EN 3215 – Placas e Cascas

(1)

EN 3215 – Placas e Cascas UFABC

UFABC –– UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABCUNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

CECS

CECS –– CENTRO DE ENGENHARIA, MODELAGEM E CIÊNCIAS CENTRO DE ENGENHARIA, MODELAGEM E CIÊNCIAS

SOCIAIS APLICADAS SOCIAIS APLICADAS ENGENHARIA

ENGENHARIA AEROESPACIALAEROESPACIAL

Primeiro Quadrimestre – 2012

(2)

3. Placas Submetidas à Flexão Simples: Fundamentos

3.1 Introdução

Flexão pura interesse prático!

Interesse maior é o caso de placas sujeitas, não Interesse maior é o caso de placas sujeitas, não apenas a momentos fletores aplicados ao contorno, mas a carga distribuída sobre toda a placa com lei

qualquer ou cargas distribuídas em regiões

relativamente pequenas.

(3)

3.2 Esforços Internos numa Placa Solicitada à Flexão Simples

∫∫∫∫

₋₋₋₋

==== d 2

2 d x

x zdz

m σσσσ

∫∫∫∫

−−−−

==== d 2

2 d y

y zdz

m σσσσ

xy 2

d 2 d xy 2

d 2 d yx

yx zdz zdz m

m ====

∫∫∫∫

====

∫∫∫∫

====

−−−−

−−−− ττττ ττττ

∫∫∫∫

₋₋₋₋

==== d 2

2 d xz

x dz

q ττττ

∫∫∫∫

−−−−

==== d 2

2 d yz

y dz

(4)

(5)

(6)

As tensões normais são positivas quando provocam tração na parte inferior dos planos de corte visíveis

do elemento; as tensões de cisalhamento são

positivas (sempre tomando a parte inferior como referência) se coincidem com o sentido positivo dos eixos; nos outros dois planos ocultos, os sentidos eixos; nos outros dois planos ocultos, os sentidos positivos dessas tensões são opostos as faces visíveis;

Os momentos fletores são positivos se provocam tração nas fibras inferiores;

(7)

(8)

3.3 Hipóteses

As hipóteses admitidas na teoria das placas delgadas são as seguintes:

a) O material é elástico e segue a lei de Hooke; a) O material é elástico e segue a lei de Hooke;

b) A espessura d da placa é pequena;

c) Os deslocamentos verticais w são pequenos em relação à espessura d;

(9)

e) Uma reta normal ao plano médio mantém-se normal à superfície deformada (é afinal a hipótese da conservação das seções planas). Isto implica que as distorções angulares nos planos xz e yz são desprezadas;

são desprezadas;

f) As tensão normais na direção z são

(10)

3.4 Condições de Equilíbrio de um Elemento de Placa

Equilíbrio à translação vertical:

0 pdxdy dx

dy y q dy

dx x

q_x y ++++ ====

   

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++

   

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

p y

q

x

q_x y

−−−− ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

 

Equilíbrio à rotação em torno do eixo x:

( )

_y y xy 0

y xy

y

m m

q dx dy dy dx dx dy

y x

m m

q

y x

∂ ∂

   

−  −  =

∂ ∂

   

∂ ∂

+ =

(11)

Equilíbrio à rotação em torno do eixo y:

((((

))))

_x xy x

m m

0 dx dy y

m dy

dx x m dx

dy q

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

====

   

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++

   

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ −−−−

x xy

x

q y

m

x m

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂∂∂∂

As três equações podem ser agrupadas numa só:

p y

m

y x m 2 x

m

2 y 2 xy

2 x 2

−−−− ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

(12)

3.5 Relações entre as deformações e os esforços

x u

x ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ====

εεεε

y v

y

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====

εεεε 0

z w

z ====

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====

εεεε

x v y

u

xy

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====

γγγγ 0

z u x

w

xz ====

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====

γγγγ 0

z v y

w

yz ====

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====

γγγγ

(((( ))))

x, y w

w ====

x w z u

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− ====

y w z v

(13)

2 2 x

x w z

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− ====

εεεε

2 2 y

y w z

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− ==== εεεε

y x

w z

2

2 xy

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ −−−−

==== γγγγ

Agora, admitindo ortotropia do meio, têm-se:

xy y

y x

x , ,E , ,G

E νννν νννν

Para o estado plano de tensões:

y y y x

x x

E E

σσσσ νννν σσσσ

εεεε ==== −−−−

x x x y

y y

E E

σσσσ νννν σσσσ

εεεε ==== −−−−

xy xy xy

G

(14)

(15)

z y

w x

w E

1

2 2 y 2

2 x y x

x 

  

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−−

−−−−

==== νννν

νννν νννν

σσσσ z

x w y

w E

1

2 2 x 2

2 y y x

y 

  

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−−

−−−−

==== νννν

νννν νννν σσσσ

z y x

w G

2

2 xy

xy 

  

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ −−−−

(16)

3. Placas Submetidas à Flexão Simples: Fundamentos 12 d y w x w E 1 1 dz z y w x w E 1 1 zdz m 3 2 2 y 2 2 x y x 2 d 2 d 2 2 2 y 2 2 x y x 2 d 2 d x x       ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− −−−− ====       ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− −−−− ==== ====

_∫∫∫∫

−−−−

−−−− σσσσ νννν νννν νννν νννν νννν νννν

12 d E 1 1 D 3 x x νννν νννν

−−−− ==== _{}      ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−−

==== 2 y 2 ₂ 2 x x y w x w D m νννν Rigidez y x w C 2 m 2 xy ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− ==== 12

1−−−−νννν_xνννν_y x ==== −−−− x_ ∂∂∂∂ 2 ++++ y ∂∂∂∂ 2 _

y x D m νννν       ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−−

==== 2 x 2 ₂ 2 y y x w y w D m νννν 12 d E 1 1 D 3 y y x y νννν νννν

(17)

y m

x m

q_x x xy

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====       ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ 2 3 y 3 3 x x y x w x w D x m νννν 2 3 xy y x w C 2 y m ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂   ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂x x x y ∂∂∂∂y ∂∂∂∂x∂∂∂∂y

((((

))))

2

(18)

3.6 Equação Diferencial das Placas

p y

w D

y x

w D

2 x

w

D ₄

4 y 2

2 4 xy

4 4

x ====

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ++++

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

Equação diferencial das placas ortótropas

Equação de Lagrange-Hüber

y y

x

x4 ∂∂∂∂ 2∂∂∂∂ 2 ∂∂∂∂ 4

∂∂∂∂

Equação diferencial das placas isótropas

E E

E_x ==== _y ====

y x x

y

xy 2C 0,5 D 0,5 D

D ==== ++++ νννν ++++ νννν

νννν νννν

ννννx ==== y ==== ==== ==== ₂

((((

₁++++νννν

))))

E G

G_xy

(19)

((((

))))

((((

))))

D

1 12

Ed 12

d E 1

1 D

D ₂

3 3

2 y

x ====

−−−− ====

====

νννν νννν

((((

))))

D1 v

Ed d

G C

3 3

xy

−−−− ====

++++ ====

====

νννν

((((

1

))))

D 2 24

12 G

C _xy ====

++++ ====

====

νννν

((((

1 v

))))

0,5 D 0,5 D D D

D_xy ==== −−−− ++++ νννν ++++ νννν ====

D p y

w y

x w 2

x w

4 4 2

2 4 4

4

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

(20)

D p w

2 2∇∇∇∇ ====

∇

∇∇

∇ Operador Laplaciano

   

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ==== ∇

∇∇

∇2 2₂ 2₂

y x _

∂∂∂∂x ∂∂∂∂y

D p y

w x

w y

x

w ₂

2

2 2

4 ====

   

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂∂∂∂

   

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ==== ∇

∇∇

(21)

Esforços nas placas isótropas

      ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−−

==== 2 ₂ 2 ₂ x y w x w D m νννν w x D y x w x w D

q ₂ 2

3 3

3

x ∇∇∇∇

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− ====       ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− ====

((((

))))

y x w 1 D m 2 xy ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− −−−− ==== νννν       ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−−

==== 2 ₂ 2 ₂ y x w y w D m νννν w x D y x x D

q_x ₃ ₂ ∇∇∇∇

∂∂∂∂ −−−− ====     ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−− ==== w x D y w y x w D

q ₃ 2

3

2 3

y ∇∇∇∇

(22)

3.7 Reações dos Vínculos. Condições de Contorno

(23)

((((

y y

))))

0

m_y ==== ====

((((

y y

))))

0

w ==== ====

0

w ==== 0

x w y

w

2 2 2

2

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ _νννν

0

w ==== 0

x

y2 ++++ ∂∂∂∂ 2 ====

∂∂∂∂ νννν

0

w ==== Ao longo da borda y ==== y _x 0

w

2 2

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

0

w ==== _y 0

w

2 2

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ _ou

0 x

w y

w

2 2 2

2

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂∂∂∂

0

(24)

x m q

r_y _y yx

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ====

y m q

r_x _x xy

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ====

((((

))))

2 canto

xy

y x

w D

1 2 m

2 R

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ −−−−

−−−− ==== −−−−

==== νννν

(25)

(26)

Borda perfeitamente engastada

0

w ==== 0

x w

x ====

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====

θθθθ

Ao longo da borda x ==== x

0 x w

==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

0 x

w

y2

2

====    

 

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂

x x

xy x

x q 0 q

y m q

r ==== ++++ ====

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ====

((((

))))

0 y

x w 1

D y

m

2 3 xy

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ −−−−

−−−− ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

νννν

((((

))))

0 y x

w 1

D m

2

xy ====

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ −−−−

−−−−

(27)

Borda livre

Ao longo da borda x ==== x

0

r ====

0 y

w x

w D

m ₂

2

2 2

x  ====  



∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ −−−−

==== νννν

0

r_x ====

0 y

x D

m_x ₂ ₂ _{} ====

 

 ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ −−−−

(28)

3.8 Placa simplesmente apoiada com carregamento de distribuição senoidal

D p y

w y

x w 2

x w

4 4

2 2

4

4 4

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ++++

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

D y

y x

x ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂

(((( ))))

   

  

  

 

====

b x sen a

x sen p

y , x

p ₀ ππππ ππππ

Na relação anterior representa a dimensão da

placa na direção e a dimensão na direção ; a

origem do referencial encontra-se num dos cantos da placa.

a

(29)

(((( ))))

            ==== b y sen a x Csen y , x

w ππππ ππππ

            ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ b y sen a x sen a C x w 4 4 4

4 ππππ ππππ ππππ

            ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ b y sen a x sen b C y w 4 4 4

4 ππππ ππππ ππππ

                  ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ b y sen a x sen b a 1 C y x w 2 2 4 2 2

4 ππππ ππππ

(30)

(((( ))))

                  ++++ ==== b y sen a x sen b 1 a 1 D p y , x w ₂ 2 2 4

0 ππππ ππππ

ππππ             ++++

==== p 1 νννν ππππx ππππy 

                 ++++       ++++ ==== b y sen a x sen b a 1 b 1 a 1 p

m ₂ ₂ ₂

2 2 4 0 x ππππ ππππ νννν ππππ                   ++++       ++++ ==== b y sen a x sen b 1 a b 1 a 1 p

m ₂ ₂ ₂

(31)

((((

))))

_                  ++++ −−−− −−−− ==== b y cos a x cos ab b 1 a 1 1 p m ₂ 2 2 4 0 xy ππππ ππππ ππππ νννν   

 x y

p ππππ ππππ

(32)

3. Placas Submetidas à Flexão Simples: Fundamentos             −−−− ++++       ++++ −−−− ==== b y sen b 2 a 1 b 1 a 1 a p

r ₂ ₂ ₂

2 2 0 x ππππ νννν ππππ         −−−− ++++ −−−−

==== p 1 2 sen x

r 0 νννν ππππ 

           −−−− ++++       ++++ −−−− ==== a x sen a 2 b 1 b 1 a 1 b p

r ₂ ₂ ₂

(33)

Um procedimento análogo pode ser aplicado

quando o termo independente da equação

diferencial de placas finas apresenta uma forma

3.9 Soluções de Navier

diferencial de placas finas apresenta uma forma mais geral, do tipo:

(((( ))))

   

  

  

 

====

b x n sen a

x m sen p

y , x

(34)

Onde e são números inteiros e caracterizam

o número de semi-onda nas direções e ,

respectivamente, sendo o valor da amplitude

máxima que se repete em cada semi-onda. Neste caso, a solução em deslocamento escreve-se na forma:

m n

x y

0

p

(((( ))))

   

  

  

 

   

 

++++ ====

b y sen a

x sen

b 1 a

1 D

p y

, x

w ₂

2 2

4

0 ππππ ππππ

ππππ

(35)

Quando o carregamento aplicado possui uma distribuição qualquer, o procedimento anterior pode ser estendido uma vez que se represente o

carregamento em forma de uma série dupla

de senos:

(((( ))))

x, y p

de senos:

(((( ))))

∑

∑∑

∑

   

  

  

 

====

m n

mn

b x n sen a

x m sen p

y , x

p ππππ ππππ

(((( ))))

dxdy b

x n sen a

x m sen y

, x p ab

4

p b

0 a 0

mn 

  

  

  

 

(36)

(((( ))))

∑

∑∑

∑

   

  

  

 

   

 

++++ ====

m n

2

2 2 2

2 4

mn

b y n sen a

x m sen

b n a

m D

p y

, x

w ππππ ππππ

ππππ

A sequência de figuras seguintes ilustra as

aproximações de um carregamento uniformemente distribuído sobre toda a superfície de uma placa

quadrada de lado , obtidas com diferentes

números de termos da série anterior. 3

(37)

(38)

(39)

(40)

A próxima sequência de figuras mostra as

aproximações geradas pelo desenvolvimento em série de uma força concentrada aplicada no centro

(41)

(42)

(43)

Caso particular de força aplicada uniformemente

distribuída p

(((( ))))

x,y ==== p sobre a placa retangular.

(((( ))))

∑

∑∑

∑

            ==== m n mn b x n sen a x m sen p y , x

p ππππ ππππ

 

m n a b

mn p 16 p_mn ₂

ππππ ====

(((( ))))

∑

∑∑

∑

                  ++++ ==== m n 2 2 2 2 2 6 b y n sen a x m sen b n a m mn 1 D p 16 y , x

w ππππ ππππ

(44)

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

∑

∑∑

∑

            ++++ ++++ ==== m n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x b y n sen a x m sen a n b m mn n a m b ab p 16

m νννν ππππ ππππ

ππππ

(((( ))))

((((

))))

∑

∑∑

∑

++++    

==== 2 2 2 2

2 y n sen x m sen n a m b ab p 16

m

(((( ))))

((((

νννν

))))

ππππ ππππ

(((( ))))

((((

))))

∑

∑∑

∑

            ++++ ++++ ==== m n 2 2 2 2 2 4 y b y n sen a x m sen a n b m mn n a m b ab p 16

ππππ

((((

_{))))(((( ))))}

∑

∑∑

∑

                  ++++ −−−− −−−− ==== m n 2 2 2 2 2 4 xy b y n cos a x m cos b n a m 1 ab 1 1 p 16

(45)

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

∑

∑∑

∑

            ++++ ++++ ==== m n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 x b y n sen a x m cos a n b m n n a m b ab p 16

q ππππ ππππ

ππππ

((((

))))

((((

))))

∑

∑∑

∑

++++    

==== 16pa2b b2m2 a2n2 sen m x cos n y

q

((((

))))

ππππ ππππ

(((( ))))

((((

))))

∑

∑∑

∑

            ++++ ==== m n 2 2 2 2 2 3 y b cos a sen a n b m m q ππππ

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

∑

∑∑

∑

            ++++ −−−− ++++ ==== m n 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 4 3 x b y n sen a x m cos a n b m n a b n a b n 2 m ab p 16

r νννν ππππ ππππ

ππππ

((((

))))

(((( ))))

((((

))))

∑

∑∑

∑

            ++++ −−−− ++++ ==== m n 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 4 3 y b y n cos a x m sen a n b m m a b m a b m 2 bn a p 16

r νννν ππππ ππππ

(46)

Caso particular de força aplicada uniformemente

distribuída sobre área retangular (com

lados paralelos aos eixos de referência da placa).

(((( ))))

x,y p p ====

(((( ))))

∑

∑∑

∑

            ==== m n mn b x n sen a x m sen p y , x

p ππππ ππππ

 

m n a b

                        ==== b 2 b n sen a 2 a m sen b n sen a m sen mn p 16

p_mn ₂ πξπξπξπξ πηπηπηπη ππππ 0 ππππ 0

ππππ

(((( ))))

∑

∑∑

∑

                  ++++ ==== m n 2 2 2 2 2 mn 4 b y n sen a x m sen b n a m p D 1 y , x

w ππππ ππππ

(47)

Com e as coordenadas do centro da região

do carregamento.

ξξξξ ηηηη

Caso particular de força concentrada aplicada no

ponto de coordenadas: e .

p

ξξξξ

====

x y ====ηηηη

A diferença para o caso anterior é o cálculo dos

coeficientes p_mn .

   

  

  

 

====

b n sen a

m sen ab

p 4