Lista de exercícios 1 (primeira parte)

Lista de exercícios 1 (primeira parte) Professor: João Manoel Pinho de Mello Monitor: Caio Waisman

Data de entrega: dia da P1

1. Demonstre que .

2. Lema 3.2 do Wooldridge

Prove que se , , e , então:

a) b) c) d)

3. Lema 3.4 do Wooldridge - Teorema de Slutsky

Seja uma função contínua em algum . Seja uma seqüência de vetores aleatórios tal que . Mostre que conforme . Em outras palavras, mostre que:

se for contínua em

4. Suponha que a variável aleatória X tenha os dois primeiros momentos finitos.

Dizemos que uma sequência de variáveis aleatórias {X

} converge em probabilidade para a variável aleatória X se para todo ε > 0

Dizemos que uma sequência de variáveis aleatórias {X

} converge em média quadrática para a variável aleatória X se

Prove que convergência em média quadrática implica convergência em probabilidade.

5. Seja uma variável aleatória binária que assume 1 se a escolha ocupacional do indivíduo for empregador ou conta própria e 0 se ele for empregado. Suponha que a teoria econômica nos informa que a relação entre e outra variável aleatória binária, , que assume o valor 1 se o indivíduo tiver acesso a uma linha de crédito em algum banco e 0 caso contrário. A teoria econômica nos informa que:

(1)

em que , que contém todos os outros fatores que afetam a escolha ocupacional dos indivíduos além do acesso a alguma linha de crédito, foi normalizado para ter média 0. Suponha que tem o segundo momento finito. Responda verdadeiro ou falso:

a) Os betas são parâmetros econômicos.

Imagine que estejamos dispostos a supor que . Responda verdadeiro ou falso:

b) Agora os betas também são parâmetros e algum objeto estatístico.

c) Se verdadeiro, qual seria esse objeto?

Suponha agora que . Responda verdadeiro ou falso:

d) Agora os betas também são parâmetros de outro objeto estatístico.

e) Se verdadeiro, qual seria esse objeto?

Suponha que:

(2)

em que é uma variável aleatória que mede a renda de um indivíduo, e é tal que . Avalie a afirmação como errada ou correta:

f) Se for observável, então não há dificuldades adicionais em identificar os betas porque eles serão parâmetros de outro objeto estatístico.

g) Se correta a afirmação, qual seria esse objeto?

Suponha que, na verdade, (2) está incorreta e de fato:

(3)

em que é uma variável aleatória que mede a renda de um indivíduo e é independente de e . h) Isso mudaria suas respostas dos itens f e g?

Agora suponha que (2) é verdadeira, mas que não é observável. Suponha também que alguém que

você reputa um excelente economista lhe diz que "com certeza a renda do indivíduo afeta a sua

escolha ocupacional e, além disso, afeta a probabilidade de ele ter acesso a crédito". Avalie as

seguintes afirmações à luz desta afirmação:

i) A menos de uma enorme sorte, os parâmetros na equação (1) já não coincidem com os de nenhum objeto estatístico.

j) Qual é a relação algébrica entre algum objeto estatístico que você conheça e os parâmetros betas?

k) Verdadeiro ou falso: o parâmetro da inclinação da projeção linear de em é maior do que o verdadeiro parâmetro estrutural, .

6. Sejam

e .

a) Considere o modelo , em que é a renda do indivíduo . Mostre que é a média amostral da renda das mulheres e é a diferença entre a média amostral da renda de homens e a da de mulheres, em que representa o estimador OLS do coeficiente .

b) Considere, agora, o modelo . Mostre que é a média amostral da renda dos homens é a da das mulheres, em que representa o estimador OLS do coeficiente . c) É possível estimar por mínimos quadrados ordinários os coeficientes do modelo

? Por quê?

7. P1-2006

Considere uma variável dependente e um vetor de variáveis explicativas . Ambos têm expectativas iguais a zero. Uma amostra de tamanho 100 de está disponível e a usamos para estimar a seguinte relação linear:

a) Considere o estimador de por mínimos quadrados ordinários, . Mostre que, sob as hipóteses usuais, o desvio-padrão de dado é

Em que .

Agora, considere um estimador alternativo para , :

Em que é a média amostral de para as primeiras 50 observações, é a média amostral de para as últimas 50 observações, que é a média amostral de para as primeiras 50 observações e é a média amostral de x para as últimas 50 observações.

b) Calcule o viés condicional (dado ) de (sob a hipótese usual de que ).

c) Calcule o desvio-padrão de dado e compare-o com o do estimador de mínimos quadrados.

Qual é maior (no sentido positivo semi-definido)? Comente.