TC - Pavimentações e M. C. Escher.pdf

I

NTRODUÇÃO

Os desenhos, xilogravuras e linogravuras de Maurits Cornellius Escher vêm encan-tando artistas, matemáticos e apreciadores de belas artes de todas as idades e ao longo de diferentes épocas. Seus padrões e repetições intrincadas, que se repetem sem sobreposição nem falhas; suas construções impossíveis que desafiam a lógica; sua paixão pela perspectiva geométrica, a busca pelo cíclico, infinito e periódico, trouxeram a Escher um fama que perdu-rou até após sua morte.

Ao longo de sua carreira, foram produzidos mais de 400 obras, dezenas de exposições, muitos prêmios e condecorações. No entanto o que mais chama a atenção é linha tênue que liga os motivos de seus trabalhos com conceitos matemáticos. Nunca foi segredo, e o próprio Escher enfatizava fortemente este fato, que a intuição e a lógica matemática norteava o autor na idealização dos temas e técnicas de seus ornamentos. É tão difundida na literatura, seja ela acadêmica, jornalística, especializada ou no banco de dados da rede mundial de computa-dores, esta relação entre o artista e a Matemática, que praticamente impossível fazer uma pesquisa na internet sobre o termo “Escher” e não encontrar de brinde o termo “Matemática” na página.

está informado e dominando o conteúdo de uma determinada atividade, ela será tão funcional quanto uma simples brincadeira e o trabalho pedagógico será desperdiçado.

Apesar das informações que relacionam as obras de Escher com a Matemática existi-rem de fato na literatura, elas estão muito dispersas e pouco acessíveis ao leitor interessado com pouca perseverança ou tempo disponível. Muito material relevante ainda não se encon-tra sem encon-tradução.

Este trabalho se propõe a reunir estas informações pelos mais diversos meios de pes-quisa a disposição, processá-las e compilar um trabalho formalizado, condizente com o espe-rado de um texto monográfico, porém tentando ao máximo sintetizar as idéias, investindo ao máximo na informação visual e ilustrada, usando esquemas, diagramas e gravuras. Não será objetivo desta monografia a criação de atividades, nem a realização de experimentos com alu-nos, dos conteúdos abordados aqui.

Visando atingir este objetivo o capítulo 2 irá propor estudar as quatro isometrias em-pregadas por Escher para que um ornamento cubra a si mesmo: a translação, a rotação, a reflexão e a translação refletida. Estas são as únicas possíveis a serem aplicadas sobre um pa-drão plano de modo que o resultado não deforme a figura original.

O capítulo 3 tem como objetivo estudar os conceitos, estruturas e classificações das pa-vimentações do plano euclidiano. As classificações monoédricas, regulares, semi-regulares e demiregulares são o tema focal deste capítulo, que tem seu desfecho descrevendo as estrutu-ras da pavimentações aperiódicas e na descrição de conjunto de protoladrilhos.

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• Frisos ou padrões de faixa: padrões com simetria de translação numa única direção;

• Padrões de roseta: o motivo se repete como se constituísse pétalas de uma flor à

volta do caule.

Neste trabalho, para que seja possível desenvolver o estudo matemático sobre as obras de Escher, será relevante estudar um pouco mais a fundo as técnicas de pavimentação.

3.1 Pavimentações

Nas pavimentações, o objetivo é cobrir o plano completamente sem espaços intermé-dios nem sobreposições (BARBOSA, 1993). As pavimentações são formadas por ladrilhos (ou mosaicos) que são figuras planas cuja fronteira é uma curva simples fechada, conjuntos não conexos, conjuntos em que a fronteira não é uma curva fechada ou que se cruza, não podem ser aceitos como ladrilhos. Por outro lado, podem ser aceitos como ladrilhos não só os gonos convexos regulares, como também muitos outros tipos de conjuntos, que não são polí-gonos, que não são convexos, etc.

Definição 3.1.1:

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3.2

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As pavime

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-3.3

3 Pavim

As pavime

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ura 3.6: Exe

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ura 3.7: Exe

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Para que ocorra a pavimentação, devemos procurar um padrão. Chamamos de pavi-mentação padrão toda pavimentação possível com polígonos regulares ou não, lado a lado, ao redor de um ponto e que seja possível se repetir sobre a superfície plana, a fim de cobrir todo o plano. Analisaremos a seguir os casos possíveis de se obter a pavimentação verificando os polígonos regulares utilizados ao redor do ponto. Seja k número de polígonos regulares utili-zados e i a medida do ângulo interno de cada polígono regular.

Utilizando triângulos eqüiláteros:

Seja P0 o ponto central da pavimentação. Podemos dispor ao redor de um ponto 6

triângulos eqüiláteros. Verificamos que k = 6 e i = 60º, temos 6x60º = 360º. Este padrão de pavimentação determinou 6 novos pontos onde devemos verificar que é possível continuar a seqüência de pavimentações com triângulos eqüiláteros.

Figura 3.8: Pavimentação regular gerada através de um triângulo eqüilátero.

Utilizando quadrados:

Verificamos que é possível colocar perfeitamente 4 quadrados ao redor de P0, conforme

indica a figura 3.9 abaixo.

Figura 3.9: Pavimentação regular gerada através de um quadrado.

Na figura 3.9 temos k = 4 e i = 90º, neste caso 4x90º = 360º. O padrão da pavimenta-ção gerou mais 8 pontos onde podemos acrescentar novos quadrados a fim de repetir o padrão de pavimentação.

Sejam P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 e P8 os pontos exteriores gerados pela pavimentação da figura 3.9. Em P1 temos 2 quadrados, então podemos acrescentar mais 2 quadrados para formar um novo padrão de pavimentação, em P2 colocamos 2 quadrados que atingem P3; em P3 colocamos 1 quadrado; P4 colocamos 2 quadrados que atingem P5; em P5 colocamos 1 quadrado; em P6, 2 quadrados que atingem P7; e em P7 e P8 colocamos 1 quadrado para completar a volta. Notamos que em cada ponto há um novo padrão de pavimentação. Podemos concluir que o quadrado pavimenta o plano.

Utilizando pentágonos regulares:

Verificamos que é possível colocar 3 pentágonos regulares ao redor de um ponto, mas não conseguimos colocar mais um pentágono regular sem que haja sobreposição, conforme indica a figura 3.10.

Para determinar o valor de y, devemos fazer: x + y + y = 72° + 2y = 180° y = 54°.

Figura 3.10: Tentativa de pavimentação regular através de um pentágono regular. Não gera

uma pavimentação para o plano.

Certificamos para isso que: se k = 3 e i = 108º, temos 3x108º =324º que é menor que 360º, se k = 4, temos 4x108º = 432º havendo sobreposição de 72º. Se utilizarmos apenas 3 pentágonos regulares, faltarão 36º para completar a pavimentação e como não existe um polígono regular com 36º de ângulo interno, o pentágono regular não pavimenta o plano.

Utilizando hexágono regular:

Podemos colocar três hexágonos regulares perfeitamente ao redor de um ponto P0,

co-mo co-mostra a figura 3.11 a seguir:

Figura 3.11: Pavimentação regular gerada através de um hexágono regular.

pavim fica P ocorr que a Conc nos: regu situa pavim possí

3.4

heptágono lar, etc., in ação analisa mentação. Q

ível pavime

4 Pavim

Os vértices

ão os vértice

Figura

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3.12: Os vé

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s ao redor d

egulare

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ão são os po

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tido em cad ovos experim

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o ângulo i de um ponto

es

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a volta. onsiderado. m os polígo-dodecágono detalhe a 4ª olígonos na ssim, não é

Dois vértices dizem-se da mesma espécie quando do seu código constam os mesmos algarismos, mesmo que por uma ordem diferente.

Dois vértices dizem-se do mesmo tipo se, para além de serem da mesma espécie, tive-rem igualmente ordenados os números dos seus códigos.

Existem 17 espécies de vértices (FEDEROV, 1891b):

ou seja, podemos escolher 17 tipos de polígonos regulares que, quando colocados em torno de um vértice, preenchem, sem espaços intermédios nem sobreposições, uma vizinhança do vértice. No entanto, como uma mesma espécie de vértice pode apresentar-se em mais do que um tipo, existem mais do que 17 tipos distintos de vértices. De fato existem 21 tipos distin-tos de vértices.

Regras para escrever o código de um vértice:

1. Considera-se o polígono de menor lado concorrente no vértice;

2. Escreve-se o número correspondente ao número de lados desse polígono;

3. De acordo com o sentido dos ponteiros do relógio, continua-se a atribuir o número correspondente ao polígono considerado.

As arestas das pavimentações são os arcos (muitas vezes, linhas poligonais ou simples segmentos) que são intersecção de dois ou mais ladrilhos. (e não, os segmentos que consti-tuem os lados dos ladrilhos).

As pavimentações arquimedianas ou semi-regulares são pavimentações formadas por dois ou mais polígonos regulares e em que os vértices da pavimentação são todos do mesmo tipo. Se A é uma pavimentação semi-regular, então os seus vértices são de um dos 21 tipos referidos. No entanto, não existe uma pavimentação para cada um dos tipos de vértices possíveis. De fato, apenas para 11, dos 21 tipos de vértices, é possível construir uma pavi-mentação. Das 11 que existem, 3 são as regulares que já vimos anteriormente. As restantes 8 são semi-regulares ou arquimedianas: 3.4.6.4; 3.3.3.3.6; 3.6.3.6; 3.3.3.4.4; 3.3.4.3.4; 4.8.8; 4.6.12 e 3.12.12.

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Mesmo qu elas não sã mentações s

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3.14: Exemp

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ra 3.14.

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3.5

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3.15: Exem

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entadas nes

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dicos. o qual é pos

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manecem in-os perfeita-ste capítulo:

s no século as na teoria

-truir defin e não dicas have de pa tring apen apres mite dicas

r uma pavim nir-se um co

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s são pavim r uma cobe avimentaçõ gem a sua co

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Figura 3.1

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ho, ou um c s, como por mentações o

ertura total ões é possív olocação no muito tem se pavimen conjunto de

igura 3.16:

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17: Pavimen

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do plano, vel quando c

o plano. mpo acredita

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de protoladr

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e Penrose. A se repita, a dios nem so

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a um conju nto, em 196

ódicos de R

guns do me admite pavi

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vimentações As pavimenta

apesar de s obreposições

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nálogo pode

s periódicas

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res-drilhos que l Robinson

-não n var u

vel d Conw que a form Marc unir outro E a p proto Penr Uma padr sobre volum Como, par numerável uma pavime No entant de protoladr way também atribuiu o n ma diferente cou os proto

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Para se co os ladrilho o. Os dois p proporção d oladrilhos t Como nem rose, foi uti a vez que es

ão, o fabric eposição de me de rolo.

ra além dis de pavimen entação aper to, só algun

rilhos aperi m deu um i nome de kit e de os jun oladrilhos c

18: Conjunt

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so, este con ntações, ele

riódica cons ns anos mais iódicos, den importante es e darts a tar, sem re com duas cu

to de protol

ma paviment a que as cu hos obtêm-s dos maiores a de um pap

conhecimen a paviment

os permitem ndia produz es. O objetiv á sob julgam

njunto de p designa-se struída com s tarde Rog nominados

contributo ao conjunto ecorrer às l urvas...

ladrilhos ap

tação aperió urvas de cor se a partir d em relação

agaio, um c nto é usado tar rolos de m construir zir um rolo

vo foi alcan mento até h

protoladrilh aperiódico m este conju ger Penrose de papagai o para as pa

de protolad letras coloc

periódicos d

ódica, basta r igual se pr de um losan o aos menor côncavo e ou o para o bem

e papel hig r pavimenta o de papel h nçado com hoje nos trib

os admite u . Na figura nto de prot e descobriu os e setas, avimentaçõe

drilhos de P cadas nos v

de Penrose:

a ter em ate rolonguem ngo de ângu res é o núme

utro convex m, o conjunt giênico de u ações sem h higiênico em

15% de pap bunais ingle

um conjunt 3.17 é poss toladrilhos.

o conjunto ou kites e es aperiódic Penrose e su vértices do

Papagaio e

enção que só de um ladr ulos interno ero de ouro xo.

to de protol uma conhec haver repet m que nunc pel a menos eses.

to infinito e sível

mais notá-darts. John cas. Foi ele ugeriu uma s ladrilhos.

e Seta.

ó se podem rilho para o os 36º e 72º. o. Ambos os

dois dos p Fig vez q toma Figura 3. É notorio protoladrilh

A figura 3 protoladrilh

gura 3.20: P

Note-se q que não for ado em cons

Por ser pa

19: Conjunt

o que se po hos.

3.20 traz alg hos de Penr

Pavimentaç

ue os ladril ram utilizad sideração ad articularmen

to de protol

odem obter guns exemp rose, marcad ções aperiód lhos utilizad dos ladrilho dequando d nte intrigan ladrilhos ap r inúmeras

plos de pavi dos segundo

dicas constr

dos não são s com curv da junção do

nte “brincar periódicos d pavimentaç imentações o Conway... ruídas pelos o exatament vas de cor d os ladrilhos. r” com os la

de Penrose:

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aperiódicas .

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te iguais ao diferente, ain

.

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ódicas utiliz

s que se obt

lhos seta e p

s referidos nda que tal

ados por Pe e Seta.

zando estes

tém através

papagaio.

acima, uma l tenha sido

vez q decid conc em f gran

drilh tação

que é neces dir o modo eito de pav forma de p ndes. O obje Embora ap Apesar de hos também o para este r

Figura 3

ssário ter em como as p vimentação, ássaro. Exi etivo é cobri parente ser e não tão fa m interessan respectivo c

Figura 3.

3.22: Pavim

m conta ma eças encaix denominad istem apen ir completam uma tarefa amosos, Pen

tes, como o conjunto na

21: Outro c

mentações a

ais do que xam, Penro do Perplexin

as dois tip mente a sup a fácil, na re

nrose ainda o apresentad a figura 3.22

conjunto de

aperiódicas c

o ladrilho q se desenhou

ng Poutry. O os de peça perfície plan ealidade não a trabalhou do na figura 2:

e protoladril

construídas

que se deve u, então, um O puzzle é

s, pássaros na.

o é!

em outros a 3.21 e um

lhos de Pen

s pelos proto

e colocar ao m puzzle, u constituído pequenos

conjuntos m exemplo d

nrose.

oladrilhos d

-A mais notável propriedade das pavimentações de Penrose é que cada porção finita de uma pavimentação está contida infinitas vezes em cada uma das outras pavimentações gerada a partir do mesmo conjunto de protoladrilhos. Isto é obviamente verdadeiro para todas as pavimentações periódicas, mas não é tão óbvio que possa ser verdade para pavimentações não periódicas. Esta propriedade tem várias consequências:

a) Nenhum conjunto finito de ladrilhos determina o resto da pavimentação, ou seja, não existe um padrão.

b) Não é possível, a partir de um conjunto finito de ladrilhos, dizer a que pavimentação pertencem.

c) Só é possível distinguir as diferentes pavimentações no seu limite infinito.

Roger Penrose é um importante físico matemá-tico que nasce na cidade de Colchester, Inglaterra, em 1931. Embora a maioria do seu trabalho esteja relacio-nada com a teoria da relatividade e a física quântica, a paixão de Penrose é a matemática recreativa e, em par-ticular, as pavimentações. Recentemente foi-lhe atri-buído o título de Sir pelos seus extraordinários

Capítulo 4

P

AVIMENTAÇÕES

A

RTÍSTICAS DE

E

SCHER

4.1 Biografia de Escher

Em 17 de junho de 1898 nascia em Leeuwarden, na província de Friesland, nos Países Baixos (Holanda), Maurits Cornelis Escher, ou somente M. C. Escher como ele mesmo gos-tava se auto-referir, um garoto que iria encantar o mundo das artes e da matemática. Filho de um engenheiro civil e neto de diplomata, Escher foi o mais novo em quatro filhos.

Com 13 anos começou a freqüentar uma Escola Secundária em Amheim. A escola foi para ele um pesadelo. Suas notas eram ruins, se destacava apenas nas aulas de Artes, cuja professora logo se interessou pelo seu talento indiscutível e o incentivou bastante. Foi duas vezes reprovado. Também não conseguiu obter o

diplo-ma final, pois nem sequer em Artes teve boas notas. A obra que resta do seu tempo escolar mostra um talento acima do normal; embora seu trabalho “Pássaro numa gaiola”, prescrito para o exame, não tenha obtido do júri nota suficiente.

literatura e escreve seus primeiros poemas.

O pai de Escher achava que o filho deveria cursar ciências exatas e tornar-se arquiteto, pois tinha muito talento artístico. Assim, Escher foi em 1919 para Haarlem, estudar na Esco-la de Arquitetura e Artes Decorativas em Delft, sob a orientação do arquiteto Vorrink.

O seu estudo de Arquitetura não durou muito tempo, pois devido à saúde fraca, ele não pôde concluir a faculdade. Durante este período difícil, Escher fez vários desenhos e começou a trabalhar com madeira. O professor Samuel Jesse-run de Mesquita, homem de origem portuguesa, que ensina-va técnicas de gravura artística, verificou que o talento de Escher se inclinava mais para as Artes Decorativas do que para a Arquitetura. Foi nesta época que Escher começou a ser reconhecido pela imprensa. Mesmo contrariado, seu pai consentiu que Escher mudasse de curso.

Trabalhos desta época mostram que Escher depressa começou a dominar a técnica da xilogravura. Em 1921, Escher e sua família foram visitar a Itália, que se tornou um dos lugares preferidos de Escher e influenciou muito o

seu trabalho. Um ano depois, Escher deixou a Escola de Arte. Tinha adquirido uma boa base em desenhos das técnicas de gravura artística, domi-nava de forma tão considerável a xilogravura que também Mesquita achou que o jovem deveria ago-ra seguir o seu próprio caminho.

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4.2 Obra de M. C. Escher

O trabalho de Escher está intimamente ligado à Matemática. Assim, ele mesmo diz: "Eu freqüentemente sinto ter mais em comum com matemáticos do que com meus colegas artistas", ou "Minha afinidade sobre os fenômenos naturais é provavelmente decorrente do meio no qual eu cresci: meu pai e três de meus irmãos tiveram treinamento em ciências exatas ou engenharia, e eu sempre tive

o enorme respeito por essas coisas".

Observando cada um de seus mosaicos, você pode se perguntar: Como alguém desco-briu figuras que se encaixassem com tanta perfeição? Escher contorna as figuras com linhas retas e vai encaixando-as umas nas outras, formando um mosaico aparentemente complicado, porém partindo de uma estrutura muito simples.

As pavimentações com réplicas congruentes podem ser estendidas, como sabemos, ao infinito, mas Escher faz em seus trabalhos o infinito ao finito. Muitos foram os seus seguido-res com contornos duplos e aproveitamento de pavimentações com réplicas de polígonos.

O observador que julga estático o trabalho de Escher, baseando-se somente nos mosaicos com aproveitamento das pavimentações do plano com figuras geométricas, engana-se. Na verdade, es-ses mosaicos são estudos modificados a partir de seus próprios trabalhos, dando

movimento aos peixes, pássaros, répteis, outros animais e figuras humanas que os compõe,

1 _{Todas as figuras apresentadas na seção 4.1 são fotos do artista Maurits Cornellius Escher, em diversas épocas}

tornando-os dinâmicos e realizando contrastes. Num artigo publicado em 1959, Escher ex-pressou o que o moveu a representar o infinito:

"Não podemos imaginar que algures por detrás da estrela mais longínqua do céu noturno, o espaço possa ter um fim, um limite para além do qual "nada" mais existe. O conceito de "vácuo" nos diz ainda alguma coisa, pois um espaço pode estar vazio, de qualquer maneira na nossa fantasia, mas a nossa força de imaginação é incapaz de apreender o conceito de no sentido de. Por isso nos agarramos a uma quimera, a um além, a um purgatório, a um céu e a um inferno, a uma ressurreição ou um nirvana que de novo têm de ser eternos no tempo e infinitos no espaço, e isto, desde que o homem na Terra se deita, senta ou levanta, desde que nela se arrasta e corre; navega, cavalga e voa (e da Terra para fora se projeta)".

Escher também era fascinado pelos paradoxos visuais, chegando na criação de mundos impossíveis. Sem dúvida, essa é uma das faces mais intrigantes de sua obra. Litogravuras como Belvedere – 1958, e Queda de água – 1961, apresentadas na figura 4.1 abaixo,são bons exemplos dessa fase.

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Figura 4.1: (a) Belvedere (1958) e (b) Queda de água (1961).

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Figura 4.3: Auto-retrato de Escher.

4.3 Técnicas Artísticas Usadas por Escher

Xilogravura: originou-se na China, sendo conhecida desde o século VIII. No oriente,

ela já se afirmou durante a Idade Medieval. A xilogravura é a técnica de gravura na qual se utiliza madeira como matriz e possibilita a reprodução de imagens e textos sobre papel ou outro suporte adequado.

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O observador é convidado a segui-lo, passando por seus estágios, um após o outro, começan-do no topo esquercomeçan-do da faixa de imagens que preenche a folha por começan-doze etapas de cresci-mento e metamorfose, descritos em sua ordem.

Figura 4.7: Xilogravura I, o desenvolvimento da idéia artística.

1. O começo é cinza... Tão logo alguém percebe que alguma coisa está se devolvendo, que existe uma ação, pode perguntar se não havia nada lá, antes da 'história' começar.

3. Os dois sistemas de linhas retas que emergiram no estágio anterior são, em certo sentido, uma ficção. Delimitação visual não é obtida com 'linhas', mas através do efeito de contraste entre planos de diferentes tonalidades. Portanto, as figuras margeando umas às outras devem ser separadas antes de desenvolvimentos posteriores.

4. Já estamos convencidos que um mínimo de dois tons contrastantes é suficiente no presente caso, já que, a cada vez, existem quatro figuras se encontrando em um mesmo ponto. Não é sempre esse o caso. Em um piso preenchido com ladrilhos hexagonais, não apenas quatro mais seis hexágonos se encontram em um mesmo ponto. Nesse caso, um mínimo de três tons diferentes é necessário para distingui-los visualmente. Aqui, todavia, branco e preto são suficientes.

5. No início do item 2 havia um campo infinito de possibilidades, das quais escolhemos uma divisão particular em paralelogramos. Agora, no começo do item 5, novamente nos encontramos em uma encruzilhada. Dos três princípios diferentes disponíveis para dividir um plano temos que escolher um. Em prol da concisão, esse três princípios podem ser caracterizados como o 'translação', 'rotação' e 'reflexão', descritos ao longo deste trabalho.

6. É escolhida para obra a translação. As linhas retas as bordas entre branco e preto na seção 4 se transformam gradualmente nas seções 5 e 6. Elas se tornam cada vez mais curvadas e quebradas; onde o 'branco' avança, o 'preto' automaticamente retrocede.

8. Presumo que ele terá a vaga impressão de alguma coisa flutuando, com um corpo e duas asas ou barbatanas sobrepostas; provavelmente, portanto, um pássaro ou um peixe. Essa incerteza termina assim que as silhuetas pretas são preenchidas com linhas de detalhamento. Não existe mais espaço para dúvidas: existem pássaros pretos voando contra um fundo branco.

9. Obviamente, isso pode ser feito ao inverso também. Quando movemos as linhas de detalhamento dos motivos pretos para os brancos, a representação aparece ao reverso pássaros bancos podem ser vistos contra um fundo preto.

10. Uma completa divisão regular do plano só se completa quando a função de 'objeto' pode ser atribuída a cada uma das figuras congruentes. A questão de onde existe, portanto, um 'fundo' fica em aberto.

11. As marcas brancas e pretas que nós lemos como pássaros podem também ser vistas como alguma coisa mais. Se deslocarmos o olho e a boca da direita para esquerda e transformarmos a asa em uma barbatana, os pássaros viram peixes.

12. Finalmente é obviamente também possível unificar os dois tipos de animais em uma única divisão do plano. A solução adiantada aqui, pássaros negros voam para a direita e peixes brancos nadam para esquerda, mas podemos fazê-los mudar de lugar à vontade.

Isso conclui a descrição da Xilogravura I. Ela mostrou claramente que uma sucessão de figuras gradualmente alteradas pode resultar na criação de uma história em imagens. Para-fraseando as palavras do próprio Escher:

“Para mim permanece uma questão em aberto se o jogo de preto e branco das figuras mostradas nas xilogravuras dos meus livros pertence ao reino da matemática ou ao reino da arte.”

4.4.1 – Translações

O princípio de translação usado na divisão do plano pode ser agora descrito como se segue. Se alguém imaginar que cada um dos motivos brancos e pretos é uma peça recortada de cartão ou madeira, como as peças de um quebra-cabeças, seria possível cuidadosamente retirar um deles e, movendo-o em uma linha reta paralela ao plano do 'quebra-cabeça', sim-plesmente por 'translação', posicioná-lo sobre qualquer outra peça, de forma a cobrir-la com-pletamente. Na translação, portanto, a posição das figuras na imagem, em relação umas às outras, sempre se mantém a mesma.

Figura 4.8: Construção por translação de uma pavimentação.

Figura 4.9: Passos para a construção de um ladrilho decorativo mais complexo para a pavi-mentação por translação.

Transladando o ladrilho ou peça fundamental, e repetindo iterativamente a imagem, gera-se uma seqüência de ladrilhos que se complementam e se encaixam, tanto na horizontal quanto na vertical, pavimentando desta forma o plano infinito com o mesmo ladrilho. Para trabalhar o contraste do quadro, pinta-se cada peça alternada com cores distintas, como nos mostra a figura 4.10.

Vale a pena ressaltar que a construção de ladrilhos fundamentais ornamentados, que segue a técnica da translação, deve seguir algumas regras fundamentais como: ser criada a partir de uma pavimentação de polígonos com número par de lados, os ornamentos de lados opostos devem ser congruentes, de mesmo sentido e direção, mas nunca simétricos) e o nú-mero de cores usadas na contrastação da obra deve ser exatamente a metade do núnú-meros de lados do polígono fundamental.

Na figura 4.11 podemos ver mais um exemplo de uma pavimentação artística simples, construída a partir do princípio da translação.

Matematicamente, todas as pavimentações artísticas produzidas para pavimentar por translação, possuem as seguintes propriedades matemáticas:

a) Todos os ladrilhos são congruentes.

b) Todos os ladrilhos possuem a mesma área e perímetro. c) As pavimentações originais não precisam ser regulares.

d) São admitidos somente um tipo de vértice, muitas vezes camuflado pelo contraste do jogo de cores.

e) Não existe ponto fixo, centro ou eixo de simetria na pavimentação artística. f) Não admitem ladrilhos invariantes.

M. C. Escher utilizou esta técnica em muitas de suas obras. Deste ponto em diante até o fim desta seção, serão apresentadas algumas obras do autor, enfatizando o ladrilho funda-mental, de forma que o leitor possa interpretar mais claramente a isometria adotada por Escher na criação de suas obras.

Figura 4.13: Pavimentação artística Nº 28.

Figura 4.14: Pavimentação artística Nº 361.

Figura 4.16: Pavimentação artística Nº 22.

Figura 4.17: Pavimentação artística Nº 91.

4.4.2 – Rotações

A figura 4.18 mostra um exemplo de como montar uma pavimentação a partir de um quadrado como polígono fundamental. Note que na pavimentação, os vértices marcados são os centros de rotação de 90º.

Observe na figura 4.19 abaixo, os passos da construção de um ladrilho decorativo para a pavimentação por rotação, começando de uma triângulo até a obtenção de um pássaro em pleno vôo decorado:

Figura 4.19: Passos para a construção de um ladrilho decorativo mais complexo para a

pavi-mentação por rotação.

A construção dos ladrilhos fundamentais ornamentados, seguindo a técnica da rotação, deve seguir algumas regras fundamentais como: pode ser criado a partir de pavimentações de polígonos com número qualquer de lados, os ornamentos de lados consecutivos devem ser espelhados ou simétricos, e o número de cores usadas na contrastação da obra pode ser de duas em diante, a gosto do artista.

mesmo com relação ao seu ponto médio. Tal fato é relevante a medida que este ponto médio passa a ser um novo centro de rotação, sempre de 180º.

Uma importante observação a ser feita diz respeito aos centros de rotação. Cada vértice que liga lados simétricos é um centro de rotação, onde o ângulo de rotação é congruente à medida do ângulo interno do polígono regular. Na figura 4.20, o ladrilho fundamental é um triângulo eqüilátero, e o ponto marcado com um ponto (•) é um centro de rotação de 60º e o ponto marcado com um xis (x) é um centro de rotação de 180º.

Conseqüentemente, o número de centros de rotação de um pavimentação por rotação é dado pela seguinte condição:

1) Números de lados do polígono é par (2n): então existem n centros de rotação

com ângulos dados por θ = · 180°.

2) Números de lados do polígono é ímpar(2n+1): então existem n centros de

rota-ção com ângulos dados por θ = · 180° e um centro de rotação de 180º.

Figura 4.20: O ponto marcado com um ponto (•) é um centro de rotação de 60º e o ponto

marcado com um xis (x) é um centro de rotação de 180º.

Figura 4.21: Exemplo de pavimentação por rotação do ladrilho decorado.

Matematicamente, todas as pavimentações artísticas produzidas para pavimentar via rotação, possuem as seguintes propriedades matemáticas:

a) Todos os ladrilhos são congruentes.

b) Todos os ladrilhos possuem a mesma área e perímetro. c) As pavimentações originais precisam ser regulares.

d) É admitido somente um tipo de vértice, camuflado pelo contraste do jogo de cores e pela ornamentação adotada.

e) Possui mais de um centro de rotação, e a paridade do número de lados do polígono fundamental define se existem 1 ou 2 tipos, com angulações diferentes.

f) Todo vértice que une lados simétricos ou espelhados é um centro de rotação. g) Todo centro de rotação é um ponto fixo.

h) A pavimentação deve ser construída de dentro para fora, partindo de um centro de rotação do ladrilho fundamental.

Figura 4.22: Outro exemplo de pavimentação por rotação com hexágonos.

Maurits Cornellius Escher utilizou a técnica da rotação em muitas de suas obras. Uma de suas obras mais famosas é a Xilogravura de Nº 25, apresentada na figura 4.24, onde o po-lígono fundamental é um hexágono e a ornamentação produzida nele é um réptil, como pode ser visto na figura 4.23, abaixo.

Primeiramente é feita uma análise ilustrada das simetrias de lados consecutivos usando um esquema de flechas, numerações e sinais. Peças com a mesma numeração se complemen-tam, enquanto a seta levando do sinal negativo para o positivo indica a parte do polígono que deve ser refletida para manter a rotação. Os pontos A, B e C são centros rotação de 120º.

Figura 4.24: Xilogravura Nº 25.

Deste ponto em diante até o fim desta seção, serão apresentadas algumas obras do au-tor, enfatizando o ladrilho fundamental, de forma que o leitor possa interpretar mais clara-mente a isometria adotada por Escher na criação de suas obras.

Figura 4.26: Pavimentação artística Nº70.

Figura 4.27: Pavimentação artística Nº21.

4.4.3 – Reflexões

O princípio da reflexão é um tanto quanto diferente da translação e da rotação, pois é o único que exige a “peça” do quebra-cabeças imaginário tenha, necessariamente, que sair do plano no qual está inserido para o jogo possa ser montado. Em outras palavras, a reflexão diferencia a frente e o verso do polígono fundamental, exigindo assim que existam mais de um ladrilho ornamentado, apesar de todos se basearem no mesmo polígono fundamental, como mostram as figuras 4.29 e 4.30 a seguir.

Figura 4.29: O ladrilho é refletido como em um espelho, onde a projeção do espelho no

plano forma um eixo de simetria para o ladrilho.

Figura 4.30: Exemplo de uma pavimentação simples por reflexão. Note que todas as linhas

Observe na figura 4.31 abaixo, os passos da construção de um ladrilho decorativo para a pavimentação por reflexão, começando de um quadrado até a obtenção de um peixe, simé-trico em relação a diagonal vertical do quadrado:

Figura 4.31: Passos para a construção de um ladrilho decorativo mais complexo para a

pavi-mentação por reflexão.

Refletindo o ladrilho ou peça fundamental, e repetindo iterativamente a imagem, gera-se uma gera-seqüência de ladrilhos que gera-se complementam e gera-se encaixam, tanto na horizontal quanto na vertical do plano, pavimentando desta forma o plano infinito com o mesmo ladri-lho. Para trabalhar o contraste do quadro, pinta-se cada peça alternada com cores distintas, como nos mostra a figura 4.32.

Figura 4.32: Exemplo de pavimentação por reflexão com o ladrilho construído.

É relevante observar que uma pavimentação por reflexão pode apresentar uma série de eixos de reflexão, cuja quantidade é de difícil estimação, principalmente porque toda reflexão pode ser em relação a uma reta ou um ponto, e tanto a rotação quanto a translação podem ser sempre decompostas em reflexões consecutivas, como visto no capítulo 2 deste trabalho.

Consequentemente, isto nos traz uma gama de possibilidades de construir uma pavi-mentaçao por reflexão, exponencialmente proporcional ao número de lados do polígono fun-damental utilizado. Por exemplo, poderiamos usar as arestas, as diagonais ou mediatrizes do polígono com eixos de simetria, ou então uma combinação variada delas, ou ainda mais usar reflexão em relação aos pontos médios das arestas, etc...

Em suma, as diversas possibilidades constituem uma riqueza de ferramentas que foram abilidosamente exploradas por Escher.

Figura 4.34: As pavimentações por reflexão também possuem pontos fixos, que são os

cen-tros de reflexão (e portanto cencen-tros de rotação de 180º simultaneamente).

Para ilustrar a afirmação feita acima, repare na figura 4.34, onde o ponto marcado é um ponto fixo por ser centro de reflexão. Como toda reflexão em relação a um ponto pode ser interpretada como uma rotação de 180º, a pavimentação também possui um centro de rota-ção. Complementando, na figura 4.35, percebes-se claramente que a reflexão pode ser substi-tuída ainda por uma composição de uma rotação de 90º (1) com uma translação (2).

Figura 4.35: A reflexão pode ser substituída ainda por uma composição de rotação de 90º (1)

Matematicamente, todas as pavimentações artísticas produzidas para pavimentar por reflexão, possuem as seguintes propriedades matemáticas:

a) Todos os ladrilhos são congruentes.

b) Todos os ladrilhos possuem a mesma área e perímetro. c) As pavimentações originais não precisam ser regulares. d) É admitido mais de um tipo de vértice.

e) Possuem diversos eixos de simetria, todos perpendiculares ou paralelos entre si. f) Os eixos de simetria podem ser coincidentes com as arestas, diagonais ou

mediatri-zes do polígono fundamental.

g) Admitem infinitos pontos fixos por reflexão.

h) Podem ser compostas por reflexões centrais, axiais ou mistas.

i) Se compostas por reflexões centrais admitem centros de rotação de 180º. j) Não admitem ladrilhos invariantes.

k) Podem ser decompostas ou compostas com translações e rotações, gerando as refle-xões transladadas ou reflerefle-xões deslizantes que constituem a maior parte dos trabalhos de Escher.

4.5 Criações Artísticas Sobre as Pavimentações

Um das grandes idéias de M. C. Escher, tão impressionante quanto usar as ferramentas matemáticas da geometria ou os estudos cristalográficos para desenvolver suas obras, foi tra-balhar a noção de perspectiva e seus dotes artísticos para introduzir tridimensionalidade em seus trabalhos, produzindo uma dinâmica única e cativante, encantando matemáticos, artistas e apreciadores de artes de todas as épocas.

Este capítulo, bem como este trabalho, serão finalizados com uma breve mostra destas obras de arte, que creio, podem ser melhor apreciadas pelo leitor agora que já possui uma idéia mais apurada da “mecânica” por trás criação destes desenhos tão belos.

Figura 4.37: Da esquerda para direita: Day and Night (1938); Xilogravura Nº 18.

Figura 4.39: Da esquerda para direita: Swan (1942); Xilogravura Nº 36.

Figura 4.40: Da esquerda para direita: Encouter (1944); Xilogravura Nº 63.