G.T. Lee caracterizou em [L99] e [L00] quando o conjunto dos elementos simétri- cos sob a involução clássica é Lie nilpotente e Lie n-Engel, respectivamente. Nesta seção estudaremos estas propriedades para os elementos simétricos em relação a uma involução orientada, ou seja, faremos um estudo semelhante ao trabalho de Lee, porém, no nosso caso, utilizaremos uma orientação para induzir a involução em KG.
Definição 4.20. Um grupo G diz-se um produto central de dois subgrupos normais H e K, se G = HK, (H, K) = 1 e H ∩ K ⊂ Z(G). Neste caso denotaremos G = H ×Z K.
Lema 4.21. Sejam G um grupo e A um subgrupo de índice 2 em G. Suponha que A = C × E, um produto direto de grupos, com E um 2-grupo abeliano elementar. Se E é central em G então, para qualquer g ∈ G\A, G é um produto central dos subgrupos hC, gi e E.
Demonstração. Seja g ∈ G\A. Como, por hipótese, A é de índice 2 em G, E é central em G e A = C × E, temos que G = hC, giE e claramente hC, gi ∩ E ⊂ Z(G). Resta mostrar que hC, gi ⊳ G e E ⊳ G. Como E é central, trivialmente temos que E ⊳ G. Seja h ∈ hC, gi, devemos mostrar que aha−1 ∈ hC, gi, ∀a ∈ G. Como G = hC, giE, temos que a = be
com b ∈ hC, gi e e ∈ E, assim, aha−1 = behe−1b−1 = bhb−1, já que E ⊂ Z(G), e como
b, h ∈ hC, gi, temos que bhb−1 ∈ hC, gi, logo hC, gi ⊳ G.
Lema 4.22. Sejam K um corpo de característica p > 2, G um grupo com uma orientação não trivial σ e elementos x, y ∈ G tais que hx, yi ≃ Q8. Se (KG)σ∗ é Lie pm-Engel
para algum m > 0, então existe g ∈ G\N tal que g2pm
6= 1 e g2 = x2. Além disso,
(h, x) = (h, y) = 1, para todo h ∈ G\N tal que h2pm
Demonstração. Suponha, por absurdo, que a2pm
= 1 para todo a ∈ G\N . Seja g ∈ G\N . Primeiramente, assuma que |g| 6= 2. Como (KG)σ∗ é Lie pm-Engel e |x| = 4, temos que
0 = [g − g−1, xpm
+ x−pm] = [g − g−1, x + x−1].
Da parte (iii) do Lema 4.2, temos que gx = xg, gx = x−1g ou |g| = 4. Já que g2pm
= 1, temos que a última opção não pode ocorrer. Como g ∈ G\N e, pelo Corolário 3.4, x ∈ N, temos que gx ∈ G\N. Se gx = xg, então 1 = (gx)2pm
= g2pm
x2pm
e assim x2pm
= 1, uma contradição. Logo gx = x−1g.
Suponha agora que |g| = 2. Se (gx)2 6= 1, então, pelo argumento anterior,
(gx)x = x−1(gx) e assim gx = x−1g. Se (gx)2 = 1, então gx = x−1g−1 = x−1g. Dessa
forma, gx = x−1g∀g ∈ G\N . Como gy ∈ G\N , devemos ter que (gy)x = x−1(gy) = gxy,
o que implica xy = x, contradição.
Assim, existe um g ∈ G\N tal que g2pm
6= 1. Seja h ∈ G\N um elemento tal que h2pm
6= 1. Como (KG)σ∗ é Lie pm-Engel,
temos que [h − h−1, x + x−1] = 0, assim, pelo item (iii) do Lema 4.2, podemos afirmar que
(1) hx = xh, ou; (2) hx = x−1h, ou;
(3) x2 = h2 e |h| = 4.
Vamos mostrar que (1) sempre ocorre.
De fato, suponha que (2) ocorra, assim, podemos verificar que
(hx)k= ( hk, se k for par; hkx, caso contrário. Logo, (hx)2pm = h2pm
6= 1 e, pelo Corolário 4.3, temos que h(hx)pm
= (hx)pm h e, com isso, hhpm x = hpm xh hpm +1x = hpm xh (hx)pm +1x = (hx)pm h hx2 = h x2 = 1, contradição.
Vamos mostrar agora que (3)⇒(1).
Suponha que (3) seja satisfeito. Isto significa que |h| = 4 e h2 = x2. Se (xh)2 = 1,
então xh = h−1x−1 = h3x−1 = hx2x−1 = hx. Suponha que (xh)2 6= 1, podemos então
aplicar o Corolário 4.3 encontrando que (xh, h) = 1, logo (x, h) = 1.
(i) hy = yh; ou (ii) hy = y−1h; ou
(iii) y2 = h2 e |h| = 4;
e (i) sempre ocorre.
Finalmente, suponha que (xh)2, (yh)2pm
6= 1 para todos os elementos h ∈ G\N como acima. Como h comuta com x e y, e y2pm
= y ou y2pm
= y−1 e, pelo Corolário 4.3,
temos que xhy2pm
h2pm
= y2pm
h2pm
xh, podemos concluir que xy = yx, uma contradição. Assim, existe g ∈ G\N tal que g2pm
6= 1 e (xg)2 = 1 ou (yg)2pm
= 1.
Se (xg)2 = 1, então x2g2 = 1, o que implica que x2 = g2. De forma análoga,
(yg)2pm
= 1 implica que y2 = g2pm
. Neste caso, tomamos g1 = gp
m
.
Em todos os casos encontramos um elemento g ∈ G\N nas condições esperadas.
Lema 4.23. Sejam R um anel comutativo, Q8 = hx, yi e G = hQ8, gi, com (g, x) =
(g, y) = 1 e g2 = x2. Seja σ uma orientação de G definida por σ(x) = σ(y) = 1 e
σ(g) = −1. Então, (RG)σ∗ é central em RG.
Demonstração. Note que (RG)σ∗ é gerado como um R-módulo pelo conjunto
S =1, x2 ∪x + x−1, y + y−1, (xy) + (xy)−1 ∪g − g−1 .
Para qualquer γ ∈ S, é fácil verificar que [γ, x] = [γ, y] = [γ, g] = 0. Assim (RG)σ∗ é
central em RG.
Teorema 4.24. Sejam K um corpo de característica p 6= 2, G um grupo com uma ori- entação não trivial σ e x, y elementos de G tais que hx, yi ≃ Q8. Então, (KG)σ∗ é Lie
n-Engel, para algum n ≥ 0 se, e somente se, ou
(i) char(K) = 0, N ≃ Q8 × E e G ≃ hQ8, gi × E, com E2 = 1, e g ∈ G\N é tal que
(g, x) = (g, y) = 1 e g2 = x2; ou,
(ii) char(K) = p > 2, N ≃ Q8× E × P em que P é um p-grupo nilpotente de expoente
limitado contendo um subgrupo p-abeliano normal A de índice finito, e existe g ∈ G\N tal que G ≃ hQ8, gi × E × P , com (g, x) = (g, y) = (g, t) = 1, para todo t ∈ P
e g2 = x2.
Demonstração. Suponha que char(K) = 0. Pelo Teorema 3.11, temos que (KG)σ∗ é
comutativo; logo, aplicando o Teorema 2.8, temos que (1) ou (2) ocorre, já que char(K) 6= 2.
Como Q8 ⊂ G, podemos aplicar o Corolário 3.4 e verificar que Q8 ⊂ N ; logo, N
não pode ser abeliano. Assim, (2) ocorre e facilmente podemos verificar que o mesmo é equivalente ao item (i) desse teorema.
Assuma então que char(K) = p > 2 e que (KG)σ∗ é Lie n-Engel para algum n.
Pelo Corolário 3.4 e Teorema 2 de [L00], temos que N ≃ Q8× E × P , em que E é um
2-grupo abeliano elementar e P é um p-grupo nilpotente de expoente limitado contendo um subgrupo p-abeliano elementar A de índice finito. Pelo Lema 4.1, sabemos que E é central em G e assim, pelo Lema 4.21, temos que G ≃ hQ8 × P, gi ×Z E, sendo g um
elemento qualquer de G\N. Já que (KG)σ∗ é Lie n-Engel, existe m > 0 tal que pm ≥ n e
[γ, β, . . . , β | {z }
pm vezes
] = [γ, βpm
] = 0, ∀ γ, β ∈ (KG)σ∗.
Pelo Lema 4.22, sabemos que qualquer elemento h ∈ G\N tal que h2pm
6= 1 comuta com Q8. Pelo mesmo lema, obtemos que existe g ∈ G\N tal que g2p
m
6= 1, g2 = x2
e (g, x) = (g, y) = 1. Assim, temos também que |g| = 4.
Seja t um elemento qualquer de P . Então [t + t−1, gk− g−k] = 0, sendo k = pm,
assim [t + t−1, g − g−1] = 0, já que |g| = 4. Pela parte (iii) do Lema 4.2, temos que
gt ∈ {tgt−1g} ou |t| = 4. Como t é um p-elemento, a última possibilidade não ocorre. Se
gt = t−1g, então (gt)2 = gtgt = gtt−1g = g2 6= 1. Já que [gt − (gt)−1, g − g−1] = 0, pelo
Corolário 4.3 obtemos que gt = tg e, assim, t2 = 1, logo t = t−1. Podemos concluir então
que (g, t) = 1; assim, (g, P ) = 1, logo hQ8× P, gi = hQ8, gi × P .
Afirmação: O produto central de hQ8 × P, gi ×Z E = hQ8, gi × P ×Z E é um
produto direto.
De fato, tome l ∈ (hQ8, gi × P ) ∩ E. Como E ⊂ N , temos que g aparece uma
quantidade par de vezes na expressão de l como um elemento do grupo hQ8, gi × P e g
comuta com os elementos de Q8e P . Podemos escrever l = ztg2rpara algum r ∈ Z, z ∈ Q8
e t ∈ P . Já que g2 = x2 temos que l ∈ (Q × P ) ∩ E = {1}, e disso a afirmação segue.
Reciprocamente, seja g ∈ G\N tal que G = hQ8, gi × E × P, (g, x) = (g, y) = 1
e g2 = x2. Como g é central em G, temos que [g − g−1, γ] = 0, ∀γ ∈ (KG)
σ∗. Queremos
mostrar que existe s > 0 tal que [γ, βps
] = 0, ∀γ, β ∈ (KG)σ∗. Primeiramente, note que
podemos escrever β = β1+ β2, onde β1 =
X
h∈N
βhh e β2 =Ph∈(G\N )βhh.
Assim, β1 ∈ (KN )σ∗, e podemos escrever β1 como uma combinação linear de
elementos da forma a1c1+a−11 c−11 , com a1 ∈ Q8×E e c1 ∈ P . Observe que a1c1+a−11 c−11 =
a1+ a−11 + a1(c1− 1) + a−11 (c1− 1). Como E comuta com hQ8, gi e, pelo Lema 4.23, temos
que a1 + a−11 é central em K(hQ8, gi × E), logo, central em KG. Temos também que
a1(c1− 1) + a−11 (c1−1− 1) ∈ ∆(G, P ). Assim, β1 = α1+ δ1, em que α1 é central em KG e
δ1 ∈ ∆(G, P ).
g−1a−1
2 c−12 , com a2 ∈ Q8× E e c2 ∈ P . Note que ga2c2 − g−1a−12 c−12 = ga2− (ga2)−1+
ga2(c2− 1) − g−1a−12 (c−12 − 1). De forma análoga a β1, temos que ga2− (ga2)−1 é central
em K(hQ8, gi × E). Assim β2 pode ser escrito na forma α2+ δ2, onde α2 é central em KG
e δ2 ∈ ∆(G, P ).
Assim podemos concluir que β = α+δ, onde α ∈ Z(KG) e δ ∈ ∆(G, P ). Observe que
G E × A =
hQ8, gi × E × P
E × A ≃ hQ8, gi × P/A.
Dessa forma, podemos concluir que E × A possui índice finito em G, já que |g| = 4 e |P |/|A| < ∞, e também é p-abeliano. Assim, pela Proposição 1.1.4 de [L10], temos que KG satisfaz uma identidade polinomial, logo, pelo Lema 1.3.14 de [L10], temos que ∆(G, P ) é nil de expoente limitado, neste caso, pr.
Concluimos então que βpr
= (α + δ)pr = αpr + δpr = αpr . Como α é central em KG, temos que [γ, βpr ] = [γ, αpr
] = 0 ∀γ ∈ (KG)σ∗, logo (KG)σ∗ é Lie pr-Engel.
Lema 4.25. [(KG)σ∗, (KG)σ∗] ⊂ (KG)−σ∗ e [(KG)−σ∗, (KG)σ∗] ⊂ (KG)σ∗.
Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que [(KG)σ∗, (KG)σ∗] ⊂ (KG)−σ∗. Para
isto, basta tomar α, β ∈ (KG)σ∗ e mostrar que [α, β] ∈ (KG)−σ∗.
De fato, como α, β, ∈ (KG)σ∗, temos que σ∗(α) = α e σ∗(β) = β, logo, aplicando
σ∗ em [α, β] temos que σ∗([α, β]) = σ∗(αβ − βα) = σ∗(αβ) − σ∗(βα) = σ∗(β)σ∗(α) − σ∗(α)σ∗(β) = βα − αβ = −(αβ − βα) = −[α, β], e com isso temos que [α, β] ∈ (KG)−
σ∗.
De forma análoga, podemos mostrar que [(KG)−
σ∗, (KG)σ∗] ⊂ (KG)σ∗.
Teorema 4.26. Sejam K um corpo de característica p 6= 2, G um grupo com uma ori- entação não trivial σ e x, y elementos de G tais que hx, yi ≃ Q8. Então (KG)σ∗ é Lie
nilpotente se, e somente se, ou
(i) char(K) = 0, N ≃ Q8 × E e G ≃ hQ8, gi × E, em que E2 = 1, e g ∈ G\N é tal
que (g, x) = (g, y) = 1 e g2 = x2; ou,
(ii) char(K) = p > 2, N ≃ Q8× E × P em que E2 = 1, P é um p-grupo finito e existe
Demonstração. Se char(K) = 0, a prova segue de forma semelhante à do teorema anterior. Suponha que char(K) = p > 2 e que (KG)σ∗ é Lie nilpotente. Pelo Corolário
3.4, temos que Q8 ⊂ N e, como a involução σ∗ em KN coincide com a involução canônica
em KN, temos, pelo Teorema 2 de [L99], que N ≃ Q8 × E × P , com E2 = 1 e P um
p-grupo finito. Como (KG)σ∗ é Lie nilpotente, temos também que (KG)σ∗ é Lie n-Engel
para algum n. Assim, podemos aplicar o Teorema 4.24 e encontrar que ∃g ∈ G\N tal que G ≃ hQ8, gi × E × P, (g, x) = (g, y) = 1 e g2 = x2.
Reciprocamente, suponha que P é um p-grupo finito, ou seja, |P | = pn. Vamos
mostrar, por indução em n, que, ∀γ1, . . . , γpn+1 ∈ (KG)σ∗, temos que [γ1, . . . , γpn+1] = 0.
Se n = 0, então G ≃ hQ8, gi × E, e assim, pelo Lema 4.23 e o argumento feito no
item anterior, encontrarmos que (KG)σ∗ é comutativo.
Suponha que a tese valha para k = n − 1; vamos mostrar que também vale para k = n. Tome z ∈ Z(P ) tal que |z| = p. Como p é ímpar, temos que σ(z) = 1. Assim, podemos considerar a orientação induzida σ definida em G/hz2i. Assim, pela hipótese
de indução, temos que (K(G/hz2i))
σ∗ é comutativo, e assim [γ1, . . . , γpn−1+1] = 0, ∀γi ∈ (K(G/hz2i)) σ∗. Assim [γ1, . . . , γpn −1+1] ∈ ∆(G, hz 2i) = (z2− 1)KG = (z − z−1)KG. Logo, [γ1, . . . , γpn −1+1] = (z − z −1)w, para algum w ∈ KG.
Como pn−1 + 1 é par, pelo Lema 4.25, podemos afirmar que (z − z−1)w =
[γ1, . . . , γpn
−1+1] ∈ (KG)
−
σ∗, logo σ∗((z − z−1)w) = −(z − z−1)w. Como z − z−1 é
central e antissimétrico, pois z /∈ N e z2 6= 1, temos também que σ∗((z − z−1)w) =
σ∗(w)σ∗(z − z−1) = −(z − z−1)σ∗(w). Assim, (z − z−1)w = (z − z−1)σ∗(w), logo (z − z−1)w = (z − z−1)σ∗(w) (z − z−1)w 2 = (z − z −1)σ∗(w) 2 (z − z−1)w − (z − z−1)w 2 = (z − z −1)σ∗(w) 2 (z − z−1)w = (z − z−1)w 2 + (z − z −1)σ∗(w) 2 (z − z−1)w = (z − z−1)w + σ∗(w) 2 (z − z−1)w = (z − z−1)β 1, onde β1 = w + σ∗(w) 2 ∈ (KG)σ∗. Então [γ1, . . . , γ2pn −1+1] = (z − z−1)[β1, γpn−1+2, . . . , γ2pn−1+1]. Como o colchete [β1, γpn −1+2, . . . , γ2pn−1+1] possui p
n−1 + 1 elementos, então, com um argumento análogo
ao anterior, temos que [β1, γpn
−1+2, . . . , γ2pn−1+1] = (z − z
−1)β
2, para algum β2 ∈ (KG)σ∗.
Repetindo esse argumento, encontramos que [γ1, . . . , γpn+1] = (z − z−1)pβp, para
algum βp ∈ (KG)σ∗. Mas (z − z−1)p = zp − z−p = 1 − 1 = 0, assim encontramos que
(KG)σ∗ é Lie nilpotente.
de Lie gerais e não seja comutativo. Para isto basta tomar um anel que satisfaça o item (ii) dos Teoremas 4.24 ou 4.26 com P não trivial, e assim o Teorema 2.8 garantirá a veracidade do nosso exemplo.
Vimos também, no Teorema 3.11, que, se char(K) = 0, não existem tais exem- plos, pois, neste caso, as propriedades de Lie são equivalentes entre si.
Como podemos observar na literatura, a caracterização de grupos tais que (KG)σ∗
é Lie n-Engel (nilpotente) se torna mais complicada quando Q8 6⊂ G. Não conseguindo
ainda uma caracterização completa desse caso, os autores em [CP12] adicionaram a hipó- tese de KG ser semiprimo para resolver esse problema.
Proposição 4.27. Sejam K um corpo tal que char(K) 6= 2 e G um grupo tal que KG é semiprimo e Q8 6⊂ G. Então (KG)σ∗ é Lie n-Engel para algum n se, e somente se, uma
das seguintes condições acontece: (i) G é abeliano;
(ii) N = Ker(σ) é abeliano e (G\N )2 = 1.
Além disso, (KG)σ∗ é comutativo.
Demonstração. Se (i) ocorre, trivialmente temos que KG é Lie n-Engel, e, caso (ii) ocorra, o Teorema 2.8 garante o resultado.
Reciprocamente, suponha que (KG)σ∗ é Lie n-Engel. Já que Q8 6⊂ G e K é um
corpo tal que char(K) 6= 2 temos, pelo Lema 2.4 de [GPS09], que (KG)σ∗ é comutativo
e, pelo Teorema 2.8, temos que o resultado segue.
Assim, embora ainda não se encontre na literatura a caracterização dos grupos tais que o conjunto (RG)σϕ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente, ao menos para este caso
particular de involução, um dos mais importantes, já temos alguns resultados nesse sen- tido.
Com os resultados encontrados nos teoremas dos 3 últimos capítulos podemos, utilizando involuções orientadas, extrair informações importantes sobre a estrutura do grupo G tal que os elementos simétricos do anel de grupo RG sob essas involuções orien- tadas satisfazem alguma das propriedades de Lie.
Nesse sentido, no Capítulo 2, caracterizamos o grupo tal que os elementos si- métricos em relação a uma involução orientada satisfaçam comutatividade. No Capítulo 4, caracterizamos o grupo tal que os elementos simétricos em relação a uma involução orientada particular satisfaça alguma das propriedades de Lie.
Para concluir o trabalho feito nessa direção, podemos generalizar a involução que particularizamos no Capítulo 4, ou equivalentemente, generalizar a comutatividade do Capítulo 2 para uma das propriedades de Lie mais gerais. Sendo assim, conseguimos resolver uma parte desse trabalho no Capítulo 3, onde utilizamos uma involução orientada qualquer e a propriedade de Lie n-Engel (nilpotência), caracterizando o grupo que possua alguma das propriedades supra citadas.
Dessa forma, um possível caminho a se seguir nesse estudo seria exibir a estru- tura do grupo nas condições do Capítulo 3, alterando a condição de char(K) = 0 para char(K) = p, ou, melhor ainda, para um anel R comutativo.
Observando também mais a fundo alguns dos resultados encontrados nessa dis- sertação, somos forçados a fazer a seguinte pergunta: seria possível encontrar um grupo G não abeliano, que não possua elementos de ordem 2 e uma orientação não trivial σ tal que (KG)σ∗ satisfaça alguma propriedade de Lie?
Por que somos forçados a fazer essa pergunta? Note que o Corolário 3.13 já nos mostra que se char(K) = 0 tal grupo não existe. O Teorema 2.8 nos afirma que se tal grupo existir, e os elementos simétricos forem Lie n-Engel (nilpotente), este subconjunto não pode chegar a ser comutativo, pois caso contrário deverá possuir algum elemento de ordem 2. Temos também que se KG for semiprimo a conjectura se fortalece com a Proposição 4.27. Além disso o Lema 4.6 também reforça a mesma para um grupo G = ha, bi tal que b−1ab = a−1.
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