FÍSICA MODERNA I AULA 19
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(2) Estados Ligados e não Ligados Um estado no qual. ( x) 0. quando. x , e, x . se denomina estado ligado. Para um estado ligado, a probabilidade de encontrar a partícula se concentra em sua maior parte em uma região finita do espaço. Para um estado não ligado, a função de onda ψ não tende a zero conforme e não é normalizável. x • Para a partícula em um poço retangular: os estados com E<V0 são ligados e os estados com E>V0 são não ligados. • Para a partícula na caixa de paredes infinitas, todos os estados são ligados, • Para a partícula livre, todos os estados são não ligados..
(3) 3. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger Partícula dentro da caixa. 0 x L. Dentro da caixa V(x) = 0, fora V(x)=infinito. 2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx. 2 d 2 ( x) E ( x) 2 2m dx. Para sair disto precisamos lembrar que para um estado estacionário n podemos ter uma superposição de ondas : k L ( x) A1eikx A2eikx 2 2 L , n 1,2,3... k n. ( x) 2iA1senkx Csenkx. pn . h. n. . nh 2L. p2 n2h2 E 2m 8mL2.
(4) 4. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Partícula presa em um poço finito quadrado V (x) . . Vo x <0 0 0<x<a Vo x >a. região 1 região 2 região 3. Região 2 – dentro do poço. d 2 ( x) 2m E ( x) 2 2 dx . 2mE k2 . E 1. 2 ( x) Csenk2 x D cos k2 x. Aqui não conseguimos exigir que a função de onda se anule nas fronteiras. 1 ( x) Ae Be k1 x. k1 x. 1) Condição de finitude. 3 ( x) Fe k x Ge k x 1. 2 -a 0. 3 aa. 1. x , ( x) 0. x , ( x) 0. F=0 B=0.
(5) 5. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Partícula presa em um poço finito quadrado. 1 ( x) Ae k x. Região 1. 3 ( x) Ge k x. Região 3. 1. 1. 2 ( x) Csenk2 x D cos k2 x. 2m(V0 E ) k1 Região 2. k2 . 2mE . 2) Condição de continuidade a função e de sua derivada 1. E 2. 1( x 0) 2( x 0). 2 ( x a ) 3( x a ). 00. d d 1( x 0 ) 2 ( x 0 ) dx dx d d 2( x a ) 3( x a ) dx dx. 3. a.
(6) 6. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Partícula presa em um poço finito quadrado. 1 ( x) Ae k x. Região 1. 1. 3 ( x) Ge k x 1. Região 3. 2m(V0 E ) k1 . 2 ( x) Csenk2 x D cos k2 x Região 2. 2mE k2 . E 1 0. 3. 2 a. 2) Condição de continuidade a função. 1( x 0) 2( x 0) Ae 0 Csen0 D cos 0 A D. 2 ( x a ) 3( x a ) Csenk 2 a D cos k 2 a Ge. k1a.
(7) 7. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Partícula presa em um poço finito quadrado. 1 ( x) Ae k x. Região 1. 1. 3 ( x) Ge k x 1. Região 3. 2m(V0 E ) k1 . 2 1 2mE 2 ( x) Csenk2 x D cos k2 x Região 2 k2 0 2) Condição de continuidade da derivada da função. E 3 a. d d 1( x 0 ) 2 ( x 0 ) dx dx k1 A Ck 2 cos 0 Dk2 sen0 k1 A Ck 2. d d 2 ( x a ) 3( x a ) dx dx Ck 2 cos k 2 a Dk2 senk2 a k1Gek1a.
(8) 8. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Partícula presa em um poço quadrado” Comparando o primeiro estado do sistema do poço infinito com o poço finito. O fato da função de onda não ser zero nas paredes aumenta o comprimento de onda de De Broglie na parede (em comparação com o poço infinito), e isto torna menor a energia e o momento da partícula. Esta observação pode ser usada para aproximar as energias permitidas para a partícula ligada. A função de onda penetra na região exterior, numa escala de comprimento definido pela profundidade de penetração d dado por:. 1 d k1. 2m(V0 E ). A função de e onda no exterior é essencialmente zero além da distância d, em ambos os lados do poço de potencial n 2 2 2 En 2m( L 2d ) 2 Energia da partícula ligada no poço finito.
(9) 9 Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger. “Potencial Degrau” E < Vo. 1. V (x) . . E > Vo. Vo x >0 0 x <=0. 1. 2 Região 1. 1 ) Caso E< Vo. x<0. d 2 ( x) 2m E ( x) 2 2 dx . 1 ( x) Ae ik x Be ik x 1. Região 2 1. 2. 2. x>0. 2m(V0 E ) k2 . 1. 2mE k1 . Solução da partícula livre. d 2 ( x) 2m 2 ( E V0 ) ( x) 2 dx . 2 ( x) Ce k x Dek x 2. 2.
(10) 10. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Potencial Degrau” Coeficiente de Reflexão: O fluxo de partículas na direção da onda, ou seja número de partículas que atravessam, uma certa posição por unidade de tempo é dado por 1. * ( x). ( x). 2. 1 ( x) Ae ik x Be ik x 1. 1. 2 ( x) Ce k x 2. Região 1. * ( x). ( x) C *Ce 2k x 2. Região 2 : x> 0. Região 2. C *Ce 2k2 x 0. Nesta região temos E<Vo e portanto energia cinética seria negativa • classicamente esta é uma região proibida para as partículas • Quanticamente pode-se encontrar a partícula nesta região, sendo que cada vez menos provável encontrar a partícula com o aumento de x. • A penetração da partícula na região proibida (por intervalo muitos pequenos) é possível devido ao princípio de incerteza 1 d • A profundidade de penetração é pequena k2 2m(V0 E ).
(11) 11. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Potencial Degrau”. 1 ( x) Ae ik x Be ik x. Região 1. 2 ( x) Ceik x Deik x. Região 2. 1. 1. 2. 1. 2. 2. 1) Condição de finitudex x > 0 região 2. , ( x) 0. k1 . 2mE . 2m( E V0 ) k2 . D=0. A onda não volta. 2 ( x) Ceik x 2) Condição de continuidade a função e da derivada d d 2( x 0) 1( x 0 ) 2( x 0 ) 1( x 0 ) dx dx. Ae Be C A B C 0. 0. 2. Aik 1e 0 Bik 1e 0 Cik 2 e 0 A B . k2 C k1.
(12) 12. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Potencial Degrau”. 1 ( x) Ae ik x Be ik x 1. 1. 2. A B C k2 A B C k1. . (x) . 1 2. k1 k 2 Ae A k1 k 2 2k 1 ik2 x A e k1 k 2 ik1 x. k1 . 2mE . 2m(V0 E ) k2 2 ( x) Ce k2 2 1 ( A B) A B k1 k1 k 2 k 2 ( A B) k1 ( A B) B A k1 k 2 (k k ) B (k k ) A ik 2 x. 1. Região 1. 1. 2. Região 2. 1. 2. Substituindo em 1. ik1 x e . Região 1 : x< 0. Região 2 : x> 0. k1 k 2 ( 1) A C k1 k 2 2k 1 C A k1 k 2.
(13) 13. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Potencial Degrau”. 1 ( x) Ae ik x Be ik x 1. 2 ( x) Ce 1. ik 2 x. k1 k 2 Ae A k1 k 2 2k 1 ik2 x A e k1 k 2 ik1 x. ik1 x e . Região 1 : x< 0. Região 2 : x> 0. Caso de k1=2k2. Região 1. Região 2. 2. . (x) . 1. k1 . 2mE . 2m(V0 E ) k2 .
(14) 14. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Potencial Degrau” Coeficiente de Reflexão e Transmissão: Vamos definir fluxo de probabilidade (j). jincidente vinc A * A 1. jrefletido vref B * B. 2. 1 ( x) Ae ik x Be ik x 1. 1. 2 ( x) Ceik x 2. jtransmitido vtranC * C. Região 1. Região 2. reflexão:. R. jrefletido jincidente. . vref B* B vinc A* A. pinc k1 vinc * v C C jtransmitido m m trans transmissão: T * pref k1 j v A A incidente inc k1 k2 vref m m B k k A 2 2 1 2 2 k k k k 2 k 1 p k 2 1 R 1 2 C k k A T 2 vtrans trans k 1 k1 k 2 1 2 m m k1 k 2 .
(15) 15. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Potencial Degrau” Coeficiente de Reflexão e Transmissão:. 1. 2. reflexão:. R T . +. 2mE . 2m(V0 E ) . k 2 2k 1 T k 1 k1 k 2. . 2. transmissão:. k1 k 2 4k 2 k1 (k 1 k 2 ) 2 k1 k 2. k1 . k2 . k1 k 2 R k1 k 2 . 2. 2. 1 . V0 1 1 E R 1 T V0 1 1 E R 1 T 1. E V0. E V0.
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(17) 17. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Barreira de Potencial”. E < Vo. . V (x) 1. Vo 0<x >a 0. x <0, x>a 1. 3. 2. Região 1. 1 ) Caso E< Vo. d 2 ( x) 2m E ( x) 2 2 dx 1. Região 2 0<x>a. Região 3. 2. 2. 3. x>a. 3 ( x) Fe ik x Geik x 1. 1. 3. x<0. 1 ( x) Ae ik x Be ik x 1. E > Vo. 1. 2mE k1 . Solução da partícula livre. d 2 ( x) 2m 2 ( E V0 ) ( x) 2 dx . 2 ( x) Ce. k2 x. De. k2 x. 2m(V0 E ) k2 .
(18) 18. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Barreira de Potencial”. E < Vo. . V (x) 1 Região 1. 0. x <0, x>a. 2. 3. x<0. 1 ( x) Ae ik x Be ik x. Região 2 0<x>a. Região 3. Vo 0<x >a. x>a. 2mE k1 k2 . 1. 2m(V0 E ) . 1. 2 ( x) Ce k x Dek x 2. 2. 3 ( x) Fe ik x Geik x Onda vindo da esquerda para a direita e não volta e para estabelecer esta condição precisamos ter G =0 1. 1.
(19) 19. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger Região 1. x<0. Região 2 0<x>a Região 3. “Barreira de Potencial” 1 ( x) Ae ik1x Be ik1x. 2 ( x) Ce k x Dek x. x>a. 2. 2. 2mE k1 k2 . 3 ( x) Fe ik x. 2m(V0 E ) . 1. 2) Condição de continuidade a função e de sua derivada. 1( x0) 2( x0) d d 1( x 0 ) 2 ( x 0 ) dx dx. 2 ( x a ) 3( x a ) d d 2( x a ) 3( x a ) dx dx. A B C D ik1 A ik1B k2C k2 D ik1 ( A B) C D k2. Ce k2 a Dek2a Fe ik1a. k2Ce k2a k2 Dek2a ik1 Fe ik1a.
(20) 20. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger Região 1. x<0. Região 2 0<x>a Região 3. x>a. “Barreira de Potencial” 1 ( x) Ae ik1x Be ik1x. 2 ( x) Ce k x Dek x 2. 2. 3 ( x) Fe ik x. 2mE k1 k2 . 2m(V0 E ) . 1. 2) Condição de continuidade a função e de sua derivada A B C D 1 1+2 ik 2 ik 2 ik1 A ik1B k2C k2 D 2 A C (1 ) D(1 ) k1 k1 ik1 ( A B) C D ik 2 ik 2 2 B C (1 ) D(1 ) k2 k1 k1 ik 1-2 A B 2 (C D) 2 k1.
(21) 21. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger Região 1. x<0. Região 2 0<x>a Região 3. x>a. “Barreira de Potencial” 1 ( x) Ae ik1x Be ik1x. 2 ( x) Ce k x Dek x 2. 2. 3 ( x) Fe ik x. 2mE k1 k2 . 2m(V0 E ) . 1. 2) Condição de continuidade a função e de sua derivada ik 2 Dek2 a F (1 1 )eik1a k2. Ce k2 a Dek2 a Fe ik1a. k 2Ce k2 a k 2 Dek2 a ik1 Fe ik1a Ce. k2a. De. k2a. ik1 ik1a Fe k2. F ik1 eik1a D (1 ) k2 a 2 k2 e F ik1 eik1a F ik C (1 ) k 2 a (1 1 )e (ik1 k2 ) a 2 k2 e 2 k2.
(22) 22. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger Região 1. x<0. Região 2 0<x>a Região 3. x>a. “Barreira de Potencial” 1 ( x) Ae ik1x Be ik1x. 2 ( x) Ce k x Dek x 2. 2. 3 ( x) Fe ik x. Deixar tudo em função de F que é amplitude da onda transmitida. 2mE k1 k2 . 2m(V0 E ) . 1. F ik1 eik1a F ik1 (ik1 k2 ) a D (1 ) k2 a (1 )e 2 k2 e 2 k2 F ik1 eik1a F ik1 (ik1 k2 ) a C (1 ) k2a (1 )e 2 k2 e 2 k2. C ik 2 D ik 2 A (1 ) (1 ) 2 k1 2 k1 F ik1 ik 2 (ik1 k2 ) a F ik1 ik 2 (ik1 k2 ) a A (1 )(1 )e (1 )(1 )e 4 k2 k1 4 k2 k1.
(23) 23. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger Região 1. x<0. Região 2 0<x>a Região 3. x>a. “Barreira de Potencia” 1 ( x) Ae ik1x Be ik1x. 2 ( x) Ce k x Dek x 2. 2. 2mE k1 k2 . 3 ( x) Fe ik x. Deixar tudo em função de F que é amplitude da onda transmitida. 2m(V0 E ) . 1. F ik1 eik1a F ik1 (ik1 k2 ) a D (1 ) k2 a (1 )e 2 k2 e 2 k2 F ik1 eik1a F ik1 (ik1 k2 ) a C (1 ) k2a (1 )e 2 k2 e 2 k2. C ik 2 D ik 2 B (1 ) (1 ) 2 k1 2 k1 F ik1 ik 2 (ik1 k2 ) a F ik1 ik 2 (ik1 k2 ) a B (1 )(1 )e (1 )(1 )e 4 k2 k1 4 k2 k1.
(24) 24. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Barreira de Potencia”. E < Vo. Coeficiente de Transmissão : * jtransmitido vtransF F T jincidente vinc A* A 1. 2. 3. F *F senh 2 k 2 a T * 1 A A 4 E (1 E ) V0 V0 . pin c k1 m m p k1 tra n s m m. vin c . 1. vtra n s. Ao chegar a fronteira das regiões 2 e 3 a função de onda volta a apresentar o comportamento senoidal – probabilidade de encontrar a partícula do outro lado da barreira. Tunelamento.
(25) 25. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Barreira de Potencia”. E > Vo. Coeficiente de Transmissão: C *C T * A A 1. 2. 3. C *C sen 2 k 2 a T * 1 A A 4 E ( E 1) V0 V0. Fazer como exercício:. 1.
(26) 26. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger “Partícula sujeita ao potencial dos oscilador harmônico simples” É muito importante na física pois é um modelo de qualquer sistema que envolva oscilações: • Vibração de uma molécula em gases e sólidos Partícula sujeita a uma força de • Moléculas diatômicas restauração F=-Kx • Átomos na estrutura cristalina Cuja energia potencial é: • Partículas no núcleo atômico 1 2 1 2 V ( x ) Kx m x Frequência angular de vibração 2 2 Quanticamente sempre podemos aproximar o ponto de equilíbrio de um potencial qualquer, V(x), pelo potencial parabólico do oscilador harmônico. 1/ 2. K m. . 2f. Classicamente temos um potencial deste tipo onde a partícula fica em equilíbrio na origem (x=0), onde V(x) é mínimo e a força é nula F dV 0 x. dx.
(27) 27. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger Em torno do ponto x=a temos que V(x) tem um mínimo. d 2V 0 2 dx d 2V 0 2 dx Próximo ao ponto de equilíbrio estável (como a), V(x) pode ser ajustada a uma parábola. Queremos estudar agora a descrição quântica quando a partícula é afastada da posição de equilíbrio passa a oscilar entre x=-a e x=a. No ponto de equilíbrio instável. Equação de Schrödinger 2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx. E 0. -a. No ponto de equilíbrio estável. a. 2 d 2 ( x) C 2 x ( x) E ( x) 2 2m dx 2.
(28) 28. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger. d ( x) C 2 x ( x) E ( x) 2 2m dx 2 2. 2. Como a partícula está confinada Vamos analisá-la antes de resolve-la dentro do potencial pelas paredes, centrada em x=0, eu tenho zero probabilidade de encontra-la em Sobre a energia: x=infinito Energia pode ser zero? Se E=0 x , ( x) 0 então em x=0 V=0 então Ec=0 Mas se x=0 e p=0 o princípio de incerteza é violado já que E0 conheço exatamente a posição e momento.
(29) 29. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger. E. Sabemos que a função de onda não é zero em x= +a ou em x = -a, há uma pequena probabilidade de encontrar a partícula fora dos paredes do potencial, A função de onda decai rapidamente para zero do outro lado da barreira. 0. -a. a -a. d ( x) C 2 x ( x) E ( x) 2 2m dx 2 2. 2. x<<<0 próximo do equilíbrio. a 2mE 2 2. d 2 ( x) 2 ( x) ( x) A cos x Asenx 2 dx.
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(31) 31. Mecânica Quântica – Equação de Schrödinger En (n 1 / 2)h. n=0,1,2,3..... Podemos escrever a solução da função de onda como: u ( x ) 2. n ( x) H n [u( x)]e . 2. Onde Hn são polinômios de ordem n, com n>=0 As funções Hn são relacionadas aos polinômios de Hermite que são tabelados. 0 A0 e. u2 2. 1 A1ue. u2 2. 2 A2 (1 2u 2 )e. u2 2. 3 A3 (3u 2u 3 )e. u2 2.
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(33) Conteúdo P2. • • •. •. •. •. •. Panorama da Física no final do século XIX Natureza Ondulatória da Radiação eletromagnética • Radiação Térmica – Hipótese de Planck Dualidade onda – partícula: Radiação eletromagnética e as propriedades corpusculares • Efeito fotoelétrico • Efeito Compton • Produção e aniquilação de pares • Difração de raios-X Dualidade onda – partícula: Matéria e as propriedades corpusculares • Natureza atômica da matéria • Modelo de Thomson • Modelo de Rutherford • Modelo de Bohr • Modelo de Sommerfeld –FranckHertz Dualidade onda – partícula: Matéria e as propriedades ondulatórias • Postulado de de Broglie • Difração de elétrons, • Difração de Bragg • Principios de incerteza Teoria de Schroedinger da Mecânica Quântica • Equação de Schroedinger – equação de onda para o elétron • Autofunções e autovalores • Valores esperados • Equação de Schroedinger Depende e independente do tempo • Potenciais nulo, degrau e poço quadrado Átomo de Hidrogênio.
(34) BIBLIOGRAFIA 1) Física Quântica, Eisberg e Resnick (ER); Capítulo 3, 4 (4.8 até 4.12) , 5 , 6 2) Modern Physics for scientists and engineers, T. Thornton e Andrew Rex (TR); Capítulo 4 (4.7), 5, 6 3) Modern Physics de Serway, Moses e Moyer (SMM); Capítulo 4 (4.5), 5, 6,7 4) Física Moderna, Paul A. Tipler e Ralph A. Liewellyn (TL); Capítulo 4 (4.5), 5 , 6 5) Notas de aula do Professor Roberto V. Ribas (RR) Capítulo 4 (4.4), 5, 6 6) Física Moderna, Francisco Caruso e Vitor Oguri (FV) Capítulo 14, 15(até 15.3).
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