PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO NO PLANO O segmento de reta é um subconjunto da reta, é parte da reta.
Ao contrário da reta, o segmento é finito, possuindo começo e fim, podendo ser medido. Mesmo sendo finito, ele possui infinitos pontos e o ponto que divide o segmento de reta em duas partes de mesmo tamanho é chamado de ponto médio.
Vamos determinar as coordenadas do ponto médio do segmento PQ da figura.
Assim, o ponto médio tem coordenadas:
Exemplo 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB de extremos A(1, 9) e B(7, 5).
Solução: Temos que
Portanto, o ponto médio do segmento AB tem coordenadas M(4 , 7)
Exemplo 2. O ponto médio do segmento PQ tem coordenadas M(5, 5). Sabendo que o ponto P tem coordenadas P(3, 4), quais são as coordenadas do ponto Q?
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Solução: Sabemos que
Segue que
Portanto, o ponto Q tem coordenadas (7, 6).
Exemplo 3. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AM, sabendo que M é o ponto médio do segmento AB, sendo A(0, 0) e B(– 12, 20).
Solução: Primeiro determinaremos as coordenadas do ponto M. Como M é ponto médio do segmento AB, temos que:
Logo, M tem coordenadas (– 6, 10).
Queremos determinar o ponto médio do segmento AM. Vamos chamar esse ponto de N. Assim,
Portanto, o ponto médio do segmento AM tem coordenadas N(– 3, 5).
Fonte:
https://www.preparaenem.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-no-plano.htm Acessado em 03 de setembro de 2021
Distância entre pontos no Plano Cartesiano
Os estudos em Geometria Analítica possibilitam a relação entre a Álgebra e a Geometria, abrangendo situações em que são envolvidos ponto, reta e figuras espaciais. Um conceito básico de Geometria deve ser aproveitado na GA, a fim de estabelecer a distância entre dois pontos: “por dois pontos passa apenas uma reta”.
Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre pontos A e B.
Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB:
hipotenusa.
Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o auxílio da Álgebra e de conhecimentos geométricos podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas.
Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une.
Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica.
Distância entre dois pontos no plano
No plano, um ponto fica totalmente determinado conhecendo um par ordenado (x, y) associado a ele.
Para conhecer a distância entre dois pontos, iremos inicialmente representá-los no plano cartesiano, para então calcular essa distância.
Exemplo:
1) Qual a distância entre o ponto A (1,1) e o ponto B (3,1)?
d(A,B) = 3 – 1 = 2
2) Qual a distância entre o ponto A (4,1) e o ponto B (1,3)?
Note que a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 2 e 3.
Assim, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos dados.
[d(A,B)]2 = 32 + 22 = √13
Fórmula da distância entre dois pontos no plano
Para encontra a fórmula da distância, podemos generalizar o cálculo feito no exemplo 2.
Para dois pontos quaisquer, tais como A (x1,y1) e B (x2, y2), temos:
Exercícios de fixação:
1) Qual a medida da distância entre os pontos A e B representado no plano cartesiano?
2) Calcule a medida da distância entre os pontos:
a) A(0, 0) e B(8, 3) b) A(0, 0) e C(5, 6)
3) Calcule a medida da área e a medida do perímetro de cada uma das figuras representadas no plano cartesiano:
4) Determinar as coordenadas do ponto M, ponto médio do AB, sabendo que A(3, -2) e B(-1, -6).
Gabarito comentado dos exercícios de fixação:
1) Ponto A (1, 2) Ponto B (8, 4)
dAB = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)² + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)²
dAB = √(8 − 1)² + (4 − 2)²dAB = √7² + 2²dAB = √49 + 4 dAB = √53 ou dAB 7,3
2)a) dAB = √(8 − 0)² + (3 − 0)²dAB = √8² + 3²dAB = √64 + 9 dAB = √73 u. c. (unidade de comprimento)
b) dAB = √(5 − 0)² + (6 − 0)²dAB = √5² + 6²dAB = √25 + 36 dAB = √61 u. c.
3) Figura I, fazendo a leitura pelo plano cartesiano, obtemos:
Área de um triângulo:
A = base x altura= 4 x 3 = 12 = 6 u.c.
2 2 2
Cálculo do perímetro da Figura I:
dBC = 4 A(-3, 4) B(-5, 1) C(-1, 1)
dCA = √(−3 + 1)² + (4 − 1)²
dCA = √(−2)² + (3)²dCA = √4 + 9dCA = √13
dAB = √(−5 + 3)² + (1 − 4)²
dAB = √(−2)² + (−3)²dCA = √4 + 9dAB = √13
Perímetro: dBC + dCA + dAB= 4 + √13 + √13 Perímetro: 4 + 2√13u.c.
A
dAB B
A
B C
4
3
Figura II, pelo desenho do plano cartesiano, podemos obterá distância entre os pontos dED; dEF e dFG a outra distância utilizaremos a fórmula da distância entre dois pontos:
dED = 5 u.c E (2, 1)
dEF = 4 u.c. F (6, 1)
dFG = 3 u.c G (6, 4)
D (2, 6)
dGD = √(2 − 6)² + (6 − 4)²
dGD = √(−4)² + (2)²dGD = √16 + 4dCA = √20
Cálculo da área de um trapézio fig. 2.
A = Base maior + base menor .altura 2
A = 5 + 3 . 4 A = 8 . 4 A = 4 .4 2 2
A = 16 u.a.
Cálculo do perímetro da Figura II:
Perímetro: dEF + dFG + dGD+ dDE
Perímetro: 4 + 3 + √20 + 5 Perímetro: 12 + √20u.c.
ou
Perímetro: 12 + √4 .5 Perímetro: 12 + 2 √5 u .c.
D
E
G
F
?
5u.c.
3
4u.c.
4) M (Xm, Ym)
Xm =XA + XB
2
Ym =XA + XB
2
A (3, -2) e B (-1, -6)
Xm =3 – 1 = 2 = 1 2 2
Ym =- 2 – 6 = - 8 = - 4 2 2
As coordenadas do ponto M são: M = (1. -4) A
M B
