ufpe — ma

(1)

ufpe — ma 914 — ver˜ ao de 2012 — prof. fernando j. o. souza LISTA DE REQUISITOS – EXTRATO SOBRE ORDINAIS Quest˜ ao 21. (N´ umeros ordinais).

Recordar que:

− Um ordinal é um conjunto transitivo (todo elemento dele é subcon- junto dele) que está bem e totalmente ordenado por pertinência (ou seja, < é ∈ !). Em particular, observar que a boa funda¸cão da perti- nência (decorrente do axioma da regularidade) aplica-se a todo ordinal;

− 0 := ∅ (zero); dado um conjunto X, S(X) := X ∪ {X} (sucessor de von Neumann de X); e

− Um ordinal do limite é um ordinal que nem é 0 nem é sucessor de algum ordinal.

Assumindo o axioma de pureza (todo elemento ´e conjunto), provar que:

21.a. 0 ´e um ordinal e pertence a todo ordinal distinto de 0 (i.e., n˜ao-vazio);

21.b. Se um ordinal é finito a Cantor, ele é igual ao seu n´ umero de elementos (ou seja, os naturais de von Neumann são os ordinais finitos);

21.c. Os elementos de um ordinal s˜ao ordinais (e, portanto, cada ordinal consiste dos ordinais que pertencem a ele);

21.d. Dados os ordinais α e β, se, como conjuntos bem ordenados, eles satisfazem ¹ α < o β, então α ∈ β (e, em particular, α < β: a pertinência é tricotômica nos ordinais ! Todos eles são < −comparáveis dois a dois !)

Dicas. Ver o Item 21.a acima. Mostrar que a inje¸cão de α em β mencionada por < o é a inclusão. Para tanto, considerar o conjunto C = {x ∈ α|x 6= f (x)}, que se deseja mostrar vazio. Para se chegar a uma contradi¸cão, supor que não o é, e considerar o ∈ −m´ınimo de C e o 21.c acima;

21.e. (Corolários do Item 21.d e da comparabilidade, a menos de isomorfismo de ordem, dos conjuntos bem ordenados.) Dois ordinais têm o mesmo tipo de ordem (como conjuntos bem ordenados) se e somente se são iguais. Para ordinais, a desigualdade estrita do tipo de ordem equivale à pertinência que, por sua vez, equivale à continência estrita (();

1 Ou seja, α se injeta em β como um segmento (intervalo) inicial próprio através de uma fun¸cão estritamente crescente f . Tal segmento inicial poderia não ser próprio se a rela¸cão fosse ≤ o ao invés de < o . Recordar que a rela¸c˜ ao ≤ o é total entre conjuntos totalmente bem ordenados (isto é, < o é tricotˆ omica entre eles).

1

(2)

21.f. A interse¸c˜ao de um conjunto de ordinais ´e um ordinal (Usar o Item 21.a);

21.g. ∈ entre ordinais é irreflexiva e transitiva (Logo, ∈ é uma rela¸cão de ordem estrita tricotômica < nos ordinais);

21.h. ∈ entre ordinais é bem fundada (e, portanto, a rela¸cão de ordem parcial correspondente é uma boa ordena¸cão para os ordinais);

21.i. A uni˜ao de um conjunto de ordinais ´e um ordinal;

21.j. Um conjunto transitivo de ordinais ´e um ordinal;

21.k. Dado um ordinal γ, tem-se que sup _< {α|α ´e ordinal e α < γ} = [

α<γ

α ;

21.l. (Paradoxo de Burali-Forti). Não existe conjunto de todos os ordinais (isto é, metamatematicamente para ZF, a classe dos ordinais é própria).

Dica. Para se chegar a uma contradi¸c˜ao, mostrar (utilizando ´ıtens anteriores) que tal conjunto seria um ordinal e, portanto, pertenceria a si mesmo;

21.m. A opera¸c˜ao bem-definida S ´e injetiva.

Obs. S não é uma fun¸cão mas, a n´ıvel de classes, é uma rela¸cão funcional;

21.n. Dado um ordinal α, S(α) ´e um ordinal (dito um ordinal do sucessor);

21.o. Dado um ordinal λ, s˜ao equivalentes:

i. λ ´e um ordinal do limite;

ii. λ 6= 0 e, para todo ordinal α, (α < λ = ⇒ S(α) < λ);

iii. λ 6= 0 e λ = sup _< {α|α ´e ordinal e α < λ} (cf. Item 21.k);

21.p. Contrastando com o Item 21.o.iii, se γ = S(β) é um ordinal do sucessor, então sup _< {α|α é ordinal e α < γ} = β (e não γ — cf. Item 21.k);

21.q. (Sucessor de segmento inicial). Dado um conjunto totalmente bem ordenado (B, ≤), demonstrar que est´a bem definida uma bije¸c˜ ao que leva cada segmento inicial pr´ oprio S num elemento suc(S) de B tal que ²

S = {b ∈ B|b < suc(S)}.

2 suc(S) é dito sucessor de S, e S é o segmento inicial determinado por ele. Na nota¸cão muito usada para

^R

(cuja ordem n˜ ao ´e boa), S corresponderia a (−∞, suc(S)).

2

(3)

Obs. Contrastar este resultado com os ordinais do limite: estes são sucessores de segmentos iniciais, mas não são sucessores de ordinais. Isto não é uma contradi¸cão: num conjunto transitivo, todo elemento é subconjunto, mas nem todo subconjunto tem que ser elemento;

21.r. (Uma versão do teorema de Hartogs). Dado um conjunto A, a classe definida por compreensão irrestrita h(A) := {α é ordinal|α A} é o menor dos ordinais que não se injetam em A (n´ umero de Hartogs de A). Em outras palavras: h(A) é um conjunto (esta parte é bem dif´ıcil); h(A) é ordinal;

h(A) A; e, para todo ordinal β, β A = ⇒ h(A) ∈ β.

Obs. O teorema de Hartogs (1915) n˜ao usa o axioma da escolha;

21.s. (Corolário: o primeiro ordinal incont´ avel ω 1 ). Está bem definido (e, em particular, existe) o ordinal ω ₁ que é o menor dos ordinais incontáveis;

21.t. ω 1 = {α|α é ordinal contável} = [0, ω 1 ) e é um ordinal do limite.

Quest˜ ao 22. (Defini¸c˜ao por recurs˜ao transfinita; o universo de von Neu- mann; posto de um conjunto).

Recordar o universo de von Neumann, que é a classe própria V produzida a partir de 0 = ∅ por recursão transfinita do seguinte modo:

V ₀ := ∅; V _S(α) := P (V α ) , ∀α ordinal;

Se λ ´e um ordinal do limite, ent˜ao V λ := [

α<λ

V α ; V := [

α ^ordinal

V α

Alternativamente, pode-se definir V por:

V ₀ := ∅; V β := [

α<β

P (V α ) , ∀β ordinal n˜ao-nulo;

Na teoria ZFC com o axioma de pureza, V é a classe própria de todos os conjuntos (exerc´ıcio abaixo). Dado um conjunto puro C, define-se seu posto como sendo o menor ordinal α tal que C ⊆ V α (isto é, C ∈ V S(α) . Provar que:

22.a. Dado um ordinal α, V α ´e um conjunto transitivo;

22.b. Dado um conjunto puro C, existe um ordinal α tal que tal que C ⊆ V α e, da´ı, o posto de C est´a bem definido;

22.c. Demonstrar que, para todo conjunto A, A ⊆ K A,A = ⇒ A = ∅ (cf. Item 3.e).

3

(4)

Quest˜ ao 23. (N´ umeros cardinais).

Recordar que, dado um conjunto puro C, na presen¸ca do axioma da esco- lha, definimos ³ o cardinal |C| de C como sendo o menor ordinal equipotente a C. Um (n´ umero) cardinal de von Neumann ´e um ordinal que ´e o cardinal de algum conjunto (em particular, dele mesmo). Provar que:

23.a. Para cardinais de von Neumann, a igualdade equivale à equipotência ≈, e a desigualdade estrita equivale à injetividade sem equipotência ≺;

23.b. Os cardinais de von Neumann estão bem ordenados, resultando em cardi- nais sucessores de maneira padrão. No entanto, o sucessor de um cardinal enquanto cardinal é igual ao sucessor de um cardinal enquanto ordinal se, e somente se, o n´ umero cardinal é finito;

23.c. Para a versão 21.r de n´ umero de Hartogs e a no¸cão de cardinal de von Neumann acima, um n´ umero de Hartogs é um cardinal de von Neumann;

23.d. (Paradoxo de Cantor). N˜ao existe um m´aximo cardinal de von Neumann (usar o teorema de Cantor);

23.e. (Corolário). Não existe um máximo ordinal;

Obs. Não existe conjunto de todos os n´ umeros cardinais de von Neumann (ou seja, falando metamatematicamente para ZFC, eles formam uma classe própria). Os leitores mais fanáticos podem tentar demonstrar isto (usar AE).

3 Sem o AE, se o conjunto C n˜ ao ´e bem orden´ avel, faz-se |C| := C.

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ufpe — ma

ufpe — ma 914 — ver˜ ao de 2012 — prof. fernando j. o. souza LISTA DE REQUISITOS – EXTRATO SOBRE ORDINAIS Quest˜ ao 21. (N´ umeros ordinais).

Recordar que:

− Um ordinal é um conjunto transitivo (todo elemento dele é subcon- junto dele) que está bem e totalmente ordenado por pertinência (ou seja, < é ∈ !). Em particular, observar que a boa funda¸cão da perti- nência (decorrente do axioma da regularidade) aplica-se a todo ordinal;

− 0 := ∅ (zero); dado um conjunto X, S(X) := X ∪ {X} (sucessor de von Neumann de X); e

− Um ordinal do limite é um ordinal que nem é 0 nem é sucessor de algum ordinal.

Assumindo o axioma de pureza (todo elemento ´e conjunto), provar que:

21.a. 0 ´e um ordinal e pertence a todo ordinal distinto de 0 (i.e., n˜ao-vazio);

21.b. Se um ordinal é finito a Cantor, ele é igual ao seu n´ umero de elementos (ou seja, os naturais de von Neumann são os ordinais finitos);

21.c. Os elementos de um ordinal s˜ao ordinais (e, portanto, cada ordinal consiste dos ordinais que pertencem a ele);

21.d. Dados os ordinais α e β, se, como conjuntos bem ordenados, eles satisfazem 1 α < o β, então α ∈ β (e, em particular, α < β: a pertinência é tricotômica nos ordinais ! Todos eles são < −comparáveis dois a dois !)

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21.f. A interse¸c˜ao de um conjunto de ordinais ´e um ordinal (Usar o Item 21.a);

21.g. ∈ entre ordinais é irreflexiva e transitiva (Logo, ∈ é uma rela¸cão de ordem estrita tricotômica < nos ordinais);

21.h. ∈ entre ordinais é bem fundada (e, portanto, a rela¸cão de ordem parcial correspondente é uma boa ordena¸cão para os ordinais);

21.i. A uni˜ao de um conjunto de ordinais ´e um ordinal;

21.j. Um conjunto transitivo de ordinais ´e um ordinal;

21.k. Dado um ordinal γ, tem-se que sup < {α|α ´e ordinal e α < γ} = [

α<γ

α ;

21.l. (Paradoxo de Burali-Forti). Não existe conjunto de todos os ordinais (isto é, metamatematicamente para ZF, a classe dos ordinais é própria).

Dica. Para se chegar a uma contradi¸c˜ao, mostrar (utilizando ´ıtens anteriores) que tal conjunto seria um ordinal e, portanto, pertenceria a si mesmo;

21.m. A opera¸c˜ao bem-definida S ´e injetiva.

Obs. S não é uma fun¸cão mas, a n´ıvel de classes, é uma rela¸cão funcional;

21.n. Dado um ordinal α, S(α) ´e um ordinal (dito um ordinal do sucessor);

21.o. Dado um ordinal λ, s˜ao equivalentes:

i. λ ´e um ordinal do limite;

ii. λ 6= 0 e, para todo ordinal α, (α < λ = ⇒ S(α) < λ);

iii. λ 6= 0 e λ = sup < {α|α ´e ordinal e α < λ} (cf. Item 21.k);

21.p. Contrastando com o Item 21.o.iii, se γ = S(β) é um ordinal do sucessor, então sup < {α|α é ordinal e α < γ} = β (e não γ — cf. Item 21.k);

21.q. (Sucessor de segmento inicial). Dado um conjunto totalmente bem ordenado (B, ≤), demonstrar que est´a bem definida uma bije¸c˜ ao que leva cada segmento inicial pr´ oprio S num elemento suc(S) de B tal que 2

S = {b ∈ B|b < suc(S)}.

2 suc(S) é dito sucessor de S, e S é o segmento inicial determinado por ele. Na nota¸cão muito usada para

(cuja ordem n˜ ao ´e boa), S corresponderia a (−∞, suc(S)).

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Obs. Contrastar este resultado com os ordinais do limite: estes são sucessores de segmentos iniciais, mas não são sucessores de ordinais. Isto não é uma contradi¸cão: num conjunto transitivo, todo elemento é subconjunto, mas nem todo subconjunto tem que ser elemento;

h(A) A; e, para todo ordinal β, β A = ⇒ h(A) ∈ β.

Obs. O teorema de Hartogs (1915) n˜ao usa o axioma da escolha;

21.s. (Corolário: o primeiro ordinal incont´ avel ω 1 ). Está bem definido (e, em particular, existe) o ordinal ω 1 que é o menor dos ordinais incontáveis;

21.t. ω 1 = {α|α é ordinal contável} = [0, ω 1 ) e é um ordinal do limite.

Quest˜ ao 22. (Defini¸c˜ao por recurs˜ao transfinita; o universo de von Neu- mann; posto de um conjunto).

Recordar o universo de von Neumann, que é a classe própria V produzida a partir de 0 = ∅ por recursão transfinita do seguinte modo:

V 0 := ∅; V S(α) := P (V α ) , ∀α ordinal;

Se λ ´e um ordinal do limite, ent˜ao V λ := [

α<λ

V α ; V := [

α ordinal

V α

Alternativamente, pode-se definir V por:

V 0 := ∅; V β := [

α<β

P (V α ) , ∀β ordinal n˜ao-nulo;

Na teoria ZFC com o axioma de pureza, V é a classe própria de todos os conjuntos (exerc´ıcio abaixo). Dado um conjunto puro C, define-se seu posto como sendo o menor ordinal α tal que C ⊆ V α (isto é, C ∈ V S(α) . Provar que:

22.a. Dado um ordinal α, V α ´e um conjunto transitivo;

22.b. Dado um conjunto puro C, existe um ordinal α tal que tal que C ⊆ V α e, da´ı, o posto de C est´a bem definido;

22.c. Demonstrar que, para todo conjunto A, A ⊆ K A,A = ⇒ A = ∅ (cf. Item 3.e).

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Quest˜ ao 23. (N´ umeros cardinais).

Recordar que, dado um conjunto puro C, na presen¸ca do axioma da esco- lha, definimos 3 o cardinal |C| de C como sendo o menor ordinal equipotente a C. Um (n´ umero) cardinal de von Neumann ´e um ordinal que ´e o cardinal de algum conjunto (em particular, dele mesmo). Provar que:

23.a. Para cardinais de von Neumann, a igualdade equivale à equipotência ≈, e a desigualdade estrita equivale à injetividade sem equipotência ≺;

23.b. Os cardinais de von Neumann estão bem ordenados, resultando em cardi- nais sucessores de maneira padrão. No entanto, o sucessor de um cardinal enquanto cardinal é igual ao sucessor de um cardinal enquanto ordinal se, e somente se, o n´ umero cardinal é finito;

23.c. Para a versão 21.r de n´ umero de Hartogs e a no¸cão de cardinal de von Neumann acima, um n´ umero de Hartogs é um cardinal de von Neumann;

23.d. (Paradoxo de Cantor). N˜ao existe um m´aximo cardinal de von Neumann (usar o teorema de Cantor);

23.e. (Corolário). Não existe um máximo ordinal;

Obs. Não existe conjunto de todos os n´ umeros cardinais de von Neumann (ou seja, falando metamatematicamente para ZFC, eles formam uma classe própria). Os leitores mais fanáticos podem tentar demonstrar isto (usar AE).

3 Sem o AE, se o conjunto C n˜ ao ´e bem orden´ avel, faz-se |C| := C.

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21.d. Dados os ordinais α e β, se, como conjuntos bem ordenados, eles satisfazem ¹ α < o β, então α ∈ β (e, em particular, α < β: a pertinência é tricotômica nos ordinais ! Todos eles são < −comparáveis dois a dois !)

21.k. Dado um ordinal γ, tem-se que sup _< {α|α ´e ordinal e α < γ} = [

iii. λ 6= 0 e λ = sup _< {α|α ´e ordinal e α < λ} (cf. Item 21.k);

21.p. Contrastando com o Item 21.o.iii, se γ = S(β) é um ordinal do sucessor, então sup _< {α|α é ordinal e α < γ} = β (e não γ — cf. Item 21.k);

21.q. (Sucessor de segmento inicial). Dado um conjunto totalmente bem ordenado (B, ≤), demonstrar que est´a bem definida uma bije¸c˜ ao que leva cada segmento inicial pr´ oprio S num elemento suc(S) de B tal que ²

21.s. (Corolário: o primeiro ordinal incont´ avel ω 1 ). Está bem definido (e, em particular, existe) o ordinal ω ₁ que é o menor dos ordinais incontáveis;

V ₀ := ∅; V _S(α) := P (V α ) , ∀α ordinal;

α ^ordinal

V ₀ := ∅; V β := [

Recordar que, dado um conjunto puro C, na presen¸ca do axioma da esco- lha, definimos ³ o cardinal |C| de C como sendo o menor ordinal equipotente a C. Um (n´ umero) cardinal de von Neumann ´e um ordinal que ´e o cardinal de algum conjunto (em particular, dele mesmo). Provar que: