Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matemática - IM

Dissertação de Mestrado

Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob

Involuções orientadas

Edward Landi Tonucci

Edward Landi Tonucci

Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão.

tadas / Edward Landi Tonucci. – Salvador: UFBA, 2013. 69 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Matemática, 2013.

Referências bibliográficas.

1. Anéis (Álgebra). 2. Anéis de Grupo. 3. Teoria de Grupos. I. Petit Lobão, Thierry. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática. III. Título.

Edward Landi Tonucci

Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática, aprovada em 19 de Abril de 2013.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão (Orientador) UFBA

Profa_{. Dra. Manuela da Silva Souza}

UNICAMP

Profa

Primeiro, agradeço imensamente à minha família por todo apoio moral e finan-ceiro, pois sem este tenho certeza que nunca alcançaria o nível intelectual, acadêmico e profissional no qual me encontro. Em especial, agradeço muito aos meus pais Cláudio e Rita por todo amor, carinho, incentivo e educação moral, pois cada um desses detalhes ajudou a construir minha personalidade e a pessoa que sou. Agradeço também aos meus irmãos, João Paulo e Caroline, e aos meus primos pelos quais possuo tanto afeto, por todo o carinho, amizade e diversão que me proporcionaram desde a minha infância até o presente momento.

Agradeço à minha companheira Jacqueline por todo carinho, amor, confiança, companheirismo e por estar sempre ao meu lado me ajudando a passar por todos os momentos difíceis que apareceram nesta jornada, incentivando e apoiando as decisões importantes que tive que tomar após iniciar minha carreira acadêmica, além de ser uma pessoa excepcional com quem posso dividir meus desejos e gostos.

Agradeço aos meus amigos, ex-colegas de graduação e mestrado pelos bons mo-mentos que passamos estudando e por ajudarem a me divertir e distrair nos momo-mentos de descanso. Agradeço em especial aos amigos Ângela Soldatelli, João Paulo Cirineu e Marcus Morro, por toda a disposição e ajuda prestada neste trabalho e à Elen Deise por ter sido companheira durante toda a jornada.

Agradeço muito também ao meu orientador, Thierry Petit Lobão, tanto pela sua disposição, dedicação e prestatividade quanto pelo seu constante incentivo e profissiona-lismo durante o período da pesquisa orientada do mestrado e por sua disposição para me orientar no doutorado.

Agradeço às professoras Manuela Souza e Paula Veloso por aceitarem participar da comissão julgadora de minha dissertação e me darem a grande honra de tê-los como membros da banca examinadora de minha defesa.

é realidade.”

O presente trabalho exibirá a estrutura dos grupos tais que o conjunto dos ele-mentos simétricos sob uma involução orientada, em um anel de grupo por ele gerado, é comutativo, e, de forma original, estenderá tal resultado quando o anel é um corpo de característica0 e os simétricos satisfazem alguma propriedade de Lie. Finalmente, serão caracterizados os grupos tais que os simétricos em relação à involução orientada indu-zida pela involução clássica, e o anel é um corpo, satisfazem alguma propriedade de Lie, generalizando, quase que completamente, os resultados anteriores. Serão apresentadas também condições para que as propriedades de Lie encontradas nos simétricos possam ser estendidas para todo o anel de grupo. Além disso, será mostrado que algumas hipóteses desses últimos resultados nunca poderão ser satisfeitas de forma não trivial.

This work will show the structure of groups such that the set of the symmetric elements under an oriented involution, in a group ring generated by this groups, is commu-tative, and extend this result when the ring is a field of characteristic0and the symmetric elements satisfy a Lie propertie, which is an original result. Finally, the groups such that the symmetric elements under the classical oriented involution, and the ring is a field, satisfy some Lie propertie will be classified, generalizing, almost completely, the results above. It will be also shown conditions to extend the found properties in the symmetric elements to the whole group ring, therefore, we will show that some hypothesis of these last results will never be satisfied in a non-trivial way.

Introdução 1

1 Preliminares 4

1.1 Módulos e Álgebras . . . 4

1.2 Anéis de Grupo . . . 6

1.2.1 O Homomorfismo de Aumento . . . 7

1.2.2 O Centro de um Anel de Grupo . . . 9

1.3 Involuções . . . 9

1.3.1 Involuções em Grupos . . . 9

1.3.2 Involuções em Anéis . . . 13

1.3.3 Involuções orientadas em anéis de grupos . . . 16

1.4 Os conjuntos (RG)σϕ e (RG)−σϕ . . . 18

1.4.1 Propriedades de Lie . . . 21

2 Comutatividade de (RG)σϕ 22 3 Propriedades de Lie de (KG)σϕ com char(K) = 0 29 3.1 Involuções Orientadas emQ8 . . . 29

3.2 Propriedades de Lie de (KG)σϕ com char(K) = 0 . . . 33

4 Propriedades de Lie de (KG)σ∗ e (KG)−σ∗ 43 4.1 Resultados Fundamentais . . . 44

4.2 Extensão das propriedades de Lie dos elementos simétricos para o anel de grupo KG . . . 47

4.2.1 Grupos sem Elementos de Ordem 2 . . . 47

4.2.2 Grupos que não contêm Q8 . . . 56

4.3 Propriedades de Lie dos elementos simétricos . . . 58

Conclusão 64

Dados um grupo G e um anel comutativo R, podemos tomar o R-módulo

livre-mente gerado por G e definir um novo anel chamado anel de grupo de G sobre R. O

estudo dessa nova estrutura possui uma íntima relação com as teorias das estruturas fun-damentais de grupos e anéis; portanto tem se desenvolvido em mão dupla, ou seja, com resultados da teoria dos anéis de grupos, extraem-se propriedades dos grupos e anéis, e vice-versa.

Dado uma involução ϕ em um grupoG, podemos induzir uma involução no anel de grupo RG. Podemos observar, nas referências dessa dissertação, que muitos autores têm estudado o conjunto(RG)ϕ ={α∈RG:ϕ(α) =α}, dos elementos simétricos, para

conseguir as informações supracitadas sobre as estruturas fundamentais. O estudo do conjunto (RG)ϕ é um exemplo de como funciona essa via de mão dupla. A partir de

uma involuçãoϕ no grupoG, construímos uma involução no anel de grupo; estudamos as

propriedades dessa nova involução em RG e daí podemos fazer diversas afirmações sobre

o grupo e a involuçãoϕ.

Definindo o colchete de Lie como [x, y] = xy−yx, ∀x, y ∈ RG, podemos

facil-mente verificar que um subconjunto A de RG é comutativo se, e somente se, [x, y] = 0, ∀x, y ∈ A. Generalizando o conceito de comutatividade, temos que um subcon-junto A ⊂ RG é dito Lie n-Engel, se [x, y, y, . . . , y

| {z }

n vezes

] = 0, ∀x, y ∈ A, e Lie nilpotente se[x1, x2, . . . , xn] = 0, ∀xi ∈A, onde [x1, x2, x3, . . . xn] = [[x1, x2], x3, . . . xn].

Para estudar RG utilizando involuções, podemos verificar sob quais condições em G, R ou ϕ, podemos estender certas propriedades de (RG)ϕ para todo o anel RG.

Algumas dessas condições podem ser encontradas, por exemplo, em [JM06, L00, LSS09]. Outra linha de pesquisa é tentar descrever o grupo G quando (RG)ϕ satisfaz alguma

das identidades de Lie (Lie n-Engel, Lie nilpotência ou comutatividade). Tais resultados

podem ser encontrados, por exemplo, em [JM06, L00].

Um problema bastante difícil e extremamente importante de se tratar em anéis de grupos é descrever o conjunto das unidades desse anel. Novamente, podemos verificar em [JM06] a eficiência do estudo das involuções para resolver os mais diversos problemas relacionados aos anéis de grupo.

S. P. Novikov em [N70] introduziu, a partir de uma orientação σ de G

morfismo de G em C2), uma nova involução σϕ em RG chamada involução orientada e, naturalmente, a partir disso vários pesquisadores começaram a estudar as propriedades dos elementos simétricos sob esse novo tipo de involução. Os mesmos métodos de se resolver problemas utilizando involuções podem ser utilizados para as involuções orienta-das. Nesse sentido, podemos buscar condições que o grupo G deva satisfazer para que o

conjunto (RG)σϕ satisfaça alguma identidade de Lie, ou ainda, sob quais condições tais

propriedades podem ser estendidas para todo oRG.

Nosso trabalho será estudar condições que o grupo deve possuir para que o con-junto dos elementos simétricos sob uma involução orientada satisfaça alguma das identi-dades de Lie, e, em alguns casos, mostrar condições para que a mesma propriedade nos simétricos possa ser estendida para todo o anel de grupo.

No Capítulo 1, introduziremos os conceitos básicos e resultados fundamentais para o entendimento dos resultados.

No Capítulo 2, apresentaremos condições necessárias e suficientes para que o conjunto(RG)σϕ seja comutativo. Além disso, particularizaremos o resultado para o caso

quandoϕ =∗, a involução clássica.

No Capítulo 3, mostraremos que se, K é um corpo de característica 0 e(KG)σϕ

é Lie n-Engel, então (KG)σϕ é comutativo, além de apresentar algumas consequências

desse resultado.

No Capítulo 4, apresentaremos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (RG)σ∗ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente, assim como exibiremos algumas

condições para que se tais propriedades forem satisfeitas em(RG)σ∗ ou(RG)−σ∗, também

Preliminares

Neste primeiro capítulo, apresentaremos os conceitos elementares que serão de fundamental importância para o desenvolvimento deste trabalho. Todos os anéis serão comutativos, tomados com unidade e denotados por R, exceto quando se tratar especifi-camente de um corpo, o qual denotaremos porK.

1.1 Módulos e Álgebras

Esta seção está baseada em [Po72].

Definição 1.1. SejaR um anel. Um grupo abeliano(M,+) é chamado de umR-módulo

(à esquerda) se, para cada r ∈ R e cada m ∈ M, corresponde um elemento rm∈ M tal que:

(i) (r + s)m = rm + sm;

(ii) r(m + n) = rm + rn;

(iii) (rs)m = r(sm);

(iv) 1m = m,

para todos r, s∈R, m, n∈M.

De maneira análoga, podemos definir um R-módulo à direita. Utilizaremos a expressãoR-módulo para nos referirmos a umR-módulo à esquerda.

Exemplo 1.2. Todo espaço vetorial sobre um corpo K é um K-módulo.

Exemplo 1.3. Todo grupo abelianoGpode ser considerado como um módulo sobre o anel

Z definindo-se o produto de um inteiro n por um elemento g ∈G por:

ng=

  

 

g+g+. . .+g(n vezes) ,se n >0; (−g) + (−g) +. . .+ (−g)(|n| vezes) ,se n <0;

0 ,se n= 0.

Exemplo 1.4. Se I for um ideal de um anel R, então I admite uma estrutura de R -módulo com a soma induzida pela soma deR e a multiplicação por escalares definida pela multiplicação de R.

Exemplo 1.5. Seja G um grupo abeliano. Indicaremos por End(G) o conjunto de todos os endomorfismos deG. Neste conjunto, pode-se induzir uma estrutura de anel definindo-se a soma e produto de dois endomorfismos f, g∈End(G) por:

(f +g)(x) =f(x) +g(x), e

(f.g)(x) =f(g(x)), ∀x∈G.

Pode-se definir uma estrutura de End(G)-módulo em G associando, a cada par

(f, x)∈End(G)×G, o elementof.x =f(x)∈G.

Definição 1.6. SejamRum anel eI um conjunto de índices. Dizemos que uma sequência

(λi)i∈I de elementos de R é quase nula se apenas uma quantidade finita de elementos

da sequência é não-nula.

Definição 1.7. Seja M um R-módulo. Um conjunto {xi}i∈I de elementos de M é dito

um conjunto gerador de M (ou dizemos que {xi}i∈I gera M) se, para todo m ∈ M,

existe uma sequência quase nula (λi)i∈I de elementos de R tal que m =

X

i∈I

λixi. Se o

conjunto {xi}_i∈I é finito, dizemos que M é finitamente gerado.

Definição 1.8. Seja M um R-módulo. Um conjunto {xi}i∈I de elementos de M

diz-se linearmente independente (ou livre) se para toda sequência quase nula (λi)i∈I de

elementos de R tem-se que X

i∈I

λixi = 0 implica queλi = 0 ∀i∈I.

Definição 1.9. Seja M um R-módulo. Um conjunto {xi}i∈I de elementos de M diz-se

uma R-base de M se {xi}i∈I é um conjunto linearmente independente e gera M. Um

R-módulo é chamado de livre se possui uma R-base.

Neste ponto, podemos observar que alguns resultados válidos para espaços veto-riais não necessariamente o são para módulos.

(i) Em geral não é verdade que todo subconjunto linearmente independente de um módulo livre possa ser ampliado a uma base;

(ii) Em geral é falso que todo conjunto gerador contém uma base;

(iii) Tanto para espaços vetoriais como para módulos, se, numa família de elementos {xi}_i∈I de umR-móduloM, um deles é combinação linear dos outros, a família não

(iv) Nem sempre um submódulo de um módulo livre é livre;

(v) SejamM umA-módulo livre eS ⊂M, comS 6=M, um submódulo, também livre.

Nem sempre é verdade que o número de elementos de uma base de S é menor que

o número de elementos de uma base de M;

(vi) Também não é válido, em geral, que duas bases de um mesmo R-módulo livre M

possuam a mesma cardinalidade.

Com o teorema a seguir, teremos condições suficientes para conseguirmos um resultado positivo para o item (vi).

Teorema 1.10. SejamRum anel comutativo e M umR-módulo livre finitamente gerado. Então quaisquer duasR-bases de M possuem o mesmo número de elementos.

Definição 1.11. Seja M um R-módulo. Se M é livre e todas as R-bases de M possuem o mesmo número de elementos, a cardinalidade de uma R-base é chamada de posto de

M.

Devido à definição acima, temos que o posto deM está bem definido seM estiver

nas condições do Teorema 1.10.

Definição 1.12. Seja R um anel comutativo. Um R-módulo M é chamado de uma A -álgebra(associativa) se existe uma multiplicação definida emM de tal maneira que com a adição emM e esta multiplicação, M é um anel e para todos r∈R, m, n∈M é válida a seguinte condição: r(mn) = (rm)n =m(rn). Uma A-álgebra é dita comutativa se M é um anel comutativo.

Exemplo 1.13. Seja R um anel comutativo. O conjunto Mn(R) das matrizes de ordem

n com coeficientes em R com as operações de adição e multiplicação usuais é uma R -álgebra não comutativa. O conjunto U Tn(R) das matrizes triangulares superiores é uma

subálgebra de Mn(R).

Exemplo 1.14. Todo anel comutativo R é uma álgebra comutativa sobre si próprio.

1.2 Anéis de Grupo

Esta seção está baseada em [PS02].

Definição 1.15.SejamGum grupo eRum anel com unidade. Denote porRGo conjunto de todas as combinações lineares formais da forma

α=X

g∈G

ondeag ∈R e {ag}_g∈G é quase nula. O conjunto(RG,+,·)dotado das operações de soma

e produto definido da forma a seguir é um anel, chamadoanel de grupo de G sobre R:

X

g∈G

agg

!

+ X

g∈G

bgg

!

=X

g∈G

(ag+bg)g;

X

g∈G

agg

!

· X

g∈G

bgg

!

= X

g,h∈G

(agbh)(gh).

Note que RG é um anel com identidade, onde 1RG = 1R1G, que, de agora em

diante, denotaremos por 1. Dado α = X

g∈G

αgg ∈ RG, chamamos de suporte de α, supp(α), o conjuto dos

elementosg ∈Gque aparecem na composição de α de forma não trivial, ou seja,αg 6= 0;

em outras palavras, supp(α) ={g ∈G:αg 6= 0}.

Podemos também definir um produto por escalares do anelRda seguinte maneira

b· X

g∈G

agg

!

=X

g∈G

bagg, ∀b∈R,

e facilmente verificamos queRGé umR-módulo. E, se Ré comutativo, segue-se que RG

é uma álgebra sobre R.

Exemplo 1.16. Sejam G = C∞ ≃ {. . . , x−2_{, x}−1_{, x}0_{, x}1_{, x}2_{, . . .} e R = R, o corpo dos}

números reais. Temos que RG=RC∞ é isomorfo ao anel dos polinômios de Laurent.

Observe também que se R é comutativo e G é finito, pelo Teorema 1.10, temos

que posto de RG está bem definido e posto(RG) = |G|. Utilizando o monomorfismo de

inclusão i : R → RG definido por i(r) 7→ r1G temos naturalmente que RG contém um

subanel isomorfo aR, o qual frequentemente trataremos como o próprio R.

1.2.1

O Homomorfismo de Aumento

A próxima proposição introduzirá um homomorfismo de anéis de forma bastante natural deRG em R.

Proposição 1.17. Seja a função ε:RG →R dada por

ε X

g∈G

agg

!

=X

g∈G

ag.

Esta função é um homomorfismo de anéis, chamado homomorfismo de aumento de

RG. Neste caso, denotaremos seu núcleo por∆(G)e o chamaremos deideal de aumento

Demonstração. Sejam X

g∈G

agg,

X

g∈G

bgg ∈RG. Então

(i)

ε X

g∈G

agg+

X

g∈G

bgg

!

= ε X

g∈G

(ag+bg)g

!

= X

g∈G

(ag+bg)

= X

g∈G

ag+

X

g∈G

bg

= ε X

g∈G

agg

!

+ε X

g∈G

bgg

!

;

(ii)

ε X

g∈G

agg·

X

g∈G

bgg

!

= ε X

g,h∈G

(agbh)gh

!

= X

g,h∈G

(agbh)

= X

g∈G

ag.

X

g∈G

bg

= ε X

g∈G

agg

!

.ε X

g∈G

bgg

!

.

Proposição 1.18 (Proposição 3.2.10, [PS02]). O conjunto {g−1;g ∈G, g 6= 1} é uma

R-base de ∆(G) sobre R.

A proposição anterior nos garante então que podemos escrever

∆(G) =

( X

g∈G

αg(g−1); g 6= 1, αg ∈R

)

.

Definição 1.19. Seja H < G. Denotaremos por ∆(G, H) o ideal à esquerda de RG

gerado pelo conjunto {h−1; h∈H}, isto é,

∆(G, H) =

( X

h∈H

αh(h−1);αh ∈RG

)

.

Observe que na definição de ∆(G, H) os αg são tomados em RG, ao passo que

Note que, se N ⊳ G, uma vez que(n−1)g =g(g−1_{ng−1)e g(n−1) = (gng}−1₋ 1)g, ∀n∈N e g ∈G, temos que ∆(G, N) é um ideal bilateral e pode ser descrito como

∆(G, N) =

( X

n∈N

(n−1)αn; αn∈RG

)

.

Além disso, podemos visualizar∆(G, N)de uma forma diferente e bastante útil também. ComoN ⊳G, podemos tomar o quocienteG/N e o homomorfismo canônicoψN :G→G/N

e, assim, definir um homomorfismo de anéisψN :RG→R(G/N) da seguinte forma

ψN

X

g∈G

αgg

!

=X

g∈G

αgψN(g).

Proposição 1.20(Proposição 3.3.4, [PS02]). SejamN ⊳GeψN definido da forma acima,

então ker(ψN) = ∆(G, N).

1.2.2

O Centro de um Anel de Grupo

SejamGum grupo eg ∈G. Definimos aclasse de conjugaçãodeg como sendo

o conjuntoC(g) = {x−1_{gx|x∈G}. Observe que, para todo h∈G, h}−1_C(g)h=C(g).

Definição 1.21. Sejam G um grupo, R um anel comutativo, RG o anel de grupo de G

sobre R e {Ci}_i∈I o conjunto das classes de conjugação de G que possuem apenas um

número finito de elementos. Para cada i∈I, escreva γi =

X

x∈Ci

x∈RG. Esses elementos são chamados de somas de classes de G sobre R.

Teorema 1.22 (Teorema 3.6.2, [PS02]). Sejam G um grupo e R um anel comutativo. Então o conjunto {γi}_i∈I de todas as somas de classes de G sobre R é uma R-base de

Z(RG), onde Z(RG) = {α∈RG;αβ =βα, ∀β ∈RG} é o centro de RG.

1.3 Involuções

Nesta seção, introduziremos os conceitos e alguns resultados de involuções em grupos e involuções em anéis para posteriormente definirmos a principal ferramenta deste trabalho, involuções orientadas em anéis de grupo.

1.3.1

Involuções em Grupos

Definição 1.23. Seja G um grupo. Uma aplicaçãoϕ :G→G é dita umainvolução de grupos, ou simplesmente involução, se, para todos g, h∈G, temos que,

(ii) ϕ(ϕ(g)) =g.

Note que [(ii)] diz que ϕ é bijeção (ϕ−1 _=ϕ).

Lema 1.24. Sejam G um grupo e ϕ uma involução em G. Então: (1) ϕ(1G) = 1G;

(2) ϕ(g−1_{) =ϕ(g)}−1_{;∀g ∈G.}

Demonstração.

(1) Temos que 1G =ϕ(ϕ(1G)) = ϕ(1Gϕ(1G)) = 1Gϕ(1G) =ϕ(1G).

(2) Temos que 1G =ϕ(1G) = ϕ(gg−1) =ϕ(g−1)ϕ(g). Logo, ϕ(g−1) =ϕ(g)−1.

Exemplo 1.25. Seja G um grupo. A aplicação ∗: G→G definida por g∗ _{=∗(g) =g}−1

é uma involução em G, chamada de involução clássica de G.

Exemplo 1.26. Seja S3 ={1S3,(12),(13),(32),(123),(321)} o grupo de permutações de

3 elementos e considere a aplicação ϕ : S3 → S3 definida por ϕ(g) = (12)g−1(12). A

aplicação ϕ é uma involução em S3. De fato,

(i) ϕ(gh) = (12)h−1_g−1_{(12) = [(12)h}−1_(12)][(12)g−1_{(12)] =ϕ(h)ϕ(g);}

(ii) ϕ(ϕ(g)) = (12)(12)(g−1₎−1_{(12)(12) =g.}

Definição 1.27. Um elemento g ∈ G diz-se ϕ-simétrico, ou simplesmente simétrico, se g é um ponto fixo para a involução ϕ, ou seja, ϕ(g) = g. Denotaremos por Gϕ =

{g ∈G;ϕ(g) =g} o conjunto dos elementos simétricos de G em relação a involução ϕ.

Naturalmente, paraH < G, denotaremos porHϕ o conjunto dos elementos de H

que são simétricos em relação a involução ϕ, ou seja, Hϕ ={h∈H :ϕ(h) = h}.

Vamos introduzir agora os LC-grupos1_{, uma classe interessante de grupos em que}

podemos induzir uma involução de forma bastante natural e que nos será muito útil nos Capítulos 2 e 3. Para isso, precisaremos antes conhecer alguns outros conceitos.

Definição 1.28. Seja G um grupo. Dados g, h ∈G, o operador (g, h) = g−1_h−1_{gh será}

chamado decomutador de g e h. Denotamos por G′ _{={h(g, h)i:g, h∈G}, o subgrupo}

gerado por todos os comutadores de G, o chamado subgrupo derivado de G.

Definição 1.29. Seja G um grupo não abeliano. Dizemos que um elemento s ∈ G é o

único comutador não trivial de G se s 6= 1 e (g, h) = g−1_h−1_{gh ∈ {1, s} ∀g, h ∈ G,}

ou seja,G′ _{={1, s}}

Lema 1.30. Seja Gum grupo não abeliano. Se G possui um único comutador não trivial

s, então s2 _{= 1 e s∈ Z(G).}

Demonstração. Sejam g, h ∈G tais que gh6= hg, assim temos que g−1_h−1_{gh =s ⇒s =}

h−1_g−1_{hg = s}−1_{, logo s = s}−1 _{⇒ s}2 _{= 1. Suponha por absurdo que s /∈ Z(G) e seja}

g ∈ G tal que sg 6=gs. Temos que s = s−1_g−1_{sg ⇒ 1 = g}−1_{sg ⇒g = sg ⇒s = 1, uma} contradição.

Definição 1.31. Dizemos que um grupo não abeliano G é um LC-grupo se, para todos

g, h∈G tais que gh=hg, temos que g ∈ Z(G), h∈ Z(G) ou gh∈ Z(G).

Observação 1.32. Com a definição acima, temos que, se G é um LC-grupo, então g2 _∈ Z(G), ∀g ∈G e com isso (g, h) =g−2_(gh−1₎2_h2 _{∈ Z(G), ∀g, h∈G.}

Exemplo 1.33. Seja o grupo dos quatérnios de ordem 8, Q8 = hx, y;x4 = 1, x2 =

y2_{, x}y _=x−1_i.

Dado essa presentação, podemos verificar que a tábua de multiplicação de Q8 é a

seguinte.

· 1 x x2 _x3 _{y xy x}2_{y x}3_y 1 1 x x2 _x3 _{y xy x}2_{y x}3_y

x x x2 _x3 _{1 xy x}2_{y x}3_{y y}

x2 _x2 _x3 _{1 x x}2_{y x}3_{y y xy}

x3 _x3 _{1 x x}2 _x3_{y y xy x}2_y

y y x3_{y x}2_{y xy x}2 _{x 1 x}3

xy xy y x3_{y x}2_{y x}3 _x2 _{x 1}

x2_{y x}2_{y xy y x}3_{y 1 x}3 _x2 _x

x3_{y x}3_{y x}2_{y xy y x 1 x}3 _x2

Por se tratar de um grupo finito, podemos computar g−1_h−1_{gh, ∀g, h ∈ Q} 8 e

verificar que Q′

8 = {1, x2} e, assim, concluir que Q8 possui um único comutador não

trivial x2_{. Note também que os únicos elementos que comutam entre si e que não estão}

no centro sãox com x3 _{e xycom x}3_{y, e, nestes casos, xx}3 _{= 1e xyx}3_{y= 1, o que implica}

queQ8 é um LC-grupo.

O próximo corolário é uma consequência do Teorema 1.22.

Corolário 1.34. SejamRum anel comutativo eGum LC-grupo com um único comutador não trivials. Então o conjunto

é uma R-base de Z(RG).

Demonstração. Seja g ∈ G. Se g ∈ Z(G) então C(g) = {g}. Agora, ∀x, y ∈ G tais

que xy 6= yx, temos que s = x−1_y−1_{xy, assim y}−1_{xy = sx, logo, se g /∈ Z(G), então}

C(g) = {g, sg}. Pelo Teorema 1.22, temos o resultado.

Lema 1.35. Seja G um LC-grupo com um único comutador não trivial s. Então a aplicação ϕ:G→G dada por

ϕ(g) =

(

g, se g ∈ Z(G);

sg, se g /∈ Z(G),

define uma involução em G. Demonstração.

(i) ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g), ∀g, h∈G. Suponha que gh6=hg.

Assim, temos que g, h, gh /∈ Z(G), já que, se g ou h ∈ Z(G), teríamos que gh = hg e, se gh ∈ Z(G), teríamos que ghg = ggh ⇒ gh = hg, absurdo. Note que g−1_h−1_{gh=s ⇒gh=shg, logo ϕ(gh) = sgh=hg=shsg =ϕ(h)ϕ(g).}

Suponha agora que gh =hg.

Como G é um LC-grupo, então g ∈ ZG, h∈ ZG ough∈ ZG.

Se g, h∈ Z(G), então ϕ(gh) = gh=hg =ϕ(h)ϕ(g).

Se g ∈ Z(G) e h /∈ Z(G), então ϕ(gh) = sgh = shg =hsg =ϕ(h)ϕ(g). O caso

g /∈ Z(G)e h∈ Z(G) é análogo.

Se g, h /∈ Z(G), então gh ∈ Z(G), logo ϕ(gh) = gh = hg = s2_{hg = shsg =}

ϕ(h)ϕ(g).

(ii) ϕ(ϕ(g)) = g, ∀g ∈G.

De fato, se g ∈ Z(G), temos que ϕ(ϕ(g)) = ϕ(g) = g. Se g /∈ Z(G), utilizando

o item anterior, temos que ϕ(ϕ(g)) = ϕ(sg) = ϕ(g)ϕ(s) e, pelo Lema 1.30, ϕ(g)ϕ(s) =

sgs=s2_{g =g.}

Definição 1.36. Dizemos que um LC-grupo, G, com um único comutador não trivial s, juntamente com a involução ϕ dada pelo Lema 1.35, é um SLC-grupo2

em relação à involução ϕ.

No próximo capítulo, enunciaremos um teorema que nos fornece condições neces-sárias e suficientes para queG seja um SLC-grupo em relação à involução ϕ.

1.3.2

Involuções em Anéis

Definição 1.37. Seja R um anel. Dizemos que uma aplicação ϕ :R →R é uma involu-ção de anéisem R, ou, simplesmente uma involução, se, para todor, s∈R, as seguintes propriedades são satisfeitas:

(i) ϕ(r+s) = ϕ(r) +ϕ(s); (ii) ϕ(rs) = ϕ(s)ϕ(r);

(iii) ϕ(ϕ(r)) =r.

Lema 1.38. Sejam R um anel e ϕ uma involução em R, então valem as seguintes pro-priedades:

(i) ϕ(1) = 1;

(ii) ϕ(0) = 0;

(iii) ϕ(−r) = −ϕ(r), ∀r ∈R;

(iv) Se u∈ U(R) então ϕ(r−1_{) =ϕ(r)}−1_;

(v) r ∈ Z(R), se e somente se, ϕ(r)∈ Z(R). Demonstração.

(i,iv) Seguem de forma análoga ao Lema 1.24.

(ii,iii) Seguem do fato de que a involução atua como um homomorfismo de grupos na estrutura de grupo aditivo que R possui.

(v) Se r∈ Z(R) então para todos ∈R temos que

ϕ(r)s=ϕ(r)ϕ(ϕ(s)) =ϕ(ϕ(s)r) =ϕ(rϕ(s)) = ϕ(ϕ(s))ϕ(r) =sϕ(r).

Portanto, ϕ(r)s = sϕ(r), o que implica ϕ(r) ∈ Z(R). Reciprocamente, se ϕ(r) ∈ Z(R), então, do que já foi mostrado, temos que r =ϕ(ϕ(r))∈ Z(R).

Exemplo 1.39. A função identidade é uma involução em um anel comutativo. De forma mais geral, todo homomorfismo de ordem2 é uma involução em um anel comutativo.

Exemplo 1.40. SejamR um anel e Mn(R) o anel das matrizes de ordem n com

coefici-entes em R. A transposição de matrizes é uma involução em Mn(R).

Exemplo 1.42. Seja H = {a+bi+cj+dk;a, b, c, d∈R, i, j, k são unidades básicas}. Definido a soma por

(a+bi+cj+dk) + (a′+b′i+c′j +d′k) = (a+a′) + (b+b′)i+ (c+c′)j+ (d+d′)k

e o produto induzido pelo produto deR; sendo ele distributivo em relação à soma e satis-fazendo as seguintes leis para as unidades básicas:

i2 _=j2 _=k2 _{=ijk =−1}

ij =k =−ji jk =i=−kj ki=j =−ik,

obtemos o anel (H,+,·) dos quatérnios. As aplicações

ϕ :H → H

a+bi+cj+dk 7→ a−bi−cj−dk

e

ψ :H → H

a+b1i+b2j +b3k 7→ a+bγ(1)i+bγ(2)j +bγ(3)k,

onde γ é uma permutação do conjunto {1,2,3}, são involuções em H.

Exemplo 1.43. Sejam R uma anel com uma involuçãoϕ e G um grupo com uma invo-lução ϕ′_{. Definimos para o anel de grupo RG a seguinte aplicação:}

ϕ:RG → RG α=P_g∈Gαgg 7→

P

g∈Gϕ(αg)ϕ

′_(g).

(i)

ϕ(α+β) = ϕ X

g∈G

αgg+

X

g∈G

βgg

!

= ϕ X

g∈G

(αg +βg)g

!

= X

g∈G

ϕ(αg+βg)ϕ′(g)

= X

g∈G

(ϕ(αg) +ϕ(βg))ϕ′(g)

= X

g∈G

ϕ(αg)ϕ′(g) +

X

g∈G

ϕ(βg)ϕ′(g)

= ϕ(α) +ϕ(β) ;

(ii)

ϕ(α·β) = ϕ

X

g∈G

αgg

!

· X

g∈G

βgg

!!

= ϕ X

g,h∈G

(αgβh)gh

!

= X

g,h∈G

ϕ(αg·βh)ϕ′(gh)

= X

g,h∈G

(ϕ(βh)·ϕ(αg))ϕ′(h)ϕ′(g)

= X

g∈G

ϕ(βg)ϕ′(g)·

X

g∈G

ϕ(αg)ϕ′(g)

= ϕ(β)·ϕ(α) ;

(iii)

ϕ(ϕ(α)) = ϕ ϕ X

g∈G

αgg

!!

= ϕ X

g∈G

ϕ(αg)ϕ′(g)

!

= X

g∈G

ϕ(ϕ(αg))ϕ′(ϕ′(g))

= X

g∈G

αgg

= α.

Definição 1.44. Nas condições do exemplo anterior, se R for um anel comutativo e ϕ

for a identidade, dizemos que ϕ é uma involução induzida em RG pela involução ϕ′_.

Quando não houver risco de ambiguidade, denotaremos as duas involuções pelo mesmo símbolo ϕ. Em particular, quando ϕ′ _{= ∗, a involução clássica de G, chamamos ϕ de}

involução canônica, ou clássica, de RG.

chamado de simétrico ou antissimétrico, se ϕ(r) = r ou ϕ(r) = −r, respectivamente. Denotamos por Rϕ e Rϕ− o conjunto dos elementos simétricos e antissimétricos de R, ou

seja, Rϕ ={r∈R;ϕ(r) = r} e R−ϕ ={r ∈R;ϕ(r) =−r}.

Lema 1.46. Seja R um anel com uma involução ϕ. O conjunto Rϕ é um subanel de R

se, e somente se, Rϕ é comutativo.

Demonstração. Sejama, b∈Rϕ. Então ϕ(a−b) =ϕ(a)−ϕ(b) =a−b. Logoa−b ∈Rϕ.

Agora, ϕ(ab) = ϕ(b)ϕ(a) = ba. Assim, ab ∈ Rϕ se, e somente se, ab = ba; isto é, se, e

somente se, Rϕ é comutativo.

1.3.3

Involuções orientadas em anéis de grupos

Definição 1.47. Seja G um grupo. Um homomorfismo σ : G → {1,−1} é chamado de uma orientação de G.

Observação 1.48. Seja N =ker(σ). Se σ é uma orientação não trivial de um grupo G, entãoN 6=G, [G:N] = 2, e com isso G=N∪N g para qualquer g /∈N. Também, se G

é um grupo finito e adimite uma orientação não trivial, então |G| é um número par.

Observação 1.49. Note que, pela definição de subgrupo, se g, h ∈ N, então gh ∈ N e se g ∈N e h /∈N, então gh /∈N. Podemos garantir usando a propriedade da orientação que se g, h /∈N, então gh ∈N, pois σ(gh) =σ(g)σ(h) = (−1)(−1) = 1.

Exemplo 1.50. Seja Sn o grupo das permutações de n elementos e considere o

homo-morfismo

σ: Sn → {1,−1}

ψ 7→ σ(ψ)

onde

σ(ψ) =

(

1, se ψ for uma permutação par; −1, se ψ for uma permutação ímpar.

Então σ é uma orientação de Sn com núcleo N = An, o grupo das permutações

pares.

Exemplo 1.51. Seja (Q∗,·) o grupo dos racionais não nulos em relação ao produto. A aplicação ϕ:Q→ {1,−1} definida por

ϕ(α) =

(

1, se α >0; −1, se α <0

é uma orientação em(Q,·).

Exemplo 1.52. Tomando G = {A∈GL(n) :det(A) =±1}, temos que σ(A) = det(A)

Seja R um anel comutativo. Dados σ uma orientação de um grupo G e ϕ uma

involução emG, podemos definir uma aplicação σϕ em RG dada por

σϕ X

g∈G

agg

!

=X

g∈G

agσ(g)ϕ(g).

Se N = ker(σ) e ϕ(N) = N, então a aplicação σϕ é uma involução em RG. De

fato, (i)

σϕ X

g∈G

αgg+

X

g∈G

βgg

!

= σϕP_g∈G(αg+βg)g

= X

g∈G

(αg+βg)σ(g)ϕ(g)

= X

g∈G

αgσ(g)ϕ(g) +

X

g∈G

βgσ(g)ϕ(g)

= σϕ X

g∈G

αgg

!

+σϕ X

g∈G

βgg

! ; (ii) σϕ X

g∈G

αgg

! X

h∈G

βhh

!!

= σϕ X

g,h∈G

(αgβh)gh

!

= X

g,h∈G

(αgβh)σ(gh)ϕ(gh)

= X

g,h∈G

(αgβh)σ(g)σ(h)ϕ(h)ϕ(g)

= X

g,h∈G

(βhσ(h))(αgσ(g))ϕ(h)ϕ(g)

= σϕ X

h∈G

βhh

!

σϕ X

g∈G

αgg

!

;

(iii)

σϕ σϕ X

g∈G

αgg

!!

= σϕ X

g∈G

αgσ(g)ϕ(g)

!

= X

g∈G

αgσ(g)σ(ϕ(g))g

= X

g∈G

αgg,

já que ϕ(N) = N e[G:N] = 2.

Definição 1.53. A aplicação σϕ : RG → RG definida acima é chamada de involução orientada em RG.

Em [N70], Novikov introduziu a noção de involução orientada em anéis de grupos. Neste trabalho, Novikov trabalhou com involuções orientadas, onde a involução ϕ era a

involução clássica deG.

Em todo o texto, σé orientação de grupo em G,N =ker(σ)e sempre que disser-mos queσϕé uma involução orientada estaremos supondo que ϕ(N) =N. Vale ressaltar

também que, quando não explicitado o contrário, σ sempre denotará uma orientação não trivial, pois, para uma orientação trivial, a maioria dos resultados encontrados nessa dis-sertação possuem versões semelhantes e podem ser encontradas, por exemplo, em [GPS09] e [JM06].

Note que a condição ϕ(N) = N não é uma condição muito forte, visto que se ϕ=∗então para qualquer orientação σ deGessa condição é verificada. O mesmo ocorre

para σ em G do exemplo 1.52 quando ϕ é a transposição de matrizes.

Definição 1.55. Seja R um anel com unidade. Dizemos que R possui característica 0,

char(R) = 0, se 1 + 1 +. . .+ 1

| {z }

n-vezes

6= 0, ∀n ≥ 1. Caso char(R) 6= 0, o menor número i tal que1 + 1 +. . .+ 1

| {z }

i-vezes

= 0 é chamado de característica de R, neste caso, char(R) = i.

Observação 1.56. Se σϕ é uma involução orientada em RG e σ é não trivial, então devemos ter que char(R) 6= 2; pois, se char(R) = 2, teríamos que σ(g) = −σ(g), o que contradiz o fato de σ ser não trivial. Observe também que se σϕ é uma involução orientada em RG, então σϕ|RN =ϕ, onde RN é o anel de grupo de N sobre R.

1.4 Os conjuntos

(

RG

)

e

(

RG

)

Como σϕ é uma involução no anel RG, podemos então considerar os conjuntos

(RG)σϕ e (RG)−σϕ. Estes serão os principais objetos de estudo dessa dissertação. No

segundo capítulo, estudaremos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (RG)σϕseja comutativo; no terceiro, estudaremos condições necessárias e suficientes para

que o conjunto(KG)σϕ com char(K) = 0 seja Lie n-Engel; no quarto capítulo,

estudare-mos sob quais condições podeestudare-mos estender as propriedades de Lie dos conjuntos(KG)σ∗

e(KG)−

σ∗ para todo o anelKG, além de encontrar condições necessárias e suficientes para

que o conjunto(KG)σ∗ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente.

A importância do estudo desses conjuntos está no fato de que, sob certas con-dições, podemos estender algumas propriedades dos elementos simétricos para RG, e

também encontrar outras propriedades para G, R ou RG. Algumas dessas condições

podem ser observadas nos seguintes teoremas.

Teorema A, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos eK um corpo de

Teorema B, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo

de característica p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie

nilpontente.

Em [L99], Gregory Lee mostrou que este segundo resultado pode ser estendido para grupos que contenham 2-elementos, contanto que Q8 6⊂ G, e classificou (RG)ϕ

quandoQ8 ⊂G.

No caso dos elementos simétricos sob involuções orientadas, (RG)σϕ, iremos

des-crever a estrutura de G, caso (RG)σϕ satisfaça alguma indentidade de Lie, e mostrar

que os teoremas acima podem ser verificados também quando se trata de uma involução orientada.

Encontraremos algumas condições para que uma propriedade de (KG)σ∗ possa

ser estendida paraKG. A seguinte proposição exemplifica uma dessas condições.

Proposição. SejaG um grupo tal que |Z(G)2_{|=∞. Então (KG)}

σ∗ ou(KG)−σ∗

é Lie nilpotente de índice n se, e somente se, KGé Lie nilpotente de índice n.

Denotaremos por (G)σϕ ={g ∈G:σϕ(g) = g}e (G)−σϕ ={g ∈G:σϕ(g) = −g}

os conjuntos dos elementos simétricos e antissimétricos de G sob σϕ. Denotaremos tam-bém porGϕos elementos simétricos sob a involuçãoϕdeG, ou seja,Gϕ ={g ∈G:ϕ(g) = g}.

Seja g ∈Gσϕ. Então σϕ(g) =σ(g)ϕ(g) =g. Logo, σ(g) = 1 e ϕ(g) =g. Assim,

Gσϕ =N∩Gϕ =Nϕ. Observe que, comogϕ(g)∈Gϕ,∀g ∈G, entãogϕ(g)∈Nϕ,∀g ∈G.

Note que podemos particionar G, utilizando σ e ϕ, em quatro subconjuntos

dis-juntos, como segue:

G=Nϕ∪N\Nϕ∪(G\N)\Gϕ∪Gϕ\N.

Vamos então descrever como (RG)σϕ e (RG)−σϕ podem ser gerados, como R

-módulos, a partir de elementos em cada uma dessas partes.

Seja α = P_g∈Gαgg ∈ (RG)σϕ. Então σϕ

X

g∈G

αgg

!

= X

g∈G

αgσ(g)ϕ(g) =

X

g∈G

αgg. Logo, αϕ(g) = σ(g)αg,∀g ∈ supp(α). Com isso obtemos que, se g ∈ supp(α)∩

Gϕ\N, temos que 2αg = 0, pois

αg =σ(ϕ(g))αϕ(g) =−αg.

Observação 1.57. Para evitar que esses elementos estejam no suporte dos elementos simétricos, iremos sempre tomar anéis R tais que 2r6= 0, ∀r∈R\ {0}.

ou seja, esta condição sempre se verifica para um corpoK tal que char(K)6= 2.

Logo, se R é um anel tal que 2r 6= 0, ∀r ∈R\ {0}, então (RG)σϕ é gerado como

R-módulo pelo conjunto

S =Nϕ∪ {g+σϕ(g) :g ∈G\Nϕ}.

Para refinar esse conjunto gerador de(RG)σϕ, note que

supp(α)∩G\Nϕ = supp(α)∩((G\(N ∪Gϕ))∪(N\Nϕ)∪(Gϕ\N))

= supp(α)∩(((G\N)\Gϕ)∪(N\Nϕ)),

com isso temos que

S =Nϕ∪ {g+ϕ(g) :g ∈N\Nϕ} ∪ {g−ϕ(g) :g ∈(G\N)\Gϕ}.

Em particular, se ϕ =∗, então (RG)σ∗ é gerado por

S =g ∈N :g2 = 1 ∪g+g−1 :g ∈N, g2 6= 1 ∪g−g−1 :g ∈G\N, g2 6= 1 .

Seja g ∈G−

σϕ. De forma análoga, encontramos que G−σϕ = (G\N)∩Gϕ =Gϕ\N.

Seja α = P_g∈Gαgg ∈ (RG)−σϕ. Temos que σϕ

X

g∈G

αgg

!

= X

g∈G

αgσ(g)ϕ(g) =

−X

g∈G

αgg. Logo, −αϕ(g) = σ(g)αg,∀g ∈ supp(α). De forma análoga ao caso anterior,

temos que, seR é um anel tal que 2r 6= 0, ∀r∈ R\ {0}, então supp(α)∩Nϕ =∅. Logo,

(RG)−

σϕ é gerado como R-módulo pelo conjunto

L=Gϕ\N ∪ {g−σϕ(g) :g ∈G\(Gϕ\N)}.

Como N ∪Gϕ ⊂G, temos que

supp(α)∩G\(Gϕ\N) = supp(α)∩((G\(N ∪Gϕ))∪(N\Nϕ)∪Nϕ)

= supp(α)∩(((G\N)\Gϕ)∪(N\Nϕ)).

Então, (RG)−σϕ é gerado por

L ={g ∈Gϕ\N} ∪ {g+ϕ(g) :g ∈G\(N ∪Gϕ)} ∪ {g−ϕ(g) :g ∈N\Gϕ}.

Em particular, se ϕ =∗, então (RG)−σ∗ é gerado por

1.4.1

Propriedades de Lie

Em um anel associativo R, definimos o colchete de Lie de dois elementos

x, y ∈ R por [x, y] = xy −yx. Esta definição pode ser estendida recursivamente por [x1, . . . , xn+1] = [[x1, . . . , xn], xn+1], ∀xi ∈R.

Definição 1.58. Seja S um subconjunto deR. Dizemos que S éLie nilpotentese existe

n ≥ 2 tal que [x1, . . . , xn] = 0, ∀xi ∈ S. O menor n tal que isso acontece é chamado de

índice de nilpotência deS.

Definição 1.59. Seja S um subconjunto de R. Dizemos que S é Lie n-Engel se existe

n≥2 tal que [x, y, . . . , y

| {z }

n vezes

] = 0, ∀x, y ∈S.

Note que, se S é Lie nilpotente de índice m, então S também é Lie n-Engel para

algumn ≤m.

Observe também que, se G for abeliano, teremos então que RG é comutativo, assim o fato de(RG)σϕ ser comutativo ou possuir alguma propriedade de Lie não

Comutatividade de

(

RG

)

_σϕ

Em [JM06], Eric Jespers e M. Ruiz Marín estudaram a comutatividade dos ele-mentos simétricos sob uma involução induzida em um anel de grupo, encontrando condi-ções necessárias e suficientes para que o conjunto (RG)ϕ seja comutativo.

Teorema 2.1 (Teorema 2.4, [JM06]). Sejamϕ uma involução em um grupo não abeliano

G e R um anel comutativo tal que char(R) 6= 2. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

1. (RG)ϕ é comutativo;

2. O grupo G é um SLC-grupo; 3. G/Z(G)≃C2 ×C2,

ϕ(g) =

(

g, se g ∈ Z(G);

h−1_{gh, se g /∈ Z(G),} ∀h ∈G com (g, h)6= 1.

O. Broche Cristo e C. Polcino Milies em [BP06] estudaram algo semelhante, subs-tituindo a involução induzidaϕpor uma involução orientadaσϕ e encontrando condições

necessárias e suficientes para que o conjunto (RG)σϕ seja comutativo. Este capítulo está

baseado nesta referência.

Embora o artigo [BP06] foi utilizado como base para esse capítulo, devemos notar que alguns resultados foram modificados, pois os autores cometeram um pequeno deslize ao desconsiderar a existência de elementos r ∈ R\ {0} tais que 2r = 0. Os próprios autores perceberam o equívoco e publicaram o artigo [GP13] considerando a existência de tais elementos, corrigindo o resultado contido em [BP06]. Como nosso interesse é estudar os elementos simétricos em anéis de grupo tais que o anel é um corpo de característica diferente de2, temos que os resultados encontrados em [BP06] para esse tipo de anel são suficientes para nosso trabalho.

Em todo o capítulo, R será um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, ϕ uma involução em G e σ uma orientação em G. Lembramos que, sob

essas condições sobre o anelR, temoschar(R) = 0 ouchar(R) =a, onde aé um número

ímpar.

Lema 2.2. Seja R um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}. Se

(RG)σϕ é comutativo, então (G\N)\Gϕ ⊂ Z(G). Além disso, se g ∈ (G\N)\Gϕ, então

gϕ(g) =ϕ(g)g.

Demonstração. Sejah∈G.

Vamos analisar como h se relaciona com g ∈ (G\N)\Gϕ dependendo em que

subconjunto da partição de Gesse elemento se encontra.

(a) Suponha que h∈Nϕ. Então

0 = [g+σϕ(g), h] = [g−ϕ(g), h] ⇓

gh+hϕ(g) =hg+ϕ(g)h.

Como char(R) 6= 2 e g /∈ Gϕ, temos que gh = hg. Em particular, como gϕ(g) ∈ Nϕ, g

comuta com gϕ(g), ou seja, ggϕ(g) =gϕ(g)g, o que implica que g comuta com ϕ(g). (b) Se h∈(G\N)\Gϕ, temos que

0 = [g−ϕ(g), h−ϕ(h)] ⇓

gh+ϕ(g)ϕ(h) +hϕ(g) +ϕ(h)g =gϕ(h) +ϕ(g)h+hg+ϕ(h)ϕ(g).

Comog, h /∈Gϕ, temos quegh6=gϕ(h)egh6=ϕ(g)h. Assim comochar(R)6= 2, devemos

considerar as quatro seguintes possibilidades:

(1) gh =hg;

(2) gh =ϕ(h)ϕ(g);

(3) char(R) = 3 e três elementos do lado esquerdo da equação acima são iguais entre si.

Se (1) ocorre, temos o resultado.

Suponha então que (2) ocorre, então temos que gh = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh),

impli-cando que gh∈ Nϕ, logo, podemos aplicar o caso (a), e verificar que gh e g comutam, o

que nos garante queg e h comutam, e assim o resultado ocorre.

Logo, ϕ(h)g = ϕ(g)h e dessa forma temos que ϕ(g)h ∈ Nϕ. Pelo caso (a), temos que

ϕ(g)hg = gϕ(g)h = ϕ(g)gh, e assim gh = hg. Se gh = hϕ(g) = ϕ(h)g ou gh =

ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(h)g, de forma análoga encontramos o resultado.

(c) Suponha que h∈N\Gϕ. Então

0 = [g−ϕ(g), h+ϕ(h)] ⇓

gh+gϕ(h) +hϕ(g) +ϕ(h)ϕ(g) =ϕ(g)h+ϕ(g)ϕ(h) +hg+ϕ(h)g.

Comochar(R)6= 2 e g, h /∈ Gϕ, temos quegh 6=gϕ(h), hϕ(g)6=ϕ(h)ϕ(g) e gh 6=ϕ(g)h.

Assim, gh∈ {ϕ(g)ϕ(h), hg, ϕ(h)g}. Se gh=ϕ(h)g, então ϕ(gh) =ϕ(g)h. Comog /∈Gϕ,

temos que gh /∈ Gϕ. Por outro lado, se gh = ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(hg) então gh ∈ Gϕ se, e

somente se, gh = hg. Suponha então que gh /∈ Gϕ. Como gh /∈ N, podemos aplicar o

caso (b) paragh e concluiremos que gh comuta com g implicando quegh=hg.

(d) Suponha agora que h ∈ Gϕ\N. Neste caso, temos que gh ∈ N e podemos

analisar dois casos: g ∈ Gϕ oug /∈Gϕ. Se gh∈ Gϕ então, pelo caso (a), segue que gh e

g comutam, e assim gh =hg. Agora, se gh /∈ Gϕ então, pelo caso (c), temos que ou gh

comuta com g ou ghϕ(g) =ϕ(gh)g. Assim, g comuta com h ou ghϕ(g) = ϕ(h)ϕ(g)g =

hgϕ(g). Logo, em ambos os casos, temos que gh=hg.

Para estudar os simétricos em relação às involuções orientadas, é de fundamental importância conhecer o caso não orientado, pois temos que σϕ em N se comporta como

uma involução induzida sem orientação.

Visto isso, faremos as seguintes observações para continuarmos o estudo.

Observação 2.3. Suponha que (RG)σϕ é comutativo, então (RN)σϕ = (RN)ϕ é

comu-tativo. Assim, pelo Teorema 2.1, temos duas possibilidades para N:

(A) N é um grupo abeliano;

(B) N é um LC-grupo com um único comutador não trivial s tal que a involução ϕ é dada por:

ϕ(g) =

(

g, se g ∈ Z(N);

sg, se g ∈G\Z(N). (2.1)

Agora provaremos o principal teorema desse capítulo.

Teorema 2.4. SejamR um anel comutativo com identidade tal que2r6= 0, ∀r∈R\ {0},

G um grupo não abeliano, ϕ uma involução em G, σ uma orientação não trivial de G e

N =ker(σ). Então(RG)σϕé comutativo se, e somente se, uma das condições é verificada:

(ii) G e N são LC-grupos e existe um único comutador não trivial s tal que a involução

ϕ é dada por

ϕ(g) =

(

g, se g ∈N ∩ Z(G) ou g ∈(G\N)\Z(G);

sg, caso contrário.

Demonstração. Assuma que(RG)σϕ é comutativo. Devemos estudar separadamente dois

casos dependendo se os elementos em G\N são simétricos sob ϕ ou não. (1) (G\N)⊂Gϕ.

Neste caso mostraremos que (B) não pode ocorrer e, assim, (A) será satisfeito, consequentemente o item (i) também o será. De fato, suponha que (B) valha. Sejam

x, y ∈ N tais que xy 6=yx. Dessa forma, podemos afirmar que x, y, xy /∈ Z(N). Assim, ϕ(x) =sx, ϕ(y) =sy eϕ(xy) = sxy. Tome agorag ∈G\N. Comox∈N eg /∈N, temos

quexg ∈G\N, logo xg =ϕ(xg) =ϕ(g)ϕ(x) =gsx, ou seja, g−1_{xg =sx. Analogamente,}

g−1_{yg=sy eg}−1_{(xy)g =sxy. Mas, sxy =g}−1_{(xy)g =g}−1_xgg−1_{yg =sxsy =xy e assim}

s= 1, contradição. Logo (B) não ocorre e assim N é abeliano.

(2) (G\N)6⊂Gϕ.

Neste caso mostraremos que (ii) é satisfeito.

Fixe g um elemento de (G\N)\Gϕ. Neste caso, o Lema 2.2 nos garante que g é

central. Usando o fato de que g ∈ Z(G) e a Observação 1.48, podemos afirmar que G é

abeliano se, e somente se,N o é; logo, devemos assumir que N é não abeliano. Assim, N

é um LC-grupo com um único comutador não trivial s.

Afirmação: G é um LC-grupo com um único comutador não trivial.

De fato, se g é central, para todo x, y ∈ N temos que xg e yg comutam se, e

somente se,x ey comutam. Como N é um LC-grupo, isto é equivalente a x∈ Z(N), y ∈ Z(N) ou xy ∈ Z(N). Como G = N ∪ N g, resta mostrar que, se xgy = yxg, então xg ∈ Z(G), y ∈ Z(G)ouxgy∈ Z(G)e que se xgyg =ygxg então xg ∈ Z(G), yg ∈ Z(G) ouxgyg∈ Z(G).

Suponha então que xgy = yxg. Como g ∈ Z(G), temos que gxy = gyx, o que implica em xy =yx, mas, como N é um LC-grupo, temos que x ∈ Z(N), y ∈ Z(N) ou

xy∈ Z(N), o que implicaxg ∈ Z(G), y ∈ Z(G) ouxgy∈ Z(G), já que G=N ∪N g.

Suponha agora que xgyg = ygxg, portanto xy = yx, e, como N é LC-grupo,

temos quex∈ Z(N), y ∈ Z(N)ouxy∈ Z(N), o que implica que xg ∈ Z(G), yg ∈ Z(G) ouxgyg ∈ Z(G). Assim, podemos concluir que G é um LC-grupo. Por outro lado, para

todosx, y ∈N que não comutam, temos que (xg, yg) = (x, y) =s e(xg, y) = (x, y) = s.

Assim, s é o único comutador não trivial de G, que sabemos pertencer ao centro de G. Finalmente, lembrando queϕ é dado por (2.1) emN, precisamos apenas mostrar que Z(N) = N ∩ Z(G) e determinar ϕ em G\N. Para determinar o segundo caso, seja

tome x ∈ N\Z(N). Então xh∈ (G\N)\Z(G) e novamente pelo Lema 2.2 obtemos que

xh∈Gϕ, logo hx=xh=ϕ(xh) = ϕ(h)ϕ(x) = ϕ(h)sx e, assim, temos que ϕ(h) = sh.

Mostraremos agora que Z(N) = N ∩ Z(G). Seja x ∈ Z(N)\Z(G). Então, ϕ(x) = x e existe y ∈ G\N tal que xy 6= yx e ϕ(y) = y. Assim, xy ∈ (G\N)\Z(G) e do que foi mostrado acima temos que xy = ϕ(xy) = ϕ(y)ϕ(x) = yx, uma contradição.

AssimZ(N)⊂ Z(G), logo Z(N) =N ∩ Z(G), e temos que (ii) é verificado.

Reciprocamente, suponha que algum dos 2 itens ocorrem. Já que(RG)σϕé gerado

comoR-módulo pelo conjunto

S =Nϕ∪ {g+ϕ(g) :g ∈N\Nϕ} ∪ {g−ϕ(g) :g ∈(G\N)\Gϕ},

é suficiente mostrar que os elementos de S comutam.

Suponha que (i) ocorra. Seja g ∈ G\N. Temos que g +σϕ(g) = g −ϕ(g), mas comoG\N ⊂Gϕ, temos que g−ϕ(g) = 0. Assim, G\N =∅ e, neste caso,

S =Nϕ∪ {g+ϕ(g) :g ∈N\Nϕ};

mas, por hipótese, N é abeliano; logo os elementos de S comutam, e assim (RG)σϕ é

comutativo.

Suponha agora que (ii) valha. Primeiro, vamos mostrar que ϕ é uma involução. Como s é um elemento central de ordem 2 em G e s∈ N, já que s é o único comutador não trivial de N, temos queϕ(ϕ(g)) =g. Para mostrar que ϕ satisfaz a propriedade (ii) da definição de involução, tome dois elementos g, h ∈ G e vamos considerar dois casos

abaixo.

Suponha que gh 6= hg. Neste caso, hg = sgh e g, h e gh não são elementos

centrais. Dessa forma, se g, h∈ N ou g, h /∈ N, temos que ϕ(gh) = sgh = hg= s2_{hg =}

shsg = ϕ(h)ϕ(g). Caso g ∈ N e h /∈ N, então ϕ(gh) = gh = shg = hsg = ϕ(h)ϕ(g).

Logo, em ambos os casos,ϕ(gh) =ϕ(h)ϕ(g).

Suponha agora que gh = hg. Como G é um LC-grupo, temos que g, h ou gh

é central. Suponha que g, h ∈ N ou g, h /∈ N. Se g, h ∈ Z(G) ou g, h /∈ Z(G), então

gh∈ Z(G)e, assim, ϕ(gh) = gh=hg=ϕ(h)ϕ(g).

Suponha agora que g ∈N e h /∈N. Novamente, se g, h∈ Z(G) ou g, h /∈ Z(G),

então gh∈ Z(G) e, assim,ϕ(gh) =sgh=shg =ϕ(h)ϕ(g).

Com isso, ϕ dado por (ii) é uma involução, e neste caso, podemos escrever

S =Z(N)∪ {g+sg:g ∈N\Z(N)} ∪ {g−sg:g ∈(G\N)∩ Z(G)}

e, como s∈ Z(G), temos que os elementos de

comutam com todos os elementos de S. Trivialmente temos que Z(N) comuta com {g+sg;g ∈N\Z(N)}, assim a comutatividade de (RG)σϕ segue.

Definição 2.5. Um grupo não abeliano G diz-se Hamiltoniano se, para todo H < G, temos que H ⊳ G.

Definição 2.6. Um grupo G é chamado de p-grupo abeliano elementar se G é o produto direto de cíclicos de ordem p.

Teorema 2.7 (Teorema 1.8.5, [PS02]). Um grupo não abeliano G é Hamiltoniano se, e somente se, G ≃Q8×E×A, onde E é um 2-grupo abeliano elementar e A é um grupo

abeliano no qual todos os elementos possuem ordem ímpar.

Como a involução clássica, ϕ(g) = g∗ _{= g}−1_{, é a involução mais natural que} podemos encontrar em um grupo, e possui propriedades bastante interessantes, o Capítulo 4 será destinado ao estudo dos elementos simétricos sob essa involução, porém iniciaremos o estudo da mesma apresentando uma versão do Teorema 2.4 quando ϕ=∗.

Teorema 2.8 (Teorema 2.3, [BP06]). Sejam R um anel comutativo com identidade tal que2r6= 0, ∀r ∈R\ {0}, G um grupo não abeliano, ∗a involução clássica de G e σ uma orientação não trivial de G. Então, o conjunto (RG)σ∗ é comutativo se, e somente se,

uma das condições é verificada:

(1) N é abeliano e(G\N)2 _{= 1;}

(2) N ≃Q8×E e G≃ hx, y, g;x4 = 1, x2 =y2 =g2, y−1xy=x−1, g−1xg =x, g−1yg=

yi ×E, em que E é um 2-grupo abeliano elementar.

Demonstração. Mostraremos que, neste caso, os itens (i) e (ii) do Teorema 2.4 são equi-valentes aos itens (1) e (2), respectivamente.

Note que trivialmente temos que (i) ocorre se, e somente se, (1) ocorre.

Assuma que a condição (ii) do Teorema 2.4 ocorra. Nesse caso, temos queZ(N) =

N∩ Z(G).

Como ϕ = ∗, temos que g2 _{= 1 se g ∈ Z(N) e g}2 _{= s se g ∈ N\Z(N), já que}

sg=ϕ(g) =g−1_{. Como a ordem de s é igual a2, podemos afirmar que N é um 2-grupo} com expoente menor ou igual a 4. Além disso, todo subgrupo cíclico de N é normal.

De fato, sejam g, h ∈ N tais que gh 6= hg. Neste caso, temos que g2_{, h}2 _{e (gh)}2 _são iguais a s e assim, |g| = |h| = |gh| = 4. Logo hgh = hshg = h2_{sg = s}2_{g = g e assim}

h−1_gh=h−1_{(hgh)h =gh}2 _=g3 _=g−1_{. E assim temos queN é um2-grupo Hamiltoniano.} Assim, o Teorema 2.7 nos garante que N = hx, yi ×E, onde hx, yi é o próprio

Suponha que (G\N)2 _{= 1 e seja g ∈ G\N. Neste caso temos que xg ∈ G\N,} logo 1 = (xg)2_{, isto é gxg = x}−1_{. Analogamente, gyg = y}−1 _{e g(xy)g = y}−1_x−1 _{= x}3_y. Mas, g(xy)g = gxggyg = x−1_y−1 _{= xy, uma contradição. Assim, (G\N)}2 _{6= 1 e existe} um elemento g ∈(G\N)∩ Z(G). Já que G=N ∪N g, N ≃ Q8 ×E e g ∈ Z(G), temos que E é um subgrupo central de G. Além disso, G = hx, y, giE e, assim, hx, y, gi é um subgrupo normal deG.

Afirmação: G é o produto direto de hx, y, gi eE.

Note que g2 _=x2_{. De fato, comog}−1 _{=ϕ(g) = sg ex}−1 _{=ϕ(x) = sx, temos que}

g2 _{=s = x}2_{, assim, hx, y, gi = {ag:a∈ hx, yi} ∪ hx, yi. Mas ag /∈ N = hx, yi ×E para} todoa∈ hx, yi. Assim, hx, y, gi ∩E ={1} e com isso G=hx, y, gi ×E.

Já que g2 _=x2_{, temos que}

hx, y, gi=hx, y, g;x4 = 1, x2 =y2 =g2, y−1xy =x−1, g−1xg =x, g−1yg=yi,

e assim (2) segue.

Reciprocamente, suponha que (2) ocorra e seja

H =hx, y, g;x4 = 1, x2 =y2 =g2, y−1xy =x−1, g−1xg =x, g−1yg=yi.

Como E ⊂ Z(G) basta mostrar que (RH)σ∗|H é comutativo. Note que, na parte (2.1) da demonstração do Teorema 2.4, encontramos queHé um LC-grupo com um único comutador não trivials. Assim (ii) segue pela demonstração do Teorema 2.4.

Dessa forma, temos que o Teorema 2.4 juntamente com o Teorema 2.1, encontrado em [JM06], exibem a estrutura do grupo necessária para que os elementos simétricos em relação a uma involução induzida ou involução orientada sejam comutativos. Embora para uma involução induzida, o artigo [JM06] também exiba condições necessárias e suficientes para que o conjunto (RG)ϕ seja comutativo, com char(R) = 2, não podemos fazer o

Propriedades de Lie de

(

KG

)

_σϕ

com

char

(

K

) = 0

Neste capítulo, trataremos de um resultado que generaliza, em parte, o resultado anterior. Essa generalização foi feita substituindo-se a comutatividade de (RG)σϕ pela

propriedade Lien-Engel, porém não foi uma generalização completa, pois, para o resultado

particularizamos o anelR para um corpo K tal que char(K) = 0.

De agora em diante, K sempre denotará um corpo.

O resultado principal deste capítulo nos garantirá que, se char(K) = 0, então

(KG)σϕ é comutativo⇔(KG)σϕ é Lien-Engel⇔(KG)σϕé Lie nilpotente. Vale ressaltar

que isto pode ser verificado ao combinarmos o Teorema 2.12 de [Pa77] e o Lema 2 de [LSS09], porém, iremos apresentá-lo aqui com uma abordagem original em que serão necessários apenas o teorema principal do capítulo anterior e as técnicas utilizadas para demonstrar-lo.

3.1 Involuções Orientadas em

Q

Ao observarmos o estudo das propriedades de Lie (Lie n-Engel, Lie nilpotência

e comutatividade) dos elementos simétricos sob involuções, tanto orientadas como não, podemos verificar que o grupo dos quatérnios,Q8, possui um papel de bastante destaque. Por exemplo, nas hipóteses do Teorema 2.8, temos que casoN não seja abeliano, sempre teremos uma cópia deQ8 contida em N, logo em G.

Podemos observar também na literatura, em [CP12, L10, L99, L00] por exemplo, que a inclusão deQ8 emGimpede a extensão das propriedades encontradas nos simétricos para todo o anel de grupo. Utilizando a descrição do conjunto S dos geradores dos simétricos e o Exemplo 1.33, podemos verificar que(KQ8)σ∗ sempre é comutativo, porém,

pelo Teorema V.6.1 de [S78], KQ8 não pode ser Lie n-Engel para nenhum n. Para exemplificar os resultados, podemos citar o Teorema 1 de [L00] e o Teorema 1 de [L99],

e verificar que fez-se necessário nas hipóteses admitir que Q8 6⊂ G; nos mesmos artigos, os autores descreveram quando encontraremos as propriedades de Lie para os elementos simétricos caso Q8 ⊂ G. Observações semelhantes podem ser feitas para o Capítulo 4 dessa dissertação.

Embora o estudo deQ8 seja essencialmente útil para o próximo capítulo, faremos um estudo primordial de como algumas involuções orientadas se comportam nesse grupo, pois o corolário 3.3 servirá como motivação para buscarmos o resultado principal desse capítulo.

Lema 3.1 (Lema 3.1.6, [L10]). Seja R um anel com char(R) =p, onde p é um inteiro positivo primo. Então, para todosx, y ∈R, m∈N, temos que

[x, y, . . . , y

| {z }

pm vezes

] = [x, ypm ].

Demonstração. Sejamry ely os operadores de multiplicação pela direita e pela esquerda,

respectivamente, emR por y. Então,

[x, y] =xy−yx= (ry−ly)(x).

Assim,

[x, y, . . . , y

| {z }

pm vezes

] = [[x, y], y, . . . , y

| {z }

pm

−1 vezes

]

= [(ry−ly)(x), y, . . . , y

| {z }

pm₋1 vezes

]

= [[(ry−ly)(x), y], y, . . . , y

| {z }

pm

−2 vezes

]

= [(ry−ly)2(x), y, . . . , y

| {z }

pm

−2 vezes

],

portanto

[x, y, . . . , y

| {z }

pm vezes

] = (ry −ly)p

m (x).

Como os operadores definidos acima comutam, e char(R) =p, temos que

(ry−ly)p

m

(x) = ((ry)p

m

−(ly)p

m

)(x) =xypm −ypm

x= [x, ypm ].

Lema 3.2. Sejam σϕ uma involução orientada, sendo ϕ uma involução em hx, yi ≃ Q8

e σ uma orientação não trivial de Q8 e K um corpo tal que char(K)6= 2. Se (KQ8)σϕ é

(i) ϕ(x) =x e ϕ(y) = y, se x, y /∈N;

(ii) ϕ(x) =x3 _{e ϕ(y) = y, se x∈N, y /∈N;}

(iii) ϕ(x) =x e ϕ(y) = x2_{y, se x /∈N, y∈N.}

Demonstração. Suponha por absurdo quex, y /∈N com x, y /∈Gϕ.

Se char(K) = 0, temos que ZQ8 ⊂ KQ8. Assim, (ZQ8)σϕ é Lie n-Engel e,

portanto, para todop primo,(ZpQ8)σϕ também é Lie n-Engel. Tomando p primo tal que

p > max{3, n}, computando o colchete de Lie em(ZpQ8) temos que

0 = [x−ϕ(x), y−ϕ(y), . . . , y−ϕ(y)

| {z }

p vezes

]

= [x−ϕ(x), yp _−ϕ(y)p_].

Se p= 4t+ 1 para algumt ∈Z, temos que [x−ϕ(x), y−ϕ(y)] = 0, logo,

xy+ϕ(x)ϕ(y) +yϕ(x) +ϕ(y)x=xϕ(y) +ϕ(x)y+x3_{y+ϕ(y)ϕ(x). (3.1)}

Comochar(Zp)>3 e xy /∈ {xϕ(y), ϕ(x)y, x3y}, temos que xy=ϕ(y)ϕ(x), assim ϕ(x) =

ϕ(y)−1xy, comog−1 =x2g, ∀g ∈Q8\ {1, x2}eϕ(y)∈ {1/ , x2}, já que involuções preservam a ordem do elemento, podemos afirmar que ϕ(y)−1 _=x2_{ϕ(y), assim ϕ(x) = ϕ(y)}−1_{xy =}

x2_{ϕ(y)xy = ϕ(y)x}3_{y. Observe também que ϕ(yx) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(y)x}3_{yϕ(y), mas}

ghg = h−1_{, ∀g, h ∈ Q}

8\ {1, x2}, assim ϕ(yx) = ϕ(y)x3yϕ(y) = x3y. Substituindo em (3.1), temos que

yϕ(y)x3y+ϕ(y)x=xϕ(y) +ϕ(y)x3y.

Note que yϕ(y)x3_y6=ϕ(y)x3_{y. Logo ϕ(y)x=ϕ(y)x}3_{y, absurdo.} Se p= 4t+ 3, temos que

[x−ϕ(x), y3−ϕ(y)3] = 0 ⇒[x−ϕ(x), x2(y−ϕ(y))] =x2[x−ϕ(x), y−ϕ(y)] = 0,

e, de forma análoga ao caso anterior, encontramos um absurdo.

Se char(K) = p >3 podemos fazer o mesmo raciocínio e encontrar o resultado. Se char(K) = 3, temos que considerar a mesma equação de (3.1), porém com a

possibilidade de que 3 elementos coincidam do lado esquerdo da equação. Vamos mostrar que, se isso ocorrer, então os 4 elementos serão iguais e, novamente, teremos que xy é

igual a algum elemento do lado direito da equação. Suponha que xy=ϕ(x)ϕ(y) = yϕ(x).

Agora, suponha por absurdo que x∈N, y /∈N,ϕ(x)6=x3 _{e ϕ(y)6=y.} De forma análoga ao caso anterior, temos que, se p= 4t+ 1 então

[x+ϕ(x), yp_−ϕ(y)p_{] = 0,}

assim

xy+ϕ(x)y+ϕ(y)x+ϕ(y)ϕ(x) = xϕ(y) +ϕ(x)ϕ(y) +x3y+yϕ(x).

Note que xy6=x3_{y,xy6=xϕ(y)exy6=yϕ(x). De fato, se xy=yϕ(x) temos que}

ϕ(x) =x2_{yxy =x}3_{, absurdo. Assim, xy =ϕ(x)ϕ(y), o que implica que ϕ(x) =x}3_yϕ(y). Logo temos que

ϕ(x)y+ϕ(y)x+ϕ(y)ϕ(x) =xϕ(y) +x3_y+yϕ(x) ⇓

x3_{yϕ(y)y+ϕ(y)x+ϕ(y)x}3_{yϕ(y) = xϕ(y) +x}3_y+yx3_yϕ(y) ⇓

x3_{ϕ(y) +ϕ(y)x+x}3_{y=xϕ(y) +x}3_y+x3_ϕ(y).

Dessa forma, temos que ϕ(y)x = xϕ(y), mas, como os únicos elementos que

comutam comx são xi _{e ϕ(y)∈Q}

8\ {1, x2}, temos que ϕ(y) =x ouϕ(y) =x3.

Se ϕ(y) = x, temos que ϕ(x) = x3yx = x2y; mas ϕ(x2y) = ϕ(y)ϕ(x)2 = x3,

implicando que ϕ não preserva a ordem dos elementos, logo não é uma involução, e de forma semelhante provamos que ϕ(y) = x3 _{não pode acontecer, assim encontramos um} absurdo.

Se p = 4t+ 3, da mesma forma que o caso anterior, encontramos um absurdo.

Assim temos que (ii) ocorre. Para char(K) 6= 0 a prova segue de forma semelhante ao caso (i).

O caso x /∈N ey∈N, ϕ(x) = x eϕ(y) =x2_{y é análogo ao anterior.}

Corolário 3.3. Seja σϕ uma involução orientada em KQ8, em que σ é não trivial,

Q8 =hx, yi e char(K)6= 2. Então são equivalentes:

(i) (KQ8)σϕ é comutativo;

(ii) (KQ8)σϕ é Lie nilpotente;

(iii) (KQ8)σϕ é Lie n-Engel.

Demonstração. Trivialmente temos que (i)⇒(ii)⇒(iii), sendo assim, basta mostrar que

(iii)⇒(i).

Suponha então que(KQ8)σϕseja Lien-Engel. Pela proposição anterior, podemos