COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III PFV / 2013 – MATEMÁTICA I e MATEMÁTICA II – 2º ANO
TurmaS: IN212 / MA214
NOTA:
Professor: Coordenadora:
Maria Helena M. M. Baccar Data:
Nome: GABARITO Nº :
ATENÇÃO:
Valor da prova: 10,0 pontos.
Questões sem desenvolvimento ou justificativa NÃO serão consideradas.
1ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Determine os valores de a e b na função afim f(x) = ax + b ou y = ax + b de modo que seu gráfico passe pelos pontos (3;2) e (1;1).
Solução. Resolvendo o sistema com a substituição dos valores das coordenadas, temos:
4 5 4
14 4 1 1 4 1a1b, 1 Logo
4 a1a4 1 1ba 2ba3 )1(1b a
2ba3 b)1.(a1
b)3.(a2
. Resposta:
4 b 5 4e
a1 .
2ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Resolva a inequação dentro do conjunto dos números reais: (2x − 4).(− x² + 3x ).( x² − 6x + 5 ) 0 Solução. Identificando os termos como funções e analisando os sinais, temos:
i) f(x) = 2x – 4. Função afim crescente com zero x = 2. A função assume valor positivo para x > 2 e negativo para x < 2.
ii) g(x) = − x² + 3x. Função quadrática com concavidade para baixo. Os zeros da função são encontrados na resolução: − x² + 3x = 0 => − x(x – 3) = 0 => x = 0 e x = 3. A função assume valor positivo para 0 < x < 3 e negativo fora do intervalo [0,3].
iii) h(x) = x² − 6x + 5. Função quadrática com concavidade para cima. Os zeros da função são encontrados na resolução: x² − 6x + 5 = 0 => (x – 1).(x – 5) = 0 => x = 1 e x = 5. A função assume valor negativo para 1 < x < 5 e positivo fora do intervalo [1,5]. Organizando a tabela, temos:
S = [0,1] [2,3] [5, +∞[.
1
3ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Resolva a equação exponencial: 2x + 1 2x + 2x 1 = 6.
Solução. Separando os produtos exponenciais e resolvendo, temos:
2 x 2 2 4 3 2
2 12 2 6
. 3 2
2 6 1 . 2 2 2 6
1 1 . 2 6 2 1 2 . 2 6 2 . 2 2 2 . 2 6 2 2 2
2 x x
x x
x x
1 x
1 x x x 1
x x 1 x
.
4ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Uma droga na corrente sanguínea é eliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q0.(0,64)t miligramas. Determine:
a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em 1 hora.
Solução. Para t = 1, temos: Q(1) = Q0.(0,64)1 = 0,64.Q0 = 64%.Q0. O percentual no sangue fica reduzido a 64%. Logo, o percentual eliminado foi de 36%.
b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade.
Utilize log 2 = 0,30.
Solução. Calculando o tempo para que Q(t) = 0,5.Q(0), temos:
20 5,1 ,0
30 ,0 2 80 ,1
30, 0 )1.(
2 ) 30 ,0(
6
30 ,0 10
log 2 2 log 6
30 t ,0
10 log 2 log
30 ,0 0 100 log 64 log
2 log 1 log 100 log 64
2 log 1 2 log 1 2 t
) 1 64 2 ,0(
) Q 64 ,0 .(
Q 2
)t( Q Q
) 64 ,0 .(
Q )t(
Q
2 64 6
,0 0 t
t 0 0
t 0
.
O tempo necessário será de 1,5h ou 1h30min.
5ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Consideremos os seguintes dados: log2 = 0,3 e log3 = 0,48. Nessas condições, calcule o valor de:
a) log815. Solução. Utilizando as propriedades dos logaritmos, temos:
31 , 9 1 , 0
18 , 1 )
3 , 0 .(
3
3 , 0 1 48 , 0 2
log . 3
2 log 10 log 3 log 2
log . 3
2 log10 3 log 2
log . 3
5 log 3 log 2
log ) 5 3 log(
8 log
15 15 log
log8 3
.
b) log 72. Solução. Utilizando as propriedades dos logaritmos, temos:
2 3
log2 log3 3.log2 2.log3 3(0,3) 2.(0,48) 0,9 0,96 1,86log 72
log 3 2 3 2 .
6ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Determine o número de termos da sequência
,...,2048 512
, 1 1024
1 .
Solução. A sequência representa uma progressão geométrica de razão 2.
2,2 2 22 n 211 22n
1024 )2.(
2048) 1 ii
1 2 . 1024 512
1 1024
512 1 1 q 512 a 1
1024 a 1 )i
1n 21 1n 10 11 1n 2 1
. Há 22 termos.
7ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Os pontos (0,0) e (2,1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa
4
x 1. Calcule o valor de f(1).
Solução. A função quadrática é da forma f(x) = ax2 + bx + c. Como f(0) = 0, então c = 0. O ponto (2,1) pertence ao gráfico. Logo, f(2) = a.(2)2 + b(2) => 4a + 2b = 1. Temos:
10 3 10
)1(
5 )1(f )1(
, Logo 10 .
x 5 )x(f x
5 1 10 .2 1 10 a b 1 1 b2 b8 1 b2 )b2 (4 1 b2 a4) ii
b2 2 a a 4 b a2 a2 b 4 1 a2
x)i
vb
2 2
.
8ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Calcule a soma dos 40 primeiros termos da PA (23, 18,...).
Solução. Encontrando o último termo da PA de razão r = – 18 – (– 23) = – 18 + 23 = 5, temos:
2980 ) 20 ).(
149 2 (
40 ).
172 23 Soma ( )ii
172 195 23 5).
39 ( 23 5).
1 40 ( 23 a
5 r
40 n
23 a
)i
401
. A soma é 2980.
9ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Os 80 alunos de uma turma fizeram uma prova de Matemática valendo 100 pontos. A nota média da turma foi de 70 pontos e apenas 30 dos alunos conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média dos alunos que não obtiveram a nota máxima. Determine o valor de M .
Solução. A nota máxima é 100. Logo, a soma das médias de 30 alunos é 3000. Aplicando a fórmula da média aritmética, temos:
50 52 M 2600 3000 5600 M 50 80 70
3000 M.
50 80
3000 M.
) 50 turma (M
70 ) turma (M
a a
.
A média dos 50 alunos que não obtiveram nota máxima é M = 52.
10ª QUESTÃO (valor: 1,0)
Certo posto vende, diariamente, uma média de 10.000 litros de gasolina ao preço de R$ 2,60 por litro.
Um estudo demonstrou que, para uma redução de 1 centavo no preço do litro, corresponde um aumento de 50 litros nas vendas diárias. Com base nesse estudo, determine o preço por litro de gasolina que garante a maior receita.
Solução. Descrevendo a situação na tabela até uma generalização, temos:
Litros vendidos Preço/litro Receita
10000 2,60 10000.(2,60)
10000 + 50 2,60 – 1.
(0,01) (10000 + 50).[2,60 – 1.(0,01)]
10000 + 2.(50) 2,60 – 2.
(0,01)
[10000 + 2.(50)].[2,60 – 2.(0,01)]
... ... ...
10000 + x.(50) 2,60 – x.
(0,01)
(10000 + 50x).(2,60 – 0,01x)
A expressão da receita é uma função quadrática:
R(x) = (10000 + 50x).(2,60 – 0,01x) = 26000 – 100x + 130x – 0,5x2 = – 0,5x2 + 30x + 26000.
A maior receita será atingida com o máximo valor de redução. Representada pela abscissa do
vértice: 30
1 30 )
5 , 0 ( 2
) 30 ( a
2
xV b
. O preço será R$2,60 – (30).(R$0,01) = R$2,30.
