IFMG-Formiga
Lógica para
Ciência da Computação
Profª. Danielle Costa
Capítulo 2
Propriedades semânticas básicas
Uma fórmula H é uma
tautologia
(ou
é válida) se e somente se para toda
interpretação I, I[H]=T
H é
factível
ou satisfazível
se e
somente se existe pelo menos uma
interpretação I tal que I[H]=T
Propriedades semânticas básicas
(cont.)
Dadas 2 fórmulas H e G,
H
G
se e
somente se para toda interpretação I,
se
I[H]=T
então
I[G]=T
Dadas H e G,
H
↔
↔
↔
↔
G se e somente se
Propriedades semânticas básicas
(cont.)
Um conjunto de fórmulas β={H1,H2,...Hn} é
consistente se e somente se existe uma interpretação I tal que I[H1]= I[H2]= ... =
I[Hn]= T. Neste caso, diz-se que I satisfaz o
conjunto de fórmulas
.
H1 H2 H1 or H2
T T T
T F T
F T T
Exemplo de Tautologia
A fórmula
H=Pv¬
¬
¬
¬P
é uma tautologia?
Sim, pois toda I[H]=T. Demonstração:
I[H]=T I[Pv¬P]=T
I[P]=T e/ou I[¬P]=T I[P]=T e/ou I[P]=F
( aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”)
Exemplo de Satisfatibilidade
A fórmula
H=(PvQ
) é satisfazível, pois
há interpretações que a interpretam
como verdadeira.
Exemplo de Contradição
A fórmula H=(P^¬P) é contraditória
Suponham (por absurdo) que exista I[H]=T
I[H]=T I[P^¬P]=T
I[P]=T e I[¬P]=T I[P]=T e I[P]=F
Como I é uma função binária, ocorre apenas um dos valores, i.e. I[P]=T ou I[P]=F. Então
Exercícios
Quais das fórmulas abaixo são válidas,
satisfazíveis ou contraditórias?
H1=(P1^P2^Q)
Q
H2=(P1^P2^Q)
¬
Q
Relações entre as Propriedades
Semânticas
Validade e factibilidade
H é válida ¬H é contraditória
Demonstração: F é válida
∀I para H, I[H]=T
∀I para not H, I[not H]=F not H é contraditória
H é válida H é factível
Demonstração: H é válida
∀I para H, I[H]=T
∃I para H, I[H]=T H é factível
¬H não é satisfazível ¬H é contraditória
Demonstração: Trivial
Relações entre as Propriedades
Semânticas (cont.)
Dadas 2 fórmulas H e G,
H implica G (H G) é tautologia
H equivale a G (H ↔↔↔↔ G) é tautologia
Provar que (H G) e (G H)
Relações entre as Propriedades
Semânticas (cont.)
Satisfabilidade e factibilidade
Seja {H1,H2,...Hn} um conjunto de fórmulas
Equivalência
Temos que demonstrar que, para toda
interpretação I, I[H]=I[G]
Lei de Morgan
Esta lei define uma regra para o
conectivo not em uma conjunção ou disjunção. O conectivo ^ se transforma em v e o conectivo v em ^ .
Condicional
(A (B C)) equivale a ((A^B) C) Olhar tabelas verdade
Existem 3 proposições compostas relacionadas com a proposição
condicional que são, sob o ponto de vista lógico, importantes. São elas:
Oposta de p q: q p
Contrapositiva de p q: ¬q ¬p
Equivalências Notáveis
Uma fórmula ou parte dela pode ser
substituída por outra equivalente.
Equivalências Notáveis
Condicional P → Q ⇔ (~P) ∨ Q P → Q ⇔ ~(P ∧ (~Q))
Dupla Negação ~(~P) ⇔ P
Comutativa P ∧ Q ⇔ Q ∧ P P ∨ Q ⇔ Q ∨ P
Associativa (P ∧ Q) ∧ R ⇔ P ∧(Q ∧ R) (P ∨ Q) ∨ R ⇔ P ∨ (Q ∨ R)
Distributiva P ∧(Q ∨R) ⇔ (P ∧Q) ∨(P ∧R) P ∨(Q ∧R) ⇔ (P ∨Q) ∧(P ∨R)
Idempotência P ∨ P ⇔ P P ∧ P ⇔ P
Absorção (P ∨ (P ∧ Q)) ⇔ P (P ∧ (P ∨ Q)) ⇔ P
De Morgan ~(P ∧ Q) ⇔((~P) ∨ (~Q)) ~(P∨Q)⇔((~P)∧(~Q))
Equivalências Notáveis
~( p ∧ q ∧ p ) ⇔ ~q ∨ ~p ~( p ∧ q ∧ p ) ⇔
~(p ∧ ( q ∧ p) ) (associativa) ~(p ∧ p ∧ q ) (comutativa)
