Departamento de Matem ´atica Universidade da Beira Interior
Espac¸os Vectoriais
Quest ˜ao 1 Quest ˜ao 2 Quest ˜ao 3 Quest ˜ao 4 Quest ˜ao 5
Quest ˜ao 6 Quest ˜ao 7 Quest ˜ao 8 Quest ˜ao 9 Quest ˜ao 10
Quest ˜ao 11 Quest ˜ao 12 Quest ˜ao 13 Quest ˜ao 14 Quest ˜ao 15
Quest ˜ao 16 Quest ˜ao 17 Quest ˜ao 18 Quest ˜ao 19 Quest ˜ao 20
Quest ˜ao 21 Quest ˜ao 22 Quest ˜ao 23 Quest ˜ao 24 Quest ˜ao 25
Quest ˜ao 26 Quest ˜ao 27 Quest ˜ao 28 Quest ˜ao 29 Quest ˜ao 30
Quest ˜ao 31 Quest ˜ao 32 Quest ˜ao 33 Quest ˜ao 34 Quest ˜ao 35
Quest ˜ao 36 Quest ˜ao 37 Quest ˜ao 38 Quest ˜ao 39 Quest ˜ao 40
Considere o conjunto A ⊂
Re as operac¸ ˜oes seguintes:
Adic¸ ˜ao de elementos em A, x ⊕ y = x · y .
Multiplicc¸ ˜ao de elementos de A por um escalar α,
α × x = x
α.
Diga justificando se o conjunto A, com estas operac¸ ˜oes constitui um espac¸o vectorial definido sobre ele pr ´oprio quando:
a)
A ≡
R+ b)A ≡
R c)A ≡
R−Indique quais dos seguintes conjuntos de
R4s ˜ao seus subespac¸os vectoriais:
a)
W
1= {(x
1, x
2, x
3, x
4) : x
1= 0 ∧ x
2+ x
3= 0 }
Sugest ˜ao Resoluc¸ ˜ao
b)
W
2= { (x
1, x
2, x
3, x
4) : x
1irracional }
Sugest ˜ao Resoluc¸ ˜ao
c)
W
3= { (x
1, x
2, x
3, x
4) : x
1+ x
2= 1 }
Averigue se s ˜ao subespac¸os do e.v. Real
R3:
a)H = { (x , y , z ) : x + y = 0 ∧ x − z = 0}
Soluc¸ ˜ao
b)
I = { (x , y , z) : x + y = 1 ∧ x − z = y }
Soluc¸ ˜ao
a)
O eixo x
2em
R.
Soluc¸ ˜ao
b)
Todas as func¸ ˜oes f (x ) tais que lim
x→∞f (x ) = π.
Soluc¸ ˜ao
c)
Todos os x = (x
1, x
2, x
3) em
R3tal que x
1− 2x
2+ x
3= 0.
Soluc¸ ˜ao
d)
Todos os x = (x
1, x
2, x
3) em
R3tal que x
1− 2x
2+ x
3= 2.
Soluc¸ ˜ao
g)
Todos os x ∈
Rntais que
n
X
i=1
x
i2= 1.
Soluc¸ ˜ao
h)
Todas as func¸ ˜oes cont´ınuas tais que
Z 10
e
xf (x )dx = 1.
Soluc¸ ˜ao
i)
Todas as func¸ ˜oes definidas em
Rtais que f (2) = 0.
Soluc¸ ˜ao
Soluc¸ ˜ao
l)
Todas as func¸ ˜oes com um n ´aumero finito de descontinuidades.
Soluc¸ ˜ao
m)
Todos os polin ´omios de grau 10.
Soluc¸ ˜ao
Prove que o conjunto dos poli ´aomios inteiros em x , de grau n ˜ao
superior a 3, de coeficientes reais (com a adic¸ ˜ao ordin ´aaria),
constitui um espac¸o linear sobre o conjunto dos n ´umeros reais.
As func¸ ˜oes trigonom ´etricas de t
1, cos t, sin t , cos 2t, sin 2t, . . . , cos nt, sin nt podem combinar-se na forma:
P(t) = a
0+ a
1cos t + b
1sin t + · · · + a
ncos nt + sin nt
formando um polin ´aomio trigonom ´etrico de grau n. Prove que
o conjunto dos polin ´omios de grau n constitui um espac¸o linear
sent ´aaveis na forma
f (x ) = a + be
x− ce
−xcom a, b e c ∈
Ra)
Mostre que E ´e um espac¸o linear real (a respeito das operac¸ ˜oes usuais).
b)
Quais das func¸ ˜oes:
1, x , shx , e
2x, thx , 1 + 2chx − shx
Averigue se
a)
P = {p(x ) ∈ P
2: p (3) = 0} ´e subespac¸o de P
3.
Resoluc¸ ˜ao
b)
P = {p(x ) ∈ P
2: p ( 0 ) = 1 + p ( 1 ) }
Resoluc¸ ˜ao
Averigue se s ˜ao subespac¸os do e. v. real
Ca)
A = {z ∈
C: Re (z + 1) = 1 ∧ Im (z + i) z ≥ 0}
b)
B =
z ∈
C: z = a cis
π4∧ a ∈
R+Em
R3considere o subconjunto seguinte:
S = { (x , y , z ) : x , y s ˜ao vari ´aaveis reais e k uma constante real }
Que valores pode tomar o par ˆametro k , de modo que S seja um subespac¸o vectorial de
R3?
Soluc¸ ˜ao
Verifique se os n ´umeros complexos z
1= 1 + 2i e z
2= i s ˜ao ou n ˜ao vectores linearmente independentes, quando pertencem ao espac¸o vectorial C:
a)
Definido sobre o corpo
R.
Soluc¸ ˜ao
b)
Definido sobre o corpo
C.
Soluc¸ ˜ao
Determine a e b de modo a que os vectores f
1= (3, −2, −1, 3), f
2= (1, 0, 2, 4) e f
3= (1, −3, a, b) sejam linearmente indepen- dentes.
Sugest ˜ao
Indique a condic¸ ˜ao a que deve ser verificada por λ para que os vectores (1, 0, 1) , (0, λ, 0) e (1, 0, λ) constituam uma base de
R3. Indique que condic¸ ˜oes deve satisfazer λ de modo a que os tr ˆes vectores gerem um subespac¸o de dimens ˜ao 2. E de dimens ˜ao 1 ? ´e poss´ıvel ?
Soluc¸ ˜ao
Mostre que os n ´umeros complexos u = 5 + 2i e v = 3 − i geram
o corpo complexo
Ccomo espac¸o vectorial real.
Mostre que s ˜ao linearmente independentes os vectores b
1= a
11a
1b
2= a
21a
1+ a
22a
2b
3= a
31a
1+ a
32a
2+ a
33a
3· · · ·
b
n= a
n1a
n1+ a
n2a
2+ · · · + a
nna
nem que todos os a
ii6= 0 e os a
is ˜ao linearmente independentes.
Verifique se o vector g = (2, 14, −34, 7) pertence ao subespac¸o gerado por g
1= (1, 4, −5, 2) e g
2= (1, 2, 3, 1).
Soluc¸ ˜ao
Considere os seguintes vectores de
R: a = (1, 0, 1) e b = (−1, 0, 0).
a)
Verifique que eles s ˜ao linearmente independentes.
Resoluc¸ ˜ao
b)
Caracterize o subespac¸o de
R3por eles gerado. Qual a dimens ˜ao deste subespac¸o ?
Resoluc¸ ˜ao
c)
Determine um terceiro vector que constitua com estes dois,
uma base de
R3.
(1, −3, 0), u
3= (−1, −7, 2) u
4= (−3, −1, 5).
a)
Verifique se u
3´e combinc¸ ˜ao linear de u
1e u
2.
Resoluc¸ ˜ao
b)
Verifique se u
4´e combinc¸ ˜ao linear de u
1e u
2.
Resoluc¸ ˜ao
c)
Caracterize o subespac¸o S gerado por u
1e u
2e diga, justi-
ficando, se os vectores u e u pertencem a S.
Sejam M e N subespac¸os de V . Definam-se
Uni ˜ao M ∪ N = {x : x ∈ M ou x ∈ N}
Intersecc¸ ˜ao M ∩ N = {x : x ∈ M e x ∈ N}
Soma M + N = {x + y : x ∈ M, y ∈ N}
Em cada caso, mostre que o conjunto indicado ´e um subespac¸o,
ou d ˆe um contra-exemplo de que n ˜ao o ´e.
Considere os seguintes subespac¸os de um e.v. E:
V
1subespac¸o gerado por x
1, x
2, . . . , x
nV
2subespac¸o gerado por x
1, x
2, . . . , x
n, y
V
3subespac¸o gerado por x
1, x
2, . . . , x
n, z
a)Qual a relacc¸ ˜ao entre os espac¸os ?
Prove que a intersecc¸ ˜ao de dois subespac¸os de um e.v. E ´e
ainda um subespac¸o de E.
Mostre, atrav ´es dois exemplos, que nem sempre a reuni ˜ao de
dois subespac¸os de um e.v. E ´e um subespac¸o de E.
Em
R3, considere os subespac¸os A e B gerados, respectiva- mente, por
{(1, 2, −1) , (2, −3, 2)}
e
{(4, 1, 3) , (−3, 1, 2)} .
Com v = (a, b, c), determine a relc¸ ˜ao que deve existir entre a, b e c para que v ∈ A ∩ B.
Sugest ˜ao
No espac¸o vectorial F (
R,
R) das func¸ ˜oes reais de vari ´avel real, verifique que s ˜ao l.d. os seguintes vectores
f
1(x ) = cos (2x ) cos x , e f
2(x) = sen (2x ) senx e
f
3(x ) = cos x .
Dados os vectores u = (1, 1, 0, m) , v = (3, −1, n, −1) , w = (−3, 5, m, −4), determine os valores de m e n para os quais os vectores dados sejam linearmente independentes.
Sugest ˜ao
Sejam a, b e c n ´umeros reais quaisquer. Demonstre que os vectores (1, a, b) , (0, 1, c) e (0, 0, 1) de
R3formam uma base desse espac¸o.
Sugest ˜ao
ax + bx + cx + d com a 6= 0.
a)
Demonstre que {p (x ) , p0 (x ) , p00 (x ) , p000 (x )} constitui uma base de P
3.
b)
Considerando p(x ) = 5x
3+ 3x
2− 2x + 1, determine as coordenadas do vector q(x ) = −x
3+ 3x
2− 5x + 2 na base dada.
c)
Em P
2, considere o subespac¸o M gerado por
Seja e
k= t
k, k = 0, 1, 2 e seja f
0= 1 + t
2, f
1= t − t
2, f
3=
1 − 2t + t
2. Encontre a matriz de mudanc¸a. base e
kpara a base
f
ke vice-versa.
Seja V = P
ne considere a base β =
n
(t − a)
k: k = 0, 1, 2, . . . , n
oMostre que as coordenadas c
kde p(t) em relac¸ ˜ao a β s ˜ao:
c
k= p
(k)(a)
k! , k = 0, 1, 2, . . . , n.
Sejam β = {t
k}
nk=0e γ =
n(t − 1)
konk=0
. Determine a matriz P
mudanc¸a. base β para a base γ. Determine ainda a matriz P
−1mudanc¸a. base γ para a base β.
Em
R4considere os seguintes subespac¸os V
1subespac¸o gerado por (1, 2, 0, 1).
V
2=
(x , y , z, t) ∈ R
4: x − y + z + t = 0 ∧ y − z = 0
V3=(x1,x2,x3,x4)∈R4: x1=λ ∧ x2=λ+µ ∧ x3=ρ∧ x4= µ,(λ, µ, ρ∈R)}
O vector v = (2, 4, 0, 2) pertence a V
1? E a V
2? E a V
3? E a V
2TV
3? Nos casos afirmativos, escreva v numa base dos subespac¸ os a que pertence.
Sugest ˜ao
a)
Verifique se os elementos 1, x − 2x
2, x
2+ x
3, x + 2x
3s ˜ao linearmente independentes.
b)
Escreva as coordenadas de 2 − 3x
3numa base de P
3.
c)Mostre que os polin ´omios de P
3que se anulam para x = 2
u = e
1, v = 2e
1− 4e
3, w = 5e
1, t = 3e
1− 2e
2a)
Justifique a afirmac¸ ˜ao: ” O conjunto {u, v , w , t} n ˜ao consti- tui uma base de E.”
Resoluc¸ ˜ao
b)
Escolha convenientemente um subconjunto de {u, v , w, t}
que seja uma base de E .
c)
As coordenadas do vector a na base dada s ˜a o (4, 2, 1).
Escreva o mesmo vector na base que escolheu em b).
d)
Sendo (1, 3, 5) as coordenadas de um vector na base es-
B = {e
1, e
2, e
3}.
a)
Verifique que B
0= {u
1, u
2, u
3} ´e ainda uma base de R
3, com
u
1= 3e
1+2e
2− e
3; u
2= 4e
1+e
2+e
3; u
3= 2e
1− e
2+e
3 b)Determine as coordenadas de x na base B
0.
Considere
V
1= a b
2a + b −b
∈ M
2(R ) : a, b ∈
RV
2= a b c d
∈ M
2(R ) : a + b + c + d = 0 ∧ 2a − c − d = 0
a)
Prove que V
1, V
2e V
1∩ V
2s ˜ao subespac¸os de M
2(R).
b)
Determine para que valores de α se tem :
2α 6α
−2α 18
∈ V
1∩ V
2
2α −6α
−2α 18
∈ V
1∩ V
2c)
Obtenha uma base e a dimens ˜ao de V
1, V
2e V
1∩ V
2.
Diga justificando se as seguintes afirmac¸ ˜oes s ˜ao verdadeiras ou falsas,
a)
t
2∈ h(t + 1)
2, 1 + 2t
2, 1 + 2t + 3t
2i
b)t + t
2∈ h(t + 1)
2, (t + 1)(t + 2), t
1− 1i
c)t
3∈ h1, t, t(t − 1), t(t − 1)(t − 2)i.
Verifique se:
a)
O conjunto das matrizes sim ´etricas de M
n´e um subespac¸o de M
n.
b)
O conjunto das matrizes A de M
n, que verificam tr (A) ≡
Pni=1
a
ij= 0 ´e um subespac¸o de M
n.
Considere os seguintes vectores de
R3:
u = (1, 2, 3) v = (−3, 0, 4) , z = (0, 0, 1) e w =
1 + a 2 , 2, 3
Determine o valor deve tomar a, de modo que:
a)
h u, v , w, z i =
R3b)
h v , w , z i =
R3B =
1, x − 1, x
2− 2x , 1 + x
3. C =
1, x , x
2, x
2+ x
3, x
3.
a)Verifique se B ´e uma base de P
3.
b)
Prove que os elementos de C s ˜ao linearmente depen-
dentes. C ´e uma base de P
3?
V =
n(x
1, x
2, x
3, x
4) ∈
R4: x
1+ 2x
2+ 3x
3= 0 ∧ x
1− 2x
4= 0∧
2x
2+ 3x
3+ 2x
4= 0}
a)
Verifique que V ´e um subespac¸o vectorial de R
4.
b)Determine a sua dimens ˜ao.
W
1´e um subespac¸o vectorial de
R4[com as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao de vectores e multiplicac¸ ˜ao por um escalar (n ´umero real) defin´ıdos de forma usual] sse W
16= ∅ [Por vezes esta hip ´otese/condic¸ ˜ao j ´a vem incluida]
i)
∀u, v ∈ W
1⇒ u + v ∈ W
1(para quaisquer dois vectores u e v pertencentes a W
1, a sua soma ainda ´e um elemento de W
1).
∀α ∈ ∈ ⇒ ∈
Estas duas condic¸ ˜oes podem-se juntar (alguns crit ´erios utizam s condic¸ ˜ao)
iii)
∀α, β ∈
R, ∀u, v ∈ W
1⇒ αu + βv ∈ W
1.
Voltar para a Quest ˜ao 3
W
1´e um subespac¸o vectorial de
R4[com as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao de vectores e multiplicac¸ ˜ao por um escalar (n ´umero real) defin´ıdos de forma usual] sse W
16= ∅ [Por vezes esta hip ´otese/condic¸ ˜ao j ´a vem incluida]
i)
∀u, v ∈ W
1⇒ u + v ∈ W
1(para quaisquer dois vectores u e v pertencentes a W
1, a sua soma ainda ´e um elemento de W
1).
∀α ∈ ∈ ⇒ ∈
Estas duas condic¸ ˜oes podem-se juntar (alguns crit ´erios utizam s condic¸ ˜ao)
iii)
∀α, β ∈
R, ∀u, v ∈ W
1⇒ αu + βv ∈ W
1.
Voltar para a Quest ˜ao 3
W
1´e um subespac¸o vectorial de
R4[com as operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao de vectores e multiplicac¸ ˜ao por um escalar (n ´umero real) defin´ıdos de forma usual] sse W
16= ∅ [Por vezes esta hip ´otese/condic¸ ˜ao j ´a vem incluida]
i)
∀u, v ∈ W
1⇒ u + v ∈ W
1(para quaisquer dois vectores u e v pertencentes a W
1, a sua soma ainda ´e um elemento de W
1).
∀α ∈ ∈ ⇒ ∈
Estas duas condic¸ ˜oes podem-se juntar (alguns crit ´erios utizam s condic¸ ˜ao)
iii)
∀α, β ∈
R, ∀u, v ∈ W
1⇒ αu + βv ∈ W
1.
Voltar para a Quest ˜ao 3
w
1ent ˜ao:
u = (u
1, u
2, u
3, u
4) ∈ w
1sse
u
1= 0
(o primeiro componente ´e zero) u
2+ u
3= 0
(a 2
ae a 3
as ˜ao sim ´etricas) v = (v
1, v
2, v
3, v
4) ∈ w
1se e somente se
v
1= 0
v
2+ v
3= 0
Temos ent ˜ao:
u + v = (u
1, u
2, u
3, u
4) + (v
1, v
2, v
3, v
4)
= (u
1+ v
1, u
2+ v
2, u
3+ v
3, u
4+ v
4)
O vector u + v = (u
1+ v
1, u
2+ v
2, u
3+ v
3, u
4+ v
4) ∈ w
1se e somente se:
u
1+ v
1= 0
[a primeira componente ´e nula]
(u
2+ v
2) + (u
3+ v
3) = 0
u
1+ v
1= 0 + 0 = 0 u, v ∈ w
1temos que mostrar
(u
2+ v
2) + (u
3+ v
3) = 0
Mas
provar que αu ∈ w
1. Se u ∈ w
1ent ˜ao u = (u
1, u
2, u
3, u
4)
onde
u
1= 0 u
2+ u
3= 0
e αu = α(u
1, u
2, u
3, u
4) = (αu
1, αu
2, αu
3, αu
4).
O vector αu = (αu
1, αu
2, αu
3, αu
4) pertence a w
1sse
αu
1= 0
αu
2+ αu
3= 0
Mas ´e facil verificar/mostrar que αu
1= 0, pois se u ∈ w
1ent ˜ao u = 0 e portanto
Do mesmo modo temos
αu
2+ αu
3= α(u
2+ u
3).
Mas u
2+ u
3= 0 pois u ∈ w
1. Assim,
αu
2+ αu
3= α(u
2+ u
3) = α0 = 0, ∀α ∈
R.
Logo, w ´e um subespac¸o vectorial de
4.
w
2= {(x
1, x
2, x
3, x
4) ∈
R4: x
1´e irracional}
Sejam
u = (
√
2, 0, 0, 3) ∈ w
1v = (1 − √
2, 0, 0, π) ∈ w
2Ent ˜ao
u + v = (
√
2, 0, 0, 3) + (1 − √
2, 0, 0, π)
= (1, 0, 0, 3 + π) 6∈ w
2!
e fazendo α = √
2, temos
α ∈
Ru = (
√
2, 0, 0, 3) ∈ w
2→ αu =
√ 2( √
2, 0, 0, 3)
= (2, 0, 0, 3 √
2) ∈ w
2pois ”2”n ˜ao ´e um n ´umero irracional.
Voltar para a Quest ˜ao 3
w
3= {(x
1, x
2, x
3, x
4) ∈
R: x
1+ x
2= 1}
Sejam
u = (1, 0, 3, √
5) ∈ w
3pois 1 + 0 = 1 v = (0, 1, 2, −1) ∈ w
3pois 0 + 1 = 1 Mas
u + v = (1, 0, 3, √
5) + (0, 1, 2, −1)
= (1, 1, 5, √
5 − 1) 6∈ w
3i)
Sejam u, v ∈ w
3. Ent ˜ao
u = (u
1, u
2, u
3, u
4) e u
1+ u
2= 1
v = (v
1, v
2, v
3, v
4) e v
1+ v
2= 1
O vector u + v pertence a w
3sse
(u
1+ v
1) + (u
2+ v
2) = 1 Mas,
(u
1+ v
1) + (u
2+ v
2) = (u
1+ u
2) + (v
1+ v
2)
= 1 + 1 = 2 6= 1!
Logo u + v 6∈ w
3ii)
Sejam α ∈
Re u ∈ w
3.
Ent ˜ao u = (u
1, u
2, u
3, u
4) onde (u
1+ u
2) = 1.
O vector αu ´e
αu = α(u
1, u
2, u
3, u
4) = (αu
1, αu
2, αu
3, αu
4) ∈ w
3sse αu
1+ αu
2= 1, ∀α ∈
R.
Mas,
αu
1+ αu
2= α(u
1+ u
2) = α1 = α
Logo, se α 6= 1, αu 6∈ w
3. Como a condic¸ ˜ao tem que ser v ´alida para todo o α, real, w
3n ˜ao ´e um subespac¸o vectorial de
R4.
Voltar para a Quest ˜ao 3
Sim.
Voltar para a Quest ˜ao 4
N ˜ao. A condic¸ ˜ao x + y = 1 n ˜ao ´e homog ´enea.
Voltar para a Quest ˜ao 4
Sim.
Voltar para a Quest ˜ao 5
N ˜ao.
Voltar para a Quest ˜ao 5
Sim.
Voltar para a Quest ˜ao 5
N ˜ao.
Voltar para a Quest ˜ao 5
Sim.
Voltar para a Quest ˜ao 5
Sim. Trac¸o de uma matriz.
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N ˜ao. (x
2+ y
2= 1).
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N ˜ao.
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Sim.
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Sim.
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Sim.
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Sim.
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N ˜ao. Falta p(x ) ≡ 0!
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Sim.
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P = {p(x ) ∈ P
2: p (3) = 0}
Se p(3) = 0 ent ˜ao p(x) = (x − 3)(ax + b) | q(x) = (x − 3)(x + d) p(x ) + q(x) = (x − 3) [(ax + b) + (x + d )]
αp(x ) = α(x − 3)(ax + b) e αp(3) = α(3 − 3)(ax + b) = 0!
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P = {p(x ) ∈ P
2: p ( 0 ) = 1 + p ( 1 ) } p(x ) = ax
2+ bx + c p(0) = c
p(1) = a + b + c
p(0) = 1 + p(1) ⇔ c = a + b + c + 1 N ˜ao ´e um subespac¸o.
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k = 0.
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Sim.
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N ˜ao.
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E necess ´ario garantir que: ´
Car
1 0 2 4
3 −2 −1 3
1 −3 a b
= 3
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1 0 1 0 λ 0 1 0 λ
→
1 0 1
0 λ 0
0 0 λ − 1
CarA = 3 sse λ 6= 0 ∧ λ 6= 1 ⇒
⇒ dim h(1, 0, 1), (0, λ, 0), (1, 0, λ)i =
R3CarA = 2 sse λ = 0 ∨ λ = 1 ⇒
⇒ dim h(1, 0, 1), (0, λ, 0), (1, 0, λ)i = 2
E necess ´ario calcular: ´ Car
1 4 −5 2
1 2 3 1
2 14 −34 7
→ CarA = 3, g 6∈ h(g
1, g
2)i CarA = 2, g ∈ h(g
1, g
2)i
Voltar para a Quest ˜ao 17
α(1, 0, 1) + β (−1, 0, 0) = (0, 0, 0) ⇔
⇔ (α, 0, α) + (−β, 0, 0) = (0, 0, 0)
⇔ (α − β, 0, α) = (0, 0, 0)
⇔
α − β = 0
0 = 0
α = 0
⇔
β = 0
0 = 0
α = 0
Seja:
A =
1 0 1
−1 0 0
Ent ˜ao:
1 0 1
−1 0 0
→
1 0 1 0 0 1
→
CarA = 2 ⇒ as filas de A s ˜ao independentes ⇒ os valores s ˜ao linearmente inde- pendentes.
Voltar para a Quest ˜ao 18
S = (x , y , z ) ∈
R: (x , y , z ) = α(1, 0, 1) + β(−1, 0, 0), α, β ∈
R(x , y , z) = α(1, 0, 1) + β(−1, 0, 0)
= (α, 0, α) + (−β, 0, 0)
= (α − β, 0, α)
α − β = x
0 = y
1 −1 | x
0 0 | y
→
terminado, isto ´e, deve ter uma ´unica soluc¸ ˜ao.
Assim, o sistema ´e poss´ıvel e determinado quando y = 0.
Neste caso CarA = Car [A|B] = 2 = n ´umero de inc ´ognitas.
Portanto o vector (x , y , z) ∈ S sse y = 0.
Ent ˜ao:
S =
n(x , y , z ) ∈
R3: (x , y , z ) = α(1, 0, 1) + β(−1, 0, 0), α, β ∈
R o=
n(x , y , z ) ∈
R3: y = 0
onula, isto ´e, y 6= 0.
Se y = 0, ent ˜ao, ´e poss´ıvel encontrar α e β tais que (x , y , z) = α(1, 0, 1) + β(−1, 0, 0).
Se y 6= 0, entre temos tr ˆes vectores linearmente independentes num espac¸o de dimens ˜ao 3 (dim
R3= 3). Consequentemente, temos uma base de
R3.
Podemos considerar o vector (1, 2, 3).
O vector u
3´e combinac¸ ˜ao linear dos vectores u
1e u
2se existem escalares α, β ∈
Rtais que:
u
3= αu
1+ βu
2= α(−2, 1, 1) + β(1, −3, 0), α, β ∈
RSe u
3´e a combinac¸ ˜ao linear dos vectores u
1e u
2ent ˜ao o sis- tema admite uma soluc¸ ˜ao, isto ´e, deve ser poss´ıvel:
(−1, −7, 2) = α(−2, 1, 1) + β(1, −3, 0)
(−2α, α, α) + (β, −3β,
α = 2
α = 2
α = 2 O sistema admite uma s ´o soluc¸ ˜ao α = 2, β = 3. Consequente- mente, u
3´e combinac¸ ˜ao linear de u
1e u
2.
OU
Seja
1 −3 0
−2 1 1
Se CarA = 2 u
3´e combinac¸ ˜ao linear de u
1e u
2.
Se CarA = 3 u
3n ˜ao ´e combinac¸ ˜ao lin-
(−3, −1, 5) = α(−2, 1, 1) + β(1, −3, 0)
= (−2α + β, α − 3β, α)
−2α + β = −3
α − 3β = −1
α = 5
⇔
−10 + β = −3 5 − 3β = −1
α = 5
⇔
β = 7
β = 2
α = 5
O sistema ´e imposs´ıvel (obtivemos 2 valores para β!)
−2 1 | −3
1 −3 | −1
⇔
1 −3 | −1
−2 1 | −3
⇔
1
0 −5 | −5
0 3 | 6
⇔
1
0 1 | 1
0 1 | 2
⇔
1 −3 | −1
0 1 | 1
0 0 | 1
Se CarA = 2 < 3 = Car [A|B]
Sistema imposs´ıvel.
Logo u
4n ˜ao ´e uma combinac¸ ˜ao linear de u
1e u
2.
n
(x , y , z) ∈
R3: (x , y , z) = α(−2, 1, 1) + β(1, −3, 0), α, β ∈
R o(x , y , z) = α(−2, 1, 1) + β(1, −3, 0)
= (−2α + β, α − 3β, α)
−2α + β = x
α − 3β = y
α = z
−2 1 | x
1 −3 | y
0 3 | z − y 0 15 | 5z − 5y
1 −3 | y
0 −15 | 3x − 6y 0 0 | 3x + y + 5z
Logo, o sistema ´e poss´ıvel (e determinado) quando
3x + y + 5z = 0.
3x + y + 5z = 0 u
3= (−1, −7, 2) 3 · (−1) + (−7) + 5 · 2 = −3 − 7 + 10 = 0.
u
3∈ hu
1, u
2i
3 · (−3) + (−1) + 5 · 5 = 15 6= 0. Logo u
46∈ hu
1, u
2i .
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Igual a 19 - c.
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Seja
A =
1 1 0 m
3 −1 n −1
−3 5 m −5
´e necess ´ario garantir que CarA = 3!
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Basta mostrar que Car
1 a b 0 1 c 0 0 1
= 3 ∀a, b, c
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Basta mostrar que Car
1 a b 0 1 c 0 0 1
= 3 ∀a, b, c
Voltar para a Quest ˜ao 27
Igual a 19 a), b)
Voltar para a Quest ˜ao 32
i)
O espac¸o vectorial E tem dimens ˜ao 3. Consequentemente qualquer conjunto que tenha mais de 3 vectores ´e um con- junto linearmente dependente. O conjunto {u, v , w , t} tem 4 elementos, logo, ´e um conjunto linearmente dependente.
ii)
