Aula-8
Fótons e ondas de matéria III
•Embora tenha obtido alguns sucessos notáveis, a velha teoria quântica tinha sérios defeitos.
A equação de Schrödinger
Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário na universidade de Zurich sobre a teoria de de Broglie.
Durante o seminário um dos ouvintes perguntou como ele podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron, se não havia nenhuma equação de onda !
Alguns meses depois, Schrödinger apresentou a equação de onda, dando início a mecânica quântica moderna.
Era uma mistura arbitrária de física clássica com novos postulados, alheios e contraditórios
à própria física clássica.
Erwin SchrödingerA equação de Schrödinger não pode ser deduzida, assim como não podem ser deduzidas as equações da dinâmica de Newton.
Ela só pode ser postulada.
A forma escolhida deveria incorporar o sucesso das teorias anteriores. Fatalmente, ela também levaria a novas previsões (e interpretações) que poderiam ser testadas.
“ Nossa mecânica clássica talvez seja completamente análoga à óptica geométrica e por isso falha, estando em desacordo
com a realidade… Portanto é preciso estabelecer uma mecânica ondulatória…” - Schrödinger, 1926.
A equação de Schrödinger
• Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem, têm a sua evolução temporal descrita por equações de onda do tipo:
onde é a variável dinâmica de interesse; por exemplo: o campo elétrico ou o campo magnético da radiação EM.
) , ( r t F
• Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de probabilidade , devemos estudar como varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas para partículas massivas!
) , ( r t
A equação de Schrödinger
|
2) , (
| ) ,
( r t r t
Em geral podemos dizer que para uma onda plana temos:
) (
exp )
,
( r t
0i k r t
Derivando com relação a t :
) , ) (
,
( i r t
t t
r
Tomando o gradiente de e depois a sua divergência
) , ( )
, ( )]
, ( [
) , ( )
, (
2
2
r t k r t
t r
t r k
i t
r
) , ( r t
) , ( r t
A equação de Schrödinger
) , ( )
, ) (
,
( r t E r t
t t
i r
Então:
e
) , ( )
, 2 (
) , 2 (
) , 2 (
2 2
2 2
2
t r E
t m r
t p m r
t k m r
Equação de Schrödinger da partícula livre:
A equação de Schrödinger
Mas, no caso geral , não – relativístico:
) , ( ) ( )
, 2 (
) , ( )
2 (
2 2
t r r
V t
m r t p
r E
r m V
E p
) , ( ) ( )
, 2 (
) ,
(
2 2t r r
V t
m r t
t
i r
Equação de Schrödinger (Postulada!)
A equação de Schrödinger
Onda estacionária:
) exp(
) ( )
,
( r t r i t
) , ( ) ( )
, 2 (
) ,
(
2 2t r r
V t
m r t
t
i r
) ( ) ( )
2 ( )
( )
(
22
r r
V m r
r E
r
substituindo na Eq. de Schrödinger:
obtemos:
Equação de Schrödinger independente do tempo.
A equação de Schrödinger
A partícula livre em 1-D
) ) (
(
2
22 2
x dx E
x d
m
Para encontrar a solução geral de
2 2
2
( , )
2 )
, (
x t x m
t t i x
devemos resolver inicialmente
ou:
22 2
2
2
2
onde
; 0 )
) ( (
k mE
x dx k
x
d
A partícula livre em 1-D
Solução geral: ( x ) A exp( ikx ) B exp( ikx )
) (
'
; ) (
' com
; sin
cos )
( x A kx B kx A A B B i A B
como: exp( i ) cos i sin
) (
exp )
,
( x t i kx t
Onda propagante para a direita:
)]
( exp[
) ,
( x t i kx t
Onda propagante para a esquerda:
A partícula livre em 1-D
Façamos: A =
0e B = 0 ( x )
0exp ikx
e m
k k t
kx i t
x , ) exp ( ) onde ( ) 2
(
2 0
m k m
p
2 2
2 2
2
pois:
| ( , ) | Constante! para - x )
,
( 2 02
x t x t
A densidade de probabilidade para encontrar a partícula será:
) , (x t
x
0
02
• Ou seja, uma partícula livre
pode ser encontrada em
qualquer ponto sobre o eixo x,
com a mesma probabilidade.
2
2 0
2 2
)]
( [ 2
)) ( exp (
)]
( [ 2
| 1 ) , (
| ) ,
( x t
t x x t
t x x t
x
m t x k
t
x
0( )
0
0
4 0 2
2 2
0
( )
1 4 )
( m x
x t t
x
) x
0
( t x
) (t x
|2
) , (
| x t
• Seja um “pacote de ondas”:
x k
2 1
0
wavemechanics-freepacket
O princípio da incerteza
A k i kx k t dk t
x ( ) exp [ ( ) ]
2 ) 1
,
(
Densidade de probab.:
onde:
Propriedade da distribuição gaussiana:
O princípio da incerteza
2 2
1 2
1
0 0
0
x k x p
x k
Como: x
0 x ( t ) x
• Relação conhecida como princípio da incerteza de Heisenberg!
Não podemos determinar a posição e o momento linear de uma partícula quântica com precisão arbitrária em ambas as medidas!
Werner Heisenberg
• Apesar de termos mostrado essa propriedade partindo de uma distribuição gaussiana (pacote de ondas), ela é inerente à
mecânica quântica. Ela se aplica sempre aos pares das
chamadas variáveis incompatíveis. Essas são variáveis que não podem ser medidas simultaneamente!
2 2 2
z y x
p z
p y
p x
Em 3-D:
O princípio da incerteza
Prob.1:
a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm de lado. Achar a incerteza mínima no seu momento linear p e na sua velocidade v.
b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa
região de comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do
diâmetro de um átomo.
Prob.1:
a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm de lado. Achar a incerteza mínima no seu momento linear p e na sua velocidade v.
b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa região de comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do diâmetro de um átomo.
) / (
10 28
. ) 5
( 40
) . ( 10 63
.
6 27 29
min
, g cm s
cm
s
pbx erg
min , min
, b
x b b
x m v
p
2.11 10 ( / )
) ( 25 )
( 40
) . (
10 63
.
6 27 30
min
, cm s
g cm
s
vxb erg
) 10
( 4
) . ) (
10 2 (
10 ,min
cm s erg p h
p cm p
x cm
xb b xb bx xb
a)
b) elétron num átomo:
e b e x
x b
x e
x e
m v p
cm p s erg p h
cm x
min 9 ,
min , min
, 9
8 min
,
8 10 ; 10
) 10
( 4
) .
10 (
s c cm g
s g cm s v
g cm
pxe xe 5.8 10 ( ) 0.019
) ( 10 1 . 9
) (
10 28 . 5
; ) (
10 28 .
5 28 7
11 min
, 20
min
,
m v
L
Prob. 2:
Mostre que o número de onda angular k, de uma partícula livre não-relativística de massa m, pode ser escrito na forma abaixo, onde K é a energia cinétic da partícula.
h k 2 2mK
m k m
K p k
p ; 2 2
2 2
2
h
mK k mK
k 2 mK 2 2 2
2
2
onde é a densidade de probabilidade
A corrente de probabilidade
Da equação de Schrödinger pode-se mostrar que:
dx t x J d t
t
x , ) ( , )
(
|
2) , (
| ) ,
( x t x t
e
é a corrente de probabilidade. No caso estacionário, há
conservação da corrente de probabilidade!
. const )
( x
J
O potencial degrau
V
01 2
E
I) E > V
0:
2 2 0
2 2
2 2 2
2 2
2 2
1 1
2 2 1
1 2
) (
onde 2
; 0 )
) (
; ( 0 se
onde 2
; 0 )
) (
; ( 0 se
V E
k m x
dx k x x d
k mE x
dx k x x d
0 x
E > V
0:
2 2 0
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
) (
onde 2
; ) exp(
) exp(
) (
onde 2
; ) exp(
) exp(
) (
V E
k m x
ik D
x ik C
x
k mE x
ik B
x ik A
x
O potencial degrau
1 2
0
x
Soluções gerais:
x < 0 :
x > 0 :
mas : D = 0 , pois não há onda refletida para x > 0.
I R
T R
2 1
1 2 1
2 1
2 k k
k A
C
k k
k k
A B
; amplitude de reflexão
; amplitude de transmissão
m v k
v C
J v
B J
v A
J
i
i
| |
2 1,
ref| |
2 1,
trans| |
2 2onde
inc
2 2 1 2
2 trans
2
2 1
2 1
2
inc ref
) (
4 k k
k k A
C k
k J
T J
k k
k k
A B J
R J
O potencial degrau
) 0 (
) 0 (
contínuas funções
são e
Como
J x J x dx d
daí:
V
01 2
E
2 2 0
2 2
2 2 2
2 2
2 2
1 1
2 2 1
1 2
) (
onde 2
; 0 )
) (
; ( 0 se
onde 2
; 0 )
) (
; ( 0 se
E V
x m dx
x x d
k mE x
dx k x x d
O potencial degrau
0 x
II) E < V
0:
2 2 0
2 2
2
2 2
1 1
1 1
) (
: 2 onde ,
) 0 (
; ) exp(
) (
onde 2
; ) exp(
) exp(
) (
E V
D m x
C x
k mE x
ik B
x ik A
x
E < V
0:
O potencial degrau
0
x
x < 0 :
x > 0 :
1 2
1 1 2
2 1
2
1 exp( 2 ) , tan
i k i
k
i k
A
B
; amplitude de reflexão
m v k
v B
J v
A
J
i
i
| |
2 1,
ref| |
2 1, onde
inc
0 T
; 1
2
inc
ref
A
B J
R J
exp( ) )
(
22
x C x
Comprimento de penetração
) (
2
01
2
m V E
wavemechanics-step
O potencial degrau
) 0 (
) 0 (
contínuas funções
são e
Como
J x J x dx d
A barreira de potencial
V
01 2
E
L
3
2 12
32 2 3
2 3 2 3
2 2 0
2 2 2
2 2 2 2
2 12
2 1 2 1
2 1
onde 2
; 0 )
) (
; ( se
) (
onde 2
; 0 )
) (
; ( 0 se
onde 2
; 0 )
) (
; ( 0 se
k mE k
x x k
L d x
V E
k m x
dx k x x d
L
k mE x
dx k x x d
0
x
I) E > V
0:
E > V
0:
2 12
32 3
3 3
2 2 0
2 2
2 2
2 12
1 1
1
onde 2
; ) exp(
) exp(
) (
) (
onde 2
; ) exp(
) exp(
) (
onde 2
; ) exp(
) exp(
) (
k mE k
x ik F
x ik E
x
V E
k m x
ik D
x ik C
x
k mE x
ik B
x ik A
x
A barreira de potencial
1 2 3
V
01 2
E
L
3
12 32
2 3 3 3
2
2 2 0
2 2 2
2 2 2 2
2 12
2 1 2 1
2 1
onde 2
; 0 )
) (
; ( se
) (
onde 2
; 0 )
) (
; ( 0 se
onde 2
; 0 )
) (
; ( 0 se
k mE k
x x k
L d x
E V
x m dx
x x d
L
k mE x
dx k x x d
A barreira de potencial
0
x
II) E < V
0:
E < V
0:
2 12
32 3
3 3
2 2 0
2 2
2 2
2 12
1 1
1
onde 2
; ) exp(
) exp(
) (
) (
onde 2
; ) exp(
) exp(
) (
onde 2
; ) exp(
) exp(
) (
k mE k
x ik F
x ik E
x
E V
x m D
x C
x
k mE x
ik B
x ik A
x
A barreira de potencial
1 2 3
0
) 2
(
exp L
T 2 (
02)
E V
m
Coeficiente de transmissão ou taxa de tunelamento:
; onde
wavemechanics-barrier
A barreira de potencial
) 0 (
) 0 (
contínuas funções
são e
Como
J x J x dx d
Coeficiente de reflexão
Prob. 3:
a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de energia potencial de 6,0 eV de altura e 0,70 nm de largura, com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica de 1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira?
b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em
vez de prótons?
Prob. 3:
a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de energia potencial de 6,0 eV de altura e 0,70 nm de largura, com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica de 1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira?
b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?
No tempo de espera t* para 1 próton tunelar: r t* T = 1 ;
T exp ( 2 L )
anos s
t* 3,3710111 10104 (maior que a idade do universo
!
)Taxa de incidência de prótons: r = 1000(C/s)
/
1,610-19(C) 6,251023 s-1
a)
b) Feixe de elétrons: me 0.511 MeV /c2
8 (0.511 )(6 5 )
) . ( 1240
) 70
, 0 ( exp 2
) ( 10 25
, 6
1
1 23
* Mev eV eV
nm eV
nm te s
s t* 2.1109
!
8(938 )(6 5 )
) . ( 1240
) 70 , 0 ( exp 2
) ( 10 25 , 6 ) 1
( 2 8
1exp
1 23 2
2
* Mev eV eV
nm eV
nm s
h
E V
L m
t r p b
onde: mp = 938 MeV/c2 ; me = 0.511 MeV/c2
O microscópio de varredura
wavemechanics-stm Nobel Laureates 1986:
Heinrich Rohrer , Gerd Binnig e Ernst Ruska
