Equações de Maxwell
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Cap. 9
Em Eletromagnetismo 1, estudamos os campos EM estáticos ou invariantes no tempo. De agora em diante examinaremos situações em que os campos E⃗⃗ e H⃗⃗ são dinâmicos.
Campo estático Campos dinâmicos
E⃗⃗ (x, y z) H
⃗⃗ (x, y z) E⃗⃗ (x, y, z, t)H⃗⃗ (x,y, z, t)
E⃗⃗ e H⃗⃗ independentes E⃗⃗ e H⃗⃗ dependentes
E⃗⃗ → gerado por cargas estáticas
Os campos EM são gerados por cargas aceleradas ou por correntes variando no tempo
H
⃗⃗ → gerado por cargas em movimento uniforme ou cargas magnéticas
Conceitos iniciais:
(1) Força eletromotriz baseada nos experimentos de Faraday (2) Corrente de deslocamento que resulta da hipótese de Maxwell
OBS: As equações para campos estáticos serão alteradas.
Lei de Faraday
Descoberta experimental de Oersted – corrente contínua produz um campo magnético. (Biot-Savart e Àmpere basearam suas leis neste experimento).
Investigação lógica – campo magnético pode produzir eletricidade?
Resposta: Sim. Campo magnético variável no tempo produz uma tensão induzida. (Faraday)
A tensão induzida (força eletromotriz - fem), Vfem (em volts), em qualquer circuito fechado, é igual à taxa de variação no tempo do fluxo magnético enlaçado pelo circuito.
Onde N é o número de espiras e Ψ é o fluxo em cada espira. O sinal negativo mostra que a tensão induzida age de tal forma a se opor ao fluxo que o produziu (Lei de Lenz).
O campo elétrico produzido por uma carga possui linha de fluxo que começa ou termina na carga. Entretanto, há outros tipos de campos elétricos não diretamente causados por cargas elétricas. São os campos causados por fem’s.
As fontes de fem’s incluem geradores elétricos, baterias, termopares,
células fotovoltaicas; todos convertem energia não elétrica em energia elétrica.
Considere o circuito elétrico abaixo:
Ef = produzida por uma fem
gerada pela ação eletroquímica.
Ee = produzida pelo acúmulo
de cargas nos terminais da bateria. E⃗⃗ 𝑒 = − V
Fora da bateria Ef = 0
O campo total em qualquer ponto do circuito é:
E⃗⃗ = E⃗⃗ 𝑓+ E⃗⃗ 𝑒 e integrando
∮ E⃗⃗ L
d𝑙 = ∮ E⃗⃗ 𝑓d𝑙 + L
∮ E⃗⃗ 𝑒d𝑙 = ∮ E⃗⃗ 𝑓d𝑙 N L
= 0 porque E⃗⃗ 𝑒 é conservativo A fem da bateria é a integral de linha do campo produzido pela fem,
isto é,
Vfem = ∫ E⃗⃗ 𝑓 P
N d𝑙 = − ∫ E⃗⃗ 𝑒 P
N d𝑙 = IR
OBS: Um campo E⃗⃗ 𝑓 produzido por uma força eletromotriz é não
Área S
Caminho L
Equação de Maxwell
E⃗⃗ → não conservativo Fem de movimento e Fem de transformador
Vamos examinar como a lei de Faraday associa os campos elétricos com os campos magnéticos. Para um circuito com uma espira temos:
Vfem = −𝑑Ψ𝑑𝑡
Em termos de E⃗⃗ e B⃗⃗ escrevemos:
Vfem = ∮ E⃗⃗ L d𝑙 = −𝑑𝑡𝑑 ∫ B⃗⃗ S dS⃗
Em uma situação de campos variáveis no tempo, tanto o campo elétrico quanto o campo magnético estão presentes e estão inter-relacionados.
A variação do fluxo pode ser causada de três maneiras:
1. Espira estacionária em um campo magnético variável no tempo. 2. Variando a área de uma espira em um campo magnético estático. 3. Variando a área de uma espira em um campo magnético variável
no tempo.
Caso 1 (fem de transformador)
Vfem = ∮ E⃗⃗ L d𝑙 = − ∫S𝜕B𝜕𝑡⃗⃗ dS⃗
Aplicando o Teorema de Stokes:
∫ ( x E⃗⃗ )dS S⃗ = − ∫S𝜕B𝜕𝑡⃗⃗ dS⃗
Caso 2 (fem de movimento) ou (fem de fluxo constante)
Espira se movendo em um campo B⃗⃗ estático. Relembrar força sobre uma carga em movimento em um campo B⃗⃗ :
F⃗ m = Q u⃗ x B⃗⃗
Definimos campo elétrico de movimento (E⃗⃗ m):
E⃗⃗ m = F⃗ Q = u⃗ x B𝑚 ⃗⃗
Se considerarmos uma espira condutora, movendo-se com velocidade u⃗ , como constituída de um grande número de elétrons livres a fem na espira será:
Vfem = ∮ E⃗⃗ md𝑙 = ∮(u⃗ x B⃗⃗ )d𝑙 L
L
Este é o tipo de fem encontrada em motores, geradores e alternadores.
Exemplo: Máquina de corrente contínua – pág. 339.
OBS:∫(u⃗ x B⃗⃗ ) d𝑙 = 0 ao longo da porção da espira para a qual u⃗ = 0.
OBS: O caminho da integração é escolhido de modo a estar no sentido
oposto ao da corrente induzida, dessa forma satisfazendo a lei de Lenz.
Caso 3 (espira em movimento em um campo magnético variável no tempo)
Tanto a fem do transformador quanto a de movimento estão presentes.
Assim:
Vfem = ∮ E⃗⃗ dL 𝑙 = − ∫S𝜕B𝜕𝑡⃗⃗ dS⃗ + ∮ (u⃗ x B⃗⃗ )dL 𝑙 →
Fazer exemplos do livro: Pág. 340 – 9.1 e pág. 342 – 9.2.
Corrente de deslocamento
Vamos reconsiderar a equação de Maxwell do rotacional para campos magnéticos (lei circuital de Ampère) para situações com variação temporal.
Para campos estáticos: x H⃗⃗ = J (1)
espacial
Porém, a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é identicamente zero. (Identidade vetorial ex.: 3.10)
. ( x H⃗⃗ ) = . J = 0
Entretanto, a continuidade da corrente nos diz:
. J = −𝜕𝜌v
𝜕𝑡 ≠ 0 (2)
Temos que modificar a equação (1) para contabilizá-la com a equação (2). Para conseguir isso, adicionamos um termo na equação (1):
x H⃗⃗ = J + J d (3)
onde J d deve ser determinado e definido. Aplicar o divergente:
. ( x H⃗⃗ ) = . J + . J d = 0
. J d = − . J =𝜕𝜌v
𝜕𝑡 = 𝜕
𝜕𝑡( . D⃗⃗ ) . j d = . (𝜕𝐷⃗⃗ 𝜕𝑡) →
e substituindo na equação (3):
J d → densidade de corrente de deslocamento.
J = 𝜎 E⃗⃗ → densidade de corrente de condução.
A inserção do J d foi uma das maiores contribuições de Maxwell. Sem este termo, a propagação de ondas eletromagnéticas não poderia ter sido prevista, como Maxwell o fez.
OBS: Em baixas frequências, J d é usualmente desprezível quando
comparado com J . Em frequência de rádio os dois termos são comparáveis. Podemos definir a corrente de deslocamento como:
Id = ∫ J d dS⃗ = ∫𝜕𝐷⃗⃗ 𝜕𝑡 dS⃗ J d =𝜕𝐷⃗⃗ 𝜕𝑡
porque J = 0
x H⃗⃗ = J + J d
Discutir sobre o problema do capacitor de placas paralelas.
∮ HL⃗⃗ d𝑙 = SS1J dS⃗ = Ienv = I
∮ H⃗⃗ L
d𝑙 = ∫ J d dS⃗ S2
= Ienv = I
Fazer: Ex.: 9.4 – pág 346.
Equações de Maxwell nas formas finais
Forma diferencial Forma integral Comentários
. D⃗⃗ = 𝜌v ∮ D⃗⃗ dS⃗ = ∫ 𝜌v dv v S
Lei de Gauss
. B⃗⃗ = 0 ∮ B⃗⃗
S
dS⃗ = 0 Demonstração existência de da carga não
magnética isolada
x E⃗⃗ = −𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 ∮ E⃗⃗ d𝑙 = −𝜕𝑡𝜕 ∫ B⃗⃗ dS⃗
S L
Lei de Faraday
x H⃗⃗ = J +𝜕𝐷⃗⃗ 𝜕𝑡 ∮ H⃗⃗ d𝑙 = ∫(J
S
+𝜕𝐷⃗⃗ 𝜕𝑡 ). dS⃗ Lei circuital de Ampère
OBS: Para um campo ser “classificado” como um campo eletromagnético,
ele deve satisfazer todas as quatro equações de Maxwell.
OBS: As leis de Maxwell resumem todas as leis conhecidas do
eletromagnetismo.
Equações importantes
F⃗ = Q(E⃗⃗ + u⃗ x B⃗⃗ ) → força de Lorentz
. J = −𝜕𝜌v
𝜕𝑡 → equação de continuidade
Potenciais variáveis no tempo
Para campos EM estáticos, obtemos o potencial elétrico escalar como
V = ∫ 𝜌vdv
4𝜋ε|R⃗⃗ |
v e o potencial magnético vetorial como A⃗⃗ = ∫ 𝜇J dv
4𝜋|R⃗⃗ |
v .
É possível mostrar que:
(1)
=
²V = −𝜌v𝜀
(2)
= ²
²A⃗⃗ = −𝜇JAs soluções destas equações são:
V = ∫ [𝜌v]dv
4𝜋𝜀|R⃗⃗ |
v e A⃗⃗ = ∫v𝜇[J ]d4𝜋|R⃗⃗ |v < potenciais com retardo>
O termo [𝜌v] (ou [J ]) significa que o tempo t em 𝜌v (x,y,z,t) [ou J (x,y,z,t)] é substituído pelo tempo de retardo t’ dado por t′ = t −R⃗⃗
𝜇 onde R⃗⃗ = |r − r′| é a distância entre o ponto fonte r’ e o ponto observação r e
u = 1
√𝜇𝜀 é a velocidade de propagação da onda.
Exercícios: Mostrar (1) e (2) –IMPORTANTE!
Campos harmônicos no tempo
Um campo harmônico no tempo é aquele que varia periodicamente ou sinusoidalmente com o tempo. A análise sinusoidal pode ser estendida para a maioria das formas de onda através do uso da transformada de Fourier.
Sinusóides são expressas de maneira simples como fasores. Um fasor z é um número complexo que pode ser escrito como: z = x + jy = r ϕ
Imaginária
²V − με∂
2V
∂t2 = −
𝜌v
𝜀
Estático
²V − με∂
2𝐴
∂t2 = −𝜇J
ou z = rej𝜙 = r (cos𝜙 + j sen𝜙) onde j = √−1 com 𝜙 = tan−1 y
x
Forma retangular: z = x + jy Forma fasorial: z = r ϕ
Propriedades básicas: (pág. 353)
Adição/subtração/multiplicação/divisão/ raiz quadrada/complexo conjugado Para introduzir a dependência temporal façamos:
𝜙 = 𝜔𝑡 + 𝜃
onde 𝜃 pode ser uma função do tempo, ou de coordenadas espaciais, ou pode ser uma constante. As partes real (Re) e imaginária (Im) de:
r 𝑒j𝜃 = r 𝑒j𝜃𝑒j𝜔t
são: Re (r𝑒j𝜃) = r cos (𝜔t + 𝜃)
Im (r𝑒j𝜃) = r sen (𝜔t + 𝜃)
Portanto, uma corrente sinusoidal dada por I(t) = I0cos(𝜔t + θ) é igual à parte real de I0𝑒j𝜃𝑒j𝜔t
O termo I0𝑒j𝜃é denominado de fasor corrente IS
IS = I0𝑒j𝜃 = I0 θ
onde o subscrito s denota a forma fasorial de I(t).
E I(t) = I0cos(𝜔t + θ) = Re (IS 𝑒j𝜔t)
Se um vetor A⃗⃗ (x, y, z, t) é um campo harmônico no tempo, a forma fasorial de A⃗⃗ é A⃗⃗ S (x, y, z) e
A⃗⃗ = Re (A⃗⃗ S 𝑒j𝜔t)
Por exemplo: A⃗⃗ = A0 cos(𝜔t − βx) ây podemos escrever:
A⃗⃗ = Re (A0 𝑒−𝑗𝛽x ây 𝑒j𝜔t)
Tomando A⃗⃗ = Re (A⃗⃗ S 𝑒j𝜔t) temos:
𝜕𝐴 𝜕𝑡 =
𝜕
𝜕𝑡 Re (A⃗⃗ S 𝑒j𝜔t) = Re (j𝜔A⃗⃗ S 𝑒j𝜔t ) 𝜕𝐴
𝜕𝑡 → j𝜔AS
De forma similar ∫ A⃗⃗ ∂𝑡 →A⃗⃗ S
j𝜔
A⃗⃗ (x, y, z, t) → Real e varia no tempo
A⃗⃗ S (x, y, z, t) → Complexo e invariante no tempo
Aplicando o conceito de fasor aos campos EM variáveis no tempo e substituindo nas equações de Maxwell obtemos:
. D⃗⃗ S = 𝜌VS
. B⃗⃗ S = 0
x E⃗⃗ S = −j𝜔B⃗⃗ S
x H⃗⃗ S = J S + j𝜔D⃗⃗ S
Observe que o fator tempo pode ser omitido em nossa análise de campos harmônicos no tempo e inserido quando necessário.
