função através da notação: f: A → B
Esta notação mostra que a função consta de três partes:
• A é um conjunto (chamado de domínio da função)
• B também é um conjunto (que pode ou não ser igual a A, chamado de contra-domínio da função)
1º quadrante
4º quadrante 3º quadrante
2ºquadrante y p
x p P
0
α α α α
• f é uma lei que associa elementos do conjunto A ao conjunto B, satisfazendo a seguinte condição: Para todo x pertencente ao domínio A, a função f: A → B
sempre associa a ele um único elemento f(x) do contra-domínio B.
O número real y é o valor da função f no ponto x e se escreve y = f(x).
Quando A e B são conjuntos numéricos, mais propriamente, subconjuntos de números reais é comum utilizarmos o sistema cartesiano ortogonal para representar a função f.
O gráfico da função f é o conjunto de pares ordenados (x, f(x)), sendo um subconjunto de AxB.
5
/
Analisemos o seguinte exemplo:
O preço de uma corrida de táxi usualmente se compõe de uma quantia proporcional ao número de quilômetros rodados e de uma quantia fixa (“bandeirada”).
Se a tarifa é de R$ 1,00 por km rodado e a bandeirada é de R$2,00, o preço de um percurso de 10 km é R$ 2,00 + 10 × R$ 1,00 = R$ 12,00.
Para cada distância x percorrida pelo táxi, o preço p(x) da corrida é uma função de x: p(x) = 2 + 1.x
Essa função é caso particular da função polinomial do 1º grau, ou função afim, que estudaremos a seguir.
Dados os números reais a e b, sendo a ≠ 0, podemos considerar a função que a todo
número real x faz corresponder o número real y = ax +b: f: R→ R,
x f(x) = ax+ b (∀ x ∈ R)
Esta função é denominada função polinomial do 10 grau (ou também função afim), onde a e b são chamados coeficientes da função e são números reais. O gráfico é uma reta (por isso dizemos que f(x) é uma equação de reta) não paralela a nenhum dos eixos coordenados.
x• •y=f(x)
f
Exemplo 1:
Esboçar o gráfico da função f(x) = 2x+1,
onde a = 2 e b = 1
Solução: Atribuindo alguns valores para x
para x = −1, y = f(-1) =2.(-1)+1=−1
para x = 0, y = f(0) = 2.0 + 1 = 1 para x = 1, y = f(1) = 2.1 + 1 = 3 para x = 2, y = f(2) = 2.2 + 1 = 5
Trace a reta "ligando" os pontos.
Observando o gráfico acima notamos que, da esquerda para a direita, enquanto os valores de x vão aumentando, em correspondência também vão aumentando os valores de y.
Por isso, dizemos que essa função é crescente.
Exemplo 2:
Esboçar o gráfico da função f(x) = −2x+3,
onde a = −2 e b=3
Solução: Atribuindo alguns valores para x:
para x = −1, y = f(-1)= −2.(-1)+3=5
para x = 0, y = f(0) = −2.0+3 = 3
para x = 1, y = f(1) = −2.1+3 = 1
para x = 2, y = f(2)= −2.2+3 = −1
Trace a reta "ligando" os pontos.
No gráfico acima notamos que, da esquerda para a direita, enquanto os valores de x vão aumentando, em correspondência vão diminuindo as ordenadas y dos pontos do gráfico.
Por isso, dizemos que essa função é decrescente.
Ou seja:
• f(x) écrescentequando o coeficiente a for maior que zero (a > 0).
• f(x) é decrescente quando o coeficiente a for menor que zero (a<0).
* +
/
/
+
6
*
+
Observe, através do exemplo a seguir, como determinar a equação da reta y = ax+b
conhecendo pois pontos que pertencem a essa reta.
Dados os pontos A(−2, −2) e B(2, 6), vamos traçar o gráfico da reta que passa por eles e
encontrar a equação dessa reta (função do primeiro grau).
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
x y
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
Vamos primeiro esboçar o gráfico.
Uma vez esboçado o gráfico devemos determinar a função que representa a reta que passa por este dois pontos. Para tanto precisamos encontrar os coeficientes a e b da função.
O procedimento é o seguinte: Substitui-se as coordenadas dos pontos na equação geral da reta, ou seja: y = a . x + b
A(−2, −2) −2 = a .( −2) + b
B( 2, 6) 6 = a . 2 + b
Deste modo obtemos o sistema de duas equações com duas incógnitas:
= +
− = + −
6 b a 2
2 b a 2
cuja solução tem a=2 e b =2.
Logo a função será: y =2x+2.
* +
/
+
+
*
+
Dadas as funções y = –2x – 7 e y = 4x + 5 pede-se:
a) esboçar os gráficos das duas funções no mesmo sistema cartesiano; b) determinar as coordenadas do ponto em comum entre eles.
Vamos, primeiro, esboçar o gráfico de cada função:
• y = –2x – 7
para x=–1, y=–2.(–1)–7=5, então temos o ponto (–1, 5);
para x=1, y=–2.(1)–7=–9, então temos o ponto (1, –9).
• y = 4x + 5
para x=–1, y=4.(–1)+5=1, daí temos o ponto (–1, 1);
para x=1, y=4.(1)+5=9, daí temos o ponto (1, 9).
Uma vez que desenhamos o gráfico de cada função no mesmo sistema cartesiano, como mostra a figura acima, devemos então encontrar as coordenadas do ponto em comum PC(xp, yp) que pertencem às duas equações de reta, ou seja, às duas funções.
Para isto resolveremos um sistema com as duas equações de reta:
+ =
− − =
5 x 4 y
7 x 2 y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x y
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
ponto comum (xp, yp)
Utilizando o método da comparação:
4x + 5 = −2x –7 4x + 2x = −7 – 5 6x = −12 x = −2;
Substituindo em y = −2x –7 y = −3
Portanto o ponto em comum entre as funções acima é PC (−2, −3).
7
5
/
Denominamos raiz (ou zero) de uma função f a qualquer valor de x para o qual se tem f(x) = y = 0.
No caso da função afim temos: f(x) = 0 ⇔ ax+b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x =
a b
− .
Logo, a raiz de y = ax + b é o número
a b
− .
Exemplo: Determinar a raiz da função y = 2x+1.
Solução: A raiz da função acima será dada por: 0 = 2x + 1
2 1
x=− . Ou seja a raiz da
função é a abscissa do ponto com coordenadas − , 0
2 1
.
! "# $ 8 & '" (
1. Dada a função f(x) = 3x – 2:
a)
Calcule f(0).b)
Calcule f(2).c)
Esboce o gráfico da função.2. Dada a função f(x) = 4 – 2x:
a)
Calcule f(−1).b)
Calcule f(2).c)
Esboce o gráfico da função.3. Dada a função f(x) = x − 4:
a) Esboce o gráfico da função.
b) Para valores de x compreendidos entre 0 e 6, determine os valores de f(x). c) Para valores de x ≥ 0 determine os possíveis valores para f(x).
d) Para quais valores de x tem-se f(x) ≥ 0.
4. Dada a função f(x) = 2x − 1:
a) Esboce o gráfico da função.
b) Para valores de x compreendidos entre 0 e 3, determine os valores de f(x). c) Para valores de x ≥ 0 determine os possíveis valores para f(x).
5. Representar graficamente as funções do 1º grau dadas abaixo, destacando no gráfico o zero da função:
a) f(x)=2x−4 b) y=10−2x c) f(x)=−4x
d)
2 1 x
y= + e)
2 3 2 x ) x (
f = + f)
2 1 x y= −
6. A equação reduzida de uma reta é y = 2 x
+ 2. Pede-se:
a) Determinar a interseção com o eixo x.
b) Encontrar o ponto de interseção com o eixo y. c) Esboçar o gráfico da reta.
7. A equação reduzida de uma reta é y = x – 5. Pede-se: a) Determinar a interseção com o eixo x.
b) Encontrar o ponto de interseção com o eixo y. c) Esboçar o gráfico da reta.
8. Dadas as equações das retas abaixo, identifique em cada uma delas o coeficiente angular, especifique se a reta é crescente, decrescente ou constante e represente-as graficamente:
a) y = 3x – 2 b) y = −4x + 3 c) y = 1
d) 3x – 9y – 1 = 0 e) y =
2 3 x 2 −
f) x+y=16
g) y = 2 x 3 4− h) 2 x + 3 y
=1 i) 6
4 2 y x− − =
j) 2x−3y=6 k) 1
3 y 5 x 2 = −
l) 5
3 y 2 x = + m) 3 2 x 2 3 y + = −
n) 6
4 2 y
x− − = o) 2x + 4y + 7 = 0
9. Entre os pontos A(2, 2), B(−3, −2), C(5, 4), D(−7, −5) e D(12, 10), quais pertencem a
reta 4x – 5y + 2 = 0 ?
10. Escrever a equação da reta que contém o ponto P e o coeficiente angular “a”:
a) = = 3 a 0) (0, P b) = − = 5 a 1) 2, ( P c) − = = 1 a 8) (8, P d) − = = 2 a 4) (8, P e) = = 2 a 20) (0, P f) = = 2 1 a 5) (3, P g) − = = 5 1 a 5) (0, P h) = = 0 a 4) (1, P i) = − = 2 3 a 4 3 , 2 1 P
11. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (−2,1) e tem coeficiente linear igual a
4.
12. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto 2 5 ,
2 e tem coeficiente linear igual a
13. Escrever a equação da reta que contém os pontos: a) = = ) 4 , 2 ( P ) 0 , 0 ( P 2
1 b)
= = ) 3 , 8 ( P ) 3 , 0 ( P 2
1 c)
= = ) 1 , 8 ( P ) 10 , 2 ( P 2 1 d) = = ) 7 , 2 ( P ) 3 , 0 ( P 2
1 e)
= = ) 17 , 3 ( P ) 12 , 2 ( P 2 1 f) − = − = 17) , 3 ( P ) 12 , 2 ( P 2 1 g) − = = ) 3 , 0 ( P ) 0 , 2 ( P 2
1 h)
= = ) 6 , 2 ( P 4 , 2 3 P 2 1 i) − = = ) 2 3 , 2 ( P 1 , 2 1 P 2 1
14. Se a reta de equação 3x + 7y + 5 = 0 passa pelo ponto P(−2, k), qual é o valor de k?
15. Representar num mesmo plano cartesiano as retas dadas no sistema e encontrar o ponto comum graficamente e analiticamente:
a) = + = x 3 y 5 x 2 y b) + = − − = 2 x y 1 x 3 y c) = − = + 1 y x 14 y x 2 d) = + = y 2 3 x 3 y x e) − = − = 4 x y 8 x 6 y f) − = = x y x y g) = − = + 1 y x 5 y x h) = + − = − 8 y 3 x 2 14 y 2 x 3 i) = + = − 10 y 4 x 7 9 y 5 x 2 j) = + = + 4 y 7 x 6 2 y 5 x 4 k) = + = + 3 y 4 x 2 1 y 2 x l) = − = + 0 y 2 x 3 0 y 5 x 2
16. Dadas as funções f(x) = ax + 4 e g(x) = αx + 1, calcule a e α de modo que os gráficos
das funções se interceptem no ponto (1, 6).
17. Para que valores do domínio da função de R em R definida por f(x) = 2
1 x 3 −
a imagem
é menor que 4?
18. Para que valores de x ∈ R a função f(x) =
3 2 − 2 x é negativa?
19. Sabendo-se que a quantia paga pelo consumo de energia elétrica é dada por y=mx+p,
onde: fixa parcela : p (kwh) hora -quilowatt do preço : m reais em montante : y consumidos hora -quilowatt de número : x
Pede-se no caso em que 3 2
m= e p = 2:
a) O gráfico da função.
b) O número de kwh consumidos sabendo que a conta apresentada foi de 420 reais.
em reais a ser pago, R$ 0,34 é o preço do quilowatt-hora (kwh) e R$ 2,00 é uma parcela fixa. Determine número de kwh consumidos sabendo que a conta apresentada foi de R$ 137,40.
21. Em uma determinada cidade uma empresa de táxis pequenos cobra a seguinte tarifa: R$ 2,00 pela bandeirada e R$ 2,00 por km rodado. Uma outra empresa cobra R$ 3,00 por km rodado mas não cobra a bandeirada. Fazer os gráficos das duas funções num mesmo sistema cartesiano e determinar a quantidade de km rodados para que o consumidor pague o mesmo preço a ambas as empresas. Qual das empresas de taxi é mais vantajosa para o consumidor? Justifique sua resposta.
22. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. Expressar a função que representa seu salário mensal, calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu 10.000 reais em produtos.
23. Para produzir um número x de peças de artesanato um grupo de estudantes calculam o custo de produção y da seguinte maneira: um gasto fixo de R$ 200,00 e, em material, um gasto de R$ 5,00 na produção de cada peça.
a) Escreva a equação que representa o custo y para produzir x peças deste artesanato e, além disso calcule o custo para produzir 50 peças.
b) Sabendo que estes estudantes venderão cada unidade produzida por R$ 25,00, quantas unidades eles terão de vender para obterem um lucro de R$ 500,00? (Lembre-se que o lucro é a receita menos o custo de produção)
24. Quando a quantidade x de artigos que uma companhia vende aumenta de 200 para 300, o custo de produção y diminui de R$100,00 para R$80,00. Determine a variação média de custo representada pela declividade da reta que passa por esses dois pontos.
25. Um grupo de senhoras de certa comunidade dedicadas à confecção de x unidades de produtos de artesanato calculam o custo de produção C da seguinte maneira: um gasto fixo de R$ 105,00 e, em material, um gasto de R$ 0,80 por unidade produzida. Elas calculam a receita R sabendo que cada unidade será vendida por R$ 5,00.
a) Quantas unidades essas senhoras terão de vender para atingir o ponto de equilíbrio (ou seja, quando C = R)?
b) Sabendo-se que o lucro L é a receita R menos o custo de produção C, quantas unidades elas terão de vender para obterem um lucro de R$ 630,00?
26. Suponha-se que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função f(x) =
x 150
x 300
− . Se o número de funcionários necessários para distribuir, em
um dia, as contas de luz for 75, qual será a porcentagem de moradores que as receberam?
"1
#* (#
"1
# " 1(
5
/
%, 2
Seja a função f: A → B definida por y = f(x). Determinar o sinal da função f é responder para
que valores de x temos f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0, isto é, estudar o sinal de y = f(x) para
cartesiano, basta examinar se a ordenada de cada ponto da curva é positiva, nula ou negativa.
No caso da função afim f(x) = ax + b, considerando que x =
a b
− é o valor de x para o qual
f(x) = 0, examinemos, então para que valores ocorre f(x) > 0 ou f(x) < 0.
Devemos considerar dois casos:
1º caso: Quando a >>>> 0: 2º caso: Quando a <<<< 0:
"
/
+
É toda desigualdade que pode ser escrita nas formas abaixo:
f(x) ⋅ g(x) > 0, f(x) ⋅ g(x) ≥ 0, f(x) ⋅ g(x) < 0 ou f(x) ⋅ g(x) ≤ 0
"
/
+
É toda desigualdade que pode ser escrita nas formas abaixo:
0 ) x ( g
) x ( f
> , 0
) x ( g
) x ( f
≥ , 0
) x ( g
) x ( f
< ou 0
) x ( g
) x ( f
≤
/
+
+
O modo de se resolver estes tipos de inequações é o mesmo, já que a “regra dos sinais” na multiplicação e na divisão é a mesma. Tal modo pode ser descrito assim:
• Faz-se o estudo do sinal de cada uma das funções envolvidas no produto ou no quociente;
• Compara-se o estudo desses sinais em cada um dos intervalos dos números reais, fazendo-se, por exemplo, o quadro de sinais;
• Usa-se a “regra dos sinais” para determinar o sinal da função que será o produto/ quociente de cada uma das funções envolvidas.
• • • •a
b
−
− −− − +
+ + +
x
• • • • a b
−
− − − −
+ + + +
Exemplo: Resolver a inequação (2x+6)(–3x+12) > 0
Resolver esta inequação consiste em encontrar os valores de x de modo que o resultado da multiplicação dos dois fatores seja positivo. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função.
Determinando a raiz da função (y=0) e a posição da reta (a>0 crescente e a<0 decrescente).
f(x) = 2x+6 2x+6=0 2x=–6 x=–3
g(x) = –3x+12 –3x+12=0 –3x = –12 x=4
Verificando o sinal da inequação produto (2x+6)(–3x+12)>0. Observe que a inequação
produto exige a seguinte condição: os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo.
Através do esquema que demonstra os sinais da inequação produto f(x)⋅g(x)>0, podemos
chegar à seguinte conclusão quanto aos valores de x: x ∈ R / –3 < x < 4.
! "# $ 9& '" (
1. Construa o gráfico da função f(x) = 5
1 x 2 −
e responda:
a) Para quais valores de x a função está definida. b) Para quais valores de x tem-se f(x) = 0.
c) Para quais valores de x tem-se f(x) > 0.
d) Para quais valores de x tem-se f(x) < 0
2. Construa o gráfico da função f(x) = 4
x 3 2−
e responda:
a) Para quais valores de x a função está definida. b) Para quais valores de x tem-se f(x) = 0.
c) Para quais valores de x tem-se f(x) > 0.
d) Para quais valores de x tem-se f(x) < 0
f(x)
g(x)
3. Resolva as inequações, em R: a) (3x+3)(5x−3) > 0
b) (4−2x)(5+2x) < 0
c) (3−2x)(4x+1)(5x+3) ≥ 0
d) 0
2 x
1 x 2
> +
+
e) 0
x 2 3
2 x 3
< −
−
f) 0
x 4
) x 4 3 )( x 2 1 (
> −
+ −
g) 0
) x 3 )( x 5 (
x 2 1
≤ − −
−
h) 5
3 x
x 6
< +
i) 2
1 x 2
5 x 4
≥ − −
j) 3
x 1
2 x 3
− ≤ −
−
k) 1
2 x 3
x 3 4
− < + − −
l) 1
4 x 3
3 x 5
− > − −
4. Resolva as inequações, em R:
a) (1 − 7x)5 ≥ 0 b) (4 + 3x)4≤ 0 c) (x − 3)4 > 0
5 1
*#
1*#
Dados os números reais a, b e c, sendo a
≠
0, podemos considerar a função que a todo número real x faz corresponder o número real ax2 +bx+c, ou seja:f: R → R,
x f(x) =ax2+bx+c.
Esta função é denominada função polinomial do segundo grau ou também função quadrática.
Exemplos:
• y = 2x2 , a = 2, b = 0, c = 0.
•
2 1 x 3 x
y= − 2 − + , a = −1, b = −3, c =
2 1.
• y=3x2 −2, a = 3, b = 0, c = −2. • y=−2x2 +2x, a = −2, b = 2, c = 0.
+
/
:;
5
/
0
<A curva que representa graficamente a função do 20 grau y = ax2 +bx +c é denominada
parábola.
A parábola representativa da função quadrática y = ax2+bx+c pode ter a concavidade voltada para "cima" ou voltada para "baixo".
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima.
Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.
Exemplo 1: Como primeiro exemplo de parábola construiremos o gráfico de y=x2 −4x+3 atribuindo alguns valores a x:
para x = 0, y = (0)2 – 4(0) + 3 = 3 (0, 3)
para x = 1, y = (1)2 – 4(1) + 3 = 0 (1, 0)
para x = 2, y = (2)2 – 4(2) +3 =
−1 (2, −1)
para x = 3, y = (3)2 – 4(3) + 3 = 0 (3, 0)
para x = 4, y = (4)2 – 4(4) + 3 = 3 (4, 3)
Observe que a parábola y=x2 −4x+3 tem concavidade voltada para cima. A curva é simétrica em relação à reta S assinalada na figura.
O ponto V onde o eixo de simetria S corta a curva é denominado vértice da parábola.
0 2 4
0 2 4
S
V
parábola côncava para cima
y
x
A construção do gráfico da função do 20 grau com o auxílio de uma tabela de valores x e y,
como foi feito no exemplo acima, torna-se as vezes um trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a x alguns valores inteiros e pode acontecer que os valores de x onde a parábola intercepta o eixo das abcissas ou o vértice da parábola não sejam inteiros.
O ponto V, chamado vértice da parábola, tem coordenadas que vamos indicar por (xV, yV).
Na parábola y =x2 −4x+3 do exemplo 1, vimos que V(2, −1).
Quando vamos desenhar uma parábola é importante que fique bem claro qual é o vértice da mesma. Por isso, é interessante que saibamos previamente determinar o vértice.
Dada a função do 2º grau y=ax2 +bx+c, podemos encontrar o vértice aplicando a fórmula:
Abscissa do vértice:
a 2
b
xv = − e Ordenada do vértice:
a 4 yv = −∆
Ou, de outra forma, se conhecemos
a 2
b
xv = − , podemos determinar yV fazendo uma
substituição na equação yV =axv2 +bxv +c.
Observe que:
• Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e yV é o valor mínimo
de y =ax2+bx+c.
• Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e yV é o valor máximo de
y =ax2+bx+c.
Para construir uma parábola no plano cartesiano, devemos seguir um certo roteiro: 1) Determinamos as coordenadas do vértice: V(xV, yV).
2) Organizamos uma tabela atribuindo à variável x alguns valores menores e outros maiores que xV.
3) Marcamos os pontos (x, y) no plano cartesiano. 4) Unindo esses pontos, construímos a parábola.
Exemplo 2: Vamos construir o gráfico da função quadrática y x2 2x 2
− + −
= , utilizando o
roteiro acima:
1) Determinamos as coordenadas do vértice: V Primeiro encontramos
a 2
b
xv = −
) 1 ( 2
2 xv
− ⋅ −
= =
2 2
− −
= 1 e depois substituímos xv = 1
na equação inicial y =−x2 +2x−2 para encontrar yv =−12 +2⋅1−2=−1 + 2 − 2=−1.
2) Organizamos uma tabela atribuindo à variável x alguns valores menores e outros maiores que xV.
para x=−1, y=−(−1)2+2(−1)−2=−5 (−1, −5)
para x = 0, y=−(0)2+2(0)− 2 = −2 (0, −2)
para x =2, y =−(2)2+2(2)− 2 = −2 (2, −2)
para x =3, y =−(3)2 +2(3)−2 = −5 (3, −5)
3) Marcamos os pontos (x,y) no plano cartesiano.
4) Unindo esses pontos, construímos a parábola.
Exemplo 3: Construir o gráfico da função
3 x 2 x
y 2
+ + −
= .
Calculemos as coordenadas do vértice da função:
1 2 2 ) 1 ( 2
) 2 ( a 2
b
xv =
− − = − ⋅
+ − = −
= e
yV = −12 +2.1+3 = −1 + 2 + 3 = 4.
Logo, o vértice da função y=−x2+2x+3 é o
ponto V(1, 4).
Outro pontos:
para x=−1, y = − (−1)2+2(−1)+3=0 (−1, 0)
para x = 0, y =− (0)2 + 2(0)+3=3 (0, 3)
para x = 2, y =− (2)2 + 2(2)+3=3 (2, 3)
para x = 3, y =− (3)2 + 2(3)+3=0 (3, 0)
Marcando os pontos obtidos no plano cartesiano e unindo esses pontos, construímos a parábola.
-2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3 4
Figura 3
x y
V
S
-2 -1 0 1 2 3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
parábola côncava para baixo
Figura 2
S
v
y
Exemplo 4: y x2 4x 4
+ − =
Calculemos as coordenadas do vértice da função: 2 2 4 1 2 ) 4 ( a 2 b
xv = =
⋅ − − = −
= e
yV = 22− 4.2 +4 = 4 −8 + 4 = 0.
Logo, o vértice da função 4
x 4 x
y= 2− + é o ponto V(2, 0).
Outros pontos:
para x = 0, y = (0)2 -4(0)+4=4 (0, 4)
para x = 1, y = (1)2 -4(1)+4=1 (1, 1)
para x = 3, y = (3)2 -4(3)+4=1 (3, 1)
para x = 4, y = (4)2 -4(4)+4=4 (4, 4)
7
5
/
0,
A raiz de uma função é o ponto onde ela corta o eixo x, ou seja, um ponto onde f(x)=y=0. Então, para obtermos as raízes de uma função quadrática f(x)=ax2 +bx+c, devemos fazer f(x) = 0 e resolver a equação do segundo grau ax2 +bx+c=0, usando a fórmula de
Bháskara:
a . 2 b
x = − ± ∆ , onde ∆ =b2 −4ac é o discriminante da equação.
Logo, para uma função f(x)=ax2 +bx+c, de domínio R e de coeficientes reais, observa-se que:
• se ∆>0, então a função tem duas raízes reais e distintas (ou seja, a parábola “corta” o eixo x em dois pontos distintos, ver figuras 1 e 3);
• se ∆ =0, então a função tem duas raízes reais e iguais (ou seja, a parábola ”toca” o eixo x, porém sem “cortá-lo”, ver figura 4);
• se ∆<0, então a função não tem raízes reais (ou seja, a parábola “não toca” o eixo x, ver figura 2).
Exemplo 5:
Achar os pontos de interseção do gráfico da função y=x2−4x+3 com o eixo x.
Fazendo y =0, obtemos x2 −4x+3=0. Calculando o discriminante:
(
4)
4 1 3 16 12 4c a 4
b2 − ⋅ ⋅ = − 2 − ⋅ ⋅ = − = =
∆ ,
ou seja ∆ >0, portanto teremos duas raízes reais e desiguais, que são:
(
)
= = − = = = + = ± = ⋅ ± − − = ∆ ± − = 1 2 2 2 2 4 x 3 2 6 2 2 4 x 2 2 4 1 2 4 4 a 2 b x 2 1-1 0 1 2 3 4 5
Assim, as raízes são R1 = (3, 0) e R2 = (1, 0), o que está de acordo com os pontos obtidos
na figura 1, na página 23.
Exemplo 6: Encontrar os zeros da função do 2º grau y =−x2 +2x−2.
Fazendo y =0, obtemos −x2 +2x−2=0. Calculando ∆:
( )
2 4( ) (
1 2)
4 8 4c a 4
b2 − ⋅ ⋅ = 2 − ⋅ − ⋅ − = − =− =
∆ ,
ou seja ∆<0, portanto não temos raízes reais, o que está de acordo com a figura 2 do exemplo 2, página 25.
):=
)
5
/
0,
Já observamos anteriormente que na função y=ax2 +bx+c,
• quando a > 0, o gráfico é uma parábola de concavidade para cima; • quando a < 0, o gráfico é uma parábola de concavidade para baixo.
Observe no exemplo 1 que a = 1, portanto a > 0, e a parábola é côncava para cima o que faz com que a parábola tenha um ponto de mínimo, sendo este ponto dado pela coordenada y do vértice da parábola.
As parábolas das figuras 1 e 4, nas páginas 23 e 26, respectivamente, são bons exemplos de funções quadráticas que possuem ponto de mínimo.
No exemplo 2 temos a = −1, portanto a < 0 e a parábola é côncava para baixo, ou seja, a
parábola tem um ponto de máximo, sendo este ponto dado pela coordenada y do vértice.
Como exemplos observe as parábolas das figuras 2 e 3, na página 25, respectivamente.
" +
/
:;
5
/
%,
:;
5
/
0,
Em algumas situações nos deparamos com a necessidade de representarmos graficamente, num mesmo sistema cartesiano, tanto o gráfico de uma função do primeiro grau quanto o de uma função do segundo grau.
Exemplo: Esboçar, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos de y = x2
+2x e de y = x+2,
e obter os pontos comuns a eles.
Solução: Devemos esboçar o gráfico de cada uma das funções.
Comecemos então pela função do 10 grau. Para este gráfico bastam dois pontos: • y = x + 2
para x =1, y = 1 + 2 = 3 (1, 3)
Agora, a função do 20 grau • y = x2 + 2x
1º) Encontramos o vértice da parábola: 1 1 2
2 a 2
b
xv =−
⋅ − = −
= e yV=(−1)2+2(−1)= −1,
ou seja, V(−1, −1).
2º) Determinamos os zeros da função: para y=0 x2 + 2x=0 x=0 ou x= −2,
Ou seja, os pontos (0, 0) e (−2, 0), são raízes da função.
3º) Marcamos mais alguns pontos: para x = −3 y = (−3)2+2.(−3) = 3
para x = 2 y = (2)2 + 2.(2) = 8
Agora, vamos obter as coordenadas dos pontos comuns aos gráficos de y=x2
+2x e y=x+2,
resolvendo o sistema:
+ =
+ =
2 x y
x 2 x
y 2 .
Podemos resolver este sistema pelo método da comparação, ou seja: 2
x x 2
x2 + = + x2 +2x−x−2=0 x2 +x−2=0
de modo que temos uma equação do segundo grau a ser resolvida, onde a=1, b=1 e c=−2.
Então: ∆=b2−4⋅a⋅c=12 −4⋅1⋅
(
−2)
=1+8=9.Como ∆ >0, teremos duas raízes reais, o que implica que as funções do sistema acima terão dois pontos em comum.
Determinemos então as coordenadas destes pontos:
1 2
9 1 a
2 b x
⋅ ± − = ⋅
∆ ± − =
− = − = − − =
= = + − = ±
− =
2 2
4 2
3 1 x
1 2 2 2
3 1 x 2
3 1
2 1
Devemos agora encontrar a coordenada y de cada ponto, substituindo x1 e x2 em
alguma das equações do sistema, por exemplo na equação y = x+2:
• para x1=1 temos y1=1+2=3 P1=(1, 3) • para x2=−2 temos y2=0 P2=(−2, 0)
Portanto os pontos comuns às duas funções são: P1=(−2, 0) e P2=(1, 3).
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 5
ponto comum P
1ponto comum P
2 y = x + 2y = x2 + 2x
y
! "# $ >& '" (
1. Dada a função: y = x2
− 6x + 5, pede-se:
a) os pontos em que seu gráfico corta o eixo x; b) o ponto em que seu gráfico corta o eixo y; c) as coordenadas do vértice de seu gráfico; d) o gráfico da função.
2. Esboçar o gráfico cartesiano de cada uma das funções abaixo: a) y = x2
− 2x − 8 b) y = 2x2+ 5x − 2 c) y = − x2
d) y = 2x2 e) y = x2
+ 1 f) y = − x2+ 4x − 2
g) y = −x2+ 4x h) y = 2x2 – 4x + 3
3. Esboçar, em um mesmo sistema cartesiano, os gráficos de cada uma das equações dos sistemas abaixo, destacando os pontos em comum entre as funções dadas.
a)
− =
+ =
2
x x 6 y
2 x 3 y
b)
+ =
+ − =
x 4 2 y
14 x
y 2
c)
= − =
x y
2 x
y 2 d)
− =
+ − =
x 7 y
14 x 9 x
y 2
4. Determinar “m” para que a função:
a) y = (10 −5m)x2+ 4x + 3, tenha valor mínimo;
b) y = (9m + 3)x2− x + 1, tenha valor máximo.
5. Dada a função y = x2
− 6x + m, determine o valor de m sabendo-se que o gráfico da
função tem ponto de mínimo cujas coordenadas são (3, −1).
6. Determine m de modo que a função quadrática f(x) = (m−1)x2+ 2mx +m+2 tenha
valores positivos para todo x real.
7. Determine m de modo que o valor máximo da função quadrática f(x) = mx2+ (m−1)x +m+2 seja 2.
8. Para que valores de k a equação 2kx2
+ kx + 1 = 0 possui duas raízes reais e iguais?
9. Determine p de modo que a equação 2px2
+ 2x – 3 = 0 tenha raízes reais e distintas.
10. O vértice da parábola y = x2
+ bx + c é o ponto (−3,1). Calcule b e c.
11. Sabe-se que a parábola y = x2
+ bx + 2b passa pelo ponto (1,7). Qual é o valor de b?
12. Dada a função y = ax2
+bx+10 calcule a e b sabendo que suas raízes são –2 e 5.
13. Determine a função linear f(x) = ax + b que é representada por uma reta que contém o ponto (2, −1) e que passa pelo vértice da parábola y = 4x – 2x2.
14. Suponha que o custo C para produzir x unidades de certo produto seja dado por: C = 2x2
− 400x + 100.000. Nestas condições obtenha:
15. Uma fábrica pode vender x milhares de unidades mensais de um determinado artigo por
2
x x 120
V= − reais. Sendo o custo de produção C=x2+4x+10, determine o número
de artigos a vender para maximizar o lucro L=V−C.
16. A receita R de uma empresa que produz um certo bem de consumo é o produto do preço de venda y pela quantidade vendida x daquele bem de consumo. Suponha que o preço y varie de acordo com x segundo a equação y = 100 − 2x. Qual é a quantidade a
ser vendida para que a receita seja máxima?
17. O lucro mensal de uma empresa é dado por L = −x2 + 30x – 5, onde x é a quantidade
mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível?
18. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado por L(q) = R(q) –C(q), onde L é o lucro total, R a receita total e C o custo total da produção. Pede-se, numa empresa onde R(q) = 80q – q2 e C(q) = q2 + 20q +40 (q é a quantidade produzida):
a) o nível de produção q para que o lucro seja máximo; b) o valor do lucro máximo.
19. O dono de uma marcenaria, que fabrica um certo tipo de armário, sabe que o número de armários N que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria, e essa dependência é dada pela função N(x) = x2
+2x. Qual é
o número de empregados necessários para fabricar 168 armários em um mês?
20. O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por C=2510–100n+n2. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo
mínimo?
21. O lucro L de uma determinada empresa é dado pela relação L=R–C, onde R e C representam, respectivamente, receita e custo. Sabendo que R e C dependem da produção p, segundo as leis R(p) = 1000p – p2 e C(p) = p2 + 40p + 300, determine:
a) a lei que expressa L(p);
b) a produção para a qual o lucro é máximo c) o lucro máximo
d) o lucro obtido para uma produção de 300 unidades.
22. O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 100(10−x)(x−2), onde x é a quantidade
vendida. Determine o valor de x para que o lucro seja máximo e determine os valores de x para que exista lucro.
23. A receita mensal (em reais) de uma empresa é R = 20.000p – p2, onde p é o preço de
venda de cada unidade (0≤p≤10)
a) Qual o preço p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$ 50.000,00? b) Para que valores de p a receita é inferior a R$ 37.500,00?
24. (UC-MG- adaptado) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças é dado por L(x)=100(10−x)(x−4). O lucro máximo por dia é obtido com a venda de n peças e o valor
do lucro correspondente é t. Calcule os valores de n e t.
25. Um corpo lançado a partir do solo descreve uma parábola de equação y = 100x − 2x2
(x e y em metros). Determine o alcance do lançamento e a altura máxima atingida.
26. (PUC-SP) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por
16 x 64 x
y=− 2 + , com uma unidade representando um quilômetro. Ache a altura máxima
27. Um terreno retangular tem 300 m2 de área e 74 metros de perímetro. Determine quais as
dimensões desse terreno.
"1
*# 0,
5
/
0, 2
O estudo do sinal da função do 2º grau y = ax2
+bx+c é feito determinando-se os seus zeros
(caso existam) e analisando o esboço do gráfico.
Temos os seguintes casos:
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
Assim, para a>0 :
∆ > 0 (2 raízes: x1 e x2) y > 0 para x < x1 e para x > x2 e y < 0 para x1<x<x2. ∆ = 0 (1 raiz) y > 0 para todos x ≠ raiz.
∆ < 0 (nenhuma raiz) y > 0 para todo x.
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
Ou seja, para a<0 :
∆ > 0 (2 raízes: x1 e x2) f(x) <0 para x< x1 e x> x2 e f(x) > 0 para x1<x<x2 ∆ = 0 (1 raiz) f(x) < 0 para todos x ≠ raiz.
∆ < 0 (nenhuma raiz) f(x) < 0 para todo x.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Exemplo: Estude a variação de sinal da função 3x2
− 4x + 1.
a) Zeros da função: 3 1
e 1.
b) A parábola corta o eixo x nos pontos de abscissas 3
1 e 1. Como a=3>0, sua concavidade
está voltada para cima.
Examinando a figura, temos: y > 0, para x <
3 1
ou x > 1;
y = 0, para x = 3
1 ou x = 1;
y < 0, para 3 1
< x < 1.
"
0, 2
A partir do estudo dos sinais da função do 2º grau, podemos resolver inequações do mesmo grau ou inequações que apresentem produtos ou quocientes de trinômios de 2º grau. Tais inequações podem também apresentar binômios de 1º grau, já estudados.
Exemplo: Resolver a inequação (−x2+3x+4)(x–2) < 0.
Solução: Essa é uma inequação produto em que um dos fatores é um trinômio de 2º grau e o outro é um binômio de 1º grau.
Fazendo o quadro de sinais:
Portanto, os valores de x tais que (−x2+3x+4)(x–2) < 0, são −1 < x < 2 ou x > 4.
Ou seja, S = { x ∈ R / −1 < x < 2 ou x > 4}.
sinais de f(x) − + + −
sinais de g(x) − − + +
sinais de f(x)⋅⋅⋅⋅g(x) ++++ −−−− ++++ −−−−
− − −
−1 2 4
− −−
! "# $ ?& '" (
1. Dados f(x)=x2
+x e g(x)=x+9, determine os valores reais de x para que se tenha f(x)≥g(x).
2. Resolva a inequação x 1 2
x 3 x
− ≤ − −
3. Determine o conjunto solução das inequações.
a) (−x2 – x + 12)(1 – x2) < 0 b) 4
1 x
x2
<
−
c) 1
1 x
1
x ≤
−
− d) 0
2 x
2 x 3 x 2 2
≤ −
− + −
e) (x2 – 2x + 8) (x2 – 5x + 6) (x2 – 16)< 0 f)
(
x 1)
(
x 7x 10)
05 x 6 x
2 2
≥ + − +
+ −
4. Calcule o domínio das funções:
a) y = −x2 +2x+3 b) f(x) =
(
1−x)
(
x2 +2x−8)
c) f(x) =4 2x 2 1
25 x
− −
5 1
#1 1 " "
=
Equações como 2x =16, 2x2−x =4, 275−x =9−x, que apresentam incógnita no
expoente, são usualmente denominadas equações exponenciais.
Além das propriedades das potências, é muito usada na resolução de equações exponenciais a seguinte propriedade:
2 1 x
x a
a = ⇔ x1 = x2 (para a>0 e a≠1)
Em geral, devemos transformar as equações exponenciais em igualdade de potências de mesma base.
Exemplo 1: Resolva a equação 3x =243.
Observe que 243 = 3.3.3.3.3 = 35. Logo, 3x =243 3x =35 x = 5.
S = {5}.
Exemplo 2: Resolva a equação (2x)x =(4x)3. Utilizando as propriedades de potências:
3 x x x) (4 )
2
( = 2x2 =43x 2x2 =(22)3x 2x2 =26x
Logo, x2 = 6x x2
− 6x = 0 x = 0 ou x = 6.
S = {0, 6}.
! "# $ @& '" (
1. Resolva a equações:
a) 52x =5 b) 3x =81
c) 9x = 3 d) 10x =1
e) 8
2 1 x
= f) 2x =6x
g) 23x+2 =32 h) 811−3x =27
i)
4 1
2x+3 = j)
2 x 3 1
x
5 1 25
+ +
=
m) 2x+1=4 2 n)
( )
2 3x 1(
316)
2x 1− −
=
o) 2x2+1 23x−1
= p) 22x −4x2 =0
q) 6x2−2x+1=1 r)
( )
2x x =4s) 32x−1.93x+4 27x+1
= t) 100.10x =x10005
2. Resolva a equações exponenciais:
a) 6x +6−x =2 b) 2x +2x+1−3.2x−1=6
c) 3x+2−10.3x +9=0 d) 5x+1−2.5x −3.5x−1+12=0
e) 5.2x−2+2x−1+3.2x +2x+1+2x+2 =86 f) 6.2x +31.2x −2x = 34
g) 4x −2x+2 =25 h) 9x −4⋅3x +3=0
i) 100x−11.10x +10=0 j) 22x+1−9.2x +4=0
k) 4x +6x =2.9x l) 4x +2.14x =3.49x
m) 22x+2−6x −2.32x+2 =0
3. Resolva a equação exponencial: 2 3 3
3 3
x x
x x
= − +
− −
4. Resolva os sistemas:
a)
= = − +
4 2
16 2
y x
y x
b)
= ⋅
= ⋅
− −
1 3 3
3 3 3
y 1 x
1 y x 2
"
=
Denominamos inequações exponenciais as sentenças
ax < b, ax > b, ax
≤
b, ax≥
b, onde a e b são números reais conhecidos (a > 0 e a≠ 1) e x é a incógnita.Se conseguimos expressar o número b como uma potência de base a, b = ay , então recaímos respectivamente em
A resolução destas inequações baseia-se na seguinte propriedade:
Se a>1, então ax > ay implica que x > y.
Conserva-se
Se 0< a < 1, então ax > ay implica que x < y. Inverte-se
Exemplo 1: Resolver a inequação 2 1 4x
> .
Solução: Começamos expressando os dois membros como potências de mesma base. Temos:
2 1
4x > (22)x >2−1 22x >2−1 2x > −1 x >
2 1
−
S = {x ∈ R | x >
2 1
− }.
Exemplo 2: Resolver a inequação
x 1
x 2
2 1 2
1
≥ +
.
Solução: Temos:
x 1
x 2
2 1 2
1
≥ +
2x + 1 ≤ x x ≤−1
S = {x ∈ R | x ≤ −1}.
! "# $ A& '" (
1. Resolva as inequações exponenciais:
a) 5x >25 b) 3x ≥ 271
c)
2 x
x
3 1 3
1 2
> −
d)
(
0,5)
x−1+(
0,5)
x−2 ≤48e) ( 2)x > 4 f)
x 2 1
x 3
2 1 )
2 (
− −
≥
g) 10x−3 >1 h) x 3
1 x
4 2
1 +
+
≥
i) 4<2x+1≤32 j) 9x 1 3x
9 1
≤ < −
3. Chama-se montante M a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M=C(1+ )it. Supondo que o capital aplicado é de R$ 200 000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 3 anos, qual o montante no final da aplicação?
4. O Carbono-14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos. Com a morte, o nível de C-14 no corpo começa a decair. Como é um isótopo radioativo de meia idade de 5730 anos, e como é relativamente fácil saber o nível original de C-14 no corpo dos seres vivos, a medição de C-14 num fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas. A atividade radioativa do C-14 decai com o tempo pós-morte
segundo a função 5730
t
0. 21
A ) t (
A = , em que A0 é a atividade natural do C-14 no
organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte. Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório para ter sua idade estimada. Verificou-se que emitia 7 radiações de C-14 por grama/hora. Sabendo-se que o animal vivo emite 896 radiações por grama/hora, qual é a idade aproximada do fóssil?
5. O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas qual será o número de bactérias?
5
/
=
Dado um número real a positivo e diferente de um (a > 0 e a ≠ 1), denominamos função
exponencial de base a à função f(x) = ax definida para todo x real.
Exemplos:
a) f(x) = 2x b) f(x) =
πx c) y =
x
2 1
d) y =
( )
2 x+
/
:;
:; ; / ;B=C D 0= B E D 0=C
Atribuindo valores para x, obtemos valores para f(x) = 2x, e é razoável admitir que o gráfico
da função y = 2x para x real é:
Observemos que:
1. o domínio é R;
2. o conjunto imagem é R*+ ;
3. a curva passa pelo ponto (0, 1) 4. como a base 2 é maior que 1, a
função y = 2x é crescente, pois,
para todo x1 ,x2 , reais, temos:
x1<x2 2x1 <2x2.
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 0
-2 0 2 4 6 8 1 0
x y
x y
Gráfico da função f(x) =
x
2 1
.
Procedendo como fizemos com a exponencial de base 2, vamos atribuir valores para x e
calcular
x
2 1
. Notando que y =
x
2 1
= x 2
1
=2−x obtemos a tabela e o gráfico que
seguem.
Observemos que:
1. o domínio é R;
2. o conjunto imagem é R* + ;
3. a curva passa pelo ponto (0, 1)
4. como a base 2
1 está compreendida
entre 0 e 1, a função y =
x
2 1
é
decrescente, pois, para todo x1 ,x2 ,
reais, temos:
x1<x2
2
1 x
x
2 1 2
1
> .
Gráfico da função f(x) = ax
Considerando o gráfico y = ax, podemos dizer que:
1. a curva está acima do eixo dos x;
2. a curva corta o eixo dos y no ponto de ordenada 1; 3. tem um dos aspectos indicados nas figuras abaixo.
Função decrescente Função crescente
2 1 x
x a x x
a 1 < 21 ⇔ >
2 1 x
x a x x
a 1 < 21 ⇔ <
! "# $ %<& '" (
Esboce os gráficos de cada uma das seguintes funções:
a) y = 3x b) f(x) = x
3 1
c) y =
x
3 2
d) y = 2x−1
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2 0 2 4 6 8 10
