AVALIAÇÃO DE FORÇAS HIDROSTÁTICAS E HIDRODINÂMICAS NÃO LINEARES EM CORPOS FLUTUANTES REPRESENTADOS POR MALHAS

AVALIAÇÃO DE FORÇAS HIDROSTÁTICAS E HIDRODINÂMICAS NÃO LINEARES EM CORPOS FLUTUANTES REPRESENTADOS POR MALHAS

DE PAINÉIS

Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.

Orientador: Fabrício Nogueira Corrêa

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2020

AVALIAÇÃO DE FORÇAS HIDROSTÁTICAS E HIDRODINÂMICAS NÃO LINEARES EM CORPOS FLUTUANTES REPRESENTADOS POR MALHAS

DE PAINÉIS

Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Orientador: Fabrício Nogueira Corrêa

Aprovada por: Prof. Fabrício Nogueira Corrêa Eng. Allan Carre de Oliveira Prof. Breno Pinheiro Jacob Prof. Carl Horst Albrecht Prof. Joel Sena Sales Junior

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2020

iii

Ribeiro, Jhonathan Jhefferson de Sousa

Avaliação de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas não lineares em corpos flutuantes representados por malhas de painéis / Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro – Rio de Janeiro: UFRJ/ COPPE, 2020.

XIV, 97 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Fabrício Nogueira Corrêa

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, 2020.

Referências Bibliográficas: p. 95-97.

1. Hidrostática não linear. 2. Hidrodinâmica não linear.

3. Integral de superfície. 4. Offshore. I. Corrêa, Fabrício

Nogueira. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título.

iv

Ao meu avô Otávio Borges.

Outro dia, noutro plano,

noutra vida, a gente se vê.

v

A GRADECIMENTOS

A Deus, em todas as suas formas de manifestação.

Ao meu pai. Por toda vida, estive sempre de pé sobre seus ombros.

À minha mãe, um anjo lindo a quem peço que sempre me acompanhe.

À minha tia Socorro. Eu amo muito você. Muito.

Ao meu ao meu avô Otávio Borges. O seu exemplo de força e brio vive no ideal de homem que busco um dia me tornar. “As coisas findas, muito mais que lindas, essas ficarão”.

À minha avó Maria Antonieta, por ser “um dom, uma certa magia, a dose mais forte e lenta de uma gente que ri quando deve chorar”.

À minha família. “Se for preciso, eu crio alguma máquina mais rápida que a dúvida, mais súbita que a lágrima, viajo a toda força, e num instante de saudade, eu chego pra dizer que eu vim te ver.”

Aos meus amigos, aos quais agradeço pela leveza e peço desculpas pela minha ausência e às vezes impaciência nos últimos meses.

Aos colegas de trabalho do LAMCSO, em especial à Ivete. Vocês são uma família que me acolheu e da qual muito bem me faz pertencer.

Ao professor Carl Albrecht, pela imensa ajuda prestada em todas as fases deste trabalho.

Ao aluno de iniciação científica Lucas Clarino, pelo grande auxílio na confecção de modelos e imagens deste trabalho.

Ao meu orientador Fabrício Corrêa, por ser minha maior referência técnica na engenharia.

“O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001

This study was financed in part by the Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal

de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Finance Code 001”

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau Mestre em Ciências (M.Sc.)

AVALIAÇÃO DE FORÇAS HIDROSTÁTICAS E HIDRODINÂMICAS NÃO LINEARES EM CORPOS FLUTUANTES REPRESENTADOS POR MALHAS

DE PAINÉIS

Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro

Fevereiro/2020

Orientador: Fabrício Nogueira Corrêa

Programa: Engenharia Civil

Atividades de extração de petróleo offshore têm sito feitas através de sistemas flutuantes baseados em plataformas ancoradas. Para análise e projeto destes sistemas, torna-se necessário calcular seus movimentos sob ação de carregamentos ambientais diversos, o que usualmente é feito através de ferramentas computacionais.

Tradicionalmente, nestas ferramentas, forças geradas pela água devido à passagem de

ondas são calculadas por matrizes lineares unitárias ou pela formulação de Morison para

cilindros. Em ambos os casos, simplificações são impostas e não linearidades, além de

outros efeitos como elevação instantânea da superfície do mar, podem ser

negligenciados. Neste contexto, o objetivo deste trabalho é desenvolver um algoritmo

para cálculo de forças e momentos resultantes de cargas hidrostáticas e hidrodinâmicas

não lineares de onda atuando em cascos de plataformas offshore levando em

consideração efeitos de elevação instantânea da superfície do mar. O algoritmo será

incorporado à plataforma SITUA-Prosim, e sua verificação se dará a partir de

comparação dos resultados com valores obtidos analiticamente ou por ferramentas

computacionais já consolidadas.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

EVALUATION OF NONLINEAR HYDROSTATIC AND HYDRODYNAMIC FORCES IN FLOATING BODIES REPRESENTED BY PANEL MESH

Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro

February/2020

Advisor: Fabrício Nogueira Corrêa

Department: Civil Engineering

Offshore oil production has been carried out by floating systems based on moored

platforms. For the analysis and design of these systems, it is necessary to assess their

motion responses under the action of various environmental loads, which is usually

performed by numerical tools. Traditional tools usually evaluate forces due to the passage

of waves by linear unitary matrices or by the Morison formulation for cylinders. In both

cases, simplifications are imposed and non-linearities might be neglected, besides other

effects such as instantaneous elevation of the sea surface. In this context, the goal of this

work is to develop an algorithm for calculating forces and moments resulting from

nonlinear hydrostatic and hydrodynamic wave loads acting on hulls of offshore platforms

considering effects of instantaneous elevation of the sea surface. The algorithm will be

incorporated into the SITUA-Prosim code and validated by comparing the results with

values obtained analytically or by well-stablished computational tools.

viii

Í NDICE

1 I NTRODUÇÃO ... 1

1.1 Contexto e Motivação... 1

1.2 Objetivo ... 2

1.3 Estruturação do Texto... 3

2 F ^ORMULAÇÃO ... 4

2.1 Forças geradas pelo fluido ... 4

2.2 Representação do mar... 4

Ondas regulares ... 4

Representação espectral ... 5

2.3 Forças Hidrostáticas ... 6

2.4 Forças Hidrodinâmicas ... 8

Formulação de Morison ... 8

Formulação de Froude-Krylov ... 9

Formulação de Difração/Radiação ... 11

Formulações Híbridas ... 12

3 I MPLEMENTAÇÃO ... 13

3.1 O SITUA-Prosim ... 13

3.2 Conceitos básicos ... 14

Definição de vetor normal unitário ... 14

Volume e centro de volume de tetraedro ... 15

3.3 A Integral de Pressões ... 16

3.4 Descrição do método ... 20

3.5 Forças hidrostáticas ... 21

3.6 Forças hidrodinâmicas ... 25

4 E STUDO DE REFINAMENTO DE MALHA DE SUPERFÍCIE ... 28

4.1 Introdução ... 28

ix

4.2 Plano horizontal: forças verticais ... 30

4.3 Plano vertical: forças na direção da onda ... 36

4.4 Semicilindro ... 42

4.5 Cubo ... 48

4.6 Cilindro ... 53

4.7 Plataforma Semissubmersível ... 58

5 R ESULTADOS E V ERIFICAÇÃO ... 69

5.1 Parede vertical ... 69

5.2 Semicilindro ... 72

5.3 Cubo ... 76

5.4 Cilindro ... 80

5.5 Navio ... 84

5.6 Plataforma Semissubmersível ... 88

6 C ONCLUSÕES ... 92

6.1 Considerações Finais ... 92

6.2 Sugestões para Trabalhos Futuros ... 93

7 R EFERÊNCIAS B IBLIOGRÁFICAS ... 95

x

L ISTA DE F IGURAS

Figura 2.1 – Representação de uma onda regular [4] ... 4

Figura 2.2 – Pressões hidrostáticas atuando em um corpo parcialmente submerso ... 6

Figura 2.3 – Cilindro parcialmente submerso com eixo inclinado ... 7

Figura 3.1 – Modelo de uma plataforma flutuante no programa SITUA-Prosim ... 14

Figura 3.2 – Definição de vetor normal à superfície do triângulo ... 15

Figura 3.3 – Tetraedro e seu centro de volume ... 15

Figura 3.4 – Integral de uma função numa superfície ... 16

Figura 3.5 – Triângulo destacado da malha com seus nós e vetor normal ... 17

Figura 3.6 – Volume de pressões sobre o triângulo ... 17

Figura 3.7 – Demonstração geométrica do cálculo do volume ... 18

Figura 3.8 – Campo de pressões hidrostáticas atuando numa barragem ... 19

Figura 3.9 – Fluxograma geral do método desenvolvido ... 21

Figura 3.10 – Cilindro com superfície “cortada” pela onda ... 22

Figura 3.11 – Definição do plano secante... 22

Figura 3.12 – Corte do triângulo pelo plano secante ... 23

Figura 3.13 – Profundidade dos nós do triângulo ... 23

Figura 3.14 – Fluxograma para cálculo de forças hidrostáticas ... 24

Figura 3.15 – Fluxograma para cálculo de forças a partir de pressões hidrostáticas ... 24

Figura 3.16 – Fluxograma para cálculo de forças hidrodinâmicas ... 26

Figura 3.17 – Fluxograma para cálculo de forças a partir de pressões hidrodinâmicas . 26 Figura 4.1 – Relação λ/n em cubo com aresta L = 12 m e onda com λ = 60 m ... 29

Figura 4.2 – Modelo esquemático de um quadrado horizontal fixo no espaço submetido a passagem de onda regular ... 31

Figura 4.3 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no quadrado (n=5) ... 32

Figura 4.4 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no quadrado (n=100) ... 32

Figura 4.5 – Erro percentual nos valores de máximo, mínimo e amplitude em função de

n ... 35

xi

Figura 4.6 – Modelo esquemático de um quadrado vertical fixo no espaço submetido a passagem de onda regular ... 36 Figura 4.7 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no quadrado (n=5) ... 37 Figura 4.8 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no quadrado (n=100) ... 38 Figura 4.9 – Erro percentual nos valores de máximo, mínimo e amplitude em função de n ... 41 Figura 4.10 – Modelo esquemático de um semicilindro fixo no espaço submetido a passagem de onda regular ... 42 Figura 4.11 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no

semicilindro ... 44 Figura 4.12 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no semicilindro ... 45 Figura 4.13 – Modelo esquemático de um cubo fixo no espaço submetido a passagem de onda regular ... 48 Figura 4.14 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no cubo .... 50 Figura 4.15 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no cubo ... 51 Figura 4.16 – Modelo esquemático de um cilindro fixo no espaço submetido a

passagem de onda regular ... 53 Figura 4.17 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no cilindro ... 55 Figura 4.18 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no cilindro ... 56 Figura 4.19 – Plataforma semissubmersível ... 58 Figura 4.20 – Modelo esquemático da plataforma com posição fixa submetida a

passagem de onda regular ... 60

Figura 4.21 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente na plataforma

(T = 5 s) ... 61

Figura 4.22 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente na plataforma

(T = 25 s)... 61

Figura 5.1 – Modelo de uma parede vertical modelada no SITUA ... 70

Figura 5.2 – Série temporal de momento resultante em y ... 71

Figura 5.3 – Série temporal de forças atuando horizontalmente no semicilindro (T = 12

s) ... 72

Figura 5.4 – Série temporal de forças atuando verticalmente no semicilindro (T = 12 s)

... 74

xii

Figura 5.5 – Série temporal de forças atuando horizontalmente no cubo (T = 12 s) ... 76

Figura 5.6 – Série temporal de forças atuando verticalmente no cubo (T = 12 s) ... 78

Figura 5.7 – Série temporal de forças atuando horizontalmente no cilindro (T = 12 s) . 80 Figura 5.8 – Série temporal de forças atuando verticalmente no cilindro (T = 12 s) ... 82

Figura 5.9 – Modelo de navio gerado no SITUA ... 84

Figura 5.10 – Deslocamento Δz (heave) ... 85

Figura 5.11 –Forças hidrostáticas ... 85

Figura 5.12 – Deslocamento θ (roll) ... 86

Figura 5.13 – Momento devido às forças hidrostáticas ... 87

Figura 5.14 – Plataforma gerada por cilindros no SITUA ... 88

Figura 5.15 – Espectro de forças hidrodinâmicas em z ... 89

Figura 5.16 – Espectro de forças hidrodinâmicas em x ... 90

Figura 5.17 – Detalhe da região do encontro entre pontoons e colunas ... 91

xiii

L ISTA DE T ABELAS

Tabela 4.1 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ... 33

Tabela 4.2 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ... 39

Tabela 4.3 – Raio corrigido em função do número de lados do polígono regular ... 43

Tabela 4.4 – Forças de empuxo no semicilindro ... 44

Tabela 4.5 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ... 45

Tabela 4.6 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ... 46

Tabela 4.7 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ... 47

Tabela 4.8 – Refinamento x Tempo de processamento x Erro ... 47

Tabela 4.9 – Discretização da superfície do cubo ... 49

Tabela 4.10 – Forças de empuxo no cubo ... 50

Tabela 4.11 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ... 51

Tabela 4.12 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ... 52

Tabela 4.13 – Refinamento x Tempo de processamento x Erro ... 52

Tabela 4.14 – Raio corrigido em função do número de lados do polígono regular ... 54

Tabela 4.15 – Forças de empuxo no cilindro ... 55

Tabela 4.16 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ... 56

Tabela 4.17 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ... 57

Tabela 4.18 – Refinamento x Tempo de processamento x Erro ... 58

Tabela 4.19 – Propriedades físicas e geométricas da plataforma... 59

Tabela 4.20 – Malhas da plataforma ... 59

Tabela 4.21 – Forças em z (Malha 1): máximos, mínimos e amplitudes ... 62

Tabela 4.22 – Forças em z (Malha 2): máximos, mínimos e amplitudes ... 64

Tabela 4.23 – Relação entre λ, arestas das malhas e erros ... 67

Tabela 4.24 – Refinamento x Tempo de processamento x Erro ... 68

Tabela 5.1 – Erro percentual no valor do empuxo ... 72

Tabela 5.2 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ... 73

Tabela 5.3 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ... 75

Tabela 5.4 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ... 77

Tabela 5.5 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ... 79

xiv

Tabela 5.6 – Forças em x: máximos, mínimos e amplitudes ... 81

Tabela 5.7 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes ... 83

Tabela 5.8 – Rigidez hidrostática k

e sua variação ... 86

Tabela 5.9 – Rigidez hidrostática k

e sua variação ... 87

Tabela 5.10 –Tempo de processamento x pontos de integração ... 91

1

1 I NTRODUÇÃO

1.1 Contexto e Motivação

As atividades de produção de petróleo em campos situados no mar (offshore), afastados da costa, têm sido feitas através de sistemas flutuantes baseados em plataformas ancoradas (tais como FPSOs, Semissubmersíveis, Monoboias etc.). Para a análise e projeto desses sistemas, torna-se necessário calcular seus movimentos sob a ação de carregamentos ambientais de onda e corrente o que usualmente é feito através de ferramentas computacionais baseadas em modelos hidrodinâmicos para representar o casco das plataformas, e modelos estruturais para representar as linhas de ancoragem e risers.

Dentre as várias ferramentas computacionais disponíveis, destaca-se neste trabalho o SITUA-Prosim [1,2] (desenvolvido por pesquisadores do LAMCSO em parceria com a Petrobras). Esse programa permite que o usuário defina as configurações físicas e geométricas de componentes estruturais de sistemas offshore, além das condições de onda, vento, corrente etc., combinando-as em casos de carregamento. Nos modelos hidrodinâmicos, os cascos são representados como corpos rígidos com seis graus de liberdade (três de translação e três de rotação) e a interação destes com o fluido pode ser calculada por diferentes formulações.

Tradicionalmente, em programas de análise dinâmica, forças geradas pelo fluido em

plataformas Semissubmersíveis e Navios são calculadas a partir de matrizes lineares

unitárias obtidas por programas de CFD (Computational Fluid Dynamics) adaptados,

enquanto em Monoboias essas forças são calculadas por formulações de Morison para

cilindros [3]. Em ambos os casos, elevações instantâneas de onda são negligenciadas e o

cálculo de forças introduz simplificações: no primeiro, não linearidades são perdidas

quando definidas ondas com amplitude não unitária; no segundo, forças são calculadas

apenas no eixo dos cilindros e tidas como constantes ao longo da seção transversal.

2

Sob determinadas condições, as simplificações impostas por estas formulações usuais são válidas e apresentam bons resultados. Contudo, em casos que se afastem das premissas impostas às formulações, os resultados obtidos no cálculo de forças podem não ser confiáveis. Como exemplo de não adequação, tem-se análises de sistemas sob ação de ondas com grandes amplitudes que, por sua vez, geram forças não lineares. Isto significa que as elevações instantâneas da superfície do mar causadas pela energia das ondas devem ser consideradas. É demandado, então, o desenvolvimento de pesquisas com objetivo de propor soluções para estes casos.

1.2 Objetivo

Com base nas considerações descritas em 1.1, este trabalho tem por objetivo descrever a implementação de um algoritmo para cálculo de forças e momentos resultantes de cargas hidrostáticas e hidrodinâmicas não lineares de ondas atuando no casco de plataformas offshore levando em consideração efeitos de elevação instantânea da superfície do mar.

O algoritmo é baseado na representação da superfície do casco através de uma malha de painéis com elementos triangulares. A partir desta, são definidos planos secantes para representação local da onda em cada painel e, utilizando expressões analíticas [3], pressões são calculadas em cada vértice da malha. Estas pressões são transformadas em forças sobre a área de cada elemento triangular, que por sua vez irão participar do cálculo de forças e momentos nos seis graus de liberdade da plataforma, acumulados e aplicados ao centro de gravidade da plataforma, referencial escolhido para definição da equação de movimento do corpo rígido no SITUA-Prosim (ao qual o algoritmo será incorporado).

Desta forma, a ferramenta desenvolvida possibilita um cálculo mais preciso das

componentes de pressão atuantes. A definição de planos secantes para representação

local da onda permite que seja considerada de forma mais rigorosa a superfície submersa

do corpo ao longo do tempo, avaliando a influência das elevações instantâneas de onda

no cálculo de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas.

3

1.3 Estruturação do Texto

Inicialmente, no capítulo 2, são apresentadas formulações para o cálculo de pressões e forças hidrostáticas e hidrodinâmicas em corpos parcial ou totalmente submersos.

Em 3, é apresentada a integral de pressões. São expostos seu cálculo, premissas e como a integral de pressões será utilizada para calcular resultantes de pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas.

No capítulo 4, é desenvolvido um estudo de refinamento com intuito de estabelecer uma relação entre o comprimento das arestas da malha e o comprimento da onda incidente. A partir daí, serão estabelecidas relações entre refinamento, acurácia dos resultados e tempo de processamento.

Em 5, aliadas às conclusões sobre refinamento obtidas em 4, são expostas aplicações do método desenvolvido.

Por fim, as conclusões e sugestões para trabalhos futuros são apresentadas no

Capítulo 6, que é seguido pelas Referências Bibliográficas.

4

2 F ORMULAÇÃO

2.1 Forças geradas pelo fluido

Um corpo total ou parcialmente imerso em um fluido está sujeito às atuações de forças hidrostáticas e, caso haja presença de ondas e correntes, também às forças hidrodinâmicas. Neste trabalho, serão apresentadas formulações para cálculo de forças hidrostáticas, além de, separadamente, formulações para o cálculo de forças decorrentes da passagem de ondas. Finda a exposição dessas, é apresentado o conceito de modelagens híbridas, que buscam combinar características positivas das formulações anteriores.

2.2 Representação do mar

Ondas marítimas podem ser descritas, basicamente, por dois modelos matemáticos:

ondas determinísticas (ou mar regular) e representação espectral (ou mar irregular). Neste item, ambas serão brevemente apresentadas.

Ondas regulares

Ondas regulares têm seu comportamento descrito em função de parâmetros que as caracterizam, como amplitude a (ou altura H), período T, comprimento de onda L (ou λ), profundidade d, elevação de superfície η e nível médio MWL, conforme Figura 2.1.

Figura 2.1 – Representação de uma onda regular [4]

5

Devido à natureza aleatória das ondas, é complexo prever seu comportamento. Para tal, modelos matemáticos foram formulados e soluções aproximadas foram desenvolvidas com intuito de prever parâmetros como pressão, aceleração e velocidade.

Dentre as teorias mais comuns que buscam resolver esse problema, pode-se citar:

 a teoria Linear de Airy: teoria de primeira ordem, baseada na premissa de que a altura de onda é pequena comparada à profundidade;

 e a Teoria de Stokes: teoria não linear de segunda, terceira ou quinta ordem.

As teorias citadas, além da formulação e resolução do modelo para representação de ondas regulares podem ser encontradas em [3,5,6].

Representação espectral

Uma representação mais realística do mar pode ser feita através de um modelo espectral, que representa a distribuição de energia de onda numa faixa de frequências.

Neste, o mar é assumido como uma soma de ondas determinísticas, cada uma com seus valores característicos de período, amplitude e fase. A partir de medições realizadas no campo e estudos estatísticos, os modelos espectrais são ajustados à área cujo mar deseja- se representar [7].

Dentre os espectros mais utilizados, pode-se destacar o de Pierson-Moskowitz (2.1) e o de Jonswap (2.2):

( ) = 4

2 exp − 2

(2.1)

onde S(ω) é a função densidade espectral, ω é a frequência angular da onda, H

é a altura de onda significativa e T

é o período de cruzamento zero.

( ) = −1.25 (2.2)

onde S(ω) é a função densidade espectral, ω é a frequência angular da onda, α é um parâmetro de forma, γ é o parâmetro de pico, ω

é a frequência de pico e σ é um parâmetro de forma determinado em função da relação entre frequência ω e frequência de pico ω

[7].

6

Uma descrição mais detalhada de cada um destes espectros pode ser encontrada em Chakrabarti [3].

2.3 Forças Hidrostáticas

Pontos situados no interior de um fluido estão sujeitos a um campo de pressões hidrostáticas com valor dado pela equação (2.3):

= ℎ (2.3)

na qual ρ é a densidade do fluido, g é o módulo da aceleração da gravidade e h é a distância do ponto até a linha d’água.

A partir desta expressão, pode-se realizar a integral destas pressões atuando na superfície de um corpo total ou parcialmente submerso, de forma a obter o valor da força resultante gerada pelo fluido, conforme equação (2.4):

á = ℎ (2.4)

De acordo com o princípio de Arquimedes, esta força resultante é denominada Empuxo, atua verticalmente para cima e pode ser calcula pela equação (2.5)

= (2.5)

onde Vol é o volume da região do corpo submersa no líquido.

A Figura 2.2 ilustra um corpo parcialmente submerso sobre o qual atuam pressões hidrostáticas resultando numa força resultante de empuxo E. O ponto de aplicação do empuxo é o centro geométrico do volume (CV) submerso do corpo e é denominado centro de empuxo ou centro de Carena.

Figura 2.2 – Pressões hidrostáticas atuando em um corpo parcialmente submerso

7

Em ferramentas computacionais, as forças hidrostáticas podem ser calculadas de diversas formas, dentre as quais pode-se destacar:

 Corpos completamente submersos: Estando um corpo completamente submerso, sendo seu volume conhecido, o valor do empuxo que atua sobre ele é constante.

O valor do empuxo pode ser calculado diretamente pela equação (2.5);

 Cilindro vertical parcialmente submerso: em corpos cilíndricos dispostos verticalmente (ou com pequenas inclinações), o cálculo da força hidrostática atuante pode ser obtido de forma aproximada considerando que seu volume submerso é igual a área da base do cilindro vezes a altura do seu eixo que se encontra submersa. Tendo o volume submerso, pode-se aplicar diretamente a equação (2.5);

Figura 2.3 – Cilindro parcialmente submerso com eixo inclinado

 Corpos quaisquer integrados numericamente: aplicando-se a equação (2.4) na

superfície de um corpo. A partir da expressão do campo de pressões hidrostáticas

num fluido e de uma malha de superfície que defina a geometria do corpo, pode-

se efetuar a integração e calcular o empuxo. Durante análises, o corpo pode se

deslocar, exigindo a atualização da posição dos vértices da malha de superfície e

nova integração para cálculo de empuxo a cada deslocamento [3];

8

 Corpos quaisquer definidos por uma matriz de rigidez hidrostática: utilizando matrizes de rigidez hidrostática, nas quais os termos são forças e momentos restauradores que surgem no corpo quando submetido a deslocamentos (lineares ou angulares) unitários. Desta maneira, parte-se do princípio que geometria e deslocamentos do corpo não implicarão em não linearidades nas forças e momentos, de forma que esses possam ser calculados multiplicando o vetor de deslocamentos do corpo pelos termos da matriz. Cabe ressaltar que estas matrizes podem ser obtidas analiticamente a partir da área seccional da linha d’água [8], por ensaios com modelos reduzidos em tanques de provas [9], ou através da integração numérica mencionada anteriormente.

2.4 Forças Hidrodinâmicas

Formulação de Morison

A formulação de Morison [10] foi desenvolvida para aplicação, originalmente, em corpos cilíndricos esbeltos, quando a presença do corpo não ocasiona interferências significativas no fluido. Tendo D como uma dimensão transversal característica do corpo, a Chakrabarti [3]estabelece como critério usual o limite expresso na equação (2.6), na qual λ é o comprimento da onda incidente.

< 5 (2.6)

Satisfeita a equação anterior, a expressão de forças de Morison (2.7) é composta por parcelas inerciais (proporcionais às acelerações do corpo e das partículas fluidas) e de arrasto (proporcional à velocidade relativa entre corpo e fluido).

= 1

2 | ̇ − ̇|( ̇ − ̇ ) +

4 ̈ −

4 ̈ (2.7)

9

Nesta expressão, ρ

é a massa específica do fluido, D é a dimensão transversal do corpo (usualmente o diâmetro de cilindros) e C

, C

e C

são, respectivamente, coeficientes empíricos adimensionais de arrasto, inércia e massa adicionada. Tendo em vista a consideração de que os corpos têm dimensões pequenas se comparadas ao comprimento da onda atuante, a variação de alguns parâmetros do fluido é desprezada e, portanto, ̇ e ̈ são, nesta ordem, velocidade e aceleração do fluido no eixo da seção transversal do corpo esbelto; ̇ e ̈ são velocidade e aceleração do corpo.

Em termos práticos, a formulação de Morison apresenta bons resultados para aplicações em membros de plataformas fixas reticuladas (jaquetas), linhas de ancoragem e risers, além de (com devidas ressalvas) plataformas Semissubmersíveis, Monoboias e TLPs [1]. Normas e recomendações técnicas como a DNV-RP-H103 [11] apresentam tabelas para determinação dos coeficientes de arrasto, de inércia e de massa adicionada a partir de informações geométricas da estrutura e de direção do movimento.

Formulação de Froude-Krylov

De acordo com a teoria de Froude-Krylov, as forças atuantes num corpo submerso oriundas da passagem de uma onda podem ser calculadas a partir de uma integração da pressão do fluido na superfície do corpo, também assumindo que a presença deste não causa interferências significativas no fluxo. Desta forma, tendo uma expressão para pressões, as forças resultantes são dadas pelas equações (2.8) e (2.9):

= (2.8)

= (2.9)

onde F

é a força atuando na direção da onda, F

é a força atuando na direção vertical, n

e n

são as componentes horizontal e vertical do vetor normal à superfície do corpo e C

e C

são coeficientes de força horizontal e vertical que podem ser calibrados [3]. Cabe

aqui ressaltar que estes não devem ser confundidos com os coeficientes da formulação

de Morison.

10 Campo de pressões

Neste ponto, fica evidente a necessidade de uma expressão que descreva o comportamento das pressões do fluido. Dentre as formulações mais conhecidas, estão a teoria linear (de primeira ordem) de Airy e a teoria de Stokes de ordens superiores. Em suma, a teoria de Airy se baseia na premissa de que a altura de onda é pequena se comparada com o comprimento da onda. Esta premissa permite que as condições de contorno de superfície livre sejam satisfeitas no nível médio de águas tranquilas e não no nível real de elevação da onda. Para tanto, as condições de contorno são linearizadas, desprezando os termos de segunda ordem e de ordens superiores. Na teoria de Stokes, estes termos não são desprezados [12].

A seguir, estão as expressões de pressão pelas teorias de Airy (2.10) e Stokes de segunda ordem (2.11):

( , , ) = ℎ ( + )

ℎ ( − ) (2.10)

( , , ) = ℎ ( + )

ℎ ( − ) +

+ 3 4

1 ℎ 2

ℎ 2 ( + ) ℎ

− 1

3 2( − ) −

− 1 4

1

ℎ 2 [ 2 ( + ) − 1]

(2.11)

onde ρ é a massa específica do fluido, g é a aceleração da gravidade, a é a amplitude da

onda, k é a o número de onda, d é a lâmina d’água, e λ e H são, respectivamente, o

comprimento e a altura da onda.

11

Desta maneira, as equações (2.10) ou (2.11) podem ser substituídas nas equações (2.8) e (2.9) para o cálculo das forças exercidas pelo fluido. Vale ressaltar que, em suas deduções, ambas desprezam efeitos de viscosidade, implicando que, em termos práticos, a formulação de Froude-Krylov seja aplicável quando forças de arrasto são pequenas se comparadas a efeitos de inércia. Segundo Chakrabarti [3], em muitos casos, as expressões resultantes são semelhantes às obtidas pela parcela de inércia da fórmula de Morison. Em [3], pode-se encontrar a dedução das expressões de força e coeficientes verticais e horizontais para corpos com geometria simples, como semicilindros, cilindros e cubos.

Formulação de Difração/Radiação

Por fim, quando as dimensões dos corpos são grandes comparadas ao comprimento das ondas, ocasionando em interferências significativas no fluido, as teorias expostas em 2.4.1 e 2.4.2 não são válidas. Neste caso, um método de cálculo de forças deve ser baseado na teoria da Difração/Radiação.

A formulação deste problema se assemelha ao desenvolvido por Airy e Stokes, acrescentando-se duas condições de contorno:

 a componente da velocidade da partícula de fluido normal às superfície do corpo é igual à velocidade da superfície do corpo naquele ponto;

 ondas irradiadas têm amplitude decrescente e nula no infinito.

Assim como em 2.4.2, este problema é complexo e altamente não linear e, de modo geral, a solução deve ser obtida introduzindo aproximações e/ou utilizando métodos numéricos. Utilizando expansão em séries, podem ser obtidas expressões de primeira ordem (tal qual Airy) ou de ordens superiores (semelhante a Stokes). Tendo as expressões de pressão, procede-se à integração das mesmas na superfície do corpo:

= (2.12)

onde n

é a componente do vetor normal na direção j. O resultado F

é a força de ordem

n na direção j.

12

O programa Wamit [13] por exemplo, é uma ferramenta bastante utilizada no cômputo de cargas de fluido empregando um modelo de Difração/Radiação. A partir dos resultados de primeira ordem, são geradas funções de transferência do corpo denominadas Response Amplitude Operator (RAO), nas quais são contabilizados os valores de força resultantes para ondas de diversas frequências com amplitude unitária atuando em determinadas direções. Utilizando RAOs, parte-se do pressuposto que ondas com o dobro de amplitude resultarão em forças duas vezes maiores, e assim por diante.

Seguindo o mesmo raciocínio, o programa também calcula matrizes de rigidez hidrostática com uso semelhante, nas quais os termos são forças restauradoras que surgem no corpo quando submetido a deslocamentos (lineares ou angulares) unitários.

Discussões sobre resultados de segunda ordem podem ser encontrados em [14,15,16].

Vale lembrar, por fim, que a teoria de Difração/Radiação também não considera a viscosidade do fluido, implicando na ausência de contribuições de forças de arrasto em seus resultados. Modelos mais rigorosos que levam em conta este efeito resultam em problemas matemáticos ainda mais complexos [17].

Formulações Híbridas

A partir de propostas apresentadas por Hooft [17] e Pauling [18], forças resultantes no corpo oriundas da passagem da onda podem ser calculadas combinando-se características positivas das diferentes formulações apresentadas anteriormente. Neste modelo híbrido, combinam-se as seguintes forças:

 Forças de onda de primeira ordem oriundas da viscosidade do fluido, obtidas a partir da fórmula de Morison;

 Forças inerciais de primeira ordem, obtidas por Morison, Froude-Krylov ou Difração/Radiação;

 Forças de onda de segunda ordem, obtidas pelo modelo de Difração/Radiação ou Froude-Krylov.

Neste contexto, esta dissertação aborda um outro tipo de modelo híbrido em que

parcelas de força de primeira ordem são obtidas a partir da integral de superfície das

pressões estáticas e dinâmicas sobre as áreas instantaneamente submersas do corpo,

assumindo que o corpo não perturba as ondas incidentes.

13

3 I MPLEMENTAÇÃO

3.1 O SITUA-Prosim

O Sistema SITUA-Prosim vem sendo desenvolvido pelo LAMCSO em parceria com o CENPES-Petrobras. O programa tem o objetivo de efetuar tanto análises de unidades flutuantes ancoradas (considerando a interação dos cascos com as linhas de ancoragem e risers) quanto de situações de instalação e avaria (incluindo instalação de dutos).

A plataforma SITUA compõe a interface gráfica para entrada de dados, geração de modelos complexos e visualização de resultados, enquanto os módulos de análise estão incorporados no programa Prosim.

O Prosim utiliza modelos hidrodinâmicos para fazer a análise de movimento dos cascos da embarcação e, para a análise do comportamento estrutural dos risers, linhas de ancoragem e lançamento de dutos, utiliza o Método dos Elementos Finitos de treliça e de pórtico, utilizando diferentes algoritmos para a análise, dentre eles o algoritmo implícito αβ-Newmark, com propriedade de dissipação numérica, além de algoritmos explícitos apropriados para análise de situações transientes.

Em se tratando dos modelos hidrodinâmicos, o programa permite ao usuário a definição do cálculo de parcelas de forças através de diversos “provedores”, como os listados a seguir:

 Modelo de Cilindros: formulação de Morison para o cálculo das forças de fluidos em corpos esbeltos;

 Modelo de Difração

 Matriz de Restauração Hidrostática

Desta forma, o usuário pode utilizar as formulações tradicionais de Morison, Froude-Krylov e Difração/Radiação, além das formulações híbridas descritas em 2.4.4.

Na Figura 3.1 é representa a tela do SITUA, na qual estão em destaque um casco e os

provedores para cálculo de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas.

14

Figura 3.1 – Modelo de uma plataforma flutuante no programa SITUA-Prosim

3.2 Conceitos básicos

Definição de vetor normal unitário

Um vetor normal à área de um triângulo pode ser calculado a partir do produto vetorial de dois vetores que correspondam a duas de suas arestas. O vetor ⃗ na Figura 3.2 indica o resultado da operação (3.1):

⃗ = ⃗ × ⃗ (3.1)

15

Figura 3.2 – Definição de vetor normal à superfície do triângulo

Para torná-lo unitário, as componentes do vetor são dividas pelo seu módulo de acordo com a equação (3.2):

⃗ = ⃗

⃗ (3.2)

Volume e centro de volume de tetraedro

O volume de um tetraedro pode ser obtido de forma simples através do produto vetorial misto dado pela equação (3.3):

= ⃗ × ⃗ ∙ ⃗

6 (3.3)

Figura 3.3 – Tetraedro e seu centro de volume

Já o seu centro de volume (CV) pode ser facilmente calculado pela média aritmética das coordenadas de seus vértices, conforme equações a seguir:

= + + +

4 (3.4)

= + + +

4

(3.5)

16

= + + +

4

(3.6)

3.3 A Integral de Pressões

Segundo a teoria de cálculo infinitesimal [19], a integral de uma função f(x,y,z) em uma área é numericamente igual ao volume compreendido entre o plano que consta o domínio da função e a superfície formada pela imagem do intervalo de integração, conforme a Figura 3.4:

Figura 3.4 – Integral de uma função numa superfície

Partindo desta definição, e tornando a área integrada pequena o suficiente para que a superfície da função possa ser substituída por um plano, a integral de uma função pode ser obtida calculando geometricamente o volume gerado.

Desta forma, dado um corpo com geometria modelada por painéis planos submetido

a uma função f(x,y,z) que define um campo de pressões, pode-se realizar a integração da

função na superfície do corpo. Para isto, cada painel deve ser calculado individualmente,

atuando como um plano sobre o qual será gerado o volume de pressões que corresponde

numericamente ao valor da integral. A Figura 3.5 ilustra o início deste processo, no qual

um painel triangular da malha do corpo foi destacado e indicados seus nós e vetor normal

unitário.

17

Figura 3.5 – Triângulo destacado da malha com seus nós e vetor normal

Com intuito de gerar o volume de pressões geometricamente no espaço, são calculados os valores da função de pressões f(x,y,z) nos três nós do triângulo e o módulo destes valores são multiplicados pelo vetor normal ao triângulo e somados aos seus respectivos nós. Vetorialmente, tem-se:

⃗ = ó⃗ + | ( ó )| ⃗ (3.7)

⃗ = ó⃗ + | ( ó )| ⃗ (3.8)

⃗ = ó⃗ + | ( ó )| ⃗ (3.9)

A Figura 3.6 ilustra o volume gerado, no qual a distância entre os pontos P1, P2 e P3 aos seus respectivos nós são numericamente iguais ao módulo da função f(x,y,z) nos nós.

Figura 3.6 – Volume de pressões sobre o triângulo

18

Dado o volume geométrico de pressões correspondente à integral da função, procede-se ao cálculo do seu valor numérico. Para isto, ele é subdividido em três tetraedros, já que estes têm seu volume e centro de volume facilmente calculados (seção 3.2.2). A Figura 3.7 elucida o processo de divisão do volume original em tetraedros, na qual os traçados em vermelho são planos de corte.

(a)

(b)

(c)

Figura 3.7 – Demonstração geométrica do cálculo do volume

Findo este processo, o volume original é igual à soma dos volumes dos tetraedros, e

o centro de volume é uma média ponderada dos centros de volumes dos tetraedros por

seus respectivos volumes, conforme equações a seguir:

19

= + + (3.10)

⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗

+ +

(3.11)

A partir do que foi exposto, pode-se calcular as contribuições de força e momento em cada elemento da malha e somá-los para que se encontre força e momento resultantes gerados pela função de pressões atuando na superfície do corpo.

Cabe ressaltar que o cálculo do ponto de aplicação da força no elemento de superfície através de médias aritméticas das coordenadas ou médias ponderadas por valores de pressão não é recomendado. Um exemplo simples, com resultado amplamente conhecido, é o de pressões hidrostáticas atuando numa parede vertical (normalmente barragens), no qual a resultante de forças atua a 1/3 da altura da barragem, conforme Figura 3.8. Naturalmente, estas aproximações são válidas em elementos infinitesimais.

No entanto, como um dos objetivos deste trabalho é obter a integral de pressões com o menor custo computacional possível, quanto maior o tamanho do elemento, e por sua vez, menor o número de elementos no modelo, melhor. Sendo assim, a técnica do cálculo do centro de volume de pressões, que é a mais precisa, foi adotada.

(a) – 3D (b) – 2D

Figura 3.8 – Campo de pressões hidrostáticas atuando numa barragem

20

No capítulo 5, dedicado a verificações da integral de pressões, este exemplo de campo de pressões hidrostáticas atuando numa barragem será analisado com intuito de verificar a adequação do cálculo do ponto de aplicação da força resultante.

3.4 Descrição do método

O método desenvolvido consiste em, a partir de expressões analíticas para o cálculo de pressões, integrá-las na superfície de um corpo (seguindo a proposta de Froude- Krylov) com geometria definida por painéis triangulares utilizando a integral de pressões apresentada no item 3.3. Somando as parcelas de força e momento geradas em cada um dos painéis, tem-se forças e momentos resultantes que integrarão a equação de movimento do corpo (daqui em diante também denominado Unidade Flutuante ou UF).

Para isso, além da geometria da UF, o usuário deve definir as características do mar, informando se ele será do tipo regular, com período, direção e amplitude de cada uma das componentes de onda que o representam, ou irregular, no qual as ondas são definidas por espectros de energia com um número discreto de componentes.

A partir da definição da geometria do corpo e das características do mar, o algoritmo desenvolvido faz um loop nos elementos de superfície e, em seguida, em seus nós, calculando pressões através das expressões analíticas de hidrostática (2.3) e pressão de onda de primeira ordem (2.4.2). Ao fim do loop, forças e momentos são acumulados e aplicados no CG da UF.

Definido o vetor de forças e momentos, o programa SITUA-Prosim resolve a

equação de movimento do corpo, calculando translações e rotações. A partir destes

deslocamentos, a posição do centro de gravidade e dos pontos da malha de superfície são

atualizadas e o processo se repete até o fim da análise. Cabe ressaltar que esta etapa de

resolução da equação de movimento não foi desenvolvida neste trabalho, tendo este se

limitado a calcular as forças e momentos gerados pelo fluido. A Figura 3.9 traz, em forma

de pseudocódigo, fluxograma explicativo do método aqui exposto. O cálculo das

parcelas de força será explicado individualmente nas seções seguintes.

21

Figura 3.9 – Fluxograma geral do método desenvolvido

3.5 Forças hidrostáticas

O cálculo das forças hidrostáticas está baseado nas definições expostas nas seções 2.3 e 3.3. Primeiramente, inicia-se um loop de subvolumes da UF (unidade flutuante).

Em cada subvolume, é feito um loop nos painéis triangulares da malha de superfície.

Neste ponto, inicia-se uma importante etapa do método: o corte da malha de superfície

pelo plano gerado pela onda (Figura 3.10).

22

(a) – 3D (b) – 2D (c) – 2D

Figura 3.10 – Cilindro com superfície “cortada” pela onda

Para cada triângulo, é definido um plano secante que represente localmente a onda (Figura 3.11).

Figura 3.11 – Definição do plano secante

Neste processo, elementos de superfície parcialmente submersos são cortados e

regerados após cálculo das coordenadas de interseção com o plano da onda (Figura 3.12).

23

(a) – Antes (b) – Depois

Figura 3.12 – Corte do triângulo pelo plano secante

Identificados os triângulos com área submersa, são calculadas as pressões hidrostáticas em cada um de seus nós a partir da equação (2.3) definida na seção 2.3.

Vale ressaltar que a profundidade aqui considerada trata-se da distância da superfície instantânea da onda até o nó em questão (Figura 3.13).

Figura 3.13 – Profundidade dos nós do triângulo

Calculadas as pressões em cada nó do triângulo, são gerados no espaço os pontos que comporão o volume de pressões, como descrito em 3.3, e procede-se à integral de pressões para cálculo da força hidrostática atuante no triângulo e seu ponto de aplicação.

A partir deste, é calculado o momento causado pela força no centro de gravidade da UF.

Findo o loop de elementos de superfície, contribuições de forças e momentos de cada triângulo submerso (que foram armazenados em variáveis acumuladoras) são aplicados no CG da UF. Este processo se repete até o fim do loop de subvolumes que compõem o corpo.

A Figura 3.14 traz fluxograma explicativo do cálculo de forças hidrostáticas.

24

Figura 3.14 – Fluxograma para cálculo de forças hidrostáticas

Figura 3.15 – Fluxograma para cálculo de forças a partir de pressões hidrostáticas

25

Na Figura 3.14, define-se as seguintes variáveis:

 IVOLUME: contador de subvolumes que compõem a UF;

 ITRIANGULO: contador de triângulos (elementos de superfície) do subvolume analisado;

 NTRIANGULOS: número total de triângulos que compõem a malha de superfície do subvolume analisado;

 NVOLUMES: número total de subvolumes que compõem a UF.

3.6 Forças hidrodinâmicas

O cálculo das forças hidrodinâmicas está baseado nas definições expostas nas seções 2.4.2 e 3.3 e em muito se assemelha ao algoritmo para forças hidrostáticas apresentado anteriormente (seção 3.5). Inicialmente, é realizado um loop de subvolumes da UF. Em cada subvolume, é feito um loop nos painéis triangulares da malha de superfície. Para cada triângulo, é definido um plano secante que represente localmente a onda a fim de verificar quais nós do elemento de superfície estão submersos. Identificados os triângulos com área submersa, são calculadas as pressões hidrodinâmicas em cada um de seus nós a partir da equação (2.10) de Airy definida na seção 2.4.2.

As demais etapas de cálculo são idênticas aquelas apresentadas na seção anterior, podendo-se seguir o mesmo fluxograma de cálculo de forças da Figura 3.14, substituindo apenas a pressão hidrostática pela hidrodinâmica.

A Figura 3.16 traz fluxograma explicativo do cálculo de forças hidrodinâmicas.

26

Figura 3.16 – Fluxograma para cálculo de forças hidrodinâmicas

Figura 3.17 – Fluxograma para cálculo de forças a partir de pressões hidrodinâmicas

27

Neste ponto, apresentados os fluxogramas para cálculos de forças hidrostáticas e hidrodinâmicas, cabe o questionamento acerca da unificação dos algoritmos, tendo em vista as semelhanças que há em maior parte do código. A separação em duas rotinas se deu devido às expressões de cálculo de pressões: a pressão hidrostática é regida por uma expressão linear em função da profundidade do ponto, enquanto a pressão hidrodinâmica é dada por uma expressão com cossenos hiperbólicos, acentuadamente não lineares.

Desta forma, resultados de hidrostática podem ser obtidos com discretização da malha

de superfície menos refinada, exigindo menores custos computacionais. Fica permitido

ao usuário, então, definir duas malhas distintas, uma para cada parcela de força, deixando

o programa computacional mais genérico.

28

4 E STUDO DE REFINAMENTO DE MALHA DE SUPERFÍCIE

4.1 Introdução

Com o intuito de estabelecer parâmetros que norteassem o refinamento da malha a ser usada no método de painéis, levando em conta custo computacional e acurácia dos resultados, foram realizadas análises que buscam estabelecer relação entre o comprimento λ da onda incidente e a dimensão máxima das arestas dos elementos de superfície.

Para isto, foram fixadas uma profundidade do corpo e uma onda (direção, período, amplitude e comprimento), para a qual foi calculado seu comprimento λ. Em seguida, estabeleceu-se a relação (sendo n um número inteiro) que define um tamanho máximo da aresta dos elementos da malha de superfície. À medida em que é aumentado o valor de n, tem-se malhas mais refinadas, e um erro menor associado.

A fim de elucidar esta proposta, tem-se o exemplo a seguir de um cubo com aresta

arbitrada = 12 , sobre o qual incide uma onda com comprimento também

arbitrado = 60 . A superfície do cubo foi então dividida em elementos cujas arestas

obedecem a relação , com = 10, = 20 e = 30 (Figura 4.1). É então esperado

que, com aumento de n, obtenha-se melhores (mais acurados) resultados de forças

atuando no corpo, porém eleve-se o custo computacional.

29

= 10

= 60 10 = 6.0

(a) – Vistas 2 e 3D para n = 10

= 20

= 60 20 = 3.0

(b) – Vistas 2 e 3D para n = 20

= 30

= 60 30 = 2.0

(c) – Vistas 2 e 3D para n = 30

Figura 4.1 – Relação λ/n em cubo com aresta L = 12 m e onda com λ = 60 m

30

Com intuito de obter valores de referência para o cálculo do erro nas forças horizontais e verticais atuantes no corpo, foi utilizado o programa comercial Mathcad [20], que permite o cálculo de integrais definidas com boa acurácia, tendo em vista que este realiza o cálculo numérico dividindo o domínio de integração em um número de pontos grande o suficiente para que os critérios de convergência definidos pelo usuário sejam satisfeitos. Assim sendo, os resultados do Mathcad foram assumidos como corretos e tentou-se melhorar o refinamento das malhas para análises pelo método de painéis de modo que os resultados se aproximassem dos obtidos pelo programa comercial.

4.2 Plano horizontal: forças verticais

Em princípio, a fim de estabelecer uma relação que possa ser extrapolada para

corpos de diversas formas, foi realizado um estudo de forças hidrodinâmicas verticais

atuando em um quadrado fixo disposto horizontalmente no espaço (Figura 4.2). Definiu-

se onda, lâmina d’água, profundidade do plano etc. e análises foram realizadas variando-

se o comprimento L

das arestas do quadrado, que assumiu valores de acordo com os

resultados da expressão .

31

(a) – 3D (b) – 2D

Figura 4.2 – Modelo esquemático de um quadrado horizontal fixo no espaço submetido a passagem de onda regular

A seguir, estão listados alguns dados referentes aos modelos e às análises:

 Período T da onda: 6.00 s

 Amplitude A da onda: 1.00 m

 Comprimento de onda λ: 56.18 m (obtido com auxílio de código desenvolvido no Mathcad)

 Coordenada z do plano: -15.00 m

 Malha da superfície: 4 vértices, 2 triângulos

 Análise dinâmica com tempo total de 100.00 s e intervalo de integração de 0.10 s

 Duração das análises: 0.26 s (em média)

A seguir, são apresentados trechos das séries temporais das forças hidrodinâmicas

obtidas pelo método dos painéis e pelo Mathcad para os valores = 5 (Figura 4.3) e =

100 (Figura 4.4), a partir dos quais é possível notar melhor acurácia nos resultados para

valores maiores de n.

32

Figura 4.3 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no quadrado (n=5)

Figura 4.4 – Trecho de série temporal de forças atuando verticalmente no quadrado (n=100)

Com intuito de quantificar erros nos resultados obtidos, foram identificados valores

de máximo, mínimo e amplitude nas séries temporais obtidas pelo Mathcad e pelo

método de painéis e foram calculados os erros relativos. Estes resultados podem ser

observados na Tabela 4.1.

33

Tabela 4.1 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes

n λ/n (m) Forças Hidrodinâmicas Painéis (kN)

Mathcad

(kN) Erro (%)

5 11.24

Máximo 176.12 200.84 -12.31%

Mínimo -209.15 -245.18 14.70%

Amplitude 192.63 223.01 -13.62%

6 9.36

Máximo 130.14 142.10 -8.42%

Mínimo -156.43 -174.13 10.17%

Amplitude 143.28 158.12 -9.38%

7 8.03

Máximo 99.10 105.57 -6.13%

Mínimo -120.01 -129.67 7.45%

Amplitude 109.55 117.62 -6.86%

8 7.02

Máximo 77.61 81.41 -4.66%

Mínimo -94.45 -100.15 5.69%

Amplitude 86.03 90.78 -5.23%

9 6.24

Máximo 62.27 64.64 -3.67%

Mínimo -76.03 -79.61 4.49%

Amplitude 69.15 72.12 -4.12%

10 5.62

Máximo 50.99 52.54 -2.96%

Mínimo -62.41 -64.76 3.63%

Amplitude 56.70 58.65 -3.33%

11 5.11

Máximo 42.47 43.54 -2.44%

Mínimo -52.08 -53.69 3.00%

Amplitude 47.28 48.61 -2.75%

12 4.68

Máximo 35.91 36.65 -2.04%

Mínimo -44.09 -45.22 2.52%

Amplitude 40.00 40.94 -2.30%

13 4.32

Máximo 30.74 31.28 -1.74%

Mínimo -37.78 -38.60 2.14%

Amplitude 34.26 34.94 -1.96%

14 4.01

Máximo 26.60 27.00 -1.49%

Mínimo -32.72 -33.34 1.84%

Amplitude 29.66 30.17 -1.69%

34

Tabela 4.1 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes (continuação)

n λ/n (m) Forças Hidrodinâmicas Painéis (kN)

Mathcad

(kN) Erro (%)

15 3.75

Máximo 23.24 23.55 -1.29%

Mínimo -28.61 -29.08 1.60%

Amplitude 25.92 26.31 -1.47%

16 3.51

Máximo 20.48 20.71 -1.14%

Mínimo -25.22 -25.58 1.41%

Amplitude 22.85 23.15 -1.29%

17 3.30

Máximo 18.17 18.36 -1.00%

Mínimo -22.39 -22.68 1.24%

Amplitude 20.28 20.52 -1.14%

18 3.12

Máximo 16.24 16.38 -0.89%

Mínimo -20.02 -20.24 1.11%

Amplitude 18.13 18.31 -1.01%

19 2.96

Máximo 14.59 14.71 -0.80%

Mínimo -18.00 -18.18 0.99%

Amplitude 16.30 16.44 -0.91%

20 2.81

Máximo 13.19 13.28 -0.72%

Mínimo -16.27 -16.41 0.90%

Amplitude 14.73 14.85 -0.82%

25 2.25

Máximo 8.47 8.51 -0.45%

Mínimo -10.46 -10.52 0.56%

Amplitude 9.47 9.52 -0.51%

30 1.87

Máximo 5.90 5.92 -0.30%

Mínimo -7.28 -7.31 0.39%

Amplitude 6.59 6.61 -0.35%

35 1.61

Máximo 4.34 4.35 -0.22%

Mínimo -5.36 -5.38 0.28%

Amplitude 4.85 4.86 -0.25%

40 1.40

Máximo 3.32 3.33 -0.17%

Mínimo -4.11 -4.12 0.21%

Amplitude 3.72 3.72 -0.19%

35

Tabela 4.1 – Forças em z: máximos, mínimos e amplitudes (continuação)

n λ/n (m) Forças Hidrodinâmicas Painéis (kN)

Mathcad

(kN) Erro (%)

45 1.25

Máximo 2.62797 2.63100 -0.12%

Mínimo -3.24840 -3.25400 0.17%

Amplitude 2.938185 2.9425 -0.15%

50 1.12

Máximo 2.12973 2.1320 -0.11%

Mínimo -2.63279 -2.6360 0.12%

Amplitude 2.38126 2.384 -0.11%

100 0.56

Máximo 0.53304 0.5330 0.01%

Mínimo -0.65916 -0.6590 -0.02%

Amplitude 0.5961 0.596 0.02%

Conforme o exposto, erros menores que 5% exigem malhas com dimensão

= 9 e erros menores que 1% exigem malhas com = 19 . A Figura 4.5 traz gráficos do comportamento do erro relativo em função da variação de n.

Figura 4.5 – Erro percentual nos valores de máximo, mínimo e amplitude em função

de n

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4.3 Plano vertical: forças na direção da onda

Seguindo o raciocínio exposto no item anterior (4.2), procedeu-se a um estudo de forças hidrodinâmicas na direção da onda (eixo x global do SITUA) atuando em um quadrado fixo disposto verticalmente no espaço (Figura 4.6). Os valores de período e amplitude da onda, lâmina d’água, profundidade do plano etc. são os mesmos utilizados no estudo de forças verticais e, de forma semelhante, as análises foram realizadas variando-se o comprimento L

das arestas do quadrado, que assumiu valores de acordo com os resultados da expressão .

(a) – 3D (b) – 2D

Figura 4.6 – Modelo esquemático de um quadrado vertical fixo no espaço submetido a passagem de onda regular

A seguir, estão listados alguns dados referentes aos modelos e às análises:

 Período T da onda: 6.00 s

 Amplitude A da onda: 1.00 m

 Comprimento de onda λ: 56.18 m (obtido com auxílio de código desenvolvido no Mathcad)

 Coordenada z da base do plano: -15.00 m

 Malha da superfície: 4 vértices, 2 triângulos

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 Análise dinâmica com tempo total de 100.00 s e intervalo de integração de 0.10 s

 Duração das análises: 0.26 s (em média)

A seguir, são apresentados trechos das séries temporais das forças hidrodinâmicas obtidas pelo método dos painéis e pelo Mathcad para os valores = 5 (Figura 4.7) e = 100 (Figura 4.8), a partir dos quais é possível notar melhor acurácia nos resultados para valores maiores de n.

Figura 4.7 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no

quadrado (n=5)

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Figura 4.8 – Trecho de série temporal de forças atuando horizontalmente no quadrado (n=100)

Com intuito de quantificar erros nos resultados obtidos, foram identificados valores

de máximo, mínimo e amplitude nas séries temporais obtidas pelo Mathcad e pelo

método de painéis e foram calculados os erros relativos. Estes resultados podem ser

observados na Tabela 4.2.