O resultado principal deste capítulo mostrará que se Q8 ⊂ G e char(K) = 0, então
as três identidades de Lie são equivalentes para o conjunto dos elementos simétricos, ou seja, se (KG)σϕ for Lie n-Engel, então (KG)σϕ comutativo.
Para encontrar o resultado citado acima, foram encontrados lemas semelhantes aos do capítulo anterior e do artigo [JM06] ao substituir a hipótese de comutatividade em (RG)σϕ pela propriedade de Lie n-Engel.
Para os próximos resultados, K será sempre um corpo tal que char(K) = 0 e σ poderá ser trivial.
Lema 3.5. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel, para algum n, e char(K) = 0. Então
Nϕ ⊂ Z(G). Em particular hϕ(h) = ϕ(h)h, ∀h ∈ G.
Demonstração. Seja x ∈ G e g ∈ Nϕ, vamos mostrar que gx = xg.
Suponha que x ∈ Nϕ. Como char(K) = 0, temos que ZG ⊂ KG, assim (ZG)σϕ
é Lie n-Engel e, portanto, para todo p primo, (ZpG)σϕ também é Lie n-Engel. Tomando
p > n com p 6= 2 temos que
0 = [x, g, . . . , g | {z } p vezes ] = [x, gp] ⇓ xgp = gpx.
De forma análoga, tomando q primo, tal que q > p, encontramos que
xgq= gqx.
assim gpx = xgp gp(r−1)gpx = gp(r−1)xgp gprx = xgpr gqsgprx = gqsxgpr gqs+prx = xgqsgpr gqs+prx = xgqs+pr gx = xg.
Suponha agora que x ∈ N\Nϕ. Sendo assim, de forma análoga ao caso anterior,
tomando p primo com p 6= 2 e p > n, temos que 0 = [x + ϕ(x), gp] ⇓ xgp+ ϕ(x)gp = gpx + gpϕ(x), assim, (i) xgp = gpx e ϕ(x)gp = gpϕ(x), ou; (ii) ϕ(x)gp = gpx e xgp = gpϕ(x).
De forma análoga, tomando q primo tal que q > p, temos que (1) xgq = gqx e ϕ(x)gq= gqϕ(x), ou;
(2) ϕ(x)gq= gqx e xgq= gqϕ(x).
Se (i) e (1) ocorrem, a prova segue de forma análoga ao caso anterior.
Suponha que (i) e (2) ocorrem. De (2) temos que ϕ(x)gq = gqx e xgq = gqϕ(x),
sendo assim
gqϕ(x) = xgq
gqϕ(x)gq = xgqgq
gqgqx = xg2q
g2qx = xg2q.
Note que se mdc {p, q} = 1 e p, q 6= 2, temos que mdc {p, 2q} = 1, assim, procedendo como o caso anterior, encontramos o resultado.
Se (ii) e (1) ocorrem, o resultado segue de forma semelhante. Suponha agora que (ii) e (2) ocorrem.
ocorrem, e já que mdc {p, q} = 1, temos que mdc {2p, 2q} = 2, logo g2x = xg2, assim
xgq = gqϕ(x)
xgq−1g = gqϕ(x)
gq−1xg = gqϕ(x)
xg = gϕ(x).
Mas, se xg = gϕ(x) = ϕ(g)ϕ(x) = ϕ(xg), temos que xg ∈ Gϕ∩ N , e, pelo caso anterior,
temos que xg comuta com g, logo xgg = gxg ⇒ xg = gx.
Suponha agora que x /∈ N ∪ Gϕ. Assim, tomando p primo com p 6= 2 e p > n,
temos que
0 = [x − ϕ(x), gp]
⇓
xgp+ gpϕ(x) = gpx + ϕ(x)gp.
Como x /∈ Gϕ, temos que xgp = gpx. Tomando q nas mesmas condições de p, com q > p,
temos que xgq = gqx. Assim, utilizando o argumento do mdc o resultado segue.
Finalmente, se x ∈ Gϕ\N , temos que xg /∈ N . Se xg ∈ Gϕ, então xg = ϕ(xg) =
ϕ(g)ϕ(x) = gx. Assim podemos assumir que xg /∈ Gϕ e, pelo caso anterior, temos que xg
comuta com x, o que já vimos que implica que xg = gx.
Note agora que hϕ(h) ∈ Nϕ, assim hϕ(h) ∈ Z(G), logo hhϕ(h) = hϕ(h)h, o que
implica hϕ(h) = ϕ(h)h.
A fim de simplificar as próximas demonstrações, enunciaremos o seguinte lema para exibir como se comportam os elementos em alguns dos possíveis colchetes de Lie. Lema 3.6. Suponha que (KG)σϕ Lie n-Engel com char(K) = 0 e g, h /∈ Gϕ.
(i) Se [g + ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0 e g, h ∈ N , então (a) gh = hg, ou;
(b) gh ∈ {hϕ(g), ϕ(h)g}; (ii) Se g, h /∈ N , então gh = hg;
(iii) Se [g − ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0, g /∈ N e h ∈ N , então gh ∈ {hg, ϕ(g)ϕ(h)}.
Demonstração. Suponha que [g + ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0 e g, h ∈ N . Então 0 = [g + ϕ(g), h + ϕ(h)]
⇓
Como char(K) = 0, temos que gh ∈ {hg, hϕ(g), ϕ(h)g, ϕ(h)ϕ(g)}. Suponha por absurdo que nem (a) nem (b) ocorram. Assim temos que gh ∈ Gϕ, já que gh = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh).
Logo, como g, h ∈ N, temos que gh ∈ N e, com isso, gh ∈ Nϕ, absurdo. Aplicando o
Lema 3.5, temos que gh ∈ Z(G) e assim gh = hg.
Suponha agora que g, h /∈ N . Então tomando p > n primo e computando em ZpG temos que
0 = [g − ϕ(g), hp− ϕ(h)p]
⇓
ghp+ ϕ(g)ϕ(h)p+ hpϕ(g) + ϕ(h)pg = gϕ(h)p+ ϕ(g)hp + hpg + ϕ(h)pϕ(g).
Dessa forma, temos que ghp ∈ {gϕ(h)p, ϕ(g)hp, hpg, ϕ(h)pϕ(g)}. Como ghp 6= ϕ(g)hp,
temos que ghp = hpg, ghp = ϕ(h)pϕ(g) ou ghp = gϕ(h)p. Suponha que ghp = ϕ(h)pϕ(g),
ou seja, ghp ∈ G
ϕ. Já que g, hp ∈ N , temos que gh/ p ∈ N . Logo ghp ∈ Nϕ e utilizando
o Lema 3.5, temos que ghp ∈ Z(G) e assim ghp = hpg. Repetindo o mesmo argumento
para q > p primo, temos que ghq = hqg ou ghq = gϕ(h)q.
Note que se ghp = gϕ(h)p e ghq = gϕ(h)q ocorrem simultaneamente, temos que
hp = ϕ(h)p e hq = ϕ(h)q, assim, utilizando o argumento do mdc, encontraremos que
h = ϕ(h), um absurdo.
Assim, sem perda de generalidade, temos que ghp = hpg ocorre. Se ghq = gϕ(h)q,
podemos tomar t > q primo e de forma semelhante encontraremos que ght= ht ou ght=
gϕ(h)t. Dessa forma, devemos ter que o segundo caso não ocorre, pois encontraríamos
um absurdo, já que ghq = gϕ(h)q. Sendo assim, ght = htg. Novamente, utilizando o
argumento do mdc, para ght e ghp, encontraremos que gh = hg.
Suponha que [g − ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0, g /∈ N e h ∈ N ocorra, então temos que
0 = [g − ϕ(g), h + ϕ(h)] ⇓
gh + gϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(g)h + ϕ(g)ϕ(h) + hg + ϕ(h)g.
Dessa forma, como char(K) = 0 temos que gh ∈ {ϕ(g)h, ϕ(g)ϕ(h), hg, ϕ(h)g}. Note que gh 6= ϕ(g)h, pois g /∈ Gϕ.
Suponha então que gh = ϕ(h)g. Assim, temos que ϕ(gh) = ϕ(g)h. Além disso, gh /∈ Gϕ e gh /∈ N já que g /∈ (Gϕ∪ N ) e h /∈ N . Assim, utilizando o item (ii) para g e
gh, encontraremos que (gh)g = g(gh), logo gh = hg, absurdo. O próximo lema é uma modificação do Lema 2.2.
Lema 3.7. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel, se char(K) = 0 então (G\N )\Gϕ ⊂
Demonstração. Vamos dividir G em 4 partes e mostrar que g ∈ (G\N )\Gϕ comuta com
os elementos de qualquer uma dessas partes.
(a) h ∈ Nϕ. Neste caso, pelo Lema 3.5, h ∈ Z(G) e assim g e h comutam.
(b) h ∈ (G\N)\Gϕ. Pelo item (ii) do Lema 3.6, temos que gh = hg.
Note que podemos proceder de forma análoga à demonstração do Lema 3.5 e encontrar que (ZpG)σϕ, para qualquer p primo, é também Lie n-Engel.
(c) Se h ∈ N\Gϕ, podemos tomar p > n primo e computando o colchete de Lie
em ZpG temos que 0 = [g − ϕ(g), h + ϕ(h), . . . , h + ϕ(h) | {z } p vezes ] = [g − ϕ(g), hp + ϕ(h)p] ,
assim, pelo item (iii) do Lema 3.6, ghp ∈ {hpg, ϕ(g)ϕ(h)p}. Analogamente, tomando q
primo tal que q > max {p, n} e computando em ZqG, temos que ghq ∈ {hqg, ϕ(g)ϕ(h)q}.
Se ghp = hpg e ghq = hqg ocorrem simultaneamente, já vimos que o resultado
segue.
Suponha então que ghp = ϕ(g)ϕ(h)p ocorre.
Note que ghp = ϕ(g)ϕ(h)p = ϕ(hpg), e assim, ghp ∈ G
ϕ se, e somente se, ghp =
hpg. Se ghp ∈ G/
ϕ, assim, como ghp ∈ N , podemos utilizar o caso (b) e encontrar que/
ghp = hpg. As mesmas afirmações podem ser feitas para ghq. Dessa forma sempre
encontraremos que ghp = hpg e ghq = hqg ocorrem e, consequentemente, o resultado
segue.
(d) h ∈ (G\N) ∩ Gϕ.
Novamente, trabalhando em ZpG e ZqG com p, q primos maiores que n, temos
que ghp ∈ N . Se ghi ∈ G
ϕ, com i ∈ {p, q} podemos aplicar o item (a) aos elementos g e
ghi, e encontrar que ghi = hig. Se ghi ∈ G/
ϕ, podemos aplicar o item (c) aos elementos
g e ghi, e encontrar que ghi = hig. Dessa forma, pelo argumento do mdc, temos que o
resultado segue.
Como σϕ|N = ϕ, conseguimos, sob as novas hipóteses, um resultado semelhante
ao Lema 1.2 de [JM06].
Lema 3.8. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel com char(K) = 0. Seja g ∈ (G\Gϕ) ∩ N .
Então gh = hg, gh = ϕ(h)g ou gh = hϕ(g), ∀h ∈ N .
Demonstração. Se h ∈ Nϕ, temos que h ∈ Z(G), e, neste caso, o lema se verifica.
Suponha então que h ∈ N\Nϕ.
mesmo vale para q > p e, assim, podemos considerar a combinação dos seguintes casos: (i)ghp = hpg, (1)ghq= hqg,
(ii)ghp = hpϕ(g), (2)ghq= hqϕ(g),
(iii)ghp = ϕ(h)pg, (3)ghq= ϕ(h)qg.
É suficiente analisar apenas os casos semelhantes, pois, caso estes não ocorram podemos tomar um primo s tal que p, q < s e observar qual das possibilidades ocorrerá para ghs e, caso ainda não se repita algum dos casos, tomando um novo t primo tal que
t > s e, pelo Princípio da Casa dos Pombos, temos que algum dos casos será semelhante ao outro para algum dos 3 primos considerados anteriormente.
Se (i) e (1) ocorrem, temos que gh = hg.
Se (iii) e (3) ocorrem, temos ghpg−1 = ϕ(h)p e ghqg−1 = ϕ(h)q, logo, tomando
r, s ∈ Z tais que pr + qs = 1, ghprg−1 = ϕ(h)pr e ghqsg−1 = ϕ(h)sq, assim, multiplicando
cada um dos membros por seus respectivos temos que
ghprg−1ghqsg−1 = ϕ(h)prϕ(h)qs
ghpr+qsg−1 = ϕ(h)pr+qs
ghg−1 = ϕ(h).
Assim, gh = ϕ(h)g.
Suponha que (ii) e (2) ocorrem, logo temos que
ghp = hpϕ(g) ⇒ h−pghp = ϕ(g), e
ghq = hqϕ(g) ⇒ h−qghq = ϕ(g).
Observe que podemos aplicar o Lema 3.6 duas vezes aos elementos g e h−p, e, g
e h−q, e considerar os casos:
(i)′gh−p = h−pg, (1)′gh−q = h−qg,
(ii)′gh−p = h−pϕ(g), (2)′gh−q = h−qϕ(g),
(iii)′gh−p = ϕ(h)−pg, (3)′gh−q = ϕ(h)−qg.
Vamos analizar as possibilidades para gh−p e gh−q.
Se (i)′ ocorrer, temos que gh−p = h−pg, o que implica que ghp = hpg, entrando
em contradição com o fato de (i) não ocorrer. Analogamente, (1)′, (iii)′ e (3)′ não podem
ocorrer. Temos então que (ii)′ e (2)′ ocorrem.
que g = hpϕ(g)h−p, assim
h2pgh−2p = hphpgh−ph−p
= hpϕ(g)h−p
= g.
Já que (2)′ também ocorre, de forma análoga encontramos que h2qgh−2q = g.
Assim, utilizando um argumento semelhante ao caso (ii) − (2) do Lema 3.5, temos que gh = hϕ(g) e o resultado segue.
O próximo lema é uma modificação do Lema 2.1 de [JM06].
Lema 3.9. Sejam g, h ∈ N . Se (KG)σϕ é Lie n-Engel e char(K) = 0, então ghg−1 ∈
{h, ϕ(h)}.
Demonstração. Se g ∈ Nϕ, temos que g ∈ Z(G) e o lema se verifica.
Suponha então que g /∈ N ϕ. Pelo Lema 3.8, temos que gh = hg, gh = ϕ(h)g ou gh = hϕ(g). Se as duas primeiras opções ocorrem, temos que o resultado é válido. Suponha por absurdo que não ocorram. Sendo assim temos que gh = hϕ(g) e aplicando novamente o Lema 3.8 para gh e h, temos que gh2 = hϕ(h)ϕ(g) ou gh2 = ϕ(h)gh.
Observe que, se gh2 = hϕ(h)ϕ(g), podemos aplicar o Lema 3.5 para hϕ(h) e,
assim, encontramos que gh2 = ϕ(g)ϕ(h)h ⇒ gh = ϕ(g)ϕ(h). Se gh2 = ϕ(h)gh então,
gh = ϕ(h)g. Mas, por hipótese, temos que gh = hϕ(h). Logo ϕ(h)g = hϕ(g), assim, novamente pelo Lema 3.5, gh2 = ϕ(h)gh = ϕ(h)hϕ(g) = ϕ(g)ϕ(h)h. Portanto gh =
ϕ(g)ϕ(h).
Assim, sempre encontraremos que gh = ϕ(g)ϕ(h) e hg = ϕ(h)ϕ(g). Dessa forma gh = ϕ(g)ϕ(h) = h−1ghϕ(h) = h−1hϕ(h)g = ϕ(h)g ⇒ gh = ϕ(h)g, uma contradição.
Lema 3.10. Suponha que (KG)σϕ é Lie n-Engel com char(K) = 0. Se g, h ∈ N e
g, h /∈ Z(N ) então g−1ϕ(g) = h−1ϕ(h).
Demonstração. Se gh 6= hg temos, pelo Lema 3.9, que hgh−1 = ϕ(g) ⇒ hg = ϕ(g)h e
g−1hg = ϕ(h) ⇒ hg = gϕ(h), logo
hg = ϕ(g)h = gϕ(h) ⇒ g−1ϕ(g) = ϕ(h)h−1.
Assim, pelo Lema 3.5, temos que h−1ϕ(h) = ϕ(h)h−1 = g−1ϕ(g), encontrando o resultado.
Suponhamos agora que gh = hg. Como g /∈ Z(N ), temos que existe x ∈ N , tal que gx 6= xg. Se hx 6= xh, pelo Lema 3.9, temos que g−1ϕ(g) = x−1ϕ(x) = h−1ϕ(h). Se
hx = xh, então g(xh) 6= (hx)g, e, novamente pelo Lema 3.9, g(xh) = ϕ(xh)g = ϕ(h)ϕ(x)g, como gx = ϕ(x)g, temos que gxh = ϕ(h)gx.
Observe que, como gh = hg, então gϕ(h) = ϕ(h)g, pois pelo Lema 3.9 temos que g−1ϕ(h)g ∈ {h, ϕ(h)}. Assim, se g−1ϕ(h)g = ϕ(h), temos o resultado. Podemos supor
agora que gϕ(h)g = h, o que implica ϕ(h) = ghg−1 = h, logo h ∈ N
ϕ, absurdo; pois pelo
Lema 3.5 deveriamos ter que h ∈ Z(G).
Logo, gxh = ϕ(h)gx o que implica em h = ϕ(h), já que g e x comutam com h; o que seria um absurdo pelo Lema 3.5, pois h /∈ Z(G).
Teorema 3.11. Sejam K um corpo tal que char(K) = 0, G um grupo não abeliano, ϕ uma involução em G e σ uma orientação de G. Então são equivalentes:
(1) (KG)σϕ é comutativo;
(2) (KG)σϕ é Lie nilpotente;
(3) (KG)σϕ é Lie n-Engel;
(4) G e N satisfazem um dos seguintes itens: (a) N é um grupo abeliano e (G\N ) ⊂ Gϕ;
(b) G e N são LC-grupos e existe um único comutador não trivial s tal que a involução ϕ é dada por
ϕ(g) = (
g , se g ∈ N ∩ Z(G) ou g ∈ (G\N )\Z(G); sg , caso contrário.
Demonstração. Trivialmente temos que (1)⇒(2)⇒(3). Vamos mostrar agora que (3)⇒(4). Suponha então que (3) se verifique, ou seja, (KG)σϕé Lie n-Engel. Vamos dividir
a prova em dois casos.
(3.a) Suponha que σ seja trivial. Assim temos que G = N e (4) é equivalente a G ser um grupo abeliano ou um SLC-grupo em relação à involução ϕ, e como, por hipótese, temos que G é não abeliano, basta mostrar que a segunda opção ocorre.
Sejam g, h ∈ G tais que gh 6= hg, assim, pelo Lema 3.9, temos que 1 6= g−1h−1gh = g−1ϕ(g) e, pelo Lema 3.10, s = g−1ϕ(g) é o único comutador não trivial
de G. Já que s−1 também é um comutador, temos que s−1 = s, e gs = gg−1h−1gh =
h−1ghg−1g = sg, ∀g ∈ G, ou seja, s ∈ Z(G).
Como s = s−1, temos que s = g−1ϕ(g) = ϕ(g)−1g = gϕ(g)−1, logo ϕ(s) =
Se g ∈ Z(G) e h /∈ Z(G), então gh /∈ Z(G), logo
(sh)ϕ(g) = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh) = sgh = shg, ou seja, ϕ(g) = g.
Basta verificar que G é um LC-grupo. Sejam então g, h /∈ Z(G) tais que gh = hg, assim ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g) = shsg = s2hg = gh. Logo gh ∈ G
ϕ e pelo Lema 3.5 temos que
gh ∈ Z(G).
Dessa forma temos que G é um SLC-grupo em relação a involução ϕ e (4) é satisfeito.
(3.b) Suponha que σ seja não trivial.
Neste caso, basta simular os itens (1) e (2) da demonstração do Teorema 2.4, pois, para a sua prova, usamos apenas as hipóteses sobre N, a Observação 2.3, que é garantida pela item (3.a) feito anteriormente, e o Lema 2.2 que é equivalente ao Lema 3.7, e encontrar que os itens (a) ou (b) serão satisfeitos.
Para finalizar a prova, resta mostrar que (4)⇒(1). Para isso, basta aplicar o Teorema 2.4 de [JM06], se σ for trivial, ou o Teorema 2.4, caso contrário.
Corolário 3.12. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo sem elementos de ordem 2 e σ uma orientação de G. Então, (KG)σ∗ é Lie n-Engel se, e somente se, G é
abeliano.
Demonstração. Suponha que (KG)σ∗ seja Lie n-Engel para algum n. Suponha, por ab-
surdo, que G seja não abeliano. Aplicando o Teorema 3.11, podemos afirmar que (KG)σ∗
é comutativo, assim, pelo Teorema 2.8, temos que N é abeliano e (G\N)2 = 1. Note que
σ não pode ser trivial, pois, nesse caso N = G seria abeliano, absurdo. Porém, se σ é não trivial, temos que G\N 6= ∅, e assim encontraríamos elementos de ordem 2, absurdo. Logo G é abeliano.
A recíproca é trivial.
O corolário acima mostra que, para um corpo de característica 0 e uma orientação não trivial, se (KG)σ∗ for Lie n-Engel, então devemos assumir que G possui elementos
de ordem 2, ou, caso contrário, estaremos trabalhando com um grupo abeliano, o que já vimos ser irrelevante.
Corolário 3.13. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo não abeliano sem elementos de ordem 2 e σ uma orientação de G, então (KG)σ∗ é Lie n-Engel para nenhum
n ∈ N.
Corolário 3.14. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo não abeliano tal que Q8 6⊂ G com uma orientação não trivial σ. Se g2 6= 1, ∀g ∈ G\N , então (KG)σ∗ não
Demonstração. Suponha, por absurdo, que (KG)σ∗ é Lie n-Engel Aplicando os Teoremas
3.11 e 2.8 e utilizando o fato de Q8 6⊂ G, encontramos que N é abeliano e (G\N )2 = 1,
mas, por hipótese, temos uma contradição, logo (KG)σ∗ não pode ser Lie n-Engel.
Além de ser bastante interessante por si só, o resultado principal desse capítulo irá nos fornecer uma prova mais simplificada dos próximos resultados, além de que os dois últimos corolários irão mostrar a inexistência de algumas hipóteses admitidas no artigo base do próximo capítulo.
Propriedades de Lie de
(KG)
σ∗
e
(KG)
−
σ∗
Visto que o Capítulo 3 caracteriza os grupos G tais que (KG)σϕ é Lie n-Engel
(nilpotente) quando char(K) = 0, temos que, para prosseguir o estudo nessa linha um caminho a seguir é caracterizar os grupos que satisfaçam a mesma propriedade para char(K) = p > 2, ou para um anel R comutativo com char(R) 6= 2. Tal caracterização ainda não se encontra completa na literatura, porém temos que foi realizada por John Castillo Gómez e Polcino Milies em [CP12] para o caso ϕ = ∗ e Q8 ⊂ G. Este é um
dos temas desse capítulo. Vale ressaltar que, o caso em que a involução é qualquer e a orientação é trivial, foi estudado em [LSS09].
Como vimos no Capítulo 1, Antonio Giambruno, Polcino Milies e Sudarshan Sehgal mostraram os seguintes teoremas:
Teorema A, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo de característica p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie n-Engel se, e somente se, KG é Lie n-Engel.
Teorema B, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo de característica p 6= 2. Então, (KG)ϕ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie
nilpontente.
No Teorema 1 de [L99], Lee mostrou que este segundo resultado pode ser estendido para grupos que contenham 2-elementos, contanto que Q8 6⊂ G, e caracterizou o grupo
G, no Teorema 2 do mesmo artigo, quando (KG)ϕ é Lie nilpotente, com char(K) 6= 2 e
Q8 ⊂ G.
Seguindo essa linha de pesquisa, Castillo e Milies também mostraram em [CP12] algumas condições para que as propriedades de Lie de (KG)σ∗ possam ser estendidas
para KG. Esse é o outro tema desse capítulo. Ressaltamos também que, o caso em que a involução é qualquer e a orientação trivial, foi estudado em [GPS09].
Note que, o caso em que char(K) = 0, combinando os Teoremas 3.11 e 2.8, já 43
temos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (KG)σ∗ seja Lie n-Engel
ou Lie nilpotente, e que implicarão comutatividade. Temos também pelo Corolário 3.13 que se, G é um grupo não-abeliano sem 2-elementos, então (KG)σ∗ não pode ser Lie
n-Engel. Dessa forma, todos os resultados contidos no artigo [CP12] para o caso de char(K) = 0 estariam provados no capítulo anterior, caso os Teoremas 3.1 e 3.2 de [CP12] não estendessem as propriedades de Lie também quando (KG)−
σ∗ é Lie n-Engel ou
Lie nilpotente.
Em todo o capítulo, exceto quando explicitado o contrário, K será um corpo, G um grupo, σ uma orientação e ∗ a involução clássica.
4.1 Resultados Fundamentais
Lema 4.1. Se (KG)σ∗ é Lie n-Engel, para algum n, e char(K) 6= 2, então todo elemento
de ordem 2 em N é central, ou seja N∗ ⊂ Z(G).
Demonstração. Se char(K) = 0, pelo Lema 3.5, temos resultado.
Suponha então que char(K) = p > 2. Tome g ∈ N∗ e vamos considerar que g
comutará com qualquer elemento de G analisando cada uma das componentes da partição de G.
Sejam x ∈ N∗ e m ∈ N tais que pm é maior do que n. Temos que 0 =
[g, x, . . . , x | {z }
pm vezes
] = [g, xpm
]. Já que pm é ímpar, temos que g comuta com x, pois xpm
= x. Se x ∈ N\N∗ temos que 0 = [x + x−1, g, . . . , g | {z } pm vezes ] = [x + x−1, gpm ] = [x + x−1, g] ⇓ xg + x−1g = gx + gx−1.
Como xg 6= x−1g, temos que ou xg = gx, ou xg = gx−1, e, caso o primeiro ocorra,
encontramos o resultado. Podemos supor então que xg = gx−1. Então (xg)2 = xggx−1 =
1, e, pelo primeiro caso, temos que xg comuta com g, logo gxg = xg2 ⇒ gx = xg.
Se x ∈ G\(G∗∪ N ), então 0 = [x − x−1, g, . . . , g | {z } pm vezes ] = [x − x−1, gpm ] = [x − x−1, g] ⇓ xg + gx−1 = x−1g + gx.
Assim, como char(K) 6= 2, xg = gx ou xg = x−1g. Neste caso, temos que xg = gx, pois
comuta com g.
Finalmente, se x ∈ G∗\N , então xg ∈ G\N . Se (xg)2 = 1, então xg = (xg)−1 =
g−1x−1 = gx. Assim, podemos assumir que (xg)2 6= 1. Então o caso anterior nos garante
que xg comuta com g, e, com isso, xg = gx.
Lema 4.2. Sejam g, h ∈ G\G∗. Então valem as seguintes afirmações:
(i) Se [g + g−1, h + h−1] = 0, então (a) gh ∈ {hg, h−1g, hg−1}, ou; (b) (gαhβ)2 = 1, ∀α, β ∈ {−1, 1}; (ii) Se [g − g−1, h − h−1] = 0, então (a) gh = hg, ou; (b) (gαhβ)2 = 1, ∀α, β ∈ {−1, 1}. (iii) Se [g − g−1, h + h−1] = 0, então (a) gh ∈ {hg, h−1g}, ou; (b) |g| = 4 = |h| e g2 = h2.
Demonstração. Suponha que ocorra [g + g−1, h + h−1] = 0. Assim, temos que
gh + gh−1+ g−1h + g−1h−1 = hg + hg−1+ h−1g + h−1g−1. (4.1) Se char(K) 6= 3, como gh /∈ {gh−1, g−1h}, então gh ∈ {hg, hg−1, h−1g, h−1g−1}.
Suponha que gh /∈ {hg, h−1g, hg−1}, então gh = h−1g−1, que é equivalente a hg = g−1h−1;
logo (g−1h−1)2 = 1. Então, de (4.1), temos que gh−1 + g−1h = hg−1 + h−1g. Já que
char(K) 6= 2, podemos afirmar que gh−1 = hg−1, ou gh−1 = h−1g. Note que o segundo
caso não acontece, já que gh 6= hg. Logo, como gh−1 = hg−1, temos que
gh−1 = hg−1
gh−1(hg−1)−1 = 1
(gh−1)2 = 1.
Da mesma forma que o caso anterior, temos também que (g−1h)2 = 1.
Se char(K) = 3 em (4.1), teríamos que considerar a possibilidade de 3 elementos de um mesmo lado da equação coincidirem, ou seja, ao menos gh = gh−1, gh = g−1h ou
gh−1 = g−1h−1. Entretanto, todos esses casos levam a uma contradição. Dessa forma,
Suponha agora que [g − g−1, h − h−1] = 0. Temos então que
gh + g−1h−1+ hg−1+ h−1g = gh−1+ g−1h + hg + h−1g−1. (4.2) Suponha que char(K) 6= 3 e que gh 6= hg, assim temos que gh ∈ {gh−1, g−1h, h−1g−1}.
Como g2 6= 1 e h2 6= 1, temos que as duas primeiras opções não ocorrem, logo gh = h−1g−1
e, de forma análoga ao caso anterior, encontramos o resultado.
Note que se gh = g−1h−1 = hg−1, então temos também que gh = h−1g; logo, se
três elementos do lado esquerdo de (4.2) forem iguais entre si, então o quarto também será. Note também que, se isso ocorre para o lado esquerdo da equação, o mesmo ocorrerá para o lado direito.
Sendo assim, suponha que char(K) = 3. Então se gh 6= g−1h−1 e gh 6= hg−1,
podemos proceder de forma semelhante ao caso anterior e encontraremos o resultado. Suponha então que gh = g−1h−1 = hg−1 e, pelo observado acima, temos também que
gh = h−1g, logo a equação (4.2) é equivalente à
4gh = 4hg,
mas, como char(K) = 3, então, temos que gh = hg. Assim, o item (ii) é verdadeiro. Admita agora que [g − g−1, h + h−1] = 0. Temos então que
gh + gh−1+ hg−1+ h−1g−1 = g−1h + g−1h−1+ hg + h−1g. (4.3) Suponha que char(K) 6= 3. Se gh = hg ou gh = h−1g, temos o resultado.
Suponha gh /∈ {hg, h−1g}, assim gh = g−1h−1, e, com isso, g2 = h−2 e hg = h−1g−1, logo
temos que
gh−1+ hg−1 = g−1h + h−1g,
implicando gh−1 = g−1h ou gh−1 = h−1g. Note que, se o segundo caso ocorre então
gh = hg, uma contradição. Logo gh−1 = g−1h o que implica g2 = h2. Como encontramos
também que g2 = h−2, temos que g4 = 1 = h4, note também que g3 = 1 ⇒ g = 1, o
que seria uma contradição, logo |g| = 4 = |h|, já que as mesmas considerações podem ser feitas para h.
Suponha que char(K) = 3. Como gh = gh−1 ou hg−1 = h−1g−1 implicam
h2 = 1, uma contradição, podemos supor que essas igualdades não ocorrem. Procendendo
de forma análoga ao caso anterior, encontramos que o item (iii) é verdadeiro.
Corolário 4.3. Assuma que char(K) = p > 2 e que (KG)σ∗ é Lie pm-Engel para algum
m ≥ 1. Sejam g, h ∈ G tais que g2 6= 1 e h2pm
6= 1. Se g, h /∈ N então (g, hpm
) = 1. Demonstração. Como g, h /∈ N , temos que g − g−1, h − h−1 ∈ (KG)
é Lie pm-Engel, obtemos que [g − g−1, hpm
− h−pm
] = 0; então, da parte (ii) do Lema 4.2, segue que (g, hpm
) = 1 ou (ghpm
)2 = 1. Como h /∈ N , temos que hi ∈ N se i for/
ímpar, logo hpm
/
∈ N . Note também que ab ∈ N se a, b ∈ N , ou a, b /∈ N . Caso aconteça (ghpm
)2 = 1, como g, hpm
/
∈ N , podemos usar o Lema 4.1, o que implica que ghpm
é central e, assim, (g, hpm
) = 1.