Matemática. Exercícios: Função Quadrática. Exercícios. 1. (Unicamp 2019) Sejam a e b números reais positivos. Considere a função quadrática ( )

Exercícios: Função Quadrática

Exercícios

1.

(Unicamp – 2019) Sejam a e b números reais positivos. Considere a função quadrática

(

)

( )

f x

=

x ax b

+

_{, definida para todo número real x. No plano cartesiano, qual figura corresponde ao}

gráfico de

y

=

f x

( )

?

a)

b)

c)

2.

(FGV RJ – 2017) João colocou para carregar seu celular que estava completamente descarregado e, em seguida, anotou diversas vezes o tempo decorrido de carregamento, em minutos, e a porcentagem correspondente da carga total que estava acumulada naquele instante. O tempo até o final do carregamento durou exatamente duas horas. João representou suas observações como pontos no plano cartesiano, onde, no eixo horizontal, assinalou o tempo decorrido após o início do carregamento e, no vertical, a correspondente carga acumulada. Esses pontos sugeriram que uma boa aproximação para a relação entre essas duas grandezas era o arco da parábola de eixo r representado no gráfico abaixo:

a) Determine a expressão da função que fornece, para cada valor x do tempo de carregamento (em

minutos), a porcentagem y da carga total acumulada até aquele instante.

b) Determine a porcentagem da carga total acumulada após 1 hora de carregamento.

3.

(Fuvest - 2021) Se 𝑓: 𝑅 → 𝑅 e 𝑔: 𝑅 → 𝑅 são funções dadas por f(x) = c + x², onde 𝑐 ∈ 𝑅, e g(x) = x, seus gráficos se instersextam quando, e somente quando,

a) 𝑐 ≤1 4 b) 𝑐 ≥1₄ c) 𝑐 ≤1₂ d) 𝑐 ≥1₂ e) 𝑐 ≤ 1

Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os pesquisadores querem saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado. Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a

a) 4. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10

5.

(Uel – 2020) Analise a figura a seguir:

Utilizando duas retas graduadas e perpendiculares, um estudioso caracteriza cada ponto da obra de Johannes Vermeer, como um par ordenado no plano cartesiano, de forma que um ponto no brinco de pérola esteja associado à origem (0,0). De acordo com a associação feita, o estudioso constata que os pontos de coordenadas (-10,0) e (-8,8) se localizam, respectivamente, na boca e no olho retratados. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, uma propriedade da parábola que passa pelos três pares ordenados presentes no texto.

a) Tem por equação 𝑦 + 𝑥2_{+ 5𝑥 = 0} b) Tem concavidade voltada para cima.

c) Tem por vértice um ponto na região do ombro retratado. d) Tem por equação 2𝑦 + 𝑥2_{+ 10𝑥 = 0}

6.

(UERJ – 2020) Uma ponte com a forma de um arco de parábola foi construída para servir de travessia sobre um rio. O esquema abaixo representa essa ponte em um sistema de coordenadas cartesianas xy. Nele, os pontos A, B e C correspondem, respectivamente, à margem esquerda, à margem direita e ao ponto mais alto da ponte.

A distância dos pontos A, B e C até a superfície do rio são iguais, respectivamente, a 0,5 m, 1,5 m e 2,3m.

Sabendo que o ponto C tem, nesse sistema, abscissa igual a 6 m, calcule, em metros, a largura do rio.

7.

(UEM – 2013) Sejam f e g funções quadráticas definidas por:

f x

( )

=

5

x x

−

2 e

2

( )

11

10

g x

= − +

x

x

−

_{. Assinale o que for correto.}

(01) As raízes positivas de

f x =

( )

0

e

g x =

( )

0

, ordenadas de modo crescente, formam uma progressão geométrica.

(02) Existe um único real x tal que

f x

( )

=

g x

( )

.

(04) O máximo da função f ocorre em

5

2

x =

.

(08) O valor máximo de

f x

( )

+

g x

( )

é 22.

(16) A função h definida por

h x

( )

=

f x

( )

−

g x

( )

também é uma função quadrática.

8.

(Unesp – 2021) O dono de uma empresa dispunha de recurso para equipá-la com novos maquinários e empregados, de modo a aumentar a produção horária de até 30 itens. Antes de realizar o investimento, optou por contratar uma equipe de consultoria para analisar os efeitos da variação v da produção horária dos itens no custo C do produto. Perante as condições estabelecidas, o estudo realizado por essa equipe obteve a seguinte função:

𝐶(𝑣) = −0,01𝑣2_{+ 0,3𝑣 + 50, 𝑐𝑜𝑚 − 10 ≤ 𝑣 ≤ 30}

A equipe de consultoria sugeriu, então, uma redução na produção horária de 10 itens, o que permitiria enxugar o quadro de funcionários, reduzindo o custo, sem a necessidade de investir novos recursos. O dono da empresa optou por não seguir a decisão e questionou qual seria o aumento necessário na produção horária para que o custo do produto ficasse igual ao obtido com a redução da produção horária proposta pela consultoria, mediante os recursos disponibilizados.

De acordo com a função obtida, a equipe de consultoria deve informar que, nesse caso,

a) é impossível igualar o custo da redução proposta, pois os recursos disponíveis são insuficientes,

uma vez que essa igualdade exigiria um aumento na produção horária de 50 itens.

b) é possível igualar o custo da redução proposta, uma vez que essa igualdade exigiria um aumento

na produção horária de 15 itens, o que está dentro dos recursos disponíveis.

c) é possível igualar o custo da redução proposta, uma vez que essa igualdade exigiria um aumento

na produção horária de 20 itens, o que está dentro dos recursos disponíveis.

d) é impossível igualar o custo da redução proposta, pois os recursos disponíveis são insuficientes,

uma vez que essa igualdade exigiria um aumento na produção horária de 40 itens.

e) é possível igualar o custo da redução proposta, desde que sejam empregados todos os recursos

Gabarito

1. B

Reescrevendo a lei de f, temos f(x) = a(x – 0) (x + 𝑏

𝑎).

Sendo a e b reais positivos, podemos concluir que o gráfico de f tem concavidade para cima e intersecta o eixo das abscissas em x = 0 e x = - 𝑏

𝑎< 0. 2. a) No vértice ⇨ Raízes ⇨ 100 = 120a . (120 – 240) ⇨ a = - 1 144 y = -𝑥 144. (x – 240) para 0 ≤ x ≤ 120 b) Calculando: y = 60 144

.

(60 – 240) ⇨ y = 75% 3. A Ponto f(x) = g(x), temos 𝑐 + 𝑥2_{= 𝑥 ⇔ 𝑥}2_{− 𝑥 + 𝑐 = 0 ⇔ (𝑥 −}1 2) 2 =1 4− 𝑐

Os gráficos de f e de g se intersectam se, e somente se, a equação acima possuir raízes reais. Logo, sabendo que (𝑥 −1₂)2≥ 0 para todo x real, devemos ter 1₄− 𝑐 ≥ 0, ou seja, 𝑐 ≤1₄.

4. B

Seja Q(t) =at2 _{+ bt + c a função quadrática cujos coeficientes queremos determinar. Sabendo que Q(0) =}

1, vem c = 1. Ademais, tomando Q(1) =4 e Q(2) = 6 encontramos

{𝑎 ⋅ 12_{+ 𝑏 ⋅ 1 + 1 = 4 𝑎 ⋅ 2}2_{+ 𝑏 ⋅ 2 + 1 = 6 → {𝑎 + 𝑏 = 3 4𝑎 + 2𝑏 = 5 → {𝑎 = −}1 2 𝑏 = 7 2 A resposta é 𝑄(3) = −1 2⋅ 3 2₊7 2⋅ 3 + 1 = 7 5. D

A equação da parábola que passa pelos pontos (0,0), (-10,0) e (-8,8) é dada por: 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 0)(𝑥 − (−10))

x = 0

𝑦 = 𝑎𝑥(𝑎 + 10)

Como (-8,8) é um ponto da parábola,

8 = 𝑎(−8)(−8 + 10) 8 = −16ª 𝑎 = −1 2 Daí, 𝑦 = −1 2𝑥(𝑥 + 10) 2𝑦 = −𝑥² − 10𝑥 2𝑦 + 𝑥² + 10𝑥 = 0

6. Utilizando a forma canônica da função quadrática podemos determinar a lei da formação da parábola:

y = a . (x – xV)2 + yV

y = a . (x – 6)2 _{+ 1,8}

Como o gráfico passa por (0,0), temos: 0 = a . (x - 6)2 _{+ 1,8 ⇨ a = -} 1

20 Logo: y = - 1

20 . (d – 6)

2 _{+ 1,8 ⇨ (d – 6)}2 _{= 16 ⇨ d – 6 = ± 4 ⇨ d = 10 ou d = 4.}

Como d > 6 , a largura do rio será d = 10m.

7. 02+ 04 + 08 = 14

Incorreto. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o domínio, o

contradomínio e a lei de associação, iremos supor que o domínio de f e de g seja o conjunto dos números reias. Como f(x) = -x(x -5) e g(x) = -(x – 1)(x - 10), segue-se que os zeros positivos de f e de g, escritos em ordem crescente, são: 1,5 e 10. Mas, 5

1 ≠ 10

5 e, portanto, os zeros positivos de f e g, escritos em ordem crescente, não constituem uma progressão geométrica.

(02) Correto. Se f(x) = g(x), então 5x – x2 _{= -x}2 _{+ 11x – 10 ⬄ 6x = 10 ⬄ x =} 5

3

(04) Correto. Como a = -1 e os zeros de f são 0 e 5, segue que f tem um máximo em x = 0+ 5

2 =

5 2

(08) Correto. Escrevendo a função f + g na forma canônica, encontramos1:

f(x) + g(x) = 5x – x2 _{– x}2 _{+ 11x -10}

= -2x2 _{+ 16x -10}

= 22 – 2(x – 4)2

Logo, segue que f + g tem máximo igual a 22, para x = 4.

(16) Incorreto. A lei de associação da função h é dada por h(x) = 5x - x2 _{- (-x}2 _{+ 11x – 10) = 6x + 10, ou}

seja, é uma função afim.

8. D

Proposta do empresário, obter este mesmo custo 46, porém com um v que seja positivo. Para encontrar este valor, vamos fazer C(v) = 46 e resolver a equação do segundo grau.

C(v) = 46 = - 0,01 v² + 0,3 v + 50

-0,01 v² + 0,3 v + 4 = 0 (multiplicamos tudo por 100) -v² + 30 v + 400 = 0

Resolveremos esta equação do segundo grau pelo método de Bhaskara. Δ = b² - 4ac = 900 - 4 (-1) (400) = 900 + 1600 = 2500

√Δ = 50

v = (-b ± √Δ) / 2a v1 = (-30 + 50)/-2 = -10 v2 = (-30 - 50)/-2 = + 40

Repare que v= + 40 está fora do domínio da função C(v), que deve estar no intervalo -10 ≤ v ≤ 30.

Áreas

Exercícios

1.

(CFTRJ, 2019) Na figura a seguir, ABCD é um paralelogramo e os pontos E e P foram tomados sobre o lado CD de modo que a área do triângulo ABE fosse igual a 20,5 cm².

a) Qual seria a área, em cm², do triângulo ABP? b) Qual é a área do paralelogramo ABCD?

2.

(Uece, 2020) Um hexágono está inscrito em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 2 m. A medida, em m², da área da região do plano interior à circunferência e exterior ao hexágono é igual a

3.

(FAMERP, 2019) As bases do sólido ilustrado na figura 1, destacadas em amarelo, são figuras congruentes contidas em planos paralelos, que distam entre si 6 unidades de comprimento. A base inferior desse sólido, apresentada na figura 2, é limitada por arcos de circunferências centradas em (2,0), (4,0) e (4,2) e por dois segmentos de reta.

O volume do sólido indicado na figura 1, em unidades de volume do sistema de coordenadas cartesianas Oxyz, é igual a

4.

(Enem [cancelado], 2009) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme a figura.

Área do setor circular: ASC= αR2

2

A área da região S, em unidades de área, é igual a:

a) 2πR₃2−√3R2 2 ; b) (2π−3√3)R2 12 ; c) πR₁₂2−R2 8; d) πR₂2; e) πR₃2.

5.

(Uerj, 2020) O quadrado ACEG, de centro J, foi dividido em cinco polígonos de mesma área: ABJ, BCDJ, DEFJ, FGHJ e HAJ. Observe a imagem:

6.

(Uerj, 2018) Considere na imagem abaixo:

- os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem, respectivamente, S1 e S2;

- o triângulos retângulo ABC;

- o trapézio retângulo BCDE, construído sobre a hipotenusa BC, que contém o ponto x.

Sabendo que CD = CX e BE = BX, a área do trapézio BCDE é igual a

a) S1+S2 2 b) S1+S2 3 c) √S1S2 d) √(S1)2+ (S2)2

7.

(UERJ, 2007) A imagem mostra uma pessoa em uma asa-delta.

O esquema abaixo representa a vela da asa-delta, que consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corresponde ao comprimento da quilha. Quando esticada em um plano, essa vela forma um ângulo CÂD = 2 . Suponha que, para planar, a relação ideal seja de 10 dm2 _{de vela para cada 0,5 kg de massa total. Considere, agora, uma asa-delta de 15 kg que}

planará com uma pessoa de 75 kg. De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, em metros, é igual à raiz quadrada de:

a) 9 cos θ; b) 18senθ; c) _cosθ9 ;

8.

(UFRGS, 2015) As circunferências do desenho abaixo foram construídas de maneira que seus centros estão sobre a reta r e que uma intercepta o centro da outra. Os vértices do quadrilátero ABCD estão na interseção das circunferências com a reta r e nos pontos de interseção das circunferências.

Se o raio de cada circunferência é 2, a área do quadrilátero ABCD é

a) 3√3₂ .

Gabarito

1. a) Como os triângulos ABE e ABP têm a mesma base e mesma altura, ambos têm área igual a 20,5 cm2_. b) Calculando:

StriânguloABE = AB . h ₂ = 20,5  AB . h = 41 cm2

Sparalegramo = AB . h = 41 cm2 2. C

5. Observe:

A área do quadrado é 100, então a área de cada parte mede 100/5 = 20.

Area (AHJ) = 20 ∴ AH̅̅̅̅̅×5₂ = 20 ∴ AH̅̅̅̅ = 8 ∴ HG̅̅̅̅ = 2

Área (FGHJ) = 20, portanto Area (GHJ) + área(FGJ) = 20, 2 × 5 2 + FG ̅̅̅̅ × 5 2 = 20 Portanto FG = 6, GK = 5 e FK = 1 No triângulo FJK, TgF̂ = Jk̅ Fk ̅̅̅= 5 6. A

Tem-se que (ACFG) = AC̅̅̅̅2 _{= S}

1 e (ABHI) = AB̅̅̅̅2 = S2. Logo, do triângulo ABC, pelo Teorema de Pitágoras,

vem BC̅̅̅̅2 _{= AB̅̅̅̅}2 _{ BC̅̅̅̅}2 _{= S} 1 + S2

7. D

Observe a imagem abaixo:

As áreas A1 e A2 são iguais. Calculando as áreas e encontrando a relação procurada, temos:

i) {A1 =

(AD). (AB). senθ 2 AD = AB ⇒ A1 =(AB) 2 . senθ 2 ⇒ Área(vela) = 2. A1 = 2. (AB)2. senθ 2 = (AB) 2 . senθ ii) Massa(Total) = 15 kg + 75 kg = 90 kg iii) Re l ação:10 dm2 0,5 kg = (AB)2. senθ 90 kg ⇒ (AB) 2 =(90 kg). (0,10 m 2₎ 0,5 kg. (senθ) = 9 m2 0,5 . (senθ)= 18 m2 (senθ)⇒ ⇒ AB = √18 m 2 (senθ)= √ 18 (senθ) m 8. C Na figura: AE2_{= EF}2_{+ √3}2_{= 2}2_{⇒ EF = 1} AC = 6 e BC = 2√3

Portanto, a área do quadrilátero ABCD será: A =6 ⋅ 2√3

Função Composta e Inversa

Exercícios

1.

(Unicamp, 2014) Considere as funções 𝑓 e 𝑔, cujos gráficos estão representados na figura abaixo:

O valor de 𝑓(𝑔(1)) − 𝑔(𝑓(1)) é igual a:

a) 0. b) 1. c) – 1. d) 2.

2.

(Espcex (Aman) – 2013) Na figura abaixo, está representado o gráfico de uma função real do 1º grau 𝑓(𝑥).

A expressão algébrica que define a função inversa de 𝑓(𝑥). é

a) 𝑦 =𝑥₂+ 1

3.

Sabendo que

𝑎

é um número real, considere a função

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 2

, definida para todo número real

𝑥

. Se

𝑓(𝑓(1)) = 1

, então a) 𝑎 = −1 b) 𝑎 = −1₂ c) 𝑎 =1₂ d) 𝑎 = 1

4.

Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções reais tais que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑥. Qual é o valor de 𝑥 na equação 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑓(𝑥)) + 𝑔(𝑔(𝑥))?

5.

Parte do gráfico de uma função real 𝑓, do 1° grau, está representada na figura a seguir.

Sendo 𝑔 a função real definida por 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 8, determine o valor de 𝑓−1_(𝑔(4)).

7.

(Uece, 2019) Se 𝑓, 𝑔 e ℎ são funções reais de variável real definidas respectivamente por

𝑓(𝑥) =

1

𝑥 ,

𝑔(𝑥) =

𝑥+1

𝑥−1 e

ℎ(𝑥) = 𝑥²

é correto afirmar que o gráfico da função composta

(ℎ ◦ 𝑔 ◦ 𝑓)(𝑥) =

ℎ (𝑔(𝑓(𝑥)))

cruza o eixo dos

𝑥

em um ponto cuja abscissa é um número

a) Inteiro negativo. b) Inteiro positivo. c) Irracional negativo. d) Irracional positivo.

8.

(Ufba, 2012) Determine

𝑓

−1

(𝑥)

, função inversa de

𝑓: ℝ → ℝ − {

1

3

}

, sabendo que

𝑓(2𝑥 − 1) =

𝑥 3𝑥−6

Gabaritos

1. B

Do gráfico, sabemos que o 𝑔(1) = 0 e 𝑓(1) = −1. Logo, como 𝑓(0) = 1 e 𝑔(−1) = 0, obtemos 𝑓(𝑔(1)) – 𝑔 (𝑓(1)) = 𝑓(0) – 𝑔 (−1)

= 1 – 0 = 1.

2. C

Seja 𝑓: 𝑹 → 𝑹 a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏.

O valor inicial de 𝑓 é a ordenada do ponto de interseção do gráfico de 𝑓 como eixo 𝑦, ou seja, 𝑏 = 1. Logo, como o gráfico de 𝑓 passa pelo ponto (−2,0), temos que

0 = 𝑎(−2) + 1 → 𝑎 =1 2

Portanto, 𝑓(𝑥) = 𝒙_𝟐 + 1 e sua inversa é tal que

𝑥 =𝑦 2+ 1 → 𝑦 = 2(𝑥 − 1)→ 𝑦 = 2𝑥 − 2 → 𝑓 −1_{(𝑥)= 2𝑥 − 2} 3. A Sendo 𝑓(1) = 𝑎 + 2, temos 𝑓(𝑓(1)) = 1 ⇔ 𝑓(𝑎 + 2) = 1 ⇔ 𝑎(𝑎 + 2) + 2 = 1 ⇔ 𝑎2_{+ 2𝑎 + 1 = 0} ⇔ 𝑎 = −1 4. 𝑥 =2₃. Como 𝑓(𝑔(𝑥)) = 2(2 − 𝑥) = 4 − 2𝑥, 𝑔(𝑓(𝑥)) = 2 − 2𝑥, 𝑓(𝑓(𝑥)) = 2(2𝑥) = 4𝑥 𝑒 𝑔(𝑔(𝑥)) = 2 − (2 − 𝑥) = 𝑥 Temos, 4 − 2𝑥 + 2 − 2𝑥 = 4𝑥 + 𝑥 → 6 − 4𝑥 = 5𝑥 → 6 = 9𝑥 → 𝑥 =6 9= 2 3 5. 𝑓−1_{(𝑔(4)) = 2.}

Temos que 𝑔(4) = 2(4) − 8 = 0. Isto é, 𝑓−1_{(𝑔(4)) = 𝑓}−1_{(0). Como o gráfico de 𝑓 mostra que 𝑓(2) = 0,}

então 𝑓−1_{(0) = 2 (na função inversa, os valores de cada 𝑥 e 𝑦 se invertem).} 6.

a) Como −5 ≤ −1, 𝑓(−5) = −1. Como 𝜋 ≥ 1, 𝑓(𝜋) = 1. Como −1 <1₂< 1, 𝑓 (1₂) = 2. Assim, −2𝑓(−5) + 3𝑓(𝜋) − 𝑓 (1

b) Como −1 <√2 2 < 1, 𝑓 ( √2 2) = 2. Assim, 𝑓 (𝑓 ( √2 2)) = 𝑓(2). Como 2 ≥ 1, 𝑓(2) = 1. Dessa forma, 𝑓 (𝑓 (𝑓 (√2 2))) = 𝑓(1). Porém, 𝑓(1) = 1. Consequentemente, 𝑓 (… 𝑓 (𝑓 (𝑓 (√2₂))) … ) = 𝑓(1) = 1. 7. A Sendo 𝑥 ≠ 0, temos 𝑔(𝑓(𝑥)) = 1 𝑥+ 1 1 𝑥− 1 =1 + 𝑥 1 − 𝑥

Logo, segue que ℎ (𝑔(𝑓(𝑥))) = (1 + 𝑥

1 − 𝑥)

2

A abscissa do ponto pedido é tal que 1 + 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = −1

Ou seja, um número inteiro negativo.

8. 𝒇−𝟏_{(𝒙) =}𝟗𝒙+𝟏 𝟑𝒙−𝟏

Fazendo 𝑡 = 2𝑥 − 1, segue que 𝑥 = 2𝑡 − 1 → 𝑡−1₌𝑥+ 1 2 .

Substituindo 𝑥 por 𝑡−1 _{na lei de formação da função 𝑓, vem que:}

Inequações

Exercícios

1.

(UFJF PISM – 2019) Considere a seguinte inequação:

2

2 15 0

x − x− 

O produto entre os números inteiros negativos que são soluções dessa inequação é

a) – 15 b) – 6 c) 2 d) 6 e) 15

2.

A inequação 1 2 3 4

10x+10x+ +10x+ +10x+ +10x+ 11111_{, em que x é um número real,}

a) não tem solução.

b) tem apenas uma solução. c) tem apenas soluções positivas. d) tem apenas soluções negativas. e) tem soluções positivas e negativas.

3.

Um número N, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação N² - 17N + 16 > 0 é:

a) 2 b) 7 c) 16 d) 17

4.

(UNIRIO – 2000) O conjunto solução da inequação 2x x 3

5.

Sejam 𝑓(𝑥) = 4𝑥2_{− 12𝑥 + 5 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 funções reais. O menor inteiro para o qual 𝑓(𝑔(𝑥)) < 0 é} a) −2. b) −1. c) 0. d) 1. e) 2 .

6.

Uma casa de dois andares está sendo projetada. É necessário incluir no projeto a construção de uma escada para o acesso ao segundo andar. Para o cálculo das dimensões dos degraus utilizam-se as regras:

|2ℎ + 𝑏 − 63,5| ≤ 1,5 e 16 ≤ ℎ ≤ 19,

nas quais h é a altura do degrau (denominada espelho) e b é a profundidade da pisada, como mostra a figura. Por conveniência, escolheu-se a altura do degrau como sendo h = 16. As unidades de h e b estão em centímetro.

Nesse caso, o mais ambplo intercalo numérico ao qual a profundidade da pisada (b) deve pertencer, para que a as regras sejam satisfeitas é

a) 30 ≤ b b) 30 ≤ b ≤ 31,5 c) 30 ≤ 𝑏 ≤ 33 d) 31,5 ≤ b ≤ 33 e) b ≤ 33

7.

(UNICAMP – 2015) Seja a im número real positivo e considere as funções afins ( )f x =ax+3a e

( ) 9 2

g x = − x , definidas para todo número real x.

a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação ( ) ( ) 0f x g x  . b) Encontre o valor de a tal que

f g x

(

( )

)

=

g f x

(

( )

)

para todo número real x.

8.

(PUC RJ – 2015)

a) Para quais valores reais de x a inequação abaixo é satisfeita?

(

)

2

7

15 3

2

x

− + 

x

x

−

b) Para quais valores reais de x a inequação abaixo é satisfeita?

Gabarito

1. B Calculando: x2_{− 2x − 15 ≤ 0} x2_{− 2x − 15 = 0} Δ = 4 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−15) = 64 x =2 ± √64 2 ⋅ 1 ou x = 5 ou x = −3 x2_{− 2x − 15 ≤ 0} S = [−3,5]

Produtos inteiros negativos = (−𝟑) ⋅ (−𝟐) ⋅ (−𝟏) = −𝟔

2. D

Resolvendo a equação, obtemos: 10x _{+ 10}x+1 _{+ 10}x+2 _{+ 10}x+3 _{+ 10}x+4 _{> 11111} 10x _{. (1 +10 + 100 + 1000 + 10000) > 11111} 10x _{. 11111 < 11111} 10x _{< 10}0 X < 0. 3. D

Desde que N é um inteiro positivo, temos N² - 17N + 16 > 0

(N-1)(N-16) > 0 N > 16

Logo, o menor positivo que satisfaz a desigualdade é 17.

4. A

Temos dois casos a analisar: CASO 1) Se

0

 

x

1

, temos:

2

3

3

x

x

x

 +



Fazendo a interseção entre

x 

3

e

0

 

x

1

, encontramos

0

 

x

1

. CASO 2)

x 

1

2

3

3

x

x

x

 +



5. B Calculando: 4(𝑥 + 2)2_{− 12(𝑥 + 2) + 5 < 0} 4𝑥2_{+ 16𝑥 + 16 − 12𝑥 − 24 + 5 < 0} 4𝑥2_{+ 4𝑥 − 3 < 0} Raízes da equação 4𝑥2_{+ 4𝑥 − 3 = 0:} 𝑥 =−4 ± √64 8 = −4 ± 8 8 𝑥 = −3 2 ou 𝑥 = 1 2

Sendo assim, 𝑓(𝑔(𝑥)) < 0 para: −3

2< 𝑥 < 1 2

E o menor inteiro que satisfaz essa condição é 𝑥 = −1

6. C Se h = 16, então |2 ∙ 16 + b − 63,5| ≤ 1,5 −1,5 ≤ b − 31,5 ≤ 1,5 30 ≤ b ≤ 33 7. Observe: a) Sendo a > 0, temos f(x)g(x) > 0 ↔ a(x + 3) (x −9 2) < 0 ↔ −3 < x < 9 2

Portanto, segue que x ∈ {−2, −1,0,1,2,3,4}, ou seja, a inequação possui 7 soluções inteiras.

b) Tem-se que

f(g(x)) = ag(x) + 3a = a(9 − 2x) + 3a = −2ax + 12a e

g(f(x)) = 9 − 2f(x) = 9 − 2(ax + 3a) = −2ax − 6a + 9 Logo, vem

f(g(x)) = g(f(x)) ⇔ −2ax + 12a = −2ax − 6a + 9 ⇔ a =1 2

8.

a) x2_{− 7x + 15 > 3(x − 2) ⇒ x}2_{− 10x + 21 > 0 ⇒ x < 3 ou x > 7}

b)

𝑥2−7𝑥+15 𝑥−2

> 3 ⇒

𝑥2−7𝑥+15−3⋅(𝑥−2) 𝑥−2

> 0 ⇒

𝑥2−10𝑥+21 𝑥−2

> 0

Fazendo o estudo de sinal da função produto, temos: